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GranadaApril 2005

Mental ImageryMental Imageryinin

Teaching & Learning MathematicsTeaching & Learning Mathematics

Imágenes mentales Imágenes mentales en en

la Enseñanza y Aprendizaje la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticasde las Matemáticas

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Aspects of ImageryAspects of Imagery

Fundamental Human PowerFundamental Human Power– Imagining & ExpressingImagining & Expressing– Making Use of imageryMaking Use of imagery

Guiding & Directing ActivityGuiding & Directing Activity PreparationPreparation

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Aspectos de las ImágenesAspectos de las Imágenes

Poder fundamentalmente humano Poder fundamentalmente humano – Imaginando y expresando Imaginando y expresando – Haciendo uso de imágenesHaciendo uso de imágenes

Guiando y direccionando la Guiando y direccionando la actividad actividad

PreparaciónPreparación

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Imagining & ExpressingImagining & Expressing

Imagery & ActionImagery & Action Imagery & SpeechImagery & Speech Imagery & Diagram Imagery & Diagram Imagery & SymbolImagery & Symbol

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Imaginando y Expresando Imaginando y Expresando

Imágenes y acción Imágenes y acción Imágenes y discursoImágenes y discurso Imágenes y diagramas Imágenes y diagramas Imágenes y símbolosImágenes y símbolos

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Imágenes visceralesImágenes visceralesVisceral ImageryVisceral Imagery

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Imagery & DiagramsImagery & Diagrams What proportion What proportion of the whole is of the whole is the shaded area?the shaded area?

What did you doWhat did you dowith your self with your self to answer these to answer these

questions?questions?

What aspects could you vary or alter to What aspects could you vary or alter to generalise?generalise?

In how many In how many different ways can different ways can you demonstrate you demonstrate

that?that?

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Imágenes y diagramasImágenes y diagramas

¿¿Qué proporción Qué proporción del total es la del total es la zona sombreadazona sombreada??

¿Qué has hecho ¿Qué has hecho contigo mismo contigo mismo

para responder a para responder a estas cuestiones?estas cuestiones?

¿Qué aspectos puedes variar o alterar para ¿Qué aspectos puedes variar o alterar para generalizar?generalizar?

¿¿De cuántas formas De cuántas formas diferentes puedes diferentes puedes

demostrarlo?demostrarlo?

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Quadrilateral

with one pair of parallel sides

and one pair of perpendicular sides

which are opposite (not adjacent)

Imagine a …Imagine a …

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Cuadrilátero

Con un par de lados paralelos

Y un par de lados perpendiculares

Que son opuestos (no adyacentes)

ImaginaImagina un … un …

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Imagine a …Imagine a …

Say What You See

What is the Same & What is What is the Same & What is different?different?

29-sided regular polygon with all its chords29-sided regular polygon with all its chords 30-sided regular polygon with all its chords30-sided regular polygon with all its chords

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Imagina unImagina un … …

Di lo que ves

¿¿Qué es igual yQué es igual y qué es diferente?qué es diferente?

Polígono regular de 29 lados con todas sus cuerdasPolígono regular de 29 lados con todas sus cuerdas Polígono regular de 30 lados con todas sus cuerdasPolígono regular de 30 lados con todas sus cuerdas

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Imagery & SymbolsImagery & Symbols

(n + 1)2 - (n – 1)2

2n + 2n

( (n + 1) + (n – 1) ) ( (n + 1) – (n – 1) )

(n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1)

Paulo Boero: anticipationPaulo Boero: anticipation

effective and fluent symbol manipulation effective and fluent symbol manipulation depends upon imagerydepends upon imagery

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Imágenes y SímbolosImágenes y Símbolos

(n + 1)2 - (n – 1)2

2n + 2n

( (n + 1) + (n – 1) ) ( (n + 1) – (n – 1) )

(n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1)

Paulo Boero: anticipaciónPaulo Boero: anticipación

La manipulación eficaz y fluida de los La manipulación eficaz y fluida de los símbolos símbolos

depende de las imágenesdepende de las imágenes

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¿¿Imagen reflejada?Imagen reflejada?Mirror Image?Mirror Image?

aa

3

aa

4

aa

3

aa

6

aa

7

aa

5

aa

2

aa

aa

aa

aa

aa

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La recta numérica se mueveLa recta numérica se mueveNumber Line MovesNumber Line Moves

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Imagina una recta numérica que se prolonga de Imagina una recta numérica que se prolonga de izquierda a derecha con el cero en el centroizquierda a derecha con el cero en el centro

Imagine a number line stretching from left Imagine a number line stretching from left to right with zero in the centre.to right with zero in the centre.

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Fuentes escocesasFuentes escocesas

a

a

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BotelleroBotelleroWine RackWine Rack

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

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Imagery & SpeechImagery & Speech

I see what you say; I see what you say; I hear what you sayI hear what you say

Need toNeed to– Say what you Say what you see/hear/perceive/conceivesee/hear/perceive/conceive

Learning to express in words, diagrams Learning to express in words, diagrams and symbols and symbols

is about becoming aware of how you can is about becoming aware of how you can direct the attention of others direct the attention of others

through being aware of the direction of through being aware of the direction of your own attentionyour own attention

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Imagen y discursoImagen y discurso

Veo lo que quieres decir; Veo lo que quieres decir; Oigo lo que dicesOigo lo que dices

Necesidad de Necesidad de – Decir lo que Decir lo que ves/oyes/percibes/concibesves/oyes/percibes/concibes

Aprender a expresarse con palabras, diagramas Aprender a expresarse con palabras, diagramas y símbolos consiste en llegar a ser consciente y símbolos consiste en llegar a ser consciente

de como dirigir de como dirigir la atención de otros a través de ser la atención de otros a través de ser

consciente consciente de la dirección de tu propia atención de la dirección de tu propia atención

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Imagen didImagen didááctico: Imagen como ctico: Imagen como metáforametáforaDidactic imagery: Image as metaphorDidactic imagery: Image as metaphor

In how many ways can you arrange a sequence of four pulleys so that the overall effect is to reverse the direction?

¿De cuántas formas se puede disponer una secuencia de cuatro poleas de modo que el efecto global sea invertir la dirección?

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Haciendo uso de imágenesHaciendo uso de imágenesMaking Use of ImageryMaking Use of Imagery

Dirigiendo la atenciónDirigiendo la atenciónDirecting attentionDirecting attention

Revelando dónde y cRevelando dónde y cómo ómo es dirigida la atenciónes dirigida la atenciónRevealing where and how attention is directedRevealing where and how attention is directed

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Importance of Mental ImageryImportance of Mental ImageryThe The fundamentalfundamental power power which humans possesswhich humans possessfor making sense of the world: for making sense of the world:

Used whenUsed whenPlanning, Preparing, Planning, Preparing, Anticipating, Anticipating,

ExpectingExpectingReflecting, Linking, … Reflecting, Linking, …

Imagining & ExpressingImagining & Expressing

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Importancia de las Imágenes Importancia de las Imágenes mentalesmentales

El poder El poder fundamentalfundamental que los que loshumanos poseen para comprender el humanos poseen para comprender el mundo:mundo:

Usado cuandoUsado cuandoSe planea, se prepara, Se planea, se prepara, Se anticipa, Se anticipa,

se supone, se supone, se reflexiona, se reflexiona, se establecen conexiones,…se establecen conexiones,…

Imaginando y ExpresandoImaginando y Expresando

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PreparationPreparation

Imagining yourself in a situation, acting Imagining yourself in a situation, acting as you would wish to act [as you would wish to act [acting as if : acting as if : JamesJames]]

Fill out the image: as richly and fully as Fill out the image: as richly and fully as possible: behaviour, affect, cognitionpossible: behaviour, affect, cognition

Reflect back on event, Reflect back on event, – locate moments of choice and reinforce locate moments of choice and reinforce themthem

– Locate moments of missed opportunities Locate moments of missed opportunities and re-imagine them as you might have and re-imagine them as you might have wishedwished

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PPreparaciónreparación

Imagínate Imagínate en una situación, actuando como en una situación, actuando como desearías actuar [desearías actuar [actuando como si: actuando como si: JamesJames]]

Completa la imagen: tan completa y Completa la imagen: tan completa y detalladamente como sea posible: detalladamente como sea posible: comportamiento, emociones, cognicióncomportamiento, emociones, cognición

Reflexiona de nuevo sobre el suceso, Reflexiona de nuevo sobre el suceso, – Localiza los momentos de elección y Localiza los momentos de elección y refuérzalos refuérzalos

– Localiza los momentos de Localiza los momentos de pérdidapérdida de de oportunidades y vuelve a imaginarlos oportunidades y vuelve a imaginarlos como hubieras deseadocomo hubieras deseado

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Uses of Mental ImageryUses of Mental ImageryIntroducing a concept:Introducing a concept: imagine a … (context, object, …)imagine a … (context, object, …)

Developing a concept:Developing a concept: moving from using apparatusmoving from using apparatus moving from diagrams and picturesmoving from diagrams and pictures internalising operations on objectsinternalising operations on objects

Problem Solving (including modelling):Problem Solving (including modelling): Imagining situation in order to identifyImagining situation in order to identify

relevant variables, relationships, …relevant variables, relationships, …

Thinking mathematicallyThinking mathematically seeing possibility of expressing & seeing possibility of expressing & using generalityusing generality

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Usos de las Imágenes MentalesUsos de las Imágenes MentalesIntroduciendo un concepto:Introduciendo un concepto: imagina un … (contexto, objetoimagina un … (contexto, objeto …)…)

Desarrollando un concepto:Desarrollando un concepto: moviéndose desde el uso de aparatosmoviéndose desde el uso de aparatosmoviéndose desde los diagramas y dibujosmoviéndose desde los diagramas y dibujosInternalizando operaciones en objetosInternalizando operaciones en objetos

Resolución de Problemas Resolución de Problemas (incluyendo la modelización):(incluyendo la modelización): Imaginando situaciones para identificar Imaginando situaciones para identificar variables relevantes, relaciones…variables relevantes, relaciones…

Pensando matemáticamentePensando matemáticamente viendo posibilidades de expresión y uso de viendo posibilidades de expresión y uso de generalizacióngeneralización

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Uses of Mental Imagery for SelfUses of Mental Imagery for SelfImagining details of a lesson: Imagining details of a lesson:

organisation, expectations from learners, …organisation, expectations from learners, …

Imagining questions to ask, activity Imagining questions to ask, activity of learners: of learners:

what will they be imagining?what will they be imagining?what will they be attending to, what will they be attending to,

and how?and how?Imagining what learners can then doImagining what learners can then dowhat will they be ‘seeing’ differently?what will they be ‘seeing’ differently?

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Uso de Imágenes Mentales por Uso de Imágenes Mentales por uno mismouno mismo

Imaginando detalles de una lección: Imaginando detalles de una lección: organización, expectativas sobre los organización, expectativas sobre los

alumnos, …alumnos, …Imaginando cuestiones a preguntar, la Imaginando cuestiones a preguntar, la actividad de los alumnos: actividad de los alumnos: ¿Qué estarán imaginando? ¿Qué estarán imaginando? ¿A qué estarán prestando atención y de ¿A qué estarán prestando atención y de qué manera? qué manera? Imaginando lo que pueden hacer entonces Imaginando lo que pueden hacer entonces los alumnos los alumnos ¿Qué estarán ‘viendo’ de forma diferente?¿Qué estarán ‘viendo’ de forma diferente?

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The Power to Imagine is:The Power to Imagine is:

always available;always available; a source of energy and motivation;a source of energy and motivation; based on the powerbased on the power

to to StressStress & to & to IgnoreIgnoreand soand so

to to DistinguishDistinguish, , SelectSelect, and , and GeneraliseGeneralise

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El poder de Imaginar:El poder de Imaginar:

está siempre disponibleestá siempre disponible es una fuente de energía y motivación;es una fuente de energía y motivación; está basado en el poder está basado en el poder

de de EnfatizarEnfatizar e e IgnorarIgnorary de ese modoy de ese modo

DistinguirDistinguir, , SeleccionarSeleccionar y y GeneralizarGeneralizar

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AutoimagenAutoimagenSelf-ImageSelf-Image

Identidad, sentido de uno mismo, agencyIdentidad, sentido de uno mismo, agency1,1,

……Identity, sense of self, agency, …Identity, sense of self, agency, …

1 El alcance que tiene una persona para realizar El alcance que tiene una persona para realizar acciones y hacer que las cosas ocurranacciones y hacer que las cosas ocurran

Carole Dweck: dos epistemologíasCarole Dweck: dos epistemologías

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¡Feliz imaginación!¡Feliz imaginación!Happy Imagining!Happy Imagining!

Deseo agradecer a Marta Deseo agradecer a Marta por traducir mis por traducir mis diapositivasdiapositivas

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¡Feliz imaginación!¡Feliz imaginación!