11 Elementos del movimiento.ppt

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Elementos del movimiento

Unidad 11


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Contenidos (1)

1.- Introducción.

2.- Magnitudes escalares y vectoriales.

3.-Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.

4.- Operaciones con vectores.

.- !rayectoria, posición y desplazamiento.".- #elocidad media e instantánea (introducción al

concepto de derivada).


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Contenidos (2)

$.- %celeraci&n media e instantánea.

'.-Componentes intrnsecas de la aceleraci&n tangencial y normal..


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Magnitudes escalares y

vectoriales• *scalares*scalares uedan per!ectamente de!inidas con una

cantidad (n"mero) y una unidad

# E$emplo% el tiempo ⇒ & s' la masa ⇒ g.

• #ectoriales (vectores)#ectoriales

(vectores) *e caracterizan por% # M&dulo (cantidad y unidad). *e representa por la longitud del

vector. Es la parte escalar.

# +irecci&n es la recta ue contiene el vector.

# Sentido indicado por la punta de la !lec+a. # ,unto de aplicaci&n origen de la !lec+a.

# E$emplo% la posición, velocidad, !uerza...

R E P A S O

R E P A S O


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*istema de re!erencia y movimiento

• Es un punto del espacio respecto al cual

descriimos el movimiento.

•Un o$eto se encuentra en movimientomovimiento si camiasu posición respecto al sistema de re!erencia.

• -os sistemas de re!erencia cuentan a su vez con

uno (), dos (,y) o tres e$es (,y,z),

perpendiculares entre s/, seg"n traa$emos en una

recta, en un plano, o en el espacio.


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0epresentación de un sistema de

re!erencia tridimensional.• *ore cada e$e se

toma como unidad

de medida losvectores unitarios

(módulo igual a 1)%

# i sore el e$e # $ sore el e$e y

# sore el e$e z

$

y

zi


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ectores

• *e representan con una !lec+a encima de la letraue utilizada para dic+a magnitud.

• *e suelen epresar en !orma cartesiana en donde

a., ay y az son sus componentes cartesianas%• → → → → a 2 a. 3 i 4 ay 3 $ 4 az 3

• 5 partir de a+ora, los vectores los escriiremos en

negrita y di!erente color para mayor comodidad%• a 2 a. 3 i 4 ay 3 4 az 3

• en donde i, y representan los vectores unitariossore los e$es , y, z.


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• *ean dos vectores% a 2 a. 3 i 4 ay 3 4 az 3 y / 2 . 3 i 4 y 3 4 z 3

• El vector suma vendrá dado por%

a 4 / 2 (a. 4 .) 3 i 4 (ay 4 y) 3 4 (az 4 z) 3 • *emplo *ean

a 2 & i 4 6

y / 2 6 i # & a 4 / 2 (&46) i 4 (6 #&)

2 7 i #

y

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*uma de vectores

a

/


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8álculo del módulo de un vector.

• *ean un vector% a 2 a. 3 i 4 ay 3 4 az 3 • El módulo de a, ue se representa como 9a9 se

calcula aplicando el teorema de :itágoras%

• ;;;;;;;;;;;; 9a9 2 a.6 4 ay6 4 az6

• *emplo En el vector anterior c 2 a 4 /2 7 i #

• ;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;; ;;; 9a9 2 a.6 4 ay6 4 az6 2 76 4 (#1)6 4


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ector :osición ( r 2 r) .

• :ara un punto : de coordenadas (,y,z)

el vector posición viene dado por%

• r 2 3 i 4 y 3 4 z 3

r 2 6 i 4 6


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v 2 3 i 4 y 3

v 2 3 i 4 y 3 4 z 3

0epresentación de vectores posición

• En dos

dimensiones

• En tres

dimensiones


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Ecuación del movimiento

• -a ecuación ue proporciona la posición de

un o$eto con respecto al tiempo se llama

>ecuaci&n del movimientoecuaci&n del movimiento?%• r(t) 2 (t) 3 i 4 y(t) 3 4z(t) 3 • *emplo*emplo r(t) 2 @6t 3 i 4 (1#t) 3 4 (&t64A) 3 B m

• En el *.I. la unidad será el m.


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1<

y

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7 1<

E$ercicio% *ea el movimiento de!inido por la siCguiente ecuación r 2 6t i 4 en unidades del *.I.Diu$ar los vectores posición en los instantes


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Ecuaciones paramtricas.

• *on las ecuaciones ue relacionan cada

componente cartesiana con el tiempo.

• 2 !(t)' y 2 g(t)' z 2 +(t)• *on ecuaciones escalares (no vectores).

• *emplo* emplo En el vector%

r(t) 2 @6t3i 4 (1#t) 3 4 (&t64A)3 B m• las ecuaciones paramtricas ser/an%

• 2 6t ' y 2 1 # t ' z 2 &t6 4 A


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Frayectoria

• Es la l/nea ue sigue el

movimiento.

• -os di!erentes puntosde dic+a l/nea se

otienen dando valores

a >t? en la ecuación del

movimiento

(paramtricas).

y


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Ecuaciones de la trayectoria.

• *e otienen despe$ando el parámetro (tiempo) en unaecuación y sustituyendo el valor en la otra.

• *on ecuaciones escalares (no vectores).

• *emplo* emplo r(t) 2 @6t3i 4 (1#t) 3 4 (&t64A)3 B m• 2 6t ' y 2 1 # t ' z 2 &t6 4 A

• t 2 G6 ⇒ y 2 1 # G6 ' z 2 &6GA 4 A

• En el caso del espacio idimensional, "nicamenteeiste una ecuación de la trayectoria% y 2 !().


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E$ercicio% Determinar las ecuaciones paramtricasy de la trayectoria del siguiente movimiento

epresado por la ecuación%

r(t) 2 @(t # 6)3i 4 (6t6 4 At #& )3 B m• *cuaciones param0tricas• t 2 y 2t2 5 4t 3

• Despe$ando >t?de la 1H ecuación% t 2 4 6• sustituyendo en la segunda%

• y 2 6 ( 4 6)6 4 A3( 4 6) #&

• y 2 6 ( 6 4 A 4 A) 4 A3( 4 6) #&

• y 2 6 6 4 4 4 A 4 #&

• *cuaci&n de la trayectoria y 2 2 5 12 5 13


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E$ercicio% Determina el valor del vector posición delvector % r(t) 2 @&t 3 i 4 (6t6 # =) 3 B m en losinstantes de tiempo t 2


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E$ercicio% 0epresenta grá!icamente la ecuaciónanterior% (


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ector desplazamiento (∆r 2 r)• Es el vector di!erencia de dos vectores de posición en dos

momentos distintos.

• *ean r8 2


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E$ercicio% 8uál será el vector desplazamiento ycuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior%

r(t) 2 &t 3 i 4 (6t6 # =) 3 en unidades del *.I entrelos instantes t 2 6 s y t 2 A s.

• r1 (t 26 s) 2 (= i 4 6 ) mr2 (t2 A s) 2 (16 i 4 6= ) m

∀ r 2 r2 # r1 2 ∆ i 4 ∆ y 4 ∆z 2

• @(16 # =) i 4 (6= # 6) B m

• r 2 (= i 4 6A ) m• JJJ# JJJ#

r2 √ =6 4 6A6 m 2 √&= 4 7K= m 2 249$4 m 249$4 m


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Espacio recorrido (∆s)• Es una magnitud escalar ue mide la longitud de trayectoria

recorrida.

• :O +ay ue con!undir con el vector desplazaC

miento, aunue en traC

yectorias rectil/neas y

ue no camien de senC

tido el movimiento

∆s 2 r• En el *.I. la unidad será el m.

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→elocidad media (vm 2 vm)

• r ∆ i 4 ∆ y 4 ∆z vm 2 J 2 JJJJJJJJ

∆t ∆t

• ∆ ∆y ∆zvm 2 JJ i 4 JJ 4 JJ ∆t ∆t ∆t

vm 2 vm i 4 vmy 4 vmz

• El módulo del vector vm

toma el valor%

JJJJJJJ vm2 √ vm6 4 vmy6 4 vmz6

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elocidad media (continuación)

• -a dirección y el sentido son los mismos ue los del vectordesplazamiento r ya ue ∆t es un escalar.

• :O +ay ue con!undir vm con el escalar ∆sG∆t ue, en L/sica,llamaremos rapidez o celeridad media.

• i siuiera vmtiene poru coincidir con la rapidez oceleridad media.

# *emplo un corredor ue da una vuelta completa a un circuitotendrá vm 2 < ya ue r 2


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E$ercicio% 8alcular la velocidad media entre los

instantes t 2 6s y t 2 7, as/ como su módulo en elmovimiento% r(t) 2 @(6t6 # A) 3 i 4 (1 # At) 3 B mr1 (t 26 s) 2 (A i # K ) m

r2 (t 27 s) 2 (A= i # 1N ) m

r (6s→7s) 2 r2 # r1 2 (A6 i # 16 ) m r (A6 i # 16 ) m

vm (6s→7s) 2 J 2 JJJJJJ 2 (1A i # A ) mGs ∆t 7 s # 6 s

JJJJJJJJJvm (6s→7s)2 √ (1A mGs)6 4 (# A mGs)6 2 1A,7= mGs

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→elocidad instantánea (v 2 v)

• Es el valor l/mite ue toma la velocidad media cuandolos intervalos de tiempo ∆t van aproimándose a


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27E$emplo% 8alcular la velocidad instantáneaaproimaCda (∆ t 2


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E$ercicio% 8alcular la velocidad instantánea más

aproimada en el instante t 2 6s, as/ como su móduloen el movimiento% r(t) 2 @&t 3 i 4 (6t6 # =) 3 B m• *i ueremos calcular v (t26 s) de !orma más aproimada deeremostomar un ∆ t a"n menor, por e$emplo


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8omponentes cartesianas de la

velocidad instantánea v• r ∆ i 4 ∆ y 4 ∆z

v 2 lim J 2 lim JJJJJJJJ ∆t→


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elocidad instantánea (cont.)

• -a dirección de v es tangente a la trayectoria enel instante en el ue calculemos la velocidad.

• El sentido es el del movimiento.

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E$emplo% 8alcular la epresión del vectorvelocidad del movimiento anterior%

r(t) 2 @&t 3 i 4 (6t6 # =) 3 B m y la velocidad enlos instantes


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E$emplo (continuación)% 8alcular la epresióndel vector velocidad del movimiento anterior

r(t) 2 @&t 3 i 4 (6t6 # =) 3 B m y la velocidad en losinstantes


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5celeración media (am 2 am)

• -a de!inición es similar a la de la velocidad, si ientiene un signi!icado totalmente distinto, pues indica lavariación de velocidad con el tiempo.

• v ∆v i 4 ∆ v

y 4 ∆vz am 2 J 2 JJJJJJJJJ

∆t ∆t

• am 2 am i 4 amy 4 amz

• En el *.I. la unidad será el mGs6.

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5celeración instantánea (a 2 a).

• v ∆v i 4 ∆vy 4 ∆vz a 2 lim J 2 lim JJJJJJJJJ

∆t→


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E$emplo% 8alcular la epresión del vector aceleraCción del movimiento anterior r(t) 2 &t3i 4 (6t6 #=)3 ,

cuyo vector velocidad era v 2 & i 4 At en losinstantes t?.• J a (mGs6) 2 √A6 mGs6 2 A mGs6

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http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/


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8omponentes intr/nsecas de la

aceleración• ;nicamente en los moviC

mientos rectil/neos a tienela misma dirección y senC

tido ue v. En general, atiene una dirección y senCtido +acia dentro de la

curva, con lo ue normalC

mente se descompone en

dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel.normal) tangente y perpendicular a la

trayectoria.

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8 t i t / d l


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8omponentes intr/nsecas de la

aceleración (at y an)• a 2 at 4 an 2 at 3ut 4 an3un

siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular ala trayectoria en el punto en el ue calculamos la aceleración.

• ∆v dv v6 a

t2a

t2 lim JJ 2 JJ ' a

n2a

n2 JJ

∆t→


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E$emplo% Un coc+e de carreras toma la salida en una pistacircular de 1 m de radio. El módulo de la velocidad

aumenta seg"n la ecuación% v(t) 2 K t, en unidades del *I.

8alcula% a)a) la aceleración tangencial' /)/) la aceleraciónnormal y el módulo del vector a a los = s.a)a) dv K(t4∆t) # Kt Kt 4 K ∆t # Kt K ∆t

at 2 JJ 2 JJJJJ 2 JJJJJJ 2 JJ 2 K mGs6 dt ∆t ∆t ∆t

aatt $ ut m6s2 /)/)

v6 AN t6 m63sC6an 2 JJ 2 JJJJJ

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