2017固体力学系演習Ⅱ（材料力学演習）

2017 年度 春学期

注意：必要であれば重力加速度を g= 10 m/s2として計算せよ．

【01】物体に多くの集中力 1 2, , , nF F Fr r r

L が作用して合力1

0n

i

i

R F

r r

であり，

さらに特定の点 O に関するこれらの力のモーメントの和がゼロであれば，他

の任意の点 O’に関するモーメントの和もゼロであることを証明せよ．

【02】物体に集中力 1 2, , , nF F Fr r r

L と集中モーメント 1 2, , , mM M Mr r r

L が作用して

静止する条件は，同一直線上にない 3 点に関して，それぞれ， 1 2, , , nF F Fr r r

L と

1 2, , , mM M Mr r r

L のモーメント和がゼロで

あれば良いことを示せ．

【03】図に示す 3 本の針金 AD, BD, CD で

2 kN の重錘をつるしている．各針金の張

力を求めよ．ただし，z 軸は鉛直軸であり，

A, B, C の 3 点は x-y 平面上にあるものと

する．

【04】一端が回転支点，他端が移動支

点で支えられる棒に二つの荷重 W1, W2

が作用するとき，両支点に生ずる反力

R1, R2, R3を求めよ．ただし，W1=2.4 kN,

W2=2.0 kN, 1= 60o, 2=30

o, l =1 m,

l1=30 cm, l2=60 cm とする．

【05】 断面一定の棒が一端に力 F を

受けて，その軸の方向に一定の加速度

で運動しているとき，棒の各横断面

に作用する内力Nと外力Fの関係を求

めよ．ただし，m1, m2は，それぞれ，

横断面の左側部分，右側部分の質量とし，重力は考えないものとする．

【06】直径 2 cm，長さ 5 m の丸棒が 25 kN の引張荷重を受け，2 mm 伸び

た．この棒の引張応力と縦弾性係数を求めよ．

図 03

図 04

図 05

【07】断面積の等しい鋼棒と銅棒に等しい引張り力を加えたところ，鋼棒に

は 160 マイクロ，銅棒は 300 マイクロのひずみを生じた．鋼の縦弾性係数が

2.1×104 kgf/mm

2であるとき，銅の縦弾性係数を求めよ．

【08】図のようなリベット継手 (single-rivetted

lap joint) がある．リベットおよびリベット穴の

径 d=10.2 mm，リベットのピッチ p=30 mm，板

の厚さ t=6 mm，板の単位幅当たりに作用する引

張荷重 P=120 N/mm とするとき，リベットの横

断面に働くせん断応力を求めよ．

【09】軸方向に圧縮力 300 kN を受ける鉄筋コンクリート柱がある．鋼の断

面積がコンクリートの断面積の 1/10 の場合，鋼およびコンクリート部の負担

すべき荷重を求めよ．ただし，コンクリートの縦弾性係数は鋼の 1/10 とする．

【10】直径 10cm の丸棒がある．これに軸方向引張力 P0を作用させたところ，

直径が 0.025mm だけ小さくなった．E=200GPa, =0.3 として引張力 P0を求め

よ．

【11】横断面積 A1=4cm2の軟鋼丸棒 A をこれと等しい長

さで横断面積 A2=12cm2の黄銅円管 B にゆるくはめ，その

両端に剛体板 C, D を当て，A, B に固着させる．これに軸

圧縮荷重 P=200 kN を作用し，かつ温度を初めの温度から

t=100oC だけ高めるとき，丸棒と円管に生じる軸応力1,

2 を求めよ．ただし，軟鋼および黄銅の線膨張係数を

1=1.12×10-5

/oC, 2=1.90×10

-5 /

oC，縦弾性係数を E1=210

GPa, E2=70 GPa とする．

【12】横断面積および縦弾性係数がそれぞれ A1, A2

および E1, E2の 2 本の等しい長さの棒が a なる間

隔で剛体天井に固定され，下端には剛体板を通し

て大きさ W の荷重が加えられている．2 本の棒が

ともに等しい長さだけ伸びるためには W をどこに

作用すべきか．また，棒に生じる軸力 N1, N2 を求

めよ．

図 08

図 11

図 12

【13】長さ l =4m, 横断面積 A=1cm2, 縦弾性係数が

それぞれ E1=210GPa, E2=80GPa である鋼棒(GD,

HF) と，銅棒(BC) を図のように剛体天井からつる

し，剛体棒 DBF を通して BC 線上に W=30kN の荷

重をかける．各棒に生ずる応力1, 2,3 および各

棒の伸び1, 2, 3を求めよ．ただし，a=50cm と

する．

【14】図 14 に示すように，同じ長さと材質の 3 種類の丸棒が同一の軸引張荷

重を受けるとき，各軸の保有する弾性ひずみエネルギーを比較せよ．

【15】図 15 に示すように，重さ W で高さ h の円錐が直

径 d の底面を天井に固定されているとき，自重による弾

性ひずみエネルギーを求めよ．縦弾性係数を E とする．

【16】図 16 に示すような縦弾性係数 E の段付き丸棒の

上端を剛体天井に固定し，下端に軸荷重 Wを加えるとき，

棒に貯えられる弾性ひずみエネルギーを求めよ．

【17】図 17 に示すような縦弾性係数 E の切頭円錐棒の

上端を剛体天井に固定し，下端に軸荷重 Wを加えるとき，

棒に貯えられる弾性ひずみエネルギーを求めよ．

図 13

図 16

図 15

図 14

図 17

【18】直径 d=2 cm，長さ l =1 m の軟鋼丸棒が引張荷重を受け 0.5 mm 伸

びた．棒に貯えられた弾性ひずみエネルギーを求めよ．また，これは本丸棒

が降伏するまでに貯えられる弾性ひずみエネルギの何％にあたるか．ただし，

縦弾性係数 E = 210 GPa，降伏応力 s =200 MPa とする．

【19】引張りおよびせん断の両場合において，永久ひずみを起こすこと無く

貯え得る単位体積当たりの弾性ひずみエネルギーの量が同一とすると，引張

りおよびせん断の弾性限度の比はどのようになるか．なお，縦弾性係数を E，

せん断弾性係数を G とする．

【20】直径 3 cm の軟鋼丸棒に 8.0 tonf の引張荷重が加わる．この棒の単位

体積あたりに貯えられる弾性ひずみエネルギーを求めよ．ただし，縦弾性係

数 E＝200 kN/mm2とする．

【21】海水中での重量 100 N の採集器を深さ 10 km の海底まで鋼のワイヤ

でつるす．ワイヤの許容応力を 70 kgf/mm2として，ワイヤの直径が一様な場

合と，一様強さになるように直径を変化させた場合について，ワイヤの直径

および重量を比較せよ．ただし，ワイヤの比重量を 0.00785 kgf/cm3，海水は

非圧縮性で比重量を 0.00102 kgf/cm3とする．

【22】直径が d で一定の丸棒を，図に示す

ように，垂直軸 XX のまわりに角速度 ω

で回転させるとき，x 断面に生ずる応力と

丸棒の伸びを求めよ．ただし材料の比重量

を γ，重力加速度を g とする．

【23】長さ l ，両端の直径がそれぞれ

d1, d2 のテーパー丸棒を，力 P で引っ

張るときの伸びを求めよ．ただし縦弾

性係数を E とする．

図 22

図 23

【24】断面一様な棒（断面積 A，長さ l）

の両端を剛体壁に固定し，断面 C, D に

それぞれ軸荷重 W1，W2 を加えるとき，

壁に生じる反力R1，R2 の大きさと断面C,

D における変位量 δC，δD を求めよ．た

だし縦弾性係数を E とする．

【25】長さ l1，断面積 A1 の部分 AB と，長

さ l2，断面積 A2 の部分 BC からなる段付棒

の両端を温度 t1 のとき剛体壁に固定した後，

温度を t2 に上昇させた．このとき，それぞ

れ AB，BC 間に生じる熱応力 σ1，σ2 を求め

よ．ただし，棒の縦弾性係数を E，線膨張係数を αとする．

【26】図のように断面積 A= 2 cm2 のワイヤの下端につけ

たおもり W= 1 kN が，v = 1 m/sec の等速度で降ろされ

ているとき，ワイヤの上端 A を急に固定すると針金にはど

れほどの最大応力および最大伸びを生じるか．ただし，固

定の瞬間のワイヤの長さを h= 10 m，縦弾性係数 E= 200

GPa，重力加速度 g = 10 m/s2とし，ワイヤの自重を無視す

る．

【27】断面積 A1, A2，長さ l1, l2 の二つの部分 AB, BC か

らなる段付棒の上端を棒体天井に固定し，下端に剛体つ

ば(鍔)を取付ける．重さ Wの重錘を高さ h から棒に沿っ

て自由落下させ，剛体つばに衝突させるとき，AB,BC 間

に生じる最大応力 σd1，σd2 を求めよ．ただし，棒とつば

の重量を無視し，棒の縦弾性係数を E とする．

図 24

図 25

図 26

図 27

【28】円管 B の両端に剛体板 C をあて，ボル

ト A を通した後，内力を生じないで隙間をな

くすように，ナットを締めたものとする．その

後ナットを n 回転したとき，ボルトと円管に生

じる応力を求めよ．ただし，円管とボルトの有

効長さをともに l，ネジのピッチを p，ボルトと円管の断面積と縦弾性係数を

それぞれ A, A’および E, E’とする．

【29】直径 d1 の丸軸を内径 d1，外径 d2の中空丸軸の中にはめ込んで作った

組み合わせ軸を，ねじりモーメント T でねじるとき，それぞれに生じる最大

ねじり応力 τ1，τ2 および単位長さ当たりのねじれ角 θを求めよ．ただし丸軸

および中空丸軸のせん断弾性係数をそれぞれ G1, G2 とする．

【30】長さ l，両端の直径がそれぞれ d, n

d（0< n <1）である円錐軸の両端にトルク

T を加えるときのねじれ角 φを求めよ．た

だし，せん断弾性係数を G とする．

【31】両端を固定された段付き丸軸の段のと

ころにトルク T を加えてねじるとき，その

両側の最大ねじり応力 τ0 を等しくするため

には，図に記入した寸法の関係をどのように

選べばよいか．また，これに対応する最大ね

じり応力 τ0 と段部のねじれ角 φを求めよ．

ただし，せん断弾性係数を G とする．

【32】同じ材料，同じ長さの中空丸軸（外径 d1，内径 nd1）と丸軸（外径 d）

がある．ねじり強さが等しい場合の，両者の重さとねじり剛性の比を求めよ．

また，ねじれ角が等しい場合の，両者の重さの比を求めよ．

【33】両端を固定した直径 d，長さ l の丸軸

AB の断面 C, D にトルク T1, T2 を作用させ

るとき，軸の各区間に生じる最大せん断応力

と荷重断面におけるねじれ角を求めよ．ただ

し，せん断弾性係数を G とする．

図 28

図 30

図 31

図 33

【34】長さ l，せん断弾性係数 G で両端

の直径が d1, d2 の円錐軸がねじりモー

メント T を受けるとき，棒に貯えられ

る弾性ひずみエネルギを求めよ．

【35】ピン穴にしっくりはまった直径 d のピンの上端

にトルクを加えてこれをねじる．ピン穴の接触面には，

図に示すように，軸方向に p1から p2まで直線的に変

化する圧力が作用しているものとする．接触面の摩擦

係数をとして，ピンを回すのに必要なトルク T0 お

よび全体のねじれ角を求めよ．ただし，せん断弾性係

数を G とする．

【36】毎秒 40 回転の伝動軸で 15 kW を伝える．軸の許容応力を 21 MPa

とすると同時に，軸の長さ 1 m 当たりのねじれ角を 0.25 ﾟ 以下に制限した

い．軸径はいくらにすればよいか．ただし，せん断弾性係数 G＝ 81 GPa と

する．

【37】内外径の比が 1：2 である中空丸軸が毎分 100 回転していて 8000 馬力

(PS)を伝達する．材料の許容せん断応力を 30 MPa として，内外径を定めよ．

【38】90 kW を伝達し，1 分間に 80 回転する円形軸の直径を定めよ．ただし，

許容せん断応力を 12 MPa とする．

【39】図に示す伝動軸において，プーリ B が

毎秒 30 回転で 75 kW を受け，それぞれ 30

kW および 45 kW をプーリ A と C へ伝え

るとき，軸の直径をいくらにすれば良いか求

めよ．また，プーリの厚さを考えないで，こ

の軸のねじれ角 φを求めよ．ただし，材料の

図 34

図 35

図 39

許容せん断応力を τa＝ 12 MPa，せん断弾性係数を G＝ 80 GPa とする．

【40】AB，BC 部が異なる材料で出来

ている車軸がある．AB は中空であり，

d1＝5 cm，内径 d2とし，BC は直径の丸

軸である．車軸 AB の単位長さあたり

のねじれ角が車軸BCの 75 % であると

き，車軸 AB の内径を求めよ．また，この車軸が 250 馬力(PS)を伝達するとき，

その回転数を計算せよ．ただし，AB，BC の使用せん断応力をそれぞれ1＝78

MPa，2＝55 MPa とし，両者のせん断弾性係数の間には G1＝2.2 G2の関係が

あるものとする．

【41】三角形形状の分布荷重を受ける両端支

持はりについて，せん断力図(SFD)および曲げ

モーメント図(BMD)を描き，最大曲げモーメ

ントの値を求めよ．ただし a≧b とする．

【42】w (x)= w1l

xsin の正弦波状分布荷重を受

ける両端支持はりの SFDおよび BMDを描け．

【43】長さ l＝300 cm のはりが両端で単

純支持され，右端から b＝80 cm の位置

C に図のような剛体の腕を接合し，そ

の先端に集中荷重Wがかけられている．

このはりのせん断力図(SFD)および曲

げモーメント図(BMD)を描け．ただし，W＝3000 kgf，a＝30 cm とする．

【44】長さ l の片持ちはり AB の上を重量

W の集中荷重が移動するものとする．任

意の x 断面でのせん断力影響線(SFIL)お

よび曲げモーメント影響線(BMIL)を描き，

このはりの最大せん断力図(MSFD)および

最大曲げモーメント図(MBMD)を描け．

図 40

図 41

図 42

図 43

図 44

【45】単純支持はり AB 上を 2 個の集

中荷重 W1, W2が一定間隔 を保って移

動するとき，断面 C に生ずる最大曲げ

モーメントを求めよ．ただし，l1, l2 > ，

W1 l2 > W2 l1とする．

【46】長さ l の両端単純支持はり AB

の両端からそれぞれ a, b の点 C, D に

長さ h の剛体腕を垂直に接合し，腕の

先端に，大きさが同じで逆方向の，水

平方向集中荷重 W を加える．このは

りのせん断力図(SFD)および曲げモーメント図(BMD)を描け．

【47】等分布荷重 w を受ける両側突出しはりに

おいて，支点およびスパンの中央における曲げ

モーメントの絶対値を等しくするには，突出し

部の長さ a をいくらに定めればよいか．

【48】半径 r の半円形断面の図心 G の位置を

求め，G を通って直径 Z 軸に平行な z 軸に関

する断面二次モーメントを求めよ．

【49】正方形断面 ABCD の一対角線 AC に関

する断面係数を最大とするためには，上下の

角 Dおよび Bの部分をどれだけ切り取ればよ

いか．また，切り取ることによって曲げ応力

は何%小さくなるか．

【50】高さ h、底辺 b の三角形断面材から，

底辺に一辺を有する長方形断面(a1 ×a2)の

はりを切り出す．はりの断面係数を最大と

するためには，a1，a2 をどのようにして切

り出せばよいか．

図 45

図 46

図 47

図 48

図 49

図 50

【51】T 形断面を持つ両端支持はりが曲げモーメン

トを受けるとき，はりの表面に生ずる最大引張り応

力が最大圧縮応力の 1/3 になるためには，フランジ

の幅 b をいくらにすればよいか． h=10cm，t=2.5cm

とする．

【52】頂角が 90°の山形断面はりの図心を通

る z 軸に関する断面二次モーメント Izを求め

よ．

【53】同一の断面形状で同じ材料の 2 個の片持

ちはりの自由端をピンで連結し，この点に集中

荷重 Wを加えるとき，連結点に生ずるたわみを

求めよ．

【54】片持ちはり AB, CD の自由端 B,

C に長さ 3l の垂直弾性棒をピン結合し

て，はり AB, CD にそれぞれ等分布荷

重 w1, w2を作用させるとき，棒 BC に

生ずる軸力と B, C 点のたわみを求め

よ．ただし，はり AB,CD はともに

b=8cm, h=18cm の長方形断面で，棒 BC

は d=1cm の円形断面とし，w1=250N/cm, w2=200N/cm, 31 ll 1m, 2l 1.5m,

E=210GPa(はり，棒とも)として計算せよ．

【55】断面二次モーメント I，縦弾性係数 E

をもつ両端単純支持はり AB が図のように

等大，逆向きの荷重 W を受けている．両支

点でのたわみ角，中央点のたわみおよび最

大たわみを求めよ．

図 51

図 52

図 53

図 54

図 55

【56】長さ 2l のはり AB が左端 A と中点

C で単純支持され，AC 間に全荷重 Q を

等分布荷重として受け，右端 B には集中

荷重 P を受ける．右端 B のたわみを 0 と

するように比 Q/P の値を定めよ．

【57】曲げ剛さ EI，長さ l の片持ちはり AB

がある．図のように中間点 C に集中モーメン

ト M0をうけるとき，自由端のたわみおよび

たわみ角を求めよ．

【58】スパン1l の単純支持はり AB の中

央へ長さ2l の鋼索 CD をつり下げたと

き，その下端 D とはりの間の距離がλ

になったものとする．このはりの中央を

押し上げて鋼索の下端 D と接合すると

き，CD に生ずる張力 P を求めよ．ただ

し，はりの曲げ剛性を E1I，鋼索の伸び

剛性を E2A (A は鋼索の断面積)とする．

【59】平面応力状態で主応力がそれぞれ1 =800 kgf/cm2, 2 = -400 kgf/cm

2 で

ある場合，法線方向が1 の方向から反時計方向に 30o 傾いた面上に作用する

応力成分を求め，モールの応力円で確認せよ．

【60】平面応力状態でx =8.0 kgf/mm2, y =4.0 kgf/mm

2, xy =2.0 kgf/mm

2 がそ

れぞれ作用している．主応力および主せん断応力を求め，モールの応力円上

に図示せよ．

【61】縦弾性係数 E＝210 kN/mm2，せん断弾性係数 G＝80 kN/mm

2の材料で

できた棒が，軸方向に一様な引張応力 =10 kN/cm2を受けたときの体積増加

率を求めよ．

【62】 90 1 2 x y ， 2 2

90 1 2 x y xy となるこ

とを証明せよ．（※ x y と 2

x y xy は座標の変換に関して不変である．前

者を二次元応力成分の一次不変量，後者を二次不変量と呼ぶ．）

図 56

図 57

図 58

【63】平面ひずみ状態にある弾性体の 1 点で，座標系 xy に関してひずみ成分

x =500 マイクロ, y =140 マイクロ, xy =－360 マイクロが与えられたとき，主

ひずみの値とその方向（1の方向と x 軸のなす角度）を求めよ．また，x 軸か

ら 30o 反時計回りに傾いた方向およびそれに直角な方向の垂直ひずみを求め

よ．

【64】物体内の 1 点において互いに直交する任意の xyz 軸で定義される x 面, y

面, z 面の 3 平面に垂直応力x, y, z が作用するとき，x＋y＋z の値は，そ

の点で直交するいずれの 3 平面の組に対しても不変であることを示せ．

【65】平面応力状態にある弾性体の 1 点で，応力成分はx =80 MPa, y = -20

MPa, xy =50 MPa であった．モールの応力円を用いて，各主応力，主せん断

応力およびそれらの方向を求めよ．また，x 軸から法線方向が 30o傾いた面上

の応力成分を算出せよ．

【66】構造物の表面で主ひずみを測定した結果1 =800×10-6

, 2 =500×10-6で

あった．主応力1, 2および主せん断応力3 を求めよ．ただし，部材の縦弾性

係数 E=210 GPa，ポアソン比=0.3 とする．

【67】縦弾性係数 E，ポアソン比の直方体の 3 方向の面にそれぞれ1, 23

の垂直応力が作用している．体積変化がゼロとなるときの条件を求めよ．

【68】平面応力状態にある弾性体において，x 面には垂直応力x =120 MPa，

せん断応力xy =30 MPa が，y 面には合応力 py =50 MPa が作用している．まず

各面の法線と合応力 px, py の作用する方向とのなす角x, yを求め，さらに主

応力と主せん断応力の値と，これらの作用する方向（x 軸からの角度）を求め

よ．また，これらの値をモールの応力円上に示せ．

【69】断面積 A，縦弾性係数 E の等しい 2

本の棒 AC, BC のそれぞれの一端 A,B を

水平な剛体天井にピンで取り付け，それ

ぞれの他端 C をピンで結合し，点 C に重

錘 W をつり下げる．点 C の水平変位 uC

と鉛直変位 vCをカスティリアノの定理に

より求めよ．

図 69

【70】縦弾性係数 E の等しい 2 本の棒 AC（長さ

l1，断面積 A1）と BC（長さ l2，断面積 A2）のそ

れぞれ一端 A, B を鉛直な剛体壁にピンで取り

付け，他端 C を互いにピンで結合したとき，棒

BC は水平となり，棒 AC はこれと角 θ傾いたも

のとする．結合点Cに荷重Wを吊り下げるとき，

点 C の水平変位 uC と鉛直変位 vCを求めよ．

【71】3 本の棒 AD, BD, CD が剛体天井にピンで固定

され，下端 D をピンで接合されている．点 D に大き

さ P の鉛直下向き荷重が作用するとき，AD, BD, CD

に生ずる応力1, 2, 3を求めよ．ただし，AD の長さ，

横断面積，縦弾性係数を l1，A1，E1，また， BD およ

び CD の長さ，横断面積，縦弾性係数を l2，A2，E2と

する．

【72】同一材料，同一寸法の 2 本の棒

AD, BDのそれぞれ一端A, Bを剛体床

にピンで取り付け，また，AB の中点 C

に第三の棒CDの一端Cを取り付けて，

それぞれの残りの端を点 D でピン継手

により無理なく結合できたものとする．

棒CDの温度を t ℃上昇させたとき，それぞれの棒に生じる熱応力を求めよ．

ただし，棒 AD(BD)，CD の断面積および縦弾性係数を A, A’および E, E’，

棒 CD の線膨張係数を α，棒 AD(BD)の長さを l，∠CAD＝θとする．

【73】長さ l，断面積 A，縦弾性係数 E の 3 本の棒

を図 30 に示すようにピンで結合し，点 D において

AD 方向に荷重 W を加えるとき，点 D の対応する変

位をカスティリアノの定理により求めよ．

図 70

図 71

図 72

図 73

【74】長さ 2l の剛体棒 AB の一端 A を鉛直

な剛体壁にピンで取り付け，他端 B と中点

C を，同じ材料，同じ太さの鋼線 CD, BD

で壁上の点 D に連結して，棒を水平に保つ

ものとする．端 B に重錘 Wを吊り下げると

き，鋼線 BD, CD に作用する張力 N1, N2 を

求めよ．ただし，鋼線 BD, CD の長さをそ

れぞれ l1, l2 とし，AD間の距離を h とする．

【75】図に示すようなラーメン ABCD の各剛節に生ず

る曲げモーメントを求め，次に，荷重の作用点間の相

対変位を求めよ．ただし，縦弾性係数 E はすべて等し

いものとし，部材 AB, CD および AD, BC の断面二次モ

ーメントをそれぞれ I1, I2とする．また，部材の軸力に

よる伸びやせん断力によるたわ

みは無視して良い．

【76】等しい長さ l および曲げ

剛さEIを持つ3本の部材からな

る正三角形ラーメン ABC の各剛節に生ずる曲げモー

メントおよび集中荷重 W の作用点 D のたわみを求め

よ．部材の軸力による伸びやせん断力によるたわみは

無視して良い．

【77】スパン lの固定はり AB の中点 C にば

ね定数 k のばね CD を取り付けてある．この

はりが等分布荷重 w を受けるときの中点 C

のたわみを求めよ．

【78】等分布荷重 w を受ける両端固定はりの

左端を垂直に距離 e だけ上げる．0< e <

w l2/24EI のとき，このはりの SFD およ

び BMD を描け．

図 74

図 75

図 76

図 77

図 78

【79】2 本のはり AB，BD がそれ

ぞれ A, D, C 点で単純支持され，

B 端は“ころ”をはさんで接触し

ている．各はりにそれぞれ w＝

100 N/m の等分布荷重と W＝100

N の集中荷重が作用するとき，各はりのせん断力図(SFD)および曲げモーメン

ト図(BMD)を描け．ただし，l1＝5.0 m，l2＝2.0 m とする．

【80】両端支持はり AB がこれに中央で直

交する両端支持はり CD で中央を支えられ，

全長に等分布荷重 w を受けている．はり

CD に生ずる反力 R を求めよ．ただし，は

り AB, CD の縦弾性係数および断面二次モ

ーメントをそれぞれE1, I1およびE2, I2とす

る．

【81】図に示すような三角形形状の分布

荷重 w を受ける，厚さ h が一定の一様強

さの片持ちはり AB の自由端のたわみを

求めよ．また，固定端の断面に等しい一

様断面の片持ちはりが同様な荷重を受け

るときの自由端のたわみの何倍にあたる

か確かめよ．

【82】3 点支持の連続はりのせん断力と曲

げモーメントを求め，W/w l=2 のときの SFD

および BMD を描け．

【83】等間隔の 6 支点 A, B, C, D, E, F

で支持され，等分布荷重 w を受ける

連続はりのせん断力図(SFD)および

曲げモーメント図(BMD)を描け．

図 79

図 80

図 81

図 82

図 83

【84】等スパンの 4 点支持の連続はりが，

各スパンの中央に等しい集中荷重 W を

受けるとき，各支点の支点モーメントお

よび反力を求めよ．

【85】長さ l，直径 d の丸棒 AB の端 B が床にピンで

取り付けられ，端Aがなめらかな鉛直壁で支えられて，

水平方向と角θ傾いている．単位長さの棒の重さを w

として，自重による圧縮応力が最大になる断面の位置

を求めよ．

【86】山形のはりの断面が縦 30cm，横 20cm

の長方形であるとき，これに生ずる最大圧

縮応力を求めよ．

【87】水平面内で折れ曲がった直径 d の片持

ちはり ABC の自由端 C に集中荷重 W が鉛直

に作用するときの最大垂直応力と自由端のた

わみを求めよ．ただし，材料の縦弾性係数をE，

ポアソン比をとし，l1＝l，l2＝l/2 とする．

【88】図に示すコイルばねにおいて素線直径 d＝2 cm，

巻数 n＝8，コイル半径 R＝5 cm，ピッチ角＝6°とし，

軸荷重 P＝5 kNを作用させる．縦弾性係数 E＝200 GPa，

せん断弾性係数 G＝80 GPa とし，素線に生ずる最大せ

ん断応力，ばねの軸方向伸び，ばね定数を求めよ．ま

た，密巻き(＝0) で近似した場合の結果と比較せよ．

ただし，素線に生ずる軸力およびせん断力の影響は無

視して良い．

図 85

図 85

図 86

図 87

図 88

【89】長さ l＝2 m，幅 b，高さ h の矩形断面はりが

上端を鉛直線と＝30°の傾きをなして剛体天井に

固定し，はりの上面に w＝100 kgf/cm の等分布荷重

をかける．材料の使用応力をa＝80 MPa，h＝40 cm

として，はりの幅 b を求めよ．

【90】回転軸と角度

傾いて一定角速度で

回転している棒がある．棒の長さを l ，断面積を

A，比重量を，重力加速度を g として，せん断

力図(SFD)および曲げモーメント図(BMD)を描け．

【91】半円部 AB と 2 つの直線部 AC，BD からな

る図 91 に示すような曲りはりの両端 C, D に鉛直

引張り荷重 P を加えたとき，CD 間の距離の増加量

を求めよ．ただし，横断面の高さに対し曲率半径 r

は十分大きいものとし，軸力による変形は考えな

くて良い．

【92】半径 R の 4 分円弧状のはりを水平に保

ち，一端 A を壁に固定し，他端 B に鉛直な集

中荷重 Wを加える．荷重点のたわみを求めよ．

ただし，はりの断面は直径 d (≪ R )の円形と

し，材料のせん断弾性係数を G，ポアソン比

をνとする．

図 89

図 90

図 91

図 92

【93】直線部 AB と半円部 BC からなる曲げ剛さ EI の細

い棒が，AB を鉛直にして，一端 A を床に固定されてい

る．自由端 C に鉛直な集中荷重 P が作用するとき，C

点の鉛直および水平方向変位を求めよ．ただし，横断面

の高さに対し曲率半径 r は十分大きいものとし，軸力に

よる変形は考えなくて良い．

【94】横断面が長方形（b×t ）のピストンリン

グの切り口の両端に接線方向荷重 P を作用させ

ると，切り口はどれだけ開くか．また，その時の

最大垂直応力の生じる位置とその値を求めよ．た

だし，横断面の高さ b に対し曲率半径 r は十分大

きいものとし，軸力による変形は考えなくて良い．

【95】軸圧縮荷重 W を受ける，長さ lの両端支持

の長柱 AB が，その一端 A に曲げモーメント M0

を受けるときのたわみ v を求めよ．ただし，柱の

曲げ剛性を EI とする．

【96】長さ l，直径 d の長柱 AB の下端 B を床に，

また，上端 A をガイドブロックにピンで止めてあ

る．ガイドブロックの上端とガイドの間の隙間は

δである．温度を上昇させるとき，この長柱に座

屈が生ずる．オイラーの公式を用いて，このとき

の温度上昇を求めよ．ただし，材料の線膨張係数

をαとする．

【97】集中荷重 W を受ける単純支

持はりが両端から軸圧縮力 P を受

けるときのたわみ v を求めよ．ま

た，このはりに座屈が生ずる場合

の限界荷重に横荷重 W は関係しな

いことを示せ．

図 93

図 94

図 95

図 96

図 97

【98】縦弾性係数 E，直径 d の等しい丸棒をピ

ンで結合したトラス ABCD の節点 A と C に引

張力 Wが作用する．このトラスが座屈で破壊す

るときの限界荷重 WE を求めよ．また，荷重が

圧縮荷重の場合はどうなるか．

【99】長さ l，曲げ剛さ EI の棒 AB

の両端 A, Bおよび中間点 C を単純

支持し，両端に軸圧縮荷重 W を加

える．この棒が座屈するときの限

界荷重 WEは以下の関係から求められることを示せ．

sin sin sin a b l l a b

， /EW EI

【100】両端回転端で長さが直径の 15 倍の軟鋼円柱がある．この座屈応力を

オイラー，ランキン，テトマイヤーの式で比較せよ．ただし，E=200GPa とす

る．

■□■参考問題 2017（2006 年度大学院入試問題「材料力学」）□■□

単軸引張り試験でひずみ

を測定するため，直交 2 軸

ひずみゲージを試験片の

軸方向およびその直角方

向に合わせて貼り，その結

果から縦弾性係数とポア

ソン比を計算し，縦弾性係

数 E ’およびポアソン比

ν’を得た．しかし，実験

後に確認したところ，図のように直交 2 軸ひずみゲージの軸が角度θ傾いて

いることに気付いた．引張り試験より求められた見掛けの縦弾性係数 E ’お

よびポアソン比ν’から真の縦弾性係数 E および真のポアソン比νを計算す

る補正式を求めよ．また，真の値は見かけの値より大きくなるかあるいは小

さくなるか検討せよ．

図 98

図 99

2017固体力学系演習Ⅱ 解答

[01] 略

[02] 略

[03] 1 2 30.90 kN, 1.34 kN, 0.55 kNN N N

[04] 1 2 32.9 kN, 1.9 kN, 1.2 kNR R R

[05] 2

1 2( )

mN F

m m

[06] 80 MPa, 200 GPaE

[07] 112 GPaCE

[08] 44.1 MPa

[09] 150 kN, 150 kNs cN N

[10] 0 1310 kNP

[11] 1 2168 MPa, 111MPa

[12] 1 1 2 21 2

1 1 2 2 1 1 2 2

,E A E A

N W N WE A E A E A E A

[13] 1 2 3165 MPa, 52.4 MPa, 82.5 MPa

1 2 33.14 mm, 2.62 mm, 1.57 mm

[14] 2 2 2

2 2 2

2 5 4 5, , , 2

2

CBA B C

A A

UP l P l P l UU U U

Ed Ed Ed U U

[15] 2

2

2

5

W hU

Ed

[16]

2 22

1 2 2 1

2 2

1 2

2 ( )W d l d lU

Ed d

[17] 2

1 2

2W lU

Ed d

[18] 8.25 J, 28%S

UU

U

[19] 2(1 )s

s

E

G

：ポアソン比

[20] 332 kJ/mU

[21] 一様直径 0 02.74 mm, 4.62 kNd W

一様強さ (0) ( )0.426 mm, 0.695 mm, 0.190 kNd d W

[22] 応力

2

2( ) (2 )2

x lx xg

，伸び

2 3

3Eg

[23] 1 2

4Pl

Ed d

[24] 1 2 3 2 3 1 1 2 1 21 2

( ) ( ),

W l l W l W l W l lR R

l l l l

2 3 3 31 1 1 21 2 1 2,C D

l l l ll l l lW W W W

EA l l EA l l

[25] 2 1 2 1 2 2 1 1 1 21 2

1 2 2 1 1 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( )

E t t A l l E t t A l l

A l A l A l A l

[26] 速度エネルギー→ 弾性ひずみエネルギー max max100 MPa, 5.0 mm

停止後の重りの位置エネルギーを考慮すれば max max105 MPa, 5.26 mm

[27] 1 2 1 21 2

1 1 2 2 1 2 1 2 2 1

2 21 1 , 1 1

( ) ( )d d

W EA A h W EA A h

A W Al A l A W Al A l

[28] A B,( ) ( )

EE A np EE Anp

EA E A l EA E A l

[29] 1 1 2 21 24 4 4 4 4 4

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1

16 16,

{ ( )} { ( )}

G d T G d T

G d G d d G d G d d

4 4 4

1 1 2 2 1

32

{ ( )}

T

G d G d d

[30] 2

4 3

32 (1 )

3

Tl n n

Gd n

[31] 11 2 2 1 0 3 3 3 3

1 2 1 1 2

16 32, ,

( ) ( )

T Tld l d l

d d Gd d d

[32] ねじり強さが等しい場合

211 33

2 2 4( 1)

1 1, (

( 11

1)

)

p

p

GIW n

W n GI n

ねじれ角が等しい場合 2

1

2

1

1( 1)

W n

W n

[33] 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 1 2 1 21 2 33 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

16{ ( ) } 16( ) 16{ ( )}, ,

( ) ( ) ( )l l l

T l l T l T l T l T l T l l

d l l l d l l l d l l l

1 1 2 3 2 3 3 1 1 2 1 2

4 4

1 2 3 1 2 3

32 { ( ) } 32 { ( )},

( ) ( )C D

l T l l T l l T l T l l

G d l l l G d l l l

[34]

2 22

1 1 2 2

3 3

1 2

16 ( )

3

T l d d d dU

Gd d

[35] 2

1 20 1 2 1 22

( ) 8, {3( ) ( 2 ) }

4 3

d p p l lT p p a p p l

Gd

[36] 37 mmd

[37] 1 147.0 cm, 23.5 cmd d

[38] 17 cmd

[39] 47 mmd ，AB, BC, AC 間のねじれ角 AB BC AC0.36 , 0.36 , 0

[40] 2 3.96 cm, 26 rpsd n

[41] 210 { ( 2 ) 3 }6

wx a Q a a b x

a ， 21 { ( 2 ) }

6

wM x a a b x

a

21 { (2 ) 3( ) }6

wa x l Q b a b l x

b ， 21 ( ){ (2 ) ( ) }

6

wM l x b a b l x

b

3

1max

( 2 )

9 3

w a a bM

SFD，BMD 下左図

[42]

2

1 10 cos , sinl x l x

x l Q w M wl l

SFD，BMD 略

[43] ( )

0W a b

x l b Ql

，

( )W a bM x

l

( )W l a b

l b x l Ql

，

( )( )

W l a bM l x

l

SFD，BMD 下右図

[44] 影響線0 , ( ) : 0, 0x Q W M W x x l Q M

最大値 max max max0 , 0,x l Q W Q M Wx 図 略

[45] 1 1 2 2 1 2max

( )W l l W l lM

l

[46] 2 2

0 ,Wh Wh

x a Q M xl l

2

, (2 )Wh Wh

a x l b Q M x ll l

2 2

, ( )Wh Wh

l b x l Q M x ll l

SFD 略 ，BMD 右図

[kN m]M

[kN]Q

[m]x

[m]x

11

19

24.2

15.29.0( )Wa

30( )W

32.2

[41]SFD,BMD [43]SFD,BMD

M

Q

x

x

AR

BR

0x

maxM

la

M

x

2 /Wha l

( 2 ) /Wh l a l

2 /Whb l

( 2 ) /Wh l b l

a l b l

[47] 2 1

( 0.21 )2

a l l

[48] 4

0

4 8( 0.42 ),

3 8 9zy r r I r

[49] 1

9n ，曲げ応力は 5.1％小さくなる

[50] b h のときは1 2

2,

3 3

b ha a で切り出し，

2z 軸が中立軸となるように使用

b h のときは 1 2

2,

3 3

b ha a で切り出し，

1z 軸が中立軸となるように使用

[51] 22.5 cmb

[52] 4 3 2 2 3 4(2 4 8 6 )

12(2 )z

hI a a h a h ah h

a h

[53] 3 3

3 33 ( )

Wa bv

EI a b

[54] B C4.88 kN, 0.582 mm, 0.878 mmN v v

[55] 2 3

A B /2 max 1 1( )2 2 2

, 0, ( 0.27 )81 729 3 3 3

xWl Wl

i i v v v x l lEI EI

[56] 16Q

P

[57] 2 20 0B B( ), ( )

2

M Mi l a v l a

EI EI

[58] 1 2

3

2 1 1 2

48

48

E E AIP

E Al E Il

[59] 30 3050 MPa, 52 MPa モールの応力円 下左図

[60] 1 2 388 MPa, 32 MPa, 28 MPa モールの応力円 下右図

[59] Mohr’s circle [60] Mohr’s circle

[61] 180v マイクロ

[62] 略

[63] 1 575 マイクロ（ 1 22.5n ），

2 65 マイクロ

30方向の垂直ひずみ254マイクロ，直交方向の垂直ひずみ386マイクロ

[64] 略

[65] モールの応力円より

1 1101 MPa( 22.5 )n 2 241 MPa( 67.5 )n

3 171 MPa( 22.5 )s

30 3098 MPa, 18 MPa 30 3012 MPa, 68 MPa

[66] 1 2219 MPa, 171 MPa

3 24 MPa

[67] 1 2 0 または 1 2 3 0

[68] 14 , 37x y

1 1 2 21 3 0 M P a ( 1 8 ) , 3 0 M P a ( 7 2 )n n

3 150MPa( 27 )s モールの応力円 下図

[69] C 0.0375Wh

uEA

(左方向) C, 0.998Wh

vEA

(下方向)

[70] 2C

2 tan

Wlu

EA (左方向)，

2

2 1 1 2C 2

1 2

( cos )

sin

A l A l Wv

EA A

(下方向)

[71]

3 2

1 2 2 1 21 23 3 3 3

1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1

,2 2

PE l PE l

E A E A E A E A

[72] 2 3

3 3

' ' sin 2 ' sin, '

( ' ' 2 sin ) ( ' ' 2 sin )

E EA t E EA t

E A EA E A EA

[73] D

2

3

U Wl

W EA

(鉛直下方向)

[74]

3 3

1 2 1 21 23 3 3 3

1 2 1 2

4 2,

( 4 ) ( 4 )

Wl l Wl lN N

l l h l l h

[75] 3

2 1

1 2 1

( 4 )

96 ( )

Wa aI bI

EI aI bI

[76] 3

D96

Wlv

EI

[77] 4

C 32( 192 )

wlv

kl EI

[78] 右図

[79] 下図

[80] 4

2 2 1

3 3

1 1 2 2 2 1

5

8( )

wE I lR

E I l E I l

[81] 4

0 AA 3

0 0A

5,

2

w l vv

Eb h v

[82] AB 間 1 1

3 30 ,

2 4 4

l wl wlx Q M x

1 1

5, (4 5 )

2 4 4

l wl wlx l Q M l x

BC 間 2 2 2 20 (3 4 ), ( )( 2 )4 4

w wx l Q l x M l x l x

[83] 右上図

[84] B C

3

20M M Wl ， A B

7 23, ,

20 20R W R W C D

23 7,

20 20R W R W

250

250

175

75

500

312.5

150

[N]Q

[N m]M

A B C D

Q

M

15

38

wl20

38

wl

2

wl

2

wl

18

38

wl

23

38

wl

23

38

wl

18

38

wl 20

38

wl

15

38

wl

24

38

wl

23

38

wl

2225

2888

wl

27

152

wl2

12

361

wl

A B C D E F

[79]SFD,BMD

[83]SFD,BMD

[78]SFD,BMD

2

2

3

1 72

24

EIew

w

Q

M

3

112

2

EIew

3

112

2

EIew

2

2

16

12

EIew

2

2

16

12

EIew

x

x

3

12

2

EIe

w

[85]

2

1 3max

tan 16 cos tan,

2 8 8 tan 2 8C

l d w d l l dx

d

[86] max

4.05 MPaC

[87] max 3

82 cos 5 4cos

Wl

d

，

32

C 4

85 4cos 2 sin

Wlv

Ed

[88] 6 ： max 159 MPa, 2.52 cm, 198 N/mmk

密巻： max 159 MPa, 2.50 cm, 200 N/mmk

[89] 5.23 cmb

[90] 2 2

2sin 2 sin 2(2 ), (3 )

4 12

A AQ x l x M x l x

SFD,BMD 略

[91] 2 2 33 ( 2 ) 8 4

6

Pr r l rl l

EI

[92] 3

B 4

83 8

1

WRv

Gd

[93] 2

2 2

C C( 2 ), (8 3 )2

Pr Pru l r v l r

EI EI

[94] 3

max3 2

36 12,

Pr P r

E t b t b

[95] 0 sin

sin

M x xv

EIW l l

[96] 2 2

1

16

dt

l l

[97] sin

sin (0 )sin

W b bv x x x a

EIP l l

，略 ( )a x l ，

2

2k

EIP

l

[98] 引張力の場合：3 4

1 2128

E

EdW

l

， 圧縮力の場合：

3 4

2 2

2

64E

EdW

l

2

1

2 2E

E

W

W

[99] 略

[100] オイラー 548 MPaE （縦弾性係数 200 GPaE として）

ランキン 225 MPaR テトマイヤー 237 MPaT

※材料のオイラー式の適用範囲 90rS ，この柱の相当細長比 60r rS ， な

ので，実験式あるいは短柱の圧壊で扱うのが妥当な問題である．

■□■ 参考問題 2017 □■□ 2 2 2 2

2 2 2 2

'(cos sin ) (sin 'cos ),

(cos 'sin ) (cos 'sin )

EE E