11 Figuras planas - CEAH...

18 Unidad 11 | Figuras planas

St. Marks Pl

E 7th St

E 6th St

E 5th St

E 9th St

1st A

ve

2nd

Ave

Aven

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E 10th St

E 4th St

2nd

Ave

1st A

ve

E 7th St

100 m

GreycoatPlace

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GreencoatRow

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Vincent Square

Greycoat S

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Greycoat Place

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Street

Street

Mau

nsel

Horseferry R

oad

Howick Place

Rochester Street

Chadwick

Street

50 m

11 Figuras planas

11.1. ¿Qué formas geométricas identificas en la maqueta de la fotografía?

Triángulos, trapecios, rectángulos y polígonos irregulares.

11.2. Compara este proyecto con la distribución de las calles en tu barrio o en tu localidad. ¿Qué semejanzas y diferencias encuentras?

Actividad personalizada.

11.3. Dibuja el trazado de un barrio nuevo. ¿Qué formas geométricas utilizas?

Cuadrados, rectángulos y trapecios.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

11.1. Observa los planos. El primero corresponde al barrio neoyorquino de Manhattan, y el segundo, al barrio londinense del Soho.

a) Describe cómo están dispuestas las calles en cada caso.

b) Indica qué formas geométricas puedes distinguir en cada plano.

c) ¿Cuál de los dos barrios crees que ha sido planificado antes de construirlo? ¿Qué te lleva a pensarlo?

a) En Manhattan son rectas paralelas y perpendiculares, pero en el Soho forman ángulos arbitrarios e incluso algunas son curvas.

b) En Manhattan solo hay rectángulos, mientras que en el Soho también hay pentágonos, polígonos cóncavos, triángulos, trapecios circulares, figuras circulares…

c) Manhattan ha sido planificado, pues su estructura es muy regular y organizada, y, por tanto, no se ha ido ampliando según se necesitaba.

Unidad 11 | Figuras planas 19

11.2. Observa los anagramas de varias marcas de coches.

a) ¿Qué anagramas corresponden exclusivamente a la combinación de elementos geométricos? ¿Cuáles tienen forma poligonal?

b) Hay cuatro anagramas formados por letras geometrizadas. ¿Cuáles son?

c) Inés dice que el anagrama de Mitsubishi no es un polígono, sino tres polígonos unidos. ¿Tiene razón?

d) ¿En qué anagrama identificas los radios de una circunferencia?

e) ¿En qué anagramas puedes dibujar un eje de simetría?

a) Combinación de elementos geométricos: Mitsubishi, Nissan, Citroën, BMW, Toyota, Chevrolet, Ford, Audi, Seat, Volkswagen, Suzuki, Renault y Mercedes.

Forma poligonal: Mitsubishi, Citroën, Chevrolet y Renault.

b) Toyota, Seat, Volkswagen y Suzuki.

c) Sí, en un polígono no pueden concurrir en cada vértice más de dos lados.

d) Mercedes

e) Mitsubishi, Citroën, Toyota, Audi, Volkswagen y Mercedes.

ACTIVIDADES

11.1. Marca 7 puntos en una hoja de papel sin que haya 3 puntos alineados. Únelos para obtener las siguientes líneas.

a) Una línea poligonal abierta.

b) Una línea poligonal cerrada.

c) Una línea no poligonal.

a) b) c)

Mitsubishi Alfa Romeo Nissan Citroën BMW

Toyota Chevrolet Ford Audi Seat

Volkswagen Suzuki Renault Ferrari Mercedes


11.2. Indica qué figuras son polígonos.

¿Cuáles de los polígonos son cóncavos?

Son polígonos a, d y e. Todos son cóncavos.

11.3. Dibuja un heptágono irregular cóncavo y otro convexo.

Convexo Cóncavo

11.4. Sobre papel cuadriculado, toma como unidad de área uno de los cuadraditos, y como unidad de longitud, uno de sus lados.

a) La figura tiene un área de 25 unidades. ¿Cuál es su perímetro?

b) Siguiendo siempre las líneas de una cuadrícula, dibuja en tu cuaderno tres figuras que tengan también de área 25 unidades. ¿Cuál es su perímetro?

c) Busca el polígono de área 25 unidades con el menor perímetro posible.

a) 30 u

b)

p = 22 u p = 20 u p = 28 u

c) Un cuadrado de lado 5 u

11.5. ¿Cuál de los edificios de la fotografía sigue el trazado de una línea poligonal? ¿Por qué el otro no?

El de la izquierda.

El de la derecha tiene varias curvas en su trazado.


C

BA

A B C D E F

11.6. Esta es la planta de un edificio.

a) ¿Tiene forma de polígono cóncavo o convexo?

b) ¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Qué nombre le darías?

c) Indica, sin medir, la amplitud de los ángulos.

d) Dibuja la planta de un edificio que tenga forma de polígono cóncavo de 16 lados.

a) Cóncavo b) 12 lados. Dodecágono c) 90º y 270º

d)

11.7. Determina la amplitud de cada ángulo con el transportador. ¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos?

A = 60º, B = 30º y C = 90º. La suma es 180º.

11.8. Clasifica los triángulos según sus ángulos. Recuerda que los ángulos de un triángulo suman 180º.

Ángulo A Ángulo B

Triángulo 1 43 43

Triángulo 2 19 71

Triángulo 3 60 60

Triángulo 1: obtusángulo. Triángulo 2: rectángulo. Triángulo 3: acutángulo.

11.9. Observa los cuadriláteros.

a) ¿Cuántos lados paralelos tiene cada cuadrilátero?

b) ¿Qué cuadriláteros tienen las dos diagonales de la misma longitud?

c) ¿En cuántos triángulos quedan divididos los cuadriláteros por una de sus diagonales?

d) ¿Cuánto suman los ángulos de cada cuadrilátero?

a) A, B, C y D: 2 parejas. E: 1 pareja. F: ninguno b) A, B y E

c) En 2 triángulos d) 360º


a) b)

c)

11.10. Contesta a las preguntas.

a) ¿Las dos diagonales de un trapecio tienen siempre la misma longitud?

b) ¿Dos ángulos de un romboide pueden medir respectivamente 50° y 100°?

c) ¿Un trapezoide debe tener los cuatro ángulos diferentes?

d) ¿Los ángulos no rectos de un trapecio rectángulo son siempre suplementarios?

e) Un cuadrilátero tiene un ángulo obtuso, un ángulo recto y dos ángulos agudos. ¿Qué tipo de cuadrilátero es?

a) No; por ejemplo, en un trapecio rectángulo no son iguales.

b) No, porque los otros dos también valdrían lo mismo, y juntos no sumarían 360º.

c) No, puede tener dos ángulos iguales, o incluso tres.

d) Sí, porque juntos deben sumar 180º al ser los otros dos rectos.

e) Trapezoide

11.11. Clasifica los triángulos de las fotografías según las medidas de los ángulos y de los lados.

a) Isósceles y obtusángulo

b) Equilátero

c) Escaleno y rectángulo

11.12. Identifica los distintos tipos de cuadriláteros que aparecen en el dibujo.

Rectángulos, cuadrado y rombo.

11.13. Queremos conocer la suma de los ángulos de un polígono.

– Dibuja tres polígonos como estos:

– Desde un vértice, traza todas las diagonales posibles para dividir los polígonos en triángulos.

a) ¿Cuántos triángulos obtienes en cada caso? ¿Cuánto suman los ángulos de cada polígono?

b) ¿Qué relación hay entre el número de triángulos y el de lados del polígono?

c) Considera el número n de lados de un polígono cualquiera. ¿Cuál de estas fórmulas expresa la suma (S) de ángulos de un polígono?

Sángulos = (n – 2) · 180º Sángulos = n · 180 – 2

a) Hexágono: 4 triángulos y Sángulos = 720º

Octógono: 6 triángulos y Sángulos = 1.080º

Decágono: 8 triángulos y Sángulos = 1.440º

b) Es el número de lados menos 2. c) Sángulos = (n – 2) · 180º


C

A

r

B60º

a = 6 cm

11.14. Actividad interactiva.

11.15. Construye un triángulo cuyos lados sean estos segmentos.

a: 4 cm

b: 6 cm

c: 8 cm

11.16. Dos de los lados de un triángulo miden 8 y 10 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 35°. Dibújalo.

11.17. Dos ángulos de un triángulo miden 70° y 55°, y el lado común, 5,5 cm. Dibújalo.

11.18. Construye un triángulo igual al ABC que tenga el lado a sobre la recta r.

8 cm

4 cm 6 cm

35º10 cm

8 cm

70º 55º5,5 cm

Ar

B

60º

a = 6 cm


11.19. La medida de un lado de un triángulo es 7 cm, y los ángulos contiguos miden 20º y 37º. Los lados de otro triángulo miden 3 cm y 5 cm y el ángulo comprendido entre ellos, 123º.

a) Dibuja los triángulos. b) ¿Son iguales? Razónalo.

a)

b) Sí son iguales. Se puede comprobar midiendo sobre los dibujos.

11.20. Indica si la información dada es suficiente para construir los triángulos.

a) Un triángulo equilátero, conocido un lado.

b) Un triángulo isósceles, conocidos sus tres ángulos.

a) Sí, pues dan los tres lados.

b) No, existen triángulos de distintos tamaños que tienen los mismos ángulos.

11.21. Queremos dibujar un rombo del que conocemos uno de los ángulos y la diagonal

correspondiente al vértice de este ángulo. ¿Qué pasos seguirías para dibujarlo?

Nota: Las diagonales de un rombo coinciden con las bisectrices de sus ángulos.

Dibujaríamos la diagonal conocida y su mediatriz. Desde uno de los extremos de la diagonal dada se traza un ángulo hacia arriba y otro hacia abajo de amplitud la mitad del ángulo dado. Los puntos de corte de los lados de los ángulos que acabamos de trazar con la mediatriz anterior son el tercero y cuarto vértice del rombo.

11.22. Los lados de un banderín triangular deben medir 17 cm, 28 cm y 28 cm.

a) Con estos datos, ¿queda determinada la forma del banderín o hay más de una opción?

b) Dibuja el triángulo que corresponde a este banderín a escala 1 : 2.

a) Solo hay una opción.

b)

20º 37º7 cm

123º 5 cm3 cm

14 cm

14 cm

8,5 cm


11.23. Marta tiene un terreno triangular cuyos lados miden 36 m, 22 m y 25 m. ¿Es posible que su terreno tenga estas medidas? Si es así, construye un triángulo que represente al terreno y cuyos lados midan 3,6 cm, 2,2 cm y 2,5 cm.

Sí, porque verifica la desigualdad triangular.

11.24. Dibuja un triángulo de 3, 4 y 5 cm de lado, otro de 5, 6 y 7 cm, y otro de 5, 7 y 10 cm.

a) Dibuja sus mediatrices. b) Señala el circuncentro en cada caso.

c) Traza la circunferencia circunscrita. d) ¿Qué observas?

d) Los tres vértices están contenidos en la circunferencia. En el triángulo rectángulo el circuncentro está sobre la hipotenusa, en el punto medio. En el triángulo acutángulo el circuncentro está dentro del triángulo. En el triángulo obtusángulo el circuncentro está en un punto exterior del triángulo.

2,5 cm2,2 cm

3,6 cm

5 cm

10 cm

7 cm

5 cm

6 cm7 cm5 cm

4 cm3 cm

C


C

B

A

11.25. Copia el triángulo ABC y traza sus bisectrices.

a) ¿En qué punto se cortan las bisectrices? b) Dibuja la circunferencia inscrita.

Se cortan en el incentro.

11.26. Dibuja un triángulo acutángulo, un triángulo rectángulo y un triángulo obtusángulo.

a) Dibuja sus alturas.

b) Señala el punto de intersección de las alturas. ¿Qué nombre recibe?

c) ¿Qué observas en función del tipo de triángulo?

a)

Obtusángulo Rectángulo Acutángulo

b) El punto de corte se llama ortocentro.

c) En el rectángulo, se sitúa en el vértice correspondiente al ángulo recto; en el acutángulo, en el interior del triángulo, y en el obtusángulo, en el exterior.

11.27. Copia estos triángulos y dibuja el baricentro en cada uno de ellos.

11.28. Dibuja un triángulo equilátero y traza sus puntos notables. ¿Qué observas?

Todos coinciden en el mismo punto.

C

B

A


11.29. Marcos ha envuelto un regalo en forma triangular y quiere colocar el lazo de tal manera que esté a la misma distancia de cada vértice. ¿Dónde deberá situarlo?

En el circuncentro.


11.31. Dibuja un círculo de 3 cm de diámetro y dos radios que formen un ángulo de 45º. ¿Qué figura circular resulta?

Un sector circular.

11.32. (TIC) Calcula la longitud de las circunferencias que tienen los siguientes radios:

a) 0,25 m b) 40 mm c) 8,5 cm

a) 2 · 3,14 · 0,25 = 1,57 m b) 2 · 3,14 · 40 = 251,2 mm c) 2 · 3,14 · 8,5 = 53,38 cm

11.33. (TIC) Una rotonda circular tiene una longitud de 84 m. Halla su diámetro.

84 = 3,14 · d → d = 26,75 m

11.34. (TIC) Completa esta tabla en tu cuaderno.

Radio Diámetro Longitud

Circunf. 1 15 cm 30 cm 94,2 cm

Circunf. 2 12,5 mm 25 mm 78,5 mm

Circunf. 3 10 m 20 m 62,8 m

11.35. El radio de una circunferencia mide 12 cm. ¿Es posible que una cuerda mida 15 cm? ¿Cuál es la medida máxima que puede tener una cuerda en esta circunferencia?

Sí, porque la cuerda de mayor tamaño es el diámetro, que mide 24 cm.

11.36. (TIC) Calcula el perímetro de estas figuras.

a) 58 · 2 + 3,14 · 51 = 276,14 cm

b) 3,14 · 17 + 3,14 · 9 + 2 · 8 = 97,64 cm

45º

3 cm

51 cm 9 cm

17 cm

58 cm

a) b)


?

40°

28°

?

138°

?

11.37. Dibuja tres cuadrados de medida diferente. Mide en cada caso el perímetro y la diagonal y calcula el cociente entre ellos. ¿Este valor es constante en los tres casos? ¿Qué deduces?

Cuadrado de lado 2 cm: p = 8 cm; d = 8 = 2,83; cociente = 2,83



El cociente es constante en todos los casos, es decir, es independiente del lado elegido. El valor

exacto es 2

4 4

22

L

L= .

11.38. Identifica en las fotografías los distintos elementos de la circunferencia y el círculo que aparecen en ellas.

a) Corona circular, diámetro b) Radios c) Segmento circular d) Radio

11.39. Coge objetos como estos:

Mide su perímetro (p) y su diámetro (d) y completa una tabla como la siguiente:

Objeto Perímetro Diámetro p : d

CD 37,7 cm 12 cm 3,141666

Bote de témpera 15,7 cm 5 cm 3,14

Compara los resultados con el valor del número π.

Son aproximaciones del número π hasta el tercero y segundo decimal, respectivamente.

11.40. (TIC) Halla el ángulo que falta en cada caso.

a) 69º b) 14º c) 80º

4 cm

3 cm

2 cm

a) b) c) d)

a) b)


A AA

A

90º25º

170º

65º

45º15º

110º

130º

105º70º

80º

120º

11.41. (TIC) Calcula la medida del ángulo central A en cada caso.

a) 150º b) 100º c) 60º d) 105º

11.42. El diámetro de una circunferencia mide 4 cm. Dibuja un ángulo central de 90º.

11.43. ¿Cuánto mide el ángulo central de una semicircunferencia?

180º

11.44. ¿Cuánto mide el ángulo central de un pentágono regular?

72º

11.45. Dibuja una circunferencia de 6 cm de radio. Dibuja un ángulo inscrito de forma que un lado sea su diámetro y el ángulo mida 60º.

11.46. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia?

90º

90º

2 cm

60º

6 cm


A

Puerta giratoria de tres hojas

11.47. Dibuja un ángulo como el de la figura. Dibuja otro ángulo con la mitad de amplitud sin trazar la bisectriz ni utilizar el transportador. ¿Cómo lo harás?

Considerando ese ángulo como un ángulo central de una circunferencia y trazando el inscrito que abarca el mismo arco.

11.48. Las puertas giratorias constan de un eje central y varias hojas que giran alrededor de este eje. El dibujo muestra la vista superior de una puerta giratoria.

a) ¿Qué ángulo forman cada una de las hojas de la puerta de la figura?

b) Dibuja tres circunferencias y representa la vista superior de tres puertas giratorias:

– Una puerta con dos hojas.

– Una puerta con cuatro hojas.

– Una puerta con cinco hojas.

Indica en cada caso el ángulo que forman dos hojas consecutivas.

c) ¿Qué inconveniente tiene una puerta con cinco hojas?

a) 120º

b)

Con dos hojas: 180º; con cuatro hojas: 90º; con cinco hojas: 72º.

c) El ángulo entre hojas consecutivas es demasiado pequeño para que sea cómoda al utilizarse.

A



11.50. Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.

El trazado es una forma aproximada de dibujar polígonos regulares.

11.51. Dibuja una circunferencia de 20 mm de radio. Después construye un heptágono regular inscrito en ella.


11.52. Construye un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Luego, sin volver a dividir el diámetro, construye un hexágono regular inscrito en la misma circunferencia.


3 cm

20 mm

4 cm


AM

B

O789

789

AM

B

O

11.53. Dibuja una circunferencia cualquiera y traza dos diámetros perpendiculares entre sí. Une los extremos. ¿Qué figura obtienes?

Un cuadrado

11.54. Sobre el dibujo anterior, traza las bisectrices de los ángulos que forman los diámetros. Une todos los extremos resultantes. ¿Qué figura obtienes?

Un octógono regular

11.55. El hexágono regular es el único polígono que cumple que su lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Aplicando esta propiedad y sin tener que dividir el diámetro, dibuja un hexágono inscrito en una circunferencia de 5 cm de diámetro.

11.56. Para dibujar un heptágono regular de 3 cm de lado haz lo siguiente:

– Construye un hexágono inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.

– Dibuja la mediatriz de uno de sus lados y divide el radio en seis partes iguales.

– Toma la medida de una parte y trasládala sobre la mediatriz tantas veces como lados tenga el polígono.

– Traza la circunferencia cuyo centro es el punto 7 (pues queremos dibujar un heptágono), y sobre ella lleva la medida del lado.


5 cm


c)b)a)

20 m

11.57. ¿Se puede construir un hexágono regular de 8 cm de lado en una circunferencia de 8 cm de diámetro?

No, porque el lado del hexágono coincide con el radio de la circunferencia circunscrita, con lo que necesita una circunferencia de 8 cm de radio, es decir, 16 cm de diámetro.

11.58. Sobre un terreno circular de 20 m de diámetro se instala un circo con forma de octógono

regular. ¿Cuánto miden cada uno de los lados que delimitan el perímetro del circo?

Nota: Dibuja el octógono a escala 1 : 500.

Cada lado mide 7,65 metros.

11.59. Dibuja todos los ejes de simetría de estos triángulos.

¿Qué conclusiones extraes?

Los triángulos equiláteros tienen 3 ejes de simetría; los isósceles, 1, y los escalenos, ninguno.

11.60. Traza todos los ejes de simetría posibles de estos cuadriláteros.

c)b)a)

c)b)a)

c)b)a)


c)b)a)

11.61. Dibuja todos los ejes de simetría de estos polígonos regulares.

Relaciona el número de lados de un polígono regular con el número de ejes de simetría que tiene.

Un polígono regular tiene tantos ejes de simetría como lados.

11.62. Dibuja un tablero de ajedrez y traza sus ejes de simetría.

11.63. Tanto la bisectriz como la mediatriz son ejes de simetría. ¿De qué figuras geométricas se comportan como ejes de simetría?

La bisectriz es el eje de simetría de un ángulo, y la mediatriz, de un segmento.

11.64. Estas circunferencias son iguales. ¿Cómo trazarías el eje de simetría entre ellas?

Hallando la mediatriz del segmento que une los centros de ambas circunferencias.

11.65. ¿Cuántos ejes de simetría puedes trazar en un semicírculo?

Un único eje de simetría.

11.66. El grado de simetría de las hojas depende de la especie. Indica qué hojas son muy simétricas y cuáles apenas lo son.

Muy simétricas: a, b, c, d, f, g. Apenas simétricas: e, h.

c)b)a)

a) b) c) d) e)

f)

g) h)

Plátano RobleChopoTilo

Pino

Castaño Olmo

Eucaliptus


a) b) c) d) e)

a) b) c) d) f) g)e)

11.67. La fachada de Notre Dame de París es simétrica. ¿Dónde trazarías su eje de simetría? ¿Qué elementos de la fachada son también simétricos?

El eje de simetría es vertical y se sitúa en el centro de la fachada.

Algunos elementos simétricos son: los arcos de puertas, ventanas y campanario; el rosetón central y los pequeños rosetones laterales, etc.

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

11.68. Líneas poligonales

Indica qué líneas son poligonales y cuáles no lo son. Cuando no lo sean, explica por qué.

Poligonales: a, c y e. La b no es poligonal por ser curva, y la d, por cortarse los segmentos.

11.69. Hexágonos y ángulos cóncavos

Ordena estos hexágonos según el número de ángulos cóncavos que tienen.

Con 3 ángulos cóncavos: b, c y f

Con 2 ángulos cóncavos: a y g

Con 1 ángulo cóncavo: e

Con ningún ángulo cóncavo: d


vértice - ángulo - ángulo - lados - línea poligonal - polígono - diagonal

11.70. Elementos

Completa el esquema en tu cuaderno.

11.71. (TIC) Perímetro

a) Explica qué entendemos por perímetro de un polígono.

b) El perímetro de un pentágono mide 100 cm. Cuatro de sus lados miden, respectivamente, 19, 18, 12 y 23 cm. ¿Cuánto mide el lado que falta?

a) La suma de las medidas de sus lados.

b) 100 – 19 – 18 – 12 – 23 = 28 cm

11.72. Diagonales desde un vértice

a) Dibuja los polígonos de la tabla. Elige en cada caso un vértice y traza desde él todas las diagonales posibles. ¿Cuántas has podido trazar?

N.º de diagonales desde un vértice

Cuadrilátero 1

Pentágono 2

Hexágono 3

Heptágono 4

Octógono 5

b) ¿Qué relación existe entre el número de lados de un polígono y el número de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice?

c) ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar desde un vértice en un dodecágono?

a)

b) N.º diagonales = N.º lados – 3

c) 9

Vértice

Ángulo

Línea poligonalLados

Diagonal

Polígono


11.73. Tipos de triángulos

Indica cuáles de estos triángulos son posibles.

a) Isósceles y rectángulo b) Escaleno y rectángulo

c) Escaleno y acutángulo d) Equilátero y acutángulo

e) Equilátero y obtusángulo

Todos salvo e.

11.74. (TIC) Triángulos

a) El perímetro de un triángulo equilátero es de 162 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

b) Un triángulo tiene un perímetro de 48 cm y dos de sus lados miden 18 cm y 15 cm, respectivamente. ¿Se trata de un triángulo escaleno o isósceles? ¿Por qué?

c) El ángulo diferente de un triángulo isósceles es de 87°. Calcula en grados y minutos cuánto mide cada uno de los ángulos restantes.

a) 54 cm

b) 48 – 18 – 15 = 15 cm el tercer lado. Es isósceles, pues tiene dos lados iguales.

c) 180º 87º

2

−= 46,5º = 46º 30' cada uno.

11.75. Cuadrados y triángulos

Dibuja un cuadrado de 5 cm de lado.

a) Traza sus diagonales. ¿Qué ángulo forman?

b) ¿Se cortan en su punto medio?

c) Si cortamos un cuadrado siguiendo sus dos diagonales, ¿de qué tipo son los cuatro triángulos en los que queda dividido?

a) Forman 90º

b) Sí

c) Isósceles y rectángulo

11.76. Suma de los ángulos de un heptágono

a) Haz la suma de los ángulos de un heptágono.

b) Supón que este heptágono es regular. Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos.

a) 180º · 5 = 900º b) 900º : 7 = 128,57º

5 cm


A B C

D E F

G HI

11.77. Tipo de cuadrilátero

Observa la figura.

a) ¿Cuántos paralelogramos hay? ¿Y trapecios?

b) Escribe los vértices de un trapezoide, de un romboide, de un trapecio rectángulo y de un trapecio no rectángulo que aparezcan.

a) 1 paralelogramo y 4 trapecios

b) Trapezoide: DFGI. Romboide: ABDE. Trapecio rectángulo: BCEF. Trapecio no rectángulo: ABGH.

11.78. Cuadriláteros

a) En un trapecio rectángulo, uno de los ángulos mide 58°. ¿Cuántos grados miden los otros tres?

b) Traza dos rectas paralelas y dibuja todos los tipos de cuadriláteros diferentes posibles de modo que tengan dos de sus lados sobre estas paralelas.

c) ¿Cuántos ángulos cóncavos puede tener como máximo un cuadrilátero?

a) 90º, 90º y 122º

b)

c) Uno

11.79. Construcción de un triángulo

a) Construye un triángulo de lados 6, 8 y 10 cm.

b) Mide sus ángulos e indica de qué tipo de triángulo se trata.

a) b) 37º, 53º y 90º

Es rectángulo.

11.80. Propiedad de los lados

Indica con cuál de estos conjuntos de segmentos se puede construir un triángulo. Razona la elección.

a) a = 7 cm, b = 9 cm y c = 18 cm b) a = 3 cm, b = 6 cm y c = 9 cm

c) a = 22 cm, b = 15 cm y c = 9 cm

c, porque en a, 18 > 9 + 7, y en b, 9 = 3 + 6.

r

s

6 cm 8 cm

10 cm


11.81. Rombos y triángulos

Dibuja con regla, transportador y compás un rombo de 5 cm de lado que tenga un ángulo de 40°.

a) Traza sus diagonales. ¿Qué ángulo forman?

b) Cortamos un rombo siguiendo una cualquiera de sus diagonales. ¿De qué tipo son los dos triángulos en los que queda dividido?

a) Ángulos rectos.

b) Isósceles

11.82. *Puntos notables

Dibuja cuatro veces un triángulo de lados 2, 3 y 4 cm, y busca:

a) El circuncentro b) El incentro c) El ortocentro d) El baricentro

11.83. Triángulo de cartón

Construye un triángulo de cartón. Marca sus puntos notables y haz pasar un hilo por cada uno de ellos de manera que el triangulo cuelgue. Observa qué sucede en cada caso.

En el caso del baricentro, el triángulo está en equilibrio, y en el resto de puntos notables, no, excepto si el triángulo construido es equilátero, pues coinciden los cuatro puntos notables.

11.84. Triángulo isósceles

Dibuja un triángulo isósceles. Comprueba que la mediana sobre el lado desigual lo divide en dos triángulos iguales.

5 cm

40º

3 cm

4 cm2 cm


? ?

11.85. Tangente y secante

Dibuja una circunferencia de 3,5 cm de radio y señala su centro.

a) Traza un radio, un diámetro y una cuerda de esta circunferencia.

b) Dibuja una recta perpendicular al radio que has trazado que pase por el punto en el que radio y circunferencia coinciden. ¿Qué nombre recibe esta recta?

c) Dibuja una recta secante a la circunferencia.

Recta tangente a la circunferencia.

11.86. (TIC) Longitud de la circunferencia

La noria de un parque de atracciones tiene un diámetro de 12 m. ¿Cuántos metros recorre una de las cestas al dar una vuelta?

L = 3,14 · 12 = 37,68 m recorrerá.

11.87. (TIC) Ángulo central

Trazamos en una circunferencia 8 diámetros de manera que quedan determinados 16 ángulos centrales iguales. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de estos ángulos en grados y minutos?

360 : 16 = 22,5º = 22º 30' cada uno

11.88. Mentalmente

Calcula mentalmente el ángulo central de cada uno de estos polígonos regulares.

a) Triángulo b) Hexágono c) Cuadrado d) Eneágono e) Pentágono f) Dodecágono

a) 120º b) 60º c) 90º d) 40º e) 72º f) 30º

11.89. (TIC) Ángulos inscritos y polígonos regulares

A partir del ángulo central de cada polígono, halla los ángulos desconocidos pedidos.

a) 60º b) 36º

Radio

Centro

Secante

Tangente

Diámetro

Cuerda


A

B

11.90. Ángulo interior de un polígono y ángulo central

Observa los dibujos de un decágono regular.

a) ¿Cuál es la amplitud del ángulo A?

b) ¿Cuál es el ángulo central que abarca el mismo ángulo que el ángulo inscrito B?

c) ¿Cuál es la amplitud de cada uno de los ángulos interiores de un decágono regular?

a) 288º b) 288º c) 288ºB =

11.91. Octógono

Dibuja un octógono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

11.92. Circunferencia circunscrita

a) ¿Qué debemos hacer para dibujar la circunferencia circunscrita en un hexágono regular? ¿Y en un cuadrado?

b) Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado y a continuación traza la circunferencia circunscrita.

a) En ambos casos tomamos como centro el b) punto de corte de las diagonales. En el hexágono, el radio es igual al lado, y en el cuadrado es igual a media diagonal.

4 cm

2 cm

4 cm


11.93. Simetrías

a) ¿Las diagonales de un rectángulo son ejes de simetría de este paralelogramo?

b) Traza en un rectángulo sus ejes de simetría.

a) No b)

11.94. Ejes de simetría en la circunferencia

a) ¿Cuántos ejes de simetría tiene una circunferencia?

b) ¿Qué punto tienen en común todos ellos?

a) Infinitos, tantos como diámetros. b) El centro.

11.95. (TIC) Suma de los ángulos de un triángulo

Dibuja un triángulo cualquiera. Utiliza la herramienta “Ángulo” de GeoGebra para comprobar que la suma de sus ángulos es siempre igual a 180°.

Pasos con GeoGebra:

– Para dibujar el triángulo debes utilizar la herramienta “Polígono” del menú del botón .

– Después usa la opción “Ángulo” para medir cada uno de los ángulos del triángulo.

11.96. (TIC) Cuadriláteros y paralelogramos

Dibuja un cuadrilátero cualquiera. Halla el punto medio de cada uno de los lados de este cuadrilátero y llámalos A, B, C y D respectivamente. Comprueba que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

Pasos con GeoGebra:

– Para dibujar el cuadrilátero debes utilizar la herramienta “Polígono” del menú .

– Puedes encontrar el punto medio con la opción de este mismo nombre del menú .

– Para comprobar que el polígono ABCD es un paralelogramo, une sus vértices con segmentos y utiliza la opción “Recta paralela” que encontrarás pinchando sobre .


75 m

11.97. (TIC) Ángulo inscrito y triángulos rectángulos

Dibuja una circunferencia y un triángulo inscrito en esta de manera que uno de sus lados sea un diámetro de la circunferencia. Comprueba que el ángulo opuesto al diámetro es siempre recto.

Pasos con GeoGebra:

– Para dibujar una circunferencia debes pulsar sobre el icono del menú. Luego, dibuja el triángulo inscrito en ella.

– Después, busca la medida del ángulo opuesto al lado que coincide con el diámetro.

– Para terminar, desplaza el vértice A siguiendo la circunferencia. ¿Qué pasa con la medida del ángulo A? ¿Cómo son todos los triángulos así construidos?

La medida de dicho ángulo es 90º, por lo que los triángulos así construidos son todos rectángulos.

11.98. Líneas poligonales

Observa las constelaciones del hemisferio norte.

a) Indica tres constelaciones que estén representadas por líneas poligonales.

b) ¿Existe alguna constelación que se corresponda con una línea poligonal cerrada?

c) Indica tres constelaciones representadas por líneas que no son poligonales.

a) Lince, León Menor y Cefeo

b) Carmelopardalis, León Menor y Cefeo

c) Cisne, Osa Menor y Libra

11.99. Pista de atletismo

La figura muestra una pista de atletismo. Las curvas de cada lado siguen el trazado de una semicircunferencia, y la longitud total del recorrido siguiendo la línea interior es de 400 m.

a) Calcula la longitud de cada tramo recto.

b) La pista tiene una anchura de 10 m. ¿Qué distancia recorrerá de más un atleta al dar una vuelta que sigue la línea exterior con respecto a uno que sigue la línea interior?

a) 400 – 3,14 · 75 = 164,5 m ambos tramos, luego 82,25 m cada uno.

b) 3,14 · 95 – 3,14 · 75 = 62,8 m de más.


Lado AB: 30 m Lado BC: 38 m Lado CD: 41 m Lado DA: 37 m Diagonal AC: 51 m

A B

CD

Área = =12,75 m2

Área = =12,75 m2

Área = =13,375 m2

3,4

m

4,2

5 m

4,2

5 m

3,5 m0,85 m

2,2

5 m

3,75 m3 m 2 m

2,5 m

11.100. Triangulación de polígonos

Para trazar el plano de una parcela se han tomado las medidas de los lados y de una de las diagonales.

¿Las medidas tomadas bastan para dibujar el plano? En caso afirmativo, haz el dibujo de la parcela a una escala que te parezca conveniente. En caso contrario, razona tu respuesta.

Sí bastan para dibujarlo, pues dadas las medidas de los lados de un triángulo, este queda determinado de forma única.

11.101. Polígonos y circunferencia

La forma de la parte superior de la atracción de la imagen es la de un polígono regular de 24 lados.

a) ¿Cuáles son los ángulos centrales de este polígono?

b) A una velocidad determinada, las sillas exteriores giran a 9 m del eje, y las interiores, a 6 m.

– Representa con un esquema la situación.

– Calcula qué distancia recorre cada una de las sillitas cuando el tiovivo da una vuelta.

c) En este momento, el tiovivo da 4 vueltas por minuto. ¿Cuál es la velocidad en metros por segundo de cada una de las sillitas?

a) 15º

b) Exterior = 3,14 · 18 = 56,52 m. Interior = 3,14 · 12 = 37,68 m

c) Exterior =4·56,52

60= 3,768 m/s. Interior =

4·37,68

60= 2,512 m/s

11.102. Construcción

El plano muestra tres habitaciones de un piso.

a) Calcula el zócalo necesario para cada una de ellas.

b) Compara los tres resultados obtenidos y las superficies de cada habitación.

– ¿Las habitaciones que tienen igual superficie necesitan los mismos metros de zócalo?

– ¿Las habitaciones en las que se necesitan los mismos metros de zócalo tienen la misma superficie? Calcula la escala del plano.

a) Izquierda = 4,25 + 3 + 3 + 3,4 = 13,65 m Central = 3,4 + 3,75 + 3,4 + 2,9 = 13,45 m

Derecha = 2 + 2,5 + 2,25 + 3,5 + 3,4 = 13,65 m

b) No, las igualdades de superficies y zócalos no se corresponden. 2,1 : 300 o, equivalentemente, 7 : 1.000.


Los triángulos en la construcción

El único polígono que no permite que se cambie de forma sin variar la medida de sus lados es el triángulo. Cuando forma parte de una construcción, se mantiene rígido mientras no se supere la resistencia de los materiales con los que está hecho. Por eso muchas estructuras como puentes, torres, grúas o armaduras para techos están basadas en diferentes formas triangulares.

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

11.103. Triángulos e ingeniería

1. Observa estas estructuras metálicas.

¿Qué polígono aparece en cada una de ellas?

Triángulos

2. Para esta actividad necesitas cartulina, tijeras y encuadernadores. (También sirven piezas de mecano).

a) Recorta piezas de cartulina de 1,5 cm de ancho y construye un triángulo y otro polígono cualquiera (cuadrilátero, pentágono o hexágono).

b) ¿Cuál de las dos figuras puedes deformar sin doblar ni modificar sus lados?

c) Recorta tiras de cartulina para unirlas como diagonales del polígono no triangular. Una vez fijadas las diagonales, ¿lo puedes deformar?

d) ¿Qué conclusiones extraes?

a) Actividad manipulativa

b) El polígono no triangular

c) No

d) Las diagonales forman triángulos dentro del polígono, que hacen que no se pueda cambiar su forma.

3. Observa la armadura de soporte de un tejado.


A B C

D E

a) ¿Qué tipo de triángulos la forman?

b) Utiliza tus conocimientos sobre construcción de triángulos y reproduce esta figura a escala 1 : 50.

c) Fíjate en que hay madera de dos grosores diferentes. Utiliza el dibujo hecho a escala y calcula los metros lineales de madera necesarios de cada tipo para construirla.

d) El metro de la madera más delgada cuesta 7 €, y el de la más gruesa, 11 €. A lo largo de un tejado hay que colocar cuatro armaduras como esta. ¿Cuánto costará toda la madera necesaria?

a) Rectángulos y escalenos

b)

c) 12,3 metros de listones gruesos, y 2,4 de los finos.

d) La madera fina costará 7 · 2,4 = 16,80 €.

La madera gruesa valdrá 11 · 12,3 = 135,30 €.

En total, una armadura valdrá 16,8 + 135,3 = 152,10 €.

Como hay 4 armaduras, toda la madera nos costará 152,1 · 4 = 608,40 €.

4. Estas son distintas armaduras para tejados:

a) Indica qué tipo de triángulos aparecen en cada armadura.

b) ¿Observas algún eje de simetría en estas estructuras? En las que tienen un eje, ¿dónde está situado?

c) Diseña una armadura para un tejado formada por triángulos acutángulos.

a) A, B y D: rectángulos y escalenos. C y E: isósceles y rectángulos

b) Sí, en todas salvo en la A. El eje es vertical y está situado en el centro de la figura.

c)

1 m

1,5 m

5 m


11.104. Los mosaicos

Tipos de mosaicos

Un mosaico es una agrupación de piezas que cubre totalmente una superficie plana sin que unas piezas se superpongan sobre las otras. Los tres tipos más importantes de mosaicos son:

Mosaicos regulares

Están formados por un solo tipo de polígono regular.

Mosaicos semirregulares

Están formados por dos o más polígonos regulares dispuestos siempre de la misma manera.

Mosaicos irregulares

Están formados por polígonos irregulares.

1. Observa este pavimento.

a) ¿Cuánto miden los ángulos de la baldosa?

b) ¿Cuál es la suma del conjunto de ángulos que se encuentran alrededor de un vértice?

a) 120º b) 360º

2. Esta baldosa tiene forma de pentágono regular.

a) ¿Cuánto suman los ángulos de 3 pentágonos regulares que tengan un vértice común? ¿Y de 4?

b) ¿Se puede embaldosar una superficie plana solamente con pentágonos regulares? ¿Por qué?

c) ¿Cuánto deben sumar los ángulos de las baldosas que están alrededor de un vértice?

d) ¿Cuáles de los polígonos permiten embaldosar el plano usando un solo tipo de baldosa?

a) 108 · 3 = 324º. No es posible que 4 pentágonos tengan un vértice común sin solaparse.

b) No, porque 108 · n ≠ 360, para cualquier n.

c) 360º

d) A y B

A B C


3. ¿Qué polígonos regulares permiten embaldosar un plano? Dibuja los mosaicos regulares posibles.

Triángulos, cuadrados y hexágonos

4. Observa estos mosaicos.

a) ¿Qué tipo de mosaico son?

b) Indica las medidas de los ángulos de los distintos polígonos que concurren en un vértice.

a) Semirregulares

b) El izquierdo: 150º + 90º + 120º; el derecho: 135º + 135º + 90º

5. Un fabricante de baldosas para pavimentos ornamentales tiene en el mercado estos modelos.

a) ¿Cuáles de las agrupaciones siguientes de baldosas permiten construir un mosaico?

Alrededor de un vértice y en el orden dado:

A. Triángulo, hexágono, triángulo, hexágono

B. Hexágono, triángulo, cuadrado, triángulo

C. Hexágono, cuadrado, triángulo, cuadrado

D. Octógono, triángulo, hexágono, triángulo

E. Cuadrado, triángulo, cuadrado, triángulo, triángulo

F. Octógono, hexágono, triángulo

b) Dibuja a mano alzada los mosaicos anteriores que se puedan construir.

a) A: 60 + 120 + 60 + 120 = 360 → sí B: 120 + 60 + 90 + 60 = 330 → no

C: 120 + 90 + 60 + 90 = 360 → sí D: 135 + 60 + 120 + 60 = 375 → no

E: 90 + 60 + 90 + 60 + 60 = 360 → sí F: 135 + 120 + 60 = 315 → no

b)


a) b) c) d)

a) b) c) d) e) f)

AUTOEVALUACIÓN

11.1. La figura muestra diferentes formas de unir con segmentos 5 puntos del plano. ¿Cuáles constituyen una línea poligonal?

b y c

11.2. ¿Qué propiedad debe cumplir un polígono para ser regular?

Tener sus ángulos y lados iguales.

11.3. Clasifica estos triángulos según los ángulos y la medida de los lados.

a) Acutángulo isósceles b) Escaleno obtusángulo c) Acutángulo equilátero

11.4. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 39° 45'. ¿Cuánto miden los demás ángulos?

90º y 50º 15'

11.5. Indica el nombre de estos paralelogramos.

a) Cuadrado b) Romboide c) Rombo d) Trapecio rectángulo e) Rectángulo f) Trapecio isósceles

11.6. Dos lados de un romboide miden 18 y 23 cm respectivamente. Calcula su perímetro.

18 · 2 + 23 · 2 = 82 cm

11.7. a) Te dicen que dos de los lados de un triángulo isósceles miden 9 y 5 cm. ¿Queda determinado el triángulo? ¿Por qué?

b) Te dicen que dos de los lados de un triángulo isósceles miden 9 y 3 cm, respectivamente. ¿Queda determinado el triángulo?

a) No, porque el tercer lado puede medir tanto 9 como 5 cm.

b) Sí, porque necesariamente el tercer lado mide 9 cm, y al conocer los tres lados podemos construirlo.

11.8. Construye un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, 85º. Señala el circuncentro y el baricentro.

a) b) c)

C

G

4 cm4

cm

85º


??

107°

?

79°?

97°

a) b) c) d)

11.9. ¿Cómo se llama el punto donde se cortan las alturas de un triángulo? ¿Y el punto donde se cortan las medianas?

Las alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en el baricentro.

11.10. Una circunferencia tiene una longitud de 104 cm. ¿Cuál es su diámetro? ¿Y su radio?

104 : 3,14 = 33,121 cm de diámetro. 16,5605 cm de radio

11.11. Determina el valor de los ángulos desconocidos.

a) 48,5º b) 158º c) 214º d) 90º

11.12. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un romboide? ¿Y un pentágono regular?

El romboide, ninguno, y el pentágono, cinco.


APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

Cuadriláteros de cinco puntas

En esta estrella de cinco puntas hay diez cuadriláteros. ¿Puedes encontrarlos?

Hay 5 cuadriláteros con la forma señalada en la primera ilustración, y otros 5 con la de la segunda.

El reloj de arena

¿Cómo medirías 4 min si solamente dispones de dos relojes de arena: uno que mide 3 min y otro que mide 7 min?

Ponemos los dos relojes a la vez. Cuando acabe el de 3 min, quedarán exactamente 4 min en el otro reloj.

*Los palillos

Cambiando de lugar cuatro palillos, convierte los cuatro cuadrados en tres, y cambiando de lugar dos palillos, convierte los cinco cuadrados en tan solo cuatro. No es difícil. Solamente se requiere un poco de ingenio y paciencia.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, M.ª Ángeles Anaya, Rafaela Arévalo, José Luis González, Rafael A. Martínez Edición: Pedro Machín, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz, José Santos Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Boé; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrión; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; ÍNDEX; PAISAJES ESPAÑOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogáfico Nacional Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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