2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS...
Transcript of 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS...
![Page 1: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/1.jpg)
445
ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb,83.50.Ha, 83.60.Wc
Возможный механизм образования зародышей каналов гидродинамического пластического течения в кристаллах
В. И. Засимчук, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко
Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина
В данной работе усовершенствована система уравнений, описывающих про-цессы зарождения и агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах. Несколькими способами показана возможность обра-зования зародышей гидродинамических каналов из агломератов. Показано, что при сверхнизких температурах, даже при небольших нагрузках, воз-можно появление очень больших концентраций вакансий в металле, что
может привести к его разрушению.
У даній роботі вдосконалено систему рівнянь, які описують процеси заро-дження та аґломерації точкових дефектів у пластично деформованих мета-лах. Декількома способами показано можливість утворення зародків гідро-динамічних каналів з аґломератів. Показано, що при наднизьких темпера-турах, навіть при невеликих навантаженнях, можлива поява дуже великих
концентрацій вакансій в металі, що може призвести до його руйнування.
In a given work, the set of equations describing the processes of the origin and
agglomeration of point defects in plastically deformed metals is improved. Us-ing several methods, the possibility of nucleation of hydrodynamical channels
from agglomerates is shown. As shown, the appearance of very high concentra-tion of vacancies in metal is possible at ultralow temperatures and even under
light loads that can leads to the destruction of metal.
Ключевые слова: вакансии, агломераты вакансий, скорость генерации ва-кансий, диффузия, стационарное состояние, устойчивость, гидродинамиче-ские каналы, сверхнизкие температуры.
(Получено 6мая 2012 г.; окончат. вариант– 27марта 2014 г.)
1. ВВЕДЕНИЕ
В ряде наших предыдущих работ (см. [1, 2 и др.]) было показано,
Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2014, т. 36, № 4, сс. 445—459 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией
2014 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины)
Напечатано в Украине.
![Page 2: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/2.jpg)
446 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
что при определенных условиях дислокационный механизм пла-стической деформации кристаллов сменяется гидродинамическим
течением материала по каналам с неупорядоченной (жидкостнопо-добной) структурой внутри. Процесс обусловлен неустойчивостью,
возникающей в процессе деформации дислокационной структуры и
самоорганизацией дефектов кристаллического строения, в виде,
так называемых, каналов гидродинамического течения, ориенти-рованных вдоль максимальных компонент тензора приложенных
напряжений. Впервые синергетическая модель образования заро-дышей таких каналов была рассмотрена в работе [3]. В основе моде-ли лежит рассмотрение взаимодействия точечных дефектов (вакан-сий) в процессе механического нагружения кристалла. Настоящая
работа является логическим продолжением работы [3] с учетом
процессов распада скоплений вакансий. Она посвящена рассмотре-нию возможности самоорганизации вакансий в виде образования
локальных участков с очень высокой плотностью вакансий и их
скоплений, которые могут рассматриваться как зародыши каналов
гидродинамического течения.
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Вывод уравнений и исследование стационарного состояния
Процессы агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах будем рассматривать с помощью зацепляю-щихся уравнений Смолуховского, описывающих агрегационную
кинетику [4]. Однако, в отличие от модели работы [3], дополним эту
модель учётом вероятности распада скопления (или агломерата) ва-кансий и зависимости этой вероятности от размера и морфологии
(геометрической формы) скопления. Предположим также, что ге-нерация точечных дефектов происходит, в основном, благодаря
скольжению винтовых дислокаций со ступеньками, а внешние
напряжения достаточно высоки для атермического движения та-ких дислокаций с генерацией вакансий, но не достаточны для про-изводства междоузельных атомов [5]. Исследовалось влияние про-цессов агломерации, поэтому захват другими несовершенствами
(трещинами, включениями и границами) полагался пренебрежимо
малым. Тогда получим следующую систему уравнений:
1
2
1 1 1 1 2 2 1
2 3
/ 2 2 ,N N
k k k k
k k
v t B B v B v v C v C v D v
(1а)
1 1 1 1 1 1/ , для 1 ,
k k k k k k k k kv t B v v C v B v v C v k N (1б)
1 1 1
/ ,N N N N N
v t B v v C v (1в)
![Page 3: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/3.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 447
где N – число вакансий в скоплении максимального размера, v1 –
концентрация вакансий (в относительных единицах), kv – концен-
трация скоплений, содержащих k вакансий, D –коэффициент диф-
фузии вакансий, 2/B u a d – скорость генерации вакансий (u –
скорость дислокации, – плотность дислокаций, a – межатомное
расстояние, d – расстояние между ступеньками на винтовой дисло-
кации) [5],
2 2
4 2
nk
R D k DB
a a
– интенсивность присоединения ва-
кансий к скоплению k вакансий с размерностью (например, 1/2
для планарных, дисковых и произвольных сплошных плоских
скоплений, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для не-плотных фрактальных скоплений) и эффективным радиусом
1~k
R k , а
2 2
4 2
kk
R C k CC
a a
– интенсивность отсоединения ва-
кансий от скопления k вакансий с размерностью с эффективным
радиусом Rk, C – вероятность отсоединения вакансий от скопления
вакансий, с аналогичной D, экспоненциальной зависимостью от от-
ношения энергии активации отсоединения к температуре, t – вре-
мя. Следует отметить, что k k
CC B
D , и это соотношение справедли-
во для k 1, а для малых значений k оно приблизительно, более же
точной является линейная связь 2 12B B , 3 1
3B B и т.д.
Действительно, уменьшение концентрации вакансий за единицу
времени за счёт объединения вакансий и присоединения вакансий к
скоплению из k вакансий с образованием нового скопления пропор-ционально произведению интенсивности присоединения вакансий
к скоплению Bk и концентраций вакансий и скоплений, т.е. опреде-ляется выражением k k
B v . Аналогично, увеличение концентрации вакансий за единицу
времени за счёт распада скоплений (отсоединения вакансии от
скопления) из k вакансий пропорционально произведению интен-сивности отсоединения вакансий от скопления Ck и концентраций
вакансий и скоплений, т.е. определяется выражением Ckvk. Нали-чие членов с этим выражением в представленной здесь модели поз-воляет учесть вклад процессов распада скоплений вакансий. Таким
образом, в этом выражается расширение синергетической модели
из работы [3], в которой учитывалась только необратимая агломе-рация вакансий в скоплениях. Отсюда получаем выражение (1а), в котором коэффициент перед
членом 2
1 1B v полагаем равным 2, поскольку при образовании одной
бивакансии исчезают сразу две вакансии. Аналогично и при распа-
![Page 4: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/4.jpg)
448 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
де одной бивакансии появляются сразу две новые вакансии, а пото-му появляется коэффициент 2 перед членом 2 2
C v . Аналогично по-лучаем уравнение (1б). При выводе уравнения (1в) предполагается,
что скопления более чем из N вакансий не образуются и соответ-ственно, не распадаются. При этом следует учесть, что по имею-щимся экспериментальным данным [6—10] в условиях интенсивной
пластической деформации могут образовываться стабильные скоп-ления вакансий очень большого размера, вплоть до
410N . Счита-ем также, что мобильными по диффузионному механизму являют-ся только вакансии, а остальные скопления малоподвижны [11]. Найдём теперь стационарные состояния системы (1), т.е. состоя-ния, когда
0k
v t для целых k, 1 k N . (2)
Из (1в) получим:
1 1 1
/ .N N N N
v B v v C (3)
Воспользуемся методом математической индукции [12] и докажем,
что для всех целых k таких, что
1 k N (4)
верна формула:
1 1 1/ .
k k k kv B v v C (5)
Предположим, она верна для k m. Подставляем (5) при k m в
(1б) для k m 1. Получаем
1 2 1 2 1
/ .m m m m
v B v v C (6)
Утверждение (5) с учётом (4) доказано. Подставляем все (5) в ста-ционарное уравнение, полученное от (1а):
1
0.B D v (7)
Далее используем замену:
1
.v v (8)
Найдем стационарное решение для уравнения (1а) для области в
виде длинного цилиндрического образца, ось которого расположена
вдоль оси OX, а концентрация вакансий v зависит только от одной
![Page 5: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/5.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 449
координаты x. Тогда получим уравнение:
2
2,
vb
x
(9)
где
.B
bD
(10)
Граничные условия получаем из учёта того факта, что на грани-цах (x L ) образца длиной L все вакансии выходят на поверх-ность. Следовательно
( ) ( ) 0.v L v L (11)
Кроме того, концентрация вакансий v может быть только неот-рицательной величиной
( ) 0.v x (12)
Тогда получим:
2 21 1
.2 2
v bx bL (13)
Следовательно, в стационарных условиях концентрация вакан-сий v плавно меняется вдоль координаты x в пределах
21
02
v bL , (14)
достигая максимального значения 2 2bL в середине области.
Численные оценки показывают, что данное стационарное рас-пределение может быть достигнуто лишь для нереалистично боль-шого значения максимальной концентрации вакансий v 1. Та-ким образом, в реальных условиях оно невозможно и возникает во-прос о поведении нестационарного распределения вакансий и скоп-лений, например об его устойчивости по отношению к простран-ственным возмущениям.
2.2. Исследование устойчивости однородного распределения
точечных дефектов и их скоплений
Рассмотрим систему уравнений (1) для нестационарных состояний.
Для начала сведём её путем приближений к системе двух уравне-ний с двумя неизвестными. Для этого уравнения (1) для скоплений
![Page 6: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/6.jpg)
450 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
k 1 умножим на Bk, а затем сложим их. В результате система (1)
приблизительно сведётся к виду:
2
1
2 2
1
2 ,
2 .C
vB B v vS S D v
t
SB v vS S
t
(15)
В (15) усредненные величины S, SC, , , связаны следующими со-отношениями:
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
, ,
,
,
.
C
N N
m m C m m
m m
Nm
m m
m m m
N
m Sm m
m
Nm
m m
m m
N
Sm m
m
N Nm m
m m m m
m mm m
N N
S Sm m m m
m m
CS B v S C v S S
D
CB v
B C C
B DB v
BB v
Bm
mB v
B BCC v B v
B Bm D m
Cm mC v B v
D
Точность этого приближения определяется условиями усреднения
производных (с пренебрежением производными более высокого по-
рядка, чем m
B
m
, что справедливо для очень медленно меняющейся
функции Bm для m 1) и члена 2 2
2
N
k k
k
C v C v
(точность последнего
становится большей с увеличением количества членов суммирова-
ния, т.е. наибольшего размера скопления N 1). В итоге получаем систему:
2
1
2 2
1
2 ( ) ,
2 ( ).
vB B v S v D v
t
SB v S v
t
(16)
![Page 7: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/7.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 451
Переменная S имеет физический смысл интегральной относи-тельной интенсивности поглощения вакансий всеми скоплениями,
а знак ...S обозначает усреднение не по числу скоплений, а по
суммарной интенсивности поглощения S. Аналогично, переменная
SC имеет физический смысл интегральной относительной интен-сивности испускания вакансий всеми скоплениями, а знак ...
CS
обозначает усреднение не по числу скоплений, а по суммарной ин-тенсивности испускания SC. Однородное пространственное распределение описывается си-стемой:
20
1 0 0 0
2 20
1 0 0 0
2 ( ),
2 ( )
vB B v S v
t
SB v S v
t
(17)
с пространственно однородными решениями v0(t) и S0(t), которые
могут быть получены лишь численно для скоплений с разной мор-фологией () (рис. 1). Для расчета использовались следующие чис-ленные значения параметров: N 104
[6—10], 10 2 110 м сD ,
2 2 110 м сu , 1012 м
2, a 41010
м, d 1000a [11, 13]). Про-странственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)
для скоплений с разной морфологией () демонстрируют несколько
качественно разных режимов: а) режим необратимой агломерации
( 0) вакансий, рассмотренный в [3]; б) переходный режим
(
410 ); в) квазистационарный режим – постоянная плотность
вакансий, но стабильный рост скоплений (310 ).
Количественный анализ устойчивости однородного распределе-ния выполним с помощью стандартной процедуры исследования
локальной линейной стабильности. Для этого будем искать реше-ния системы (15) в виде:
0
0
( , ) ( ) ( , ),
( , ) ( ) ( , ).
v x t v t v x t
S x t S t S x t
(18)
Здесь v и S – это малые возмущения от однородного состояния,
которые имеют вид:
exp( ),
exp( ),
v
S
v iqx wt
S iqx wt
(19)
где v и S – некоторые постоянные, – частота временных воз-мущений, q – волновое число пространственных возмущений. Подстановкой (18) с учётом (19) в (15) получаем систему двух ли-нейных однородных алгебраических уравнений относительно двух
неизвестных v и S
![Page 8: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/8.jpg)
452 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
2
1 0 0 0
2
1 0 0 0
4 ( ) ,
2 ( )
v v S v S v
S v S v S
B v v S Dq
B v v S
или
2
1 0 0 0( 4 ) ( ) 0,
v SB v S Dq v (20)
v0(t, )
S0(t, )
Рис. 1. Пространственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы
(17) для скоплений с разной морфологией (): режим необратимой агломе-рации ( 0) вакансий, рассмотренный в [3] (а); переходный режим (
104) (б); квазистационарный режим – постоянная плотность вакансий,
но стабильный рост скоплений ( 103) (в).
![Page 9: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/9.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 453
2
1 0 0 0(4 ) ( ) 0.
v SB v S v
Как известно, чтобы такая система имела нетривиальные решения,
необходимо, чтобы её определитель был равен нулю [14]. Отсюда
получаем квадратное уравнение относительно частоты временных
возмущений
2 2
0 0 1 0( 4 )Dq S v B v
2 2
0 1 0 1 0( )( 4 4 ) 0.v Dq B v B v (21)
Однородное состояние по отношению к малым возмущениям v и S
будет стабильно для Re() 0 и нестабильно для Re() 0. Анализ решений уравнения (21) показывает, что условие неста-бильности Re() 0 выполняется в следующих случаях (22)—(24),
где n – это некоторое промежуточное значение (1 n N) размера
скопления, которое характеризует усредненное значение :
0 0
2 1
1
,
2 1, т.е. для 1 2 и , c
v C Dv
B n
(22)
00
2 1
1
2 1
1
,
2 1, т.е. для 1 2 и ,
1 2 , т.е. для 1 2 и ,c
C Dvv
B k
B k
(23)
0 0
2 1
1
,
2 1, т.е. для 1 2 и и .
v C Dv
B k k
(24)
Первый случай (22) реализуется на начальном этапе (для малых v0,
поскольку всегда C D) и для плотных скоплений вакансий 1/2
(например, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для
фрактальных скоплений), причем для пространственных возмуще-ний с длиной волны c, где
1 21 2
01 2
0
.
12
c
aav k
kv
(25)
На рисунке 2 графически показано соотношение 2k21, которое
играет роль одного из критериев стабильности пространственно од-нородного решения v0(t) и S0(t). Второй случай (23) реализуется на более позднем этапе (для
больших v0). Для неплотных скоплений вакансий 1/2 (напри-мер, 1/2 для фрактальных скоплений с большей эффективной
поверхностью) он реализуется для пространственных возмущений с
![Page 10: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/10.jpg)
454 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
произвольной длиной волны 2/q, а для плотных скоплений ва-кансий 1/2 – для пространственных возмущений с длиной вол-ны c. Следует отметить уникальный вариант (24) для 1/2 (для пла-нарных скоплений в форме диска или любой другой плоской гео-метрической фигуры), который реализуется на более позднем этапе
для пространственных возмущений с произвольной длиной волны
2/q. Дело в том, что для планарных скоплений B1, и квад-ратное уравнение (21) относительно частоты временных возмуще-ний принимает вид:
2 2 2
0 0 03 ( ) 0,Dq S v v Dq (26)
а критерий нестабильности зависит не от размера максимального
скопления, а определяется условием v0, т.е. C Dv0. Исходя из численных оценок, можно получить, что значение
1 2 ( 1 2)
0cav k может находиться в широких пределах в зависимо-
сти от морфологии скоплений вакансий (), их однородной концен-трации (v0) и размеров скоплений (k). Например, для сферических
скоплений вакансий с 1/3, однородной концентрацией 0v
8 1010 —10 и размерами скоплений 41—10k критическая длина
волны пространственного возмущения может находиться в диапа-зоне
1 2 1 6 5 6
010 —3 10
cav k м (рис. 3).
Таким образом, неустойчивость однородного состояния системы
вакансий и их скоплений может привести к возникновению про-странственных структур, например, гидродинамических каналов
Рис. 2. Соотношение 2k21, один из критериев стабильности простран-
ственно однородного решения v0(t) и S0(t). Темным цветом обозначена
плоскость для указания условия 2k21
1, которое реализуется для
1/2 для всех k.
![Page 11: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/11.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 455
[1, 2] с характерным размером, который может определяться кри-тической длиной волны развитой неустойчивости c. В зависимости от значений приведенных выше параметров про-цесса агломерации устойчивое состояние может иметь тип фокуса
или узла, а неустойчивое состояние может иметь тип вершины или
седла [15]. Однако принятые здесь допущения и приближения не
позволяют с достаточной достоверностью и приемлемой точностью
сделать заключение об условиях их существования.
3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Из выражений (9), (10) и (13) мы видим, что стационарное распре-деление концентрации вакансий в образце в стационарном состоя-нии зависит от а) отношения скорости генерации вакансий B к ко-эффициенту диффузии вакансий D, б) длины образца, в) положения
рассматриваемой точки в образце. Однако важно отметить, что ста-ционарное распределение концентрации не зависит от вероятностей
перехода вакансий в агломераты и обратно, поскольку стационар-ное уравнение (7) не содержит явно описания процессов агрегации.
Более того, для выбранных значений параметров решение (13) дает
нереалистично большое значение максимальной концентрации
v 1. Как показано выше, однородное решение исходной системы
в виде (1) не является устойчивым по отношению к пространствен-ным возмущениям, а потому достижимость нереалистичного ста-
Рис. 3. Критическая длина волны пространственного возмущения c 1 2 ( 1 2)
0av k для скоплений вакансий в зависимости от морфологии () и
размеров (k) скоплений вакансий для однородной концентрации вакансий
v0 108.
![Page 12: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/12.jpg)
456 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
ционарного решения (13) является крайне маловероятной. Пространственно однородное распределение вакансий v0(t, ) и
скоплений (через интегральную способность поглощения вакансий
S0(t, )) системы (см. рис. 1) может существовать в трех режимах: а)
режим необратимой агломерации ( 0) вакансий, рассмотренный
в [3], б) переходный режим ( 5105), в) квазистационарный ре-
жим – постоянная плотность вакансий, но стабильный рост скоп-лений ( 10
3). Это распределение становится неустойчивым по отношению к
малым пространственным возмущениям (19), которые могут разви-ваться по экспоненциальному закону для возмущений с произволь-ной или критической длиной волны (22)—(24). Следует отметить,
что на начальном этапе агломерации вакансий ( v0) условие не-устойчивости (22) связано с большей вероятностью испускания ва-кансий скоплениями по сравнению с их поглощением (C Dv0). Это
значит, что на начальном этапе развитие неустойчивости будет
определяться способностью скоплений отдавать вакансии с крити-ческой длиной волны пространственной нестабильности c. На
более позднем этапе ( v0), наоборот, условие неустойчивости (24)
определяется большей вероятностью поглощения вакансий по
сравнению с интенсивностью испускания их скоплениями (C Dv0). Это значит, что на более позднем этапе развитие неустойчивости бу-дет определяться способностью скоплений поглощать вакансии с
критической длиной волны пространственной нестабильности
c. При этом критическая длина волны пространственного воз-мущения для возникновения неустойчивости зависит от морфоло-гии скоплений. В случае 0 система (16) и условия неустойчиво-сти (22)—(24) соответствуют рассмотренной ранее синергетической
модели образования зародышей таких каналов на основе необрати-мой агрегации вакансий, которая была рассмотрена в работе [3]. Следует отметить, что в условиях большой концентрации вакан-сий и слабого испускания вакансий скоплениями (C Dv0) про-странственное распределение планарных скоплений ( 1/2) явля-ется абсолютно неустойчивым по отношению к возмущениям с лю-бой длиной волны. Этот результат может объяснить огромное коли-чество экспериментально наблюдаемых плоских вакансионных
комплексов с образованием дислокационных петель, зон локализа-ции дефектов и пластической деформации планарной формы, т.е. в
виде полос и плоскостей, которые не соответствуют кристаллогра-фически выгодным плоскостям скольжения дислокаций [5—10, 16—19]. Таким образом, указанная неустойчивость может приводить к
образованию пространственно-неоднородных распределений ва-кансий и их скоплений в виде пор, трещин и гидродинамических
каналов пластического течения [1, 2]. Вместе с тем, следует отметить, что предложенная исходная сис-
![Page 13: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/13.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 457
тема зацепляющихся уравнений (1) является нелинейной и не под-дается аналитическому решению даже в упрощенном виде (16) и
(17). Аналитические решения удается найти только для некоторых
случаев агрегации точечных объектов в скопления, например, для
одношаговых процессов агрегации [19—22]. Кроме того, сложность
процессов взаимодействия дефектов в процессе пластической де-формации не позволяет на данном этапе включить в рассмотрение
многие другие факторы, например, условия роста и существования
неплотных скоплений вакансий (например, фрактальных скопле-ний с 1/2), аномально высокую подвижность скоплений крупно-го размера в некоторых условиях пластической деформации [23]
и т.д. Однако приведенный здесь качественный анализ позволяет опре-делить условия нестабильности системы вакансий, которые способ-ны образовывать скопления сложной морфологии. Как видно из
пространственно однородных решений v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)
для скоплений с разной морфологией, даже при небольших скоро-стях генерации вакансий, концентрация вакансий v0(t, ) может
достигать огромных величин. В условиях критической неустойчи-вости по отношению к пространственным возмущениям это может
вызывать локализацию дефектов и их скоплений с появлением зон
локализации дефектов, пор, трещин и, как результат, разрушение
материала.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе предложена система зацепляющихся уравне-ний Смолуховского с целью получения системы дифференциаль-ных уравнений (1), описывающей процессы агломерации вакансий
в скопления в пластически деформируемых металлах. Она являет-ся версией системы аналогичных уравнений [3], расширенной за
счет учета процессов распада скоплений вакансий. Найдено стаци-онарное решение этой системы относительно концентрации вакан-сий. Получено рекуррентное соотношение между концентрацией
скоплений из k вакансий и концентрацией скоплений из k 1 ва-кансий. Исходная система N-уравнений (1) сведена к более простой
приближенной системе двух уравнений (16) относительно концен-трации вакансий и интегральной интенсивности поглощения ва-кансий скоплениями. Найдено однородное нестационарное реше-ние системы (16). Система уравнений (16) исследована на устойчивость однородно-го нестационарного решения по отношению к малым простран-ственным возмущениям. Отмечено, что в условиях большой кон-центрации вакансий пространственное распределение планарных
скоплений является абсолютно неустойчивым по отношению к воз-
![Page 14: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/14.jpg)
458 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО
мущениям с любой длиной волны. Этот результат может объяснить
огромное количество экспериментально наблюдаемых плоских ва-кансионных комплексов с образованием дислокационных петель,
зон локализации дефектов и пластической деформации планарной
формы, т.е. в виде полос и плоскостей. Показано, что в образце всегда найдутся области, где стационар-ное состояние будет неустойчивым. Таким образом, показана воз-можность образования зародышей гидродинамических каналов в
кристалле в результате нелинейных процессов агломерации точеч-ных дефектов, которые генерируются в процессе пластической де-формации.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).
2. М. Н. Белякова, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко, Металлофиз. новейшие
технол., 21, № 4: 59 (1999).
3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).
4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).
5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).
6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and
Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).
7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).
8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).
9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).
10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60 (1): 69 (1980).
11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and
Breach: 1963).
12. А. Шень, Математическая индукция (Москва: МЦНМО: 2004).
13. Л. Н. Лариков, В. И. Исайчев, Структура и свойства металлов и сплавов. Диффузия в металлах и сплавах: Справочник (Киев: Наукова думка: 1987).
14. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и
инженеров (Москва: Наука: 1978).
15. Т. Хаяси, Нелинейные колебания в физических системах (Москва: Мир: 1968).
16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and
I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).
17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).
18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).
19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).
20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).
21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).
22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).
![Page 15: 2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb, 83.50.Ha, 83.60.Wc](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022052007/601be8ce882ff64cb409a3d2/html5/thumbnails/15.jpg)
ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 459
23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).
REFERENCES
1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).
2. M. N. Belyakova, E. Eh. Zasimchuk, and Yu. G. Gordienko, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 21, No. 4: 59 (1999) (in Russian).
3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).
4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).
5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).
6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and
Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).
7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).
8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).
9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).
10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60, No. 1: 69 (1980).
11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and
Breach: 1963).
12. A. Shen’, Matematicheskaya Induktsiya (Moscow: MCNMO: 2004) (in Rus-
sian).
13. L. N. Larikov and V. I. Isaychev, Struktura i Svoystva Metallov i Splavov. Dif-
fuziya v Metallakh i Splavakh: Spravochnik (Kiev: Naukova Dumka: 1987) (in
Russian).
14. G. Korn and T. Korn, Spravochnik po Matematike dlya Nauchnykh Rabotnikov
i Inzhenerov (Mocow: Nauka: 1978) (Russian translation).
15. Ch. Hayashi, Nelineynye Kolebaniya v Fizicheskikh Sistemakh (Nonlinear Os-
cillations in Physical Systems) (Moscow: Mir: 1968) (Russian translation).
16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and
I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).
17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).
18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).
19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).
20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).
21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).
22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).
23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).