2 Introduccion Al Modelado de Sistemas
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/35 Simulacion de sistemas dinamicos Introducción al modelado y simulacion de sistemas 1
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Simulacion de sistemas dinamicos
Introducción al modelado y simulacion de sistemas
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Contenido
El modelado de sistemas
Los lenguajes de simulacion
Un ejemplo de Modelado y simulación
Modelado vs. simulación
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EL MODELADO DE SISTEMAS
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Vars./Time Continuous Discrete
Continuous [1] DESS (Differential equation System Specification)Partial Differential EquationsOrdinary Differential EquationsBond GraphsModelica
[2] DTSSDifference EquationsFinite Element MethodFinite DifferencesNumerical methods (in general, any computing method for the continuous counterparts], like Runge-Kutta, Euler, DASSL and others.
Discrete [3] DEVS (Discrete Event System Specification)DEVS FormalismTimed Petri NetsTimed Finite State MachinesEvent Graphs
[4] AutomataFinite State MachinesFinite State AutomataPetri NetsBoolean LogicMarkov Chains
Formalismos de modelos matematicos
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Los sistemas continuos pueden ser formulados en terminos de DESS, DAESS, DEVS
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Modelos DESS
En el formalismo DESS (differential equation System Specification model) el modelo matemático de un sistema dinámico es:
» un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las características dinámicas del sistema.
» las cuales se obtienen aplicando leyes físicas.
» Normalmente un conjunto de ecuaciones ordinarias (sistema de parametros concentrados)
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Un ejemplo de modelo matematico
M
K B
x
f t
El modelo matemático del sistema masa-resorte-amortiguador puede ser descrito por:
)(tfkxxcxm
Parametros:
m = 0.25, c = 0.5, k = 1
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En el formalismo DESS (differential equation System Specification model)
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El proceso de modelado y simulación
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LOS LENGUAJES DE SIMULACION
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Modelado y simulacion
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Mundo RealMundo Real SimuladorSimulador
modelado simulacion
Modelo
d q(t) / dt = x(t)
Integracion numerica
Codigo ASCII
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Lenguajes de simulacion
Un lenguaje de simulación describe las operaciones a ejecutar durante una simulación en la computadora
La mayoria de los lenguajes tienen tambien una interfaz gráfica capacidad de análisis de los resultados
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CSSL PROGRAM Van der PolINITIAL
constantk = -1, x0
= 1, v0 = 0,tf = 20
ENDDYNAMIC
DERIVATIVEx =
integ(v, x0)v =
integ((1 – x**2)*v – k*x, v0)ENDtermt (t.ge.tf)
ENDEND
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Software y lenguajes de simulacion
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Simulink SPICE Scilab Dynamo SLAM: Simulation
Language for Alternative Modeling
VisSim Saber-Simulator
Modelica CSSL: Continuous System
Simulation Language ACSL: Advanced
Continuous Simulation Language
EL: EcosimPro Language XMLlab Flexsim 4.0
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UN EJEMPLO DE MODELADO Y SIMULACIÓN
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Modelado de un circuito eléctrico
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Dado el modelo gráfico del circuito eléctrico RLC
A partir de este modelo gráfico debe construirse un modelo de simulación
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Modelo matemático del circuito
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Ecuaciones constitutivas
Ecuaciones de malla
Ecuaciones de nodo
Modelo diferencial algebraico, DAE, implícito
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Ordenamiento de las ecuaciones
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Podemos hacer explícito el modelo decidiendo cuál variable resolver en cada ecuación
Las ecuaciones se ordenan de tal manera que se pueda solucionar el modelo
Modelo diferencial algebraico explícito o modelo de simulacion
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Solución del modelo
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El signo igual tiene el sentido de asignación
Condición inicial
Nótese que uC y iL no son tratadas como incógnitas
Las variables de estado uC y iL son calculadas por el algoritmo de integración usado en la simulación
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Modelo en espacio de estados
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El modelo en espacio de estado es la forma preferida para simular sistemas lineales con MATLAB
Ecuaciones de estado
Ecuación de salida
Modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias, ODE, explícito
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Modelo en espacio de estados
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Forma matricial
Modelo en espacio de estados lineal
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Simulación del modelo en MATLAB
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Simulación del modelo en MATLAB
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Toda la simulación se realiza en lsim
¿Cómo se realiza?
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Simulación del modelo en SIMULINK
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CONSTRUIR Y SIMULAR EL MODELO EN SIMULINK
Ejercicio
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MODELADO VS. SIMULACIÓN
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Modelado vs. simulación
El proceso del modelado se interesa por la extracción del conocimiento de la planta física a ser simulada
El proceso de simulación se interesa por ejecutar experimentos sobre el modelo para hacer predicciones
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¿Dónde termina el modelado y donde comienza la simulación?
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Modelado vs. simulación
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La transición desde el modelo gráfico hasta el código en MATLAB es largo y complicado
Existen herramientas tales como DYMOLA que realizan en el proceso automáticamente
La herramienta más apropiada es función del sistema a ser simulado, y posiblemente del experimento a ser realizado con el modelo
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El reloj de simulación
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En el mundo real el tiempo simplemente pasa
En simulación, simplemente el tiempo no pasa.
Es necesario hacer que pase
Cuando se simula un sistema, es deber nuestro para administrar el reloj de simulación,
La eficiencia con que administremos el reloj de simulación decidirá en última instancia sobre la eficiencia de nuestra simulación.
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Discretización del tiempo
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Cuando se simula un sistema de tiempo continuo en un computador digital, el tiempo debe ser discretizado
No es posible actualizar las variables de estado infinitamente rápido en un tiempo finito
La mayoría de los algoritmos numéricos para la solución de ODEs, solvers, discretizan el eje del tiempo
Es decir, hacen avanzar el reloj de simulación usando pasos finitos (time steps)
El tamaño del paso h, puede ser fijo o variable
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El intervalo de comunicación
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En el código en MATLAB mostrado anteriormente
Sin embargo, 10-6 no es el tamaño del paso sino el intervalo de comunicación
El intervalo de comunicación instruye al programa para reportar los resultados de simulación cada 10-6 unidades de tiempo
tiempo ilusorio
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Diferentes tipos de tiempo en una simulación
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El reloj de simulación puede avanzar más rápido o más lento que el reloj de comunicación
Normalmente la grilla de comunicación está espaciada de forma equidistante, sin embargo la grilla de simulación no
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El reloj de simulación
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El tamaño del paso de simulación está determinado por el requerimiento de precisión
El algoritmo de integración usa alguna fórmula para estimar el error de integración, y usa esta estimación para ajustar el tamaño del paso
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El reloj de simulación
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¿Al menos el reloj de simulación avanza en forma creciente con el tiempo real?
¿Es decir, la diferencia en tiempo, Δt, del reloj de simulación entre dos evaluaciones subsecuentes del modelo es siempre positivo?
La respuesta es, NO
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El reloj de simulación
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Razones
El tamaño del paso h, no es necesariamente idéntico al tiempo de avance Δt
El reloj de simulación puede saltar hacia atrás y hacia adelante en cada paso del tiempo individual
nt T1t 2t 1nt 0
t t t Step size = h(varios)
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El reloj de simulación
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Aunque en el algoritmo de integración usado Δt permanezca siempre positivo el reloj de simulación no necesariamente avanza monopólicamente con el tiempo real
Razones
El reloj de simulación avanza teniendo en cuenta la estimación del error de integración
Algoritmos optimistas
Algoritmos conservativos
Dos tipos de algoritmos
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El reloj de simulación
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Aunque Δt permanezca siempre positivo, y se utilice un algoritmo optimista, el reloj de simulación no necesariamente avanza monopólicamente con el tiempo real
Razones
Los algoritmos de integración no pueden integrar a través del discontinuidades en el modelo
Deteccion de discontinuidades
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Fuentes
Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York
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FIN
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