AL/2019/10/S-II NEW - 7 -

ti!offJ @ � (ftl!}{),rji} I (!J)@LI ufb/ul/!f/6/f) /All Ri hts Reserved]

Wogic»a> a>�a>Gl

@6ll>6!!111!iJ� a,60Ml$/)tb Combined Mathematics

( �c) ��!L-1g,IUJ

II II

II

11. (a) P c.00 Q @®:ic)e5 66 @c;wd �a oo6z;;:\' �©ill £3wzn cl06-®:n e563zne) b2Sl® �c,;io02Slc) V('.';25:lW ©V.2Sl:iew t = 0 63 � P 63 g@vmw u m s-1 c:; Q 63 g@vG:Jw (u + 9) m s-1 c:; @e'. P 63 :83wzn cl06-®:ow

J m s-2 � Q 63 £3c.5m cl06-®:oc.5 (1 + /0

) m s-2 � ©v.

(i) I� 0 e5�c.Oo Proo Q 63 0(§zn0('.';cl, -e:)2:5')@ 6tOW2Sl roo

(ii) t � 0 e5�eJO p O e50©0ZS,®e) Q 63 0(3tnW0, ©025)@) 6tOWi::D,

g@vm-woc 81@0C <'.ii$ e5clro251 q�25125:l.

2Sl'.JCc.'.l t = o @ � P @®:fob 66c.'.l Q @®:fob 66c.'.lo 8€h ®66 200 d ey�B'@c.'.l251 Bel @8 zn8�6ocl �q1_m. P OEJ2Sl0 c.'.lz®o Q ®cs3m ill� ()al25) 2Sl'.l()c.5 @e5'.lc.'.l25i25).

(b) e5®:J25itnc5 aa9 <y�61. e5@zn eJ@C a � ©cmd u ej2Slo2Slo6 g@vG:J@w251 ©()8. 6-ies@c.'.l63, A, B, C roo Dc..525) ey�61. ®zn 8 ()25)@)5 e5@€)�69CB2Sl �e5@ ©V. ae;wo e5o@d'd@0 £3c.5znv(> u) ©eJ(S)©C.3251 U(:)25)W U25) B, c.0'.l B

2 0a103 ®c'.i2Sl25) �2Sl® ©®o©c.0025)2:5')

A Bo 60o@d m®m cp6®w 2:5)68. BI ©i:'v:io30 0@.§0 AC �©ffi C ©UW

D C

---,.

e-mod cymo9 CD �Gclo0cl mcm �em cye:>@.D D @um w8. B2

@a3C:,30 0@.�0 � ---,. ----,.

AB �moe)c) 0)(CD �©<Il OW@,D B ©VW ©ffi:Je'.l Cg>mog BD �©ffi D @Elm w8. �2Sl® Ozelc.52Sl, B 1 63 A Be> C �25'l'0:i � B

2 63 B BO D �25'l'0o � 0e3m ffi�roo

g©e)© �@2Sl:l'-®:o0C 't@. e5oro251 q�m25).

A

' ' ' ' ' , ,, ,,, '

, '

,

,

,

,' ',, '

B

e5 ml'.3.m. A Be> C 't25'l'0:J 0e3m@d � B 1 @&3og@e) @V©c.5 }i ( .J2 v2 - u2 + u) &0 @eim8:i B Be> D

't25'l'0o B8m@d � B2 @&:l'os@e) @e)©c.5 @e5:>c.5m25).

12.(a) 6to@w63 ABC roo LMN @@2Sl3-®:o, ACB = LNM = !I c.O:> ABC= LMN = Jr 8 BC roo MN qe)oCS2 3 2

§�-®:ncl s®o £6d @mG?3®d @15) 15)(;1)25) ec; 8ge0gro X W:J Y e5(5e)e5@ s®o e'.j2S)'.)2S):J6 ��� @c:;2S)2S)0261.clu @dmf �gm 8 B6d ro6d2Sl@ @tl. dwmww 3m 8 X ���w @mG?3® ®zn flc25:iw v®cl:83c;rod 825) qzn6 Y ���w qe)@0 zn@:i q1zn. AC ro:i LN A L@e5@:i qc;oe, §�-®:nclvc e,oB'® Gi)-t�® @e5@:i @e). A roo L 63e.5e32Sl6 en£ g@c) �e):i 2Sld'8 ©c:;2:S',25) @£251 G'.)25) a1w1cf§1:fVUJ25))5 rnm�02Sl ©�@2Sl@06 d2!il251w 8g00gro m ro:i 2m

8 P roo Q 1:foCSe ©'t2!il2Slo 1:ft�o /:flzn. 6tei©d oB'� 1:f:>6®ro2!il m

8635@® �. rnm�0 @25)0§61cf€> roo AP = AL = LQ = a €)25) n 3m 1 ©Ca p roo Q 1:foCSe 8g00gro AC ro:i LN @25) <'fG0:i i5)@o -c..:=====

8

'-----!:M

=======-,..

q1_m. es1w&3c.5 :83G:fflcl5)o0@c.5m @'t!l roB'� C1©@. Y @e:lm c.5:i®o X ©� Cal25:l 25):>()c.5, a ro:i g q1.9@6m i3c5-®:oc.5 85®c> g®:i-®:oe:lcl e5®2Slc5-®:o c&:i m25izn.

·�� OOQ Wl@@Cl2]

-�}-'Zb".JCG'J.@ b".JGJ.b 0Y '@� 1 = a9v ca;iJql =JRICQ}-'ZO® G@ O = jqi-y(q · u)z; + zY juj £ ·@t5"m 81GJ Q€> @@0 <? GfJ <aFG'.) :JO 'F�

z z ----

·�}-'Z,O<!::Z es:JC<!!ZQ }-'Z,0@81.b y CCQ q 'e '<l:2�)©© aa W2 :JO ---

'G® O<Y 0@® '.G® q c02 uy F'gQe'gg <SZ�;;>e@ ®G08 0QQ'.�p0 [I cm V }-'Zb".l@C?,?@tab O '@'tSZm ;;, 81G'.l G'.)Q'.@p0 G 3.9g <aQ T : z; = :JG : av CQ@ :JV taC"J a ;;, 81C'J pd:�C,OCQ}-'ZC@Cd tac, 8:JVO (v) ·t,t

L -�}-'ZQ}-'ZO© G@ � �,QQc?lb0pGd C')CQ�G @ d <aQ �9 Q8Q '@� bf 5 a >o "G@ d b".J<l:Z�fuog;, l9G)C!::t(QQ ,OCQb d CCQ 6".J<l:ZC?C@

·9g@lm b".J(tl CCQ pG'.l<SZC}C@ Q@8 191b p<SZ(gg;, @ O G@@0 (?6".J0CQ 'G\g �G cmi� CQ(?@ O <3fu0b d

"G@ 2.f-!:]' = ')f 0@®

'.C><,<aQ}-'ZQ@ .PG@ {'fz+(f) 1_so:,} ft G'.>0c<SZ <a@Q ffim Fet@ d G@Q C'.)�QG cGp;;, o <?t? a

-�}-'ZQ}-'ZO© Q@ � 6".JGJ(?©Q @ J G!Q �Q Ca»� CQQ© 0

-�}-'ZC'.)CCJ@ C'.)G)(?@Q @ d Q(;g �Q CG))� (QQ© VCCQ 6".J,OCCQPQ :> '}-'Zb".l©CQQC<:5" C'.)CQ's ( / -·/) zm = l° CC'.)C<:'d.@ C'l5}-'Zµ@ p@CQ�G �,QQc?lb QpG'J. (Q(Q®

'Q®if =ro 0@®

z; z z; '.<a}-'ZC"J� CQQl<a }-'ZC'.l@pc<SZc.bo = ,{

zm + � ccn:2,c::} v � s:: ,{ s:: v C'.)�,O<l::Z@Cd CQ�G CQCQ® �m@ 9lC'.) v + x = ,{

'G® x= dV 0@® '.<a}-'ZQFQ® G@ CQ@Q ta;>@ F@@ 0 =(�+x )i+x 'cCQ:2JCJ vz 5 x 5 o ·o�p<l:Z@CJ CQ�G @ J cQµ::> V 09 fl ·@@10 tag02 c!>§ 09 p@QCCQ0GP:,'tSZ Qfu

0b

:J

, . (l.J ,,c \J,, £ I " -

,' lt

V

a

d 80}-'Z® ·@@20 c?tgb 53.'®2 QC@Q© fIVO QCQ}-'ZCQ µcs;;z@ �Q cmi� cpcs:z C'.lst:li1l5,s20 fl Qfuob J 'CQ'lil] c;;,il;b Q<!::ZGfuo.b d G U1 C'.)C}}-'Z<!:Zp PG�CS:Z@ F�®.b ,OCQa] 191b c;;,ilb Qb".Jst:@µ0 0 FPG�<l:2@ FGl <SZGfuFcg9pcg:cg6 !0i)lCQlg;, G 8w b".J<l:2ococ@ cCQ9pcsi:cg6 ccr.? V mg <SZ(:gCCQCQf<l "CQ'la] C(?@9 }-'Z'gQ@'g9 @G) Q'.@µQ

8 CG,? V 'o Gie2t> g;,Qe (;)Q'.�µQ @�CQQ O ggg CQ(?

vz = flV ccr.? v = VO CQ@ FGC@.Q® @Ql@ @go?

(S:ZG'.)QCQ 0Gt> (?@8 (QCQCa;> F§?C"J�f<SZ© f GCJ,0£51 "fl

"CQFG}-'ZQ0 G@ CQQ PCQG0 Q<SZ'!@'�F QCC".l@@6 CQ,O<l:2 @lib FC"J0(?@ CQ@ Qes)o;b J QQ �pe!2 80 El_ Q%lo;b J

'CQFGJCGJ@ !> QCG'.l@i\g6

�p(S;! 191b FGJ®Q@ CQ@ og � p0cg�G c<3p::> fl G9 V Qfuob d

'�}-'ZC".lC<:'d€> QCC'J@i@6 <ape!2 19lb }-'ZC".l©(?@ CQ@ Q&o;b J 2 �©C(Q€>C@€> @9 'CQFO® Q@ CQ@Q

ffi!>e F@@ ( 0 SO:'.> -z) V 8 v = z'-t 'CQ}-'ZG'.l ti 'C'.)G)(g€> Q@%:l0b J Qg

�!,cg <f2._ FC".l�f<l:2€>( uz > 0 > t) 0 GJ@G'J. JS!._ ·@elQ ffigc,;i c!>@

}-'ZG©1.0e Gt? p@QCCQQG,l!S)'tSZ C@CQ �CQ C".l(?@ � 0 V FG%:l0ib d G

w GJC?}-'Z<l:2p '8<?@9 F'gCQ� GPP9 QGJ?FF® 0 CQF.i;, '3 C(Q V 'G® <l:2ID.QQP GG'J.QC<l:2@ pc<l:2CCQ�eG '30:J[l G vz; op.i:} � @ [I G'.l(,d pcg;b �G �� Gd(?C�© w 0 vqz m2 ·cgl;g _s)(S;l\gGJ. �G'.l0CQPP9 FGJQ@ '3G:J8V F08 (?@8 ggg @1.b CQ}-'ZO€> P®Qf,0 (q)

-8 -M:>IN)II·S/Ol/610Z/'1V

AL/2019/10/S-II NEW - 9 -

(b) @cl2S1�w O roo 01mm2S) �© 2a � ABCDEF e:ieJB @e)gw2:i) meewti3 � @e 2:5J25)BZ5'5 o{w53wcl e:i®Z5'5vmee'.l. @ew O ti3 c; Ox-qcl@w OB �@CD c; Oy-qcl@w oiJ �@CD c; qv53u @e w:i e'.Su:ied ®wo ecl@:l5,9901� qozs,25)@wZ5'5, oro%5:l 0�@v '1cl0o enm; @®&3 H w� CD &3 ®wtl CZS1®:l5c.3 @v.(P £3e:io25) e:>(3Z5'5 '1 a @oo uBZ5'5 '1 ®£3� e1eQ).)

@<ID@de� e@g®se<;� @@al

A ai-../3aj. 3Pi+../3Pj

C ai+J3aj -3Pi+J3Pj

E -2ai -2../3Pj

ac:iwB.iw 9CD@w2:i)c) t:5JC:l5 e)25) @e) @aZ5'50:i, gCD®@d �e5-®nw @e:i:iwZ5'525). c;i2S1, FE �@CD ®w:i 2:i)(J25) eJcg:iecluw 6P N � q53@e5i:s, @eC.'.Jcl @®® oc:iwB.iwo q12:52i$cl zs,o� e1eQ). 25)e) o�wB.iw c'll25)25)C.'.J 025) m£3 @eed Bcia:ieclvw, �cs;i:iD ro:i ®c.:>:i @e5@:i0 @e:i:iwZ5'525).

15. (a) �i:s, 6i:s,zs, �© 2a � AB ro:i BC e:fl:S)o'/:sJ:i6 '1@ ®'12:Slcl B ti3 � 9®0 @ee:ie:imw zs,o <nm. AB 'l�@e'.l c'iJo W <; BC '1�@e'.l @o 2W '1 ev. A

@zs,e,0d qve CZS1®:J52S)c) 9®0 eeei qe:iv l':5:JO q1m. AB roo BC <;cfl c.50 qcl -@dee ee@(3) 8ge0gZ5'5 a roo f3 @l':5:J&-®n e5:i'1®Z5'5 @®® a�w§3C.'.l Bod meC.'.l'/:sJ ee®�BmmoE:l@d' m@o q1cl@cl, C ti3 � 6io@d @aZ5'5€lo

w :re q1£3 BC a e@@ �ciao0 @d@d @w� 2 @ecicl @@£3. f3 = 6

@0

@amD:i, B e'.lmw@d � AB c;�e) ®@Z5'5 BC c;�e) ®m @woc;25)

gB;@w:i@0&3 §od roo Bod eeodBi:s, @teoc.5Z5'525).

tan a = J3 @e)m @oZ5'50Z5'525).

(b) OtO@CJ� @ozs!Do qv53 do� e51ZS5CC e::fe>o@c:!@2:i)@,0c:5De � 9®0 @Ce..'3 roZ5'5B i:s,� AB, BC, BD, DC

w:i AC e.:}1i:Dl(�� c;@ oroi5)Z5'5 e:i®Z5'5®m @e'.l.� :re @®63 AB = CB = a c; CD = 2a c; BAC = 6 c; c'iJ0

� Cf1Z5). 0:J� e:i1t5lee A ti3 � qe:>e CZSl@:l5C.:)2:i)c) E®c)@eeo qe.:}v 1::Do q1t:i1. D e.:}ZS')w@d' � W ro:idc.:iz:D 0ee:i,AC Sode) <; CD B.iod0 c; q1£0 Bod %5:iCC.'.J'/:sJ OJ�e:>1Bce e5@�<3m0 m@o q1cl@cl C eeZ5'5wed � AB

'1�-e)c) C()@JZ5')%5:l08 0-tO@d @OZ5')8o Cf(£ �(;';):ie)c) 0C.'.l$;P @ec.:,cl ®@£3. e@& qoz::D25)c:i rooBm@wZ5'5 D, B roo Ce:>mw e:>�ro:i gm:e:i@e e5c>ro25)2S'l q�m25).6�m.

(i) epm£3 '1 @m69@ � c.'l2S125) g2:S)om lfil0®2Si c;� 0@1:0®gti1:l'.lo@e, roo

(ii) p &3 efC0c.'.l@e'.l:Jc.'.J2S125).

A

A

a

w

AL/2019/10/S-II NEW - 10-

16. (i) <f6c.::i a� t52� �z:s,:i2S):i6 qb'w 0a25)z:;:i:i2S):i6 2S)@�c.::iz:s, d2S)znw @2Sfzn�c.::i 6&3 @2Sfzn�@d 80 2a �6§25:l' ,:;:n:

@clzn!'.;c.::i O roo q6c:3 2 a 8 Z52� e'.$2S)o2S)o6 qb'w @C£>:ie3ozs,06 zs,0@0@,l!S)D 6-io@d <i{2Sl@0<5) o� �C£> 2na 8 AB e.::e.9 @2S)oc)e.5§25:i ,:; BD 5�zs,®roc.::i AB

c) c®& LJZ5) oB'�. q6c.'.l a � BCD qbw Daclmol!SloO 025x1cle:i�25:i c; e:i®2:rlvmdl!Sl:Jl!Sl:JO l!Sl®'2lc.'.l&2:rl e.5:Jc;� ei@ ABCD Z52� ®a2Sf c;ae.') @Ct:i ei5 ts35©®zn ro12:rl't2Sf eio'to q1l'5). A c2Sf@1lc.:, qb'w @cn:ic©d C£>1clcl @25) q1B qm6 OA c.:,zn25)

AB D c®@ 't OD c.::iznZi) AB D e:l®oznmo 't ee), 2:S)e) ,:; BCD c.:iznZi) OABD B

2S'.lC@d 8800 q12S'.l. qb'w @m:ic@d �25)25) 0c:5C£>c'.1Cc.::i2Sl d2Siznwc.:i a 't ®@DB

d2Sl2:Sl �©2:Sl a2:Sl25:iwc.:, aa 't @e>. c012rl@1 e.52:llznw @2:S!'zn�c.:,, OA 8D oro@D

1 J

:n: ( 8:n: - 2:n:2 -1) a �6£325"5 't O roo D ro6roo c.'.lZi) @b'@o@eJ 80 /

9 a �d�d

'1 8@c)<5) @e) ©02:i)E:)25)25),

d� ti36es @®e:lc:J2Sl @2:S), qb'w @m:icozs,Jd oaii.ic.'.lc.:i e)c.:i dob'cra 2Sl6®zn, ro1zn,:;

l l'S)a)o c'j!l2S'.l. qb'O @©:i<:302:Sl:JO oaii.ic.'.lc.'.l i:Oo @®ffic.'.l <f2S'.l0 e:,c:5@� e.lo(Q�25lc.'.l 7 B.

AO �0a0DD A 63 � @c.:,oc;� <:3&25:l Bod @cc.'.lcl ®©zn OD BddD cnBD ro1dc;

ei®t52c§l'S)m:JD@d m1Q}c.:, c01� @0 @o2:rl02:rlzn.

I

I

C

B

A

17. (a) qoo®ro@d � 6z:D 6Zll2SS' 8� o:iD @ro:i zs,<:'.) o:JD �. 0002:rl ro16 q2:rl e::,1® q96tsl2:rl® e.5®o25:l ©@:ic 3 cl©Ocloc.:JZ:i) qe:lo<:J2 @e>. <i{25), 00025) ro16 q25) e.51® q96�2:rl® ©00CJ©d cnfi3 @&:icf>Cc) t:i®o25.l 8ti O:Jc) e@:icc.:J2S!' @oooc.::i t52@D <:;®J eg,25)09 e:ie:i®roov @Ct:e @@:icc.'.l2S!' @aclo@c.::i25) eg,e:Jmc) ro� c10QJ.

@aoo©d q1B 0@:icvc qoo®t02:l) e:lo8ti3 romo e::,@ @es ro01l ©e:> c.'.l18 coZ:i)cennc.:J 2S)o@2:5:i.

(i) cye)2:S)c) ©25) @@:icc.::i 8� OJo e'}2S12Sf e:l@®,

(ii) eg,Dl'5)c) C£>cl @@:>cc.:, ES aoa 6zs,z:i5 &D � cnB 5D qoo®ro@d � @ocloc.:, Z52@ wB'c.:,cl® 2:Si<:'.) oocle@:ic 2 z:i5 ti3�e®,

e:i®ro:JeJm:J0 @e5:Jc.:J2:rlzn.

(b) µ ro:i a c.'.l� 8&,@e:J&,zn { Xi : i = 1, 2, ... , n} qC£>c.'.l25) �G2Sl@d ®W1l<5)1lc.'.l WO ffi®®zn qoC£>@25)c.:J c.:,18

G:l253�. { axi : i = l, 2, ... , n} (1C£>c.'.lzn �czs,ed ®w1l25)1lc.'.l roo o®@l'5) qaC£>@25)c.'.l @ooc.:,25:izn; @®ro

a c.::i-m �c.:3znc.:3£3_

6clmdo o®o©@2S) @de:J25)82:rl 50 @<';25)�@cri ®082:Sl e:llfjcl arom e:Je52@e> et.1:J6ooa;iC£>rn zs,6 q1zn:

®:it.of.» e>c�o <,WC)� CD�

(6c&l@ (l»eQ �

5-15 9

15-25 11

25-35 14

35-45 10

45-55 6

@d02Sl82:5:i 50 @'tznJ@cs3' ®o82S) 0lfjcl0c ®01l25'.l1lc.'.l eoo e:i®®2S'.l qom@25)c.:, �@J25'.lc.'.l 2Sl025)25'.l.

e:Jo62Sl cpo®ro©d � 6z:i5 62Sf @de:JZDc.'.lo@cs3' ®:J8isl f>lfjo p% D(§2rl e}ie3 25)0� C1@QJ. cgirorn @de:J25)82:rl 50 @(i25)o@cs3' zne) ®0825) e:J13clDc ®w1lzn1lc.:J 618c:ic 29 172 @e:J � c'j!l2S'.l. p to l'f©Cl eoo @d025)8zn 50

@(i25.lo@cs3' zne> ®0825) D13clvc e'.l®®rn qoro@25)c.:, t3®:Jznc.'.l 25)62:rlzn.