1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The...
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1Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
The use of copulas for the description of the spatial variability of environmental variables
András Bárdossy
Universität Stuttgart
2Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial patterns are not necessarily symmetrical
5Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Paul Klee: Copula
6Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence
Goal: dependence between two variables: • To recognize• To quantify
Correlation (Signifikance Normal distribution)
Linear Regression
7Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
4
8
12
16
8Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
4
8
12
16
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Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
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11Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
12Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence changes through a Transformation of the Marginal distribution
Correlations between 0.4 and 0.8
Idea: take the same marginal distribution
Uniform in [0,1]
Transformation using the pdf
13Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dependence Marginal distributions
15Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Bivariate Distributions and Copulas
Bivariate Copula = bivariate pdf with uniform marginals
))(),((),( 21
211
121 uFuFFuuC
16Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Variable A
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Var
iabl
e B
17Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copulas are a new way of modelling the correlation structure between variables.
They dissociate the correlation structure from the marginal distributions of the individual variables.
18Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Entropy = measure of Information (Shannon)
Differential entropy:
Conditional Differential entropy
Interesting for „extreme“ (v large)
II
c dudvvucvucE ),()),(ln(
I
c dvvucvucuE ),()),(ln()(
19Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Multivariate Distributions and Copulas
Sklar (1959) all F pdf can be written in this form and C is unique if F is continuous
Measures of the dependence • Differential Entropy• Rank correlation (Spearman)• Kendalls tau
))(,),((),,( 111 KKK xFxFCxxF
20Caracas, September 28 2006
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Copula density
n
nn
n xx
xxCxxc
...
),...,(),...,(
1
11
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Multivariate normal copula
Copula density:
22Caracas, September 28 2006
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Normal copula
Can copulas be used for the description of spatial variability ?
Do we need this ?
24Caracas, September 28 2006
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Geostatistics
Z(x) Random function – Realisation z(xi)
Assumption – „uniform continuity“
No differences are known a-priori
Independent of the location – depends only on h
(Semi)Variogramm Covariance function
2
1
2
1
2uZhuZEuZhuZVarh
muZE
25Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Experimental Variogramm EC
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
26Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial copulas
Assumption:• Multivariate copula exists for any
number of points
• The bi-variate marginal copulas corresponding to pairs separated by a vector h are translation invariant
• How to find such copulas ?
vZFuZFPvu zz ))((,))((),,( xhxhCS
27Caracas, September 28 2006
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Empirical copulas
Set of pdf pairs corresponding to points separated by the vector h
Generalization of the variogram
Empirical density using kernel smoothing
hxxxxh iijnin ZFZFS |))(()),(()(
28Caracas, September 28 2006
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29Caracas, September 28 2006
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30Caracas, September 28 2006
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Nitrat und Phosphat
31Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula Nitrate GW 5 km
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1.6
3.2
4.8
6.4
8
9.6
11.2
12.8
14.4
16
17.6
19.2
Q uantile Punkt x
Qu
an
tile
Pu
nkt
y
32Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Entropy: Nitrat 3000 m und 30000m
0 5 10 15 20 25
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
33Caracas, September 28 2006
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Cl Variogramm
34Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Chloride concentration (mg/l)
0
200
400
600
35Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
36Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula pH groundwater
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
37Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
pH Variogramm
38Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
5.2 5.6 6 6.4 6.8 7.2 7.6 8 8.4 8.8 9.2 9.6
0
400
800
1200
39Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
40Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
n-dimensional Chi-square copula
41Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Chi-Quadrat Copulas
42Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Testing the multivariate copulas
Analytically difficult due to the dependence of the pairs
Simulation and Bootstrap to compare bi-variate marginals to theoretiacal
43Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Summary and conclusions
Copulas offer an interesting alternative
Many natural variables show a non-Gaussian spatial dependence
Thank you !
PS: I have another 253 slides to show – maybe next time !
46Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Indikator Variablen
Indikator variablen
sonst
CuuIC 0
falls1)(
)( falls0
)( falls1)(
uZ
uZuI
Indikator variogram
huu
ji
ji
uIuIhN
h 2* ))()(()(2
1)(
47Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 70
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
48Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 347
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
loca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
49Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 159
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
50Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Radarniederschlag29. Dezember 2001 11:20-13:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
05101520253035404550556065707580859095100105110115120
51Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula Radarniederschlag29. Dezember 2001 11:20-13:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
52Caracas, September 28 2006
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Gauss – Chi-square
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4.5-4.1-3.7-3.3-2.9-2.5-2.1-1.7-1.3-0.9-0.5-0.10.30.71.11.51.92.32.73.13.53.94.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4.5-4.1-3.7-3.3-2.9-2.5-2.1-1.7-1.3-0.9-0.5-0.10.30.71.11.51.92.32.73.13.53.94.3
53Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
54Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Statistische Tests
Problem: Paare sind nicht unabhängig
Deshalb klassische Tests nicht verwendbar
Lösung: Bootstrap
55Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Zusammenfassung
•Zusammenhänge können mit Copulas „einheitlich“ quantifiziert werden
•Viele natürliche Parameter zeigen assymetrische Zusammenhänge
•Diese Eigenschaft kann bei der räumlichen Betrachtung berücksichtigt werden
56Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
57Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Simulation results
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
58Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 71
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P
reci
pita
tion
am
oun
t
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
59Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 117
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
60Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 348
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P
reci
pita
tion
am
ou
nt
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
61Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Asymmetrie des Zusammenhanges
Hohe Werte zeigen einen anderen Zusammenhang wie die niedrigen
u u
u u
dxdxyxc
dxdxyxc
uuC
uuCuA
0 0
1
1
1
1
),(
),(
),(
)1,1(21
62Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Empirische Copuladichten
Nitrat pH
63Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Radarniederschlag29. Dezember 2001 8:20-9:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
05101520253035404550556065707580859095100105110115120
64Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
65Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
66Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
67Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
68Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Niederschlag
Geeignete Copulas finden• Bessere Interpolation (HW relevant)• Theoretische
Gebietsabminderungsfunktionen• Simulationsmodelle mit beliebigen
Randverteilungen• Realistische Extreme über räumliche
und zeitliche Skalen ( Fraktale Modelle)
69Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Neckar Einzugsgebiet
70Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
71Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Korrelation – Zusammenhang der Extreme (99,5%)
0.6 0.7 0.8 0.9 1Korrelation
8.4
8.6
8.8
9B
ed
ing
te D
iffe
ren
tia
len
tro
pie
72Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Zusammenfassung
Zusammenhaänge können mit Copulas beschrieben werden
Viele der Zusammenhänge in der Hydrologie sind asymmetrisch
Extreme sind of stärker abhängig als mittlere
Korrelation ist hierfür kein gutes Maß
73Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Introduction - ModellingHydrological modeling is necessary• Design
– Changes– Climate change– Land use change
– Unobserved catchments (PUB)• Forecasts• In combination with
– Quality– Ecology
• For understanding
74Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Introduction - VariabilityVariability due to natural conditions• Weather
– Annual cycle– Random variability
• Catchment reaction– State– Output - discharge
75Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
The Upper Neckar Catchment
76Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence between discharge series
Cross correlations (Pearson)
Cross rank correlations (Spearman)
Copulas
77Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence results
Cross correlations
0.66 – 0.95 for all pairs
>0.89 for the best pair for each site
Cross rank correlations
0.65 – 0.98 for all pairs
>0.88 for the best pair for each site
78Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Variable A
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Var
iabl
e B
79Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence structure
Dependence between Quantiles instead of Variable values
Copula – Dependence separated from the Marginal distributions
),,(),,(
ondistributi m Unifor)1,0(,,
111
1
KKK
K
uUuUPuuC
UU
U
80Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula density of the pair C8 and C9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
81Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 347
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
loca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 159
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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Simulation models
Multivariate normal copulas
Non Gaussian copulas (non-central chi-square copulas)
Correct marginal distribution
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Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula density of a bivariate non-central chi-square distribution
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
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0.4
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n-dimensional Chi-square copula
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Summary
Hydrological modeling is necessary
and difficult
Discharge series are similar
Events are different
Hydrological models small differences
Spatial resolution is not the answer
Spatial variability is partly responsible
Rainfall variability is “asymmetrical”
6100 6150 6200 6250 6300 6350
Tim e (days)
0
100
200
300
400
500
Dis
char
ge (
m3 /
s)
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Interpolation
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Radar Measurement
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Future work
Compare different sets of downscaled discharge extremes (3 versions)• Calculate spatial indices• Find appropriate copulas
Assess scenario dependent extremes
Develop new methodology for spatial extremes
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Variability of discharge
Distribution of discharge for a single site • Depends on the aggregation• Skewed distribution• Few maxima – due to precipitation
(snow melt)
Natural Variability
Discharge series are similar because of the spatial extent of rainfall events.
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
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