1Abstract— This work proposes a fully nonlinear model for a pneumatic process control valve. Since it reproduces stiction and hysteresis, it can be used as a tool for developing accurate control schemes for the whole process and/or facilitate the tuning of control parameters in "smart" process control valves. The performance of the model is evaluated experimentally.

Keywords— Process control, Valve control, Pneumatics.

I. INTRODUÇÃO LANTAS químicas possuem centenas de laços de controle cujo elemento final é uma válvula pneumática [1-3].

Assim, o funcionamento de tais válvulas afeta diversos aspectos como qualidade de produto, economia de matérias primas e redução da emissão de poluentes, entre outros.

Na maioria dos controladores de processo, a válvula é vista como um atuador “ideal”, que executa a ação de controle desejada de forma fiel e imediata [4-9]. No entanto, devido ao seu sistema pneumático de atuação, essas válvulas apresentam não linearidades importantes [10, 11], como a histerese de enchimento e esvaziamento de suas câmaras, e o agarramento devido ao atrito nas partes móveis. Assim, a abertura dessas válvulas pode apresentar erros e/ou atrasos em relação aos seus valores pretendidos, prejudicando o controle do processo [12-14]. A melhoria do controle em face deste e de outros problemas vem sendo abordado de diversas formas, incluindo lógica fuzzy [14], controle preditivo por evolução diferencial [15], controle adaptativo [16], e preditor de Smith [17]. Embora contemplem de algum modo os efeitos indesejados das válvulas, tais trabalhos se baseiam na interpretação do processo completo, sem atentar para as características intrínsecas das mesmas. Essa abordagem pode limitar significativamente o desempenho dos controladores em questão, por tentar compensar um efeito estritamente local (a dificuldade da válvula em responder de forma próxima ao ideal) por meio de uma ação de controle global, interferindo sobre outros aspectos do processo que não contribuem diretamente para a solução deste problema específico.

A necessidade de se aprimorar o desempenho das válvulas de controle de processos é evidenciada pelo surgimento, nos últimos anos, de válvulas "inteligentes", dotadas de laços de controle programáveis (via de regra, algoritmos PID), que facilitam a implantação de redes de controle distribuído. No entanto, ainda é difícil ajustar os parâmetros desses laços em face das não linearidades envolvidas, requerendo-se diversas tentativas para a obtenção de valores satisfatórios. Para 1 R. Schmitt, Refinaria Alberto Pasqualini, Canoas RS, Brazil. schmitt.ramon@gmail.com M. R. Sobczyk, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre RS, Brazil. mario.sobczyk.br@ieee.org Corresponding author: Mário Roland Sobczyk

facilitar tal ajuste, alguns trabalhos têm proposto modelos dinâmicos específicos para esses dispositivos. Em [18], por exemplo, eles são tratados como sistemas lineares de 1ª ordem com atraso de transporte. Outros [19-22] utilizam o modelo de um sistema mecânico submetido a forças de atrito não lineares, sem considerar a dinâmica de pressurização e despressurização do atuador. Por fim, em [1, 23], tais modelos mecânicos são acrescidos de um termo linear de 1ª ordem, que representa a dinâmica pneumática do sistema. Nenhum destes trabalhos considera os efeitos de assimetria inerentes aos processos de pressurização e despressurização do atuador. Em todos os casos aqui mencionados, as hipóteses simplificadoras utilizadas acabam por prejudicar significativamente a fidelidade dos modelos correspondentes frente à realidade.

Este trabalho propõe um modelo dinâmico de uma válvula pneumática de controle de processos, contemplando as não linearidades tanto mecânicas, devidas ao atrito, como da pressurização e despressurização da câmara do atuador, causadas pela compressibilidade do ar, reproduzindo assim os efeitos de histerese e agarramento de uma forma compatível com a constatada nos dispositivos reais. Como resultado, tal modelo pode ser entendido como uma ferramenta útil tanto para o projeto de controladores do processo como um todo, como para o ajuste local dos parâmetros de válvulas "inteligentes", pois contribui para aprimorar o realismo das condições de teste envolvidas em ambos procedimentos.

Este artigo está estruturado como segue. Na Seção II, apresenta-se a descrição do sistema e seus principais efeitos não lineares. A Seção III é dedicada ao desenvolvimento do modelo matemático proposto, enquanto sua avaliação experimental é descrita na Seção IV. Finalmente, as principais conclusões e perspectivas futuras são discutidas na Seção V.

II. APRESENTAÇÃO DO SISTEMA

Os elementos principais de uma válvula pneumática de controle de processo estão ilustrados esquematicamente na Figura 1, e podem ser descritos da seguinte forma:

(i) uma válvula de deslocamento linear, composta de haste e obturador;

(ii) um atuador pneumático, que aplica uma pressão de ar comprimido ! a um diafragma dotado de mola, regulando a abertura da válvula através da posição ! do conjunto haste+obturador;

(iii) uma servoválvula comandada por um controlador digital. O controlador compara a posição do obturador com seu valor desejado !!, calculando o sinal elétrico de controle ! a ser aplicado à servoválvula, cuja abertura regula a vazão de ar ! para pressurizar ou despressurizar o atuador.

P

Nonlinear Dynamic Modeling of a Pneumatic Process Control Valve

R. Schmitt, M. R. Sobczyk, Member, IEEE

1070 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

Figura 1. Válvula de controle de processo - diagrama esquemático. Pode-se perceber que esta válvula é um tipo particular de

servoposicionador pneumático, cuja configuração típica envolve um atuador, uma servoválvula e uma carga mecânica [34]. Neste caso, o conjunto haste+obturador assume o papel de carga mecânica e sua posição reflete a área de passagem do fluido cuja vazão se deseja regular.

As não linearidades relativas às válvulas pneumáticas de controle de processo podem ser de diversos tipos [1]. Por outro lado, os efeitos dessas não linearidades sobre a relação entrada(u)/saída(y) do sistema podem ser classificados em três categorias mais gerais [24], ilustradas na Figura 2:

(i) A histerese (h), onde y depende tanto do valor atual de u como do sentido de variação do mesmo.

(ii) A zona morta (zm), uma faixa de valores para os quais a variação de u não altera y, qualquer que seja o sentido de tal variação;

(iii) A banda morta (bm), onde, após inverter o sentido de variação, u pode continuar a variar sem causar mudança em y. Este efeito é similar à zona morta, mas pode ocorrer em qualquer parte da região de operação, pois depende principalmente do ato de inverter o sentido de variação da entrada (quando a válvula já se encontra aberta e é solicitada a reduzir a área de passagem, por exemplo).

Uma exposição mais abrangente desses efeitos não lineares e suas relações entrada-saída pode ser encontrada em [25].

Conforme discutido nas seções 3 e 4 deste trabalho, para a válvula em estudo, a histerese se deve às diferenças entre as dinâmicas de pressurização e despressurização do atuador pneumático. Por outro lado, a zona morta é um efeito geométrico: quando as dimensões do obturador são maiores que as do orifício correspondente, pequenos deslocamentos da haste não causam o desbloqueio deste último. Finalmente, a banda morta é causada por dois efeitos básicos: a folga entre os componentes mecânicos do sistema, que faz com que os deslocamentos de um não se reflitam necessariamente nos dos outros de forma imediata, e a combinação dos efeitos do atrito com a dinâmica de pressurização das câmaras do atuador. O modelo aqui proposto é capaz de representar os efeitos de histerese e banda morta. Por serem de natureza mais geométrica do que do princípio de funcionamento do sistema em estudo, a zona morta e a folga são desconsideradas. No entanto, elas podem ser adicionadas com facilidade ao modelo proposto, bastando acrescentar novas relações entrada-saída intermediárias aos sinais calculados aqui.

Figura 2. Válvula de controle de processo – efeitos não lineares mais comuns:

(a) histerese – h (b) zona morta – zm, (c), banda morta – bm.

III. DESENVOLVIMENTO DO MODELO Para modelar a válvula, é útil interpretá-la como dois

subsistemas conectados: um, mecânico, outro, pneumático. O primeiro refere-se ao deslocamento ! da haste e do obturador em função das forças aplicadas ao mesmo. No segundo, modela-se a regulagem da força pneumática aplicada à haste, por meio do controle da pressão do atuador em função do sinal elétrico ! aplicado à servoválvula. Em ambos os casos, os principais efeitos não lineares comumente encontrados em sistemas do gênero são levados em consideração.

Subsistema mecânico A dinâmica do movimento do conjunto haste+obturador da

válvula é modelada por meio da 2ª Lei de Newton:

!! = !! − !! − !! (1) onde ! é a massa do conjunto, ! é a aceleração do mesmo, !! = !(! − !!"#) é a força aplicada pelo atuador pneumático, sendo ! a área do diafragma, !! = !" é a força da mola, em que ! é a constante elástica da mesma, e !! é a força de atrito, que será abordada a seguir. Além dessas forças, a haste ainda está submetida a outras duas: uma é devida à reação do fluido em movimento através do orifício da válvula, a outra, ao assentamento do obturador quando a válvula está totalmente bloqueada. A primeira dessas forças é cerca de duas ordens de grandeza menor do que as demais [1, 20], enquanto a segunda não tem efeito fora da posição de bloqueio total. Por essas razões, os termos referentes a tais forças são desprezados.

Modelagem do atrito A força de atrito possui dois aspectos distintos: o primeiro

é denominado atrito viscoso, sendo representando por uma força diretamente proporcional à velocidade. O segundo é o atrito seco, cujo comportamento fortemente não linear com respeito à mesma velocidade é ilustrado na Figura 3.

Figura 3. Força de atrito seco e sua aproximação pelo modelo de Karnopp.

SCHMITT AND SOBCZYK SOBRINHO: NONLINEAR DYNAMIC MODELING 1071

Figura 4. Efeitos de agarramento e salto de deslizamento.

Um aspecto crítico do atrito seco é a rápida transição entre seus valores estático !! e cinético (ou de Coulomb) !! , cujos efeitos podem ser entendidos com o auxílio da Fig. 4. Na parte (a), representa-se uma massa puxada por uma mola e sujeita a atrito seco com seu plano de apoio. Partindo do repouso, o deslocamento ! da massa só ocorre quando o deslocamento de entrada ! é suficiente para a força da mola superar a do atrito estático, gerando uma faixa em que a variação de ! não se reflete em !, caracterizando o agarramento do bloco. Quando este último começa a se mover, a força de atrito cai rapidamente, causando um movimento abrupto chamado salto de deslizamento. Ao relaxar, a mola volta a exercer uma força inferior à do atrito, causando a desaceleração e nova parada do bloco. Então, o processo se repete, gerando um movimento denominado adere-desliza (stick-slip), representado na Figura 4(b). Na válvula pneumática de controle de processos, o fenômeno é o mesmo: o obturador exerce o papel da massa sob atrito, enquanto a mola é complementada pelo atuador pneumático. Assim, o agarramento e o salto de deslizamento são efeitos comuns nesses dispositivos.

A modelagem do atrito em atuadores pneumáticos vem sendo abordada extensivamente [10, 11, 26-29]. Para válvulas de controle de processos, de acordo com [20], resultados satisfatórios vêm sendo obtidos com os modelos LuGre [30] e de Karnopp [31], O modelo LuGre é dinâmico, podendo representar diversos fenômenos devidos ao atrito seco. Todavia, sua implementação depende de parâmetros de difícil identificação experimental [32, 33]. Por outro lado, o modelo de Karnopp também representa os efeitos de interesse neste trabalho, mas possui uma estrutura estática, e seus parâmetros são de identificação mais acessível. Assim, neste trabalho, o atrito é representado através do modelo de Karnopp, cujo comportamento também é dado na Figura 3. Nesse modelo, a força de atrito é caracterizada em três fases, determinadas pela comparação da velocidade do sistema com um limite !":

!! =!! , ! < !" ! !! < !! !!!"# !! , ! < !" ! !! < !!!!!"# ! + !!, ! > !"

(2)

onde !! é a resultante das demais forças atuando no sistema. As condições da Eq. (2) descrevem as três fases em questão: na primeira linha, a válvula ainda está presa. A seguir, o sistema se encontra na iminência do movimento. Finalmente, quando a velocidade da haste supera o limite DV, a força de atrito seco passa a apresentar o valor constante !!, enquanto a de atrito viscoso é considerada por meio do termo !!.

Subsistema pneumático Este subsistema compreende três fenômenos: a variação da

pressão ! no interior da câmara do atuador; a vazão mássica ! de ar que que causa tal variação, regulada por meio da abertura da servoválvula; o ajuste de tal área por meio da aplicação de uma tensão elétrica de controle !. Para modelar a variação da pressão, aplica-se a lei da conservação da energia a sistemas termodinâmicos de forma similar à apresentada em [34, 35]. Considere-se a taxa de variação da energia interna ! do ar contido na câmara do atuador, dada por [34, 36]: ! = !!!! + !!!! = !!!!!" − !! − ℎ!∆!, (3) onde ! e ! são respectivamente a temperatura e a massa do ar na câmara, !! e !! são, nesta ordem, os calores específicos do ar a volume e pressão constantes, !!" é a temperatura do ar vindo do suprimento, ! é a taxa de variação do volume da câmara, e ℎ!∆! é a potência calorífica dissipada através das paredes do atuador, sendo ℎ coeficiente de troca de calor, ! a área das paredes e ∆! a diferença entre as temperaturas do ar na câmara e no ambiente. Assumindo que as diferenças de temperatura entre os diferentes acumuladores do sistema (reservatório de suprimento, câmara do atuador e ambiente) sejam desprezíveis, e definindo ! = !!/!! como a razão entre os calores específicos do ar, a expressão (3) se reduz a: !! = !"# − !! !! (4)

A massa de ar no interior da câmara pode ser escrita como ! = !", onde ! é a massa específica do ar. A partir da lei geral dos gases perfeitos, tem-se ! = ! !", onde ! é a constante de gás para o ar comprimido. O volume total da câmara do atuador é ! = !" + !!, sendo !! o volume morto da mesma. Finalmente, substituindo ! = !!/!! na relação de Mayer ! = !! − !!, pode-se mostrar que !! = !/(! − 1). Assim, utilizando estas relações auxiliares e isolando a taxa de variação da pressão no interior da câmara, obtém-se:

! = − !"!

!"!!!! + !"#

!"!!!! (5)

A modelagem da vazão mássica através da servoválvula se

baseia na Figura 5, que descreve um estrangulamento cuja área de passagem !! é muito menor que a área da tubulação onde está inserida. Os sub-índices m e j identificam, respectivamente, as regiões à montante e à jusante do orifício. Para equacionar o problema a partir do princípio da conservação da energia, essa região é modelada como uma tubulação cujo diâmetro se reduz gradualmente até que sua área de passagem corresponda à do orifício original.

Figura 5. Estrangulamento de vazão em uma seção de tubulação, com sistema equivalente usado na sua modelagem.

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Derivando ! = !" quanto ao tempo e assumindo que o ar

se distribua uniformemente na região de área !!, tem-se: ! = !! = !!!!!! (6)

Uma vez que o orifício é de pequenas dimensões, a transformação sofrida pelo ar ao passar pelo mesmo é rápida, podendo ser aproximada como adiabática. Além disso, como a área do orifício é muito menor que a da tubulação, tem-se !! ≪ !!, de modo que o efeito de !! pode ser desprezado. Assim, a velocidade do ar ao passar pelo orifício pode ser calculada a partir da variação de sua entalpia:

! !!! − !!! 2 = !!! !! − !! → !! = 2!! !! − !! (7)

As definições de !! e !! dependem da temperatura e da

pressão à jusante do orifício. Como essas quantidades são de medição muito difícil na prática, é desejável reescrevê-las em termos de variáveis mais acessíveis. Isso pode ser feito combinando-se de formas diferentes a lei geral dos gases ideais, a relação de Mayer e a equação característica para processos isentrópicos !!! = !!, onde !! é uma constante, de modo a obter as seguintes relações auxiliares: !! = !!(!!/!!)(!!!) !!! = !!(!!/!!)! !

!! = !"/(! − 1) (8)

Substituindo !! = !! !!! . e as expressões (7) e (8) na Eq. (6), obtém-se:

! = !!!! !!!!!

!!" (!!/!!)! ! − (!!/!!)(!!!) ! (9)

Conforme a Eq. (9), a vazão na servoválvula depende das

pressões sobre o orifício e da área de passagem !! do mesmo. Esta área é função do sinal de controle ! da servoválvula. Em geral, esta última é construída de forma que tal função seja linear, com dinâmica interna de 40 a 50 vezes mais rápida que a do atuador a ser controlado, de modo que !! ≅ !!!, onde !! é uma constante característica da servoválvula [34]. Quanto às pressões, se a válvula estiver se abrindo, a câmara do atuador será pressurizada, tornando !! igual à pressão de suprimento !! e !! = !. Durante seu fechamento, a câmara é despressurizada, de modo que !! = ! e !! se iguala à pressão atmosférica !!. Este fato deixa clara a histerese da válvula de controle de processos, pois as vazões de abertura !! e fechamento !! são diferentes para um mesmo sinal de controle. Finalmente, conforme exposto em [37], a Eq. (9) possui validade restrita à região subsônica de operação do sistema, caracterizada por uma diferença pequena entre as pressões à montante e à jusante (!!/!! ≥ 0,528). Para razões menores, o escoamento se torna sônico, saturando a vazão mássica. Assim, a descrição geral da vazão mássica através da servoválvula é dada por

!! =!!!!! !!

!!! !"!!!

!! − !!

!

!!!! ,

!!! ≥ 0,528

!!!!! !!"

!!!!

!!!!!! , !!

! < 0,528

(10)

!! =!!!" !!

!!! !"!!!

!! − !

!!

!!!! ,

!!!≥ 0,528

!!!" !!"

!!!!

!!!!!! , !

!!< 0,528

(11)

O modelo não linear da válvula pneumática de controle de

processos é dado pelas equações (1), (2), (5) e (10) ou (11), de acordo com o comando desejado (abertura ou fechamento).

IV. AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL

Nesta seção, avalia-se o modelo proposto pela comparação entre simulações e experimentos. Para que o procedimento completo de validação fosse realizado, seria preciso ter pleno acesso ao aparato experimental apropriado, incluindo sua desmontagem para a verificação de características internas. No entanto, por ser de uso compartilhado, a válvula disponível era de acesso restrito, o que impedia o levantamento de todos os parâmetros necessários. Por essa razão, a avaliação foi feita de forma indireta, em duas etapas: primeiro, buscou-se reproduzir os resultados de outros trabalhos, baseados em aparatos similares, onde os parâmetros pertinentes fossem informados; depois, o equipamento disponível foi utilizado em testes adicionais, onde o modelo proposto foi solicitado a simular o comportamento do sistema sob condições similares.

Na primeira etapa, foram usados os parâmetros de uma válvula Fisher FSNT-217 e um atuador pneumático Fisher FS-657, simulando o modelo proposto sob as mesmas condições discutidas em [3, 24]. A válvula em questão possui curso útil ! = 29 mm, volume morto !! = 634 cm³, e área efetiva de diafragma ! = 0,0445 m². A massa ! das partes móveis é 1,6 kg, e a constante elástica da mola ! vale 215,5 kN/m (± 5%). Dois conjuntos de parâmetros foram usados no modelo de atrito de Karnopp, conforme ilustrado na Tabela I, para representar os dois extremos de operação das juntas da gaxeta da válvula: levemente apertadas (atrito baixo) e fortemente apertadas (atrito severo).

TABELA I

PARÂMETROS DO MODELO DE ATRITO DE KARNOPP.

!! (Ns/m) !! (N) !! (N) !" (m/s) Atrito baixo 4865 157,5 157,5 1,52 ×10-4 Atrito severo 2,32×104 684 773 1,52 ×10-4

Os parâmetros da servoválvula que regula a pressurização

do atuador não são informados nos trabalhos consultados. Por essa razão, usaram-se os dados da servoválvula Smar FY-302, que equipa a bancada experimental disponível no Grupo de Controle, Automação e Robótica da Universidade Federal do

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Rio Grande do Sul (GCAR – UFRGS). Sua vazão nominal é !! = 3 SCFM, isto é, 3 pés cúbicos (aproximadamente 68 litros) por minuto na comumente denominada “condição padrão”: ar seco à pressão atmosférica, com temperatura de 15,6ºC. De acordo com [34], para tal “condição padrão”, !! depende do diâmetro ! do orifício de acordo com a expressão aproximada !!=37,6!!, o que permite estimar uma área máxima de orifício !! ≅ 1,43 mm2. O sinal de controle aplicado à servoválvula é uma corrente elétrica variando entre 4 mA e 20 mA. Os demais parâmetros necessários referem-se às propriedades do ar provindo do sistema de suprimento: temperatura !=293,15 K, pressão atmosférica !! = 105 Pa, pressão de suprimento !! = 239,2 kPa (20 psig), constantes características do ar comprimido ! = 288 J/kg K e ! = 1,4.

No primeiro teste, simulou-se a válvula operando em malha aberta, sendo solicitada a variar regularmente entre dois níveis de pressão no interior da câmara de atuação: 41,74 kPa e 206,84 kPa, correspondendo, respectivamente, a 15% e 75% do curso útil da mesma. O período da solicitação foi de 10,4 s. Os resultados da simulação do modelo proposto são dados na Fig. 6, e indicam grande semelhança qualitativa com os dados experimentais obtidos em [3]. A diferença mais significativa refere-se ao tempo de assentamento previsto pelo modelo proposto, em torno de 3,7 s, enquanto o resultado experimental correspondente é de cerca de 2,8 s. A causa mais provável dessa discrepância está na área de passagem da servoválvula que regula a pressurização do atuador, uma vez que seu valor real não é conhecido.

No segundo teste, variou-se novamente a pressão solicitada entre os mesmos valores extremos, mas de modo que o deslocamento desejado do conjunto haste+obturador ocorresse a velocidade constante. Neste caso, para uma válvula ideal, o gráfico relacionando uma entrada em pressão desejada e uma saída em deslocamento da haste resultaria em uma reta. No entanto, obteve-se uma banda morta cujas dimensões dependem dos parâmetros do modelo de atrito. Tal efeito está ilustrado na Fig. 7, e concorda com os resultados experimentais apresentados em [3] inclusive em termos quantitativos. O padrão da figura pode ser explicado pela relação entre a força de atrito e a dinâmica de pressurização do atuador: partindo do repouso, quando a válvula é solicitada a abrir mais, a força de atrito estático retém o obturador, caracterizando o agarramento, até que a pressão na câmara do atuador seja suficiente para vencer este efeito. Depois, quando a abertura inicial é novamente solicitada, é necessário esperar que a câmara se despressurize até que a mola de retorno suplante a força de atrito no sentido oposto.

Ainda sobre a Fig. 7, cabe ressaltar o comportamento ilustrado na vista em detalhe: quando a força de atrito é severa, em vez de passar imediatamente a um segmento de reta, a posição da haste dá um pequeno salto, acompanhado de uma redução na pressão aplicada pelo atuador. Este fenômeno caracteriza o salto de deslizamento da válvula, devido à diferença significativa entre as forças de atrito estática e cinética. Quanto à redução da pressão, esta se deve à expansão rápida da câmara durante o salto, conforme previsto pela Eq. (5) no que se refere à dependência da velocidade.

Figura 6. Simulação do modelo proposto para as mesmas condições dos experimentos realizados em [3,23].

Figura 7. Banda morta prevista pelo modelo proposto para as mesmas condições dos experimentos realizados em [3,23].

O terceiro teste consistiu em simular a operação da válvula em malha fechada, usando-se um controlador PID ajustado na bancada experimental disponível no Grupo de Controle, Automação e Robótica desta universidade (GCAR – UFRGS). Neste caso, devido ao uso compartilhado, não foi possível identificar os parâmetros do sistema que seriam necessários para a implantação do modelo. Assim, tais valores foram mantidos os mesmos já usados no teste anterior, de forma que a comparação com o resultado experimental só pode ser feita de forma qualitativa. Os ganhos foram obtidos com a função auto tuning da válvula experimental: !! = 0,76, !! = 1,89, !! = 0,03. Os resultados correspondentes são ilustrados na Fig.8. Embora sua avaliação seja limitada a aspectos qualitativos, é evidente que o modelo proposto representa um aspecto fundamental do comportamento do sistema real: o ciclo limite, que é causado pelo agarramento da válvula em combinação com o tempo necessário para que a câmara do atuador se pressurize ou despressurize adequadamente.

Figura 8. Avaliação do modelo proposto, ensaio a malha fechada.

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V. CONCLUSÃO

O modelo proposto fornece previsões coerentes com os resultados levantados tanto localmente quanto na literatura. Em particular, o modelo reproduz efeitos importantes da operação de uma válvula real de controle de processos, como histerese, agarramento, e suas consequências diretas, banda morta e ciclo limite. Assim, o modelo proposto pode ser considerado uma ferramenta válida de análise das válvulas em questão. No futuro, pretende-se aprofundar a validação experimental do modelo, e então, utilizá-lo para desenvolver novas abordagens de controle de processos.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem aos professores Luciola Campestrini e Diego Eckhard, do GCAR – UFRGS, pelo acesso à válvula utilizada na parte experimental deste trabalho.

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RamonSchmittwasborninFeliz,Brazil,in1987.Hereceivedthe degree of Control and Automation Engineer fromUniversidade Federal doRioGrandedo Sul, Brazil, in 2016.Currently,heisapracticingEngineeratAlbertoPasqualiniOilRefinery,inCanoas,Brazil.

Mário R. Sobczyk is with the Mechanical EngineeringDepartment of Universidade Federal do Rio Grande do Sul(UFRGS), Brazil, where he obtained his Doctor Degree inMechanical Engineering in 2009. His research interests arefocused on the modelling, analysis and control of fluid-mechanical and electromechanical systems, with emphasisonthemodellingandcompensationofdry-frictionforces.

SCHMITT AND SOBCZYK SOBRINHO: NONLINEAR DYNAMIC MODELING 1075