Research Collection

Doctoral Thesis

Trasporto di materiale solido in canali a fondo fisso e liscio

Author(s): Pedroli, Rodolfo

Publication Date: 1963

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000098883

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ETH Library

Tesi No. 3304

Trasporto di materiale solido in canali

a fondo fisso e liscio

Tesi di laurea

presentata alla

Scuola Politecnica Federale in Zurigo

per il conferimento

del titolo di Dottore in Scienze Tecniche

da

Rodolfo Pedroli

di Bodio (Svizzera)

Ing. civile diplomato

Relatore: Prof. G. Schnitter

Correlatore: Ing. civile dipi. C. Lichtenhahn,

Tipografia Karl Augustin, Thayngen SH, giugno 1963

3507/2

Appare come comunicazione No. 43

dell'Ufficio federale dell'economia delle acque

Indice

Introduzione

1. Natura delle indagini

1.1. Il problema

1.2. Compito prefisso

2. Risultati ottenuti

3. Stato del problema all'inizio delle ricerche

3.1. Fondo mobile

3.2. Fondo fisso

4. Azione dinamica fra solido e liquido

4.1. Differenza fondamentale tra fondo fisso e mob

4.2. Forza critica di trascinamento

4.2.1 Generalità

4.2.2 Inizio dello strisciamento

4.2.3 Inizio del rotolamento

4.3. Movimento dei grani e forze attive durante

il trasporto solido

4.3.1 II movimento dei grani

4.3.2 Forze attive durante il trasporto

5. Esperienze

5.1. Programma

5.2. Granulometria

5.3. Installazioni

5.3.1 Impianto sperimentale

5.3.2 Dispositivi e procedimenti di misura

5.4. Risultati

6. Elaborazione

6.1. Generalità

6.2. Calcolo della forza di trascinamento

Pag"

6.3. Applicazione dell'analisi dimensionale 83

6.3.1 Concetti fondamentali 83

6.3.2 Ricerca della funzione per il trasportosolido 85

6.4. Calcolo dell'equazione del trasporto sulla base

dei dati sperimentali 89

7. Verifica della formula stabilita e della similitudine 104

7.1. Esperienze in un canale di controllo 104

7.1.1 Scopo 104

7.1.2 II canale 104

7.1.3 Esperienze e risultati 105

7.2. Similitudine e limiti di validità della formula

stabilita 121

8. Discussione della formula del trasporto solido 127

8.1. Portata solida gs 127

8.2. Inizio del trasporto ( gs = 0 ) 128

8.3. Confronto con la formula di Meyer-Peter per

fondo mobile 137

9. Conclusione 142

Bibliografia 143

Elenco e significato dei simboli usati 148

Zusammenfassung 151

Résumé 160

Summary 169

Introduzione

La conoscenza della portata di un corso d'acqua ha un'importan¬

za basilare per gli studi idrologici e per l'impostazione di

qualsiasi progetto di opere idrauliche. Purtroppo i fiumi sono

soggetti sovente a variazioni dell'alveo, il che rende diffici¬

le o pressoché impossibile stabilire scalè di deflusso di sicu¬

ra utilizzazione. Chi si occupa di problemi del genere sa quan¬

to sia alle volte penoso, in particolare per i fiumi e torrenti

montani, trovare un'ubicazione favorevole alle installazioni

idrometriche. La difficoltà s'accresce allorquando un corso d'ac¬

qua deve, per natura, trasportare del materiale solido. Tale

trasporto, secondo la specie dei materiali convogliati, si attua

in guise diverse, ma generalmente avviene in misura più cospi¬

cua durante le morbide e le piene. Giusta la pendenza del corso

d'acqua, l'effetto di detto trasporto può essere, quando la cor¬

rente tende a rallentare, un deposito parziale del materiale,

mentre, quando accelera, un accrescimento della portata solida

e un'erosione più o meno marcata dell'alveo, secondo la strut¬

tura del medesimo.

Anche nel campo dell'idrometria il rapido sviluppo della tecni¬

ca ha avuto una sua ripercussione. Infatti coli'aumentare del

numero delle costruzioni idrauliche sui corsi d'acqua, in par¬

ticolare degli impianti idroelettrici, si fa vieppiù sentire il

bisogno di misure sempre più precise, per lo sfruttamento razio¬

nale delle acque disponibili, per il calcolo dei canoni d'acqua,

per la misura delle acque residue, come anche per lo studio di

nuovi progetti.

Queste sono le ragioni per cui l'Ufficio federale dell'eco¬

nomia delle acque negli ultimi anni procedette, per i corsi d'ac¬

qua a carattere alluvionale, alla ricerca di un tipo di stazio¬

ne di misurazione delle portate d'acqua, confacente agli attua¬

li bisogni della tecnica. Parecchi impianti del genere sono sta-

3

ti già realizzati. I risultati ottenuti sono soddisfacenti, tut¬

tavia l'esperienza ha mostrato che per una maggiore sicurezza

nel buon funzionamento di queste installazioni di misura, era

necessario chiarire ancora diversi punti. In questo senso il

Laboratorio di ricerche idrauliche e di geotecnica della Scuola

politecnica federale a Zurigo si è assunto l'incarico d'intra¬

prendere delle prove, su modello ridotto, per lo studio di uno

o più tipi di stazioni di misurazione delle portate adeguati ai

corsi d'acqua a regime alluvionale. Le opere in questione com¬

portano un canale con rivestimento artificiale sia sulle pareti

che sul fondo. Per la progettazione di queste opere risultava

pertanto in primo luogo necessario conoscere le leggi del tras¬

porto di materiale solido su fondo fisso. Purtroppo abbiamo de-

vuto costatare che sull'argomento esistono pochissime nozioni.

La maggior parte dei lavori inerenti al trasporto di materiale

solido si limitano infatti al solo trasporto su fondi mobili,

generalmente a carattere alluvionale. Donde la necessità d'in¬

traprendere la presente indagine. Le esperienze sono state pure

effettuate nel Laboratorio di ricerche idrauliche sopra citato.

Da ultimo, tengo a ringraziare quelle persone che in un modo o

nell'altro mi hanno aiutato ed assistito durante il mio lavoro.

Sono particolarmente riconoscente al mio Direttore, dott. se.

teen. M. Oesterhaus, per l'interesse manifestato alla presente

indagine, per le facilitazioni accordate e per aver reso possi¬

bile la pubblicazione di questo lavoro come comunicazione del¬

l'Ufficio federale dell'economia delle acque. Sono pure senti¬

tamente grato al Capo della sottodivisione dell'Idrografia na¬

zionale, ing.dipl. E. Valser, per aver egli sempre accolto fa¬

vorevolmente le mie idee e per essersi costantemente adoperato

nell'appoggiare i miei disegni. Vivi ringraziamenti vadano an¬

che ai signori P. Cassani e ¥. Imboden, coscenziosi ed assidui

operatori dei lavori sperimentali, ai signori G.Nold e A. Margot,

collaboratori diligenti nei lavori d'elaborazione e di stampa.

Esprimo un grazie speciale al relatore, Professore G. Schnitter,

Direttore del Laboratorio di ricerche idrauliche e di geotecni¬

ca della Scuola politecnica federale, Zurigo, per i suoi prezio¬

si consigli e per l'interesse da lui mostrato verso il mio la¬

voro. Anche alle persone del citato Laboratorio, con le quali

ebbi da trattare, vadano i segni della mia cordiale riconoscen¬

za. Ringrazio, inoltre, il correlatore, ing.dipl. C. Lichtenhahn,

incaricato del corso d'idraulica fluviale alla Scuola politec¬

nica federale, per l'attento esame della mia tesi, nonché per

i suoi suggerimenti.

5

1. Natura delle indagini

1.1. Il problema

Per erigere su corsi d'acqua a carattere alluvionale delle sta¬

zioni di misurazione, atte a garantire una relazione univoca e cos¬

tante nel tempo fra altezza e portata d'acqua, necessita dapprima

esaminare attentamente la configurazione dell'alveo. Se il corso

d'acqua fosse contenuto in un letto di per sé fisso, come potrebbe

essere il caso per un profilo roccioso, ci si trova allora di so¬

vente davanti a un problema relativamente facile. Particolarmente

favorevole si presenta poi il caso allorquando il corso d'acqua è

incassato e denota delle contrazioni o dei salti più o meno pronun¬

ciati. La stazione di misura dovrà allora essere piazzata legger¬

mente a monte di queste formazioni. E nemmeno offrono difficoltà

quei corsi d'acqua, per i quali sussiste equilibrio fra l'azione

fisica della corrente e la resistenza dei materiali dell'alveo.

In modo sostanzialmente diverso si pone invece il problema, qua¬

lora il letto del fiume o torrente e sottoposto a variazioni sensi¬

bili, è cioè di carattere instabile. Pur introducendo a valle della

stazione delle traverse odegli stramazzi, è ben poco probabile che

si ottengano le condizioni di stabilità desiderate. Infatti col cre¬

scere o il diminuire della quantità di materiale che si deposita a

monte dello stramazzo, la velocità di arrivo allo stramazzo può va¬

riare in modo tale da dare, in corrispondenza al principio di Ber¬

noulli, altezze idriche diverse per una stessa portata d'acqua.

Per queste ragioni si cercò di risolvere il problema canalizzan¬

do il corso d'acqua su un certo tratto. A tale scopo importava dap¬

prima creare un profilo di misurazione o limnimetrico che fosse in¬

dipendente dalle condizioni di scorrimento della corrente a monte

ed a valle della stazione. Inoltre occorreva che il materiale tras¬

portato dal fluido passasse attraverso il canale senza depositarsi.

Si stimò di poter soddisfare a queste condizioni col fissare arti¬

ficialmente il fondo nel tratto canalizzato e coli'attribuirgli una

pendenza sufficiente per convogliare tutto il materiale contenuto

nella corrente d'acqua. L'impianto doveva poi essere di lunghezza

tale da permettere, nell'ambito del profilo limnimetrico, una suf¬

ficiente indipendenza dal corso naturale.

6

Le fig. 1 e 2 recano due esempi di stazioni realizzate se¬

condo questi principi. La forma esatta di queste installazioni è

stata in parte dettata dalle condizioni locali e dalle variazioni

di deflusso del corso d'acqua. Nel dimensionamento delle sezioni

trasversali si ebbe cura di ottenere una sufficiente precisione

nella determinazione delle portate d'acqua per tutta la scala del¬

le altezze idriche. Ambedue le stazioni riprodotte comportano un

canale centrale di forma rettangolare atto a contenere le portate

di magra e le morbide. Prescindendo dalle torbide tutto il mate¬

riale solido passa attraverso questo canale.

Le due stazioni in questione presentano le caratteristiche

seguenti:

Le Chàble : In esercizio dal 1958.

Il canale mediano è largo 1,0 m ed alto 0,50 m.

Quello di piena è largo 18 m ed in media alto

2,50 m. La lunghezza della stazione è di 16 m. Il

canale mediano ed una parte di quello di piena

sono rivestiti da placche metalliche di uno spes¬

sore di 8 mm per impedire l'usura dovuto al mate¬

riale di trasporto. Queste placche sono fissate

su calcestruzzo. Il canale di piena nella parte

superiore è rivestito dal solo calcestruzzo, dato

che in questa zona non ha luogo alcun trasporto di

materiale solido. La pendenza longitudinale è del

5 %o. Quest'impianto è in grado di convogliare cir-

ca 150 m /s.

Veisstannen : In esercizio dal 1959.

Il canale mediano è largo 1,25 m ed alto 0,60 m.

Le sue dimensioni sono superiori a quelle della

stazione Le Chàble per il fatto che il materiale

da convogliare è di calibro più grosso. Il canale

di piena presenta una larghezza di 5,25 m ed

un'altezza media di 3,0 m; quello mediano e la

parte inclinata del canale di piena sono rivesti¬

ti di pietre naturali con la faccia rivolta verso

l'acqua lavorata accuratamente. Le pareti vertica¬

li sono in calcestruzzo, dato che esse non sono di¬

rettamente toccate dal trasporto di materiale.

Ambedue i canali hanno una pendenza longitudinale

del 10 foo, ed una lunghezza di 16 m. La portata

massima convogliatale è di circa 100 m /s.

Nella progettazione delle stazioni di misura un'elemento pre¬

sentava tuttavia molte incertezze, trattasi più precisamente della

capacità massima di materiale solido che l'impianto era in grado

di convogliare. In mancanza di dati precisi sull'argomento si era

dovuto ricorrere alle formule relative al trasporto solido su fon¬

di mobili. Questo procedimento non doveva però soddisfare: donde

la ragione della presente indagine.

8

Vi H*

saWr^'

Fig. 1

Stazione di misurazione Drance de Bagnes - Le Chàble

Fig. 2

Stazione di misurazione Seez - Veisstannen

9

1.2. Compito prefisso

Il fenomeno del trasporto di materiale solido è indubbiamen-

te uno dei problemi più complessi dell'idraulica fluviale. E noto,

per gli studi effettuati su fondo mobile, che questo fenomeno e

retto da un numero rilevante di fattori non sempre facilmente re¬

peribili. Tra i fattori più influenti possiamo menzionare il ca¬

libro, la forma ed il peso specifico del materiale, la portata,

il peso specifico e la viscosità del fluido, la pendenza del fon¬

do e la forma della sezione trasversale.

Per lo studio delle leggi che regolano il trasporto solido

su fondo fisso era lecito supporre per analogia, che anche questo

trasporto fosse influenzato, in misura più o meno sensibile, da¬

gli stessi fattori che determinano il trasporto sui fondi mobili.

Questo fatto fa comprendere la vastità di una indagine del genere

e la necessità di circoscrivere il campo di ricerca.

Con riferimento alle stazioni di misurazione l'interesse si

riportò sui canali a fondo fisso e liscio. Con fondo liscio in¬

tendiamo un rivestimento per cui il rapporto tra le asperità del

medesimo e la granulometria da convogliare assume un valore molto

piccolo.

Stante la complessità del problema appariva inoltre necessa¬

rio limitare la ricerca innanzi tutto ad una sola specie di granu¬

lometria, cioè a quella di calibro unitario. Questo modo di pro¬

cedere venne pure adottato allorquando s'intrapresero le prime

indagini di trasporto solido su fondo mobile.

10

2. Risultati ottenuti

Con la presente ricerca è stato possibile stabilire,nell'am¬

bito delle esperienze effettuate, la legge che regola la quantità

massima di materiale solido che la corrente d'acqua è in grado di

convogliare per trascinamento, senza che si abbia a verificarsi

sedimentazione.

Essa può essere espressa nella formula:

r8/s a3/s d 1/s

&8/s

V6/5

- 16 + 0.O699s

v

oppure

9s = U,5

*-8/S 3/5 J VeX . g '\ àmls

l VK

- 23,2 . ys.p

dove

1 = y• h 3e

m

V

gs

1,6 e 0,069)14,5 e 23,2 )

la forza di trascinamento del fluido, in kg/m ;

[ V = peso specifico del fluido, in kg/m^;

Rs = raggio idraulico relativo al trasporto

solido, in m:

Je = pendenza della linea di carico].

= l'accelerazione di gravità, in m/s^;

= il diametro medio della granulometria, in m;

= il peso specifico del materiale solido, pesatoa secco, in kg/m2;

2= la viscosità cinematica del liquido, in m /s;

= la portata solida per unità di larghezza, pesa¬ta a secco, in kg/s.m;

= costanti adimensionali.

La formula indicata è stata ottenuta dopo una copiosa serie

di prove effettuate in un canale sperimentale a fondo e pareti

11

lisci, del Laboratorio di ricerche idrauliche e di geotecnica del¬

la Scuola politecnica federale a Zurigo. La legge è stata poi ve¬

rificata in un canale di controllo dello stesso Laboratorio.

In ambedue i canali si fece variare successivamente, mante¬

nendo la corrente d'acqua a moto uniforme, la pendenza del fondo,

la portata d'acqua e la granulometria. Le esperienze dimostrarono

che, come per il fondo mobile, il trasporto solido su fondo fisso

è principalmente funzione della forza di trascinamento del fluido

agente sul fondo, la quale a sua volta dipende dalla profondità

dell'acqua e dalla pendenza della linea d'energia della corrente.

D'altra parte, effettuandosi con la presente ricerca, si è

dovuto costatare una differenza essenziale fra il trasporto su

fondo mobile e quello su fondo fisso. Essa consiste nel fatto che,

nel primo caso, la portata solida diminuisce col calibro granulo-

metrico, nel secondo invece aumenta giusta la radice quinta di dm.

Questo fatto suggerisce perciò molta prudenza nell'applicazione

di formule del genere, ancorché i fenomeni che con quelli si vo¬

gliono interpretare siano apparentemente analoghi.

La struttura matematica della formula enunciata è stata de¬

terminata coll'aiuto dell'analisi dimensionale (Teorema T di Bu¬

ckingham) .

Le esperienze dimostrarono inoltre che nell'ambito delle

esperienze l'influsso della viscosità non è trascurabile.

Oltre che alle stazioni di misurazione, il trasporto solido

su fondo liscio si verifica in diversi altri campi delle costru¬

zioni idrauliche, come ad esempio nelle opere di canalizzazione

di torrenti e nelle derivazioni d'acqua d'impianti idroelettrici.

La legge stabilita troverà particolarmente un suo impiego nella

progettazione dei dispositivi di sghiaiamento di certe prese d'ac¬

qua; in queste installazioni importa infatti, sovente, conoscere

la portata minima suscettibile di trasportare a valle il materiale

solido prelevato dalla corrente.

Col presente lavoro si è cercato di indagare una parte ben

determinata del complesso problema del trasporto di materiale so-

lido su fondo fisso e liscio. E da sperare che studi del genere

siano proseguiti, in particolare per ciò che concerne le miscele.

12

3. Stato del problema all'inizio delle ricerche

3.1. Fondo mobile

I primi studi in proposito risalgono, si può dire, alle pri¬

me ricerche nel campo dell'idraulica. Su tale argomento esiste

oggigiorno una tale documentazione, che una descrizione delle in¬

dagini effettuate in questo campo sarebbe di per sé un lavoro con¬

siderevole; tuttavia buona parte delle formule allestite non ri¬

veste per ora che un'importanza storica. Qui di seguito si cerche¬

rà di attenersi ai soli lavori che in un modo o nell'altro stanno

in relazione con il problema che ci siamo proposti d'indagare.

Tra i primi studi d'importanza sono da menzionare quelli di

Du Boys (7), il quale nel 1879 stabili la seguente formula di

trasporto solido:

gs = y • T(T-T.)

dove

g„ = portata solida per unità di larghezza, in kg/s.m;

3

y = costante, in m /kg . s

t = forza di trascinamento della corrente (V • h • J),in kg/m^j

3(y - peso specifico del fluido, kg/m ;

h = altezza d'acqua, in m;

J = pendenza della superficie libera);

2t0= forza critica di trascinamento, in kg/m .

Du Boys contrappose quindi la forza tangenziale che una cor¬

rente esercita sull'alveo alla resistenza che il materiale di fon¬

do oppone al moto, per effetto del peso e dell'attrito.

Schoklitsch (29) sulla base di esperienze con diverse granulome¬

trie unitarie ottenne per y il valore di

7sy = 0,54

h-y

dove y e ys rappresentano il peso specifico del fluido e del

materiale.

13

Lo stesso Schoklitsch (30) pubblico più formule di trasporto ; quel¬

la data per ultimo è:

7000 3/,.

gs =

j—-, Je^ (q-q0) in kg/sm

dove

dm è il diametro medio della granulometria, in mm;

Je la pendenza della linea di carico;

q la portata d'acqua effettiva, in m /s.m;

q0 quella limite del fluido, in m /s.m.

Per la compilazione di questa formula Schoklitsch si basò fra al¬

tro sulle numerose esperienze effettuate da G.K. Gilbert (16) sia

con granulometria unitaria che con miscele.

Altre formule di carattere piuttosto empirico sono quelle di

Mac Dougall (22), Casey (3), Laboratorio delle U.S.¥aterways a

Vicksburg (36), Shields (34) e Chang (4).

Una delle più conosciute formule empiriche è indubbiamente

quella del Laboratorio di ricerche idrauliche e di geotecnica del¬

la Scuola politecnica federale a Zurigo, ritrovata sotto la dire¬

zione del Prof. Meyer-Peter e pubblicata nel 1948 all'occasione

della riunione dell'Associazione Internazionale di ricerche idrau¬

liche a Stoccolma (24). Detto laboratorio aveva, già nel 1934, e-

messo una prima formula (23) quale sintesi di una serie di espe¬

rienze eseguite su due canalette con fondo costituito da materiale

a granulometria unitaria:

^ J. „

-%——^—— = a + b

In essa a e b sono delle costanti sperimentali, valide per il

moto uniforme.

q è la portata d'acqua specifica (per unità di larghezza), in

l/sm;

J la pendenza della linea di carico idraulico;

d il diametro unitario, in m; infine

gs la portata solida specifica, in kg/sm.

14

-3

Per il caso di materiale con peso specifico 2.68 t/m si ot¬

tiene (25) :

a = 17 e b = 0.547 se il materiale è pesato sott'acqua e

a = 17 e b = 0.4 se il materiale è pesato a secco.

L'espressione analitica della seconda formula (1948) e :

•— 0,01*7 + 0,25 -M -

—r-r- (1)dm

\9

/ Te • dm

dove

fc dm\

9/ Ts

Rs = raggio idraulico relativo al trasporto solido, in m;

y = peso specifico del fluido, in kg/m ;

v" = peso specifico del materiale pesato sott'acqua, in

kg/:m

Jr = perdita di carico dovuta alla rugosità propria del

materiale di fondo;

dm=

( "- * ^ ^\ diametro efficace della miscela, in m;m v

100 ;

( A p vien rilevato dalla curva granulome-

trica e rappresenta la partecipazione in percento del

peso del diametro d);

g = accelerazione di gravità, in m/s ;

g's = portata solida per unità di larghezza, pesata sott'ac¬

qua, in kg/sm.

V

La (T)può essere ampliata sostituendovi Jr = J • [ ,-2.) ,

in cui J e la perdita di carico totale, ks il coefficiente di

scabrezza per il fondo smosso e kr l'analogo per il fondo di u-

guale materiale ma distribuito regolarmente. Il coefficiente ks è

ricavabile direttamente da misure sulla corrente, cioè dalla per¬

dita di carico totale; kr dev'essere invece calcolato in base al¬

le caratteristiche del materiale. Secondo Strickler (35), per re¬

gime pienamente turbolento, si può scrivere kr = —£ con e = 26,

d in m e kr in m /s. do,Q

15

Altri ricercatori hanno indagato per via teorica il fenomeno

del trasporto solido. Uno dei primi lavori fu quello del Conti(6).

Studi più recenti sono quelli di Einstein (13) e di Yalin (38 e

39).

Il Conti parte dalla teoria di Du Boys e suppone il fondo

costituito di vari strati, dei quali solo un certo numero, a par¬

tire dalla superficie, viene messo in movimento. Nella sua ricer¬

ca teorica il Conti suppone un corso d'acqua di larghezza indefi¬

nita e di profondità costante. La formula ricavata è abbastanza

complicata e non sembra aver trovato applicazione nella tratta¬

zione di problemi fluviali.

Lo studio di Einstein è caratterizzato da un'impostazione

probabilistica del movimento delle particelle solide. Einstein si

basa inoltre sulla velocità della corrente presso il fondo. La

sua formula consente, nei limiti di validità, il calcolo della

portata di tutto il materiale, sia di quello in sospensione sia

di quello in trascinamento. Einstein suppone come spessore del

fondo in movimento il valore corrispondente a due volte il dia¬

metro dei grani, suddivide la granulometria in diversi diametri,

calcola separatamente per ogni diametro le portate solide ed ot¬

tiene poi il trasporto totale sommando le quantità parziali.

Yalin, nella sua trattazione, esamina dapprima il movimento

di singoli grani, indi la struttura meccanica del fenomeno per

l'insieme della massa. L'indagine fisico-matematica di Yalin è

fra l'altro interessante per aver egli dimostrato con procedi¬

menti teorici l'esattezza della formula di Meyer-Peter. Nel suo

studio, l'autore si avvale vantaggiosamente dell'analisi dimen¬

sionale.

3.2. Fondo fisso

Mentre per il fondo mobile esiste un'abbondante documenta¬

zione, per quello fisso si constata invece una mancanza di dati

precisi. Le indagini effettuate su questo argomento si riportano

soprattutto a condotte industriali, per canali a superficie libe¬

ra, invece, non si dispone se non di poche indicazioni. Tra le

prime misure sistematiche in canali aperti sono da menzionare

quelle effettuate da Gilbert (16) negli anni 1907/1909, trattate

alle fine della ben nota indagine sui fondi mobili. Gilbert in¬

traprese una prima serie d'esperienze in un canale lungo circa

18 m e largo 0.58 m; per una seconda serie egli si servì dello

stesso canale, ma ridusse la larghezza a circa 0.30 m. Le sue

misure vennero eseguite su fondi di diversa rugosità, e più pre¬

cisamente su fondi costituiti da:

- legno liscio

- legno non piallato

- legno con traverse

- sabbia cementata

- ghiaia cementata.

Le pareti del canale sperimentale erano in legno liscio.

Gilbert fece variare la portata d'acqua da 0 a 20 l/s e la pen¬

denza del fondo da 0.32 a 4.5 %. La maggior parte delle esperien¬

ze venne effettuata con granulometria unitaria (0.4 < dm < 33 . 5 mm) ;

le esperienze con miscele erano caratterizzate da diametri medi

sensibilmente uguali (2.1<dm<2.6 mm).

Purtroppo le misure di Gilbert non presentano la precisione

che si può ottenere oggigiorno per indagini del genere. Al ri¬

guardo basta ricordare che le pendenze indicate nel suo lavoro

corrispondono a quelle del fondo e non a quelle della superficie

libera o del carico idraulico. Lo stesso Gilbert ammette che du¬

rante le prove non si son sempre verificate le condizioni di mo¬

to uniforme; egli però, in seguito ad oscillazioni irregolari

della massa liquida e forse anche in mancanza di istrumenti ido¬

nei, dovette prescindere dalle letture del pelo d'acqua.

Anche il metodo adottato per l'immissione del materiale so¬

lido nel canale era probabilmente troppo poco esatto. Infatti,

durante una parte delle esperienze, Gilbert precisò la capacità

massima (ottima) di trasporto, aggiungendo a mano del materiale.

Il fatto inoltre che la portata massima sperimentata non superò

20 l/s - il che rappresenta un'altezza d'acqua relativamente pic¬

cola - richiede una certa prudenza nell'uso dei risultati conse¬

guiti da Gilbert.

17

Come fu già il caso per l'indagine sui fondi mobili, ijilbert

non sintetizza i risultati delle sue esperienze in canali a foado

fisso mediante una sola espressione, ma essi vengono presentati

nelle seguenti considerazioni:

a) La portata solida (C) diminuisce coli'aumentare della rugosità

del fondo. Allorquando il fondo è più rugoso del materiale da

trasporto, il materiale ha allora tendenza a depositarsi negli

interstizi; il fondo si comporta in questo caso come se fosse

mobile.

b) La relazione fra portata solida (C) e pendenza del fondo (S) si

può formulare come segue:

C = bx (S - <r)n

dove hi è una costante, S la pendenza effettiva del fondo e (T

la pendenza minima per l'inizio del trasporto solido (pendenza

liminare). L'esponente n è sempre superiore all'unità (1.2 < n

< 2.0). I grandi valori di n corrispondono alle piccole porta¬

te d'acqua ed alla granulometria a grosso calibro.

e) La relazione fra portata solida (C) e liquida (Q) si può espri¬

mere con:

C = b2 (Q - k)°

dove b2 è una costante, Q la portata effettiva e k quella li¬

minare. Secondo i casi l'esponente o può essere più grande o

più piccolo dell'unità. In generale o è inversamente propor¬

zionale a Q e S ed aumenta quanto più il fondo è rugoso. Gil¬

bert osservò inoltre che la portata solida è meno sensibile al¬

le variazioni della portata d'acqua che a quelle della pendenza

del fondo.

d) Mentre per fondi mobili l'entità solida è inversamente propor¬

zionale al calibro granulometrico, per fondi fissi accade l'in¬

verso. Qui trattasi di una differenza essenziale nel comporta¬

mento delle due specie di fondi. A questa regola fanno eccezio¬

ne i grani più minuti, per cui una parte si sposta in forma di

sospensione. Gilbert constatò inoltre che la portata solida è

18

meno sensibile alle variazioni del calibro granulometrico che

alla portata del fluido ed alla pendenza del canale.

e) Per uno stesso canale la capacità solida aumenta in modo più

rapido dell'altezza d'acqua.

f) L'entità solida è, per le miscele, superiore a quella della

granulometria unitaria. L'insufficienza di esperienze impedì

tuttavia di approfondire la questione.

Riassumendo, Gilbert trovò differenze essenziali tra le leggi

che regolano il trasporto solido su fondi mobili e su fondi fissi.

In particolare egli potè dimostrare che - a condizioni uguali di

portata d'acqua, pendenza e rugosità - la capacità di trasporto

solido su fondo fisso è ben superiore a quella che si ottiene su

fondo mobile.

Gilbert osservò i fenomeni del trasporto solido con molta per¬

spicacia, tuttavia la sua esposizione dei risultati manca di una

convincente e sicura formulazione matematica; pertanto la sua in¬

terpretazione dei fenomeni di trasporto resta un po' vaga.

Schoklitsch nel suo primo lavoro "Ueber Schleppkraft und Ge-

schiebebewegung" (29) descrive le misure effettuate sulla forza

critica di trascinamento in una canaletta in larice, larga 9.7 cm.

In essa vennero collocate, su un solo strato, delle palline di

3porcellana di 0.04 cm e trattenute nel canale da una traversa

pure di legno. Su questo strato, rappresentante un selciato, Schok¬

litsch posò una pallina dello stesso materiale e di grandezza u-

guale; indi misurò la forza critica di trascinamento dell'acqua e

trovò t0= 0.01010 gr/cm . La stessa esperienza su fondo mobileo

diede T0= 0.01985 gr/cm . Da ciò Schoklitsch conclude che la for¬

za critica di trascinamento di una particella solida su un fondo

selciato è uguale alla metà della forza necessaria per un fondo

mobile composto dello stesso materiale.

Parlando poi del trasporto solido propriamente detto, Schok¬

litsch afferma che le funzioni di trasporto per fondo mobile o

fisso (supposto un selciato) sono di ugual struttura; le due fun¬

zioni differiscono però nella grandezza della forza critica di

trascinamento, e precisamente nel senso che la portata solida au¬

menta col diminuire della forza critica. Ora, a condizioni uguali,

questa è, come detto sopra, più piccola per fondo fisso che non per

fondo mobile. Queste sono le uniche indicazioni, d'altronde molto

sommarie e poco precise recate da Schoklitsch. Nei suoi lavori suc¬

cessivi sul trasporto solido egli si limita al solo fondo alluvio¬

nale.

Altra indagine che riguarda in un certo senso i fondi fissi è

quella di Karakassonis (18). Le sue esperienze vennero effettuate

in una canaletta in gres, liscia, lunga 6 m e di sezione a semi¬

cerchio (diametro = 12.5 cm). Per il trasporto in massa vennero

impiegate due specie di sabbie: la più fina con diametro = 0.3 mm

ed una seconda compresa fra 0.6 - 0.8 mm. Relativamente al proble¬

ma posto questa granulometria è quella che maggiormente s'incontra

in canali di prosciugamento ed in quelli per acque piovane.Le pro¬

ve con questo materiale piuttosto minuto si svolsero solo per pic¬

cole velocità, dato che al di sopra di un certo valore una parte

dello stesso materiale si spostava in forma di sospensione. Di con¬

seguenza i risultati ottenuti al riguardo da Karakassonis non pre¬

sentano interesse per la nostra indagine. Questo ricercatore spe¬

rimentò inoltre le condizioni di velocità minima per mettere una

particella in movimento. Egli trovò la relazione:

umin. = 3'45 ^

con u (velocità agente sul grano) in m/s e d (diametro) in m.

Per ciò che concerne le ricerche sul trasporto solido in con¬

dotte industriali sono da menzionare, fra l'altro, i lavori di

Howard (17), O'Brien e Folson (27) e Durand (° e 10). Le indagini

più recenti sono quelle di Durand. Il suo primo lavoro (9) tratta

unicamente il trasporto idraulico di fuliggine, il secondo (10)

invece, interessa maggiormente il problema che ci occupa; in esso

l'autore descrive le esperienze effettuate con sabbia e ghiaia in

condotte orizzontali ed a sezione circolare. Il materiale speri¬

mentato venne assortito da stacci a maglie quadratiche in cinque

diverse categorie, comprese nei limiti (luce della maglia) 2.3 -

5.25 - 9.9 - 15.54 - 20 - 25 mm. Questo materiale proveniva dal

Rodano ed era perciò della stessa qualità di quello studiato a suo

tempo da Du Boys (7). Durand osservò che la velocità dei grani, in

20

regime di saltazione (movimento a balzi) e sempre superiore a quel¬

la dei grani che si spostano sul fondo. Secondo lui la saltazione

inizia appena la velocità delle corrente diviene leggermente supe¬

riore al valore necessario per far ruzzolare i grani. Durand nella

sua argomentazione presuppone per l'inizio del movimento l'esis¬

tenza di dune nella condotta d'acqua; indi descrive la maniera in

cui queste formazioni si spostano in funzione della velocità del¬

la corrente. Per ciò che concerne il meccanismo dei grani durante

il movimento, Durand si riferisce a quanto era già stato osserva¬

to, molto tempo prima da Du Buat (8) e da Du Boys (7). Parlando

della velocità del materiale, dice poi che le particelle a più

grosso calibro si spostano più velocemente di quelle a piccolo ca-

libro. Dai risultati ottenuti egli inferisce la relazione f =f(vVd,))

in cui

C-t = concentrazione di trasporto,

Cs = concentrazione totale del materiale esistente in

un tratto di condotta ( - trasporto + dune ),

v = velocità media del fluido,

d = calibro del materiale.

Durand rappresenta poi graficamente i valori rilevati, ripor¬

tando, su coordinate cartesiane, il membro di sinistra della fun¬

zione come ordinata e quello di destra come ascissa. La disper¬

sione dei punti rispetto alla curva tracciata nel grafico è però

abbastanza grande (in media ± 10 a 20 %). In merito alla funzio¬

ne di Durand si deve inoltre far osservare che, stante il modo in

cui essa è presentata, manca di omogeneità nelle dimensioni.

Ulteriori ricerche intraprese dallo stesso Durand con Condo-

lios (il) misero alla luce nuovi aspetti del problema del tras¬

porto solido in condotte. Essi, per condotte a pareti liscie, sta¬

bilirono nuove formule, le quali risultano però di una struttura

piuttosto complessa. In quanto segue ometteremo di entrare in mag¬

giori particolari relativi a questo genere di trasporto, dato che

il trasporto in condotte chiuse è di carattere ben diverso di quel¬

lo in canali a pelo libero. La maggior diversità risiede soprat¬

tutto nel fatto che una condotta, col cambiare la portata d'acqua,

il perimetro bagnato ed il raggio idraulico restano costanti, in

un canale a pelo libero, invece, essi variano.

21

4. Azione dinamica fra solido e liquido

4.1. Differenza fondamentale tra fondo fisso e mobile

Il materiale solido trasportato da una corrente d'acqua si

comporta, secondo la struttura del fondo in modo diverso. Questa

differenza di comportamento nel movimento è particolarmente accen¬

tuata tra il fondo mobile e fisso.

Con trasporto solido su un fondo mobile s'intende di regola

il convogliamento di materiale omogeneo, di calibro uguale a quel¬

lo di cui è composto l'alveo. Le leggi relative al trasporto su

fondo mobile, menzionate in parte nel paragrafo 3.1., si riferis¬

cono quasi esclusivamente ad alvei di carattere alluvionale. In

questi casi la rugosità del fondo aumenta col calibro granulome-

trico, mentre invece l'entità solida del trasporto varia in senso

inverso. Questo lo possiamo ad esempio constatare nella formulaQ/)

di Meyer-Peter, citata a pag. 15, che, trasformata, si esprime:

Ss 8 ±®

Dalla (2) risulta che l'ultimo termine del secondo membro au¬

menta o diminuisce coli'aumentare o il diminuire del calibro gra-

nulometrico. Nei capitoli seguenti si vedrà, in corrispondenza an¬

che a quanto venne già osservato a suo tempo da Gilbert (16), che

le leggi del trasporto su fondo mobile non potranno essere appli¬

cate al caso del trasporto su fondo fisso. I canali a rivestimen¬

to artificiale sono costituiti, di regola, da ben altro materiale

che non quello trasportato; inoltre il loro fondo non è sottomes¬

so a movimento di sorta. Nel mentre, ad esempio, un corso d'acqua

naturale con alveo a piccola rugosità, trasporta, per sua natura,

soltanto sabbie o ghiaie minute, un canale artificiale, pur aven¬

te le stesse caratteristiche idrauliche, può essere previsto per

convogliare del materiale a più grossa granulometria. Anzi è ques¬

to generalmente quanto s'intende raggiungere nella realizzazione

di opere del genere. Da ultimo si può ancore menzionare che i cor-

si d'acqua naturali ed i canali a fondo mobile non sopportano se

non difficilmente cambiamenti del regime fluviale; questi fenome¬

ni, infatti, hanno sovente per effetto un'alterazione sensibile

della struttura del loro alveo. I canali artificiali, invece, pos¬

sono essere sistemati in modo tale da poter far fronte a modifi¬

cazioni del genere.

4.2. Forza critica di trascinamento

4.2.1 Generalità

La forza o tensione critica di trascinamento è la forza cor¬

rispondente al trasporto minimo o, più precisamente, all'inizio

del movimento dei grani. Essa dipende da molteplici fattori, tra

cui sono d'importanza essenziale la spinta idrodinamica, il peso,

la forma ed il calibro del grano, la pendenza e la rugosità del

fondo.

Da questa semplice enumerazione di fattori si comprende la

quasi impossibilità di un'analisi esatta del fenomeno sul piano

puramente teorico. Nell'esposizione seguente si è peraltro cer¬

cato di indagare il problema basando su considerazioni fisico¬

matematiche. Questo studio sarà poi completato con l'aiuto dei

dati sperimentali.

Come prima semplificazione, si suppone la cor¬

rente d'acqua bidimensionale, sta¬

zionaria e di moto uniforme. Inoltre ver¬

ranno trattati solo quei casi, che maggiormente interessano in

fondi fissi e lisci. E possibile che una parte di queste conside¬

razioni possa pure estendersi a fondi più rugosi, però a tale pro¬

posito, devono essere fatte le dovute riserve.

Volendo esprimere l'azione della corrente (spinta idrodina¬

mica) su un grano posato sul fondo di un canale, si deve in pri¬

mo luogo determinare la velocità dell'acqua alla quale il corpo

è sottomesso.

Nei canali artificialmente costruiti e di forma geometrica

più o meno regolare, si ha una distribuzione della velocità ap¬

prossimativamente del tipo parabolico ad asse verticale, con va¬

lore massimo un poco al disotto della superficie libera e valore

minimo al fondo. La velocità in un punto del¬

la verticale per un largo profilo rettangolare è stata

indicata da Strickler (35) con:

v =- .

k. -\Jh-z '.^JR . Je (3)

dove (h-z) è uguale alla distanza dal fondo. Per le presenti con¬

siderazioni teoriche, basta ampiamente fondare su valori approssi¬

mativi, come ad esempio introducendo per la velocità lungo una

verticale la semplice espressione parabolica:

e .hn ®

in cui e e n sono coefficienti dipendenti dalla pendenza del

canale e dalla rugosità della sezione bagnata, in particolare di

quella del fondo.

La velocità media agente sul gra¬

no o velocità investitrice (fig.3) può allora essere calcolata

come segue:

vdm =

•oAn dh

dh

V

Fig. 3

24

Volendo esprimere la (5) in funzione della velocità media nel¬

la sezione (vQm = velocità per deflusso con materiale solido) si

ha:

Vdm

C • / h" • dh C

d d n + 1

n+1 C a

d n+1

c-d

n+1

c- f Qhn. dh e 1

1 rum

hQ n +1

n*11q

c hr

hQ n+1

l'i

n + 1(D

©:©

e quindi:

Vdm

Qm

C-d'

n + 1

C • hc

n + 1

Dappresso chiameremo vdm0la velocità agente sul grano al momento

dell'inizio del movimento, vdm, invece, la velocità media in tut¬

ti gli altri casi.

Le forze che agiscono sul grano all'inizio del movimento sono:

- la spinta idrodinamica (S),

- la componente del peso (grano immerso nel fluido) parallela al

fondo (G". sen A),

- la resistenza d'attrito al fondo (W) ,tendente ad opporsi al

movimento.

La spinta idrodina mi e a (S) agente

sul grano si esprime, secondo Nevton:

S = e, y•

2vdmo

2g ®

25

Il coefficiente di resistenza cg è un coefficiente di forma. Per

piccoli numeri di Reynolds cs è soprattutto dipendente della vis¬

cosità del fluido; per numeri di Reynolds molto alti (moto forte¬

mente turbolento o idraulico) e per grani geometricamente simili

e parimente orientati rispetto alla corrente, la viscosità, non ha

più influenza sensibile sul coefficiente di resistenza; cs dipen¬

derà allora unicamente dalla forma del corpo, prescindendo dalla

sua scabrezza. In questo caso la spinta idrodinamica è proporzio¬

nale a v<j^0 (velocità media agente sul grano) e ad A (superficie

maestra o proiezione del corpo su un piano normale alla corrente).

Per un grano di forma sferica si può ammettere con sufficiente

approssimazione cs = 0,4 (10).

Per l'ulteriore calcolo della forza di trascinamento è neces¬

sario conoscere in che modo il grano si mette in moto. I suoi mo¬

vimenti possono essere di natura molto complessa, tuttavia è pos¬

sibile distinguere due semplici tipi di movimento: lo stris¬

ciamento ed il rotolamento.

4.2.2 Inizio dello strisciamento

Questa specie di movimento è caratteristica per i grani di

forma piuttosto piatta.

h

Fig. it-

Lo strisciamento avrà inizio allorquando:

S + G".

sen-C = W

26

dove

S (spinta idrodinamica sul grano) è stata espressa nella(9);

G". seni( rappresenta la componente, parallela al fondo, del

peso del grano immerso nel fluido;

W = cw . N = cw . G". cos «C (resistenza d'at¬

trito al fondo) (jf)

Sostituendo la (9) e la (11) nella (10) si ottiene:

cs. y. A.

2

vdmo+ G". sen <£> = cv .

G". cosav

Dalla (12) ai può calcolare la velocità limite di

trasporto risolvendo l'equazione rispetto a v,jmo:

dmo

G" (ov.cosoC - senoC )

. A2g

Con sufficiente approssimazione si può supporre che la super¬

ficie A ed il volume V del grano sono proporzionali alla potenza

quadratica ed a quella cubica di una grandezza lineare media (per

es. il diametro d) del materiale trasportato.

Si ha allora: = e- d

E è un coefficiente funzione della forma e dell'orientazione del¬

la particella solida.

E poiché

la Q.3) diventa

G- = 0 y'y-r = Y ( Ts- 7 )

vdmo - 1V (y.- y) (cw . cosà- sen«0

c7". y. A

. 2g

e, semplificando:

dmo• 2g

Una seconda semplificazione può essere fatta trascurando l'influs¬

so della pendenza del canale; in questo caso si avrà cos^= 1 e

sen <£ = 0.

La velocità limite di trasporto prenderà allora la forma:

dmo N£-a(ys-Y ) • c

-s- y

V

2g ®

e ponendo N2gcv

si ottiene vdmo = cl •\£. d

y«- y

Dalla Qj) si deduce dunque che la velocità minima per lo stris¬

ciamento di un grano aumenta con la radice quadrata del calibro;

essa è però inversamente proporzionale al peso specifico del flui¬

do. Perciò, se si considera il trasporto di un dato materiale,

fatto in acque torbide anziché limpide, la velocità sufficiente

al trasporto stesso sarà minore, essendo il peso specifico y del¬

le acque torbide maggiore di quello delle acque limpide.

Dalla stessa formula si deduce inoltre, che le velocità rela¬

tive all'equilibrio limite di grani simili, variano come le radi¬

ci quadrate del rapporto di similitudine Àr.

Per corpi di forma sferica, Kutter (29) trovò un coefficiente

di resistenza cs = 0,4 e un coefficiente d'attrito cv = 0,75. Te-

nendo conto di questi valori si ottiene e-. = 6,1. Per la sfera £ •

y

3Ammettendo inoltre per y, = 2700 kg/m'

e y 1-000 kg/m

la qJ) si riduce alla forma approssimativa: "v^mo = 6,5 "\fd

vdmo si esprime in m/s e d in m.

Talin (38) riproduce una curva sperimentale del russo Demen-

tiev, dalla quale risulta che per grandi numeri di Reynolds il

coefficiente di resistenza per le particelle di forma sferica nel¬

le vicinanze del fondo può assumere il valore di cs = 0,6. Tenen¬

do conto di questa cifra si ottiene, sostituendo, v<jrao = 5,3 "\[d.Questi risultati corrispondono a quanto indica Scimemi (32),

il quale pone: V£mo - 6 - lO^dL.Karakassonis (18) basandosi sulle proprie esperienze trova invece

vdmo = 3,45 )[d\

Pure le esperienze di Bogardi (2a) danno un risultato analogo;

egli infatti stabilisce la formula:

^dmo = 21>5 • d0'38

con V£mo in cm/s e d in mm.

Introducendo v. in m/s e d in m,

si ottiene:

^dmo = 3,0 . d0'38

Dalle esperienze risulta che i corpi di forma ellissoidale si

spostano generalmente in modo da rivolgere alla corrente la fac¬

cia corrispondente all'asse più grande (a) ed a quello più picco¬

lo (e). L'asse medio (b), invece, si mette di regola parallela¬

mente alla corrente.

In tal caso abbiamo A (sezione maestra) = TT • a • C

e V (Volume del grano) =

yTT • a • b C

Cosi -r = -T bA 3

Ammettendo, con sufficiente approssimazione che b = —

,otteniamo

come per la sfera E = — .

3

Considerando il peso (G) di una particella solida, si può an¬

che scrivere, prescindendo da variazioni nei pesi specifici:

vdmo = c2 * G

dove C2 è una costante.

Il peso dei materiali suscettivi d'essere rimossi aumenterebbe

dunque, a parità di condizioni, con la sesta potenza della velo¬

cità (14).

29

4.2.3 Inizio del rotolamento

I grani di forma più o meno sferica hanno generalmente la ten¬

denza a rotolare già dall'inizio del trasporto. L'irregolarità

del contorno della particella solida o le asperità sul fondo del

canale creano dei punti d'appoggio che sotto l'azione della spin¬

ta idrodinamica danno luogo al rotolamento.

Fig. 5

La fig.5 illustra il caso dell'eccentricità rispetto ad un

punto d'appoggio. Il rotolamento s'inizierà allorquando:

dove dalla (9

a ^ N

cs• V A

vdlo~2Ì~ 5

dalla <Q e dalla fig.4 N = G" . cos»C = G •-& L

.cos<& =

V (ys- y) . cosa^S

Sostituendo S e N nella si ottiene:

Yvdmo

a = V ( y. - y) cos <£ . e

Nello stesso ordine di idee, come già menzionato in 4.2.2, si puòY

porre — = £ • d; risolvendo l'equazione rispetto v^mosi ha:

dmo£ • d (ft - y) • e • cosa

r Y a

2g

30

Posando anche qui cos </v = 1, l'espressione della velocità

limite diventa:

dmo -N£ -d (Ys - 7) » e

Y2g

Per una particella solida determinata, si può ammettere che le

grandezze e, cs ed a sono valori costanti. Nel paragrafo prece¬

dente abbiamo inoltre visto che per la granulometria di forma

2sferica o ellissoidale vale £ = —

3

Cosi considerando possiamo scrivere:

dmo= e N

2d

3

Ys-Y ©

dove e-, = Yg \~

Se per il calcolo di co si suppone a = — • d e

cs = 0.6 (vedi a pag.29), si ottiente per un'eccentricità di

1 5e = —^—

• d (valore medio risultante dalle misure effettuate con

dei grani di forma sferica ed allungata)

\F\

X'5• d

'

10

| • d . 0,6

0,58 ^2g

Per il caso di materiale che rotola su un fondo selciato, compos¬

to da materiale di ugual calibro (grande eccentricità), Blanchet

(2) presenta il risultato ottenuto dal russo Isbach, il quale

trovò c-j = 0,8 \j 2g. Lo stesso autore cita la formula corrispon¬

dente ritrovata dall'americano A.C. Chick, la quale dice che ci =

0,42 ^[2g\Le formule ricavate danno un'idea delle condizioni d'equili¬

brio all'inizio del movimento dei grani. Come si è visto, i coef¬

ficienti di resistenza (cg) e di attrito (cv) possono però assu¬

mere valori diversi, secondo la forma geometrica dei grani e il

31

genere di corrente (o grandezza dei numeri di Reynolds) a cui que¬

sti sono sottoposti. La determinazione delle eccentricità dei gra¬

ni è d'altra parte un'operazione delicata e soggetta ad errori.

Con le presenti considerazioni si è cercato di mettere in risalto

i principali elementi che intervengono al momento dell'inizio del

movimento delle particelle solide. Più tardi, alla luce dei risul¬

tati ottenuti nel corso delle esperienze, sarà data nuovamente

l'occasione di ritornare su questo argomento.

4.3. Movimento dei grani e forze attive durante il trasportosolido

4.3.1 II movimento dei grani

Il materiale solido trasportato dalla corrente può partecipa¬

re al movimento in due maniere nettamente distinte: per tra¬

scinamento sul fondo o per sospensio¬

ne in seno alla corrente idrica. Quest'ultima forma di traspor¬

to, conosciuta anche sotto il nome di torbida, è caratteristica

per le particelle di materiali minuti, come ad esempio sabbie e

limo. Le torbide hanno una velocità uguale o quasi uguale a quel¬

la della corrente d'acqua; per questo esse danno anche l'impres¬

sione di essere incorporate nella stessa corrente liquida, di mo¬

do che sotto certi aspetti si può asserire di essere in presenza

di un nuovo fluido avente un peso specifico superiore a quello

delle acque limpide. E noto che la turbolenza è la causa predo¬

minante nella distribuzione delle torbide all'interno delle se¬

zioni liquide. Le teorie sul tema delle torbide sono basate in

gran parte sul meccanismo della turbolenza, però i risultati che

si ottengono applicando le diverse formule presentano,a tutt'oggi

ancora, fortissime dispersioni (15). L'esperienza dimostra tutta¬

via che le torbide sono di poca incidenza sul funzionamento di

canali atti a convogliare materiale solido di maggior calibro.

Ecco il motivo per cui la presente indagine si riporta unicamen¬

te ai fenomeni di trasporto per trascinamento sul fondo. Questo

genere di trasporto comprende quei materiali, i quali, sotto l'a¬

zione della corrente, strisciano, rotolano o balzano in salti più

o meno brevi. In generale è molto difficile definire nettamente

i limiti che separano queste tre specie di movimenti. I grani di

forma sferica rotolano se trattasi di piccole velocità, superato

un certo limite, essi intercalano il rotolamento con dei salti.

Per più grandi velocità una parte dei grani assume persino un mo¬

vimento a salti quasi continui. I grani piatti, per piccole e me¬

die velocità, strisciano, mentre per velocità più elevate, il lo¬

ro movimento ha tendenza ad avvicinarsi a quello dei grani di for¬

ma sferica.

La fig.6 illustra alcune fasi caratteristiche rilevate con un

apparecchio cinematografico nel corso di esperienze che effettuam¬

mo in un canale rettangolare avente le pareti in vetro ed il fon¬

do ricoperto di uno strato liscio di resina poliestere. Le espe¬

rienze si riferiscono ad una portata di 40 l/s ed a una pendenza

di 3,0 e 10.0 foo. Nel caso della pendenza del 3.0 %o l'altezza

idrica era 12 cm, per la pendenza del 10.0 foo l'altezza comporta¬

va 9.8 cm.

Le immagini indicano che per ambedue le pendenze sperimentate

si possono riscontrare, secondo la forma dei grani, i tre movimen¬

ti menzionati sopra, cioè lo strisciamento, il rotolamento e la

saltazione. La velocità dei grani è stata calcolata tenendo conto

della frequenza cinematografica, corrispondente a 17 prese al se¬

condo. La scala delle lunghezze indicata nella figura dà la pos¬

sibilità di misurare la distanza percorsa da una particella soli¬

da nell'intervallo di tempo di l/l7 di secondo.

Le immagini della fig.6 mettono molto bene in risalto l'in¬

flusso della pendenza del fondo sulla velocità dei grani (vgr.) >

Per ambedue le pendenze considerate si può inoltre osservare che

la velocità di rotolamento è superiore a quella di strisciamento,

mentre invece le velocità di rotolamento e di saltazione sono sen¬

sibilmente uguali. Al riguardo si deve però far notare che dall'ana¬

lisi dell'assieme dei rilievi cinematografici risulta che la velo¬

cità di saltazione è in media leggermente superiore a quella di

rotolamento.

La fig.6 dà inoltre una buona idea del comportamento dei gra¬

ni in regime di saltazione; in particolare, si rileva che per la

pendenza di 10.0 foo le particelle effettuano dei balzi sensibil¬

mente più grandi di quelli corrispondenti alla pendenza di 3.0 foo.

Questo fatto è - come si vedrà nel paragrafo seguente - in rela-

33

Movimento dei grani in canale con pareti in vetro

Granulometria : dm = 11.1 mm

Portata d'acqua: 0. = 40 l/s

StriSCiamenlO (grano piano)

Verro Vetro-

•—B« 0.30 m —•

Resina poliestere

_Gì__£2lEi__J£2___ia_ -£2_ js> «a.

Scala: -i—i—i i i—i—i—i

Frequenza : 17 prese al secondo

cinematografica

SCuJs = 10 %o

VQm = 1.36 m/s

vgp = 0.58 m/s

0 $= J */••

Vsm - 1.11 m/s

Vgp = o.Jtm/s

KOlOlamenrO (grano a forma zllungata o cilindrica)

OC t> s> e K> ^> <£? IL _cl -*1*-vGm = 1.36 m/s

Vgp =0.64 m/s

_SL IL 4%tf IL c^> J&_ -^ ^ *vQm = tu m/s

'gp 0.5B m/s.

Combinazione rotolamento-saltazione

^ ^ ^ ~g^ J^_ _§&/_«3S =10 %•

vQm = 1.36 m/s

iVgr = o.io m/s

c^ ^^ ù IL 0 17 ^ <q—^>^ C^-—G^-

^M> JS -I "ZooSt_ vBm -1.11 m/s

Vgp =o.i6m/s

SaltaZIOne (grano a forma sferica)

£L-§——a

j£X t> Os =10 7o,

VQm = 1.J6m/s

'gp: 0.69 m/s

i> Q_ Q-Q—<2 jp-^ -ST

,Q-O

Fig. 6

Os =3 /oo

vQm -1.11 m/s

Vgp =0.51 m/s

zione con la velocità con cui la corrente idrica investe la parti¬

cella solida; infatti aumentando la pendenza del canale, accresce

la velocità investitrice e di conseguenza la spinta idrodinamica.

Le nostre misure sulla velocità del materiale concordano con

le osservazioni di Gilbert (16), ad eccezione della saltazione.

Questo autore pretende che la velocità di saltazione e superiore

a quella di rotolamento solo allorquando la saltazione prende

un'aspetto di sospensione, cioè quando ci si trova in presenza di

materiale minuto. Durand (10), invece, è piuttosto della nostra

opinione.

Riassumendo si può asserire che la velocità di strisciamento

è sempre inferiore a quella di rotolamento e di saltazione. Queste

differiscono fra di loro soltanto di poco (generalmente v.yr> roto¬

lamento = v„ saltazione), ma ambedue sono più piccole della ve-

locità, del materiale in sospensione.

4.3.2 Forze attive durante il trasporto

Con lo studio in questione si analizzeranno unicamente i tre

casi più semplici dell'insieme svariato di movimenti che le par¬

ticelle solide possono assumere nella loro corsa. À questo inten¬

to si ipoti:za un canale orizzontale, stante che la decomposizio¬

ne delle forze nel senso della pendenza non apporterebbe comunque

alcun cambiamento essenziale ai risultati. Inoltre si attribuisce

al fluido un moto permanente ed uniforme.

a) Strisciamento

Come abbiamo già accennato, questa specie di movimento è ca¬

ratteristica delle particelle di forma piatta.

Il grano trovasi già in movimento e si sposterà con una velocità,

(vgr) costante.

La condizione d'equilibrio delle forze agenti durante il movimen¬

to dovrà essere:

S = V

dove nuovamente S rappresenta la spinta

idrodinamica e V la resistenza

d'attrito al fondo.

35

Pelo d'acqua

J(velocifà del grano)

(velocità del fluido)

Fìg. 7

Riferendosi a quanto fu già esposto nel paragrafo 4.2. a proposi¬

to della forza critica di trascinamento e tenendo conto che la

spinta idrodinamica nel caso presente è funzione della velocità

relativa (v^- vgr #

) ,cioè della velocità che effettivamente agi¬

sce sulla particella solida in movimento (fig.7), possiamo scrive¬

re:

c«. v .A

.(vdm - vgr)

=c^

# Q,.

2g:s- V

"W

. y.(vdm - ^r)

= cv .f. d. (7j-7)

2g

vdm "

vgrg-d.(Ys -V).c*

. 2gcs • 7

per la velocità del grano si ottiene:

vgr = vdm6-d.(Ys -V) »cv

# 2g ®

Se Vgr = ° (cioè stato corrispondente all'inizio del movimento)gr

ricadiamo sulla

Perciò possiamo scrivere la Qjs) anche con:

vgr = vdm" vdmo (1

E possibile verificare la U9) coi valori indicati nella fig. 6,

caso strisciamento, dove:

- per Js = 3,0 ioo si legge :

vGm = 1i11 m/s

r =0,36 m/s

Q.

XG0,40

B . v,Gm 0,30 • 1,11= 0,12 m

- per Js = 10,0 foo si legge

vGm = 1»36 m/s

vgr = °»58 m/s

0,040>G

0,30 • 1,36- 0,098 m

Q = 0,040 m/s

d = 0,0111 m

ys = 2700 kg/m3v = 1000 kg/m3

La (8) dice che v^m = VQm .(t— ) . Dalle misure effettuate nel

canale sperimentale, l'esponente n prende un valore -x ^ n ^7"

*

Secondo Strickler (35) n =

j-• Questo autore afferma infatti che

la relazione fra la velocità in un

punto (v) e la velocità media nella

sezione (vQm Per il caso di trasporto solido) in un canale

rettangolare a superficie libera è:

V =

6

v =

vGm

'Gm

t'hG"Z

G

vVg

dove

ììq - distanza dal pelo d'acqua al fondo;

z =..ti ii ii ii pUnto;

*Gz =

" fondo al punto considerato.

À questo stesso risultato si arriva pure partendo dalla (4) ,

che esprime v = e . hn.

Secondo la (4) , per un punto situato alla distanza (hg. - z)

dal fondo si ha:

v = e • (h~ - z)n @

La velocità media nella sezione è:

TI

Gm n + 1 ©

Dividendo (21) : (jì si ottiene

e . (hG - z)n

Gmin

c ' hG

n + 1

= (n + 1)~T^G~

n

Risolvendo rispetto a v:

/ n hG - z n

v = (n + 1) • v~ • -\I G I

e sostituendo n = — troviamo:6

V =

6* VGm

hG - z

hG

cioè uguale alla (20) .

Per la verifica della (19) introduciamo nella {8JT1- —

,così:

\1/6- per Js = 3,0 foo si ottiene: vdm = 1,11 . r:0^1 = 0,747 m/s

\ 0,12 /

- per Js -10,0 /oo si ottiene: v,

%

dm

,(0,0111 T6= o,950 m/s1,:>D \ 0,098 j

'

La velocità limite v, per le due pendenze è:

- Secondo Talin (vedi pag.29): v-, = 5,3-\jd = 0,558 m/s

" flarakassonis ( " » 29): vdmo = 3,45^ = 0,364 "

Introducendo questi valori nella u9) si avrà:

38

per Js = 3,0 a/oo

vgrl= °>747 - 0,558 (Talin) = 0,189 m/s

v„r2 = 0,747 - 0,364 (Karakassonis) = 0,383 "

Da fig.6 (valo-> re misurato):

Vgr =0,36 m/s

per Js = 10,0 joo

vgrl = 0,950 - 0,558 (Yalin) = 0,392 m/s

vgr2 = 0,950 - 0,364 (Karakassonis) = 0,586 "

Da fig.6 (valo¬re misurato):

vgr =0,58 m/s

Come si può costatare, i valori calcolati di v ~ corrispondo¬

no molto bene alle misure effettuate e riportate sulla fig. 6.

Questa concordanza conferma l'esattezza strutturale della §Js) .

b) Rotolamento

In analogia con quanto è già stato trattato nel paragrafo

4.2.3. possiamo scrivere l'equazione d'equilibrio per un grano sot¬

toposto ad un movimento rotatorio e costante come segue (fig. 8):

,Pelo d'acqua

s ,M

1

el—

rQ"

Vgp ——\ (velocità del grano)

« Vdm »

(velocità del fluido)

Fig. 8

S . a = G". e

39

40

j£yJL'd'*Y'0,58^27-vdm=ror

in:trasformataesserepuò23)lachecosì

2g'0,58"\j=e-,31):(pag.sopraquitrovato,aveva

0,6-csed0,15=ed,—=aSupponendo

e,•a^'\dove

VYs-.d.lAe--

dmo

sesserepuòv^mochevistoèsi4,2.3paragrafoNel

vdmovdm-vgr

:Quindi

31).paj.atrasportodilimitevelocitàdi

ugualeèdestradimembrodelespressionesecondaLa

faa.y.cs\j

vdm

vgrsecondol'equazioneRisolvendo

y

•:s a.v.cc

2•

e.-y)d.(yst-

\_vgrdm

Aha:sid.£=-Ponendo

2gG„=aygr>2.-<Vdm

.A

7

ha:siSostituendo

(Vs-V)V.=G"

2g

l££>'<I*2.A.-y.cs=S

dove

Anche qui si può verificare l'ordine di grandezza della Qy con

dei risultati ottenuti da misure, come ad esempio coi valori indi¬

cati nella fig. 6, caso rotolamento, dove:

- per Js = 3,0 f»o si legge: v&m = 1,11 m/s

'gr 0,58 »

0,12 m

- per Js = 10,0 %Q si legge: v„ = 1,36 m/s

vgr = 0,64 »

hQ = 0,098 m

Q = 0,040 m/s

d = J,0111 m

^= 2700 kg/

•m = 1000

m

A pagina 38 si è visto che per;

J« 3,0 a/oo si ottiene vdm = 0,747 m/s

- Js = 10,0 %o " "

Dalla (Q) e @ si ha:

rdm 0,950"

vdmo . 0,58"\j2g .^| -d- JljJL = °>305 m/s

Introducendo V(jm e v(amonella 04) :

- per Js =• 3,0 %o otteniamo: v„r = 0,747 - 0,305 =

0,4*2 m/s

": vCT_ = 0,950 - 0,305 =- per J- = 10,0 foo

0,645 m/s

Da fig. 6

(valorimisurati):

= 0.58 m/s

=0.64 "

I risultati ottenuti indicano che l'eccentricità del grano ci¬

nematografato nel canale con pendenza Js = 3,0 'foo è inferiore a

quella del grano per Js = 10,0 foo. Se si osservano le immagini

della fig. 6, caso rotolamento, sembra infatti che la particella

solida corrispondente alla pendenza Js = 3,0 tfoo abbia una forma

più rotonda di quella del grano per Js = 10,0 %o.

e) Saltazione

Questo genere di movimento è illustrato nelle ultime immagini

della fig. 6.

La saltazione risulta da un insieme complesso di fattori agen-

ti sulle particelle solide. E un fenomeno che in parte dipende dai

41

moti ascendenti, tipici in correnti a carattere turbolento. Essa

è pure una conseguenza del rapido aumento della velocità della

corrente a partire dal fondo che, come si sa, provoca una spinta

(differenza di pressione) dal basso verso l'alto, chiamata-p o r-

t a n z a (P). A questo si aggiunge il moto rotatorio dei grani

(di regola quelli di forma sferica) che tende ad accelerare i fi¬

letti della corrente idrica nella parte superiore del grano ed a

frenare quelli a contatto con la faccia inferiore. Questo fenome¬

no è conosciuto sotto il nome di effetto Magnus e

contribuisce ad accrescere il valore della portanza.

Appena il grano ha iniziato il balzo, esso entra in una zona

di maggiore velocità; per questo e per il fatto anche che col bal¬

zo scompare la resistenza d'attrito del fondo, il grano, nella fa¬

se ascendente, è sottoposto ad un movimento accelerato.

dvD'altra parte, però, il gradiente -57- della velocità del flui¬

do decresce e cosi anche la portanza. Nel contempo la portanza su¬

bisce pure un'ulteriore diminuzione per il fatto che il movimento

rotatorio del grano decresce in seguito all'azione di attrito col

fluido. La particella solida termina la sua ascesa appena il suo

peso eccede la portanza; essa ricade poi per gravità nuovamente

sul fondo e riprende in seguito la sua corsa normale, caratteriz¬

zata da movimenti di rotolamento combinati con dei salti. Il grano,

all'arrivo sul fondo, vien poi frenato secondo il suo angolo di

caduta. Questa è anche la ragione per cui la velocità media dei

grani che si spostano saltellando non è necessariamente sempre

superiore a quella dei grani che si spostano rotolando.

Per maggiormente illustrare quanto esposto, si è cercato, nel¬

la fig. 9, di rappresentare in modo schematico la maniera con cui

si svolge il complesso fenomeno della saltazione. Nella rappresen¬

tazione, il movimento progressivo dei grani è stato scomposto in

un movimento d'oscillazione verticale ed in un movimento di sposta¬

mento orizzontale nel senso della corrente del fluido. L'andamen¬

to curvilineo della traiettoria è dovuto all'influsso della forza

di gravità sul grano.

42

Vgrl» » Vgr5

Fondo

Po

Ascesa

sizione del gra

Culmine

no

Discesa Fondo

Forze

e"

Pi

W

( peso)

(portanza) » G"

(spinta idro¬

dinamica )

(Resistenza)

G"

P2 > 6"

S2 > S-,

Q"

P3 = G"

53 > 52

6"

Pv < G"

S„ < S3

Q"

p5 « e"

s5 < s^

Movimento

di

rotazioneRi R2 < R., R3< R2 R^ < R3 R5 <R,

Velocità

del granoVgr 1 Vgr 2 y Vgr 1 Vgr 3 > Vgr 2 Vgri^ < Vgr 3 Vgr 5 •£ Vgri,.

Fig. 9

43

5. Esperienze

5.1» Programma

Il programma venne stabilito secondo il metodo classico per

ricerche sperimentali, cioè variando una dopo l'altra le grandez¬

ze che maggiormente influiscono sul fenomeno del trasporto solido.

In tal modo si potè raccogliere una documentazione abbondante e

proficua per uno studio approfondito del problema. Ricorrendo al¬

la teoria delle dimensioni si avrebbe potuto ridurre il numero

delle esperienze, il fatto però che ci si trovava in presenza di

un problema dell'idraulica fluviale, complesso ed ancora poco in¬

dagato, ci ha fatto reputare necessario procedere per la via più

sicura, ancorché richiedente un numero più elevato di prove.

Canale in calcestruzzo a sezione rettangolare

Larghezza B = 0. 60 m

Pendenza

del fondo

Granulo¬

metriaPortata d'acqua

Numero delle

prove

* dm Q n In

°loo mm 1/i

1.04 1.1 16/30/50/100/140/182/219/280 8

2.6 30/50/100/140/183/225/285 10

5.2 30/50/100/140/180/215/281 11

8.9 50/70/100/140/181/213/281 7 36

5.00 1.1 20/50/100/140/190/240 8

2.6 20/50/100/140/190/240 6

5.2 20/50/100/140/190/240 6

8.5 20/50/100/140/190/240 6

8.9 20/50/100/140/190/240 6

11.1 30/50/100/140/190/240 6 38

7.5 1.1 10/20/50/75/100/140 6

2.6 10/20/50/100/140/180/220 7

5.2 10/20/50/100/140/180/220 8

8.5 20/50/100/140/180/220 6

11.1 20/50/100/140/180/220 6 33

10.0 1.1 10/20/50/75/100/140 6

2.6 10/20/50/100/140/180 6

5.2 10/20/50/100/140/180/220 7

8.5 20/50/120/180/220 5

8.9 20/50/100/140 4

11.1 20/30/50/100/160 5 33

Totale delle prove = 140

44

Tab. 1

Le esperienze principali vennero effettuate in un canale in

calcestruzzo a sezione rettangolare, largo 0.60 m e lungo 44 m.

In esso si fecero variare successivamente la pendenza del fondo,

la portata d'acqua e la granulometria. Il materiale da convoglia¬

re era introdotto a monte del canale e precisamente dopo aver sta¬

bilito nello stesso una corrente a moto uniforme. Dalla tab. 1 si

può rilevare in che modo vennero disposte le diverse esperienze.

5.2. Granulometria

Il materiale solido adoperato proviene da depositi alluviona¬

li della regione della Limmat; il suo peso specifico varia da 2,70

a 2,72 tonn./m . Prima di essere, impiegato, il materiale venne la¬

vato accuratamente e vagliato mediante stacci a maglie quadratiche

di grandezza diversa. Per le prove si fece uso di granulometria di

calibro unitario. L'espressione granulometria unitaria non dev'es¬

sere interpretata nel senso rigoroso della parola, ma significa un

miscuglio compreso tra due diametri relativamente vicini. I risul¬

tati delle analisi granulometriche sono rappresentati nella fig.

10. Sull'asse delle ascisse è stato riportato il valore del dia¬

metro della particella solida e su quello delle ordinate la per¬

centuale in peso del materiale che passa attraverso uno staccio

con maglie di uguale grandezza del diametro indicato. Dalle curve

percentuali si possono rilevare i valori dei diametri medi, cal¬

colati secondo la formula abituale

p = 100

y~ d. A p

am -

100

Nella scelta della granulometria abbiamo cercato di adopera¬

re del materiale con calibro appropriato al trasporto di fondo ed

in concordanza con le dimensioni del canale sperimentale. Come è

stato indicato nella tab. 1, vennero impiegate, in totale, sei

specie di granulometrie. Le ricerche dimostrarono che la granulo¬

metria dm = 1,1 mm trovasi già al limite inferiore del trasporto

di fondo; anzi si dovette costatare che una parte di questo mate¬

riale, cioè il più minuto, veniva trasportato in forma di sospen-

45

Curve granulomelriche

Stacci quadratici D

100

Analisi N»I (i2.ft.6o)

u

80

60

40

20

—1—

i.

i /

s

/jdm =2.58mm

2j6mm

din mm

100

80

60

40

20

0

Analisi N«H (12A.6O)

i 1

i /

dm=5.15 miT

5,2 mm

!/

;d in mm

100

<. 80

II

* 60

^ 40

1$ 20

I

Analisi N!m (zs.5.6o)

dm=8w~ 8,9

2mm

mm

1 din mm

10 11 12

100

80

60

40

20

0

Analisi N2K(ift.7.60)

\(1

/|dm-1.o! ~1,i1

s mm

mm

J1

d in mm

100

Analisi N«Y (17.1.6I)

•s 80

s.»

Ì 60

ÌA

4U

%

§

s 20s>>,

\

/ idm." 8,ft7i m

8,5 mmn

d in mm

100

80

60

40

20

Analisi N?YI (20.2.61)1—

!*n-n1 ~ii.

umm

1 mm

J— din mm

10 11 10 11 12 13 14

Fig.10

sione appena la velocità della corrente d'acqua superava un certo

valore. Questo fatto verrà più tardi messo in evidenza nelle fig.

16, 17 e 18. Le nostre osservazioni sono anche in concordanza con

quanto è d'uso nell'idraulica fluviale, dove solitamente si desi¬

gna, quale zona di separazione tra materiale di trascinamento e ma¬

teriale in sospensione, quella compresa tra i diametri 0,5e 1,0 mm

(l). Come venne già accennato nel paragrafo 4.3.1, la sospensione

e in relazione col fenomeno della turbolenza.

Per ciò che concerne la grossa granulometria abbiamo potuto

renderci conto nel corso delle esperienze, che il materiale con

calibro superiore a dm = 11.1 mm aveva per effetto, a piccole al¬

tezze idriche, di deformare in modo troppo sensibile il profilo

della velocità, così da comportarsi quasi come una strozzatura

della vena liquida e da falsificare nello stesso tempo le condi¬

zioni di moto uniforme. Per le portate d'acqua più grandi, l'im¬

missione di questo materiale richiedeva un'ingrandimento non tra¬

scurabile delle installazioni. Aumentando il calibro si moltipli¬

cavano inoltre le difficoltà per l'ottenimento di una superficie

tranquilla del pelo d'acqua; come è noto, l'andamento del pelo

d'acqua incide in modo sensibile sui risultati, donde l'importan¬

za d'una sua esatta misura.

Nel complesso possiamo dire che i rapporti fra i calibri spe¬

rimentati e le altezze idriche riscontrate, possono essere consi¬

derati sufficientemente rappresentativi per la maggiore parte dei

casi che si presentano in natura.

Per meglio caratterizzare la forma delle varie particelle so¬

lide, il materiale venne classificato secondo un criterio diffuso

in Svizzera (33) e (37). Esso prevede la suddivisione della granu¬

lometria in quattro forme: piatta, sferica, allungata e piatta/al¬

lungata. La particella solida vien considerata come un'ellissoide

con gli assi principali a > b > e. Nella distinzione delle diver-

b ese forme vengono introdotti i rapporti — e t-

,dove:

9» D

Forma piatta corrisponde a

" sferica " "

47

b>

2

a 3

b>

2

a 3

b^

3

b'

3

Forma allungata corrisponde a — <C — e ìT ' "t"

" piatta/allungata " "t^T e r^Ta j b J

Nella tab. 2 sono stati riportati i risultati ottenuti secon¬

do questi criteri per le quattro specie di materiale granulometri-

co impiegato. In essa si può rilevare l'ottima corrispondenza dei

b + evalori medi degli assi —~— con il valore dm ottenuto dall'anali¬

si allo staccio quadratico. Questo fatto indica che il grano,pas¬

sa attraverso le maglie, con l'asse maggiore (a) perpendicolare al

piano dello staccio.

Granulo¬

metrìa

(Fig. 10)dm

Numero

dei

graniesaminati

Forma dei grani Grandezza degli assi ( diametri )

Piatta Sferica Allun¬

gata

Piatta

allun¬

gata

a b e

a+b+c

3

b+c

2

mm

2.6

5.2

8.9

11.1

300

300

300

240

95

74

103

93

65

92

64

47

84

79

84

47

56

55

49

53

mm

5.07

9.36

16.32

20.02

mm

3.28

6.18

10.67

13.53

mm

2.13

4.18

6.83

8.04

mm

3.49

6.57

11.28

13.88

mm

2.70

5.18

8.75

10.78

Tab. 2

Le forme dei grani sono messe in risalto nella fig.11. Parti¬

colarmente notevole è la differenza tra le particelle di forma sfe-

rica ed allungata. E questa la ragione per cui l'espressione di

granulometria unitaria non dev'essere interpretata in senso trop¬

po rigoroso. Persino tra i grani di una forma determinata si pos¬

sono riscontrare delle variazioni. Queste considerazioni non fan¬

no che confermare quanto avevamo già esposto commentando i rilie¬

vi cinematografici della fig. 6.

5.3. Installazioni

5.3.1 Impianto sperimentale

L'allegato 1 dà un'immagine dell'impianto sperimentale. Ques¬

to trovavasi all'aperto ed era a fianco del padiglione principale

del laboratorio d'idraulica. L'impianto può essere suddiviso in

tre parti principali: la vasca d'entrata o di tranquillizzazione,

il canale di misura e la vasca di raccolta.

48

Granulometria unitaria Granulometria unitaria

dm=

-- -<_ 26 mm

100

Forma dei grani

. . ,.

... '.",**".^' sferici

**^>"v-is^,<»'M'vtt*/^''''?it>N allungati

$^*KW*»*f&'l&'* Piatti

'y^»>«.»****«V»*iV-v*/^ piatti/allungQ,i

Miscela delle diverse forme

'*"*,

'( .t^'-i^i'* !..-•><

5.2 mm

Forma dei grani

* t* m$ t»m%9étsiìMit'>*

>W/VJ««"UH4*»M/ allungati

k#« #«.«»««t>rij>>«

*\y<*2lt>/<«!•//{< piatti/allungati

Miscela delle diverse forme

hlhW^'^Ti

Granulometria unitaria

dm. £"aP- 8.9 mm

100

Forma dei grani

J %J/ ^ Ièlle è < alugai

J * è 44 # 4##4) # P|at"

y •,|f | f \% % | H# piatti/allungati

Miscela delle diverse forme

Granulometria unitaria

dm- E"aP- || | mm

100

Forma dei grani

/ f- » « J 4«* f4J4 sferici

\/li\|<#|/ allagati

*) §#è >#«|#V piatti

"

P ^ J ||^ piatti/allungati

Miscela delle diverse forme

Fig.li

49

a) La vasca d'entrata era di forma rettangolare, con una larghez¬

za di 1,12 m ed una lunghezza di 3,50 m. L'altezza importava

m 2,30. L'acqua era introdotta tramite due condotte d'alimen¬

tazione, che a loro volta erano collegate ad un grande serba¬

toio situato più in alto all'interno del laboratorio. In una

condotta la corrente d'acqua passava attraverso un boccaglio,

nell'altra attraverso un tubo venturi. Questi due dispositivi

di misura delle portate d'acqua vennero tarati all'inizio del¬

le prime esperienze. Altre misure di controllo vennero pure ef¬

fettuate nel corso dei lavori.

La portata d'acqua fluente nelle condotte veniva indicata

da due manometri differenziali, piazzati presso la vasca d'en¬

trata. Il deflusso nelle condotte veniva regolato da due val¬

vole, pure situate presso la vasca d'entrata.

La massa d'acqua all'entrata nella vasca si presentava as¬

sai agitata, tanto da necessitarci ad installare dei galleggian¬

ti di legno per attenuarne le oscillazioni.

b) Il canale di misura comportava una lunghezza di 44 m. Esso si

componeva di elementi in calcestruzzo, lunghi 4 m e posati su

dei piedestalli, pure in calcestruzzo. Tra un elemento e l'al¬

tro c'era un piccolo interstizio di dilatazione, riempito con

materia bituminosa. Il canale, di sezione rettangolare, aveva

pareti e fondo lisci. La sua larghezza comportava 60 cm.

In totale abbiamo lavorato con quattro pendenze di fondo, e

precisamente con Js = 1.04/5.0/7.5 e 10.0 %o. La prima penden¬

za (Js = 1.04 foo) era quella usata in una ricerca precedente

sui coefficienti di rugosità in canali a pelo libero (42). Gli

altri fondi (pure in calcestruzzo) vennero sovrapposti, ma se¬

parati fra di loro con dei fogli di materia plastica. In questo

modo esisteva la possibilità di passare da una pendenza all'al¬

tra in un tempo relativamente breve. Ogni fondo nuovo veniva

accuratamente livellato su tutta la lunghezza del canale, in

ragione di tre misure (una al centro e due ai lati) per metro

lineare. Le pendenze sopra indicate sono dei valori calcolati

secondo il metodo dei minimi quadrati. Per impedire la propaga¬

zione di vortici durante le esperienze la corrente attraversa-

50

va, prima di entrare nel canale, delle griglie ordinate in mo¬

do diverso secondo la portata d'acqua e la pendenza del fondo.

e) La vasca di raccolta si trovava al termine del canale e presen¬

tava una lunghezza totale di 5,0 m ed una larghezza di 1,12 m.

La vasca era suddivisa in due scomparti, separati da uno stra¬

mazzo. Il primo scomparto, lungo 4 m, serviva di deposito per

il materiale solido trasportato. L'acqua passava dal primo al

secondo scomparto sfiorando lo stramazzo di separazione. Dalla

vasca derivava una tubazione che a mezzo pompe riconduceva l'ac¬

qua nel serbatoio di partenza.

5.3.2 Dispositivi e procedimenti di misura

a) Portata e velocità della corrente d'acqua

Come è già stato detto, la portata d'acqua veniva indicata

da due manometri differenziali, collegati ad un boccaglio ed a

un tubo Venturi installati nelle condotte d'alimentazione. Al¬

l'inizio delle prime esperienze abbiamo verificato le indica¬

zioni dei due dispositivi a mezzo di misure effettuate con un

tubo Pitot e dei mulinelli idrometrici, della ditta Ott, tipo

Minor (elica con diametro di 3 cm). Misure di controllo venne¬

ro pure eseguite con gli stessi apparecchi nel corso dei lavori.

b) Altezza e pendenza del pelo d'acqua

Stante la ragguardevole lunghezza del canale fu possibile

ottenere un moto uniforme su un buon tratto del medesimo. Il

livello d'acqua si rilevava su due profili dis'tanti 20 m uno

dall'altro. I livelli venivano poi trasmessi secondo il princi¬

pio dei vasi comunicanti in due tubi verticali in vetro (diame¬

tro 4.8 cm), situati l'uno accanto all'altro a circa metà lun¬

ghezza del canale (allegato 1, particolare (b) ). La lettura del

pelo d'acqua si effettuava a mezzo di un idrometro elettrico a

punta; una semplice batteria elettrica per pila tascabile (4.5

Volt) alimentava il circuito batteria- idrometro- canale con

fluido-batteria. Il circuito si chiudeva appena la punta del¬

l'idrometro toccava il pelo d'acqua; allo stesso istante un ge¬

neratore acustico, connesso alla batteria, emetteva un suono.

51

L'idrometro a punta, era elettricamente isolato dalla mas¬

sa del canale e si manovrava a mezzo di una vite micrometria,

capace di indicare su un nonio il — di mm, approssimazione cui

effettivamente non potemmo arrivare date le perturbazioni del¬

la superficie libera della corrente. Riuscimmo peraltro, usan¬

do molta accuratezza e ripetendo più volte le misurazioni, a

raggiungere l'approssimazione del mezzo millimetro, precisione

largamente sufficiente per il nostro genere di ricerche. Per ve¬

rificare l'esattezza delle misure si procedeva ogni tanto al ri¬

lievo del profilo longitudinale del pelo d'acqua.

Temperatura dell'acqua

La temperatura dell'acqua era misurata nella vasca di rac¬

colta. Durante una giornata di lavoro la temperatura del flui¬

do non subiva se non lievi cambiamenti. La temperatura massima

misurata in estate fu di 17° C, e la minima in inverno di 10° C.

Portata solida

Per portata solida s'intende la quantità massima di mate¬

riale solido che la corrente d'acqua è in grado di convogliare

per trascinamento. Il procedimento adottato nelle esperienze per

la misura di questo fattore era il seguente: per una determina¬

ta pendenza di fondo e portata d'acqua, s'immetteva all'inizio

del canale una quantità sempre crescente di materiale fino

ad ottenere la sedimentazione. La por¬

tata solida immediatamente precedente e quella corrispondente

all'inizio della sedimentazione rappresentavano i due valori

che dovevano inquadrare la capacità ottima di trasporto della

corrente in quelle determinate condizioni. Le prove erano sos¬

pese allorché lo scarto delle due portate solide, rispetto al¬

la loro media aritmetica o capacità solida ottima, diveniva in¬

feriore a ± 5 io. La durata d'immissione del materiale durante

una prova o saggio variava secondo le condizioni di deflusso

nel canale (dipendenti dalla portata d'acqua e dalla pendenza

del fondo), ad ogni modo però, la durata doveva essere suffi¬

cientemente grande per garantire per più minuti uno stato sta¬

zionario dì trasporto nel canale.

I particolari (a) , (e) e (3) dell'allegato 1 e le fig. 12 e

13 danno un'idea delle installazioni che hanno servito alla misu¬

ra della portata solida. Il materiale era messo, secondo la capa¬

cità di trasporto della corrente d'acqua, in uno o due sili che si

collocavano in testa al canale e in positura sopraelevata rispet¬

to allo stesso. Dai sili il materiale passava in un recipiente

sottostante a forma d'imbuto, donde, a mezzo di una canaletta,

veniva immesso nel canale. Una delle più grandi difficoltà incon¬

trate nella tecnica delle misure fu la messa in atto di un dispo¬

sitivo che permettesse un'alimentazione continua e regolare del

materiale solido. Dopo parecchi tentativi giungemmo all'adozione

del dispositivo della fig. 13; esso consisteva in un vibratore

elettromagnetico, della ditta AEG (Allg. Elektr. Gesellschaft,

Germania). Per le esperienze vennero impiegati due vibratori di

grandezza diversa: l'uno per una capacità di trasporto di circa

3 34 m /ora, l'altro per una capacità di circa 2 m /ora. Essi erano

collegati alla corrente luce, il più grande aveva una potenza di

50 Watt, il più piccolo di 10 Watt. I vibratori spostavano il ma¬

teriale lungo le canalette sovrastanti, le quali erano sottoposte

ad una frequenza di 6000 vibrazioni al minuto.

Tuttavia si deve dire che le prime prove coi vibratori deno¬

tarono delle forti dispersioni. Ricercandone le cause, accertam¬

mo che le dispersioni in parte provenivano dalla diversità di umi¬

dità del materiale contenuto in un silo. Infatti, l'efflusso soli¬

do aumentava col grado di umidità e di regola il materiale più

umido trovavasi nella parte inferiore del silo, cosi che ad ugua¬

li condizioni di marcia del vibratore, la massa di materiale soli¬

do smosso per unità di tempo diminuiva man mano che il silo si

svotava. In seguito si effettuarono delle esperienze con del mate¬

riale asciutto, ma i risultati ottenuti non erano ancora soddisfa.-

cienti. Anzi, succedeva che l'efflusso di materiale solido risul¬

tasse intermesso. Esaminando il caso si dovette costatare, che il

materiale nell'interno del recipiente a forma d'imbuto e sovrastan¬

te la canaletta del vibratore formava dei vuoti a mo' di caverna.

Queste, ingrandendosi, erano persino in grado di bloccare qualsia¬

si alimentazione in materiale verso la canaletta, poi ad un certo

momento scomparivano, permettendo nuovamente l'efflusso solido e

53

Fig. 12 Fig.13

Fig.13

così di seguito. Da un articolo apparso nella stampa (26) appren¬

demmo che questo fenomeno aveva già preoccupato una società ameri¬

cana dell'industria del carbone, precisamente la "Bituminos Coal

Research Co, Columbus (Ohio)". Dopo numerose prove i ricercatori

risolsero il problema introducendo nell'apertura inferiore dell'im¬

buto un doppio cono. Il doppio cono fu ideato in modo tale che l'in¬

clinazione delle sue pareti presentasse un'angolo superiore all'an¬

golo d'attrito interno del materiale da smuovere. In seguito cos¬

truimmo un dispositivo del genere adatto alle nostre installazioni

(alleg. 1, particolare (a) ) e, sino dalle prime esperienze, conse¬

guimmo dei buoni risultati. Le dispersioni misurate nel corso dei

lavori comportarono, in media, ì 2 rfo. Potemmo tuttavia giungere a

questo esito operando unicamente con del materiale asciutto.

Per 1'essicazione del materiale installammo un'apparecchiatu¬

ra apposita, rappresentata nella fig. 14. Questa indica come il

materiale bagnato, sortendo dall'apertura di fondo del recipiente

ad imbuto, si spostava lungo un reticolo steso su un piano incli¬

nato oscillato da un vibratore elettromagnetico. Una forte fiamma

proiettata sul reticolo dal basso verso l'alto, riscaldava il ma¬

teriale lungo il suo cammino, cosi da asciugarlo completamente pri¬

ma che esso avesse a cadere nel recipiente sottostante.

La portata solida convogliata dalla corrente d'acqua, si misu¬

rava prelevando all'inizio ed alla fine di un'esperienza il quan¬

titativo di materiale spostato dal vibratore lungo la canaletta.

Questo materiale era poi pesato a secco mediante una bilancia di

precisione. La media aritmetica delle due pesature-di regola ab¬

bastanza vicine-rappresentava la portata solida trasportata dalla

corrente d'acqua durante l'esperienza. L'allegato 1, particolari

(e) e (3) ,illustrano i dispositivi adottati per il prelevamento

e la pesatura del materiale.

5.4. Risultati

I risultati delle 140 prove (tab. l) sono stati riportati nel¬

le tab. 3 a 6 e rappresentati in forma di grafici nelle fig. 15 a

18. Per l'interpretazione dei simboli usati in dette tabelle e nei

documenti seguenti, vedi lista separata.

55

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Misure effettuate nel canale di base ( B = 0. 60 m). Pendenza del canale Js = 5. 0 °]oo

Granulo¬ Peso Portata Altezza Velocità Temp. Materiale trasportato

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- 0.050 0.074 1.126 14 180.7 301. 17 190. 44

0.100 0.120 1.389 14 377.8 629. 67 398. 17

0.140 0.152 1.533 14 515.3 858. 83 543. 08

0.140 0.152 1.533 14 519.1 865. 17 547. 09

0.190 0.189 1.675 13 709.0 1181.67 747. 23

0.190 0.189 1.675 14 738.3 1230. 50 778.11

0.240 0.223 1.790 13.5 966.7 1611.17 1018.83

0. 0026 2700 0.020 0.040 0.833 14 57.9 96.50 60.76

0.050 0.075 1.104 14 173.7 289. 50 182. 28

0.100 0.122 1.366 14 378.2 630. 33 396. 87

0.140 0.154 1.510 14 508.8 848. 00 533. 93

0.190 0.192 1.654 14 685.7 1142. 83 719. 56

0.240 0.' 226 1.770 14 845.0 1408. 33 886. 73

0.0052 2710 0.020 0.041 0.816 13.5 65.1 108. 50 68.46

0.050 0.077 1.082 14 215.7 359.50 226. 84

0.100 0.124 1.344 14 442.1 736. 83 464. 94

0.140 0.156 1.491 14 609.7 1016.17 641. 20

0.190 0.194 1.635 13.5 822.0 1370. 00 864. 46

0.240 0.228 1.753 13.5 1001.2 1668. 67 1052. 92

0. 0089 2700 0.020 0.041 0.803 13 60.6 101.00 63.59

0.050 0.078 1.064 13 244.9 418.17 257. 00

0.100 0.126 1.326 13 508.8 848. 00 533. 93

0.140 0.158 1.472 13 740.5 1234.17 777. 07

0.190 0.196 1.617 13.5 978.3 1630.50 1026.61

0.240 0.230 1.737 14 1176.7 1961. 17 1234. 81

0. 0085 2700 0.020 0.041 0.805 14 57.5 95.83 60.34

0.050 0.078 1.065 14 220.8 368. 00 231. 70

0.100 0.126 1.322 14 513.7 856. 17 539. 07

0.140 0.158 1.470 14 733.3 1222.17 769.51

0.190 0.196 1.618 14 963.3 1605.50 1010.87

0.240 0.230 1.737 14 1158.3 1930.50 1215.50

0.0111 2700 0.030 0.056 0.895 14 99.6 166. 00 104. 52

0.050 0.080 1.047 14 287.5 479.17 301. 70

0.100 0.128 1.307 14 581.7 969. 50 610. 42

0.140 0.160 1.455 14 793.3 1322.17 832. 48

0.190 0.198 1.600 14 1068. 3 1780.50 1121.06

0.240 0.232 1.718 14 1231. 7 2052. 83 1292. 52

Tab. 4

57

58

5Tab.

1981.623147.31888.131.8820.1930.220

51689.32683.01610.131.7890.1680.180

1392.222211.71326.131.6640.1410.140

71019.51619.971.7131.4960.1110.100

503.7800.0480.0131.2020.0690.050

135.6215.3129.2130.8770.0380.02027000.0111

91818.82888.31733.14.01.9090.1900.220

71554.32469.61481.14.51.8090.1650.180

91246.1980.531188.14.51.6820.1390.140

953.181513.908.314.51.5180.1090.100

468.8744.5446.714.51.2220.0680.050

148.1235.3141.214.50.8910.0370.020270000850.

21565.52480.31488.14.51.9610.1870.220

61335.72116.01270.13.01.8520.1620.180

21076.51705.31023.13.01.7180.1370.140

813.281288.773.313.01.5400.1080.100

428.6679.2407.513.01.2350.0680.050

162.9258.2154.914.00.9010.0370.020

156.0247.2148.313.00.9010.0370.020

44.971.242.714.50.7000.0240.01027100.0052

1469.132333.01400.141.9890.1840.220

61250.21986.71191.151.8800.1600.180

991.701575.945.0'151.7400.1350.140

718.751141.684.914.51.55870.100.100

365.5ó580.348.314.51.2480.0670.050

128.6204.2122.5ó14.0.91170.030.020

53.785.351.2ò14.0.7090.0240.010270000260.

11096.:ì1733.01040.lo7661.1330.0.140

743.0117Ó.00705.ó14.1.5740.1061000.

9540.ò8ó5.3513.ó14.1.4400.0870.075

330.2522.2313.3')14.2r>71.0660.0.050

107.2169..')101.7ó14.0.9180.0360.020

li35.3."iti.733.ó14.0.7150.0230.01027200.0011

gr/smgr/smgr/sC.°m/smm3/skg/mm

Ss"acquasoit

Sst;ssea

&vGmhGQVsdm

PesatoHsOcurvaDaspecificometria

trasportatorialeMateTemp.Velocità[AltezzaPortataPesoGranulo¬

%o57.-JscanaledelPendenzam).600.=B(basedicanaleneleffettuateMisure

Misure effettuate nel canale di base ( B = 0. 60 m). Pendenza del canale Js = 10. 0 «fto

Granulo¬ Peso Portata Altezza Velocità Temp. Materiale trasportatometrìa specifico Da curva HsO Pesato

dm 7s Q hG vGm •ù-„

a sec

Gsco

gssott'acqua

gs"

m kg/m3/

m /s m m/s c° gr/s gr/sm gr/sm

0.0011 2720 0.010 0. 0213 0.764 12 50.9 84.83 53.64

0.020 0. 0340 0.975 13 160.5 267. 50 169.15

0.050 0. 0632 1.317 13 460.0 766. 67 484. 81

0.075 0. 0824 1.513 12 5 793.3 1322.17 836. 08

0.100 0. 0998 1.671 13 1123. 3 1872.17 1183. 87

0.140 0. 1247 1.872 12.5 1668. 33 2780.55 1758. 29

0.0026 2700 0.010 0. 0217 0.770 12 67.4 112.33 70.57

0.020 0.0347 1.092 12 187.2 312.00 196. 01

0.050 0. 0639 1.303 12 488.3 813. 83 511.29

0.100 0.1008 1.651 13 951.3 1585.5 996.10

0.140 0.1255 1.853 12.5 1390. 0 2316. 67 1455. 45

0.180 0.1474 2.020 12.5 1665. 0 2775.0 1743. 4

0. 0052 2710 0.010 0. 0223 0.740 12 82.25 137. 08 86.50

0.020 0. 0353 0.932 12 233.3 388. 83 245.35

0.050 0.0652 1.273 12 551.7 919.5 580. 20

0.100 0.1021 1.628 12 1055. 0 1758. 33 1109.50

0.140 0.1273 1.833 12.5 1491. 66 2486.10 1568. 72

0.180 0.1492 1.998 12.5 1770. 0 2950. 0 1861.44

0.220 0.1698 2.147 12.5 2148. 33 3580. 55 2259. 31

0. 0089 2700 0.020 0. 0370 0.893 13 262.9 438.17 275. 88

0.050 0. 0667 1.245 10 708.0 1180. 0 742. 96

0.100 0.1040 1.597 13 1315.0 2191. 67 1379. 94

0.140 0. 1290 1.802 12 1698. 3 2830. 5 1782. 17

0. 0085 2700 0.020 0. 0370 0.893 13.5 233.3 388. 83 244.82

0.050 0. 0667 1.245 13.5 688.3 1147.17 722. 29

0.120 0.1168 1.651 13.5 1471. 7 2452. 83 1544. 38

0.180 0.1516 1.970 12.5 2010.0 3350. 00 2109. 26

0.220 0.1723 2.092 12.5 2318.33 3863. 88 2432. 81

0.0111 2700 0.020 0. 0373 0.893 13.5 235.0 391.67 246. 61

0.030 0. 0492 1.022 13.5 427.5 712.50 448.61

0.050 0. 0686 1.218 13.5 745.0 1241. 67 781. 79

0.100 0.1064 1.564 13.5 1431. 7 2386.17 1502.40

0.160 0. 1431 1.863 13.5 2068. 3 3447. 17 2170. 44

Tab. 6

59

300

250

200

V50

Qr100

50

Relazione Qs (Q)Js =Jw-Oe-1,Of %>

1

| B=0,6om |*

1*

i

*

1

i:atfn Leggenda *.—*— dm —1,1 mm

—&—dm = 2,6 mm—o—dm= 5,2mm-o-dm= 6,9 mm

VQsingr/s

10 20 30 W 50 60

Fig.15

70 80 90 100

100 ZOO 300 WO 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

Fig.16

250

200

150

100

50

Relazione Qs (Q)

200 <fOO 600 800 1000

Fig. 17

1200 1W0 1600 1800 2000

250

200 400 600 800 1000 1200 1MW

Fig.i8

1600 1800 2000 2200

61

I calibri granulometrici dm indicati nelle tabelle e negli al¬

legati corrispondono a quelli risultanti dalle analisi agli stacci

quadratici (vedi paragrafo 5.2.). I punti riportati negli allegati

sono dei punti misurati e le curve tracciate indicano dei valori

medi.

Come già accennammo, la lunghezza del canale era tale da poter

dare un deflusso a moto uniforme su un buon tratto. Per questo trat¬

to era quindi lecito porre Js = Jw = Je.

Dai grafici delle fig. 15 a 18, rappresentanti la relazione

fra la portata solida Gs e liquida Q, risulta che le curve, a par¬

tire da un certo punto, s'invertono. Partendo dall'origine, in un

primo tempo la portata solida è inversamente proporzionale al ca¬

libro della granulometria, per le grandi portate liquide, invece,

è il contrario. L'andamento delle curve all'inizio del trasporto è

concorde coi criteri stabiliti per la forza critica di trascinamen¬

to. Le formule QJy e (\J) indicano infatti, che la velocità v<jmo

necessaria per smuovere le particelle sòlide è direttamente propor¬

zionale alla radice quadrata del diametro, cioè v<jmo = f (d 2). Dal¬

la ® si ottiene vGm = vdmo (—JL-Jn e siccome Q = B • hG . vGm si

conclude, sostituendo, che la portata limite al trasporto e all'in-

circa proporzionale a d'*. Supponendo n = -r si ricava Qmin.= f^ '•

Se invece si aumenta nel canale la portata liquida, si può

osservare, che i grani, nella loro corsa, si distaccano in misura

sempre più accentuata dal fondo. I grani a più grosso calibro en¬

treranno in zone di maggiore velocità che i più minuti. Essi saran¬

no allora sottoposti ad una più forte spinta idrodinamica, così da

far aumentare l'entità di trasporto solido.

Nella fig. 19, che rappresenta l'insieme delle esperienze, so¬

no indicate, in ordinata, le portate solide, e in ascissa, le pen¬

denze del canale. Si ottengono delle curve parametriche, aventi

come parametro la portata liquida. Il grafico mette in evidenza

la forte dipendenza dell'entità solida dalla pendenza del canale

e dalla portata liquida. Si costata inoltre che la pendenza Js =

1.04 °foo è sensibilmente vicina alla pendenza minima di trasporto

solido.

62

Le figure 20 a 23 illustrano la relazione tra la portata,l'al¬

tezza e la velocità del fluido. I grafici indicano dei valori me¬

di; infatti, per non gravare inutilmente il disegno, abbiamo do¬

vuto tralasciare di riportare il numero considerevole di punti ri¬

levati a questo proposito. Le curve ottenute danno una chiara idea

dell'influsso del materiale solido sulle condizioni di scorrimen¬

to nel canale. Su questo argomento torneremo più tardi.

2500

Q=200 l/s

63

1,25 vm e vQm in m/s

Fig.20

2.5 Vm e vQm in m/s

Fig. 21

0.20

0.15

Relazioni

a) Q (h) e Vm(n) : Caso senza trasporto di materiale

b) Q (hg) e VQm(h.Q): Caso con trasporto di materiale

Q(hQ)

0.10

0.05

^B=0.60m |

0.05 0.10 0.15 0.20

Leggenda-

'1,i mm

2,6 mm

5^ mmJm

8,5 mm

11,1 mm

0,25-i-

Q in m3/s

0.5 1.0 1,5 2,0

Fig.22

2,5 vm e VQm jn m/s

Relazioni

a) Q(h)evm(h) : Caso senza trasporto di materiale

b) Qlh(j) e VQnri (he) : Caso con trasporto di materiale

0,20 QW

Js=3w-3e=10%o

| B=0,6om

Leggenda-

Li mm—

2.6mm—

5.2mm

83 e 8,9mm-

11.1 mm —

dm<

Q in m3/s

2,5 Vm e Vem in m/s

6. Elaborazione

6.1. Generalità

E un fatto che la velocità di fondo, o più precisamente la

striscia di velocità corrispondente alla zona in cui si svolge il

movimento del materiale, influisce in maniera determinante sui fe¬

nomeni di trasporto solido. Nel capitolo 4. abbiamo cercato d'in¬

dagare il problema sotto questo aspetto, tuttavia bisogna ricono¬

scere che procedendo in tal modo si va incontro a difficoltà con¬

siderevoli. Come già accennammo, il trasporto del materiale soli¬

do costituisce la risultante di un'insieme complesso di fattori,

tra cui menzioniamo le caratteristiche idrauliche della corrente,

la forma, il peso specifico e la grandezza dei grani e la struttu¬

ra del fondo sul quale questi si spostano; notevole importanza ri¬

veste pure il contatto vicendevole delle particelle solide nella

loro corsa.

Indagando il problema da un profilo puramente teorico, si cor¬

re pure il pericolo di commettere degli errori nella valutazione

di certe grandezze, come ad esempio nella determinazione della ve¬

locità di fondo. In natura, la misura esatta della velocità di fon¬

do, è pure un'operazione dubbia, causa la mancanza d'istrumenti

idrometrici appropriati. Quanto precede mette in evidenza la ne¬

cessità di procedere nel calcolo della portata solida per una via

più sicura e ricorrente a grandezze idrauliche facilmente reperi¬

bili coi soliti mezzi di misura.

Poco sopra rilevavamo, che i grafici della fig. 19 facevano

supporre l'esistenza di una relazione tra la portata solida Gs, la

portata liquida Q e la pendenza del canale Js. Dall'idrodinamica

si sa che la portata d'acqua e la pendenza della linea di carico

(nel nostro caso Je = Jw = Js) sono le grandezze che caratteriz¬

zano la sollecitazione tangenziale dell'acqua sul fondo,conosciu¬

ta anche sotto il nome di forza di trascinamento al fondo o sem¬

plicemente forza di trascinamento T.Nel capitolo 3., parlando

delle ricerche effettuate nel campo del trasporto solido su fondi

mobili, avevamo accennato che una gran parte delle formule esis¬

tenti per questo genere di trasporto, sono pure basate sulla for-

66

za di trascinamento. Queste considerazioni bastavano, per farci sup¬

porre che anche nel caso del trasporto solido su fondo fisso, la

forza di trascinamento dovesse rivestire un'importanza determinan¬

te.

6.2. Calcolo della forza di trascinamento

Tenendoci al ragionamento fatto nell'allestimento della nota

formula (T) relativa al trasporto solido su fondo mobile (24),pos¬

siamo, per il fondo fisso, definire la forza di trascinamento (at¬

tiva) per unità di larghezza pure con:

X = y • Rs • Je

dove

y rappresenta il peso specifico del fluido, in kg/m ,

Je la pendenza della linea dell'energia o di carico e

dQs Qs B . hg Qs , .

m.,

^Rs =

~^rrr= i 5—=

-5- *hG' in m'll rag~

gio idraulico relativo alla porzione di portata d'acqua

agente sul fondo Qs e determinante per la portata soli¬

da Gg.

La portata d'acqua Qs può essere anche definita come quella par¬

te della portata totale Q, la cui energia si dissipa per contatto

col fondo. Il valore di Qs si calcola tenendo conto della diversi¬

tà di rugosità fra le pareti ed il fondo del canale, ed ammetten¬

do secondo Einstein (12) che la velocità media nella sezione sia

uguale in tuxti i punti.

In altre parole, con questo modo di calcolo, si suppone che

l'energia di turbolenza e la sua dissipazione siano uniformemente

distribuite in seno alla corrente.

Se durante il trasporto solido si assume:

kQm = coefficiente di scabrezza medio per la sezione,

kGs =" " " del fondo,

kv =" " " delle pareti,

P(> e Rg- = superficie e raggio idraulico per tutta la sezione,

67

Ps e Rs = superficie e raggio idraulico corrispondenti alla por¬

tata d'acqua agente sul fondo,

Fw e % = superficie e raggio idraulico corrispondenti alla por¬

tata d'acqua agente sulle pareti,

e ritenendo che la velocità dell'acqua è uniforme in tutta la se¬

zione, si può scrivere secondo Strickler (35):

vGm = kGm * RG2/3 T% v

„%. t1/2_ t .

p2/3. j%k,qs

• Rs ' Je -

^w' ^v*

Risolvendo la secondo Rs e Rv si ottiene:

v3/zL3/2 * B

Rw:vqm

k3/2 ft'W

Zhr

e poiché

^Q ~ FS + FWil3?

B

,3/z+

2hr

si ha:

MàtrT JeB

+2hf

3/2

.%kfim

F \2/3 V

VB + 2h,:

Da qui

V

(BMh6)%B

,3/i+

(26)

karkQm' kw ' B*

[B • k* - 2ha (k* - O]%68

mentre k = ——. t— corrisponde al deflusso di scabrez

fi • Je

medio km per deflusso senza trasporto solido. In questo caso

pareti ed il fondo del canale presentano le stesse condizioni

rugosità.

Siccome Qs = vGm. Fg

e dalla © kQm. E*4 • J*= kGg . Rg3 . j}

SÌ ha kGm * Z£lQ = kGs ' ~^-

Se si risolve secondo Fg si ottiene

Fs \2/3 kGm / B.hG \?/3

F

B J kGs \ B+2.hG t

kGm B' (B'hG)

kGs G

Sostituendo la (2q) si ha:

B + 2.h& 1 B.(B.hG)Fs B '

2hG w3/2 B + 2.hGKGs

3/2,

*4kol k 2

Gs *v

B. (B . hG)

s= ~~~

3fè W3/2 B.kv + 2.hG . kGs

kGs •

-15 -355kGs • V

Introducendo la (29) nella (28) e tenendo conto che VQm =**—

la (28) diventa:,,W

k3/2Qs = Q • B ' ^ W

B.kv2 + 2.hG.kGg

Volendo esprimere questa portata d'acqua per unità di larghezza

(portata specifica), si ottiene:

2sB ©

Quando non c'è trasporto di materiale solido, si può porre

kQ.g = k^.. La portata specifica qs coinciderà allora con la por¬

tata per unità di perimetro bagnato q ,cioè:

qs = q =

B + 2.hQ

I valori calcolati dei coefficienti di scabrezza sono stati ri¬

portati nelle tab. 7 a 10 e nelle fig. 24 a 27. I grafici indicano

che il coefficiente di fondo k^g corrispondente allo stato di de¬

flusso con trasporto di materiale solido, si scosta in modo sensi¬

bile dal coefficiente km = ks, valevole per tutto il perimetro ba¬

gnato allorquando si tratta di un deflusso senza trasporto di ma¬

teriale. La lisciatura del fondo e delle pareti genera una corren¬

te corrispondente al regime turbolento in canali lisci. Lo scosta¬

mento sopraccitato indica che il materiale trasportato trasforma

il moto in un regime misto (regime intermedio fra moto turbolento

in canali lisci e rugosi) o in un regime assolutamente turbulento.

Per le grandi pendenze ottenemmo per ogni calibro una curva diver¬

sa di kg. , invece, per la pendenza Js = 1.04 %o (corrispondenteanche a portate solide relativamente piccole) non ci fu possibile

stabilire una differenza nei valori di k(jg per i diversi calibri.

E bensì probabile che ne esistesse una, ma essa dev'essere stata

molto piccola. Al contrario, gli scarti per le grandi pendenze era¬

no evidenti. Le curve tracciate rappresentano la media dei valori

misurati, i quali, per non gravare troppo il disegno, non vennero

indicati. La dispersione dei valori ottenuti rispetto alle curve

varia, in media, del ì 5 ^.

70

Calcolo dei coefficienti di scabrezza. Canale di base (B = 0. 60 m). Pendenza del canale Js = 1. 04 %o

nTVs

m

m

m

m/s m

km

daG

m

Gm

m/s

G

m

cal¬

colati

Gmda

curva

"Gscai- da

colati curva

0.01

0.02

0.03

0.05

0.07

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0. 0440

0. 0675

0.0883

0.125

0.157

0.203

0.274

0.340

0.404

0.465

0.378

0.493

0.567

0.667

0.743

0.821

0.912

0.980

1.032

1.075

0. 0384

0. 0552

0. 0682

0.088

0.103

0.121

0.143

0.159

0.172

0.183

102.8

104.7

105.2

104.9

104.5

104.0

103.7

103.7

103.6

103.6

0. 0458

0.071

0.092

0.129

0.163

0.210

0.284

0.353

0.420

0.488

0.363

0.470

0.543

0.646

0.716

0.794

0. 880

0.944

0.992

1.024

0.0397

0.057

0.070

0.090

0. 105

0.124

0.146

0.162

0.175

0.186

97.0

98.5

99.3

99.8

99.7

99.2

98.7

98.6

98.5

97.7

97.0

98.5

99.3

99.8

99.7

99.2

98.7

98.6

98.4

98.2

96.1

97.2

97.7

98.0

97.4

96.2

95.0

93.3

92.1

90.8

96.1

97.2

97.7

98.0

97.4

96.4

94.8

93.4

92.1

90.8

Tab. 7

0,30

0,25

0.20

&§ 0,15

Qr-

dO

0.05

Relazioni fra porrate d'acqua e coefficient

di scabrezza

\

kGs \ kQm km

\ | B=0,60m |

Per hitti i calibri ;

sperimentali ^-

V\ \))

)Coefficienti

di scabrezza

80 85 90 95 100

Hg.2«f

105 110 115

71

Is-

EH edrO

00

oo

OO

oo

oO

oO

OO

OO

oO

OO

oO

oo

Oo

oO

oo

Oo

oo

oo

Oo

OO

oo

oo

oo

o

CM

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rH

rH

Oo

oO

oCM

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rH

rH

Oo

oO

OCM

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rH

rH

Oo

oO

OCM

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r-i

rH

oo

oO

oCM

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rH

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oo

oo

oE

aira

oira

Ot-

ira

CO

CM

rH

ira

oira

or-

in

CO

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ira

Oira

oC-

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co

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rH

ira

oira

Oc-

iraco

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rH

ira

oira

or-

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CO

CM

rH

CO

CO

rH

rH

rH

rH

CM

CM

CM

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rH

rH

rH

rH

CM

CM

CM

CM

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rH

I-H

rH

r-i

CM

CM

CM

CM

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i-H

r-i

r-i

r-i

CM

CM

CM

CM

CM

rH

rH

rH

rH

CM

CM

CM

CM

CM

cd

co

ira

CO

o

6.68.9

0.52.0

3.54.1

124.5co

ira

co

CO

OCD

oo

o

to

ira

2.03.5

4.14.5

3.65.0

6.68.9

0.52.0

3.54.1

4.53.6

5.06.6

8.90.5

2.03.5

4.14.5

3.65.0

6.68.9

0.52.0

3.54.1

4.5curv

E

e

deiCalcolo

b

oeffio

oo

oo

ou

aO

Oo

oo

oo

CO

(U

rH

oo

oO

oe

d1=

BrH

00

00

ira

CM

rH

3T-i

TO

ira

CM

CO

rH

-o

.-5

Eoi

oo

OO

Oo

oo

oO

OO

oo

oo

Oo

oo

Oo

Oo

oO

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Relazioni fra porfaha d'acqua e coefFicienN

di scabrezza

Leggenda:

1.1 mm —

2,6 mrn —

5.2 mm —

8,5 e 8,9 mm -

11,1 mm —

]s=]w=Je = 5 %o

I B-0,60m I

Coefficicnhidi scabrezza

80 90 100 no

Fig. 25

120 130

La diversità dei coefficienti di scabrezza era già stata osser¬

vata nei diagrammi delle fig. 20 a 23. In questi però, non era sta¬

to possibile stabilire in che misura il fondo ed il calibro della

granulometria influissero sui coefficienti.

Le relazioni tra kg (Q) e k~ (Q) indicano, inoltre, che per

piccole portate Q (corrispondente pure a piccole entità solide)

questi coefficienti hanno tendenza ad accostarsi a k,cioè al ca¬

so di deflusso senza trasporto di materiale (acqua limpida). Dai

grafici si può ancora rilevare che nel mentre per una data penden¬

za le curve sono tra di loro sensibilmente analoghe, quelle di uno

stesso calibro variano con la pendenza del fondo.

Questa diversità di comportamento può essere messa in rapporto

con la concentrazione del materiale sul fondo e con il genere di

73

Calcolo dei coefficienti di scabrezza. Canale di base (B = 0. 60 m). Pendenza del canale Js = 7. 5 "Joo

Q

3,

km

da curva

Granulo¬

metria d„,m

hG VGm RG kGm Gs

m /sm m m/s m calcolati da curva calcolati da curva

0.01 123.0 0.0011 0. 0233 0.715 0. 0216 106.4 106.4 105.6 105.6

0.02 121.6 0.0363 0.918 0. 0324 104.3 104.3 102.8 102.8

0.03 120.5 0. 0473 1.057 0. 0409 102.8 102.9 100.7 100.7

0.05 119.0 0.0663 1.257 0. 0543 101.2 101.2 98.1 98.1

0.07 118.2 0. 0831 1.403 0. 0650 100.5 100.2 96.3 96.3

0.10 117.6 0.1059 1.574 0. 0783 99.3 99.6 95.1 95.1

0.15 116.2 0.1394 1.793 0.0952 99.3 99.3 93.3 93.3

0.20 114.7 0.1700 1.961 0.1085 99.5 99.2 92.5 92.5

0.25 113.1 0.1998 2.085 0.1199 99.0 99.2 92.0 92.0

0.01 123.0 0.0026 0. 0235 0.709 0. 0218 105.2 105.2 104.1 104.1-

0.02 121.6 0. 0366 0.911 0. 0326 103.1 103.1 101.3 101.3

0.03 120.5 0. 0477 1.048 0. 0412 101.5 101.7 99.4 99.4

0.05 119.0 0. 0668 1.248 0. 0546 100.1 100.0 96.7 96.7

0.07 118.2 0. 0837 1.394 0. 0654 99.1 98.9 94.8 94.8

0.10 117.6 0.1070 1.558 0.0789 97.8 97.9 93.0 93.0

0.15 116.2 0. 1412 1.771 0.0960 97.5 97.6 91.1 91.1

0.20 114.7 0.1720 1.938 0.1093 97.9 97.6 90.3 90.3

0.25 113.1 a 2017 2.066 0.1206 97.7 97.7 89.9 89.9

0.01 123.0 0. 0052 0. 0238 0.700 0.0221 102.8 102.8 101.5 101.5

0.02 121.6 0. 0370 0.901 0.0329 101.2 101.2 99.3 99.3

0.03 120.5 0. 0482 1.037 0. 0415 99.9 99.9 97.4 97.4

0.05 119.0 0. 0675 1.235 0. 0551 98.5 98.3 94.8 94.8

0.07 118.2 0. 0848 1.376 0.0611 97.2 97.2 92.8 92.8

0.10 117.6 0.1082 1.540 0.0795 96.2 96.2 90.9 90.9

0.15 116.2 0.1433 1.745 0. 0970 95.5 95.7 88.7 88.7

0.20 114.7 0.1746 1.909 0.1104 95.8 95.7 87.8 87.8

0.25 113.1 0. 2042 2.040 0.1215 96.0 96.0 87.5 87.5

0.01 123.0 0. 0085 0.0241 0.692 0.0223 100.7 100.7 . 99.3 99.3

0.02 121.6 0. 0374 0.891 0. 0333 99.5 99.4 97.3 97.3

0.03 120.5 0. 0487 1.027 0. 0419 98.3 98.3 95.6 95.6

0.05 119.0 0. 0682 1.222 0.0556 96.9 96.8 93.1 93.1

0.07 118.2 0. 0858 1.360 0. 0667 95.5 95.5 90.8 90.8

0.10 117.6 0.1098 1.518 0.0804 94.1 94.1 88.2 88.2

0.15 116.2 0.1458 1.715 0.0981 93.1 93.4 85.8 85.8

0.20 114.7 0.1778 1.875 0.1116 93.4 93.4 84.7 84.7

0.25 113.1 0. 2076 2.007 0.1227 93.9 93.9 84.6 84.6

0.01 123.0 0.0111 0.0244 0.683 0. 0226 98.8 98.7 97.2 97.2

0.02 121.6 0.0380 0.877 0. 0337 97.0 97.4 95.2 95.2

0.03 120.5 0. 0493 1.014 0. 0423 96.4 96.3 93.4 93.4

0.05 119.0 0. 0693 1.202 0. 0563 94.5 94.6 90.6 90.6

0.07 118.2 0. 0872 1.337 0.0676 93.1 93.4 88.4 88.4

0.10 117.6 0.1114 1.496 0.0812 92.1 92.1 86.0 86.0

0.15 116.2'

0.1480 1.689 0. 0991 91.1 91.2 83.1 83.1

0.20 114.7 0.1806 1.846 0.1127 91.4 91.3 82.0 82.0

0.25 113.1 0. 2108 1.977 0.1238 91.9 91.9 81.9 81.9

Tab. 9

0,25

0.20

0,15

&

•S

o

0,10

0,05

Relazioni fra portate d'acqua e coefficienti

di scabrezza

Leggenda :

'1,1 mm

2,6 mm

5.2 mm

8,5 mm

.11,1 mm

I B-0.60m I

Coefficientidi scabrezia

80 90 100 no

Fig. 26

120 130

movimento (strisciamento, rotolamento, saltazione o una combina¬

zione degli stessi) che le singole particelle solide assumono nel¬

la loro corsa. Per la pendenza Js = 1.04 %o, ad esempio, i grani

hanno tendenza a strisciare o rotolare. Aumentando la portata del

fluido (quindi anche quella solida) aumenta la concentrazione del

materiale al fondo e di conseguenza anche la rugosità (diminuzio¬

ne di k(js). Per la pendenza 10.0 fio invece, coli ' aumentare la por¬

tata, il movimento di saltazione dei grani diventa sempre più pro¬

nunciato ed i balzi diventano più lunghi. In questo modo il con¬

tatto del materiale col fondo diminuisce, come pure la rugosità

al fondo. Perciò, per i grandi valori di Q, il valore di k(js au¬

menta.

75

Calcolo dei coefficienti di scabrezza. Canale di base (B = 0. 60 m). Pendenza del canale J = 10.0 %o

Q

3.m /s

m

da curva

Granulo¬

metria dm

m

h6

m

Gm

m/s

RG

m

kGm

calcolati da curva

kGs

calcolati da curva

0.01 120.8 0.0011 0.0213 0.780 0.0199 106.2 106.2 105.3 105.3

0.02 119.7 0. 0340 0.980 0. 0305 100.4 100.3 98.6 98.5

0.03 118.8 0. 0450 1.110 0. 0391 96.4 96.4 93.8 93.8

0.05 117.1 0. 0632 1.320 0. 0522 94.5 94.5 90.9 90.9

0.07 115.7 0.0787 1.482 0. 0624 94.2 94.1 89.8 89.8

0.10 114.0 0. 0998 1.670 0. 0749 94.0 94.0 89.0 89.0

0.15 111.9 0.1302 1.921 0. 0908 95.1 94.8 89.6 89.3

0.20 110.4 0.1577 2.115 0.1034 96.0 96.2 90.1 90.2

0.25 109.7 0.1822 2.287 0.1134 97.6 97.6 91.7 91.7

0.01 120.8 0. 0026 0.0217 0.769 0. 0202 103.7 103.7 102.6 102.6

0.02 119.7 0. 0347 0.962 0. 0311 97.3 97.3 95.3 95.3

0.03 118.8 0. 0457 1.095 0. 0397 94.1 94.2 91.3 91.4

0.05 117.1 0. 0639 1.305 0. 0526 93.0 93.0 89.2 89.2

0.07 115.7 0. 0795 1.467 0. 0628 92.8 92.7 88.3 88.3

0.10 114.0 0. 1008 1.653 0. 0754 92.6 92.6 87.3 87.4

0.15 111.9 0.1320 1.894 0.0917 93.1 93.3 87.1 87.3

0.20 110.4 0.1587 2.101 0.1038 95.1 94.9 88.9 88.6

0.25 109.7 0.1833 2.273 0.1138 96.8 96.8 90.5 90.5

0.01 120.8 0. 0052 0. 0223 0.746 0. 0208 98.6 98.6 97.3 97.3

0.02 119.7 0. 0353 0.943 0.0316 94.3 94.2 92.1 92.1

0.03 118.8 0. 0465 1.075 0. 0403 91.4 91.3 88.5 88.5

0.05 117.1 0. 0652 1.279 0. 0536 89.9 89.9 85.7 85.8

0.07 115.7 0. 0810 1.440 0. 0638 90.2 90.1 85.4 85.4

0.10 114.0 0.1021 1.631 0. 0762 90.7 90.7 85.3 85.3

0.15 111.9 0.1330 1.880 0. 0921 92.2 92.2 85.9 85.9

0.20 110.4 0.1603 2.079 0.1044 93.8 93.8 87.1 87.1

0.25 109.7 0.1852 2.250 0.1145 95.4 95.4 88.6 88.6

0.01 120.8 0. 0085 0. 0233 0.714 0. 0216 92.1 92.1 90.4 90.4

0.02 119.7 e 0. 0370 0.901 0. 0329 87.8 87.9 85.1 85.2

0.03 118.8 0. 0089 0. 0482 1.038 0. 0415 86.6 86.7 83.5 83.6

0.05 117.1 0. 0667 1.250 0. 0546 86.8 86.6 82.4 82.5

0.07 115.7 0. 0825 1.414 0. 0647 87.7 87.4 82.5 82.2

0.10 114.0 0.1040 1.603 0. 0772 88.4 88.5 82.4 82.4

0.15 111.9 0.1350 1.852 0. 0931 90.2 90.2 83.5 83.3

0.20 110.4 0. 1628 2.047 0.1055 91.7 91.9 84.4 84.6

0.25 109.7 0.1877 2.220 0.1155 93.6 93.6 86.1 86.1

0.01 120.8 0.0111 0. 0235 0.714 0. 0218 91.5 91.5 89.9 89.9

0.02 119.7 0. 0373 0.893 0. 0332 86.4 86.4 83.7 83.7

0.03 118.8 0. 0492 1..022 0. 0422 84.3 84.3 80.8 80.8

0.05 117.1 0. 0686 1.218 0. 0559 83.3 83.3 78.6 78.5

0.07 115.7 0. 0851 1.376 0. 0663 84.0 84.0 78.4 78.4

0.10 114.0 0.1064 1.564 0. 0785 85.3 85.3 78.9 78.9

0.15 111.9 0. 1375 1.820 0. 0943 87.8 87.7 80.5 80.5

0.20 110.4 0. 1643 2.022 0.1062 90.2 90.1 82.5 82.5

0.25 109.7 0.1893 2.198 0.1161 92.4 92.5 84.5 84.5

76

Tab. 10

75

Relazioni Fra pori-afa d'acqua e coefficient

di scabrezza

Leggenda:

'1,1 mm

2j6 mm —

5,2 mm

85eB,9mm -

11,1 mm —

as=]w = 3e=10°/oo

Coefficient

di scabrezza

85 95 105

Fig.27

115 125

Servendoci dei coefficienti di scabrezza ci è poi stato possi¬

bile calcolare le portate d'acqua agenti sul fondo (Qs e qs).I ri¬

sultati sono stati riportati nelle tab. 11 a 14 e nelle fig. 28 a

31. Dagli stessi si può rilevare che per le grandi profondità il

dQs dOgradiente —rr— ha tendenza a diminuire, mentre invece ——=— ad

dhG dhGaumentare. Questo indica che coli'aumentare dell'altezza dell'ac¬

qua, le pareti partecipano in maniera sempre più pronunciata al

deflusso totale Q.

77

Grandezze idrauliche per canale di base (B = 0. 60 m). con pendenza Js = 1. 04 fyo

Q hG q <?s % vGm UG RG *s K kGs

m3/s m m3/sm m3/s m /sm m/s m m rri Da curva

0.01 0. 0458 0.0145 0.0088 0.0147 0.363 0.692 0.0397 0.0405 102.8 96.1

0.02 0.071 0.027 0.0165 0. 0275 0.470 0.742 0.057 0.0586 104.7 97.2

0.03 0.092 0.038 0. 0235 0. 0392 0.543 0.784 0.070 0.0722 105.2 97.7

0.05 0.129 0.058 0. 0360 0.0600 0.646 0.858 0.090 0.0929 104.9 98.0

0.07 0.163 0. 0756 0. 0470 0.0783 0.716 0.926 0.105 0.1095 104.5 97.4

0.10 0.210 0. 0980 0.0615 0.1025 0.794 1.020 0.124 0.1292 104.0 96.4

0.15 0.284 0. 1284 0.0821 0.1368 0.880 1.168 0.146 0.1554 103.7 94.8

0.20 0.353 0.1531 0.0997 0.1662 0.944 1.306 0.162 0.1760 103.7 93.4

0.25 0.420 0. 1736 0. 1150 0.1917 0.992 1.440 0.175 *0.1932 103.6 92.1

0.30 0.488 0. 1904 0.1285 0.2142 1.024 1.576 0.186 0.2090 103.6 90.8

Tab. 11

050

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0,10

Risultali delle esperienze effettuate con trasporto

di materiale solido

0. e Qs in m3/s

q e qs in m3/s m

0,05 0.10 0.15

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0,20 0,25

78

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6.3. Applicazione dell'analisi dimensionale

6.3.1 Concetti fondamentali

L'analisi dimensionale dà la possibilità, partendo dalle di¬

mensioni, di mettere in forma di equazione leggi relative a feno¬

meni fisici. Essa si applica particolarmente bene alla meccanica

dei fluidi.

Fissare una legge fisica consiste nel cercare la relazione ma¬

tematica esistente fra una certa grandezza En (variabile dipenden¬

te) ed un numero di parametri indipendenti E2, E3, E4 En.

Se una legge c'è, essa può essere scritta nella forma, generale:

EX = f (E2, E3, E4 En)

Quest'equazione dev'essere, rispetto alle dimensioni, di forma omo¬

genea cioè le dimensioni del membro di destra devono essere identi¬

che a quelle del membro di sinistra. Se le n grandezze posseg¬

gono q unità fondamentali, Buckingham (5) dimostrò che l'equazio¬

ne generale può essere ridotta alla forma:

% f (ir2 , ir3 irn-<*)

83

dove ogni termine TT è composto da q+1 grandezze E, e rappresen¬

ta una funzione monoma, indipendente ed adimensionale.

Nella meccanica esistono tre unità fondamentali: la lunghezza

L, il tempo T e la massa M. L'equazione (33) dev'essere comple¬

ta, cioè deve comprendere tutte le variabili indipendenti che de¬

terminano il fenomeno. La loro scelta è una delle prime operazioni

che bisogna fare per l'indagine di problemi d'analisi dimensiona¬

le. Per questo occorre conoscere in che condizioni si sviluppa il

fenomeno. E importante non dimenticare alcuna variabile determi¬

nante, altrimenti si corre il pericolo di pervenire a risultati

inesatti o incompleti. Certe variabili possono conservare un valo¬

re costante nel corso del fenomeno (accelerazione di gravità, peso

specifico ecc.), esse però non devono essere eliminate se hanno

importanza nel fenomeno. D'altra parte non bisogna introdurre del¬

le variabili prive d'influsso o comunque deducibili da altre già

esistenti.

L'applicazione del teorema IT di Buckingham è particolarmente

interessante per i problemi in cui intervengono parecchie variabi¬

li. Utilizzando la funzione (33) si eliminano, rispetto alla for¬

mula generale, q variabili, cosicché la rappresentazione matema¬

tica e grafica appare sotto una forma più semplice e, come è già

stato detto nel paragrafo 5.1., la ricerca sperimentale ne viene

facilitata.

Nella ricerca della funzione (33) si deve in primo luogo sta¬

bilire una serie completa di termini 1t,

e precisamente n-q pro¬

dotti adimensionali ed indipendenti. Siccome nel caso che ci occu¬

pa q- 3 unità fondamentali, ci resta da determinare n-3 termi¬

ni IT indipendenti. Ci si arriva operando nella maniera seguente:

Si stabiliscono tre variabili indipendenti che designeremo con E^,

E2, E3. Nessuna di queste variabili dev'essere adimensionale, le

loro dimensioni devono però differire. I n-3 termini % possono

essere scritti come segue:

1Tl = (Ei . e2 . e3) e4

%z = (e^2 . E^ . E31) Ec

84

%

1^3 = (e*"'3. E2yn"3. E*n-3.)En

Ciascun termine T è composto da 3+1 variabili, il cui insie¬

me deve contenere tutte le unità fondamentali. Ogni termine 1T è

adimensionale. Gli esponenti x,, X2, ecc. sono facil¬

mente ottenibili a mezzo di tre equazioni (= q unità fondamenta¬

li) lineari. Dappresso si vedrà in che modo l'equazione del tipo

della (33) potrà essere risolta coli'aiuto dei dati sperimentali.

6.3.2 Ricerca della funzione per il trasporto solido

Da quanto precede risulta che per l'indagine di un fenomeno

fisico col metodo dell'analisi dimensionale è necessario dapprima

stabilire le grandezze che influiscono su questo fenomeno. Perciò

che concerne il trasporto solido in canali a fondo fisso, i risul¬

tati ottenuti dalle esperienze fanno supporre che esso è funzione:

a) del raggio idraulico relativo alla portata di fondo (Rs),

b) della pendenza della linea di carico (Je)>

e) del calibro della granulometria (dm) e del suo peso spec.(y5),

d) delle proprietà fisiche del liquido, cioè della viscosità (/i)

e della densità (g ),

e) dell'accelerazione di gravità (g).

Indicando con gs la portata solida per unità di larghezza,

possiamo esprimere la legge cercata nella forma:

Si = f ( Rs, Je, dm, ys , ^ . * , g ) (3Jf)Il numero delle variabili del secondo membro può essere ridot¬

to introducendo v = -4£— e considerando Rs • Je come termine unico

(componente della forza attiva di trascinamento T = y • Rs . Je).

Si ottiene allora:

gs = f ( Rs- Je, dm, ys , V , g )

85

La funzione della portata solida si riduce cosi ad una equa¬

zione di 6 parametri tra cui 5 indipendenti. Tenendo conto delle

3 unità fondamentali possiamo scrivere l'equazione generale del

trasporto solido nella forma:

Ti- f (IT? ,T3)

Le dimensioni delle grandezze della D5) sono:

gsJes_s . m

L.T 2. M_= T-3. MT • L

Rg • Jg — m

dm = m

1s =

m-

L . T 2. M

L3

-2 -2L . T . M

V =

m I2. I"1

g =

m= L«T

-2

I criteri per la scelta dei prodotti adimensionali indicano

che si ottiene il massimo d'informazioni se le variabili soggette

a modificazioni entrano in un solo termine TT . Nel nostro caso le

variabili soggette a modificazioni sono: Rs • Je e dm.

In conseguenza possiamo stabilire i seguenti sistemi d'equazione:

%

1C2

^3

[

-t_(gf. (Ys)Y1- (v)71"

(g)*2. <*>*• (vf*

"

(g)x3. <*>" (v)z>~

St

Re

• dm

Introducendo in queste equazioni le dimensioni di g, y e V si

ha:

ir1 =-2 m-2 W\Y1 /x2 m-l\2'»(L.T-2f . (l-2. T-2. M) .

(l2. T-1)T 3- M

Gli esponenti x^, y-j_ e z-^ si calcolano come segue:

86

Per gli L : 0 = ^- 2;^ + 2Z-L + 0

11 i T : 0 = - 2x1 - 2y1 -

z±- 3

" i M:0= 0 +y;L + 0 +1

Risolvendo le tre equazioni lineari si ottiene:

x1 = 0

yi = - i

zi = - 1

Introducendo questi valori in T<| :

1C,= [(g)°- (Ys)"1- (v)"1] • gs =

gs

Ys' v©

Per IT? e ^possiamo procedere nello stesso modo:

ir2 =

Indi 0 = x2~ ^v2 + ^z2 + "

0 = - 2x2 ~ 2v2 ~

z2 + ^

0 = 0 +y2 + 0 +0

Risolvendo le tre equazioni otteniamo:

1

x2 =

3

y2 = 0

z2 =

2

3

e introducendo questi valori in TT^ :

[ & .0 ,..r%

oppure

ir2 =

[(g)'3. (ys ) . (v)

RsJe • g4/3

J .Rs •

IT, =

Vv3 (38)

Da ultimo T3

Indi

Cosi:

\*3 \Y3 -l^3(L.T-2)3. (l~2. T-2. M) .

(L2.!-1)

0 = x3~ 2v3 + 2z3 + *•

0 = - 2x3 - 2y3 -

z3 + 0

0= 0 +y3+0 +0

xi •= —

y3 =

z3 =

0

3

. L

Introducendo questi valori in IL3, :

% = (g) • (ys) • (v)

oppure ^3 =

dm • g*

I? V3

.d.m

Sostituendo la (37) ,la (38) e la (39) nella (36) , questa prende

la forma:

h= f

I Rs.Je-g1/3 dm.g1/3 \

V Vi VVi

Come abbiamo già spiegato precedentemente, la portata solida gs

dipende fra altro dalla forza di trascinamento T = V. Rg . Je .

Queste grandezze sono contenute nel primo argomento del membro di

destra della (40) .Se si moltiplica questo argomento per il fat¬

tore —*-— (valore costante), si ottiene:

h

oppure

S<

h ' V

7i 'v

= f

= f

y » Rs- Je'S dm-g% \

iv3

vV3' M

Saremmo potuti giungere allo stesso risultato, se nell'equa¬

zione di base (35) al posto di RsJe avessimo introdotto t«=yRs3e

88

Con una tale sostituzione T^ e T3 resterebbero immutati,

mentre TC^ prenderebbe la forma:

f2= [ (g)*2 ' (yS)/2 • (v)** ] ^Ve

Le dimensioni di vR=JP

sonoyKsde

Lg_

L • T 2.^L=

L"1. T-2. M

m' L2

Sostituendo abbiamo

Indi

= [(L.T-2)"2. (l-2.T-2.m)*. (L2. T-1)2] • IT1- T-2.

0 = Xp - 2y~ + 2zp - 1

0 = - 2xp - 2y2 - Zp - 2

0= 0 + y0 + 0 +1

Risolvendo le equazioni si avrà:

x2 =

3

y2 = - 1

2

z2 = -

7

M

Introducendo i valori in ITj :

T • 9V3

(g)V3 . (ft)"1- (v)"2/3• r

ir, =

7s VV3 ©

6.4. Calcolo dell'equazione del trasporto sulla base dei dati

sperimentali

Per la risoluzione della (41) faremo uso dei dati ottenuti

dalle esperienze. Teoreticamente basterebbe conoscere due serie

di prove: una prima serie per stabilire la relazione fra

9s= f

* . g1/3|V3

mantenendo

dm• qV3m

costante, cioè pra-

ticamente lavorando con una sola granulometria;la seconda serie,

invece, facendo variare il secondo argomento e mantenendo il primo

costante. Siccome, però, nell'esecuzione delle esperienze proce¬

demmo con il metodo classico di ricerca, cioè variando tutte quel¬

le grandezze suscettibili d'influenzare il fenomeno, abbiamo otte¬

nuto nella determinazione della relazione fi—-f ( T • g1/3

una documentazione molto più completa, rappresentata anche nella

fig. 32. Sull'ordinata sono riportati i valori del membro di des¬

tra e sull'ascissa quelli di sinistra. In totale sono rappresen¬

tati i risultati di 112 esperienze, di cui 28 prove per la penden¬

za Js = 1.04 %o, 30 prove per Js = 5.0 %o e 27 prove per cias¬

cuna delle pendenze Js = 7.5 e 10.0 foo.

9,0

>$ 8.01)Cj$4

££ 7.0.(?«<ì

6,0

e»

4- 5.0

f ÀN V)

II

Spi

3,0

f*

2.0

1.0

gs f/ T-g1/s \

Rappresentazione grafica della relazione "^=

i \%.^%]

^— (adimensionale)

100 200 300 f00 500 600 700

Fig.32

800 900 1000 1100

90

Riferendoci a quanto è già stato rilevato nel paragrafo 5.2.,

nella rappresentazione grafica della fig. 32, ci siamo limitati al

solo materiale caratteristico per il trasporto di fondo, cioè a

quello comprendente la granulometria con calibro dm = 2.6 / 5.2 /

8.5 / 8.9 e 11.1 mm. I valori del più minuto materiale sperimen¬

tato (dm = 1.1 mm) non vennero riportati, siccome dai rilievi ri¬

sultò che una parte di questo materiale, al di sopra di una certa

velocità della corrente, era incorporato alla medesima e traspor¬

tato sotto forma di torbida, fenomeno che usciva dal campo di stu¬

dio che ci siamo proposti d'indagare. A tale proposito si può d'al¬

tronde aggiungere che nei corsi d'acqua naturali, il materiale che

si sposta in forma di sospensione non presenta affatto difficoltà

di trasporto; infatti, la corrente idrica è praticamente cosi for¬

te e sufficientemente turbolente, da impedire la sedimentazione

delle torbide.

I valori numerici della fig. 32 sono indicati nelle colonne 12

e 13 delle tab. 15 e 16. Nella rappresentazione grafica della fig.

32 si può osservare come i punti corrispondenti ad un calibro de¬

terminato si trovano abbastanza ben raggruppati attorno ad una so¬

la curva. Questo fatto mette in evidenza l'influsso della forza di

trascinamento T sulla portata solida gs. Le curve sono di caratte¬

re esponenziale; si può d'altra parte intravvedere che esse dipen¬

dono da una funzione parametrica, avente come variabile determi¬

nante il diametro granulometrico. Questa funzione è rappresentata

dal secondo argomento di destra della (41) . Nella fig. 33 abbiamo

ricercato su carta a doppia scala logaritmica la relazione esis¬

tente tra —- — e —-—~j-— per diversi valori di 2__#

j

Vj • v v/3 ys• V7/3

punti giacciono con sufficiente approssimazione su delle rette, il

che esprime l'esistenza di una funzione esponenziale del tipo y =

9s„ „

dm • gv*C.xv, con y =

h v V2/3

Dai grafici risulta P - 7To

Dunque si può scivere:

V,Ss= c

dm g'3

Ts ' v \ t7/3

l?8

91

1fOO

1200

1000

800

600

*500

*if00

300

200

Calcolo dell'esponente p=4 dell'equazione ©

<s?

100

Valori perTfs-v4 --B.U

<- ii » ii = 7.0

t- n ii il = 6,0

il = 5,0

(Vedifjg.32)

dm-973,V2/3

10 20 30<tf.8

fO 60 8099,6 163 170 212

300

Fig.33

Nella ricerca dell'esponente p introducemmo, per la viscosità

cinematica v,un valore corrispondente pressapoco alla media arit¬

metica durante le esperienze.

Conoscendo la funzione parametrica Qj) la (41) può essere tras¬

formata come segue:

9s

ÌS'V

- f

.%

fc'v

,v3\%

V

= fT •

g% dm* • gV

v%

- f* -g

8/2,

fc" V?%

dm'*%J/o%

VVi2t

- fr.flVc^

ir v18/^

92

9s

rs •vf , IT • g3/8 • dm%

Ys• v

*/k

Esperienze \ dm Q q-s K 9s 7s tf V *s r.;.Rs Dsft

1*t-gv«-d> t* «"«-^

ft-»* tf.v*n

1adim

2m

3m'/s

Hm'/sm

5m

E kg/6m7

kg/m'8

L9

mVs10 m

n W^ nadim.

13adim.

*«dim.

«»dim-

1cadim.

1 1. 04 <fro= 0.0026 0.030 0. 0392 0.092 0. 0047 2700 17 1.08 x IO"6 0. 0722 0.075 1.612 0.565 65.06 0.952 0.9242 0. 00104 0.050 0. 0600 0.129 0.0196 14 1. 17 x IO"6 0.0929 0.097 6.204 0.693 61.72 1.160 1.2683 0.050 0. 0600 0.129 0.0195 13 1.21 x IO"6 0. 0929 0.097 5.969 0.671 60.34 1.120 1.1984 0.050 0 0600 0.129 0.0189 13 1.21 x IO'6 0. 0929 0.097 5.785 0.671 60.34 1.120 1.1985 0.050 0.0600 0.129 0.0199 13 1.21 x IO"6 0. 0929 0.097 6.091 0.671 60.34 1.120 1.1986 0.100 0.1025 0.210 0.0532 15 1.14 x IO"6 0. 1292 0. 134 17. 284 0.974 62. 80 1.634 2.1947 0.140 0. 1307 0.270 0.0644 16.5 1.09 x IO"6 0. 1510 0. 157 2J.882 1. 176 64.69 1.980 2.9838 0.183 0. 1570 0.330 0.0712 16 1.11 x IO"6 0. 1690 0. 176 23. 757 1.302 63.91 2.189 3.5039 0.225 0. 1794 0.387 0.0767 17 1.08 x IO"6 0. 1846 0. 192 26. 303 1.446 65.06 2.436 4.156

10 0.285 0. 2080 0.468 0. 0804 17 1.08 x IO"6 0. 2045 0.213 27.572 1.604 65.06 2.703 4.90911 0.0052 0.030 0. 0392 0.092 0.0021 2710 16.5 1.09 x IO"6 0. 0722 0.0755 0.711 0.563 105. 13 1.007 1.01112 0.030 0.0392 0.092 0.0021 16.5 1.09 x IO"6 0.0722 0. 0755 0.711 0.563 105. 13 1.007 1.01113 0.050 0.0600 0.129 0.0080 14.5 1.15 x IO"6 0. 0929 0.097 2.567 0.698 101.40 1.243 1.41614 0.100 0.1025 0.210 0. 0452 14 1.17 x IO"6 0. 1292 0. 134 14. 256 0.954 100. 30 1.697 2.33115 0.100 0. 1025 0.210 0. 0457 14.5 1.15 x IO"6 0. 1292 0. 134 14. 664 0.964 101.40 1.717 2.37516 0.140 0.1307 0.270 0. 0754 14.5 1.15 x IO"6 0. 1510 0. 157 24.194 1. 130 101.40 2.013 3.06317 0.140 0. 1307 0.270 0.0728 14.5 1. 15 x IO"6 0.1510 0.157 23. 360 1.130 101.40 2.013 3.06318 0.140 0. 1307 0.270 0.0705 17 1.08 x IO"6 0. 1510 0.157 24. 088 1.178 105.73 2.110 3.30219 0.180 0.1553 0.326 0. 0940 13.5 1. 19 x IO"6 0. 1680 0. 175 29. 148 1.231 99. 14 2.186 3.49520 0.215 0. 1750 0.374 0. 1098 14 1.17 x IO"6 0.1813 0. 189 34. 630 1.345 100.30 2.393 4.039n

0.281 0. 2060 0.462 0. 1272 16 1.11 x IO"6 0.2031 0.211 42. 286 1.555 103. 85 2.779 5.13122 0.0089 0.050 0.0600 0.129 0.0050 2700 16 1. 11 x IO"6 0.0929 0.097 1.668 0.718 177. 75 1.372 1.65923 0.070 0.0783 0.163 0.0093 14 1. 17 x IO"6 0. 1095 0. 114 2.944 0.814 171.66 1.549 2.014* 0.100 0. 1025 0.210 0.0214 16 1. 11 x IO"6 0. 1292 0. 134 7.140 0.991 177.75 1.894 2.779

25 0.140 0. 1307 0.270 0. 0494 17 1.08 x IO"6 0.1510 0. 157 16. 941 1.182 180.96 2.264 3.69726 0. 181 0.1561 0.327 0. 0742 16 1.11 x IO"6 0.1683 0.175 24. 758 1.294 177.75 2.473 4.25827 0.213 0.1731 0.371 0. 0997 16 1.11 x IO"6 0. 1805 0. 188 33. 267 1.391 177.75 2.658 4.77828 0.281 0. 2060 0.462 0.1525 17 1.08 x IO"6 0.2031 0.211 52. 298 1.589 180. 96 3.043 5.93329 5. 0 <fto = 0.0026 0.020 0. 0300 0.040 0.096 2700 14 1.17 x IO"6 0. 0360 0. 180 30.39 1.286 50.15 2.097 3.27030 0.005 0.050 0.0705 0.076 0.289 14 1.17 x IO"6 0. 0643 0. 3215 91.48 2.297 50. 15 3.746 8.27431 0.100 0.1300 0. 122 0.630 14 1. 17 x IO"6 0.0952 0. 4760 199.43 3.400 50.15 5.545 15.49792 0.140 0.1715 0.154 0.848 14 1.17 x IO"6 0.1135 0. 5675 268.44 4.054 50. 15 6.612 20. 53733 0.190 0. 2190 0.192 1.143 14 1.17 x IO"6 0.1322 0. 6610 361.82 4.722 50.15 7.702 26. 21534 0.240 0.2608 0.226 1.408 14 1.17 x IO"6 0. 1475 0. 7375 445. 71 5.269 50.15 8.594 31. 24035 0.0052 0.020 0. 0302 0.041 0.108 2710 13.5 1. 19 x IO"6 0.0371 0. 1855 33.49 1.305 99.14 2.318 3.83936 0.050 0. 0708 0.077 0.360 14 1.17 x IO"6 0. 0654 0. 3270 113.54 2.327 ICO. 30 4.140 9.71037 0.100 0.1310 0.124 0.737 14 1.17 x IO"6 0. 0975 0. 4875 232.44 3.470 100. 30 6.173 18.40038 0.140 0. 1730 0.156 1.016 14 1.17 x IO"6 0.1160 0. 5800 320.43 4.128 100. 30 7.344 24. 39339 0.190 0. 2205 0.194 1.370 13.5 1.19 x IO"6 0.1355 0. 6775 424. 82 4.766 99.14 8.464 30.49040 0.240 0.2640 0.228 1.669 13.5 1.19 x IO"6 0.1510 0. 7550 517.54 5.311 99.14 9.432 36. 25441 0.0085 0.020 0.0303 0.041 0.096 2700 14 1.17 x IO"6 0.0373 0. 1865 30.39 1.332 163. 95 2.520 4.38842 0.050 0.0713 0.078 0.368 14 1. 17 x IO"6 0. 0668 0. 3340 116.49 2.386 163. 95 4.514 11.1543 0.100 0. 1320 0.126 0.856 14 1. 17 x IO"6 0. 0998 0. 4990 270. 97 3.565 163. 95 6.745 21.2044 0.140 0. 1742 0.158 1.222 14 1.17 x IO"6 0.1185 0. 5925 386. 83 4.233 163. 95 8. 009 27.9145 0.190 0. 2237 0.196 1.606 14 1.17 x IO"6 0. 1383 0. 6915 508. 39 4.940 163. 95 9.346 35.7346 0.240 0. 2665 0.230 1.930 14 1.17 x IO"6 0.1538 0. 7690 610.95 5.494 163. 95 10. 395 42. 35547 0.0089 0.020 0. 0303 0.041 0.101 2700 13 1.21 x IO"6 0. 0373 0. 1865 30.92 1.302 167. 74 2.470 4.24948 0.050 0.0713 0.078 0.418 13 1.21 x IO"6 0. 0668 0. 3340 127.95 2.331 167. 74 4.422 10.7949 0.100 0.1320 0.126 0.848 13 1.21 x IO"6 0. 0998 0. 4990 259. 57 3.483 167. 74 6.607 20.5150 0.140 0.1742 0.158 1.234 13 1.21 x IO"6 0. 1185 0. 5925 377. 72 4.136 167. 74 7.846 27. 00551 0.190 0. 2237 0.196 1.630 13.5 1.19 x IO"6 0. 1383 0. 6915 507.31 4.883 169.68 9.278 35.3152 0.240 0. 2665 0.230 1.961 14 1. 17 x IO"6 0. 1538 0. 7690 620. 77 5.494 171.67 10. 455 42.7553 0.0111 0.030 0.0445 0.056 0. 166 2700 14 1. 17 x IO"6 0. 0497 0. 2485 52.55 1.775 214. 10 3.472 7.32754 0.050 0.0715 0.080 0.479 14 1. 17 x IO"6 0. 0685 0. 3425 151.63 2.447 214. 10 4.786 12. 24555 0.100 0. 1328 0.128 0.970 14 1. 17 x IO"6 0. 1016 0. 5080 307. 06 3.629 214. 10 7.098 23.00556 0.140 0.1767 0.160 1.322 14 1.17 x IO"6 0. 1210 0. 6050 418.49 4.322 214. 10 8. 454 30.4357 0.190 0. 2250 0.198 1.780 14 1.17 x IO"6 0. 1402 0. 7010 563.47 5.008 214. 10 9.796 38.5258 0.240 0. 2683 0.232 2.053 14 1.17 x IO"6 0. 1562 0.7810 649. 89 5.579 214.10 10. 913 45.78

Calcolo della funzione

9s mfh_iì," ' I v.

Tab. 15

93

Leer - Vide - Empty

Esperienze 3S dm Q <*S hQ 9s h D- V h T.J.Rs-Os9s %<?*$ tV9a'5.d>

ttì-T Is-"3'* yp.V*n

1adim.

2 3 m'/s lmVsm

5 m6 kg/sm 7 kg/m' 8

c°« ra/s 10 m U kg/m n

adim.13

adim.1V

adim.1s

adim.15

adim.

59 7. 5 <7oo= 0. 0026 0.010 0.0156 0. 0235 0.085 2700 14.5 1. 15 x IO'6 0. 0221 0. 166 27.38 1. 199 50.70 1.959 2. 93360 0.0075 0.020 0. 0305 0. 0366 0.204 14.5 1.15 x 10-6 0. 0332 0. 249 65.70 1.798 50. 70 2.938 5. 66161 0.050 0.0717 0. 0668 0.580 14.5 1.15 x IO"6 0. 0573 0.430 186.80 3. 105 50.70 5.074 13.44562 0.100 0. 1327 0. 1070 1.142 14.5 1.15 x IO"6 0.0852 0.639 367. 79 4.615 50. 70 7.541 25. 34763 0.140 0.178 0. 135 1.575 15 1.14 x IO'6 0. 1024 0.768 511.70 5.582 51.02 9. 127 34.4064 0.180 0.218 0. 160 1.986 15 1.14 x IO"6 0. 1166 0.874 645. 22 6.352 51.02 10.386 42. 3065 0.220 0.255 0.184 2.333 14 1.17 x IO"6 0. 1278 0.958 738. 52 7.037 50. 15 11.477 49. 6366 0.0052 0.010 0.0157 0. 0238 0.071 2710 14.5 1.15 x IO"6 0. 0224

'

0. 168 22. 78 1.209 101.40 2. 153 3.41167 0.020 0. 0305 0. 0370 0.247 13 1.21 x IO"6 0. 0336 0.252 75.33 1. 753 98. 00 3. 110 6. 14468 0.020 0.0305 0. 0370 0.258 14 1.17 x IO"6 0. 0336 0.252 81.37 1. 794 100.30 3. J92 6. 40569 0.050 0.0718 0. 0675 0.679 13 1.21 x IO"6 0. 0581 0.436 207.07 3.032 98. 00 5. 379 14.76170 0.100 0. 1333 0. 1082 1.289 13 1.21 x IO'6 0. 0865 0.649 393.09 4.514 98.00 8.008 27. 90271 0.140 0. 180 0.137 1.706 13 1.21 x IO"6 0. 1045 0.784 520. 26 5.452 98.00 9.672 37. 74272 0.180 0. 2195 0.162 2.117 13 1.21 x IO"6 0. 1187 0.890 645. 60 6. 190 98. 00 10.981 46. 24073 0.220 0.258 0.187 2.480 14.5 1.15 x IO"6 0. 1309 0.982 795. 76 7.066 101.40 12.585 57.51574 0.0085 0.020 0.0307 0. 0374 0.235 2700 14.5 1.15 x IO"6 0. 0339 0.254 75.68 1.834 165. 74 3.474 7.33475 0.050 0. 0720 0. 0682 0.744 14.5 1.15 x IO"6 0. 0588 0.441 239.61 3.185 165. 74 6.032 17.73276 0.100 0.1341 0. 1098 1.514 14.5 1.15 x IO"6 0. 0883 0.662 487. 60 4.781 165. 74 9.055 33. 96477 0. 140 0.1813 0. 139 1.980 14.5 l. 15 x IO"6 0. 1069 0.802 637. 68 5. 792 165. 74 10. 970 46. 16778 0.180 0.222 0. 165 2.469 14.5 L. 15 x IO-6 0. 1228 0.921 795. 17 6.651 165. 74 12.597 57. 100

79 0.220 0. 2605 0.190 2.889 14 1. 17 x IO-6 0. 1354 1.015 914.53 7.251 163. 95 13.719 66. 02580 0.0111 0.020 0.0307 0. 0380 0.215 2700 13 1.21 x IO"6 0. 0346 0.260 65.81 1.815 209. 20 3. 539 7.55481 0.050 0. 0723 0. 0693 0.800 13 1,21 x IO"6 0.0599 0.449 244. 87 3.134 209. 20 6. Ili 18.10482 0. 100 0. 1347 0. 1114 1.620 13 1.21 x IO"6 0. 0900 0.675 495.87 4.712 209. 20 9. 188 34. 76683 0. 140 0. 1830 0. 141 2.211 13 1.21 x IO'6 0. 1097 0.823 676. 77 5.745 209. 20 11.203 47.74784 0. 180 0. 2255 0. 168 2.683 13 1.21 x IO"6 0. 1253 0.940 821.24 6.561 209. 20 12.794 59.0585 0.220 0.264 0.193 3.147 13 1.21 x IO"6 0. 1389 1.042 963. 27 7.273 209. 20 14. 182 69. 6386 10.0 0/oo= 0.0026 0.010 0.0158 0.0217 0.112 2700 12 1.24 x IO"6 0.0206 0.206 33.45 1.416 48. 24 2.298 3.78687 0.010 0.020 0.0308 0. 0347 0.312 12 1.24 x IO"6 0. 0321 0.321 93. 19 2. 206 48. 24 3.580 7. 69588 0.050 0. 0730 0. 0639 0.814 12 1.24 x IO"6 0. 0560 0.560 243. 13 3.848 48. 24 6.245 18.7489 0.100 0. 1360 0. 1008 1.586 13 1.21 x IO"6 0.0822 0.822 485. 46 5.738 49. 00 9.336 35. fi790 0. 140 0. 1810 0. 1255 2.317 12.5 1.23 x IO"6 0.0980 0.980 697.68 6.769 48.49 10. 993 46. 3291 0.180 0. 2205 0. 1474 2.775 12.5 1 23 x IO"6 0. 1095 1.095 835.59 7.564 48.49 12. 284 55. 3392 0.0052 0.010 0.0158 0. 0223 0.137 2710 12 1.24 x IO"6 0. 0212 0.212 40.77 1.451 96.47 2.568 4.52293 0.020 0.0308 0. 0353 0.389 12 1. 24 x IO"6 0. 0326 0.326 115.76 2.232 96.47 3.951 9.01094 0.050 0. 0733 0. 0652 0.920 12 1. 24 x IO"6 0. 0573 0.573 273. 78 3.923 96.47 6.944 22.2195 0.100 0.1365 0. 1021 1.758 12 1.24 x IO'6 0. 0836 0.836 523. 15 5.723 96.47 10.130 40.6496 0.140 0. 1820 0. 1273 2.486 12.5 1.23 x 10"6 0.0992 0.992 745.81 6.827 96. 98 12.094 52.0197 0.180 0.2210 0. 1492 2.950 12.5 1.23 x IO'6 0. 1105 1.105 885.01 7.604 96. 98 13.470 64.1298 0.220 0.2590 0. 1698 3.581 12.5 1.23 x IO"6 0. 1205 1.205 1074.31 8.293 96. 98 14. 691 73.6799 0.0085 0.020 0.0310 0. 0370 0.389 2700 13.5 1. 19 x IO"6 0. 0344 0.344 121.07 2.429 162. 05 4.588 11.44

100 0.050 0.0737 0.0667 1.147 13.5 1. 19 x IO"6 0. 0590 0.590 356. 99 4. 166 162. 05 7.870 27. 146101 0.120 0. 1604 0. 1168 2.453 13.5 1.19 x IO"6 0. 0940 0.940 763. 46 6.637 162. 05 12. 537 57.16102 0.180 0. 2245 0. 1516 3.350 12.5 1.23 x IO"6 0. 1136 1.136 1008.73 7.847 158.52 14. 784 74.42103 0.220 0. 2625 0. 1723 3.864 12.5 1.23 x IO"6 0. 1240 1.240 1163.50 8.565 158. 52 16. 136 85. 60104 0.0089 0.020 0. 0310 0. 0370 0.438 2700 13 1.21 x IO"6 0. 0344 0.344 134. 07 2.401 167. 74 4.555 11.313105 0.050 0.0737 0. 0667 1.180 10 1.31 x IO"6 0. 0590 0.590 333. 62 3.908 159. 19 7.367 24.415106 0.100 0. 1373 0. 1040 2.192 13 1.21 x IO"6 0. 0857 0.857 670. 95 5.982 167. 74 11.348 48.74107 0.140 0. 1830 0. 1290 2. 830 12 1.24 x IO"6 0. 1015 1.015 845. 28 6.975 165. 12 13. 204 62.10108 0.0111 0.020 0. 0310 0. 0373 0.392 2700 13.5 1. 19 x IO"6 0. 0347 0.347 122.00 2.450 211. 62 4.785 12.24109 0.030 0. 0458 0. 0492 0.712 13.5 1. 19 x IO"6 0. 0451 0.451 221.60 3. 185 211.62 6.220 18.623110 0.050 0. 0740 0. 0686 1.242 13.5 1.19 x IO"6 0.0609 0.609 386. 55 4.300 211. 62 8.398 30. 11111 0.100 0. 1383 0. 1064 2.386 13.5 1.19 x IO"6 0.0883 0.883 742. 61 6.235 211. 62 12. 177 54. 56112 0.160 0. 2060 0. 1431 3.447 13.5 1. 19 x IO-6 0. 1105 1.105 1072.83 7.803 211.62 15.239 78. 11

9s

Calcelo della funzione

T-gV» dm-g%-f

HyV \/s.V/3 ft

Tab. 16

95

Leer - Vide - Empty

Nella colonna 15 delle tab. 15 e 16 sono riportati i valori

relativi all'espressione di destra della (33) . Questi risultati

sono rappresentati graficamente nella fig. 34, dove si può rileva¬

re che l'insieme dei punti viene a trovarsi raggruppato intorno ad

una sola curva del tipo:

y = A + C.x1

dove

y =

T • 93/8 • <C8

ÌS V*

x =

gs

7s- v

A = il valore dell'ordinata

all'origine, cioè perSs

Ys' v

= 0

ti

IJ

SS

i

3?

Rappresentazione grafica della relazione -J^- = f ( v *.v )

100 200 300 W0 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

Fig.3f

20

18

16

1H-

12

a>

tf *a

10

9* •

8fc> *K,

"J

Calcolo dell' esponente p=| dell' equazione @(Vedi fig. 34-)

r*

Ss

o.6*^r s*

9s

Ys-v

100 200 300 HOO 500 600 800 1000 14-00 2000

Fig.35

L'esponente p è stato determinato nella fig. 35 usando nuo¬

vamente un reticolo a doppia scala logaritmica. I punti giacciono

su una retta avente un'inclinazione p = —

. Introducendo questoo

valore nella (4

oppure

otteniamo:

y = A + C

yB,s = A« + C

.V8

1,* V*

9s

h'v

T8/5.gz^°- d>

Ysb/5 < ^o

A'+ C9s

h' v

X*. g* • d#

Ys%

V

A' + C 9s ©

98

I valori dell'espressione di sinistra della (46) sono indicati

nella colonna 16 delle tab. 15 e 16. Le costanti A' e C le ab¬

biamo calcolate col metodo di correlazione della teoria dei mini¬

mi quadrati (31).

Scegliendo in un sistema cartesiano y =

§s

1*'s g3'5 dm*come or-

ordinata e x =

la forma lineare:Ts • v

come ascissa, l'equazione (46) prende

y = A1 + C• x

Se n è il numero delle prove effettuate, si ha:

Zx*-m

ym =

nA X = X - X,m

Eyn

Ay = y - y,m

La pendenza C della retta di aggiustamento è uguale a:

_

Zax -Ay

e la costante A' = ym - C • xm.

Dai calcoli (tab. 17)si ottiene:

A' = 1.602

e C = 0.0692

1.6

0.069,

valori che, sostituiti nella (46) , permettono di stabilire l'equa¬

zione finale della portata solida:

X*- • g* dm"5

Vs%

v

= 1,6 + 0,0699s

lfv©

99

Rappresentazione grafica della relazione -=fe=f (^vV^* /

200 300 WO 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

Fig.36

Nella fig. 36 abbiamo disegnato la retta corrispondente all'e-

quazione (4T) ; i punti situati da una parte e dall'altra della ret¬

ta rappresentano i valori calcolati sulla base dei dati sperimen¬

tali. Il risultato esatto è indicato nelle colonne 12 e 16 delle

tab. 15 e 16. Al fine di controllare la ripartizione dei punti lun¬

go la retta occorreva calcolare il legame (stretto o lasso) tra i

valori x e y. Il mezzo più appropriato per questa analisi è l'u¬

so del coefficiente di correlazione, corrispondente a:

r =

^ AX ' Ay

Dalla teoria dei minimi quadrati, si sa che per r = o, non esis¬

te alcun legame tra x e y ,mentre invece per r = 1 sussiste

una relazione funzionale tra queste due grandezze. Il risultato

dei calcoli effettuati è indicato nella tabella 17. Dalla stessa

possiamo ricavare un coefficiente di correlazione r = 0.998, va¬

lore rappresentante un legame molto stretto tra le due variabili

della (AT) .

100

EH cdrO

Tf

CO

CO

CO

co

co

co

CO

CO

CO

CO

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

41

co

OTO

CO

c-

CO

in

Tf

CO

CM

rH

0en

00

c-

CD

ira

Tf

CO

CM

rH

0TO

00

C-

CO

ira

Tf

CO

CM

rH

Oro

00

rr-

eo

ira

Tf

CO

CM

rH

cc

Cu

cu

1

ira

ira

rH

rH

rH

»-

O0

O

*co

00

Tf

Tf

Tf

CO

0O

0O

00

O0

O•H

C0

0O

0O

ira

CM

CO

in

CM

ECM

eo

TO

CM

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E

ira

Tf

co

CM

rH

CO

CM

rH

^O

~*j

rH

rH

CM

CM

co

t-H

co

3CO

CO

TO

en

co

ira

co

CM

rH

Tf

CO

CM

CM

CM

CM

rH

rH

CM

CM

CM

CM

rH

ira

•£

C-"Tf

0CM

CO

CO

ira

r-H

CO

TO

rH

eo

CM

CO

Tf

CO

r-

erirH

CM

Tf

TO

Tf

CO

Tf

Tf

Tf

CM

0e-i

c-°CO

còrH

ir^CO

in

ira

CO

rH

LO

CO

Tf

Tf

ira

Tf

t-

00

-sfTf

Tf

CO

CM

CM

t-

TO

rH

TO

eo

CM

eo

rH

0CO

rH

eo

CM

ira

rr-

ir-

ira

co

ir-

OO

CM

O1—

ro

CM

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+rH

f»

H

Tf

CM

CO

Tf

Tf

TO

rH

CM

Tf

CO

CO

TO

TO

co

ira

Tf

Tf

eo

00

co

Tf

00

eo

TO

eo

mco

rH

rH

t-

0ira

00

00

TO

00

eo

OrH

00

rr-

00

rH

03

CO

eo

OCO

00

OTf

Tf

CO

rr-

rH

rH

CM

co

rr-

CM

sf

rH

ira

ro

Tf

CM

co

2 ^3

u

**

7r3cn

(J

4j

"3t

11

1|

1I

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

|"S

°%£,

CM

rH

CM

CM

rH

rH

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CO

CO

CO

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

co

CO

CO

CO

CM

CM

CM

CM

CM

co

CO

CO

CO

CO

H•5-?

**

o

OrH

00

000

CO

Tf

Tf

rH

CM

CO

CO

00

CO

ro

OrH

t-H

t-

r-

00

TO

TO

ro

TO

OrH

rH

rH

00

CO

TO

TO

ai

O0

0O

rH

X«

rifO

CO

Oeo

rH

00

rH

t-

ira

Tf

CM

Tf

CM

rH

TO

tr-

C-

rH

CM

CM

ro

ira

0t-H

0cn

OrH

co

co

CD

CO

0CM

tr¬

00

00

00

00

CM

.x

«

X

—1

CO

0TO

00

ro

CM

co

TO

TO

TO

0rH

rH

eo

Tf

CM

Tf

rr-

rH

t-

CM

CO

0CM

tr-

r-t

OO

r~

rr-

00

rH

eo

ira

T-i

CO

eo

Tf

CM

co

Ch

.

rH

cn

000

00

co

00

TO

00

TO

Tf

co

CM

CO

eo

00

co

00

ira

Tf

TO

rr-

CO

eo

CO

eo

E-

CO

rH

rH

ira

CM

ir-

Tf

Tf

CO

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1. Continuazione della tab. 17

Espe¬rienze

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9s AX =

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%si*-sv>.$Ay =

AX .Ay AX2 2Ay7s- v !.*•**

n

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15 + 16

Col. 16 tab.

15 +16

41 5.0 0. 0085 30. 39 - 284. 037 4.388 - 18.972 5388. 7 80'577. 0 359.9

42 116.49 - 197. 937 11.15 - 12.210 2416. 8 39'179. 0 149.1

43 270. 97 - 43.457 21.20 - 2.160 93.9 1*888.5 4.7

44 386. 83 72. 403 27.91 4.550 329.4 5*242.2 20.7

45 508. 39 193. 963 35.73 12. 370 2399. 3 37'621. 6 153.0

46 610. 95 296. 523 42. 355 18.995 5632. 5 87*925.9 360.8

47 5.0 0.0089 30.92 - 283.507 4.249 - 19.111 5418.1 80*376. 2 365.2

48 127. 95 - 186.477 10.79 - 12.570 2344. 0 34*773.7 158.0

49 259.57 - 54.857 20.51 - 2.850 156.3 3*009. 3 8.1

50 377. 72 63. 293 27.005 3. 645 230.7 4*006. 0 13.3

51 507.31 192. 883 35.31 11.950 2304. 9 37*203.8 142.8

52 620. 77 306. 343 42. 75 19. 390 5940. 0 93'846. 0 376.0

53 5.0 0.0111 52.55 - 261.877 7.327 - 16. 033 4198. 7 68*579. 6 257.1

54 151.63 - 162. 797 12. 245 - 11.115 1809. 5 26*502.9 123.5

55 307. 06 - 7.367 23. 005 - 0.355 2.62 54.3 0.1

56 418.49 104. 063 30.43 7.070 735.7 10'829. 1 50.0

57 563.47 249. 043 38.52 15.160 3775. 5 62*022.4 229.8

58 649. 89 335.463 45.78 22.420 7521.1 112*535.4 502.6

59 7.5 0. 0026 27.38 - 287. 047 2.933 - 20.427 5863.5 82*396.0 417.3

60 65.70 - 248. 727 5.661 - 17. 699 4402.2 61'865. 1 313.2

61 186.80 - 127. 627 13.445 - 9.915 1265.4 16'288. 6 98.3

62 367. 79 53. 363 25. 347 1.987 106.0 2*847.6 3.9

63 511.70 197. 273 34.40 11. 040 2177. 9 38*916.6 121.9

64 645. 22 330.793 42.30 18. 940 6265. 2 109*424. 0 358.7

65 738. 52 424. 093 49.63 26. 270 11140. 9 179*854. 9 690.1

66 7.5 0. 0052 22.78 - 291. 647 3.411 - 19. 949 5818.1 85*058. 0 398.0

67 75.33 - 239. 097 6.144 - 17.216 4116.3 57*167.4 296.4

68 81.37 - 233. 057 6.405 - 16. 955 3951.5 54*315.6 287.5

69 207. 07 - 107.357 14. 761 - 8.599 923.2 11'525. 5 73.9

70 393. 09 78.663 27. 902 4. 542 357.3 6*187.9 20.6

71 520. 26 205. 833 37. 742 14. 382 2960. 3 42*367.2 206.8

72 645. 60 331.173 46. 240 22. 880 7577. 2 109*675.6 523.5

73 795. 76 481.333 57.515 34.155 16439. 9 231'681.4 1166. 6

74 7.5 0.0085 75.68 - 238. 747 7.334 - 16.026 3826. 2 57*000. 1 256.8

75 239. 61 - 74.817 17. 732 - 5.628 421.1 5'597. 6 31.7

76 487. 60 173.173 33. 964 10. 604 1836. 3 29*988.9 112.4

77 637. 68 323. 253 46.167 22.807 7372.4 104*492. 5 520.2

78 795. 17 480. 743 57.100 33. 740 16220. 3 231*113.8 1138.4

79 914. 53 600.103 66. 025 42. 665 25603.4 360'123. 6 1820. 3

80 7.5 0.0111 65.81 - 248.617 7.554 - 15.806 3929. 6 61'810.4 249.8

81 244. 87 - 69.557 18. 104 - 5.256 365.6 4'838. 2 27.6

82 495. 87 181.443 34. 766 11.406 2069. 5 32*921.6 130.1

83 676.77 362. 343 47. 747 24. 387 8836.4 131*292.4 594.7

84 821. 24 506.813 59.05 35. 690 18088.2 256*859. 4 1273. 8

85 963. 27 648. 843 69.63 46. 270 30022. 0 420*997.2 2140. 9

102

Tab. 17

2. Continuatone della tab. 17

Espe¬

rienze

n

<7oo

dm

in m

x =

Col. 12 tab.

x - xmm

y =

Ay =

AX .ay AX2 2Ay

Col. 16 tab.

15 +16 15 +16

86 10.0 0. 0026 33.45 - 280.977 3. 786 - 19. 574 5499.8 78'948.1 383.1

37 93.19 - 221.237 7. 695 - 15. 665 3465. 7 48*945. 8 245.4

88 243.13 - 71.297 18.74 - 4.620 329.4 5*083. 3 21.3

89 485. 46 171.033 3ó. 67 12.310 2105.4 29*252.3 151.5

90 697. 68 383. 253 46.32 22. 960 8799. 5 146*882. 9 527.2

91 835. 59 521.163 55.33 31. 970 16661.6 271*610. 9 1022.1

92 10.0 0. 0052 40.77 - 273.657 4.522 - 18. 838 5155.2 74'888. 2 354.9

93 115. 76 - 198.667 9.010 - 14. 350 2850. 9 39*468. 6 205.9

94 273. 78 - 40.647 22.21 - 1.150 46.7 1*652.2 1.3

95 523.15 208. 723 40.64 17. 280 3606. 7 43*565. 3 298.6

96 745. 81 431.383 52.01 28. 650 12359.1 186*091. 3 820.8

97 885.01 570. 583 64.12 40.760 23257. 0 325*565. 0 1661.4

98 1074. 31 759. 883 73.67 50. 310 38229. 7 5 7 7'422. 2 2531. 1

99 10.0 0.0085 121.07 - 193. 357 11.44 - 11.920 2304. 8 37*386. 9 142.1

100 356. 99 42.563 27.146 3.786 161.1 1*811.6 14.3

101 763. 46 449. 033 57.16 33. 800 15177.3 201'630. 6 1M2.4

102 1008. 73 694. 303 74.42 51.060 35451.1 482*056. 6 2607.1

103 1163. 50 849. 073 85.60 62. 240 52846. 3 720*925.0 3873. 8

104 10.0 0. 0089 134.07 - 180.357 11.313 - 12. 047 2172. 8 32*528. 6 145.1

105 333. 62 19.193 24. 415 1.055 20.2 368.4 1.1

106 670. 95 356. 523 48.74 25. 380 9048. 6 127*108.6 644.1

107 845. 28 530. 853 62.10 38. 740 20565. 2 281*804. 9 1500. 8

108 10.0 0.0111 122. 00 - 192.427 12.24 - 11.120 2139. 8 37*028.2 123.6

109 221. 60 - 92.827 18. 623 - 4.737 439.7 8*616.8 22.4

110 386. 55 72.123 30.11 6.750 486.8 5*201.7 45.6

111 742. 61 428.183 54.56 31. 200 13359. 3 183*340. 7 973.4

112 1072. 83 758.403 78.11 54. 750 41522.6 575*175.1 2997. 6

In - - Zxx Iax = Zy = Eay Z a x . Ay Zax2 ZaV2

112 35*215. 79 O 2616. 37 O 755*280.62 10*914*391. 0 52*459. 7

Ex lyym=Tn-X

* 314. 427 = 23. 360

Tab. 17

1. ) Pendenza della retta di aggiustamento : C*Zax

. Ay

Iax2

755 280.62

10 914 391.00. 0692

2. ) Costante A* = ym - C* . xm = 23.360 - 0.0692 . 314.427 *- 23.360 - 21.758 = 1.602

T*/S nVs A VS3. ) Equazione finale : —-

'-*—' °m

4. ) Coefficiente di correlazione : r

__*_ -1.6*0.0692.^Z AX • Ay 755 280. 62

^Iax2.IAy "^572 565 677 543'0.998

103

7. Verifica della formula stabilita e della similitudine

7.1. Esperienze in un canale di controllo

7.1.1 Scopo

Come si è visto nel capitolo precedente, la formula stabilita

riposa su un numero elevato di esperienze svolte in un canale, in

cui abbiamo potuto variare una dopo l'altra la pendenza del fondo,

la portata d'acqua e la granulometria. Questi due ultimi elementi

poterono essere sensibilmente modificati, mentre invece per la pen¬

denza del fondo non oltrepassammo il 10,0 %o, dato che un aumento

ulteriore della pendenza avrebbe richiesto una trasformazione trop¬

po onerosa dell'impianto sperimentale.

Al termine dei lavori nel canale in calcestruzzo ci è sembra¬

to interessante ed utile verificare in un'altra sezione e con al¬

tri rapporti tra diametro granulometrico e larghezza del canale,

quanto era stato formulato. Nel contempo importava conoscere l'an¬

damento della legge del trasporto solido per pendenze superiori a

quelle sperimentate nel canale in calcestruzzo. A tal fine potem¬

mo disporre di un secondo impianto installato nello stesso labora¬

torio d'idraulica.

7.1.2 II canale

Il canale era pure di sezione rettangolare e comportava una

lunghezza di 5,7 m ed una larghezza di 0,30 m (fig. 37). Il fondo

era ricoperto da uno strato di resina poliestere; le pareti erano

in vetro, il che rendeva possibile l'osservazione del movimento

dei grani. Come abbiamo accennato nel paragrafo 4.3.1, questo fat¬

to' ci permise di procedere a dei rilievi cinematografici che si ri¬

velarono preziosi per l'interpretazione di certi fenomeni (fig.6),

come pure per la verifica di detcrminate considerazioni teoriche.

La corrente d'acqua, nel suo circuito, defluiva dapprima daun

serbatoio rialzato rispetto al canale di misura, indi scorreva in

una condotta d'alimentazione munita di valvole apposite per la re¬

golazione del deflusso. La condotta sboccava in una piccola vasca,

donde il flùido, dopo aver sfiorato uno stramazzo di misura delle

portate, era immesso nel canale sperimentale. In testa al canale

venivano posate delle apposixe griglie per attenuare certe oscil-

104

lazioni della massa liquida, come pure per impedire la propagazio¬

ne di vortici lungo lo stesso. All'estremità del canale, l'acqua

ed il materiale trasportato cadevano in una vasca di raccolta. Il

materiale vi si depositava, mentre il fluido sfiorava una traver¬

sa, per poi ritornare, a mezzo pompe, nel serbatoio di partenza.

Il canale era ribaltabile attorno un perno, cosi da poter as¬

sumere tutte le pendenze da 0,0 a 40,0 %o.

L'altezza e la pendenza del pelo d'acqua erano misurati con

l'idrometro a punta già descritto nel paragrafo 5.3.2.

Come si può osservare, la lunghezza del canale di controllo

era sensibilmente inferiore a quella del canale in calcestruzzo;

anzi essa era tale che, di per se, non sarebbe stato possibile oi>-

tenere uno scorrimento a moto uniforme. La velocità della corren¬

te d'acqua all'entrata del canale risultava perciò inferiore a quel¬

la del moto uniforme. Per questa ragione costatammo durante le pro¬

ve che il materiale aveva tendenza a depositarsi all'imbocco del

canale prima ancora che lungo lo stesso fosse raggiunto lo stato

ottimale di trasporto (corrispondente all'entità massima di tras¬

porto per moto uniforme). A questo inconveniente rimediammo in par¬

te, accelerando artificialmente la corrente d'acqua ali'entrata nel

canale. La correzione doveva, però, restare entro certi limiti per

evitare una modificazione troppo sensibile del poligono delle ve¬

locità.

Per ciò che concerne le portate d'acqua, abbiamo già accenna¬

to che esse erano misurate a mezzo di uno stramazzo; le indicazio¬

ni di questo vennero controllate più volte con dei mulinelli idro¬

metrici e con il tubo Pitot. La portata d'acqua dell'impianto po¬

teva variare da o a 40 l/s.

Nel corso delle esperienze veniva pure rilevata la temperatu¬

ra dell'acqua.

7.1.3 Esperienze e risultati

In quanto segue, chiameremo canale o impianto

di base il canale in calcestruzzo e canale o im¬

pianto di controllo quello con pareti in vetro.

Come si può costatare, le larghezze dei due canali stanno esatta¬

mente nel rapporto 2:1, cioè A.r = 2.

105

«JS*,..

Fig. 37

Canale di controllo a sezione rettangolare, largo 0,30 m

e lungo 5,70 m. Pareti in vetro e fondo ricoperto da uno

strato di resina poliestere

106

107

granu-dellanegativoinflussouncioèbase,dicanaleneltatato

cos¬giàavevamoquantoconfermanoricavatecurveLed'acqua.tate

por¬leevelocitàlealtezze,letrarelazionelafig.39nellato

riporta¬poiabbiamoulterioricalcoliiPerpiccola.assaièsure

mi¬delledispersionelacheapparegraficiDaifig.38.nellatati

rappresen¬tab,18enellaindicatisonoconseguitirisultatiI

mm.5,2=dmcon31emm2,6=dmcon33cuidiprove,64Totale

ii »5,2=

"=2,6"""5

:"20=Js

»5,2=

"2,6="

""7

:"15=Js

II

IIti5

IIti5

IIii6

IIti7

IIit5

Mti5

titi5

»»5

itn5

iiti6

"5,2=

»2,6="

""5

:"10=Js

'»5,2=

»2,6="

'*"5

:"

7,5=Js

»5,2=

"2,6="

""6

:"5=Js

"

5,2="""5

mm2,6=dmcalibroconprove5:%o3—JsfondodelPendenza

segue:comeripartiteprove64effettuatevennerototaleIn

solida.portatadelladeterminazionelaperprelevamentidei

fattivenivanoprova,ognidifineallaedall'inizioqui,Anche

base.dicanaledelesperienzenelleadottaticriteristessigli

secondostabilitaerasolidotrasportodimassimacapacitàLa

impiegato.nuovamenteessereperessicato,venivaquindita,

raccol¬divascaunaindepositavasicorrenteallaaggiuntoriale

mate¬Il5.3.2.paragrafoneldescrittogiàtipodeltromagnetico

elet¬vibratoreunsovrastanted'imbuto,formaarecipienteunin

verticaletubountramitepervenivaseccomaterialeilsilounda

base:dicanalenelsperimentatogiàquellodistessolocamente

prati¬erasolidadell'entitàmisuralaperadottatometodoII

mm.5,2e2,6=dmcalibroperaventelo

quel¬conprecisamentepiùebase,dicanaleneladoperatogiàriale

mate¬delconeseguitieranocontrollodicanalenelrilieviI

Misure effetuate nel canale di controllo ( B = 0. 30 m )

Granulo¬ Peso spec. Pen¬ Altezza Velocità Temp. Materiale trasportato

Portatametria d. materiale denza Da curva H00

Pesato

2 a secco sott'acqua

Q dm 7s h hG vGm •& Gs Ss gs"

3/

m /s mi /

3kg/m °loo cm m/s C° gr/s gr/sm gr/sm

0.007 0. 0026 2700 3 3.86 0.61 15.0 10.1 33.7 21.2

0.010 4.81 0.70 14.5 21.0 70.0 44.1

0.020 7.29 0.91 14.5 44.5 148.3 93.4

0.030 9.44 1.06 14.5 71.7 238.8 150.4

0.040 11.44 1.17 14.5 81.2 270.7 170.4

0.005 0. 0052 2710 3.25 0.51 13.0 5.0 16.7 10.5

0.010 4.97 0.67 13.0 27.2 90.7 57.2

0.020 7,54 0.88 13.0 60.8 202.7 127.9

0.030 9.73 1.02 13.0 88.3 294.9 186.1

0.040 11.79 1.12 13.0 106.6 355.3 224.2

0.005 0.0026 2700 ira 2.90 0.57 13.0 20.8 69.3 43.6

0.005 2.90 0.57 12.0 22.4 74.7 47.0

0.010 4.40 0.76 12.0 45.6 152.0 95.7

0.020 6.74 0.99 12.0 93.6 312.0 196.4

0.030 8.73 1.15 12.0 130.8 436.0 274.5

0.040 10.56 1.25 12.0 168.3 561.0 353.2

0.005 0. 0052 2710 3.05 0.56 13.0 26.1 87.0 54.9

0.010 4.57 0.73 13.0 61.0 203.3 128.3

0.020 6.90 0.96 11.0 114.3 381.0 240.4

0.030 8.91 1.12 11.0 160.8 536.0 338.2

0.040 10.72 1.23 11.0 214.3 714.3 450.7

0.005 0.0026 2700 7.5 2.55 0.65 13.0 37.2 124.0 78.1

0.010 3.97 0.84 13.0 83.0 276.7 174.2

0.020 6.11 1.08 15.0 157.4 524.7 330.4

0.030 7.90 1.26 15.0 221.6 738.7 465.1

0.040 9.55 1.39 15.0 285.6 952.0 599.4

0.005 0. 0052 2710 2.66 0.64 13.0 50.5 168.3 106.2

0.010 4.07 0.81 13.0 111.6 372.0 234.7

0.020 6.24 1.06 13.0 193.0 643.3 405.9

0.030 8.06 1.23 13.0 265.5 885.0 558.4

0.040 9.73 1.37 13.0 344.6 1148. 7 724.8

Tab. 18

108

Seguito della tab. 18

Granulo¬ Peso spec. Pen¬ Altezza Velocità Temp. Materiale trasportato

Portatametria d. materiale denza Da curva H20

Pesato

a secco sott'acqua

Q dm Vs h hG Gru

tf Gs Ss gs"

m3/s m kg/m3 <7oo cm m/s C° gr/s gr/sm gr/sm

0. 005 0. 0026 2700 10 2.37 0.71 13.0 58.6 195. 3 123.0

0.010 3. 6-t 0.91 13.0 120.4 401.3 252. 7

0.020 5.62 1.17 13.0 214.9 716.3 451.0

0.030 7.33 1.36 13.0 296.1 987.0 621.4

0.040 8.91 1.50 13.0 388.1 1293. 7 814.6

0. 005 0. 0052 2710 2.60 0.69 15.0 67.5 225.0 142.0

0.010 3.84 0.88 15.0 148.3 494.3 311.9

0.020 5.84 1.14 13.0 271.2 904.0 570.4

0.030 7.55 1.32 14.0 385.2 1284. 0 810.2

0.040 9.15 1.45 14.0 468.6 1562. 0 985.6

0.002 0.0026 2700 15 1.26 0.55 15.0 33.1 117.0 73.7

0.005 2.10 0.79 15.0 106.3 354.3 223.1

0.010 3.21 1.02 15.0 204.0 680.0 428.1

0. 020 4.98 1.32 15.0 356. 6 1188.7 748.4

0.030 6.52 1.52 15.0 502.6 1675.3 1054. 8

0.035 7.23 1.60 15.0 566.6 1888.7 1189.2

0.040 7.94 1.68 lo. 0 636.0 2120. 0 1334. 8

0.003 0. 0052 2710 1.69 0.62 13.0 75.4 251.3 158.6

0. 005 2.23 0.74 13.0 132.8 442.7 279.3

0.020 5.21 1.29 13.0 452.0 1506. 7 950.7

0.030 6.52 1.45 13.0 611.6 2038. 7 1286.4

0.030 6.52 1.45 14.5 619.2 2064. 0 1302.4

0.040 8.26 1.64 13.0 768.8 2562. 7 1617.1

0.002 0. 0026 2700 20 1.11 0.60 15.0 53.3 177.7 111.9

0.005 1.97 0.86 15.0 137.4 458.0 288.4

0.010 3.01 1.11 15.0 282.0 940.0 591.9

0.020 4.65 1.45 15.0 492.0 1640. 0 1032. 6

0.030 6.05 1.65 15.0 670.8 2236. 0 1407. 9

0.002 0. 0052 2710 1.23 0.59 13.0 69.8 232.7 146.8

0.005 2.05 0.81 15.0 187.8 626.0 395.0

0.010 3.16 1.05 15.0 350.8 1169.3 737.8

0.020 4.85 1.37 14.0 624. 5 2081. 7 1313.5

0. 0225 5.21 1.43 14.0 673.0 2243. 3 1415.5

Tab. 18

109

no

30

20

10

lometria sullo scorrimento, cosi da rialzare il pelo d'acqua du¬

rante il trasporto solido.

Nel seguito abbiamo calcolato i diversi coefficienti di sca¬

brezza relativi alla sezione ed al fondo, per il caso senza o con

trasporto solido; i risultati sono indicati nelle fig.40 e nella

tab. 19. I grafici mettono molto bene in evidenza la variazione

dei coefficienti di scabrezza con la portata d'acqua, la pendenza

110

Calcolo dei coefficienti di scabrezza nel canale di controllo ( B == 0. 30 m)

Pendenza

del canale km

3er granulometria d * 0. 0026 m Per granulometria d «0.0052 m

Js Q<*kw>

hG VGm RG Gm kGs hG vGm % kGm kGs

"foO m3/s da curva m m/s m calcolati da curva calcolati da curva m m/s m calcolati da curva calcolati da curva

3.0 0.002 129.3 0.0176 0.379 0.0158 110.3 110.3 108.5 108.5 0.0182 0.366 0.0162 104.2 104.2 101.9 101.9

0.005 133.7 0.0312 0.534 0.0259 111.4 111.4 107.8 107.8 0. 0323 0.516 0. 0266 105. 7 105.5 101.2 101.2

0.010 139.0 0. 0480 0.694 0. 0364 115.4 116.6 111.2 111.6 0. 0496 0.672 0. 0373 109.9 110. 1 103.5 104.8

0.020 143.0 0. 0728 0.916 0. 0490 124.9 124.8 117.9 117.8 0. 0754 0.884 0. 0502 118.6 118.6 109.8 109.6

0.030 146.2 0. 0945 1.058 0.0580 128.9 128.9 120.4 120.5 0. 0974 1.026 0.0591 123.5 123.5 112.8 112.8

0.040 148.0 0. 1142 1.168 0. 0648 132.2 132.2 122. 6 122.5 0. 1180 1.130 0. 0660 126.3 126.3 114.0 114.0

5.0 0.002 117.8 0.0164 0.407 0. 0148 95.4 95.4 93.6 93.6 0.0169 0.394 0.0152 90.9 90.9 88.8 88.8

0.005 119.6 0. 0290 0.575 0. 0243 96.9 97.3 94.1 94.1 0. 0300 0.556 0. 0250 92.0 92.0 88.2 88.2

0.010 121.5 0.0440 0.758 0.0340 102.1 101.5 97. 1 97. 1 0. 0456 0.731 0. 0350 96.6 96.6 91.3 91.4

0.020 123.0 0.0674 0.989 0. 0465 108.2 108.0 102.6 102.6 0. 0692 0.963 0. 0474 104.0 104.0 97.5 97.4

0.030 124.5 0.0872 1.147 0. 0552 111.9 111.7 105.6 105.6 0. 0892 1.121 0.0559 108.4 108.4 101.0 100.8

0.040 125.2 0.1058 1.260 0. 0620 113.8 113.8 107.2 107.2 0. 1078 1.237 0.0627 110.8 110.8 102.7 102.7

7.5 0.002 113.5 0.0147 0.454 0. 0134 93.2 93.2 91.7 91.7 0.0151 0.442 0.0137 89.0 89.0 87.2 87.2

0.005 116.3 0. 0255 0.654 0.0218 96.8 94.5 91.8 91.8 0. 0262 0. 636 0. 0223 92.7 90. 1 86.9 86.9

0.010 116.7 0. 0397 0.840 0.0314 97.5 97.4 93.5 93.5 0. 0408 0.817 0.0321 93.4 93.4 88.9 89.2

0.020 116.6 0.0612 1.089 0. 0435 101.7 101. 7 96.9 97.3 0. 0625 1.067 0. 0441 98.7 98.7 93.3 93.2

0.030 117.4 0.0790 1.266 0.0517 105.3 105.3 100.4 100. 1 0.0807 1.239 0. 0525 102.0 102.0 95.6 95.8

0.040 118.5 0. 0955 1.396 0. 0584 107. 1 107.1 101.2 101.2 0. 0972 1.372 0. 0590 104.5 104.5 97.4 97.4

10.0 0.002 112.5 0.0135 0.494 0.0124 92.2 92.2 90.8 90.8 0.0141 0.473 0.0129 86.0 86.0 84.3 84.3

0.005 114.9 0. 0236 0.706 0. 0204 94.6 93.2 90.7 90.7 0. 0249 0.669 0. 0214 86.8 86.6 83.4 83.4

0.010 114.5 0. 0364 0.916 0. 0293 96.4 96.0 92.6 92.6 0.0382 0.873 0. 0304 91.7 89.8 85.4 85.4

0.020 114.5 0. 0565 1.180 0. 0410 99.2 99.3 94.8 95.0 0. 0584 1. 142 0. 0420 94.5 94.5 88.8 88.8

0.030 113.5 0. 0732 1.366 0. 0492 101.7 101.7 96.9 96.9 0. 0755 1.325 0. 0502 97.4 97.4 91.2 91.2

0.040 113.0 0. 0890 1.498 0. 0559 102.5 102.5 97.3 97.3 0.0915 1.457 0. 0568 98.6 98.6 91.8 91.8

15.0 0.002 112.1 0.0121 0.551 0.0114 89.9 90.5 89.2 89.2 0. 0126 0.529 0.0116 84.1 84.1 82.5 82.5

0.005 114.6 0.0210 0.794 0.0184 93.0 91.3 89.0 89.0 0. 0223 0. 747 0.0194 84.5 84. 9 82.1 82.1

0.010 114.3 0. 0324 1.029 0. 0266 94.3 93.6 90.3 90.3 0. 0338 0.986 0. 0276 88.2 87.8 83.7 83.7

0.020 114.0 0. 0502 1.328 0.0377 96.4 96.4 91.9 91.9 0.0519 1.285 0. 0386 91.9 91.9 86.0 86.0

0.030 113.0 0.0655 1.527 0. 0456 97.7 97.7 92.5 92.6 0. 0677 1.477 0. 0466 93.1 93.4 87.0 87.0

0.040 112.0 0. 0794 1.679 0.0519 98.5 98.5 92.8 92.8 0.0818 1.630 0. 0529 94.4 94.4 87.4 87.4

20.0 0.002 111.0 0.0111 0.601 0.0103 89.5 89.5 88.3 88.3 0.0117 0.570 0.0109 82. 1 82. 1 80.6 80.6

0.005 112.0 0.0195 0.855 0.0173 90.4 90.1 88.0 88.0 0.0205 0.813 0.0180 83.7 83.0 80.4 80.4

0.010 112.5 0. 0300 1.111 0. 0250 91.9 92.0 89.0 89.0 0. 0316 1.055 0. 0261 84.8 84.8 80.9 80.9

0.020 112.2 0. 0462 1.443 0. 0354 94.6 94.6 90.5 90.5 0. 0485 1.375 0. 0366 88.2 88.2 82.9 82.9

0.030 112.0 0. 0605 1.653 0. 0431 95.1 95.1 89.9 89.9 0. 0627 1.595 0. 0442 90.2 90.2 83.8 83.8

0.040 110.5

Tab. 19

111

Leer - Vide - Empty

Relazioni:

Q (h) e vm (h) : Caso senza trasporto di materiale solido

Q (nQ) e vGm (hQ): Caso con trasporto di materiale solido |m~

0.12

iB'O.SOmj

dm = 5,2 mm —o—

W Q in l/s

1,2 1,6 ym e VQm in m/s 0 QA 0,8

0,10

20 30 40 Q in l/s

0.08

0A Q8 1,2 1.6 vm e vQm in m/s 0 0A 0,6 1,2 1,6

p

q in l/s

1.6 \m e vGm in m/s 0

Fig. 39

Relazioni fra porrata d'acqua e coefficienti di scabnezza

senza trasporto solido

per dm = 2,6 mm Canale di controllo |.B o^Qmr|per dm = 5,2 mm

40

2.caso:

Js =57oo

30

20

10

Coefficient-'! o

80 100 120 140 160 di scabrezza 70 90 110 130 150

40

30

* 20

10

1

3. caso:1 i

Js=7,5%o, ;1 1

J

| 1

t

j

i

ii

i

!

/1 /1 /

I 1

kGs

! ;

,

ìJiu• lì I

imlkmi

! li / l

i

1

I

11

I j1 i

ili

1/

40

30

20

10

70 90 110 130

Coefficienti o

150 di scabnezza 70

4. CaSO :

3s=10%o

l

l

i

l

1

1 ii

1

l

L.'

l

ii

1

I

1

1

1

1

1i

i

ir

1

i

l

i

Il j

/ / j

jjKti

( /

/ /

1 1

l 1i 1

\l

|j

90 110 130 150

40

30

20

10

Coefficient-! 0

140 di scabrezza 60

6-Caso:1 !

35=20%o|' !

'i

1i

i

i

i

i

i t !V

Ir !' '.I i

11, '. i.

• !

~t? gm j ro

ì t

\ i

if1

80 100 120 140

Fig.40

del fondo ed il calibro granulometrico. In particolare, si costata

che i coefficienti di scabrezza diminuiscono coli'aumentare della

pendenza e del calibro. Essi, però, aumentano con la portata d'ac¬

qua. Questo fatto è pure in concordanza con quanto abbiamo esposto

nel paragrafo 6.2., dove dicevamo che coli'aumentare della porta¬

ta, il movimento di saltazione dei grani diventa sempre più pronun¬

ciato ed i balzi più lunghi, cosi che il materiale perde sempre più

contatto col fondo del canale; ne consegue una diminuzione della

rugosità sul fondo ed un'aumento dei coefficienti di scabrezza. A

tale proposito dobbiamo, però far osservare che questa perdita di

contatto dei grani col fondo non progredisce in modo continuo, ma,

al di là di un certo limite (cioè allorché la concentrazione del

materiale in movimento raggiunge un certo valore), ha tendenza a

scemare. Conseguentemente i coefficienti di scabrezza aumenteranno

in maniera sempre men,o sensibile col crescere della portata d'ac¬

qua (vedi anche andamento delle curve k (Q) nella fig. 40).

Da ultimo, i grafici indicano una forte riduzione dei coeffi¬

cienti di scabrezza durante il trasporto solido; per le pendenze

prese in considerazione, infatti, lo scarto tra km e kQ.g, varia

dal 15 al 30 % e quello tra km e k(jm dal 10 al 25 %. E eviden¬

te che si deve tener conto di una tale riduzione nella progetta¬

zione di canali del genere.

Per la verifica della (47) (formula base del trasporto solido)

e necessario, inoltre, conoscere la portata d'acqua Qs agente

sul fondo. Nel paragrafo 6.2. abbiamo mostrato in che modo questa

grandezza influisca sulla forza di trascinamento t. I valori di

Qs sono indicati nella tab. 20, quelli di X nella tab. 21 e nel¬

la fig. 41. Il grafico di quest'ultima figura illustra poi i ri¬

sultati conseguiti applicando la (47) ; sull'ordinata sono riporta¬

ti i valori del membro di sinistra e sull'ascissa quelli di destra

dell'equazione. Come si vede, i punti riferentesi al canale di con¬

trollo giacciono un poco al disotto della retta corrispondente al¬

la formula base. Questo divario è in relazione con quanto abbiamo

già accennato nel paragrafo precedente. Parlando delle caratteris¬

tiche dell'impianto sperimentale abbiamo, infatti, accennato che

per la misura della capacità massima di trasporto (portata solida

ottimale) era necessario ottenere un moto approssimamente uniforme.

115

*à

*

*

60

50

4-0

30

20

10

Controllo della formula del trasporto solido

Adm=2,6mmlRisulteH nel

> canale di

adm=5,2 mmj controllo

^j-S— (adimensionale)

0 100 200 300 400 500 600 700 600

Fig. in

A tale scopo accelerammo artificialmente la corrente d'acqua al¬

l'entrata del canale. Quest'impulso supplementare, purtroppo, ave¬

va per effetto di abbassare il pelo d'acqua ad un livello un poco

al disotto di quello che si sarebbe ottenuto con un canale conve¬

nientemente lungo, come era il caso del canale in calcestruzzo.

Con la detta accelerazione abbiamo, dunque, ottenuto dei valori di

hn leggermente inferiori rispetto a quelli corrispondenti ad un

vero e proprio moto uniforme. Lo stesso vale probabilmente anche

Qcper la forza di trascinamento (t = y • Rs • Je = y •

—pp-• h^ • Je),

essendo questa proporzionale all'altezza idrica h(j .Per ciò che

riguarda la pendenza della linea di carico Je abbiamo supposto

che il suo valore effettivo era vicino a quello del calcolo, cioè

Je = Jw - Js •Il fatto poi che la forza di trascinamento inter¬

viene nella (47) nella forma di t 5 spiega lo scostamento dei pun¬

ti di controllo nel grafico della fig. 41.

116

Grandezze idrauliche per canale di controllc ( B = 0. 30 m )

Pendenza

del canale km

Per granulometria d = 0. 0026 mm

Per granulometria dm = 0.0052 m

h Q< = kw>

hG q <?s <«s Gm UG RG «. Gm Gs hG q Qs % Gm UG RG Rs Gm Gs

%o m /s da curva m m /sm m3/s3/

m /sm m/s m m m da curva da curva m

3/

m /sm m3/s m /sm m/s m m m da curva da curva

3.0 0.002 129.3 0.0176 0.0060 0.0018 0. 0060 0.379 0.335 0.0158 0.0158 110.3 108. 5 0.0182 0.0059 0.0018 0.0060 0.366 0.336 0.0162 0.0164 104.2 101.90.005 133.7 0.0312 0.0138 0. 0043 0.0143 0.534 0.362 0. 0259 0. 0268 111.4 107.8 0. 0323 0.0137 0.0044 0.0147 0.516 0.365 0. 0266 0. 0284 105.5 101.20.010 139.0 0. 0480 0. 0252 0.0081 0. 0270 0.694 0.396 0. 0364 0. 0390 116.6 111.6 0. 0496 0.0251 0. 0082 0. 0273 0.672 0.399 0. 0373 0. 0408 110. 1 104.80.020 143.0 0. 0728 0.0448 0.0147 0. 0490 0.916 0.446 0. 0490 0.0534 124.8 117.8 0. 0754 0.0444 0.0150 0. 0500 0.884 0.451 0. 0502 0. 0564 118.6 109.60.030 146.2 0. 0945 0.0613 0. 0204 0. 0680 1.058 0.489 0. 0580 0. 0642 128.9 120.5 0. 0974 0.0606 0. 0208 0. 0693 1.026 0.495 0. 0591 0.0676 123.5 112.80.040 148.0 0. 1142 0. 0758 0. 0254 0. 0847 1.168 0.528 0. 0648 0. 0725 132.2 122.5 0.1180 0. 0746 0.0261 0. 0870 1.130 0.536 0.0660 0.0770 126.3 114.0

5.0 0.002 117.8 0. 0164 0.0061 0.0019 0. 0063 0.407 0.333 0. 0148 0.0156 95.4 93.6 0.0169 0.0060 0.0019 0.0063 0.394 0.334 0.0152 0.0161 90.9 88.80.005 119.6 0. 0290 0. 0140 0.0044 0.0147 0.575 0.358 0. 0243 0. 0255 97.3 94.1 0. 0300 0.0139 0.0044 0.0147 0.556 0.360 0.0250 0.0264 92.0 88.20.010 121.5 0.0440 0. 0258 0.0083 0.0277 0.758 0.388 0. 0340 0. 0364 101.5 97.1 0. 0456 0.0256 0. 0083 0.0277 0.731 0.391 0. 0350 0.0381 96.6 91.40.020 123.0 0. 0674 0. 0460 0.0149 0. 0497 0.989 0.435 0. 0465 0.0502 108.0 102.6 0. 0692 0. 0456 0.0151 0. 0503 0.963 0.438 0. 0474 0.0523 104.0 97.40.030 124.5 0. 0873 0. 0633 0.0206 0.0687 1.147 0.474 0. 0552 0. 0600 111.7 105.6 0. 0892 0.0627 0. 0209 0. 0697 1.121 0.478 0.0559 0.0622 108.4 100.80.040 125.2 0. 1056 0.0781 0.0257 0.0857 1.260 0.512 0. 0620 0.0679 113.8 107.2 0. 1078 0.0776 0.0261 0.0870 1.237 0.516 0. 0627 0.0703 110.8 102.7

7.5 0.002 113.5 0. 0147 0.0061 0.0019 0. 0063 0.454 0.329 0. 0134 0. 0140 93.2 91.7 0.0151 0.0061 0.0019 0. 0063 0.442 0.330 0.0137 0.0143 89.0 87.20.005 116.3 0. 0255 0. 0142 0. 0045 0.0150 0.654 0.351 0.0218 0. 0230 94.5 91.8 0. 0262 0.0142 0. 0045 0.0150 0.636 0.352 0. 0223 0. 0236 90. 1 86.90.010 116.7 0. 0397 0. 0264 0.0084 0. 0280 0.840 0.379 0. 0314 0. 0334 97.4 93.5 0. 0408 0.0262 0. 0085 0. 0283 0.817 0.382 0.0321 0. 0345 93.4 89.20.020 116.6 0.0612 0. 0474 0.0153 0.0510 1.089 0.422 0. 0435 0. 0468 101.7 97.3 0. 0625 0.0471 0.0155 0.0517 1.067 0.425 0. 0441 0.0483 98. 7 93.20.030 117.4 0. 0790 0. 0655 0.0212 0. 0707 1.266 0.458 0.0517 0.0559 105.3 100. 1 0.0807 0.0650 0.0215 0.0717 1.239 0.461 0.0525 0.0578 102.0 95.80.040 118.5 0. 0955 0.0815 0.0268 0. 0893 1.396 0.491 0. 0584 0.0639 107. 1 101.2 0.0972 0.0809 0. 0270 0. 0900 1.372 0.494 0. 0590 0. 0655 104.5 97.4

10.0 0.002 112.5 0.0135 0.0061 0.0019 0. 0063 0.494 0.327 0. 0124 0.0128 92.2 90.8 0.0141 0.0061 0.0019 0.0063 0.473 0.329 0.0129 0.0134 86.0 84.30.005 114.9 0. 0236 0.0144 0. 0045 0.0150 0.706 0.347 0. 0204 0.0212 93.2 90.7 0. 0249 0.0143 0. 0045 0.0150 0.669 0.350 0.0214 0. 0224 86.6 83.40.010 114.5 0. 0364 0. 0268 0.0085 0. 0283 0.916 0.373 0. 0293 0.0309 96.0 92.6 0.0382 0. 0266 0. 0086 0.0287 0.873 0.376 0. 0304 0. 0329 89.8 85.40.020 114.5 0. 0565 0. 0484 0.0156 0. 0520 1.180 0.413 0. 0410 0. 0440 99.3 95.0 0. 0584 0. 0480 0.0158 0.0527 1.142 0.417 0. 0420 0. 0461 94.5 88.80.030 113.5 0. 0732 0. 0673 0.0217 0. 0723 1.366 0.446 0. 0492 0.0529 101. 7 96.9 0.0755 0. 0665 0. 0220 0.0733 1.325 0.451 0. 0502 0.0554 97.4 91.20.040 113.0 0. 0890 0. 0837 0.0271 0. 0903 1.498 0.478 0. 0559 0. 0604 102.5 97.3 0.0915 0.0828 0. 0287 0.0923 1.457 0.483 0.0568 0.0633 98.6 91.8

15.0 0.002 112.1 0.0121 0. 0062 0.0019 0. 0063 0.551 0.324 0.0112 0.0115 90.5 89.2 0.0126 0. 0062 0.0019 0.0063 0.529 0.325 0.0116 0.0120 84. 1 82.50.005 114.6 0.0210 0. 0146 0. 0046 0.0153 0.794 0.342 0.0184 0.0193 91.3 89.0 0.0223 0.0145 0. 0046 0.0153 0.747 0.345 0.0194 0. 0205 84.9 82.10.010 114.3 0. 0324 0. 0274 0.0087 0. 0290 1.029 0.365 0. 0266 0. 0282 93.6 90.3 0. 0338 0.0272 0. 0088 0. 0293 0.986 0.368 0.0276 0.0297 87.8 83.70.020 114.0 0. 0502 0. 0500 0.0161 0. 0537 1.328 0.400 0.0377 0. 0404 96.4 91.9 0.0519 0. 0495 0.0163 0. 0543 1.285 0.404 0. 0386 0. 0423 91.9 86.00.030 113.0 0. 0655 0. 0696 0.0226 0. 0753 1.527 0.431 0. 0456 0. 0494 97. 7 92.6 0. 0677 0.0689 0. 0230 0.0767 1.477 0.435 0. 0466 0.0519 93.4 87.00.040 112.0 0. 0794 0.0871 0.0286 0. 0953 1.679 0.459 0.0519 0. 0567 98.5 92.8 0.0818 0.0863 0. 0291 0.0970 1.630 0.464 0. 0529 0.0595 94.4 87.4

20.0 0.002 111.0 0.0111 0. 0062 0.0019 0. 0063 0.601 0.322 0.0103 0.0105 89.5 88.3 0.0117 0. 0062 0.0019 0.0063 0.570 0.323 0.0109 0.0111 82. 1 80.60.005 112.0 0.0195 0. 0147 0. 0046 0.0153 0.855 0.339 0.0173 0.0179 90. 1 88.0 0. 0205 0.0147 0. 0046 0.0153 0.813 0.341 0. 0180 0.0189 83.0 80.40.010 112.5 0. 0300 0.0278 0.0088 0. 0293 1.111 0.360 0. 0250 0. 0264 92.0 89.0 0.0316 0. 0275 0. 0089 0. 0297 1.055 0.363 0. 0261 0.0281 84.8 80.90.020 112.2 0. 0462 0. 0510 0.0164 0. 0547 1.443 0.392 0. 0354 0. 0379 94.6 90.5 0. 0485 0. 0504 0.0166 0. 0553 1.375 0.397 0. 0366 0. 0403 88.2 82.90.030 112.0 0. 0605 0.0713 0. 0233 0. 0777 1.653 0.421 0. 0431 0. 0469 95. 1 89.9 0. 0627 0.0705 0. 0236 0.0787 1.595 0.425 0.0442 0. 0493 90.2 83.8

Tal). 20

117

Leer - Vide - Empty

Verifi ca della formula stabilita del trasporto <>olido

Espe¬

rienze

n

Js dm Q Ss «s T« y-Rs-^s Vs V!:*.#.<# 9s

y8/s . VVS Ti-1»

<7oo m m3/s kg/sm m kg/m2 kg/m3 m2/s adim. adim.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 0.0026 0.007 0. 0337 0. 0326 0.0978 2700 1.14 x IO"6 1.271 10.95

2 0.010 0. 0700 0. 0390 0.117 1. 15 x IO"6 1.675 22.54

3 0.020 0. 1483 0. 0534 0.160 1.15 x IO"6 2.764 47.67

4 0.030 0. 2388 0. 0642 0.193 1. 15 x IO"6 3.731 76.91

5 0.040 0. 2707 0. 0725 0.218 1.15 X IO"6 4.534 87.18

6 0.0052 0.005 0.0167 0. 0284 0.0852 2710 1.21 x IO"6 1.083 5.09

7 0.010 0.0907 0. 0408 0.122 1.21 x IO-6 1.924 27.66

8 0.020 0. 2027 0. 0564 0.169 1.21 x IO"6

1.21 x IO"63.241 61.82

9 0.030 0. 2949 0. 0676 0.203 4.346 89.93

10 0.040 0. 3553 0. 0770 0.231 1.21 x IO"6 5.344 108. 35

11 5 0.0026 0.005 0.0693 0. 0255 0.128 2700 1.21 x IO"6 1.820 21.21

12 0.005 0.0747 0. 0255 0.128 1.24 x IO"6 1.767 22.31

13 0.010 0. 1520 0. 0364 0.182 1.24 x IO"6 3.136 45.40

14 0.020 0. 3120 0. 0502 0.251 1.24 x IO"6 5.190 93.19

15 0.030 0.4360 0. 0600 0.300 1. 24 x IO"6 6.904 130. 23

16 0.040 0.5610 0. 0679 0.340 1. 24 x IO"6 8.435 167. 56

17 0.0052 0.005 0. 0870 0. 0264 0.132 2710 1.21 x IO"6 2.183 26.53

18 0.010 0. 2033 0.0381 0.191 1.21 x IO"6 3.942 62.00

19 0.020 0.3810 0. 0523 0.262 1.27 x IO"6 6.151 110. 70

20 0.030 0.5360 0. 0622 0.311 1.27 x IO"6 8.093 155. 74

21 0.040 0. 7143 0. 0703 0.352 1.27 x IO"6 9.866 207. 54

22 7.5 0.0026 0.005 0. 1240 0. 0230 0.173 2700 1.21 x IO"6 2.947 37.96

23 0.010 0.2767 0.0334 0.251 1.21 x IO"6 5.346 84.70

24 0.020 0. 5247 0. 0468 0.351 1.14 x IO"6 9.818 170. 47

25 0.030 0. 7387 0. 0559 0.419 1.14 x IO"6 13.034 239. 99

26 0.040 0. 9520 0. 0639 0.479 1.14 x IO"6 16.147 309. 29

27 0.0052 0.005 0.1683 0. 0236 0.177 2710 1.21 x IO"6 3.484 51.33

28 0.010 0. 3720 0. 0345 0.259 1.21 x IO"6 6.418 113.45

29 0.020 0. 6433 0. 0483 0.362 1.21 x IO"6 10. 966 196.18

30 0.030 0. 8850 0. 0578 0.434 1.21 x IO"6 15. 349 269. 89

31 0.040 1.1487 0. 0655 0.491 1.21 x IO"6 17. 858 350. 31

Tab. 21

119

Seguito della tab. 21

Espe¬rienze

n

h dm

9 §s Rs f-r1^ feV

t*.Q^.d» 9»

,ys»/s.vv,

°loo m m3/s kg/sm m kg/m kg/m3 m2/s adim. adim.

1 2 3 4 5 6r?

1 8 9 10

32 10.0 0.0026 0. 00ó 0. 1953 0.0212 0.212 2700 1.21 x 10~6

1.21 x IO"64.080 59.78

33 0.010 0.4013 0. 0309 0.309 7.454 122. 83

34 0.020 0.7163 0. 0440 0.440 1.21 x IO"6 13. 122 219. 25

35 0.030 0. 9870 0. 05,29 0.529 1.21 x IO"6 17.620 302. 11

36 0.040 1. 2937 0. 0604 0.604 1.21 x IO"6 21.784 395. 99

37 0.0052 0.005 0. 2250 0. 0224 0.224 2710 1. 14 x IO"6 5.465 72.83

38 0.010 0. 4943 0. 0329 0.329 1.14 x IO"6 10. 109 160.00

39 0.020 0. 9040 0. 0461 0.461 1.21 x IO"6 16. 145 275. 69

40 0.030 1. 2840 0. 0554 0.554 1.17 x IO"6 22.555 404. 96

41 0.040 1. 5620 0. 0633 0.633 1. 17 x IO"6 27.916 492. 64

42 15.0 0. 0026 0.002 0.1170 0.0115 0.173 2700 1. 14 x IO"6 3.023 38.01

43 0.005 0. 3543 0. 0193 0.290 1. 14 x IO"6 7.234 115.11

44 0.010 0. 6800 0. 0282 0.423 1. 14 x 10"6

13. 234 220. 92

45 0.020 1. 1887 0. 0404 0.606 1. 14 x IO"6 23. 523 386.19

46 0.030 1. 6753 0. 0494 0.741 1. 14 x IO"6 32. 454 544.28

47 0.035 1.8887 0. 0535 0.803 1. 14 x IO"6 36. 906 613.61

48 0.040 2. 1200 0. 0567 0.851 1. 14 x IO"6 40.497 688. 76

49 0. 0052 0.003 0.2513 0.0153 0.230 2710 1.21 x IO"6 5.307 76.64

50 0.005 0. 4427 0. 0205 0.308 1.21 x IO"6 8.468 135.01

51 0.020 1. 5067 0. 0423 0.635 1.21 x IO"6 26. 948 459. 49

52 0.030 2. 0387 0.0519 0.779 1.21 x IO"6 37. 374 621. 73

53 0.030 2. 0640 0. 0519 0.779 1. 15 x IO"6 39. 726 662. 28

54 0.040 2. 5627 0. 0595 0.893 1.21 x IO"6 46.501 781. 53

55 20.0 0. 0026 0.002 0. 1777 0.0105 0.210 2700 1.14 x IO"6 4.316 57.73

56 0.005 0. 4580 0.0179 0.358 1. 14 x IO"61. 14 x IO"6

10.157 148. 80

57 0.010 0. 9400 0.0264 0.528 18.869 305. 39

58 0.020 1. 6400 0. 0379 0.758 1. 14 x IO"6 33. 652 532.81

59 0.030 2. 2360 0. 0469 0.938 1. 14 x IO"6 47. 322 726. 45

60 0.0052 0.002 0. 2327 0.0111 0.222 2710 1.21 x IO"6 5.015 70.96

61 0.005 0. 6260 0.0189 0.378 1.14 x IO"6 12.613 202. 63

62 0.010 1. 1693 0.0281 0.562 1. 14 x IO"6 23.810 378.49

63 0.020 2.0817 0. 0403 0.806 1. 17 x IO"6 41.093 656. 54

64 0. 0225 2. 2433 0. 0427 0.854 1. 17 x IO"6 45. 078 707.51

Tab. 21

120

E anche possibile che lo scostamento dei punti di controllo

rispetto alla formula base sia dovuto alla differenza di lunghezza

tra i due canali sperimentali. Infatti, si potè costatare che in

un primo tratto il materiale si spostava in modo ben compatto ed i

grani erano animati da una velocità sensibilmente uguale; dopo una

certa distanza dal punto d'immissione il materiale si ripartiva su

tutto il fondo e la velocità dei singoli grani variava secondo la

loro forma. E appunto in questa zona, corrispondente allo stato

normale di ripartizione del materiale sul fondo, che nel canale di

base avevamo verificato per primo la sedimentazione. Nel canale di

controllo è probabile, stante la sua limitata lunghezza, che lo

stato normale di ripartizione del materiale non sia mai stato rag¬

giunto, cosi che per ottenere la sedimentazione si doveva immette¬

re, rispetto ad un canale sufficientemente lungo, un maggior quan¬

titativo di materiale.

Nell'esame dei risultati abbiamo pure preso in considerazione

il rapporto tra la larghezza del canale di controllo e la granulo¬

metria sperimentata. Dalla distribuzione della velocità della cor¬

rente d'acqua nella sezione durante le prove ci è però sembrato che

questo rapporto era di alcun influsso sui rilievi. E possibile,in¬

vece, che un'ulteriore riduzione della larghezza del canale od

un'aumento del calibro granulometrico avrebbe potuto alterare i

risultati.

Concludendo costatiamo che i risultati ottenuti nel canale di

controllo si allineano pure su una retta, dimostrando'così la va¬

lidità della (47) nella sua struttura.

7.2. Similitudine e limiti di validità della formula stabilita.

La questione della similitudine è oggigiorno praticamente sol-

levata in tutte le esperienze d'idraulica. E noto pero che in solo

pochi casi, è possibile realizzare una similitudine perfetta tra

modello ed originale. Operando con uno stesso liquido nell'origi¬

nale e nel modello, è possibile parlare di similitudine meccanica

fra i due, unicamente quando sul processo considerato influisce,

oltre la gravità e la densità del liquido, o la sola viscosità, o

la sola tensione superficiale. In ognuno di questi casi la simili¬

tudine si verifica per un dato rapporto di velocità (importante

121

elemento) che dipende dalla scala di riduzione delle lunghezze, ma

è diverso da caso a caso. Di regola però, i processi idraulici di¬

pendono da più caratteristiche fisiche, cosi che operando con uno

stesso liquido, non è possibile ottenere un'esatta similitudine.

In tal caso ci si trova di fronte della cosidetta simili¬

tudine parziale che incontrasi anche di sovente nei

laboratori. Dalla meccanica dei liquidi, si sa peraltro che per una

turbolenza sviluppata, cioè per un moto fortemente idraulico (nu¬

meri elevati di Reynolds), l'influsso della viscosità diminuisce

considerevolmente. Se si tratta poi di canali a pelo libero, è per¬

messo, per i deflussi, operare con la similitudine di Froude, al¬

lorquando le forze che reggono il fenomeno sono la gravità e la re¬

sistenza dovuta alla rugosità delle pareti; tuttavia, questo vale

solo in quei casi in cui la resistenza è proporzionale al quadra¬

to della velocità.

Diversi sperimentatori hanno dimostrato a più riprese che il

trasporto del materiale solido in corsi d'acqua naturali ubbidisce

alla similitudine di Froude. Questo comportamento permette l'esame

di costruzioni progettate su piccola scala, cioè lo studio su mo¬

delli idraulici. Uno scopo importante delle nostre esperienze era

d'indagare questa possibilità, cioè di verificare se la regola di

Froude fosse pure applicabile al trasporto solido su fondo fisso.

La formula (47) ricavata da numerose esperienze in canali spe¬

rimentali, dunque a dimensioni ristrette, indica che nell'ambito

delle esperienze prese nel loro insieme, il trasporto solido è pu¬

re dipendente dalla viscosità cinematica; ciò dimostra che il tras¬

porto solido non segue rigorosamente la regola di Froude. In ana¬

logia alle correnti in tubi, era da presumere che per grandi nume¬

ri di Reynolds della corrente, l'effetto della viscosità diventas¬

se trascurabile anche per questo genere di trasporto. Una tale sup¬

posizione richiedeva una circoscrizione dei limiti di validità del¬

la (47) ; inoltre, era necessario indagare se per un numero ristret¬

to d'esperienze fosse già raggiunto lo stato in cui 1'effetto del¬

la viscosità è trascurabile. A tale scopo abbiamo preferito dare

alla (47) un'altra forma, introducendo, dopo aver risolto la stessa

rispetto a g„: ~% fl3/5 j1/6

*s= ^ y.^- ",*•*•*

122

i due termini di Reynolds e di Proude riferiti al grano ed alla ve¬

locità d'attrito della corrente. Essi si esprimono con

-¥-"

ITI V.V. r' —»

Re* =_2l

— e Fr* =,

*., ,

dove v* = Ajg- Rs • Jev yg • dm'

è la velocità d'attrito della corrente, caratterizzata per lo sta¬

to dinamico della corrente in vicinanza del fondo. Sostituendo ques¬

te grandezze nella (48) otteniamo:

9s = ^5(y-Rs-^e)8 . gs. d m

tf • V

~ 23,2- h-v

U,5(g -Rs-3e) • dm • Y

y53 • v • g5- 23,2 -ys.v

= 1S5

16Jm • y

9S '7s3- n^-h •*

m,5v# • dm

15

rs

- 23,2- Ts-v

m,s

10

Reg*-dm

5 j 5.

»

V." V»- dmJ .

y

2Ts

- 23>* -ys-v

.Vs1if,5 • Re • Fi

V57s

- 23,2 •

ft • V

Tralasciando il secondo membro di destra, valore relativamente

piccolo e pressapoco costante, si ha:

vfl/s *V* «*

gs = %5 -v. • dm .-L- .Re** • Fr*

Vs4123

124

(Fr*2)dm•v*

gdivaloriitato

ripor¬e(51)l'equazionerappresentatopoiabbiamo43fig.Nella

©Fr*200030=

dm•v*

forma:nella(50)latrasformarepossiamokg/m2700=y~pere

1000kg/mV=perIntroducendoturbolento.assolutamentemotounto

3

movimen-loronelsuscitanograniicasiquestiIn.(50)lamodotal

inconfermandoFroude,diregoladellavaliditàla970,a600da

Re*pergiàprovare,possibilestatoèsperimentalicasialcuniPer

(|g)Fr*•-^-dm•

v#•costante=gs h

M

seguente:all'espressione

ridottaessereallorapotrebbe(49)lagrandi,piùgranulometriee

d'acquaportateperelarghipiùcanaliinelevati,ottenibilipiù

ancoraReynoldsdinumeriPertrascurarlo.persinopoterdatale

modoindiminuiscesolidaportatasullaRe*)di(oviscositàdella

l'influssovalorequestodilàdialchesuppostoèsi970circaa

ReynoldsdinumerideilimitazioneNellasaltazione.dipronunciata

piùsempreformainspostavasimm2,6=dmcalibrodimateriale

ill/s,180did'acquaportatadellae%o10dipendenzadellalà

aldibase,dicanalenelchefattoaldovutoè0,7circadiFroude

dinumerialimitazioneLatratteggiata.superficienellacompresi

valoriipervalidaesserepuredovrebbeformulaDettaesperienze.

dallelimitatazonalaentroriservasenzaapplicabileè(48)La

controllo.diebasedicanaleneleffettuateesperienzeletutte

perFr*eRe*divaloriiriportatistatisono42fig.Nella

dm

?i/V./""^

Re*\1/5dm•v*J\dml's

p

—H-p

d'attritoquellaed'inerziaforzala

trarapportodelunzione)f-r(potenzamisurapiccolainsoloèessa

df,•9

=Fr*granideipeso

2V»n1

2

delquellaed'inerziaforzalatra

rapportoalproporzionaleèda2

flatra

pporto

soli-portatalaesperienze,dellenell'ambitoche,indica(49)La

Probabile limite superiore di validità della formula

100 200 300

Leggenda :

Canale di bast

Canale di controllo

400 500 600 700 600

Granulometria dm in mm

900

B - 0,60 m

B-0.30m

2.6 5.2 &5/BS 11.1

Fig.W

10000

8000

Leggenda:

Canale di base B-0.60m

Qranulomet ria dm in mm

2.6 5.2 8,5/8.9 11,1

A 0 o o

6000

$

ifOOO

2000

0,15 0.2 0.25

Fig. «

125

per tutte le esperienze effettuate nel canale di base. I punti cor¬

rispondenti ad un moto assolutamente turbolento si trovano in vi¬

cinanza della retta indicata. La rappresentazione grafica dimostra

l'imprecisione che avremmo commesso trascurando, per i piccoli ca¬

libri, l'influsso della viscosità, cioè della forza d'attrito. Le

formule (47) e (48), stabilite dall'insieme delle esperienze, tro¬

vano dunque la loro giustificazione nella rappresentazione grafica

della fig. 43.

Introducendo nella (50) le espressioni corrispondenti a v^ e Fr*

si ottiene :

\3's

g = costanteV V -. J_'

. TV*Tfs A

in kg/sm 51a

dove la costante (e) e un numero adimensionale.

Tenendo conto della (^l) risulta : e = 54,4

e la (5l)a può essere ridotta come segue:

in kg/sm <g>

126

8. Discussione della formula del trasporto solido

8.1. Portata solida gs

La legge del trasporto solido stabilita per fondi fissi e lisci

è indicata dalla (47) . Essa si scrive:

T * g3/* • dm*

?s%

V

= 1,6 + 0,0699s

Is' v©

Nel capitolo precedente abbiamo visto che volendo esprimere la por¬

tata solida gs in forma esplicita si ottiene:

gs = 1M

8/5„Vs

dm

V:3/5. V*

V

- 23,2 •

7S• V ,

in kg/sm (48

Quest'equazione può essere ulteriormente semplificata introdu-

cendo per la viscosità cinematica V = 1,2 • IO m /s (corrisponden-

te a tf = 13 C) e per l'accelerazione di gravità g = 9,81 m/s .

La (48) si riduce allora a:

T8/s • 4S -6

9S - 873 •

c-E- - 27,8 • 10 6-Ys

7s/s

Per materiale alluvionale, possiamo inoltre porre:

7s = 2700 kg/m3

La (52) diventa allora:

Ss 7, S3 • T8/5 • dni/s- 0,075 ,in kg/sm

Per calcoli approssimativi o qualora trattasi di portate soli¬

de rilevanti, si può senz'altro tralasciare il secondo membro di

destra.

127

8.2. Inizio del trasporto (gs - 0)

Nell'applicazione delle leggi del trasporto solido, è importan¬

te conoscere la grandezza della forza critica di trascinamento T0 .

Già nel paragrafo 4.2. abbiamo studiato questo problema. Ivi ci sia¬

mo però limitati alla ricerca della velocità limite di trasporto

vdmo5 dappresso, invece, ci proponiamo d'indagare la forza critica

di trascinamento coli'aiuto dei dati sperimentali. Tuttavia dob¬

biamo preliminarmente far osservare che le esperienze non permise¬

ro di procedere alla misura diretta di questa forza. Infatti, nel¬

la zona corrispondente all'inizio del trasporto, il materiale si

spostava sul fondo in modo molto irregolare, cioè a scatti; inol¬

tre, la minima perturbazione della corrente, o la presenza contem¬

poranea di due particelle di forma piatta, bastava per bloccare

quasi istantaneamente ogni movimento di materiale. Per evitare er¬

rori, non abbiamo pertanto potuto condurre le nostre misure al di

sotto di certi limiti, ma abbiamo dovuto incominciare ad effettu¬

arle per un deflusso leggermente superiore a quello liminare del

trasporto minimo. Il valore esatto della forza critica di trasci¬

namento è stato ottenuto per estrapolazione delle curve delle fig.

15 a 18. Nel paragrafo 5.4. abbiamo visto che le curve s'interse¬

cano nelle vicinanze della zona del trasporto minimo. Commentando¬

le indicammo il perchè di questo comportamento che, d'altra parte,

è pure in concordanza con le considerazioni teoriche fatte nel ca¬

pitolo 4. Tutto ciò doveva dimostrarci che la forza critica di

trascinamento non può essere semplicemente derivata dalla legge

stabilita per il trasporto solido.

Nella determinazione di T0 ricorremmo nuovamente al teoremalt .

I risultati sperimentali dovevano indicarci che la funzione del

trasporto limite può essere espressa nella forma:

%>= f (dm, g, yB, v )

Siccome per la forza critica di trascinamento intervengono

soltanto piccole altezze d'acqua, possiamo porre con sufficiente

approssimazione :

T0 = 7 . rs . Je = Y • hGo. Je (55)

©

128

129

-1=Z1

0yi

1-=Xl

ricava:siequazionitreleRisolvendo

1+Z]_++00=0

2-2zx-2y1-0=0

1-2z-^-y-^+x^=0:Indi

M2

T*

ILM)"l*"

T*"

(L.1")JT(L.|(L)"1=T|Per T"M)Zi]l_1T"2(L"2.T"2)yl(L

.fa)Xl

ha:sidezze

gran¬rispettivedelledimensionileequazioninelleIntroducendo

TC *(73)Z2].(g)y2•[Um)X2=

T0(7s)Zl]•(g)yl.[(dm)Xl=1

otteniamo:

terminiTtedeiindipendentiparametricomeysegdm,Scegliendo

TL=/sm=1>

rn-1T22/

MT-2L-2=kg/m3=Vs

T"2L=m/s2=g

L=m=dm

MT"2L"1=kg/m2=T0

dimensioni:lehannoparametriI

(TTZ)f=%

a:ugualeèadimensionali

terminiafunzionelachemododiparametri,5comprende(54)La

Sostituendo questi valori in Hi si ha:

% (dm)"1 • (g)° • (Vs)"1 T«

oppure

1C1 =T0

dm • Ys

Per 1C2 vale : 1U2 =

-2 m-2 „vZ>

(L)X2 . (L T"^)y2 . (L-^ T~z M)z2 L2 I"1

Indi 0 = X2 + y"2_ 2z2 + 2

0=0 - 2y2 - 2z2 - 1

0=0 +0 +z2+0

Risolvendo le tre equazioni:

x2 = --

22

^2= _

ì2

e sostituendo in TC^si ottiene:

1Cl = (dm)"Vl. (g)"1A. (y$)°

oppureV

** =

>A,

Adm ' g

Introducendo la 67) e la (58) nella (56) , questa prende la forma

dm ' 7sss f

dm ' g

130

Per la risoluzione della (59) ci siamo serviti, come già accenna¬

to sopra, dei dati sperimentali riportati nelle fig. 15 a 18. In

questi possiamo rilevare la portata d'acqua corrispondente all'ini¬

zio del trasporto solido; dai grafici delle fig. 20 a 23 possiamo

poi trarre le rispettive altezze idriche b.Q0. Questi valori, come

quelli delle altre operazioni riguardanti il calcolo della (59) ,

li abbiamo riportati nella tab. 22. Nella fig. 44 abbiamo indica¬

to i valori relativi alle due espressioni della (59) .Le curve trac¬

ciate caratterizzano la media dei punti calcolati; esse variano

con la pendenza, e precisamente con Je^ (vedi anche fig. 45).

Introducendo la funzione

Lm

te

Ys•

= f

dm

v

g

60

Calcolo della forza critica di trascinamento

h dm Q hGo il1o = to V to V*

dm •

?s dm3W dm '

ft• 05V* dn^-g1*

«ÌOO m I/s m kg/m3 kg/m2 adirru adim. adim. adim.

1.04

1.04

1.04

5.0

5.0

5.0

5.0

7.5

7.5

7.5

7.5

10.0

10.0

10.0

10.0

0. 0026

0. 0052

0. 0089

0. 0026

0. 0052

0.0089

0.0111

0. 0026

0.0052

0.0085

0.0111

0. 0026

0. 0052

0. 0089

0.0111

16

25

30

7

10.5

14

16

4.5

ri

i

9.5

12.5

4

6

8.5

10

0.062

0.082

0.092

0.019

0. 0255

0.032

0.036

0.014

0.019

0.023

0. 0285

0.0115

0.0150

0.020

0.023

2700

2710

2700

2700

2710

2700

2700

2700

2710

2700

2700

2700

2710

2700

2700

0. 06448

0. 08528

0. 09568

0. 0950

0. 1275

0.160

0. 180

0. 1050

0. 1425

0. 1725

0. 2138

0. 115

0. 150

0.200

0.230

0.009185

0.006052

0. 003982

0.013530

0. 009048

0. 006658

0.006006

0. 014960

0.010110

0.007516

0.007134

0.016380

0.010640

0. 008323

0. 007674

0. 002889

0.001022

0. 0004563

0. 002889

0.001022

0. 0004563

0.0003277

0. 002889

0.001022

0.0004889

0.0003277

0.002889

0.001022

0.0004563

0. 0003277

0.05115

0. 03370

0.02217

0.05104

0. 03403

0. 02504

0.02259

0. 05084

0. 03436

0. 02554

0. 02424

0.05180

0. 03365

0.02632

0. 02427

0. 0965

0. 0636

0.0461

0. 0965

0. 0636

0.0461

0. 0404

0. 0965

0. 0636

0. 0474

0. 0404

0. 0965

0. 0636

0. 0461

0. 0404

Tab. 22

131

0.018

0,001 0,002

Fig. 44

0.003

abbiamo poi ridotto i grafici della fig- 44 ad un'unica curva;

essa è rappresentata nella fig. 46. Il suo carattere è esponen¬

ziale; dalla fig. 47 risulta che l'esponente è uguale a 2/5. Nel¬

la stessa figura vien pure indicato come la funzione precedente

può essere trasformata nella forma:

^m • Ts • Je1/u

K-Vft

<# • g*

Il valore del coefficiente Ko è indicato nella fig. 48,esso

corrisponde a 0,53.

In base a queste considerazioni la (61) assume la forma:

132

0,020

0.016

0,012

0,010

0,008

0,006

^ 0,005

^ 0,004-

0,003

0.002

0,001

Calcolo dell' esponente p=\ dell' equazione @)

-Valori per —?£—rr = 0,003

= 0,002

0,001

(Vedi fig.Mf)

Equazione generale :

oppure

dm-Ys

To= Kt

dm • Ys • 3e1fc

PerCÌÒ d^fe"KdSfeiff)

:e°/ce /oo

1.0*f

0,06

0,05

ì-

* 0,045

0,03

5

'.*

S£ 0,02

I0,01

4- 5 6 7,5 9 10

Hg. 4-5

*""

v^

/'

dm—=r- (adirneg*

nsionale)

0,001 0,002 0,003

Fig.W

133

0,10

0,08

0,06 -

^ 0.05

*

%

0,04

#0,03

0,02

0,01

Calcolo dell' esponente p = -g- dell'equazione @I

Risoluzione della @:

Io ri V \

dm-Vc-3e1A ' lcU,3fe-n1*in flS JC

le»

Vrir'

V

dm% • g%

10 5 6 7 8 9 10

Fig. 47

0,06

r0

dm ' Ys ' Je

= 0,53v.*/5

% VSlm g

oppure

nr n ^Vs • V/S ,% T%

T0 =0,53

• — «dm • <Je

gV5

-6 2 „VS

Introducendo g = 9,81 m/s e V = 1,2 .10 m /s ( V 5 può essere

reputato come costante), la (63) si riduce:

%,= 1,44 .IO"3 • 7S . dm2/E • Je7" ,

in kg/;m ©

che possiamo considerare come la formula della for¬

za critica di trascinamento per fondi fis¬

si e lisci.

Tenendo conto dalla (55) che :

T° = Tf ' hGo • Je

e dopo aver sostituito quest'espressione nella (64) ,si ricava,

risolvendo l'equazione secondo ho (altezza relativa al tras¬

porto minimo):

-3 TshGo = 1,44- 10

Ammettendo poi

si ottiene

Is

1

= 2700 kg/ni

= 1000 "

hGo= 3 ,9 • IO"3 .

</s

Je3*in m

E interessante confrontare questo risultato con quelli deducibili

dalle considerazioni teoriche del paragrafo 4.2.

A tale proposito possiamo supporre che, all'inizio del movimento,

le particelle solide strisciano (caso più frequente); allora vale

la (15) che dice:

135

dmo= e- •v- lm

Is - 1

Introducendo per c^ la media dei valori indicati a pag. 28/29

la (15) diventa:

dmo

D'altra parte dalla (8) si ha :

6 ^"dm

vdmo = v,

dm \nGmo

>Go

Uguagliando le due ultime equazioni ed introducendo secondo Strick-

ler (35), n = 1/6 risulta:

vGmoLm

hGo

\F

Con sufficiente approssimazione" possiamo porre:

vGmo k • hV3Go

' °e

ViJe '

.

Sostituendo e risolvendo secondo h^n si ricavaGo

2/3 -Ve

xGoh

Vl 6= hGo =

r

%*m

J&

oppure36 dms

*GoJf

Quest '

equazione può essere semplificata ulteriormente introducen¬

do un valore fisso per k; per quanto ci consta possiamo porre k =

100. Così facendo otteniamo:

hGo = 3,6 • 10-3

V3lm

> in m

Come si vede, la (66) e la (67) hanno una struttura sensibilmente

uguale.

136

Il confronto dei risultati ottenuti secondo queste due ultime

formule con quelli acquisiti per via sperimentale è indicato nel¬

la tab. 23 .Come era da attendersi la (66) dà dei valori molto

vicini alla realtà; quelli ricavati dalla (67) presentano, è vero,

una più grande dispersione, tuttavia possiamo dire che pure essi

sono sufficientemente precisi per questo nostro genere di ricerca.

Canale di base

( B = 0. 60 m )

Pendenza

h

Altezza d'acqua

dm = °-0026 m

minima h perGo

v

dm = 0. 0085 m

Dalla

©

Dalla Dati sperimentali

Fig.

Dalla

®

Dalla

©

Dati sperimentali

Fig.

1.04

5.0

7. 5

10.0

m

0.062

0.019

0.014

0.011

m

0.065

0.014

0.009

0. 007

m

0.062

0.019

0.013

0.010

15 +20

16 +21

17+22

18 +23

m

0.100

0.031

0.023

0.018

m

0.144

0.030

0.020

0.015

m

0.092

0.032

0.023

0.019

15 +20

16 +21

17 +22

18 + 23

Tab. 23

8.3. Confronto con la formula di Meyer-Peter per fondo mobile

All'inizio della presente indagine, soprattutto nel paragrafo

4.1., abbiamo accennato alla diversità di comportamento tra i fon¬

di mobili e fissi. Parlando di questo argomento, abbiamo presenta¬

to le ragioni per cui, nel primo caso, l'entità solida è inversa¬

mente proporzionale al calibro granulometrico. Riassumendo, abbia¬

mo visto che per quella specie di fondi, aumentando il calibro del

materiale, s'accresce il grado di rugosità del fondo, mentre inve¬

ce la capacità di trasporto della corrente diminuisce.

Nei capitoli precedenti abbiamo dimostrato che il fenomeno del

trasporto solido su fondo fisso, si svolge in modo un po' diverso.

La formula ricavata esprime infatti che la portata solida aumenta

in ragione della radice quinta del diametro del materiale da con¬

vogliare .

Al termine della nostra indagine, ci è sembrato interessante,

a complemento di queste considerazioni d'ordine generale, confron¬

tare la nostra formula con una delle più conosciute nel campo del

137

trasporto solido su fondi mobili, cioè con quella di Meyer-Peter.

Questa formula è definita dalla (2j. Se nell'equazione sostituiamo

la nota espressione Rs =

9s «JVi

Q<

7 • h • 3e •

Qh(j ,

otteniamo:

^k— 0. 0M-7 Ts

3/z

Tenendo poi conto di t = ^ ,Rs.Je (forza di trascinamento) e delle

y"

y* — yrelazioni y'j = -ys-y e gs = gs • —£— = gs

7s h

l'equazione precedente si trasforma in:

9sYs

.

/ 9

Vs-7

Y? %

0.0V7 (vs-v)t3/2

Jm,in kg/sm

Per il fondo fisso e liscio,invece, vale la (48

9s= 1*,E

3mT9/s g3/s -

dft

7V5 . v*- 23,Z •

y,• V, in kg/ sm

Le due equazioni indicano una forte dipendenza di gs dalla forza

di trascinamento t.L'influsso di questa grandezza è sensibil¬

mente uguale in ambedue le equazioni; infatti, la (68) contiene

gs = f (t15AoÌ ,mentre per la (48) ,

vale gg = f ( T 16/l°) .In con¬

cordanza, inoltre, con quanto è già stato detto, il gs nella (68)

diminuisce col calibro granulometrico, nella (48) , invece, esso

aumenta con%

••m

Per meglio illustrare le differenze esistenti tra le due for¬

mule in questione, abbiamo da ultimo calcolato alcuni casi numeri¬

ci. I risultati conseguiti sono indicati nella tab. 24; essi si ri¬

feriscono al canale di base, cioè per B = 0,60 m. Come negli esem¬

pi precedenti, anche qui abbiamo ammesso:

ys = 2700 kg/m3 g = 9,81 m/s2

= 1000 " V = 1,2 . 106 m2/s

138

m

Taf). 15 + 16

dai rilievi

(B=0. 60m)

gs

calcolato per fondo

fisso

daIla(53)mobile

daIla (69)

1

«fro

5.0

10.0

m

0. 0026

0. 0052

0. 0089

0. 0026

0. 00.V2

0.0089

m3/s

0.050

0.100

0.140

0. 190

0. 240

0.050

0.100

0.140

0.190

0.240

0.050

0.100

0.140

0.190

0.240

0.050

0.100

0.140

0.180

0.050

0.100

0.140

0.180

0.220

0.050

0.100

0.140

m

0.076

0.122

0.154

0.192

0.226

0.077

0.124

0.156

0.194

0.228

0.078

0.126

0.158

0.196

0.230

0.064

0.101

0.125

0.147

0.065

0. 102

0.127

0.149

0.170

0.067

0.104

0.129

kg/m^

0.322

0.476

0.568

0.661

0.738

0.327

0.488

0.580

0.678

0.755

0.334

0.499

0.592

0.691

0.769

0.560

0.822

0.980

1.095

0.573

0.836

0.992

1.105

1.205

0.590

0.857

1.015

kg/sm

0.289

0.630

0.848

1.142

1.408

0.360

0.737

1.016

1.370

1.669

0.418

0.848

1.234

1.630

1.961

0.814

1.586

2.317

2.775

0.920

1.758

2.486

2.950

3.581

1.180

2.192

2.830

kg/sm

0.302

0.632

0.862

1.121

1.350

0.371

0.769

1.040

1.354

1.625

0.438

0.901

1.209

1.569

1.874

0.842

1.620

2. 171

2.608

1.018

1.926

2. 556

3.052

3.517

1.201

2.243

2.994

kg/sm

0.048

0.174

0.271

0.383

0.485

nessun trasp.

0.024

0.084

0. 168

0.248

nessun

trasp.

0.017

0.262

0.604

0.852

1.050

0.078

0.342

0.549

0.717

0.880

nessun trasp.

0.069

0.209

6.3

3.6

3.2

2.9

2.8

00

32.0

12.4

8. 1

6.6

110.2

3.2

2.7

2.6

2.5

13. 1

5.6

4.7

4.3

4.0

32.6

14.3

Tab. 24

Se supponiamo, inoltre, che il trasporto su fondo mobile si svolge

senza alcuna formazione di banchi (caso più favorevole per il tras¬

porto propriamente detto) possiamo porre per la (68) :

= 1

dove, come abbiamo già indicato a pag. 15, ks rappresenta il coef¬

ficiente di scabrezza per il fondo smosso e kr è l'analogo per

il fondo di uguale materiale ma distribuito regolarmente.

139

Così considerando, otteniamo

Per la @) :

2700 / 9,81vi*

gs = 81700 V 1000

t - 0.047 . 1700 . dm

3/2

r S/zgs == 1,255- X -- 80 ' dm

L J

,in kg/s.m (fondo mobile) (69)

Dalla (48) abbiamo già derivato, mediante semplificazione, la (53) .

Questa si esprime nella forma:

,in kg/s.m (fondo fisso e liscio)= 7,63 .T8/*. d/5 _ o,075

I coefficienti della col.9 sono elevati e il loro valore au¬

menta col calibro granulometrico. Si costata, tuttavia, che, a

pendenza uguale, il coefficiente diminuisce con la portata d'ac¬

qua. Questo fatto indica che col crescere della portata d'acqua,

e con ciò anche di quella solida, lo strato di materiale che si

trascina sul fondo prende lentamente l'aspetto di un fondo mobile.

E logico, e le cifre della tab. 24 lo confermano, che un tale fe¬

nomeno si verifica dapprima per la granulometria fina.

Anche per l'inizio del trasporto soli-

d o (gs = 0), otteniamo dei valori sensibilmente diversi tra i

due fondi. La (64) indica la forza critica di trascinamento per

il fondo fisso.

Per quello mobile, ricaviamo dalla (69) :

T0= 80 . dm ,in kg/m @

Considerando che T0 = *y • h(j0 • J(

e risolvendo la (70) secondo h.Q0 (altezza minima di trasporto)

si ha:

80 . dm

'Go

140

oppure con "y --- 1000 k/m possiamo scrivere per il fondo

mobile :

hGo = 80 . 10-3 d

m

Jf,in m ©

Per il fondo fisso abbiamo trovato a pag.135 :

,in m (66)hGo = 3,9- 10•3 um

J3/V

E interessante poter fare un confronto numerico

tra queste due formule. I valori per la (66) possono essere rile¬

vati dalla tab. 23, quelli per la (jl) sono da calcolare. Così

facendo otteniamo:

Fondo fisso Fondo mobile

Dalla (66) Dalla (7l)(vedi tab.23) (calcolati)

Per Jp = 1,04 %o

"

Je = 5,0

"

Je = 7,5

"

Je = 10,0"

lm

Lm

2,6 mm b.Q0 =

= 8,5

= 2,6

- 8,5

e dm = 2,6

- 8,5

e dm = 2,6

= 8,5

mm

62

100

19

31

14

23

11

18

mm

200

653

42

136

28

91

21

68

Le cifre mettono molto bene in evidenza gli scarti esistenti

tra le diverse altezze minime hQ0. Gli scarti diminuiscono con la

pendenza, essi però aumentano con il calibro granulometrico. Con

materiale più grossolano le differenze non fanno che aumentare.

141

9. Conclusione

Con la presente ricerca ci siamo proposti d'indagare i fenome¬

ni riguardanti il trasporto di materiale solido a calibro unitario

su fondi fissi e lisci. In sede di conclusione, ci sembra lecito

affermare di aver stabilito, entro i limiti tracciati, le leggi che

regolano la massima portata solida per trascinamento che una cor¬

rente d'acqua è in grado di convogliare.

I risultati conseguiti dimostrano che i fondi sperimentati si

comportano in modo ben diverso di quelli mobili o alluvionali; an¬

zi, le differenze riscontrate sono tali che le formule del tras¬

porto solido per l'uno dei fondi non possono affatto essere appli¬

cate all'altro.

Le nostre esperienze hanno messo in evidenza due fasi ben dis¬

tinte nel comportamento del materiale durante il trasporto:la pri¬

ma si riferisce alla zona corrispondente all'inizio del trasporto,

la seconda trovasi al di là di questa ed è caratterizzata da un mo¬

vimento marcato delle particelle solide. Quest'ultima fase è indub¬

biamente quella che maggiormente interessa nelle applicazioni pra¬

tiche; la conoscenza delle sue leggi è di somma importanza per il

dimensionamento dei canali a rivestimento artificiale. E appunto

sotto questo aspetto che ci siamo proposti di esaminare il problema.

La formula stabilita per il trasporto indica che la portata

solida è fortemente dipendente dalla forza di trascinamento della

corrente idrica. Il calibro del materiale da convogliare, invece,

influisce in misura meno sensibile.

I dati sperimentali hanno dimostrato che per un moto fortemen¬

te turbolento, cioè per numeri di Reynolds molto elevati, il feno¬

meno del trasporto solido ubbidisce alle regole della similitudi¬

ne di Proude. Inoltre, potemmo costatare che questo stato di for¬

te turbolenza, per i fondi fissi e lisci, si realizza a numeri di

Reynolds più elevati che per i fondi mobili.

Riassumendo, possiamo dire che i risultati ottenuti riposano

su un numero rilevante di prove. Essi sono conclusivi nei limiti

prestabiliti. Tuttavia, non crediamo affatto di aver esaurito il

tema; anzi, è da augurarsi che ulteriori ricerche siano intrapre¬

se sull'argomento.

142

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147

vdm m/s

vdmo m/s

v* m/s

vgr m/s

h m

hm m

Elenco e significato dei simboli usati

Simboli Dimensioni Significato

v m/s Velocità del fluido in un punto.

vm m/s Velocità media nella sezione trasversale per

deflusso senza trasporto di materiale solido.

VQm m/s Velocità media nella sezione trasversale per

deflusso con trasporto di materiale solido.

Velocità media agente sul grano.

Velocità media agente sul grano all'inizio

del movimento.

Velocità d'attrito della corrente liquida.

Velocità di una particella solida.

Altezza d'acqua in un punto.

Altezza d'acqua della sezione trasversale

per deflusso senza trasporto di materiale

solido.

hQ. m Altezza d'acqua della sezione trasversale

per deflusso con trasporto di materiale so¬

lido.

Altezza d'acqua all'inizio del trasporto.

Larghezza del canale.

Portata d'acqua nella sezione.

Portata d'acqua per unità di larghezza.

Portata d'acqua della sezione agente sul

fondo.

Portata d'acqua per unità di larghezza agen¬

te sul fondo.

Pendenza del fondo del canale.

Pendenza del pelo libero o pendenza motrice.

Pendenza della linea d'energia o di carico.

Accelerazione di gravità.

Sezione liquida per deflusso senza traspor¬

to di materiale solido.

hGo m

B m

Q m /s

<i

3/m /sm

Qs3/

m/s

<ls

3/m /sm

Js -

Jw -

Je -

g/

2m/s

F2

m

Simboli Dimensioni Significato

FG2

m

Fs2

m

Fw2

m

U m

R m

Sezione liquida per deflusso con trasportodi materiale solido.

Sezione liquida corrispondente alla portata

agente sul fondo.

Sezione liquida corrispondente alla portata

agente sulle pareti.

Perimetro bagnato.

Raggio idraulico per deflusso senza traspor¬to di materiale solido.

Rq. m Raggio idraulico per deflusso con trasportodi materiale solido.

Rs m Raggio idraulico della portata di fondo.

1/3 ,

km m /s Coefficiente di scabrezza medio per deflusso

senza trasporto di materiale solido.

ks" Coefficiente di scabrezza del fondo per de¬

flusso senza trasporto di materiale solido.

kv" Coefficiente di scabrezza delle pareti per

deflusso senza trasporto di materiale solido.

Coefficiente di scabrezza medio per deflusso

con trasporto di materiale solido.

Coefficiente di scabrezza del fondo per de¬

flusso con trasporto di materiale solido.

Peso specifico del fluido.

Peso specifico del materiale solido pesatoa secco.

Peso specifico del materiale solido pesatosott'acqua.

Diametro di un singolo grano.

Diametro medio della granulometria.

Forza critica di trascinamento.

Forza attiva di trascinamento.

Portata solida di trascinamento nella sezio¬

ne, pesata a secco.

kGmti

kGs 11

7 kg/m

73ti

V11

d m

dm m

t. kg/m

t kg/m

GS kg/s

149

Simboli Dimensioni Significato

gs kg/sm Portata solida di trascinamento per unità di

larghezza, pesata a secco.

rs kg/sm Portata solida di trascinamento per unitàdi

larghezza, pesata sott'acqua.

Fr -

Fr* -

/" kg s/m

« kg s /m

V

2/m / s

s kg

i> Celsio Temperatura dell'acqua.

Re' - Numero di Reynolds per correnti a superficielibera.

Re* - Numero di Reynolds riferito alla granulome¬tria.

Numero di Froude del liquido.

Numero di Froude riferito alla granulometria.

Viscosità del liquido.

Densità del liquido.

Viscosità cinematica del liquido.

Spinta idrodinamica sul grano.

Coefficiente di resistenza del grano alla

corrente.

Superficie del grano.

Volume del grano.

Resistenza d'attrito del grano sul fondo.

Coefficiente d'attrito del grano.

Portanza.

Peso di una particella solida pesata a secco.

Peso di una particella solida pesata sott'ac¬

qua.

o i j • • j • Natura-, ,, ,

Scala di riduzione — delle grandezzeì -,-r^o-r.-; Modellolineari.

Coefficiente di correlazione.

A2

m

V3

m

¥ kg

cw -

P kg

G kg

G" kg

K _

150

Zusammenfassung

Geschiebetransport in Kanalen auf fester und glatter Sohle

Das Problem, welches den Gegenstand dieser Arbeit bildet, tauch-

te anlasslich der Entwicklung eines neuen Typs von Wassermessta-

tionen auf (Fig.l und 2). Es ging damals darum fur Gewasser mit

starker Geschiebefiihrung, eine zeitlich konstante Beziehung zwi-

schen Abflussmenge und Wasserstand zu finden.

Die Lbsung dieses Problems wurde durch den Einbau eines Kanals

mit fester Sohle im Plusslauf gesucht.

Als es sich darum handelte, die Projekte aufzustellen, ware es

niitzlich gewesen, wenn man sich auf Gesetze des Geschiebetranspor-

tes auf fester Sohle hatte stiitzen kdnnen. Leider stellte man fest,

dass iiber diese Frage recht wenig Untersuchungen durchgefiihrt wor-

den sind. So beschrànken sich die meisten Arbeiten iiber den Ge¬

schiebetransport auf die beweglichen Sohlen, insbesondere auf sol-

che alluvionalen Charakters. Die Erfahrung zeigte uns aber, dass

es nicht zulàssig ist, fiir feste Sohlen dieselben Formeln anzuwen-

den, welche fiir bewegliche Sohlen giiltig sind. Daraus ergab sich

die Notwendigkeit die vorliegende Studie durchzufiihren.

Die Versuche, auf welche sich unsere Arbeit stiitzt, wurden in

der Versuchsanstalt fiir Wasserbau und Erdbau der Eidgenbssischen

Technischen Hochschule in Zurich unternommen. Der Umfang des Pro¬

blems zwang uns dazu, unsere Studie nur auf einige, genau bestimm-

te Falle zu beschranken. Die getroffene Yahl betraf Versuche mit

glatter Sohle und mit Material von einheitlicher Korngrbsse, d.h.

mit sehr engem Variationsbereich der Durchmesser (Fig. 10 und 11).

1. Installationen und Versuche. Die Hauptversuche wurden in einem

Betonkanal (Beilage 1) mit rechteckigem Querschnitt, 0.60 m

breit und 44 m lang durchgefiihrt. Die Hauptversuche wurden dann

durch weitere Versuche in einem Kontrollkanal (Fig.37), eben-

falls mit rechteckigem Querschnitt (0.30 m breit und 5.7m lang)

erganzt. Dieser zweite Kanal hatte den Vorteil, mit Seitenwàn-

den aus Glas versehen zu sein, was sowohl die direkte Beobach-

tung, als auch die kinematographische Aufnahme der Bewegung der

festen Teilchen erlaubte.

151

Im Verlauf der Versuche wurden das Làngsgefalle der Kanàle,

die Abflussmengen und die Korngrossen des zu transportierenden

Materials variiert.

1m Ganzen wurden 204 Versuche durchgef iihrt, davon 140 im

Betonkanal (Hauptversuche) und 64 in der Glasrinne (Kontroll-

versuche). Im ersten Kanal erstreckten sich die Versuche auf 4

verschiedene Gefàlle (1.04, 5.0, 7.5 und 10.0 fio), auf 6 Korn-

durchmesser (l.l, 2.6, 5.2, 8.5, 8.9 und 11.1 mm) und auf Ab-

flussmengen zwischen 10 und 285 l/s. Im Kontrollkanal konnte

das Làngsgefalle in weiterem Rahmen veràndert werden (3.0, 5.0,

7.5, 10.0, 15.0 und 20 fio). Fur jedes Gefàlle wurden zwei Korn¬

grossen (2.6 und 5.2 mm) untersucht, bei verschiedenen Abfluss-

mengen zwischen 2 und 40 l/s.

Das verwendete Material wurde mittels Sieben mit quadrati-

schen Maschen sortiert; das mittlere spezifische Gewicht des

3Materials betrug 2.71 t/m .

Die Geschiebekorner wurden annahernd

als Ellipsoide betrachtet. Fiir eine grbssere Anzahl von Kornern

(Tabelle 2) wurde das Verhàltnis der drei Hauptachsen bestimmt

und dementsprechend die Teilchen in 4 Gruppen eingeteilt: fla-

che, kugelige, stengelige und flachstengelige Teilchen. Der mitt¬

lere Durchmesser der ausgesiebten Teilchen entsprach ziemlich

gut dem Mittelwert der beiden kleineren Achsen des Ellipsoids.

Der Hauptkanal besass am Einlauf ein Beruhigungsbecken; am

unteren Ende wurde in einem zweiten Becken das transportierte

Material gesammelt.

Die Abflussmenge wurde mit einem Venturimeter und einer Blen¬

de gemessen, diese wiederum wurden mit Hilfe von Pitotrohren

und hydrometrischen Fliigeln kontrolliert.

Dank der verhàltnismàssig grossen Lànge des Hauptkanals

(44 m) war es moglich, auf einer Strecke von ungefàhr 20 Metern

einen Normalabfluss zu erzielen. Die Messung der Vasserstànde

erfolgte mit einem elektrischen Stechpegel, welcher Ablesungen

bis l/lO mm Genauigkeit ermoglichte.

Die Wassertemperatur wurde ebenfalls gemessen und variierte

von 17° C im Sommer zu 10° C im Winter.

Die optimale Geschiebemenge wurde definiert als die maxima¬

le Materialmenge, welche das fliessende Wasser pro Zeiteinheit

im Kanal ohne Bildung von Ablagerungen befb'rdern konnte. Die Be-

schickungsdauer des Materials wurde geniigend lange gewàhlt, um

im Kanal einen konstanten Geschiebetransport wàhrend mehrerer

Minuten zu erreichen. Die Beilage 1 und die Fig. 12 und 13 zei-

gen die Installationen, welche fiir die Beschickung des Materials

gedient haben. Das Material wurde aus einem Silo durch einen

elektromagnetischen Vibrator in Bewegung gesetzt. Um eine zeit-

lich konstante Beschickung des Materials mit dem Vibrator zu

gewàhrleisten, war es notwendig dasselbe vorgehend zu trocknen.

Fiir die Ermittlung der Geschiebemenge wurden bei Beginn und bei

Ende jeden Versuches Proben entnommen und gewogen.

Die Ergebnisse und ihre Auswertung; Eine erste graphische Dar-

stellung der Beziehung zwischen Geschiebemenge und Abflussmenge

(Fig. 15 bis 18) zeigt zwei deutlich unterschiedliche Phasen

des Geschiebetransportes. Die erste (Teil der Kurve in der Nàhe

des Ausgangspunktes) entspricht dem Beginn der Bewegung, die

zweite (Teil der Kurve nach dem Wendepunkt) kennzeichnet den

Zustand einer ausgepragten Bewegung der festen Teilchen. Die

zweite Phase ist die wichtigere fiir die praktischen Anwendungen.

Die Ergebnisse zeigen, dass die Geschiebemenge in starkem

Masse von der Schleppkraft des Vassers abhàngig ist. Die

Schleppkraft wird ausgedriickt durch:

T = 7 • Rs • Je, in kg/m2worin y das spezif ische Gewicht der Fliissigkeit (kg/m )

,

Je das Gefàlle der Energielinie und

Rs den hydraulischen Radius (m), des auf die Sohle

wirkenden Abflusses Qs (m /s) darstellt.

Der Wert von Qs ist ein Teil der gesamten Abflussmenge Q;

er wird berechnet unter Beriicksichtigung des Rauhigkeitsunter-

schiedes zwischen den Wanden und der Sohle des Kanals und unter

der Annahme, dass die mittlere Geschwindigkeit in alien Punkten

des benetzten Querschnittes konstant sei.

Fiir den Fall des Geschiebetrie-

b e s in einem Kanal mit rechteckigem Querschnitt, erhàlt man

mit :

153

vGm a-*-s mi"t"tlere Geschwindigkeit des benetzten Querschnittes

=___QB . hG

kGm als mittleren Rauhigkeitsbeiwert fiir den benetzten Quer-

schnitt,

kGs als Rauhigkeitsbeiwert der Sohle,

kv als Rauhigkeitsbeiwert der Wande (auch gleich dern mittle¬

ren Rauhigkeitsbeiwert des Querschnittes im

Falle des Abflusses ohne Geschiebetrieb = km)

Fs als benetzte Flàche und Rs als hydraulischen Radius bezo

gen auf Qs:

*Gm(B + 2 hG)'

ft

B

^Gs

+

2 hG

k3/*

Vz

und

[Gs

B

^Gm wBV3

3/2[W

,3/2 3/2

+ 2 hG (kv- kGm

%

Anderseits hat man:

ReB

Q,

rGm B

Q£lG

Nach Umwandlung erha.lt man:

V,

Qs = Q • B*-w

34B • kw^ + 2 h

G* KGs

J /in m /i

Die Geschiebemenge. Die Formel fiir den Geschiebetransport auf

fester und glatter Sohle konnte auf Grund der Dimensionsanalys

und zwar nach dem T- Theorem aufgestellt werden.

Die Funktion der Geschiebemenge wird in ihrer allgemeinen

Form folgendermassen ausgedriickt:

= f (t, dm, ys, v

, g )

darin bedeuten:

gs Geschiebemenge pro Breiteneinheit, in kg/sm

2T Schleppkraft des Wassers, in kg/m

dm Korndurchmesser des Geschiebes, in m

<ys spezifisches Gewicht des Geschiebes, in kg/m

2 ,

V kinematische Zàhigkeit des Vassers, in m /s

/2

g Erdbeschleunigung, in m/s

¥enn g, ^s un<^ v a-'-s unabhàngige Grbssen der Argumente

IT gewahlt und die drei Grundeinheiten der Mechanik (Lange L,

Zeit T und Masse M) berucksichtigt werden, so ergeben sich fol-

gende dimensionslose Kombinationen:

wobei

TCI = f (12, 13) (36

XI = [(g)xi . (7s)yl • (-v)zl] -g

1C2 = [(g)*2 • (Ys)72 ' (*)Z2] '*

13 = [(g)X3 . (^3 . (v)z3] .dlm

Nach Einfiihrung der Dimensionen und nach Berechnung der Ex-

ponenten x, y und z, nimmt die Funktion der Geschiebemenge

die Form an:

Is f( T -^ àm • Z3 \ (JJ

Diese Funktion wurde unter Verwendung der Versuchsergebnis-

se gelbst. In der graphischen Darstellung der Fig.32, velche

als Abszisse das linke Glied und als Ordinate das erste Argu¬

ment des rechten Ausdruckes der Formel (41j zeigt, stellt man

fest, dass die Punkte gleicher Korngrbsse ziemlich gut um eine

Exponentialkurve vereinigt sind. Die verschiedenen Kurven sind

von einem Parameter abhangig, nàmlich dem zweiten Argument des

rechten Ausdruckes der Formel (4l) .Nach einigen Umwandlungen

gelangt man zu der Gleichung fiir den Geschiebetransport:

155

T8/s • gVs • ig= 1,6 + 0,069

gs

Ys ' vKsB/s •

**

In der Fig. 36 ist diese Gleichung in der Form einer Gera-

dai dargestellt.

Anschliessend wurde der Korrelationskoeffizient der Ver-

suchswerte berechnet; er driickt sich aus mit:

wobei

x =

r =

I AX • Ay

Ì_ _.

|

is • V

I x

n; Ax = x - x

m

Tfl/' • g3/5 • dm5 lyy =

5Z SE ; ym =—TT— 5 AY = Y " Ym

v/s. v6*n

Die Berechnung ergibt r = 0.998, was einen sehr engen

Zusammenhang zwischen den Veranderlichen x und y anzeigt.

Wie aus der Formel (47Ì ersichtlich ist, hat die Viskositat

der Fliissigkeit noch einen Einfluss auf den Geschiebetrieb. Die¬

se Grosse musste hauptsàchlich im Hinblick auf die Versuchser-

gebnisse mit kleinen Korndurchmessern beriicksichtigt werden.

Die Versuche zeigten, dass die Reibungskraft erst bei erheb-

licher Grosse der Reynoldschen Zahl (Re*> 600) vernachlassigbar

wird. Ueber diesem Bereich gilt das Aehnlichkeitsgesetz nach

Froude.

In ihrer Gesamtheit haben auch die im Kontrollkanal durch-

gefiihrten Versuche die vorgehend erwàhnten Ergebnisse bestatigt.

Lost man die Gleichung (47) nach gs auf, erhàlt man:

,in kg/smgs == 14,5

T8A . g3/5 . dm/s- 23,2 ' 7s V

Man kann die Formel (48) vereinfachen durch Einfiihrung von

konstanten Verten fiir die wenig veranderlichen Grossen, wie die

kinematische Viskositàt (v), die Beschleunigung (g) und das spe-

zifische Gewicht des Materials (ys). Venn man einsetzt : V =

1,2 • 10 m /s (entsprechend einer Vassertemperatur von 13° C),

g = 9,81 m/s2 und ys = 2700 kg/m ,reduziert sich unsere For¬

mel fiir die Geschiebemenge auf:

gs = 7,63 • T%lm - 0,075 ,

in kg/sm ©

Fiir angenaherte Berechnungen oder venn es sich um betràcht-

liche Geschiebemengen handelt, kann sogar das zveite Argument

des rechten Gliedes in der Formel (53j vernachlàssigt verden.

4. Die Grenzschleppkraft : Die Formel fiir die Grenzschleppkraft

wird in ihrer allgemeinen Darstellung ausgedriickt mit:

%» = f (dm, g, 7S, T )

worin

T. = y • Rs • Je = Tf • hQo • J(

hQ0 bedeutet die ¥assertiefe bei Beginn der Geschiebebewegung.

Nach dem T -Theorem erhàlt man:

TC 1 = f (T 2)

Werden dm, g und *ys als unabhàngige Parameter der T -Argu-

mente gewàhlt, so ergibt sich nach Umvandlung die Gleichung:

t0 - 0,53h V2/5

gv5

l2/*Lm J

\,

in kg/m

2 2Verden fiir g (m/s ) und v (m/s) die schon ervàhnten Zahlen-

werte eingesetzt, erhàlt man:

t. = 1.44 • 10" dm J>,

in kg/m 64

157

Bei Einfiihrung von ^ s= 2700 kg/m3 flir das vervendete Mate¬

rial zeigt sich:

%, = 3,9V5

Lm J, ,in kg/m

Lost man die Gleichung nach hg. auf und setzt man flir 'y

1000 kg/m ein, dann reduziert sich die Gleichung auf:

hGo = 3>9 10-3 dm

J>, m m

Die Versuchsergebnisse sind in der Tabelle 23 aufgefiihrt,

5. Vergleich mit der Formel von Meyer-Peter fiir bevegliche Sohle

a) Nach der Formel von Meyer-Peter nimmt die Geschie-

b e m e n g e mit dem Korndurchmesser ab. Im Gegensatz da-

zu, nimmt fiir unseren Versuchsbereich bei fester Sohle die

Geschiebemenge mit dm5 zu, nachdem die Bewegung der Teil-

chen eingesetzt hat.

Die Formel von Meyer-Peter nach gs aufgelost lautet:

kg/sm

Wie bereits bei (48) ersetzen vir bei (68) gewisse Gròssen

durch konstante Werte; anschliessend setzen vir eine ebene

Sohle voraus, dadurch ergibt sich — = 1. Die Formel (68)

erhàlt nun die vereinfachte Form:

gs = 1,255 [t - 80 da]\

,in kg/sm (69) : bevegliche Sohle

Fiir die feste glatte Sohle ist anderseits

= 7,63 •tV dm5 - 0,075 ,

in kg/sm (53) : feste Sohl(

158

In der Tabelle 24 sind die Unterschiede in der Geschie-

bemenge ersichtlich, velche unter Vervendung von (53Ì und

(69) entstehen.

.Unsere Studien lassen vermuten, dass bei vollentvickel-

ter Turbulenz das Geschiebetriebgesetz fur feste Sohle mit

der Pormel (5l)b ausgedriickt verden kann. Es ist interessant

festzustellen, dass der Aufbau dieser Pormel mit dem ersten

Glied der rechten Seite von (68) analog ist.

b) Wir haben fiir den Beginn des Geschiebe-

transportes ebenfalls andere Gesetzmassigkeiten

als bei der beveglichen Sohle festgestellt. Bei Annahme von

gs = 0 reduziert sich die Pormel von Meyer-Peter auf:

2t. = 80

lm ,in kg/V bevegliche Sohle

Nimmt man %>= V ' hGo Je

ergibt sichhGo = 80 . 10

-3 lmin m

Piir die feste glatte Sohle haben vir:

t. = 3,9 • d$ • j£ ,in kg/m : feste Sohle

Mit y = 1000 kg/m erhalt man:

hGo = 3,90 • 103

•

^&

, in m

159

Résumé

Transport de materiel solide dans les canaux à fond stable etlisse

Le problème qui fait l'objet de ce travail a surgi à 1'occa¬

sion de l'aménagement d'un nouveau type de station de jaugeage

(fig. 1 et 2). Il s'agissait alors d'obtenir, pour les cours d'eau

à fort charriage, une relation constante dans le temps entre débit

et niveau d'eau.

La solution fut recherchée en établissant des installations

comportant un chenal à fond et à parois stables.

Lorsqu'il s'est agi d'établir les projets, il nous aurait été

utile de pouvoir nous baser sur des lois du transport de materiel

solide sur fond stable. Mais nous nous sommes apercus qu'iln'exis-

tait que fort peu de données sur cette question. En effet, la plu-

part des travaux relatifs au transport solide se limitent aux fonds

mobiles, en particulier à ceux de caractère alluvional. Or 1'expe¬

rience devait nous montrer qu'il n'était pas exact d'appliquer aux

fonds stables des formules établies pour les fonds mobiles. De là

la nécessité d'entreprendre la présente étude.

Les levés sur lesquels notre travail repose ont été effectués

dans le Laboratoire de recherches hydrauliques et de mécanique des

terres de 1'Ecole polytechnique federale à Zurich. L'ampleur du

problème nous a oblige à limiter notre étude à des cas bien deter¬

mines. Nous avons choisi de faire les essais sur fonds et parois

lisses et avec du materiel à calibre unitaire, c'est-à-dire com-

pris entre deux diamètres très rapprochés (fig. 10 et 11).

1. Installations et essais. Les recherches de base ont été exécu-

tées dans un canal en beton (annexe l) de section rectangulai-

re, large de 0,60 m et long de 44 m. Par la suite, d'autres

essais effectués dans un canal de contròie (fig. 37) de section

rectangulaire également (0,30 m de large et 5,7 m de long) sont

venus completer les levés de base. Ce second canal avait 1'a-

vantage d'avoir des parois en verre, ce qui permit aussi bien

1'observation directe que 1'enregistrement cinématographique

du mouvement des particules solides.

160

Au cours des essais nous avons fait varier la pente longi¬

tudinale du canal, le debit du liquide et le calibre du mate¬

riel à transporter.

Au total 204 essais ont été executes, dont 140 dans le ca¬

nal de base et 64 dans celui de controle. Dans le premier canal

les experiences portèrent sur 4 pentes (1.04, 5.0, 7.5 et 10.0 %o),

6 calibres (l.l, 2.6, 5.2, 8.5, 8.9 et 11.1 mm) et sur des de¬

bits variant de 10 à 285 l/s. Dans le canal de contróle la pen¬

te longitudinale a pu ètre variée sur une assez grande échelle

(3.0, 5.0, 7.5, 10.0, 15.0 et 20.0 %o). Pour chaque pente deux

calibres (2.6 et 5.2 mm) ont été étudiés avec une sèrie de de¬

bits compris entre 2 et 40 l/s.

Le materiel employe a été passe au travers de tamis à mail-

les carrées; le poids spécifique moyen du materiel était de

32,71 t/m . Les particules solides étaient considérées comme des

ellipsoides; selon le rapport des trois axes principaux(tabi. 2),

les particules ont été classées en 4 groupes: particules plates,

sphériques, allongées et plates/allongées. Le diamètre moyen

des particules tamisées correspondait assez bien à la valeur

moyenne des deux plus petits axes de 1'ellipsoide.

Le canal de base comprenait à l'extrémité supérieure un

bassin tranquillisateur; à l'extrémité inférieure un second

bassin recueillait le materiel solide transporté.

Le débit liquide était mesuré au moyen d'une buse venturi

et d'un diaphragme, contrólés à leur tour à l'aide de tubes Pi-

tot et de moulinets hydrométriques.

Gràce à la longueur relativement grande du canal de base

(44 m) il a été possible d'obtenir un écoulement normal sur une

vingtaine de metres environ. La mesure des niveaux d'eau s'ef-

fectuait au moyen d'un hydromètre électrique (limnimètreà poin-

te), permettant une lecture au 1/10 de millimetre.

Nous avons mesuré également la temperature de l'eau. Celle-

ci a varie de 17° C (été) à 10° C (hiver).

Le débit solide optimum a été definì comme étant la quanti-

té maximum de materiel que le courant liquide était en mesure

de transporter le long du canal par unite de temps. La durée

d'injection du materiel solide était choisie assez longue pour

161

obtenir dans le canal un état constant de transport solide pen¬

dant plusieurs minutes. L'annexe 1 et les fig. 12 et 13 illus-

trent les installations qui ont servi à 1'injection du materiel.

Le materiel était mis en mouvement à partir d'un silo au moyen

d'un vibrateur électromagnétique. Pour obtenir une injection

régulière et constante, il était indispensable de sécher le ma¬

teriel préalablement. La quantité de débit solide était déter-

minée en pesant des échantillons prélevés au début et à la fin

de chaque essai.

Les résultats et leur elaboration; Une première representation

graphique entre débit solide et débit liquide (fig.15 à 18) in-

dique deux phases bien distinctes dans le processus du trans¬

port solide. La première (portion de la courbe proche de l'ori¬

gine) correspond au début du mouvement, 1'autre (portion de la

courbe après le point d'inflexion) caractérise un mouvement

prononcé des particules solides. La seconde phase est celle qui

interesse davantage les applications pratiques.

Les résultats indiquent que le débit solide est fortement

dependant de la force d'entrainement de l'eau, soit de 1'effort

tangentiel du liquide sur le fond. La force d'en-

2

trainement s'exprime par X -

y • Rs . Je ,en kg/m ,

où y représente le poids spécifique du liquide (kg/m ),

Je la pente de la ligne d'energie

et Rs le rayon hydraulique (m) relatif au débit liquide Qs

(m /s) agissant sur le fond.

La valeur de Qs est une partie du débit total Q; elle se

calcule en tenant compte de la difference de rugosité entre les

parois et le fond du canal, et en supposant que la vitesse

moyenne est la mème en tous les points de la section mouillée.

Pour le cas de charriage dans un canal

à section rectangulaire, si on définit:

QVQm la vitesse moyenne de la section mouillée =

B . hG

k(jm le coefficient de rugosité moyen pour la section mouillée

kQs le coefficient de rugosité du fond

kw le coefficient de rugosité des parois (on peut le supposer

égal au coefficient de rugosité

moyen de la section en cas d'é-

coulement sans charriage = km)

Ps la superficie et Rs le rayon hydraulique relatifs à Qs,

on obtient:

%

LGm = -

(B + 2 hG)/3

3/7kGs

B+

2 hGVi

*-w

%

et

^Gs =

[-kGm *-w

BV3

3/2

n,

s/2 34 rikw + 2 hG (kw - kGm H

%

D'autre part on a:

R<B W B

Q£

Qh&

Après transformation on obtient:

Q* = Q B

B

V2vw

kw2 + 2 hG . kGs

J /en m /s @

3. Le débit solide: La formule du transport sur fond stable et lis-

se a été établie au moyen de l1analyse dimensionnelle, à savoir

d'après le théorème Tt

La fonction du débit solide s'exprime dans sa forme genera¬

le comme suit:

Si = f (T , lm> Tfs, v, )

où représentent

Ss

X

dm

le débit solide par unite de largeur, en kg/smo

la force d'entrainement de l'eau, en kg/m

le calibre du materiel solide, en m

le poids spécifique du materiel solide, en kg/m"

163

V •la viscosité cinématique, en m^/s

g : 1'acceleration terrestre, en m/s2

En choisissant g, ys et v cornine paramètres indépendants

des termes T et en tenant compte des trois unites fondamenta-

les de la mécanique (longueur L, temps T et masse M), il

résulte:

ou

TU 1

TI

TC2

T3

f ( 12, X3 )

(g)Xl • (ft)yl

(g)X2 • (Ts)y2

(g)X3 • (?s)y3

(v)zi

(v)Z2

(t)z3'

gs

T

dm

Après avoir introduit les dimensions et calculé la valeur

des exposants x, y et z, la fonction du débit solide prend

la forme:

Ss

7sf

T gV3 Vo

Lm • g

Ys • vV3 V V3

Nous avons résolu cette fonction en nous servant des résul-

tats de nos levés. Dans la representation graphique de la fig.

32, ayant pour abscisse le membre de gauche et pour ordonnée le

premier terme de l'expression de droite de la formule (41) ,on

constate que les points correspondant à des particules de mème

calibre se trouvent assez bien réunis autour d'une courbe ex-

ponentielle. Les différentes courbes varient d'après un para-

mètre représenté par le second terme de l'expression de droite

de la formule (4l) . Après quelques transformations on parvient

à l1equation du transport solide, a savoir:

X«< . 9H . dvS= 1,6 + 0,069 •

Ss

**• »* h • v

©

Dans la fig. 36 cette equation est representee sous forme

de droite. Nous avons calculé ensuite le coefficient de corre¬

lation des valeurs expérimentales; il s'exprime par:

OU X

h-v

y =

> Xm -

I AX • Ay

Y £ ax • I Ay

1 x

n

; ym

AX

I y

n

^m

y - ym

Le calcul donne r = 0,998, ce qui indique un lien très

étroit entre les variables x et y.

De la formule (47) il ressort que la viscosité du liquide

a encore une certaine influence sur le transport solide. Cette

grandeur a été introduite pour tenir compte des resultats obte-

nus avec du materiel de petit calibre. Les essais ont montré

que la force de frottement ne peut étre negligee que pour des

nombres de Reynolds Re* > 600. Au-delà de cette limite on peut

appliquer la similitude de Froude.

Dans l'ensemble, les levés que nous avons effectués dans le

canal de contróle ont confirmé les resultats obtenus précédem-

ment.

Si on résout 1'equation (47) par rapport à on obtient:

gs = 14,5

T9* • g** - d*- 23,2 • Ys . V

TsVs . vvs j en kg/sm

On peut simplifier la formule (48) en introduisant des cons-

tantes en lieu et place des grandeurs peu variables, comme la

viscosité cinématique (v), 1'acceleration (g) et le poids spé-

cifique du materiel ( ys ) . Si nous posons donc:V = 1,2 • 10~ m/s

(correspondant à une temperature de l'eau de 13 C), g = 9,81

m/s^ et ys = 2700 kg/m ,notre formule du débit solide se ré-

duit à:

St 7,63 . T9/5

-

d#- 0,075lm ,en kg/sm

Pour des calculs approximatifs ou lorsqu'il s'agit de trans¬

ports solides assez élevés, on peut mème negliger le second ter¬

me du membre de droite de la formule (53) .

165

Force critique d'entrainement: La formule de la force critique

d'entrainement s'exprime sous la forme generale:

f (dm, g, ys ,v )

ou

y. Rs • Je = 1 hGo• Je

hQ.0 étant la hauteur de 1 'eau au début de 1 ' entrainement. D '

a-

près le théorème It on obtient:

TI = f ( 12)

En choisissant dm, g et ^g cornine paramètres indépendants

des termes IT, on obtient après transformation 1'equation:

,en kg/m

2 2Si on remplace g (m/s ) et v (m /s) par les valeurs numériques

déjà mentionnées, il vient:

tr 1,44 10 • dm ,en kg/m'

En introduisant pour le materiel employe Ys = 2700 kg/m ,on

obtient:

vs Vu.T0= 3,9 •

dm«. Je- ,en kg/m'

Si on résout l1 equation par rapport a, h.QQ et si on pose "y =

1000 kg/m , 1'equation se réduit à:

hGo = 3,9 • 10-3

2/sLm

%, en m

Les résultats obtenus expérimentalement sont indiqués dans le

tableau 23.

Comparaison avec la formule de Meyer-Peter pour fonds mobiles

a) Selon la formule de Meyer-Peter pour le fond mobile, le dé

bit solide diminue lorsque le calibre du materiel

augmente. Au contraire, pour le fond stable, dans les limites

de nos essais, le debit solide augmente avec dm ,une fois

le mouvement des particules installé.

La formule de Meyer-Peter résolue par rapport à gs est

celle-ci:

en' kg/sm

Comme nous 1'avons fait pour (48) • nous remplacons dans (68certaines grandeurs par des valeurs constantes; nous suppo-

kssons ensuite un fond regulier,ce qui nous donne :—

— 1

et (68) prend la forme simplifiée:

,en kg/sm (69) : fond mobile

D'autre part, pour le fond stable et lisse, nous avions

,en kg/sm (53) : fond stablegs = 7,63 •

T8/s. dm5 - 0,075

Le table'au 24 met en evidence les divergences qui exis¬

tent entre les deux formules.

Nos études ont montré que, lorsqu'il s'agit d'une forte

turbulence, la loi du transport solide pour fond stable sem-

ble pouvoir ètre exprimée selon la formule (5l)b .II est in-

téressant de constater que cette expression est analogue au

premier terme de droite de la formule (68) pour fond mobile.

b) Nous avons constate des divergences également pour le de¬

but de l'entrainement. En effet, pour :

gs = 0 la formule de Meyer-Peter se réduit à:

T0 = 80 .

d

m en kg/m (70) : fond mobile

167

En posant %> = 7 ' hGo • Je

on obtient

hGo =80-10-3 d

m> en m (71

Pour le fond stable et lisse, nous avions trouvé;

%> = 3,9 • dn? • Je* ,en kg/m : fond stable

En posant -y = 1000 kg/m

et en resolvant 1'equation par rapport a h(j0 on obtie

» en m

* * * * * *

Summary

Bed-load transportation in channels with fixed and smooth invert

The subject of this paper arose from the development of a new

type of gauging station for rivers with heavy bed-load transporta¬

tion (fig. 1 an 2) with the aim to obtain a constant relation bet¬

ween water level and discharge.

The solution adopted for this type of gauging station consists

of an artificial channel with fixed invert and side-walls.

For the design it would have been very useful to have know¬

ledge of bed-load movement through these fixed channels. Although

the problem of bed-load transportation in moveable river beds has

been thoroughly investigated it appears that bed-load movement in

fixed stream beds has not been examined. Experience showed that it

is not allowed to apply the existing bed-load formulas for fixed

stream sections. For this reason it was decided to study this pro¬

blem.

All necessary tests on which the results of this paper are ba¬

sed have been carried out in the Laboratory for Hydraulic Research

and Soil Mechanics at the Federal Institute of Technology, Zurich.

Due to the complexity of the problem this study had to be limited

only to the investigation of some typical cases. Therefore the test

channels were built with smooth surfaces and the used bed-load ma¬

terial had approximately uniform grain size (fig.10 and ll).

1. Test installation. The main and basic tests were carried out in

a 44 m long concrete channel with rectangular cross section of

0.60 m width (appendix l). Later, other tests were carried out

in a 5,7 m long and 0,3 m wide rectangular control channel (fig.

37) to complete the basic measurements. The glass walls of this

control channel allowed the direct observation and filming of

the bed-load movement. During the experiments the slope of both

channels, the discharge as well as the size of the bed-load ma¬

terial was altered. A total of 204 tests have been carried out,

140 in the main and 64 in the control channel.

169

For the main channel 4 different slopes were tested (1.04,

5.0, 7.5 and 10 %o), 6 grain sizes used (l.l, 2.6, 5.2,

8.5, 8.9 and 11.1 mm) and the discharge was varied from 10 to

285 1/s.

The slope of the control channel could be altered in a wi¬

der range (3.0, 5.0, 7.5, 10.0, 15.0 and 20 foo) .For each slope

two grain sizes were tested (2.6 and 5.2 mm) with discharges

between 2 and 40 l/s.

The size of the bed-load material was determined by means

of a square meshed sieve. The mean specific weight of the mate-

rial was 2.71 t/m .Each single grain was considered as an el¬

lipsoid. According to the relation between the length of the

three principle axes (table 2) the grain was classified into

4 different groups: Particularly flat, spherical, long, long

and flat. The mean diameter of the grain passing through the

sieve corresponds quite well to the mean of the two short axes

of the ellipsoid.

The main channel was equipped with a stilling basin at its

beginning. Another basin at its end collected the transported

material.

The water discharge was measured by means of a venturi me¬

ter and a diaphragm. Both could be controlled with Pitot tubes

and current meters.

Due to the considerable length of the main channel (44 m)

it was possible to obtain a uniform flow having a length of

about 20 m. The water level was measured with an electric hy¬

drometer (point gauge) allowing an accurate reading of l/l0mm.

The water temperature was also measured and varied between

17° C (summer) and 10° C (winter).

The optimum bed-load transport has been defined as the maxi¬

mum amount of material transported along the channel per unit

time.

The installation for adding the bed-load material into the

water is shown on appendix 1, fig. 12 and 13. The material was

given so long as to obtain a constant transport over the whole

length of the channel for several minutes. An electromagnetic

vibrator moved the material from a container into the water. In

170

order to obtain a regular flow of the material, it was also ne¬

cessary to dry it before it was placed in the container. The

rate of discharge of the material (solid discharge) was deter¬

mined by weighing samples before and after each test.

Test results and their elaboration. Two different phases of bed-

load transportation could be observed when the relation between

liquid and solid discharge (fig.15 to 18) is comparedrThe first

phase (part of curve near the origin) corresponds to the commen¬

cement of bed-load movement. The second phase (rest of the cur¬

ve) caracterises the steady movement of the material and, of

course, has more practical interest than the first phase.

The results show that the solid discharge depends to a lar¬

ge extent on the tractive stress of the fluid on

2the bed, being T = y . Rs . Je, in kg/m

where y is the specific gravity of the fluid (kg/m )

Je the slope of the energy line and

Rs the hydraulic radius (m) corresponding to the fluid

discharge Qs (m /s) acting on the stream bed.

Qs is a part of the total fluid discharge Q and is deter¬

mined by taking into consideration the different roughnesses of

invert and side walls of the channel and assuming that the mean

velocity of the fluid is the same over the whole wetted cross-

sectional area.

If we define for the bed-load movement in

a rectangular channel:

vpm = mean velocity of fluidGm B • hG

k(jm mean roughness coefficient for the wetted stream section

k(js mean roughness coefficient of invert

kw mean roughness coefficient of side walls (can be taken as

km in case of no bed-load transportation)

Fs wetted area and

Rs hydraulic radius for Qs

171

we arrive at the following formula:

LGm

and

kGs

(B + 2 hG)

Bx

2hG+

ViHis ^w

%

kGm •wBy*

B • kw + 2 hG (kw - kGm )

Ve have on the other hand:

Rs

-

B vGm • B

After transformation we find

Qs = Q . Bkw

V2 ViB . kv + 2 hQ • kGs

hG

J /in m /1

3. Solid discharge. The formula for the solid discharge

and smooth invert has been derived by applying the d

analysis based on the T theory. The solid discharge

function of:

= f (T , dm> 7s, v, g )

the symbols are

dm

V

solid discharge per unit width (kg/sm)

2tractive stress per unit area (kg/m )

mean diameter of particle (m)

specific gravity of solids (kg/m )

2kinematic viscosity (m /s)

g acceleration due to gravity (m/s )

172

g, *y and v can be considered as independent parameters.

If we introduce the 3 foundamental units of mecanics (length L,

time T and mass M) we can write:

1 1

where

f CU 2, T 3

ITI - [(g)Xl • (7s)yi • (?)Zl] •

gs

TC 2 = [(g)X2 . (^s)y2 . (V)Z2] .T

It 3 = [(g)X3 • (7s)y3 . (v)Z3] . dm

After the introduction of the dimensions and after the va¬

lues of the exponents x, y and z are calculated, the func¬

tion for the solid discharge will be

gs&

= f

Vs V h VV3

V,lm g

V

©

This function could be solved by using the results of the

tests. The graph on fig. 32, in which the left side of the func¬

tion is given on the x-axis and the first term of its right si¬

de on the y-axis shows that the plotted results for material

with equal grain size follow quite well an exponential curve.

The different curves depend on a parameter which is determined

by the second term of the right side of the mentioned function

(4lì .After some transformations we arrive at the following

formula for the solid discharge:

©

This equation is traced on fig. 36 and is represented by a

straight line. The correlation coefficient r for the experi¬

mental results has then been calculated:

Z ax ay

\ Tax • Zay

173

where

g

Ysxm - A x x - xm

T fl/s

Ys

_g.Vs

lm

.6/5ym

I y

n<^y = y - ym

r is calculated and found to be 0,998.

Formula (47) indicates that the kinematic viscosity V has

still an influence on the solid discharge, but for bed-load ma¬

terial of small grain size the introduction of V is necessary.

The test results show that the friction resistance can only be

neglected if the Reynolds number exceeds the value 600(Re*> 600).

Above this value the law of similarity of Proude can be applied.

In general the tests carried out in the control channel con¬

firmed the results obtained previously in the main channel.

Equation (47) can also be written in the following form:

,in kg/sm

If we substitute for the kinematic viscosity (V) the acce¬

leration due to gravity (g) and the specific gravity of the ma¬

terial (u) the following known values

.-6 2V = 1,2 • 10

g = 9,81 m/s'

m "/s (for a water temperature of 13° C)

2700 kg/m

the foregoing formula boils down to

,in kg/sm

For a rough approximation or for a high solid discharge one

can even neglect the last term of formula (53).

174

4. Critical tractive stress. The function of the critical drag can

be written in the following form:

to = f (dm, g> 7s» v )

where

T„ = y • Rs • Je = 7 • hGo ' J(

and

hQ0 being the water depth at the beginning moment of the move¬

ment.

According to the IT theory we have

11 = f (12)

When dm, g and ys are considered as independent parame¬

ters of the terms TC we have

T0= 0,537s • v

9V«

«4 yt Vu

A '5 T /l*am • J e ,in kg/:m

2 2After introducing the known values for g (m/s ) and v (m /s),

then

T0= 1,44 10 3.7s • dm5 • Je* ,in kg/m'

For ys = 2700 kg/m we have

(5)

t. = 3,9 . dm5 • Je/lf ,in kg/m

Por y = 1000 kg/m'

-3 d*hGo = 3,9 • 10J. —V ,

in m

The test results are given on table 23.

175

bedmovingmkg/:Lndm80=T0

for-the0=

todownboilsMeyer-Peterofmula

Formovement.bed-loadof

beginningtheatobservedbealsocouldDifferences)

.(68)formulaofsiderighttheoftermfirstthetoponds

corres¬formulathisthatinterestofisnljb.ltformula

followsbedfixedaontransportationbed-loadtheturbulence

strongforthatappearsitresultstestthetoAccording

.mulas

for¬twothesebetweendifferencetheshows24Table

©

bedfixedkg/smin,

bedmovingkg/smin,

0,075-dj?XS/s•7,63=gs

fcehavwehandothertheOn

3>

\dm80T-1,255=gs

of:formreducedtheinwrittenbecan

(68)formulakr,=kswherebedregularaassumingafterand

valuesnumericaltheirbysymbolsknownthereplacingAfter

I68'>ign/5m

form

followingtheinwrittenisMeyer-PeterofformulaThe

moving.ismaterialtheoncedmwithincreasescharge

dis¬solidthehowever,out,carriedteststheofrangethe

withinandbedsfixedofcasetheInmaterial.theofsize

increasingthewithdecreasesdischargesolid

thebedsmovingforMeyer-PeterofformulathetoAccording)

bedsmovingforMeyer-Peterofformulathevithomparison

For T ^= 7 • hGo • J<

we have

hGo = 80 • IO'Lm

, in m ©

For fixed beds we had found

L0 = 3,9 • dm . Je ,in kg/m : fixed bed

putting Y - 1000 kg/m and

after transformation

hGo = 3,9i • 10-3

» in m

* * * # -X- #

177

Curriculum vitae

Io, Rodolfo Pedroli, figlio di fu Stefano, cittadino di Bodio,

e di fu Rachele Imelli di Bodio, sono nato il 29 agosto 1920 a Bo¬

dio (Svizzera).

Dopo aver frequentato la scuola elementare e maggiore a Bodio,

ho studiato al Collegio Papio in Ascona, dove nell'estate del 1940

ho sostenuto l'esame di Maturità federale. Nell'autunno del 1940

mi sono immatricolato alla Scuola politecnica federale in Zurigo,

dove nel dicembre del 1945 ottenni il diploma d'ingegnere civile.

Dal dicembre 1945 al febbraio 1946 ho lavorato presso lo stu¬

dio d'ingegneria rurale Ivo Buetti, Muralto/Locarno. Dal marzo 1946

all'agosto 1946 mi sono occupato di lavori di misurazione e d'idrau¬

lica presso lo studio d'ingegneria civile Max Wegenstein, Zurigo.

Dal settembre 1946 al marzo 1947 ho occupato il posto d'assisten¬

te per statica, fondazioni e costruzioni edilizie alla Scuola po¬

litecnica federale in Zurigo presso il Prof. dott. Karl Hofacker.

Dall'aprile 1947 a quest'oggi mi trovo presso l'Ufficio federale

dell'economia delle acque a Berna. Fino all'agosto 1961 ho svolto

la mia attività presso la sottodivisione dell'Idrografia Naziona¬

le, da ultimo in qualità di caposezione I. Dal 1° settembre 1961

mi occupo essenzialmente di questioni riguardanti le forze idrau¬

liche presso la sottodivisione Forze Idrauliche e Regolazione dei

Laghi.

178

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Impianto sperimentale(Tutte le dimensioni in metri)

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Silo 700 liln

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Immissione del materiale

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/-o o——o-

Vibrafore

elettromagnetico

-Doppio cono

I^V^CVWvW?LiDistributore del

materiale ^"\:;,,^

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pendenza del pelo d'acqua

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oIdrometro a punta

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Perditadi carico

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Prelevamento

(misura della portata solida)

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Cronometro

Contattoelettrico

T77777777777777777777777777777777777777777777777^77777777777777777777777777777.

Pesatura

(a secco)

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