1

ELPSA- Kerangka Kerja Pengembangan Pembelajaran Matematika

Tom Lowrie & Sitti Maesuri Patahuddin

University of Canberra 28 Januari 2015

Dipresentasikan pada Workshop ELPSA di IKIP Mataram

This work is part of an initiative Promoting mathematics engagement and learning opportunities for disadvantaged communities in West Nusa Tenggara, Indonesia (DFAT Agreement 70861), an Australian aid project funded by the Australian Department of Foreign Affairs and Trade.

2

ELPSA- Kerangka Kerja Pengembangan Pembelajaran Matematika

Rasional Sehubungan dengan tugas guru dalam membelajarkan siswa secara efektif, guru penting memiliki sebuah alat yang praktis dan mudah dipahami untuk merancang suatu pembelajaran matematika bagi siswanya. Alat yang dimaksud bersesuaian dengan bagaimana seorang individu mengembangkan konsep matematika secara bermakna. Dalam situasi pembelajaran di kelas, para guru sering berkonsentrasi menyajikan ide matematika dalam bentuk simbol. Meskipun penggunaan simbol merupakan hal kritis bagi siswa untuk mengembangkan pemikiran yang fleksibel, pemahaman symbol secara mendalam hanya dapat dicapai ketika ide matematika tersebut disajikan dengan cara sedemikian sehingga representasi simbol itu dibutuhkan oleh siswa. Terdapat beberapa pandangan tentang bagaimana para siswa mengembangkan konsep atau membangun berpikir abstrak. Sebagai contoh, seperti yang dijelaskan oleh Liebeck (1984). Menurutnya, matematika adalah suatu abstraksi dari realitas dimana dalam proses abstraksi tersebut, suatu urutan kejadian khusus terjadi dalam pembentukan konsep yang mengarah pada pemahaman. Dalam modelnya, urutan yang dimaksud adalah E (experience = pengalaman); L (language that describes the experience = bahasa yang mendeskripsikan pengalaman); P (pictures that represent the experience = gambar yang menyajikan pengalaman tersebut); and S (written symbols that generalise the experience = simbol tertulis yang menyatakan pengalaman secara umum atau bersifat general). Kami memperluas tahapan ini dengan menambah unsur Aplikasi atau penerapan. Tahapan ini menggambarkan bagaimana pengetahuan yang telah diperoleh dapat diterapkan dalam bermacam-macam situasi. Meskipun kami menggunakan kerangka kerja ini untuk merancang satu pelajaran matematika untuk satu pertemuan, atau untuk satu topik pelajaran

3

dalam kurikulum matematika, namun kerangka kerja ini juga dapat digunakan dalam pelajaran atau disiplin ilmu lainnya. Untuk memperjelas ide ini, maka akan disajikan analogi yang menggambarkan bagaimana seorang individu memperoleh pemahaman tentang sebuah konsep Kucing. Proses perolehan pemahaman ini dapat membutuhkan bertahun-tahun untuk bisa mengarah pada pemahaman mendalam tentang kata kucing tersebut. Bahkan kenyataannya, komponen aplikasi ini mungkin saja tidak dicapai oleh seorang individu selama hidupnya. ELPSA dengan elemen Pengalaman, Bahasa, Gambar, Simbol dan Aplikasi didasarkan pada teori-teori pembelajaran konstruktivisme dan sifatnya sosial. Kerangka ELPSA melihat pembelajaran sebagai suatu proses aktif dimana para siswa mengkonstruksi sendiri caranya dalam memahami sesuatu melalui proses berpikir secara individu dan interaksi sosial dengan orang lain. Namun demikian, penting dingat bahwa ELPSA bukan proses yang linier. Pembelajaran adalah proses kompleks yang tidak dapat diprediksi sepenuhnya dan tidak terjadi dalam urutan linear. Dengan demikian elemen-elemen ELPSA dapat dipikirkan sebagai elemen-elemen yang saling berhubungan dan melengkapi. Sebagai contoh, dalam pengembangan bahasa dan pemahaman arti kata kucing, proses berikut ini terjadi. Experiences = Pengalaman

Seorang anak kecil mungkin mendengar kata kucing ketika suatu makhluk kecil dan berbulu diberikan sebuah mangkuk hijau berisi sesuatu yang berbau di dalamnya. Proses ini mungkin berlangsung setiap hari selama berbulan-bulan (ini disebut pengalaman). Language development = Pengembangan bahasa

Ibu dari anak tersebut mungkin berkata, Ada yang sudah memberi makan kucing atau belum? Pada suatu hari yang luar biasa anak tersebut mungkin akan menyebut kata kucing ketika binatang yang berbulu tersebut lewat di hadapannya. Ini disebut pengembangan bahasa. Pictorial representation = Representasi gambar

Orang tua anak tersebut mungkin memeluknya dan berkata, Anak pintar. Ya, itu adalah kucing. Pada suatu hari ketika sedang berjalan-jalan, anak tersebut

4

menyebut kucing untuk suatu makhluk yang berbulu coklat. Orang tuanya pun berkataBukan, itu bukan kucing, tapi itu anjing. Kamu bisa bilang ANJING? Dua belas bulan kemudian anak kecil tersebut bisa menunjuk di bukunya, gambar kucing dan menyebutnya KUCING, dan menunjuk pada gambar anjing dan menyebutnya ANJING (Ini adalah representasi gambar). Symbolic representation = Representasi simbol

Ketika duduk di kelas satu, anak tersebut dapat menulis kata KUCING dan memahami bahwa kucing adalah binatang peliharaan yang memiliki warna bulu yang berbeda dan jenis yang berbeda-beda. Ini adalah representasi simbol). Application of knowledge = Aplikasi Pengetahuan

Di kelas tiga, anak tersebut memahami bahwa macan dan singa juga merupakan kucing. Jadi ada kucing liar dan kucing rumah, dan kucing di rumahnya disebut kucing Persia (Inilah adalah aplikasi pengetahuan).

Apakah ELPSA itu? Kerangka kerja ELPSA merupakan suatu pendekatan perancangan pembelajaran yang sifatnya bersiklus. Rancangan ini menyajikan ide-ide matematika melalui pengalaman-pengalaman hidup, percakapan matematika, rangsangan visual, notasi simbol, dan aplikasi pengetahuan. Dalam rancangan pembelajaran ini, guru diharapkan mengenalkan konsep memulai dari apa yang telah diketahui siswa. Komponen pertama dari proses perancangan ini adalah pengalaman. Pengalaman mempertimbangkan bagaimana para siswa menggunakan matematika selama ini, konsep apa saja yang mereka ketahui, bagaimana mereka dapat memperoleh information, dan bagaimana matematika itu telah dialami oleh individu siswa baik di dalam maupun di luar kelas. Komponen pengalaman juga melibatkan asesmen karena guru perlu mengetahui apa yang diketahui oleh siswa dan informasi baru apa yang perlu dikenalkan guna membantu pemahaman siswa tersebut. Komponen pertama dari ELPSA dapat dikenalkan melalui curah pendapat, diskusi secara umum, menggunakan visual untuk memancing pemikiran, penyajian cerita oleh guru atau pun siswa. Sebagai konsekwensinya, pengalaman juga berhubungan dengan pemberian umpan balik dan pemberian latihan soal/reviu.

5

Komponen kedua dari rancangan ini berhubungan dengan bagaimana bahasa digunakan untuk mendorong terjadi pemahaman. Dalam matematika, bahasa matematika bisa bersifat umum maupun khusus. Sebagian bahasa berhubungan dengan literacy sedangkan sebagian lainnya khusus berkaitan dengan konsep matematika (misalnya pojok dan sudut). Komponen kedua dari ELPSA ini secara umum mengikuti pengalaman dan berfokus pada bahasa (baik yg sifatnya umum maupun khusus) yang diperlukan untuk menyajikan ide-ide matematika. Komponen ini juga berhubungan dengan praktek pedagogi khusus, karena penting bagi guru untuk memodelkan bahasa yang benar, dan bagi siswa untuk menggunakan bahasa ini dalam mendeskripsikan pemahamannya kepada guru dan teman-temannya, untuk menjelaskan dan memperkuat pemahamannya. Komponen ketiga dari rancangan pembelajaran ini berhubungan dengan penggunaan representasi visual dalam menyajikan ide-ide. Gambar merupakan aspek kritis dari matematika. Secara umum ada dua jenis gambar yang digunakan di dalam kelas. (1) Gambar yang dibuat oleh guru atau yang tersedia dalam sumber-sumber belajar dan (2) Gambar yang dibuat oleh siswa. Contoh dari gambar jenis pertama adalah representasi dari bermacam-macam jajargenjang, termasuk persegipanjang, persegi, dan gambar jajargenjang lain yang tersedia di buku paket. Representasi gambar ini digunakan untuk mendeskripsikan bangun-bangun dimensi dua dalam satu keluarga segiempat. Tipe gambar yang kedua adalah gambar-gambar yang dibuat oleh siswa pada kertas, komputer, atau ada dalam bayangan siswa. Para siswa mungkin membayangkan mentransformasi sebuah persegi menjadi sebuah persegipanjang dalam bayangannya, atau mereka menggambar diagram untuk menyelesaikan suatu masalah geometry. Gambar-gambar sering digunakan untuk membantu menjembatani pemahaman siswa dan menyiapkan rangsangan guna menyelesaikan tugas matematika sebelum pengenalan simbol-simbol. Sebagai contoh, siswa mungkin menutupi permukaan sebuah segitiga siku-siku dengan kubus-kubus satuan untuk menghitung luas dari bangun segitiga tersebut. Proses ini dapat membantu mengembangkan pemahaman konsep luas dan untuk mengenalkan rumus luas daerah segitiga (A = 1/2 x alas x tinggi)

6

Komponen berikutnya dari rancangan pembelajaran ini merupakan aspek yang paling umum dan sering digunakan dalam pengajaran, yaitu menggunakan simbol dalam menyajikan ide-ide matematika. Komponen ini kadang-kadang membuat matematika berbeda dari disiplin ilmu lainnya, dan kadang merujuk ke bahasa yang universal. Sangat disayangkan karena pengajaran simbol sering menjadi aspek yang paling miskin atau terbatas pengajarannya. Sebagai contoh, kebanyakan siswa diajarkan bahwa 6 x 4 = 4 x 6. Meskipun hasilnya adalah 24, 6 x 4 bermakna ada enam kelompok yang masing-masing banyak anggotanya empat sedangkan 4 x 6 berarti ada empat kelompok yang masing-masing beranggota sebanyak enam. Jika para siswa didorong untuk mempelajari perkalian bilangan dengan cara hafalan, mereka mungkin tidak selalu memahami apa sebenarnya yang disajikan oleh simbol-simbol matematika. Oleh karena itu, suatu hal penting untuk membantu anak terlibat dalam suatu siklus pembelajaran. Oleh karena itu, sebelum siswa mengetahui bahwa 6 x 4 = 24, siswa seharusnya dapat menggambar sebuah matriks yang secara gambar menyajikan enam kelompok dari empat (enam kelompok yang masing-masing beranggotakan empat). Komponen aplikasi dari suatu rancangan pembelajaran menyatakan bagaimana pemahaman simbol dapat diterapkan ke situasi-situasi yang baru. Para siswa yang memahami luas sama dengan alas kali tinggi, dapat menerapkan pengetahuannya ke pemahaman yang baru kaitannya dengan volume, yakni volume dapat direpresentasikan sebagai luas kali tinggi. Komponen aplikasi juga memberikan kesempatan bagi siswa untuk melihat bagaimana matematika dapat digunakan di dalam dan di luar konteks sekolah. Kaitannya dengan konsep luas, ada banyak aplikasinya dalam industri bangunan. Menggunakan ELPSA dalam Merancang Urutan Pelajaran Contoh-contoh pertanyaan yang perlu dipertimbangkan adalah sebagai berikut.

Apakah tujuan utama pembelajaran? Sumber-sumber belajar atau alat pengajaran apa yang saya miliki yang

relevan untuk pengembangan pelajaran saya? Apakah konsep yang akan saya ajarkan sudah dikenal atau masih asing

bagi para siswa?

7

Apakah pelajaran yang dirancang tersebut merupakan pengenalan konsep baru atau reviu terkait dengan pengetahuan mereka sebelumnya?

Bayangkan Anda harus memperkenalkan Teorema Pythagoras pada siswa Anda. Pada bagian berikut, kami akan mempertimbangkan unsur-unsur penting dan sub-konsep yang perlu dibentuk agar siswa mendapatkan pemahaman mendalam tentang teorema tersebut. Untuk beberapa siswa, dapat dipastikan bahwa fondasi kuat yang telah mereka miliki akan membantu pemahaman konsep dengan cepat, namun sebaliknya terjadi bagi siswa yang lain. Bahkan, jika siswa tidak memiliki pemahaman yang kuat pada sub-konsep (yang dapat diketahui melalui elemen Pengalaman dan Bahasa), pengembangan konsep secara mendalam ini akan memakan waktu yang cukup lama. Contoh penggunaan ELPSA Pengalaman. Kita perlu mencari tahu apa yang telah diketahui siswa tentang segitiga dan sudut. Untuk konsep segitiga, penting untuk menentukan apakah anak-anak dapat mengidentifikasi segitiga siku-siku dari berbagai macam segitiga lainnya. Dengan melakukan hal ini guru mencoba memahami pengalaman siswa dan menilai sejauhmana siswa telah mengenali segitiga yang memiliki sudut siku-siku (yang secara konsep diperlukan untuk memahami konsep sisi miring dari suatu segitiga siku-siku). Sehubungan dengan sudut, perlu bagi siswa untuk dapat mengklasifikasikan sudut siku-siku dari sudut tumpul dan lancip. Kedua konsep ini penting dalam membangun pemahaman berbasis pengalaman yang pada akhirnya akan mengarah pada pemahaman rumus Pythagoras. Bahasa. Ada beberapa istilah matematika penting yang perlu dikembangkan dalam rangka membangun pemahaman. Istilah-istilah seperti: sudut siku-siku, hipotenusa atau sisi miring, dan keliling perlu dibicarakan secara eksplisit. Beberapa pengembangan konsep terjadi dalam proses untuk mengetahui pengalaman siswa. Kegiatan lain harus melibatkan guru mendorong siswa untuk mengucapkan atau mengemukakan pemikiran mereka, termasuk dalam menjawab pertanyaan eksplisit guru berkaitan dengan sub-konsep yang terkait. Misalnya, mengajukan pertanyaan seperti berikut.

Berapa jumlah dari tiga sudut internal segitiga?

8

Jika salah satu sudut dalam sebuah segitiga adalah 90 derajat, Berapa ukuran dua sudut lainnya itu?

Apa hubungan antara sudut-sudut internal segitiga dan panjang sisi di hadapan sudut tersebut?

Sebagai bagian dari proses bertanya, juga akan bermanfaat bila dibentuk kelompok-kelompok kecil atau secara berpasangan untuk menjelaskan satu sama lain pemahaman mereka tentang tantangan menghitung keliling sebuah segitiga. Kegiatan bertanya dan diskusi seharusnya memberikan kesempatan bagi siswa untuk mempertimbangkan cara-cara untuk menghasilkan solusi dari masalah, seperti:

Hitunglah keliling segitiga. Hitunglah sisi ketiga (tidak diketahui) dari suatu segitiga atau sudut yang

tidak diketahui dari suatu segitiga. Manakah yang merupakan sisi miring dari sebuah segitiga siku-siku.

Untuk setiap pertanyaan ini siswa mungkin mulai menyadari bahwa mereka tidak memiliki pengetahuan untuk menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan. Gambar. Menyediakan siswa dengan kertas berpetak sehingga mereka dapat menggambar sejumlah segitiga siku-siku. Para guru harus mulai mendemonstrasikan dengan menggambar seperti gambar berikut di papan tulis.

Untuk dua gambar pertama guru dapat menggunakan segitiga dengan ukuran berikut: (1) 4cm dan 3cm; dan (2) 12 cm dan 5 cm. Mintalah para siswa menggambar segitiga dengan ukuran tersebut pada kertas berpetak dengan skala yang tepat. Kemudian mintalah siswa untuk menghubungkan dua titik pada gambar tersebut untuk membuat segitiga dan mintalah mereka untuk mengukur sisi ketiganya.

9

Guru kemudian bisa menggambar tabel untuk merekam panjang sisi segitiga-segitiga tersebut. Para siswa kemudian dapat menggambar segitiga siku-siku mereka sendiri dan menulis ukuran sisi segitiganya dalam tabel (misalnya, siswa mungkin menggambar segitiga dengan ukuran sisi 5cm dan 8cm dan kemudian mengalami kesulitan mengukur secara akurat dari sisi ketiga). Sangat mungkin terjadi bahwa siswa tidak mampu menghasilkan pengukuran yang tepat atau mungkin terjadi bahwa 2 siswa akan memberikan jawaban yang berbeda untuk sisi ketiga segitiga segitiga tersebut. Dengan kesulitan pengukuran yang dialami oleh siswa, membantu guru untuk memperkenalkan kebutuhan suatu rumus yang dapat membantu memastikan bahwa pengukuran yang akurat dapat terjadi. Hal yang sering terjadi bahwa unsur Gambar membantu mengarah pada proses menghasilkan rumus yang bersifat simbol. Pictorial dan Representasi Simbol Berikut rumus simbolik harus diperkenalkan:

c2 = a2 + b2

Guru harus menggambar segitiga siku-siku di papan, dan melabelnya secara tepat (dengan notasi aljabar seperti pada gambar di atas). Representasi ini adalah jembatan antara gambar dan simbol dari desain pembelajaran. Dalam hal ini, juga akan bermanfaat untuk menghasilkan tabel untuk merekam hasil pengukuran atau penghitungan.

a b c a2 b2 a2 + b2 c2 c 3cm 4cm 5cm 12cm 2cm 4cm 1cm 5cm 8cm 15cm 7cm 24cm

10

Tahapan berikutnya adalah untuk mengenalkan rumus pada para siswa. Rumus seharusnya digunakan dalam hubungannya dengan representasi gambar yang memungkinkan siswa dengan mudah menghitung panjang sisi yang belum diketahui. Dalam hal ini segitiga 3-4-5, 6-8-10, and 5-12-13 adalah contoh yang bagus untuk digunakan. Pemodelan yang eksplisit dapat dilakukan menggunakan tabel. Para siswa seharusnya diminta menggambar segitiga mereka sendiri dan melengkapi tabel yang telah disediakan. Karena siswa didorong untuk menghitung akar kuadrat dari dari c, mereka dapat mengukur panjang sisi ketiga sebagai cara untuk mengecek jawaban mereka (suatu hal penting bagi siswa untuk menyadari bahwa ini bukan hasil pengukuran yang akurat melainkan merupakan nilai pendekatan) Para siswa seharusnya mengerjakan berbagai contoh atau banyak berlatih menyelesaikan soal-soal menggunakan rumus-rumus Phytagoras tersebut. Contoh-contoh sedapatnya mencakup segitiga dengan sisi a atau b tidak diketahui atau sisi c tidak diketahui (seperti contoh di atas). Contoh-contoh seperti ini sering ditemukan di buku paket atau di Lembar Kerja Siswa dan ini bermanfaat untuk pemantapan atau berlatih konsep yang baru dipelajari. Aplikasi. Bagi pembuat batik atau tukang jahit, kemampuan untuk membuat kain yang sudutnya siku-siku merupakan hal penting. Satu cara untuk memastikan bahwa kainnya berbentuk persegi adalah dengan mengaplikasikan teorema Phytagoras Pengembangan suatu pembelajaran matematika yang baru dapat memuat semua elemen dari ELPSA. Dalam situsi demikian. Beberapa elemen mungkin hanya dikerajakan dalam waktu singkat. Namun bisa juga terjadi dua elemen terjadi pada saat yang sama. Sebagai contoh, dalam upaya mengetahui pengalaman apa yang dibawa siswa ke kelas, seorang guru mungkin merancang kegiatan yang melibatkan pengalaman dan bahasa secara bersama-sama. Tetapi bisa juga terjadi bahwa guru hanya berfokus hanya pada pengalaman. Situasi ini bisa termasuk aktivitas pembelajaran discovery atau aktivitas berbasis masalah.

11

Pengenalan konsep yang dikembangkan di atas (dengan pengenalan pada sebuah teorema baru) secara rasional dapat dikembangkan dalam 3 atau 4 kali 40 menit. Banyak pertemuan juga sangat ditentukan oleh pemahaman mendasar siswa (yang tentunya dapat diketahui dari komponen E dan L dari rancangan ini). Lebih umum lagi, seorang guru akan merancang sebuah pelajaran yang berfokus hanya pada dua atau tiga elemen saja. Sebagai contoh, guru dapat mengenalkan pelajaran menggunakan representasi gambar dan mendorong siswa menggunakan notasi simbol selama satu pelajaran berlangsung. Daftar Pustaka Liebeck, P. (1984). How children learn mathematics. London: Penguin.