alfa

beta

gamma

delta

pi

mu

sigma

psilon

theta

phi

Tringulos rectngulos

a

b

c

a, b: catetos

c: hipotenusa

Teorema de Pitgoras:

222 bac

90

La suma de los ngulos internos de cualquier

tringulo es 180

Tringulos rectngulos

a

b

c

Funciones trigonomtricas:

hipotenusa

opuestocatetoseno

hipotenusa

adyacentecatetocoseno

adyacentecateto

opuestocatetotangente

Tringulos rectngulos

a

b

c c

asen

c

bcos

b

atan

c

bsen

c

acos

a

btan

Tringulos rectngulos

a

b

c c

asen

c

bcos

b

atan

senca

coscb

costan

c

senc

costan

sen

222 cba222 )cos()( cccsen

22222 cos ccsenc 1cos22sen

22)( sensen

Tringulos oblicungulos

a

b c

Ley del seno:

Un lado cualquiera es proporcional al

seno del ngulo opuesto a este lado

sen

c

sen

b

sen

a

Ley del coseno:

Un lado cualquiera al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del

ngulo que forman

cos2222 bccba

cos2222 accab

Adicin de vectores

Los vectores se pueden sumar por mtodos grficos o analticos.

Mtodos grficos

Mtodo del paralelogramo

Los orgenes de los dos vectores A y B estn juntos y el vector resultante R es

la diagonal de un paralelogramo formado con A y B con dos de sus cuatro

lados.

A

B R RBA

La magnitud del vector A es 3 y la

magnitud del vector B es 4. Cul es

la magnitud del vector C = A + B?

Mtodo del polgono

Los vectores se dibujan uno a continuacin del otro, respetando su magnitud y

direccin. El vector resultante es el que une el origen del primero con el

extremo del ltimo.

A

B R

RBA

B

A

R

RAB

La suma de vectores es

conmutativa

La suma de vectores es

asociativa

Substraccin de vectores

La substraccin de vectores emplea la definicin del negativo de un vector. Se

define la operacin A B como el vector B sumado al vector A:

A

B

)( BABA

B S = A B

Multiplicacin de un vector por un escalar

Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, entonces el

producto mA es un vector que tiene la misma direccin que A y la magnitud

mA.

A

Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar negativa m, entonces el

producto mA es un vector que est en direccin opuesta al vector A y la

magnitud mA.

mA

mA

mA

Ley del coseno y ley del seno

A

B R

180

cos222 ABBAR

sen

R

sen

B

R

Bsensen 1

2 2 2 2 cosR A B AB

Bsensen

R

)180cos(2222 ABBAR

Si = 0 cos (180) = 1 ABBAR 2222

222 2 BABAR22 )( BAR

BAR

A B

R

A

B R

)180cos(2222 ABBAR

Si = 180 cos 0 = 1 ABBAR 2222

222 2 BABAR22 )( BAR

BAR

A

B R

A

B R

Las componentes de un vector son dos o ms vectores que tienen

igual efecto que dicho vector.

Es decir, el vector dado es la resultante de las componentes.

Todo vector tiene un nmero infinito de conjuntos de componentes.

V

Por componentes rectangulares u ortogonales nos referimos a

aquellas que estn en ngulo recto una con la otra, y por lo general

se toman en las direcciones de las coordenadas rectangulares x y y.

x

y

V

Vx

Vy

x

y

V

Vx

Vy

V

Vxcos

V

Vsen

y

cosVVx

VsenVy

x

y

V

Vx

Vy

222

yx VVV

x

y

V

Vtan

22

yx VVV

x

y

V

V1tan

x

y

A

A

B

B R

Ax

Ay Bx

By

x

y

R

Ax

Ay

Bx

By

x

y

N

N

M

M

S

Mx

My

Nx

Ny

x

y

S

Mx

My Nx

Ny

x

y

45

30

4.5 u

5.0 u

9.0 u

3.2 u

3.2 u

7.8 u

4.5 u

4.6- 7.8 - 0 3.2 Rx

3.7 4.5 - 5.0 3.2 Ry

x

y

4.6 u

3.7 u

22 )7.3()6.4(R

5.9 u

39 141

6.4

7.3tan

4.6- 7.8 - 0 3.2 Rx

3.7 4.5 - 5.0 3.2 Ry

Son vectores cuya magnitud es igual a la unidad.

x

y

i

j

A = 3i

A

B = 2j B

x

y C = 3i 2j

C Uc

Se puede determinar un vector

unitario en la direccin de

cualquier vector.

V

VUV

13C13

23 jiUC jiUC

13

13213

133

jiF

jiE

jiD

32

23

32 FEDM

jijijiM 322332

jiM 2

FEDN 32 DFEP 32