1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc
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8/20/2019 1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
TRIGONOMETRÍA
1. Si se sabe que 25 grados de unsistema N equivalen a 30º, determineuna fórmula de conversión entre elsistema N y el sistema radial.
! N "150
= π#! N "
1$0 25= π
%!N "
30=
π&!
N "
150 2=
π
'!N "
1$0 2=
π
2. Si rad32
π o aºb(c(( son la medida de un
mismo )ngulo, e*+resar en radianes lasiguiente medida a - b c!º.
!3
π#!
/
π%!
10
π
&!12
π'!
15
π
3. Si 2º2( g m
3 5# , alle el valor
de4 2 - #. ! 2 #! 1 %! 0
&! 1 '! 2
/. Si un )ngulo mide 6
aºa a a
a a
÷ ÷
y se
+uede e*+resar como *º y( 7((,entonces al transformar a radianes* - 2y - 7!º se obtiene.
! rad30
π#! rad
80
π%!
2rad
35
π
&! 2 rad/1π '! rad
35π
5. Sig g
m
9º 10 9 :º
1$ 50
− += , entonces el valor
de 9 es4 ! 18,/ #! 2/, %! 3,5&! /3,8 '! 5$,$
8. &e la figura mostrada, calcule 35a
/b
!5
8#!
/
8%! 1
&! /
8'!
5
8
. 'n la figura mostrada ;& es un rayo
móvil, contenido en el +lano que
contiene los rayos fiuego la
alternativa incorrecta es4
225º
! αº βg ? 135º#! 10α :β ? 1350%! α - /5!: ? β - /00!10&! α /5!10 ? β - 100!:'! 10α - : β ? 1350
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 13
b@am
0
βgαº
#
D
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
$. Se mide un )ngulo en los tressistemas de medición angular convencional, tal que se cum+le lasiguiente ecuación4
23 3
33S 100% " 28 0,1/00
π+ + = + π , alle
S - %. ! 1// #! 1/$ %! 152&! 158 '! 180
:. 'l su+lemento de un )ngulo θ es13/.$/º, si dico )ngulo θ esre+resentado en el sistema
centesimal como g#m. &etermine
- #. ! 1$1 #! 8/ %! 5:&! 5/ '! /:
10. Si S y % son el n=mero de gradosse*agesimales y centesimales de unmismo )ngulo y adem)s4
% S * S%
% S 3
+= −
−
%alcule el valor de * +ara que dico)ngulo mida 0,125π rad.
!1
5#!
2
5%!
3
5
&!/
5'! 1
11. Sean S, % y " los n=meros quere+resentan la medida de un )ngulo
en los sistemas se*agesimal,centesimal y radial res+ectivamente sise cum+le4
2 2S %,% S! S,% S!+ = − ,alle 10
' ":
=
!3$/
π#!
3$/0
π%!
3/20
π
&!3220
π'!
3110
π
12. >os )ngulos y # son su+lementarios
y miden *º y 10 - *!g
res+ectivamente. Aalle la medida enradianes de uno de los )ngulos.
! 8
π
#! 5
π
%! /
π
&!3
π'!
2
π
13. Si S, % y " son los n=meros quere+resentan las medidas de un mismo)ngulo, en los sistemas se*agesimal,centesimal y radial, res+ectivamenteBalle la medida del )ngulo enradianes, si se cum+le4
2 2
2 2
% %S 2S 1:"
2S %S %
− − =π− −
!
π#!
2
π%!
3
π
&!/
π'!
5
π
1/. &e la figura, determine el valor de la
e*+resión4 ' ? 11/
α
β
! 120 #! 1$0 %! 2/0&! 300 '! 380
15. >a mitad del n=mero que e*+resa sumedida en grados se*agesimales deun )ngulo e*cede en 52 a cinco vecesel n=mero que e*+resa su medida enradianes. Aalle el n=mero que e*+resasu medida en grados centesimales
considerando
π a+ro*imadamente
igual a 22C. ! 120 #! 1/0 %! 150&! 10 '! 200
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 14
(α – 4)º
(– α )g
β(
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
18. Siendo " el n=mero de radianes" 1! de un )ngulo que cum+la lasiguiente igualdad4
1" 1 2
" 1− = −
−
Aalle la medida de dico )ngulo en elsistema se*agesimal.
!:0
÷π
o
#!1$0
÷π
o
%!380
÷π
o
&!1$0
π ÷
o
'!380
π ÷
o
1. %alcule " en radianes si se cum+le4
22 2 2
2
S % " S1
12" S % "S % "!
π + + + = + + ÷+ ++ + 2 2
% "1 1
S % " S % "
+ + + ÷ ÷+ + + +
&onde S, % y " son las medidasusuales del mismo )ngulo
!120
π#!
80
π%!
/0
π
&!30π '! 5
120π
1$. &etermine la medida de un )ngulo enradianes, sabiendo que es la menor +osible, si se cum+le la relación 4
2 2a 10ab b% S
ab
+ +− = B a, b ≠ 0 donde
% y S son los n=meros que
re+resentan al )ngulo en los sistemascentesimales y se*agesimales,res+ectivamente.
!5
π#!
2
5
π%!
3
5
π
&!/
5
π '!
3
10
π
1:. Si S, % y " son las medidasen grados se*agesimales, grados
centesimales y radianes! del )ngulocentral del sector circular ;# y
%;& donde, ¼ ¼ # %&> %, > S= = y
% ? #& ? 2", entonces la medida de
θ, en radianes, es4
!5
π#!
10
π %!
5
π
&!10
π'! 1
20. 'n la figura mostrada, ;% ? ;& ? r,
; ? ;# ? ", m∠%;& ? 1 radi)n,alle
+erDmetro del tra+ecio circular E
+erDmetro del sec tor circular %;&=
!2
3#! 1 %!
/
3
&!( )3 2 1
3
−'! 2
21. &e la figura mostrada, determine elvalor de4
ay byF
a* b7
+=
+
!
1
2 #! 1 %! 2
&!1
3'! 3
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 15
A
B
C
D
θ0
B
A
D
C
0 S S
x
a
z y
b
-
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22. Se tienen tres +oleas de radio 1u, 2u y3u res+ectivamente en un mismo+lano, cuyos centros forman untri)ngulo equil)tero cuya longitud es2:u. dem)s dicas +oleas se
encuentran conectadas +or una fa
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
! 10 #! 30 %! 80
&! :0 '! 120
2$. Hna bicicleta en un circuito circular recorre un )ngulo central del circuito
igual a2
rad3
π y su rueda barre un
)ngulo de 8/π rad. %alcule cu)l es elradio del circuito en m si el radio de larueda es de 0,125 m. ! $ #! 10 %! 12&! 1/ '! 18
2:. &os ruedas cuyos radios miden 15m y3m recorren es+acios iguales Icu)ntodebe medir el radio de una tercerarueda, +ara que recorriendo el dobledel es+acio de las anteriores realicecomo n=mero de vueltas, cinco vecesla diferencia de las otras dos.
! 1m #! 1,25 m %! 1,5 m&! 1,5 m '! 2m
30. 'n la figura mostradaB ;#, #F% y%N& son sectores circulares, tales
queF% ;#
&N2 /
= = B ; ? ;#,
;F ? F#, FN ? N%. Si m∠ ;# ?m∠#F% ? 30ºB m∠&N% ? 2m∠ ;#B y
la longitud de los arcos #%& es 3
π
metrosB alle en cm! la medida de
; .
! 5 #! 10 %! 15&! 20 '! 25
31. Hn rollo de +a+el, cuyo di)metroe*terior es 30cmB tiene 500 vueltas,fuertemente enrolladas en un cilindrode 10cm de di)metro. %alcule lalongitud en metros! que tiene el+a+el.
! 120π #! 200π %! 150π
&! 100π '! :0π32. 'n la figura mostrada, m∠ #% ? $0ºB
alle a+ro*imadamente la distanciaen metros! recorrida +or el centro dela rueda en ir desde el +unto astael +unto %. 'l radio de la rueda mide15
cmπ
, y en el tramo # la rueda da
seis vueltas y en el tramo #% da
cuatro vueltas.
! 3,0$ #! 3,2/ %! 3,88
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 17
r 2
r 1
A
B
B
C
N
M
O
D
B
A
C
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
&! 3,:$ '! /,0233. Sean los sectores circulares ;# y
%;&. Si la región ;# tiene un )reade u2 y la región % tiene de )rea2u2. Aalle el )rea en u2! de la región
;#, si ; ? 3u y la longitud de »%&es $u. ! 2 #! / %! 8&! $ '! 10
3/. %alcule el )rea de la su+erficiesombreada, si es el centro del sector circular #' y #%& es un rect)ngulo.
! ( )1
/ 3 38
π − #! ( )1
2 3 33
π −
%! ( )1
3 2 38
π − &! ( )1
3 2 28
π −
'! ( )1
2 3 28
π −
35. &el gr)fico mostrado, el )rea de laregión sombreada es igual al )rea de
la región no sombreada, adem)s lalongitud del arco » # es /u. Aalle la
longitud del arco »&% en u!.
! 3 2 #! / 2 %! 8&! 8 2 '! $
38. Hn sector circular de )ngulo central θradianes tiene un )rea igual a la de untri)ngulo rect)ngulo isósceles. Si sus+erDmetros son tambiJn iguales,
calcule4
/
' = θ + θ ! / - 2 2 #! 2 - / 2
%! 8 K 2 2 &! / 2 2
'! 8 - 2 2
3. 'n una semicircunferencia ;# decentro ; se tra7a el sector circular #;% con un )ngulo central de 120º y
considerando como centro # se tra7aotro sector circular %#& & en # !.
Aalle el )rea de la región %& si ; ? 2 cm.
!23 cm
3
π + ÷ #!
23 cm3
π − ÷
%!23 cm
12
π + ÷
&!22 3 cm
3
π − ÷
'!
( )
23 3 cm
− π
3$. ;# y %;& son sectores circulares.Si ;% ? %#, el )rea de la región %;&
es 1u2 y m »1
%&2
= u. 'ntonces el
+erDmetro del sector %;& es al+erDmetro de sector ;# como4
!
1
38 #!
15
38 %!
1
2
&!3
'!
5
11
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 18
A
0
B
C
D
C0
D
A
B
2θθ
B C
2
1
DA
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
3:. 'n el gr)fico mostrado las )reas delas regiones sombreadas son S1 y S2 y
cum+len S1 - S2 ? 15π u2. %alcule el)rea de la región no sombreadaen u2!. Si # ? #% ? %& ? &% ? 3u.
! 3π #! 8π %! :π&! 12π '! 12π
/0. 'n la figura mostrada, %; yL;& son sectores circularesB
;& ? 1uB & ? 2uB »m#! ? 8uB
m∠';& ? 2m∠L;'. %alcule en u2!el )rea de la región sombreada.
!
2#! / %!
:
2
&! 5 '! 8
/1. &etermine el )rea m)*ima, en m2, deun sector circular cuyo +erDmetro es20m. ! 2m2 #! /m2 %! $m2
&! 18m2 '! 25m2
/2. Si cos* - 20º! ? sen3* - 10º!B
* ∈ 〈0ºB 28ºM entonces al calcular elvalor de L ? sec/* - /sen22* tg3*,se obtiene4
! 0 #! 1 %! 2&! 3 '! /
/3. %on ayuda de la figura mostrada
calcule4sec * tg*
ctg* csc *
+=
−
!15
2#!
3
10%! 8
&! 8 '! 15
2
//. Si 2θ ∈ 〈0B πC2〉 y tg2θ! ? 12C5,
entonces tgθ, es4 !
1
3#!
2
3%!
/
3
&!5
13 '!
12
13
/5. Si 0 * /
πB adem)s $ sen2* ? 1,
entonces al calcular4
L ? sen/5º - *! - ctg/5º *! seobtiene4
!:
1#!
3%!
/
&!:
/'!
15
/
/8. Se tiene un tri)ngulo #%, en el cual
se tra7an las alturas & y %L
cort)ndose en el +unto A, de modoque A ? 3A&, alle tg#.tg%. ! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 1!
S2
S1
AB
CD
C
0
"
D
A
C
B
n 12n - 1
*2n
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
/. &e la figura mostrada m∠ #% ? :0º,m∠ #& ? α, # ? *, #% ? GB #& ? q.%alcule *.
!+qcos
+ qsen
α− α #!
+qsen
q +cos
α− α
%!+qcos
q +sen
α− α &!
+qcos
q +sen
α− α
'!
+q
+sen q cosα + α
/$. Aalle * 1 de la figura, si #%& es unrect)ngulo
3
!11
:#!
13
:%!
15
:
&!1
:'!
1:
:
/:. &e la figura mostrada, calcule tgα, si F ? F%
!1
3 #!
2
3%!
3
2
&! 3 '!/
3
50. 'n la figura mostrada #%& es un
cuadrado y F' %'= . Aalle el valor de4F ? tg* 2tg* y!
!1
2#! 1 %!
3
2
&! 2 '!5
2
51. 'n la figura si4 # ? #% ? % ? /u y
%& ? 8u, alle tgθ.
!3 3
2#!
3 3
5%!
3 3
&!
3
'!
3
5
52. 'ncuentre el )rea del rect)ngulo m)sgrande que se +ueda inscribir en unacircunferencia dada con radio ".
%onsidere sen2θ ? 2senθ cosθ. ! "2 #! 3"2C2 %! 2"2
&! 3 "2 '! 5"2C2
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 20
B
DAC
M
y
A #
B C
x
B
C
D
A
θ
1
3
1
x
37º
α
B
CAM
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
53. 'n la figura, se tiene que #%& es uncuadrado. &etermine el valor de
' ? ctgθ - ctgφ, F +unto medio de %&
!1
2#!
1
3%!
1
8
&!5
8'! 5
5/. 'n un tri)ngulo rect)ngulo #% rectoen !, determine4
' ? b
2
- c
2
! sen# %! b
2
c
2
!sen# - %!
sugO.cos2θ ? cos2θ sen2θ ! 2b2 #! 2 %! 1&! 2c2 '! 0
55. 'n la figura mostrada, las )reas de lasregiones +lanas #&%, &L' y #&L
son iguales, m∠#%& ? α. &eterminecosα.
! 2 1+ #! 5 1− %! 2 1−&! 3 1+ '! 3 1−
58. 'n la figura, el cuadrado #%&contiene al cuadrante #%. Si
'# ?
1
/
÷ %', alle /1 senθ.
! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5
5. &e la figura #& &%= , alle ctgy
! 2ctg7 ctg* #! 2ctg7 - 2tg*%! 2tg7 tg* &! 2tg7 - tg*'! 2tg7 - 3tg*
5$. 'n la figura mostrada, alle la medidade #& en metros, si # ? 3 - / 3 !m.
! 3 #! / %! 5
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 21
DC
B
A"
D A
C B
θ
B C
A D
φ θM
C
D
BA
y
7
*
D
C
BA
37º
30º
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
&! 8 '!
5:. %alcule el valor a+ro*imado de
P ctg/1º 50= − ! 5 #! / %! 3
&! 2 '! 1
80. &e la figura mostrada siB # ? 2u,
&' ? 2#%, alle tgθ, sabiendo adem)sque ' es de longitud mDnima
!3
/#!
3
3%!
3
2
&!3
1'! 3 3
81. 'n la figura #F es mediana.
&eterminar sec2θ.
! 1 #! 2 %! 3&! / '! 8
82. >os tri)ngulos #% y &% tienen un
lado com=n ( ) % . Si se sabe que
#' ? &' ? %2
, &% ? m, m∠&% ? αy m∠#% ? βB se le +ide determinar ladistancia entre los +untos # y &.
!m
2cscα senα - β!
#!m
2secα senα - β!
%! m cscα cosα - β!&! m secα cosα - β!'! m cscα senα - β!
83. 'n la figura mostrada, & ? 12u,#& ? $u, 3#! ? /#%!B m∠#%& ? :0ºBm∠%#& ? α. Aalle el valor numJricode L ? 8 23 tgα $ 2 cosα.
! 20 #! 30 %! /0&! /5 '! 50
8/. 'n el tri)ngulo #%, si m∠#& ?m∠#% ? θ, m ∠&% ? α y # ? a,determine &%.
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 22
M
B
A
15º θ 30ºC
B
D
A C
D
CA B
α
A
BD
C
A D
B C
θ
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
! a Qtgθ - tgα - θ!M#! aQtgθ tgα - θ!M%! a Qtgα - θ! - ctgα - θ!M&! aQctgθ ctgα - θ!M'! aQctgα - θ! ctgθM
85. %on ayuda de la figura mostrada si
# ? 3#%, calcule ' ? tgθ - 1, F+unto medio de & .
!
1
8 #!
1
3 %!
1
2
&!2
3'!
8
88. 'n la siguiente figura, alle cosθ,sabiendo que 4 # ? G ? 2 2 mt
& ? &% ? 8 2+
!8 2
/
+#!
8 2
/
−%!
3
2
&!1
2 '!
5 1
/
−
8. 'n un tri)ngulo rect)ngulo #% recto
en #! se tra7a la bisectri7 & relativa
al lado #% . Si & ? m, alle tg
/ enfunción de los lados del tri)ngulo.
!2m
a b!a c!+ +#!
ac
b c!m c!+ +
%!ab
b c!m c!+ + &!2m
m c!b c!+ +
'!ab
a c!m c!+ +
8$. &esde el +ie de un +oste, se observala +arte m)s alta de un cam+anariocon )ngulo de /5ºB si desde la +artesu+erior del +oste, que tiene :m dealtura, el )ngulo de elevación es alturade 30º. I%u)l es la altura delcam+anarioR
!: 3
2#!
2
1 2+%!
5 3
2
&!: 3
3 1+'!
: 3
3 1−
8:. Hn ombre mide 1,0m de estatura yobserva su sombra a las / de la tarde. sumiendo que amanece a las8.00 am y que el sol ace unsemicDrculo sobre el ombre Icu)ntomide su sombraR ! 1,5/m #! 1,8m %! 2,00m&! 2,55m '! 2,:/m
0. Hn soldado, tirado en el suelo observaun +edestal de 12m de altura, estesostiene un monumento de 13m dealtura. I quJ distancia en m! del+edestal se debe colocar el soldado+ara ver el +edestal y el monumentocon )ngulos de observación igualesR
! /0m #! 50m %! 80m&! 8/m '! 2m
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 23
θ
BA
#
D C
θ
A B
CD
M
-
8/20/2019 1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc
12/20
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
1. &os botes son observados desde loalto de un faro en la misma dirección yen el mismo +lano vertical que
contiene al faro. 'l bote m)s cercanose observa con )ngulo de de+resión
αº y el otro con )ngulo de de+resiónde 3º. Si la altura del faro es de25m, ambos botes est)n se+arados+or 20m y el faro esta a 15m sobre el
nivel del mar, alle el valor de tgα.
!/
5#!
5
/%!
8
5
&!5
8 '!
8
2. &esde la +arte su+erior de un edificiode 1.3 metros de altura se observaun auto que se ale
-
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13/20
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
&!10
5'!
3 10
2
$0. Si cosθ ? cosθ, tgθ ? tgθ!,senθ! ? 1C3, alle el valor de 2
2 secθ ctgθ!. ! $ #! : %! 10&! 11 '! 12
$1. 'n la figura mostrada se tiene al
)ngulo θ en +osición normal. %alculeel valor numJrico de4
L ? 2 tgθ - 8 10 senθ - cosθ!
! 8 #! 8 %! 12&! 1$ '! 20
$2. Si 0º α 380ºB 0º θ 380ºB3
sen 1 cos tg/
π α − + θ = ÷ , calcule
T 2sen ! cos2
θ − α = α + θ + ÷ .
! 1 #! 0 %! 2
2
&! 1 '! 2
$3. &el gr)fico mostrado alle4
S ? senβ - tgα.
!
5#!
5
%!
2
5
&!5
'!
8
5
$/. &e la figura, si F ? F#, alle
' ? secθ cscθ senθ.
!180
81#!
180
81%!
181
80
&! 181
80'! 181
$5. &e la figura mostrada, G ? 18B 12!.
Aalle4 P ? tgα 3 ctgθ, % +araleloal e
-
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! 1C2 #! 2C3 %! 3C/&! /C5 '! 5C8
$. 'n la figura, alle el radio de lacircunferencia con centro en #, en
tJrminos de m y θ.
!( )
( )
mtg
1 tg
θ+ θ #!
( )
( )
m1 tg !
tg
+ θθ
%!( )
( )
mtg
1 tg
θ+ θ &!
( )mtg 1!
m 1
θ ++
'!( )tg .m 1!
m
θ +
$$. 'n la figura mostrada las coordenadasdel +unto son 2B 3!. %alcule elvalor numJrico de4
L ? 8 tgα! 13 cos2α!
! 28 #! 13 %! 5&! 5 '! 13
$:. &e la figura4 ? 0B /!# ? $B 5!% ? B 0!U 4 baricentro, de la región triangular
#%. Aalle tgθ!.
! 5C3 #! 3C5 %! 3C/&! /C3 '! 2
:0. 'n la figura mostrada, N ? 3N# y lascoordenadas del +unto N son a, 0!. Siel valor del )rea del tri)ngulo ;# es
a2, alle tgα!.
! 3
2 #! 2
3 %!1
3
&!2
3'!
3
2
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 26
0
y
x
B
AC
θ
($ 0)
θ
y
xB
α
y
x
A
0
y A
α
N
B
x
y
x
B
C
A
θ0
-
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:1. &e la figura, si tgα ? 5
12 y
senβ ? 10
13 , alle un valor a+ro*imado de tgθ.
! 0,/:2 #! 0,/2: %! 0,:/2&! 0,2/8 '! 0,2:/
:2. &ada la circunferencia, cuyo centroG! se encuentra en el e
-
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! 2
3#!
2
3%!
3
2
&!
3
2 '! 1
:8. Si f*! ? ctg cos* , 3
*/ /
π π< ≤ ,
alle la variación de f.
! 〈ctg1B - ∞〉#! 〈 ∞B ctg1M%! Qctg1B - ∞〉&! Q0B ctg1M
'! 〈0B ctg1M
:. Si α y β son dos )ngulos coterminalesy +ertenecen al %, entonces alsim+lificar4
sen sen tg'
cos .cos tg
α − β α= +
α β β , se obtiene4
! 2 #! 1 %! 0&! 1 '! 2
:$. Se tiene un )ngulo θ en +osiciónnormal que verifica las siguientescondiciones4
i. cosθ? cosθ
ii. tgθ ? tgθ
iii.
senθ ?5
3
Aalle F ? 5 cosθ - :cosθ ! 11 #! 10 %! :&! $ '! 8
::. Aalle el signo de la e*+resión ', en loscuatro cuadrantes4
1 cos sen sen cos !sen cos'
1 cos sen sen cos !
+ θ + θ + θ θ θ θ=
− θ − θ + θ θ
! -B -B -B - #! B B B
%! B -B B - &! -B B -B '! -B -B B
100. 'n la circunferencia trigonomJtricamostrada, alle la distancia entre los
+untos G y . m ¼ #G ? θ!.
! cosθ #! senθ%! cos2θ - sen2θ &! senθ - cosθ'! 2
101. 'n la circunferencia trigonomJtricamostrada, » »mG , m= θ = β , luego el)rea de la región triangular ;G, es4
!sen
3 2
θ + β ÷
#!sen
2 2
θ + β ÷
%! ( )sen
2β − θ &!
sen
2 2
θ − β ÷
'! 2senθ β!
102. &ado que4
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 28
y
0
x
'
α A
#
α
B
y
0x
'
A
#
Bθ
β
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01
2cosθ 1!cos* sen*! ? sen* - cos*y θ es del V%, entonces +odemosafirmar que * +ertenece4 ! solo al % #! solo al %%! solo al % &! solo al V%
'! l % ó V%
103. 'n la circunferencia trigonomJtricaque se muestra, alle el )rea de laregión triangular ;(W, en u2.
!1
2#!
1
2senα %!
1
2tgα
&! senα '! tgα
10/. 'n la circunferencia trigonomJtrica
mostrada » »mG , m 2= θ = θ , alle el)rea de la región triangular ;G.&ato4
senα β! ? senα cosβ senβ cosα.
! cosθ #! senθ %! cos2θ&! 1C2!cosθ '! 1C2!senθ
105. 'n la circunferencia trigonomJtrica
mostrada, ¼m;# = α . &etermine el)rea de la región triangular #%.
! cosα #! senα %! cosα&! cosα '! senα cosα
108. 'n la circunferencia trigonomJtrica
ad
-
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'! secθ - tgθ
10. 'n la circunferencia trigonomJtrica,mostrada, alle el )rea delcuadril)tero mostrado.
! 0,5tgθ - cscθ - 2!#! 0,5cscθ tgθ ctgθ%! 0,5tgθ - ctgθ cscθ!&! 0,5senθ cosθ - tgθ!'! 0,5senθ - cosθ ctgθ!
10$. nalice la verdad o falsedad de lassiguientes +ro+osiciones4
. sen30º senπC8!. coscos*! ≤ cos*, ∀ * ∈ ". csc* ctg* ! VVV #! VLL %! LLV&! VLV '! LLL
10:. %alcule el )rea de la regióntriangular sombreada4 G(W, lacircunferencia es la trigonomJtrica.
! 0,5tgθ #! 0,5cosθ - senθ - 1!%! 0,5cosθ - tgθ! &! 0,5 tgθ'! 0,5cosθ tgθ!
110. 'n la circunferencia trigonomJtricacalcule el valor del )rea de la región
sombreada. Si »mG ? α, m∠GW? :0º
!2 2
α π+ #!
2 /
α π− %! sen
2
α+ α
&! sen2 /
α π+ α − '! sen
2 2
α π+ + α
111.Si/
πα = , calcule4
csc 3 .ctg 85 .ctg /12 2 2
L35
cos .sen 2 .tg 1112 2 2
π π π α − α − α − ÷ ÷ ÷ =π π π α − α − α − ÷ ÷ ÷
! $ 2 #! / 2 %! 2 2
&! 2 2 '! 2
112. Si4
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 30
y
0 A
#
* (
W
θ
y
0
#
A
+
*
S
θ
y
0
#
A
+
*
B
α
-
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senα ? 3
5 ∧ α ∈ %
cosβ ? 5
13 ∧ β ∈ %
%alcule4
( )
( ) ( )
sen 3 cos sec2 2
L3
ctg tg csc2
π π + α + π − α + + β ÷ ÷ =
π α + π − β − − β − π ÷
!11
120#!
31
120%!
33
1/0
&!/1
120'!
51
1/0
113. l sim+lificar4
( )
( )
tg :: * .cos 3 * .sec,:0 *!2
Lctg :1 * .sen /0 *
2
π π + − π − ÷
= π + π + ÷
Se obtiene4
! sen* #! sec* %! tg*&! ctg* '! cos*
11/. "educir4
sen3130º.tg28$0º.cos3550º.ctg32$0ºLcos2830º .sen22:0º.sen110º.sec 2/00º
=
!2
2#!
3
2%!
3
2
&! 1
2'! 1
115. Si 4 * - y ? π
"educir4 L ? sencos*! -sencosy! ! sen* #! seny %! cos*&! cosy '! 0
118. Seg=n el gr)fico mostrado calcule4
( )sen *
tg *2L
cos * ctg */ /
α + β + θ + ÷ α + β + θ − = +α + β + θ α + β + θ − + ÷ ÷
! 2 #!
3
2 %! 0&! 2 '! 3
11. l sim+lificar4
cos *! ctg1$0 *! sen380º *!L
cos1$0º *! sen *!
− + + −= +
+ −se obtiene4
! csc* #! csc* %! sec*
&! sec* '! ctg*
11$. Si los )ngulos internos de untri)ngulo #% est)n en +rogresiónaritmJtica. # %! reducir4
sen 2% 3#! cos# 2 3%!L
sen# %! cos# %!
+ + + += +
− −
! 2 #!
1
2 %! 0
&!1
2'! 1
11:. Si a ? sen200/º y b ? cos200/ºB
entoncesa
b es4
! ctg2/º #! tg/2º %! tg1/º&! ctg88º '! tg3/º
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 31
β
α
θ
-
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120. "educir L ? tg2 - #! ctg %!donde y # son los )ngulos de untri)ngulo.
!1
2#! 1 %! 1
&! tg2# '! ctg2#