UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA PRIMERA PRCTICA CALIFICADA

Tema de laboratorio: Traccin Simple

Curso: Calculo por elementos Finitos MC516-C

Profesor : Ing. Ronald Cueva Pacheco

Alumno:

Fecha de realizacin: 10 / 09 / 2014

2014

ndice

Enunciado del Problema....................................................................3

Solucin.............................................................................................4

Grados de Libertad Nodales..............................................................5

Vector Carga......................................................................................6

Matriz de Rigidez................................................................................8

Ecuacin de Rigidez y Condicin de Contorno..................................9

Esfuerzos y Resultados....................................................................10

Diagrama de Flujo.............................................................................11

Uso de Matlab...................................................................................12

Conclusiones................................................................................... 15

ENUNCIADO DEL PROBLEMADado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Considerar:PA = 30 [KN]t (espesor) = 150 [mm] E = 3.0x105 [N/mm2] Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 [N/mm3]n = 3 partes

SOLUCION:1. MODELADO DEL CUERPO REALSe consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos los elementos finitos tendrn longitud de 100, 500 y 500mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

Entonces, el modelado del cuerpo sera el siguiente:

Y las reas se calculan de la siguiente relacin:

Cuadro de conectividad:

eNODOSGDLle(mm)Ae(mm2)

(1)Primer nodo(2)SegundoNodo 12

112Q1Q21000135000

223Q2Q350067500

334Q3Q450022500

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento ser:

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas que tendrn que ser calculadas.3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

4. MATRIZ DE RIGIDEZA continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuacin:

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez esta determinada por la siguiente ecuacin:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Para resolver:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Y para obtener la reaccin en el empotramiento tmanos la siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

6. ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

7. RESULTADOSFinalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

8. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES: E,f,tVECTORES:L.A.P

CALCULO DE VECTORES

F= ; K=

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

=

IMPRESIN DE RESULTADOS

FIN

Luego escribimos la siguiente funcin en MATLAB:clcclear allR1=sym('R1');%datos de entradab0=input('ingrese la base SUPERIOR de la placa= '); %input('Ingrese base superior(mm):')bn=input('ingrese la base INFERIOR de la placa= ');%input('Ingrese base inferior(mm):')t=input('Ingrese el espesor de la placa= '); %input('Ingrese espesor(mm):')h=input('Ingrese la altura de la placa= '); %input('Ingrese altura(mm):')n=input('Ingrese la cantidad de elementos finitos= '); %input('Ingrese numero de elementos finitos:')E=input('Ingrese el modulo de elasticidad= '); %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')y=input('Ingrese la densidad del material= '); %input('Ingrese densidad(N/mm3):')Pa=input('Ingrese la carga PA= '); %input('Ingrese carga(N):')%calculo de bases y reas de elementosle=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1); Fe=zeros(n+1,1);bo(1)=b0; ho(1)=h;for i=1:nif n>ile(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):');b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2;a(i)=b(i)*t;ho(i+1)=ho(i)-le(i);bo(i+1)=2*b(i)-bo(i);elsele(i)=ho(i);b(i)=(bn+bo(i))/2;a(i)=b(i)*t;endenddisp('Bases(mm):')disp(b')disp('Longitudes(mm):')disp(le')disp('Areas(mm^2):')disp(a')%calculo de las fuerzasfor i=1:nFe(i)=y*a(i)*le(i)/2;endfor i=1:n+1if i==1F(i)=Fe(i);elseif i==n+1F(i)=Fe(i-1);elseF(i)=Fe(i-1)+Fe(i);endendF(2)=F(2)+Pa;disp('El vector de fuerzas(N):')disp(F')%calculo de la matriz rigidezk=zeros(n+1);for i=1:nx=zeros(n+1);x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1;k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;enddisp('La matriz de rigidez es(N/mm):')disp(k)%calculo de desplazamientosinv(k(2:n+1,2:n+1));((F(2:n+1))');Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');Q=[0;Q];disp('..............................');disp(' RESULTADOS');disp('=============================');disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')disp(Q)%calculo de la reaccionk(1,:)*Q;R1=k(1,:)*Q-F(1);disp('=============================');disp('La reaccion en el extremo es:')disp(R1)%calculo de esfuerzosfor i=1:ne(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];enddisp('=============================');disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')disp(' e1 e2 e3');disp(e);

9. VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB

10. CONCLUSIONES

- Podemos apreciar, al utilizar ms nodos, que las respuestas no varan enormemente, solo aumentan la precisin con la cual se presentan. - Se recomienda utilizar un nmero moderado de nodos, ya que las operaciones con matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el nmero de nodos. - Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeas (dcimas de micras), adems todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como referencia. - En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos especficamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones y esfuerzos; es por ello que se utiliz en el desarrollo milmetros en vez de metros. - Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresin para nuestro sistema de referencia.

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