3164-4357-1-PB

Informes de la ConstruccinVol. 66, 534, e015

abril-junio 2014ISSN-L: 0020-0883

doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.12.104

Recibido/Received: 14/11/2012Aceptado/Accepted: 16/04/2013

Publicado on-line/Published on-line: 22/05/2014

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Cmo citar este artculo/Citation: Samper, A., Herrera, B. (2014). Anlisis fractal de las catedrales gticas espaolas. Informes de la Construccin, 66(534): e015, doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.12.104.

(*) Universitat Rovira i Virgili. Tarragona (Espaa)Persona de contacto/Corresponding Author: [email protected] (A. Samper)

RESUMEN

En las construcciones gticas la Geometra Eucldea, y en especial los ratios phi y pi, fue usada para dotarles de estructura, proporcin y belleza; sin embargo, adems de los elementos eucldeos existen otros conceptos complejos en las construc-ciones de las catedrales gticas: efectividad de ocupar espacio, rugosidad y escabrosidad de los detalles que constituyen sus estructuras. La mejor herramienta para describir estos conceptos la ofrece la Geometra Fractal a travs del ratio llamado dimensin fractal. Se trata de un parmetro geomtrico, que da una medida de esos conceptos; y que no es atribuible nicamente a elementos eucldeos, sino que adems viene generado por el resultado arquitectnico final de estas cons-trucciones. Con el presente estudio mostramos que las Catedrales Gticas Espaolas no slo se rigen por los patrones geomtricos eucldeos, sino que adems poseen otro patrn caracterstico, que viene determinado por su dimensin fractal.

Palabras clave: Gtico Espaol; Dimensin Fractal; Geometra y Arquitectura.

ABSTRACT

Euclidean geometry, and especially phi and pi ratios, were used in Gothic buildings to give them structure, propor-tion and beauty. Moreover the euclidean elements there are complexes structures in Spanish Gothic Cathedrals: effec-tiveness to occupy space, roughness and amount of details that constitute its structures. The best tool to describe these ideas is available in Fractal geometry through the use of the so-called fractal dimension ratio. This is a geometric parameter, which provides a measure of these concepts. The ratio is not exclusively related with the euclidean elements, but instead it is also brought about by the final construction project of these cathedrals. In the present paper we prove that the Spanish Gothic Cathedrals do not only follow euclidean geometric patterns, but they also show another specific pattern dictated by their fractal dimension.

Keywords: Spanish Gothic; Fractal Dimension; Geometry and Architecture.

Anlisis fractal de las catedrales gticas espaolas

Fractal analysis of Spanish Gothic Cathedrals

A. Samper (*), B. Herrera (*)

A. Samper, B. Herrera

Informes de la Construccin, Vol. 66, 534, e015, abril-junio 2014. ISSN-L: 0020-0883. doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.12.1042

1. INTRODUCCIN: GEOMETRA Y CONSTRUCCIN

1.1. Resumen histrico

Es bien sabido que las catedrales gticas constituyen una creacin artstica de entre las ms importantes y punteras de la historia de la humanidad. Creacin promovida por in-quietudes religioso-transcendentales, patrones estticos e influencias sociales; y en la cual se aglutin un gran conoci-miento cientfico (1) (2) (3) (4) (5).

La difusin de la arquitectura gtica en Espaa tuvo tres vas principales de influencia:

La primera fue la arquitectura cisterciense que se extendi por todo el pas y que antes del siglo XIII llev a la construc-cin de los grandes conventos de la Orden reformada, pre-cedentes del arte gtico (6). El Monasterio de Santa Mara la Real de Las Huelgas, fundado hacia 1180 por Alfonso VIII de Castilla, fue un claro ejemplo de edificacin decisiva para la recepcin del gtico francs en Castilla y referencia funda-mental del arte desarrollado durante los siglos XIII y XIV (7) (8) (9) (10) (11). Existen documentos en que se nombra a un maestro Ricardo (Ricardus), de origen francs o ingls, que intervino en su construccin, (12). De esta forma, se entiende que Las Huelgas pudiera reunir distintos rasgos regionales del gtico francs, influencias llegadas de le-de-France y de las regiones del Soissonnais y Laonnois, siendo modelo ar-quitectnico para el territorio Espaol.

La transicin entre el estilo romnico y el gtico (protog-tico) se produjo de manera lenta en Espaa por los recelos que despertaban las nuevas estructuras gticas, de carcter revolucionario en ese momento. El primer elemento gtico que se incorpor a la arquitectura espaola es la bveda de ojiva, su aparicin se efectu hacia el ao 1170, por va de la Orden del Cister. Una manifestacin de este trnsito estaba en el hecho de que algunos edificios se comenzaran a labrar de forma romnica y posteriormente se continuaran bajo es-quemas gticos. La combinacin de ambas formas dan paso a un estilo de transicin, que tiene sus principal presencia en Catedrales como la de vila (1170) y la de Cuenca (1196 ) (13).

La segunda va se produjo en el siglo XIII, durante el reinado en Castilla y Len de Fernando III, donde los matrimonios de varios reyes con princesas de las casas de Anjou, Borgoa y Plantagenet motivaron la introduccin del gtico francs en la zona central, dando resultado a creaciones como las cate-drales de Burgos, Len y Toledo (14). La repercusin medi-tica del Iter Francorum, la pujanza econmica castellana y el protagonismo directo de determinados obispos con espritu internacional (muchos de ellos formados en Pars) como el obispo de Toledo Ximnez de Rada y Mauricio el obispo de Burgos, favorecieron el proceso constructivo de dichas Cate-drales, (15).

La tercera va fueron las relaciones mantenidas entre el Con-dado de Barcelona con el Languedoc y Provenza en Francia y el contacto de los obispos catalanes con los de Narbona y Montpellier. Estas diplomacias marcaron la evolucin del gtico en la franja levantina del territorio espaol (16). Las diferencias de climatologa, sismologa del territorio y con-figuracin social marcaron el estilo gtico en esta zona con rasgos propios. Fueron construcciones de exteriores sobrios

de gran simplicidad y con escasa decoracin escultrica (17). Un claro ejemplo de ello fueron las Catedrales de Barcelona, Gerona y Palma de Mallorca.

1.2. Metodologa/Eleccin de la muestra significativa

Nuestro estudio se centra, a modo de subconjunto represen-tativo global, en nueve catedrales espaolas de estilo arqui-tectnico predominantemente gtico y construidas entre los siglo XII y XV (Figura 1).

La Catedral de vila y la Catedral de Cuenca: construccio-nes levantadas a finales del siglo XII que incorporan de manera clara el lenguaje y la tcnica del gtico, junto con el referente del Convento de las Huelgas, citado anterior-mente. La Catedral de Vitoria, tambin es objeto de estu-dio debido a que su construccin se inici a principios del siglo XIII. A pesar de que su crucero responde a modelos de tipo cistercienses, se le atribuyen de forma general c-nones estticos de gtico clsico.

La Catedral de Burgos, la Catedral de Toledo y la Catedral de Len: construcciones modlicas franco-gticas levan-tadas en el siglo XIII. El ambiente de euforia poltica, el desarrollo urbano, la situacin econmica de relativo bien-estar, y dems circunstancias de ese siglo determinaron la construccin de estas tres obras de gran importancia para el establecimiento del nuevo estilo y su difusin. No fueron ajenos a ello los impulsos dados por algunos personajes singulares (el obispo Rodrigo Ximnez de Rada y el obis-po Mauricio) y sus notables relaciones con los reyes, los cuales concedieron ventajas econmicas que favorecieron tales edificaciones.

La Catedral de Palma de Mallorca, Catedral de Barcelona y la Catedral de Gerona: construcciones gticas representa-tivas durante el siglo XIV en las reas mediterrneas. Sus rasgos propios influenciados por motivos, ms bien tcni-cos, dotan estas catedrales de una singularidad diferente al resto de territorio espaol (17).

Con esta muestra significativa de las catedrales, a nivel esti-lstico, temporal y geogrfico, pretendemos analizar geom-tricamente la edificacin resultante con nuevos parmetros hasta el momento ignorados. Este proceso no trata de compa-rar unas catedrales con otras, ya que la autora y las circuns-tancias del proceso constructivo de cada edificacin fue muy particular, sino investigar si las lneas de diseo tienen ms sentido geomtrico que el conocido hasta el da de hoy y si las estructuras de estas edificaciones tienen una consonancia formal con los resultados geomtricos. Analizar la geometra que ordena estas catedrales es el principal objetivo.

1.3. Patrones geomtricos

El maestro de obra deba dominar conocimientos matemti-cos y en especial la Geometra, tal y como podemos apreciar en los cuadernos de esbozos del arquitecto Villard de Honne-courd (18). Hay que tener en cuenta que no se dispona de una escala precisa para medir las ms pequeas fracciones de una toesa o un pie y transportarlas luego con certeza a unidades ms grandes; por lo tanto, era ms seguro tomar un esque-ma geomtrico como base de partida de la construccin; por ejemplo una red constituida por cuadrados, igual que sucedi en las baslicas romanas, pre-gticas y en los campamentos fortificados romanos.



Informes de la Construccin, Vol. 66, 534, e015, abril-junio 2014. ISSN-L: 0020-0883. doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.12.104 3

Los arquitectos, adems del cuadrado, utilizaron el pentgono, el hexgono, el octgono y el decgono construibles con regla y comps para representar, en forma de relaciones geomtri-cas precisas, los planos y los alzados de sus construcciones (19). El cuadrado, as como el octgono, derivaban de geometras cuyo modelo era la Jerusaln celestial. Sin embargo, la propor-cin ms perfecta deriva del pentgono y del decgono: dando lugar a la relacin armnica o proporcin urea (Figura 2).

Saber dnde situar el comps para hacer derivar del crcu-lo cierta forma, o realizar el procedimiento inverso, era para los constructores de la Edad Media el smmum del arte. Esta tcnica no poda aplicarse de manera esquemtica, sino que deba adaptarse en cada caso a las variaciones de las condi-ciones materiales y geogrficas, con discernimiento y sobre la base de una idea creadora. La plena posesin de esta tcnica era una prueba irrefutable de maestra. La sensibilidad arts-tica y el conocimiento intuitivo deban unirse.

A principios del siglo XIII se constat que el equilibrio de un cuerpo resultaba de la anulacin recproca de dos fuerzas antagnicas (20). Este descubrimiento sin duda fue deter-minante en las decisiones de construccin de las catedrales gticas, en particular para la utilizacin de contrafuertes y ar-botantes. De lo que podemos estar seguros es que el maestro de obras gtico haca de la unidad geomtrica una exigencia no slo de armona sino tambin de estabilidad. El arquitecto Jean Mignot (21), al lanzar su clebre frmula a los arquitec-tos de la Catedral de Miln: ars sine scientia nihil est (el arte sin la ciencia no es nada), les alertaba del peligro de apar-tarse de las proporciones regidas por geometras perfectas y el riesgo de ver derrumbarse el edificio. Los italianos, para quienes el gtico era en definitiva algo ajeno, replicaron que

un elemento de construccin colocado a plomo no poda caer; no obstante, por seguridad y para asegurarse de desmentir la teora de Mignot, reforzaron sus pilares con piezas de hierro.

Los patrones clsicos de la Geometra Eucldea, como los coeficientes phi y pi, eran utilizados en las construcciones gticas para dotarles proporcin y belleza (Figura 2); sin embargo, adems de los elementos eucldeos existen otros conceptos complejos en las construcciones de las catedrales gticas: efectividad de ocupar espacio, rugosidad y escabrosi-dad de los detalles que constituyen sus estructuras. La mejor herramienta para describir estos conceptos la ofrece la Geo-metra Fractal a travs del ratio llamado dimensin fractal. Se trata de un parmetro geomtrico, que da una medida de esos conceptos; y que no es atribuible nicamente a elemen-tos eucldeos, sino que adems viene generado por el resulta-do arquitectnico final de estas construcciones.

El objetivo de esta investigacin es analizar la geometra fractal de cada una de las catedrales Espaolas que hemos considerado como buena muestra representativa de estilo predominantemente gtico. A parte de aportar una descrip-cin geomtrica nueva y diferente para cada uno de los casos, queremos comprobar si los resultados pueden llegar a tener una relacin en sus estructuras, composiciones o geografa. No compararemos los procesos constructivos entre ellas ni la voluntad de los distintos maestros de obra en ejecutar sus diseos. Calcularemos la geometra de sus composiciones aportando ese nuevo valor y tratando de averiguar qu senti-do formal pueda tener a nivel individual y colectivo.

As: es cierto que las construcciones de las Catedrales Gti-cas Espaolas poseen un patrn fractal?

Figura 1. Esquema del marco histrico del gtico espaol: A) Catedral de Plasencia (s. XII), B) Catedral de vila (1091), C) Catedral de Cuenca (1196), D) Catedral de Vitoria (1202), E) Catedral de Burgos (1222), F) Catedral de Toledo (1224), G) Catedral de Mallorca (1229), H) Catedral de Len (1230), I) Catedral de Valencia (1262), J) Catedral de Barcelona (1298), K) Catedral de Gerona (1312), L) Catedral de Tortosa (1347), M Catedral de Bilbao (1379), N) Catedral de Oviedo (1382), O) Catedral de Pamplona (1392), P)

Catedral de Sevilla (1401), Q) Catedral de Astorga (1471), R) Catedral de Segovia (1525).



2. DIMENSIN FRACTAL Y MTODO

Dado que el presente trabajo est dirigido a profesionales que no tienen porqu ser especialistas en Fractales, esta seccin est dedicada a tales profesionales; y consiste en una breve descripcin de los elementos necesarios para entender y cal-cular la dimensin fractal.

2.1. Dimensin fractal

Aqu fijaremos algunos conceptos clsicos y bsicos, los cu-les pueden ser encontrados en todos los libros y enciclope-dias en lnea sobre Fractales. Si el lector desea ver referencias matemticas especializadas y profundas sobre el tema puede acudir a (22) (23) (24).

En Geometra fractal podemos considerar un par de objetos (M, N) de tal forma que:

[1]

(o sea, M es homottico a N por una homotecia hr de radio r)

donde gi (N) es un desplazamiento de N en [1] la unin es dis-

junta. Entonces se dice que M posee estructura homottica, que es auto-similar, y su dimensin homottica consiste en [2].

H(M)=logr(n) [2]

En realidad los objetos homotticos son casos particulares de los denominados auto-similares, los cuales son la unin de semejanzas contractivas, con ratios no necesariamente igua-les, del objeto global. Ahora bien, dado que nuestros objetos de estudio imgenes arquitectnicas no son objetos homo-tticos, aqu no insistimos en este tema.

Adems, el objeto M posee su dimensin topolgica T(M); donde T(M)=1, 2 o 3 si M una lnea, una superficie o un cuer-po tridimensional, respectivamente.

Aunque el objeto M posea estructura homottica, si H(M)=T(M) entonces se dice que M es objeto homotti-co no fractal. Por ejemplo: si M es un segmento entonces H(M)=T(M)=1 con n=r; si M es el interior de un cuadrado entonces H(M)=T(M)=2 con n=4 y r=2; si M es el interior de un cubo entonces H(M)=T(M)=3 con n=8 y r=2. Pero, cuan-do M posee estructura homottica y adems H(M)T(M) se dice que el objeto homottico M es fractal. Por ejemplo: si M es la lnea de Koch entonces se tiene que H(M)=1,261=T(M) con n=4 y r=3; si M es el tringulo de Sierpinski entonces H(M)=1,581=T(M) con n=3 y r=2; si M es el tetraedro de Sierpinski entonces resulta que H(M)= 2,321=T(M) con n=5 y r=2 (Figura 3). El lector puede encontrar estos ejemplos cl-sicos fcilmente en lnea (25) y en los libros (22) y (26).

Sin embargo, en general los objetos M no tienen estructura homottica (ni auto-similar), y por consiguiente no poseen dimensin homottica. A pesar de esta consideracin, existe una generalizacin de la dimensin homottica. Esta gene-ralizacin D(M) es la llamada dimensin de Hausdorff-Besi-covich de M. Y si M, con o sin estructura homottica, verifica que D(M)T(M) entonces a M se le llama objeto fractal.

La definicin de D(M) usa conceptos matemticos que estn fuera del nimo y objetivo del presente trabajo. As, el clcu-lo de D(M) lo substituiremos por otro clculo (M) el cual se trata de una cota superior de D(M). Esta cota, (M)D(M), es a veces llamada dimensin de Minkowski-Bouligand de M, pero en general es llamada dimensin fractal superior de M.

Figura 2. Esquema geomtrico del desarrollo en planta de la Catedral de Burgos (a la izquierda), la Catedral de Toledo (al centro) y la Catedral de Len (a la derecha).




El objeto M puede ser fractal o no; pero, independientemente de esta condicin, resulta que (M) ofrece una medida de su irregularidad, capacidad de ocupar espacio y escabrosidad.

Para entender este trabajo, no es necesario que el lector co-nozca concretamente en qu consiste el clculo que se ha de realizar para determinar (M); sin embargo, a fin de dotar de completitud este artculo explicamos que: al calcular (M) se consideran mallas del espacio formadas por cuadrados, la dimensin de la arista de los mismos es =2n; despus, al ir variando las mallas con la dimensin de la arista, se procede al clculo del lmite [3], el cual es la dimensin fractal supe-rior, donde es el nmero de cuadrados intersecados en cada malla por M.

[3]

En este estudio M ser siempre una imagen pixelada, objeto no fractal, al cual le aplicaremos el concepto de medida de escabrosidad. Esta medida la conseguiremos, como veremos ms adelante, extrapolando el clculo terico [3] sobre la imagen. A esta medida de escabrosidad de las imgenes M la llamaremos simplemente dimensin fractal de M, F(M). Aquellas imgenes M que posean dimensin fractal tal que 1,1F(M)1,5 mostrarn poca capacidad de ocupar espacio, mientras que las que la posean tal que 1,5F(M)1,9 exhi-birn alta capacidad. La diferencia de escabrosidad entre imgenes no es distinguible a simple vista si por ejemplo las dimensiones de las mismas se encuentran en un inter-valo pequeo como 1,21F(M)1,25 o como 1,81F(M)1,86 pocas centsimas de separacin. Sin embargo, a simple vista con cierto entrenamiento, s pueden distinguirse im-genes que tengan dimensiones fractales 1,1, 1,2, 1,3, ..., 1,8 y 1,9, reparadamente dcimas de separacin. Una F(M) cercana a 1,5 confirma que la capacidad de ocupar espacio de la imagen es media.

2.2. Mtodo de clculo

Insistimos que el lector no requiere, para comprender el pre-sente trabajo, conocer el proceso del clculo de la dimensin fractal quien no est interesado puede saltarse esta seccin sin perder el hilo del trabajo. De todas formas, plasmamos aqu el mtodo de clculo para no dejar incompleto el art-culo, y para aquellos lectores interesados en el mismo. As, pasamos a hacer un breve resumen destinado a los lectores interesados no especialistas y aplicado a un ejemplo arqui-tectnico. El ejemplo se muestra en la Figura 4 y consiste en la seccin de la columna de la Catedral de Chartres (es objeto no fractal pero que posee su dimensin fractal ver seccin 2.1).

Es claro que las imgenes, pixeladas o no, no tienen estruc-tura homottica ni son fractales, y no se les puede hacer el clculo matemtico-terico del lmite [3] anteriormente des-crito de la dimensin fractal (M), pues se requerira un pro-ceso de clculo infinito. Nuestros objetos de estudio M son imgenes pixeladas, veamos entonces como generamos su medida de escabrosidad.

A fin de garantizar un buen control de los clculos y resul-tados correctos, conviene crear un programa propio el cual poder controlar totalmente y poder modificar para conseguir la garanta de correccin; cosa que nosotros hemos hecho.

Seguidamente, dada una imagen M, describimos qu proceso ha de generar ese programa informtico como hemos dicho el lector puede saltarse esta seccin.

Dada la imagen M, primero se procede a convertir la imagen en un fichero de imagen digital de blanco y negro en forma-to que el programa pueda leer y trabajar con l. Este fichero posee un tamao de 1024v, o sea 1024 pxeles en horizontal y la cantidad de v pxeles en vertical. Entonces (Figura 4), se procede a generar una malla de cuadrados, que hemos llama-do g

5 con 32h

5 cajas cuadradas cuya dimensin de asista es

a5=1024 x 25=32 pxeles (32 x 32= 1024 pxeles), y se aplica

tal malla sobre la imagen. Se calcula entonces el logaritmo neperiano ln(s

5) donde s

5 es el nmero de cajas de g

5 con

pxeles negros. En la Figura 4 mostramos un ejemplo con la proyeccin vertical de la columna de Chartres. Seguidamente se repite varias veces el proceso con otras mallas cuadradas g

6, g

7 y g

8 sobre la imagen con 64h

6, 128h

7, 256h

8 cajas

cuadradas, respectivamente. La dimensin de las aristas es

Figura 3. El dibujo superior corresponde a la lnea de Koch (H(M) = 1,261 = T(M) con n=4 y r=3); el dibujo del medio

corresponde al tringulo de Sierpinski (H(M) = 1,581 = T(M) con n=3 y r=2); y finalmente el tetraedro de Sierpinski

(H(M)= 2,321=T(M) con n=5 y r=2.



a6=1024 x 26=16 (64 x 16 = 1024 pxeles), a

7=1024 x 27=8

(186 x 8 = 1024 pxeles) y a8=1024 x 28=4 (256 x 4= 1024

pxeles), respectivamente (Figura 4). El uso de estas cuatro mallas es un procedimiento habitual para el clculo en im-genes pixeladas, ya que: la malla g

8 es la ms fina posible,

correspondiente a [3], teniendo sus cajas puntos de fronte-ra y puntos interiores; y cuatro mallas ser suficiente, como veremos en [5], para alcanzar una buena medida de la esca-brosidad de M. A continuacin se procede al clculo ln(s

6),

ln(s7) y ln(s

8) donde s

6, s

7, s

8 son las cantidades de cajas con

pxeles negros en cada malla g6, g

7 y g

8, respectivamente. Por

ejemplo, en la Tabla 1 hemos colocado los datos de la Figura 4 Y: (h

5,h

6,h

7,h

8)=(31, 63, 127, 254), (s

5,s

6,s

7,s

8)=(426, 1144,

2948, 7354). Tabla 1.

Como resultado del proceso anterior se obtienen cuatro pun-tos de coordenadas (ln(25), ln(s

5)), (ln(26), ln(s

6)), (ln(27),

ln(s7)), (ln(28), ln(s

8)) de una grfica logartmica ln-ln. Pode-

mos visualizar en la Figura 5, los cuatro puntos de la grfica ln-ln que se obtienen a partir de la Tabla 1.

Seguidamente, el programa ha de proceder a calcular la pen-diente de la grfica continua ln-ln en el punto (ln(28),ln(s

8)),

la cual es la medida deseada de F(M); para ver que esta afir-macin es cierta puede considerarse [4] y usarse la regla de lHpital. A fin de proceder al clculo de esa pendiente, el programa implementa la frmula clsica de cuatro puntos [5], donde, en [5], h=ln2 y y

i=ln(s

5+1). Entonces, el resultado

final dado por el programa es una buena medida de F(M). En el ejemplo de la dimensin fractal de la Figura 4 se obtiene, usando [5] y la Tabla 1, que F(M) 1,30.

[4]

[5]

2.3. MTODO DE TRABAJO

El primer paso de nuestra investigacin ha sido recopilar la mxima documentacin grfica de las distintas catedrales de estudio. Las principales fuentes de informacin han sido: cada una de las Archidicesis de las respectivas catedrales -damos las gracias a las mismas-, que nos han ofrecido la posibilidad de tener en nuestras manos una especial docu-mentacin grfica clara y exacta; adems el contacto cerca-no de alguna compaa de edificacin -damos las gracias a CPA Conservacin del Patrimonio Artstico- que ha realizado trabajos de rehabilitacin y conservacin de algunas catedra-les que centramos nuestro estudio; a los arquitectos que se encargan de la conservacin de la Catedral de Cuenca (Dr. Joaqun Ibez Montoya y Maryan lvarez-Builla); el Archi-vo del Colegio de Arquitectos de Catalunya; y la Biblioteca de la Escuela Tcnica Superior de Arquitectura de Barcelona de la que hemos obteniendo monografas de gran inters ilustra-tivo que han permitido completar el estudio.

Toda la documentacin obtenida durante el periodo de bs-queda la hemos redibujado con el programa AutoCad con cri-terios grficos de representacin homogneos con el fin de dotar el estudio de objetividad. Esto ha sido ineludible por-que la informacin se encuentra con estilos diferentes y ge-

Figura 4. Mallas cuadradas g5, g6, g7, g8 y vectores (h5, h6, h7, h8) = (31, 63, 127, 254), (s5, s6, s7, s8) = (426, 1144, 2948, 7354) en el clculo de la dimensin fractal para la seccin de la columna de la Catedral de Chartres.

Tabla 1.

gn

an

hn

sn

ln(2n) ln(sn)

g5 32 31 426 ln(25) ln(426)

g6 16 63 1144 ln(26) ln(1144)

g7 8 127 2948 ln(27) ln(2948)

g8 4 254 7354 ln(28) ln(7354)




neralmente con muy baja y poco ptima resolucin necesaria para poder aplicarle los clculos con relevancia.

As, para establecer la dimensin fractal de la Arquitectura G-tica Espaola establecemos los tres cortes bsicos de la estruc-tura de las catedrales eliminando ornamentacin: la planta, el alzado principal y la seccin transversal de uno de los mdulos de la nave central. Y sobre estos cortes procedemos a realizar los correspondientes clculos matemticos; en la Figura 6 mostramos el nivel de detalle del redibujado que hemos rea-lizado de estas secciones bsicas, y despus mostraremos de forma general, en reducido tamao para no exceder el artculo, los redibujados creados de estas secciones bsicas.

Hemos seguido estrictamente unos trazos de dibujo concretos, destacando las lneas de planta, fachada y seccin que mejor re-presentan la geometra de estas partes del edificio. Este redibu-jado, como hemos dicho, es ineludible puesto que la documen-tacin obtenida siempre est formada por dibujos o fotografas con sombras, manchas, colores, defectos, trazos a mano alzada, etc; o sea todos los documentos grficos que pueden encontrar-se muestran ruido que obliga necesariamente a rehacer to-dos y cada uno de los dibujos presentados en este artculo.

Hemos de resaltar tres aspectos: por una parte, en el caso de la Catedral de Palma de Mallorca slo introducimos en el an-lisis su planta y su seccin, ya que la fachada actual es de un estilo neogtico que no sigue la filosofa y espritu del gtico original y distorsionara el clculo con el resto de documentos gticos. Por otra parte, en la Catedral de Barcelona, la facha-da principal sufri varios cambios a lo largo de su historia hasta que en 1882 se decidi realizar un concurso para definir la fachada. La propuesta ganadora fue del arquitecto Josep Oriol Mestres que sigui los trazos originales de diseo. En este caso s que hemos tenido en cuenta este documento ya que s conserva el espritu gtico original y no alterar la uni-formidad en el clculo gtico. Finalmente, sucede algo simi-lar en la fachada de la Catedral de Cuenca. A pesar de ser una fachada neogtica el arquitecto Vicente Lamprez y Romea restaur el conjunto pensando cmo tendra que ser la facha-da original siguiendo las teoras de Viollet-le-Duc, dado que slo se dispona de un dibujo general de la ciudad de Cuenca del ao 1565 realizado por Antn Van den Wyngaerde don-de sobresale por encima del resto de edificaciones las lneas generales de la fachada primitiva. Por estos motivos, al igual que la fachada de Barcelona, consideramos que el diseo de la fachada de la Catedral de Cuenca es adecuada para realizar los clculos.

Entonces, hemos introducido los 26 documentos grficos en el programa diseado para calcular la dimensin fractal, y aplicamos el clculo.

3. DIBUJO, DESCRIPCIN Y CLCULO

3.1. Catedral de vila (27) (28) (29) (30) (31)

Cronologa: 1091-1107. (27)Autora: Casandro, Florn de Pituerga y Alvar Garca. Pero lo cierto es que la primitiva traza del templo no parece anterior a los ltimos aos del siglo XII o principios del XIII, atribu-yndose su levantamiento a un maestro llamado Fruchel del que no se sabe apenas nada. (27)

RESULTADOS DEL CLCULO:

En la Figura 7 mostramos las imgenes de la planta, el alzado y la seccin central. Los vectores (s

5,s

6,s

7,s

8) que obtenemos

en el clculo son:

Figura 5. Grfica continua ln-ln obtenida a partir de la Tabla 1 para el ejemplo de la seccin de la columna de Chartres.

Figura 6. Nivel de detalle del redibujado. Planta correspondiente al deambulatorio de la Catedral de Burgos. Detalle del alzado central correspondiente a la fachada principal de la Catedral de Toledo. Detalle derecho correspondiente

a la seccin transversal de la nave de la Catedral de Len.



Planta: (926, 2973, 8933, 26716). Alzado: (374, 1042, 3006, 8267). Seccin central: (904, 2963, 8639, 23855).

En consecuencia, al finalizar el clculo se obtienen las dimen-siones fractales, las cuales expresadas en aproximacin a dos dgitos decimales son las siguientes: Planta: 1,61 ; Alzado: 1,52 ; Seccin central: 1,46.

3.2. Catedral de Cuenca (12) (13) (32) (33)

Cronologa: La primera mencin documental de las obras data del ao 1194. (13)

Autora: Autor annimo. (13)



5,s

6,s

7,s

8) que obtenemos

en el clculo son:


En consecuencia, al finalizar el clculo se obtienen las di-mensiones fractales, las cuales expresadas en aproximacin a dos dgitos decimales son las siguientes: Planta:1,61; Alzado: 1,76; Seccin central: 1,51.

3.3. Catedral de vitoria (34) (35) (36)

Cronologa: Principios del siglo XIII. Autora: Autor annimo.



5,s

6,s

7,s

8) que obtenemos

en el clculo son:

Planta: (527, 1712, 5056, 15307).

Alzado: (144, 458, 1381, 4174). Seccin central: (423, 1416, 4490, 12907).

En consecuencia, al finalizar el clculo se obtienen las dimen-siones fractales, las cuales expresadas en aproximacin a dos dgitos decimales son las siguientes: Planta: 1,67; Alzado: 1,62; Seccin central: 1,43.

3.4. Catedral de Burgos (9) (10) (37) (38) (39)

Cronologa: 1222-1260. Autora: Autor/es annimos, Maestro Enrique y Juan P-

rez. (13).


En la Figura 10 mostramos las imgenes de la planta, el alza-do y la seccin central. Los vectores (s

5,s

6,s

7,s

8) que obtene-

mos en el clculo son:



3.5. Catedral de Toledo (40) (41) (42)

Cronologa: 1224-1493. Autora: Maestro cantero Martn trabaj desde 1224 hasta

1234 y Pedro Prez hasta el 1291. Los estudios del historia-dor Guido Conrad sealan a otro maestro ms entre ellos, aunque su nombre es desconocido. (40)



5,s

6,s

7,s

8) que obtene-


Figura 7. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de vila.




Figura 8. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Cuenca.

Figura 9. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Vitoria.



3.6. Catedral de Palma de Mallorca (17) (43) (44) (45)

Cronologa: 1229-1346. Autora: El primer arquitecto del proyecto fue Pon des

Coll, posteriormente le sigui en el cargo Jaime Fabre.


En la Figura 12 mostramos la fachada primitiva no considera-da para incorporar en el estudio. En la Figura 13 mostramos las imgenes de la planta y la seccin central. Los vectores (s

5,s

6,s

7,s

8) que obtenemos en el clculo son:

Planta: (1362, 4384, 12924, 36624). Seccin central: (1060, 2842, 7180, 18622).

En consecuencia, al finalizar el clculo se obtienen las dimen-siones fractales, las cuales expresadas en aproximacin a dos dgitos decimales son las siguientes: Planta: 1,48; Seccin central: 1,43.

3.7. Catedral de Len (13) (46) (47) (48) (49) (50)

Cronologa: ca.1230. (46) (47) Autora: Maestro Simn, posteriormente sabemos que tra-

baj all el Maestro Enrique y finalmente el Maestro Pedro Prez.



5,s

6,s

7,s

8) que obtene-



En consecuencia, al finalizar el clculo se obtienen las dimen-siones fractales, las cuales expresadas en aproximacin a dos



Figura 10. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Burgos.

Figura 11. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Toledo.




Bargus hasta el 1407. Jaume Sol hasta el 1412. Sigui Andrs Escuder hasta el 1463. La fachada la traz Carles Galts de Ruan en 1408.



5,s

6,s

7,s

8) que obtene-




3.9. Catedral de Gerona (17) (44) (45) (55) (56) (57)

Cronologa: 1312 - siglo XVI Autora: Enrique de Narbona se encarg de la cabecera y

las capillas. El relevo fue para Jaime Favern, Guillermo Cors, Francisco Saplana y Pedro Sacoma que dio fin a la cabecera en 1347. El arquitecto Guillermo Monry sigui el tramo del coro. Lo sucedi Guillermo Bofill para la cons-truccin de la nave central. El ltimo tramo se edific a cargo del maestro Jos Ferrer.



5,s

6,s

7,s

8) que obtene-



Figura 12. La fachada primitiva derrumbada por el terremoto de 1851. Elevacin con cuatro torres octogonales al igual que

seguan el alineamiento de las columnas de las naves. Estas torres no tenan agujas y terminaban horizontalmente como las torres

de la fachada de la Catedral de Barcelona. Esta composicin formaba un gran rectngulo dividido por dos impostas paralelas.

La estructura primitiva, inspirada en la Llotja de Sagrera, fue imitada por muchas iglesias parroquiales como la de Santo

Nicolau y conventos de todo la isla de Mallorca durante el s. XVI. Este documento no ha sido redibujado ya que se trata de un dibujo

a carboncillo de la fachada primitiva y no dotara al estudio de la misma precisin que ofrecen el resto de dibujos.

dgitos decimales son las siguientes: Planta: 1,68; Alzado: 1,49; Seccin central: 1,44.

3.8. Catedral de Barcelona (17) (51) (52) (53) (54)

Cronologa: 1298-1420. Autora: Maestro J.Fabre entre 1338-1358. Continu Ber-

nat Roca. Acontinuacin Pere Viader hasta el 1397. Arnau

Figura 13. Planta y seccin transversal de la nave principal de la Catedral de Palma de Mallorca.



Figura 14. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Len.

Figura 15. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Barcelona.


4. RESULTADOS Y DISCUSIN

Con el estudio anteriormente descrito del presente trabajo, hemos generado una medida de escabrosidad que llamamos dimensin fractal, y con ella podemos encontrar las medias

de las dimensiones fractales planas de las Catedrales de vi-la, Cuenca, Vitoria, Burgos, Toledo, Mallorca, Len, Gerona y Barcelona a travs de sus tres secciones bsicas de estruc-tura: planta, alzado y seccin central; as como las medias de las nueve plantas, ocho alzados y nueve secciones centrales. Presentamos los resultados de tales medias, expresados con aproximacin decimal de dos dgitos, en la Tabla 2. Se ha descartado la media de Mallorca al no disponer de sus tres secciones del gtico original, pero s usamos sus datos para las medias de la planta y la seccin central.




Figura 16. Planta, alzado principal y seccin transversal de uno de los mdulos de la nave principal de la Catedral de Gerona.

Obtenemos entonces la Media Total m, de las once medias mi

de la Tabla 2, la cual es m1. 53.

Y se tiene que:

1) La desviacin tpica y variancia 2 de las once medias mi,

es [6] y su varianza 2 0,003.

[6]

2) El coeficiente de variacin de Pearson (/m), de las once medias , es del 4%.

3) Desviacin tpica y coeficiente de variacin de Pearson de las medias de las Catedrales: 0,05 y 3% respectivamente.

En consecuencia, concluimos que las medias estn altamente concentradas alrededor de la Media Total .

Examinando los resultados comprobamos que los valores de la planta pueden ser concentrados en dos grupos. Un primer grupo que recoge las catedrales situadas en la zona de levante de la Pennsula Ibrica (Mallorca, Barcelona, Gerona; con-centrada la dimensin fractal de planta entorno a la media 1,48) y un segundo grupo que engloba las edificaciones loca-lizadas en el antiguo reino de Castilla (Burgos, Toledo, Len, vila, Vitoria y Cuenca; concentrada la dimensin fractal de planta entorno a la media 1,63). Analizando la situacin geo-grfica de estos dos grupos y considerando que los sismos histricos influyeron de forma radical en la construccin de

las catedrales espaolas, llegamos a la consideracin de que la dimensin fractal no slo aporta una descripcin geom-trica si no que mantiene una estrecha relacin estructural y constructiva con estas edificaciones.

Tal y como indic Cassinello (17) la localizacin, segn el mapa de riesgo ssmico, de cada una de las catedrales gticas espaolas evidencian diferencias estructurales y constructi-vas por lo tanto compositivas dependiendo la intensidad ssmica de la zona donde estn levantadas.

Segn datos procedentes del Instituto Andaluz de Geofsica, entre los siglos XII-XV y a lo largo de la costa mediterrnea del territorio espaol hubieron varios terremotos de gran in-tensidad ssmica. En especial en Gerona y Barcelona la inten-sidad, segn la escala MSK, alcanz a 9 en varias ocasiones. Este hecho explica que las circunstancias geogrficas tuvieron una concordancia con los sistemas constructivos utilizados. Valorando la dimensin fractal de las catedrales de Mallorca, Barcelona y Gerona, observamos que tiene una analoga con el sistema estructural escogido para su construccin. A diferen-cia de las estructuras gticas situadas en zonas de bajo riesgo ssmico, como ocurre con las catedrales francesas, se tratan de unas construcciones muraras, con pocas oberturas en los mu-ros perimetrales y donde los empujes procedentes de la nave central se contrarrestan con las capillas laterales haciendo in-crementar la inercia de los muros. Mientras que las estructu-ras gticas francesas a nivel geomtrico tienen ms capacidad de ocupar espacio y repercuten en el clculo fractal aumen-

Tabla 2.

VILA CUENCA VITORIA BURGOS TOLEDO LEN BARCELONA GERONA PLANTA ALZADO SECCIN

1.53 1.63 1.58 1.52 1.56 1.53 1.50 1.43 1.58 1.58 1.43



tando su dimensin, pues siguen otros sistemas estructurales afines a las caractersticas geolgicas de sus emplazamientos.

Afirmamos que la Media Total m no es un resultado aleatorio. Contrastaremos esta afirmacin usando un bien conocido test, el test de Pearson, y 8 dgitos decimales para mostrar con claridad la magnitud real de la probabilidad de que tal Media Total sea un resultado no aleatorio. Para ello, primero conside-ramos las 100 posibilidades de resultados de nmeros de dos dgitos decimales entre 1 y 2, y las separamos en 20 agrupa-ciones de 5 en 5. Dicho de otra forma, consideramos los 20 intervalos: I

1=[1,01; 1,05], I

2=[1,06; 1,10],..., I

19=[1,91; 1,95],

I20

=[1,96; 2]. Aplicamos entonces el test de Pearson con 19 grados de libertad a la siguiente Tabla 3 de contingencia.

Entonces f1,i

=0, f2,i

=11 son las frecuencias obtenidas ex-cepto f

1,9=2, f

1,10= f

1,13=1, f

1,11=3, f

1,12=4, f

2,9=9, f

2,10= f

2,13=10,

f2,11

=8, f2,12

=7; y F1,i

=220121

, F2,i

=2202299

son las frecuencias

esperadas. Con 19 grados de libertad [7] y [8], se tiene 119292,46199461 y 247,751196; as la probabilidad P de que la Tabla 3 sea una tabla no aleatoria es P0,99972137 con [9].

[7]

[8]

[9]

Hemos optado por agrupaciones de 5 en 5 ya que: a) Es una agrupacin cercana a la agrupacin de 1 en 1, pero alejada suficientemente para que as tenga sentido el estudio alea-torio de contingencia; b) es una agrupacin muy alejada del total de 100 en 100, pues cuanto ms grande es el nmero de agrupacin entonces ms grande, en el caso de la Tabla 3, es la probabilidad de ser no aleatoria; c) podramos haber agru-pado de 3 en 3 (sin llegar an a que no tenga sentido el estu-dio aleatorio) y la probabilidad de no ser aleatoria es tambin mayor. Por ello, con b) y c), hemos optado por agrupar de 5 en 5 ya que si aumentramos o disminuyramos se podra criticar que buscamos el resultado no aleatorio ms impac-tante. No se pretende impactar, slo pretendemos mostrar la no aleatoriedad de la Tabla 2 de resultados.

Por tanto (con la secciones Dimensin fractal y mtodo, Dibujo, descripcin y clculo y Resultados y discusin) los resultados son obtenidos con un mecanismo matemtico y objetivo. Adems, estos resultados estn altamente concen-trados alrededor del parmetro central de medida de esca-brosidad que hemos generado le hemos llamado Media To-tal m1,53, y la probabilidad de que se traten de resultados aleatorios es despreciable. En consecuencia, afirmamos que el parmetro Media Total obtenido as como la separacin por zonas ssmicas son caractersticas no aleatorias de estas Catedrales.

4.1. Observacin

Quisiramos resaltar que los parmetros fractales capturan la diferencia de estilos a la par que ofrecen una medida de tal di-ferencia. As en la Tabla 4 ofrecemos los resultados de los pa-rmetros de planta, alzado y seccin que se obtienen de tres construcciones singulares romnicas (Iglesia de la Mare de Du de Tall, Iglesia de Sant Climent de Tall, Iglesia de San Martn en Palencia), las cuales mostramos en la Figura 17.

Se observa en la tabla que:

1) En planta hay una diferencia del -20% del romnico al gtico.2) En alzado hay una diferencia del +26% del romnico al

gtico.3) En seccin hay una diferencia del +40% del romnico al

gtico.4) Los parmetros fractales captan la diferencia constructiva

en el paso de un estilo al otro.5) La captura es coherente ya que: el gtico es ms ornamen-

tado (parmetros de alzado y seccin) y ms estilizado (parmetro de planta) que el romnico.

5. CONCLUSIN

En las construcciones gticas la Geometra Eucldea, y en especial los ratios phi y pi, fue usada para dotarles de es-tructura, proporcin y belleza; sin embargo, adems de los elementos eucldeos existen otras caractersticas complejas en las construcciones de las catedrales gticas: efectividad de ocupar espacio, rugosidad y escabrosidad de los detalles que constituyen sus estructuras. La mejor herramienta para describirlas la ofrece la Geometra Fractal a travs del ratio

Tabla 3.

l1

... l8

l9

l10

l11

l12

l13

l14

... l20

Total

Media l

i

0 ... 0 2 1 3 4 1 0 ... 0 11

Media no l

i

11 ... 11 9 10 8 7 10 11 ... 11 209

Total 11 ... 11 11 11 11 11 11 11 ... 111 220

Tabla 4.

Mare de Du De Tall

Sant Climent de Tall

San Martn en Palencia Media

Planta 1.88 1.77 1.70 1.78

Alzado 1.25 1.39 1.32 1.32

Seccin 1.00 1.00 1.08 1.03

Media 1.38 1.39 1.37 1.38




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1183). Burgos: Ed. J.M. Garrido.

llamado dimensin fractal. Aqu aplicamos tal concepto para generar un parmetro que sea una medida de escabro-sidad de las imgenes arquitectnicas. Se trata de un par-metro geomtrico, que da una proporcin de este concepto; y que no es atribuible nicamente a elementos eucldeos, sino que adems viene generado por el resultado arquitectnico final de estas construcciones. El parmetro de medida de es-cabrosidad lo generamos a partir de las secciones principales constructivas; y en especial el resultado obtenido en la sec-cin de las plantas se observa que est relacionado con las zonas ssmicas, ello indica una relacin entre el parmetro y la efectividad de la construccin.

Las nueve catedrales de estudio configuran una muestra alta-mente significativa del gtico espaol, y por tanto con ella se evitan arbitrariedades. Con esta muestra analizamos geom-tricamente la edificacin resultante con nuevos parmetros, hasta el momento ignorados. Este proceso no trata de compa-rar unas catedrales con otras, ya que la autora y las circuns-tancias del proceso constructivo de cada edificacin fue muy particular, sino que investiga si las lneas de diseo tienen

ms sentido geomtrico que el conocido hasta el da de hoy y si las estructuras de estas edificaciones tienen una consonan-cia formal con los resultados geomtricos. Analizar la geome-tra que ordena estas catedrales es el principal objetivo.

La geometra fractal ha sido usada para estudiar ciertos elementos de arquitectura (58) (59) (60) (61). Nunca hasta este trabajo, ha sido usada para encontrar nuevos patrones geomtricos y relaciones de los mismos con la efectividad de la construccin en una de sus creaciones ms relevantes.

Con el presente estudio mostramos que las Catedrales Gti-cas Espaolas no slo se rigen por los patrones geomtricos eucldeos, sino que adems poseen otro patrn caracterstico, viene determinado por su dimensin fractal. Concluimos, con el trabajo mostrado anteriormente, que existe un patrn frac-tal general en las Catedrales Gticas Espaolas; e igualmen-te hemos visto que los parmetros fractales tienen relacin adems de con la esttica y resultado visual final con la efectividad de la construccin de la obra, como es la distri-bucin en planta segn las zona ssmica donde se encuentra.

Figura 17. A la izquierda documentacin grfica referente a la Iglesia de la Mare de Du de Tall; en el centro documentacin grfica referente a la Iglesia de Sant Climent de Tall; y a la derecha documentacin grfica de la Iglesia de San Martn en Palencia.



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