INTEGRALES DE CAMINO Y LA APROXIMACIN WKB

Barry R, Holstein and Arthur R. Swift

Department of Physics and Astronomy, University of Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003

(Recibido 13 de Febrero 1981, aceptado para publicacin 15 de septiembre 1981)

La aproximacin WKB se demuestra ser formalmente idntica al lmite semiclsico del

propagador de la integral de camino de Feynman. En el lmite que el propagador de la de

integral de camino est dominado por la trayectoria de la partcula clsica, es idntica a la del

propagador calculado directamente a partir de funciones de onda de la aproximacin WKB en

fase estacionaria.

1. INTRODUCCIN

La integral de camino enfocada a la mecnica cuntica ha demostrado ser una tcnica

extraordinariamente til en aplicaciones modernas de la mecnica cuntica de campos. Sin

embargo, excepto por el texto pionero de Feynman y Hibbs1, el tema de las integrales de

camino esta notablemente ausente de los libros estndar de mecnica cuntica2. Los

estudiantes no solo se estn perdiendo un tema importante para su aplicacin en la teora de

campos sino que estn perdiendo tambin un acercamiento a la mecnica cuntica estndar la

cual forma bases tiles para el desarrollo de mtodos de aproximacin. Por ejemplo, hay un

nmero de artculos que derivan de las reglas de cuantizacin de Bohr-Sommerfekd para la

energa de estado-ligado de integrales de camino. Dado que la derivacin estndar de esas

reglas est basada sobre la aproximacin WKB de la ecuacin de Schrodinger, uno es llevado a

buscar una relacin cercana entre el mtodo WKB y una adecuada aproximacin a la integral

de camino.

En este artculo establecemos la identidad formal del mtodo estndar WKB y el formalismo

de la integral de camino en el lmite donde la integral de camino es dominada por la

trayectoria de una partcula clsica movindose bajo la influencia de un potencial

unidimensional V(x). Las pruebas demuestran que el propagador de la integral de camino es

idntico al obtenido directamente de funciones de onda WKB. Es entendido que todas las

integrales son hechas en la aproximacin de fase estacionara. Primero repetimos la derivacin

estndar del propagador de la integral de camino y despus mostramos que el propagador

idntico es derivable de funciones de onda WKB. En el apndice describimos el clculo de las

correcciones cuadrticas al propagador de la integral de camino.

Una vez la identidad de la integral de camino y la aproximacin WKB ha sido establecida, hay

la posibilidad de derivar todos los resultados WKB sin recurrir a las complicaciones inherentes

al derivar y aplicar las frmulas de conexin WKB . La derivacin de las reglas de cuantizacin

de Borh-Sommerfeld es una de tales aplicaciones3, y en un artculo subsecuente mostramos

que los problemas de la barrera de penetracin pueden ser tambin manejados directamente

en el formalismo de la integral de camino.

II. PROPAGADOR DE INTEGRAL DE CAMINO

El resultado bsico que debemos emplear es que la amplitud para una partcula de masa m

para propagarse entre los puntos espacio-tiempo (x1, t1) y (x2,t2) est dada por

La primera forma es la expresin usual en mecnica cuntica

para el propagador de una partcula movindose bajo la influencia de un Hamiltoniano H. La

propiedad definitoria del propagador es que describe la evolucin de una funcin de onda en

el espacio y tiempo:

La segunda forma para D (x1, t1;x2,t2) es la formulacin de la integral de camino. Su justificacin

aparece en el libro por Feynman y Hibbs. La notacin

Implica una sumatoria sobre todos los caminos x(t), el cual empieza en x1 a tiempo t1 y

termina en x2 a tiempo t2. La nica condicin sobre los caminos es que son solo valorados- para

un t dado slo hay un valor de x. Cada camino x(t) es ponderado por un factor de fase

determinado por la accin clsica S asociada con este camino:

En general, por supuesto, no es posible sumar el conjunto no numerable de caminos para

resolver exactamente la ecuacin de Schrdinger. Como es bien conocido, sin embargo, es

posible hacer el clculo exacto para una partcula libre mediante la ruptura del intervalo de

tiempo en pasos finitos de t= , E integrando sobre todo x a cada t.1 El propagador exacto de

una partcula libre as calculado coincide con la forma estndar basada en funcin de ondas.

El asunto peculiar sobre la formulacin de la integral de camino es que todos los caminos

deben ser incluidos. Por otro lado, en el lmite clsico la trayectoria xcl(t) est determinada

por:

Con las condiciones de frontera xcl(t1)=x1, xcl(t2)=x2 , debe ser el nico camino relevante. Slo

para tal camino tiene sentido hablar de energa de una partcula, ya que Eq. (5),

Por lo tanto

Donde E es constante a lo largo del camino. La energa E es una funcin de x2,t2 ;x1, t1 definida

va

Para cualquier camino diferente a xcl(t) el Hamiltoniano clsico no es constante.

El lmite clsico es obtenido en el lmite Para pequeos la fase del exponencial

Cambia extremadamente rpido para incluso un pequeo cambio en el camino x(t). Por lo

tanto la integracin sobre todos los caminos de cambio rpido de fase tender a acabar

contribuciones de todos los caminos excepto aquellos a lo largo de los cuales la accin es

estacionaria- es decir, caminos para los cuales

Para todos Pero,

Ya que todos los caminos empiezan en x1 y terminan en x2, Integrando por partes,

encontramos que:

Con el fin de que este desaparezca para un arbitrario, es necesario que

el camino clsico. Los caminos clsicos son puntos de fase estacionaria en la

integral de camino y como tal dominan la integral en el pequeo lmite .

Si es pequeo, as que el camino clsico domina la integral de camino, es necesario

mantener solo pequeas derivaciones de xcl en la integral de camino y trabajar para orden

cuadrtico en :

[Los trminos lineales desaparecen por Eq. (13). En esta aproximacin la forma de la integral

de camino del propagador se convierte en

El propagador es dado por el tiempo de fase clsica de una integral de camino para una

partcula de masa m viajando en el potencial T Tenga en cuenta que el

potencial es una funcin del tiempo a travs de su dependencia sobre xcl(t). Hay una variedad

de mtodos para evaluar la integral de camino remanente. En el apndice presentamos un

mtodo. El resultado es una expresin para D (x1, t1 ;x2,t2) que deben ser vlidos en el lmite

Donde

Y Ecl es la energa definida implcitamente por Eq. (8)

Si el potencial tiene la forma l la forma aproximada para

D es de hecho exacta debido a q es constante y no hay aproximaciones adicionales

involucadas yendo de Eq. (15) a Eq. (16). Para un potencial general tenemos

La aproximacin semiclasica para el propagador es

El factor de fase en Eq. (19) es indicativo de los factores exponeciales que aparecen en

funciones de onda WKB los cuales se supone describen de forma precisa la fisica de un sistema

cuantico en el limite .

III PROPAGADOR WKB.

Un clculo alterno del propagador comienza con la primera forma en Eq. (1). La insercin de un set

completo de estados propios (eigenstates) conduce a

Donde

En la aproximacin WKB la energa de los estados propios (eigenstates) en la regin

clsicamente permitida son4:

Donde a es un parmetro arbitrario y

Cada funcin de onda WKB tiene una continuacin dentro de las regiones clsicamente

prohibidas; la forma precisa de esa continuacin son irrelevantes aqu. En la ausencia de

estados ligados el espectro de energa es continuo y

La suma sobre toma en cuenta la doble degeneracin en estados de energa. La

medida f(E) es independiente de x y es fijado por el requisito

El cual sigue desde el mismo lmite de tiempo de Eq. (2). Debido a que f(E) es independiente de

la posicin, debemos escoger x1 y x2 en una regin donde el potencial desaparece y

Encontramos

Retornando a la Eq. (24), evaluamos la integral en la aproximacin5 a fase estacionaria. En

general esta aproximacin significa que

Donde x0 es el punto de fase estacionara fijado por En nuestro caso

Y

Slo un signo de contribuye. Si asumimos y E es determinado por

En otras palabras, E=Ecl. Fuera de toda continuidad de energa en la integral en Eq. (24),

el clsico camino de energa domina.

Ya que

Tenemos de las Eqs. (24) y (28)

Un resultado idntico a Eq. (19). As WKB usado en aproximacin a fase estacionara es la

misma que la integral de camino ms el dominio por la trayectoria clsica. Todos los problemas

que pueden ser formulados en trminos del propagador de funcin deben tener las mismas

soluciones cuando son analizados por cualquiera de los dos enfoques o aproximaciones. La

aproximacin semiclsica a la integral de camino de Feynman es completamente equivalente a

la aproximacin WKB a la ecuacin de Schrdinger.

La relacin entre las dos tcnicas puede ser posteriormente elucidada investigando como la

funcin de onda WKB se propaga en el tiempo cuando D (x1, t1 ;x2,t2) est dado por la Eq.(19).

Es obvio en la Eq. (20) donde D est escrita en trminos de funciones de onda WKB, que el

resultado de usar funciones de onda WKB en Eq. (2) es una funcin de onda en x2,t2. Sin

embargo, es til hacer el clculo directamente debido a que despus aprenderemos el

mtodo correcto y consistente para evaluar integrales sobre la funcin del propagador. De

acuerdo a la Eq.(2),

De hecho esta expresin es incorrecta en la medida en la que hay regiones de espacio x1 en los

cuales una partcula de energa esta clsicamente prohibida de existir. Sin embargo, en la

aproximacin a fase estacionaria aquellos valores de x1 no contribuyen. Note que en Eq. (33),

D donde E0 es la energa de la funcin de onda WKB. Por otro

lado, d donde es una funcin de x1 ,

la variable de integracin.

La aproximacin a fase estacionara en x1 requiere que primero hallemos el punto

de tal manera que

Los dos trminos en se se cancelan de acuerdo a Eq. (8) la cual define

El punto estacionario es ese valor de x1 para el cual

La aproximacin a fase estacionara en Eq. (33) es

Donde

Sin embargo

De la definicin de E en la ecuacin (8), vemos que

Por lo tanto

As cuando el propagador de la integral de camino es usado en la aproximacin a fase

estacionara, la funcin de onda WKB se propaga en una funcin de onda WKB en un momento

posterior.

IV CONCLUSIN

Hemos visto entonces que en el lmite , la forma del propagador de la integral de

camino de Feynman depende solo del camino clsico. En el lmite semiclsico, donde es

pequea pero no cero, hemos calculado correcciones cuadrticas sobre los caminos clsicos y

han demostrado que la forma resultante del propagador es idntica a la obtenida usando una

suma sobre las funciones de onda WKB cuando la suma (integral) es realizada en la

aproximacin a fase estacionara. Concluimos entonces que todos los problemas que se

pueden someter a solucin por mtodos WKB deben ser igualmente solucionables por las

tcnicas de la integral de camino, siempre que puedan ser formuladas en trminos del

propagador de Feynman. Un ejemplo clsico de esto es el problema de la barrera de

penetracin, el cual es generalmente tratado haciendo coincidir o emparejando funciones de

onda WKB en los puntos de inflexin. Demostramos en un artculo posterior como esto puede

ser tratado en un formalismo de integral de camino.

APNDICE

En orden de completar la derivacin de la aproximacin a fase estacionara de la forma de la

integral de camino del propagador de Feynman, como es discutido a continuacin,

necesitamos evaluar la integral de camino

Coleman en sus lecturas sobre instantones6 muestra un factor de normalizacin

Donde

Y esta sujeta a condicones de frontera

Introduciendo notamos que de acuerdo a Eq. (5)

As

Donde la constante de integracin es fijada por las condiciones de frontera.

Debido a que Eq.(A7) es equivalente a

Encontramos

En Trminos de

La variable de integracin fue cambiada a x con dt=dx/x. La constante de normalizacin N es

independiente de la funcin potencial. Est fijado en comparacin con el propagador exacto

de una partcula libre

Y

El resultado usado en Eq. (16).