04-Forces Translations Moments

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04 - Introduction à la statique

1- Translation et forces

2- Rotations et Moments

3- Moment dû à une force

4- Le Frottement

5- Poussée d’Archimède

Jean Luc Zanforlin - ENSAM

Balançoires en acier. Pivot en bétonPlace Potzdamer, BerlinPhoto Paxinou E. Octobre 2006

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Introduction

Lorsqu’une boule de billard percute une bande, sa trajectoire est modifiée au

point A du choc. Comment décrire ce phénomène ? Par la notion de force : on dit qu’il s’exerce une force au point A. La force est donc la cause de la modification du mouvement (et non la cause du mouvement).

A

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DéfinitionPlus généralement la force est un notion

physique qui exprime l’action qu’exerce un corps (la bande) sur un autre (la boule); elle permet de représenter une action due à une cause.

Par exemple, on ressent le

poids d’un livre dans la main àcause de l’attraction terrestre.

Une force isolée de tout n’a pas de sens.

La force doit être provoquée par quelque chose : le vent exerce une force sur un obstacle qui s’oppose à son

passage

P

V

A


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DéfinitionLa force est donc caractérisée par :- son point d’application- sa direction (ou appelé support ou ligne d’action)�- son sens- son intensité ou grandeur

-Elle se représente par un vecteur

Dans cet exemple, Le poids P (force) est donc caractérisé

par :

- son point d’application : A, la main- sa direction ou sa ligne d’action : la droite AB ou BA

- son sens : du haut vers le bas, de A vers B

- son intensité donné par la norme du vecteur

||P||= Masse x g = Masse x 10m/s²

Rappel :

masse d’une pomme 100g

Poids de cette pomme ?

P = Masse x 9,81 m/s2

P ≈ Masse x 10 Newton

≈ 0,1.10 = 1 Newton

P

A

B


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Masse - Poids, ordres de grandeur

objet Masse Poids

(kg) (Newton)�

. 1 petite pomme 100g (0,1kg) 1 N

. 1 litre d’eau 1kg 10 N = 1daN (1 déca Newton)�

. 1 parpaing béton perforé 9kg 90 N

(5x20x20cm)

. 1 homme de… 72kg 720 N

. 2 sac de ciment de 50kg 100kg 1000N = 1 kN (1 kilo Newton)�

. 1 poutre en chêne 200kg 2 kN(0,25x0,20x6)

. 1 voiture 1000kg (1 tonne) 10 kN

. 1 dalle de béton armé 10t 100 kN

(5x5m, 16cm ép.)

. 1 locomotive 100t 1000 kN = 1 MN (1 méga Newton)�

. Petit immeuble habitation R+3200m2 au sol en béton armé 1000t 10 MN

. Tour Eiffel 10 000t 100 MN


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Forces concentrées et forces répartiesLa force telle qu’elle a été définie agit en 1 point :

c’est une force concentrée.En pratique, ce type de force n'existe pas mais on peut s’en approcher beaucoup : pied d’une table, talon aiguille, etc…

PA

B

C’est pour cette raison qu’il faut définir des forces dites réparties :. Force agissant sur une ligne, en N/m

. Force agissant sur une surface, en N/m2

. Force de volume sur tous les éléments de matière d’un corps, en N/m3

(cf. Poids volumique) �

q = P / L en N/mQ = s. a . b en N,

avec s en N/m2


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Forces et TranslationUne force a tendance à modifier un mouvement dans le sens d’action de la force.La force s’associe au mouvement de translation

Evidemment, sous l’action des forces, les constructions ne doivent pas bouger parce qu’elles doivent rester en équilibre, donc immobiles. Mais il est très utile de de se rendre compte qu’une force tend à entraîner une construction en translation.

Neige sur auvent

Source : Studer et Frey


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2- Rotations et MomentsDéfinitionsLorsqu’on serre un écrou, lorsqu’on visse un tire-bouchon, lorsqu’on agit sur un volant, l’objet sollicité tourne sur lui-même. Il se produit une rotation autour d’un axe dit axe de rotation.

Ce mouvement est provoqué par une force de rotation. La cause s’appelle moment

: le moment s’associe à la rotation autour d’un axe.

Volant soumis à 1

rotation autour de son

axe

Moment associé

Le moment est aussi une force qui a

les mêmes caractéristiques et les mêmes propriétés* que les forces proprement dites (caractère vectoriel) : on le représente donc par un vecteur porté par l’axe de rotation.

* Les unités sont différentesSource : Studer et Frey

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2- Rotation et MomentsDéfinitionsPour connaître dans quel sens agit un moment M (cad le sens de la rotation), on place le pouce de la main droite le long de M et les 4 doigts restants indiquent le sens de la rotation.

Différents modes de représentation du moment

Double flèche droite Flèche tournante

Sens de rotation

So

urc

e :

Stu

de

r e

t F

rey

Sens d’action du moment

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Considérons une force F située dans un

plan et un point O de ce plan. En O on trace l’axe z’z perpendiculaire au plan.

Du point O on abaisse la perpendiculaire sur la ligne d’action de la force, c’est à dire sur la droite qui représente la direction de la force.

On note d la distance entre le point O et la ligne d’action de la force: d est égale à la

longueur OH.

Par définition, le moment M de la force F par rapport à l’axe z’z (ou par rapport

au point O) est égal au produit de l’intensité de la force par la distance d :M = F x d

Le moment s’exprime en Newton.mètre (N.m) ou en multiples (daN.m, KN.m, )�

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Si on considère plusieurs forces situées

dans un même plan et un point O de ce plan, on peut calculer le moment de chacune de ces forces par rapport à O, et affecter un signe positif ou négatif à ce moment, suivant le sens de rotation qu’il

provoquerait.

Le moment dû à l’ensemble des forces

agissant simultanément est appelé moment résultant.

Il est égal à la somme algébrique des moments dus à chacune des forces.

Mo = 12 x 2 – 5 x 3 – 3 x 2 = 24 – 15 – 6 = 3 N.m

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3- Moment dû à un couple de forces

Dans le plan, le moment

d’un couple de forces par rapport à un point est égal à la somme algébrique des moments de chacune des forces.

Ce moment est une constante dite « moment

du couple », ceci quelle que soit la situation du point (P1, P2, P3, etc..) dans le plan.

Ce moment est le produit de l’intensité F des forces par la distance « a » de leurs droites-

supports ou « bras du couple ». M = F x a

En effet M = + F x r – F x (r + a) = F.r – F.r + F.a = F x aEt ainsi de suite quelque soit la distance r, donc le point P.

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Un couple de forces dans un

plan donné est entièrement caractérisé par son moment:

Valeur et sens

Un couple ne peut être

équilibré par une force, mais par un autre couple coplanaire de moment égal mais de sens opposé.

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Un couple de forces dans

l’espace est complètement défini par trois éléments:

- la valeur du moment

- l’orientation du couple dans

l’espace définie par la directionde la normale à ce plan;

- le sens du couple dans le plan

Cela permet de représenter le couple par un vecteur dont:

- la grandeur donne l’intensité- la flèche, le sens par la règle du tire bouchon qui enfoncé donne le sens de rotation- la direction du vecteur est celle de la normale au plan du couple

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ExempleUne force (de translation) peut provoquer un moment comme dans l’exemple ci-dessous :

Si on exerce une force F, le boulon tend à tourner à l’autre extrémité. Puisqu’il y a tendance à la rotation, il y a moment.

So

urc

e :

Stu

de

r e

t F

rey

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3- Moment dû à une forceCalculLa rotation a lieu autour de l’axe du boulon (axe X). Le moment M est porté par l’axe X et s’applique au point B

Le moment est donc donné par le vecteur et son intensité vaut :

M = F . d (1)�

M = 200. 0,3

= 60 N.m ou 6000 N.cm

Unité et signeD’après la formule (1), l’unité du moment est donc un unité de force multiplié par une unité de

distance.On utilise le « Newton mètre », N.m

Le signe est réglé par le sens (cf. règle du pouce : le moment est positif s’il est orienté dans le

même sens que l’axe qui le porte). Ici le moment est positif.

So

urc

e :

Stu

de

r e

t F

rey

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CalculLa distance ‘d’ (ou bras de levier) est

mesurée sur la perpendiculaire à la ligne d’action de la force.

M1 = F . d1

d2 < d1

M2 < M1

d = 0

M3 = 0

Fd1

Fd2

F

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3- Moment dû à une forceAutre cas type

d

P

F

A B C

A

F

B

P

C

d

F

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Considérons un homme dans une barque près d'un appontement. Il désire faire pivoter la barque; pour cela il va se repousser du quai.La position de l'homme dans la barque a son importance: la barque tournera dans un sens s'il se trouve à l'arrière et en sens opposé s'il se trouve àl'avant.S'il se tient directement au dessus du centre de gravité C de la barque, notre homme ne parviendra qu'à s'éloigner du quai sans aucune rotation.

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Il y a une autre méthode pour faire pivoter cette barque; l'homme y parviendra en repoussant le quai d'une main et en tirant avec l'autre main – en d'autres termes il exerce deux forces égales et opposées suivant des lignes d'action parallèles -.

Une telle paire de force possède des propriétés particulières qui lui méritent le nom distinctif de couple.

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C'est non seulement le sens, mais la grandeur de l'effet de rotation d'un couple - son moment – qui reste le même oùqu'il soit appliqué.

Vis à vis du point A:M/A = - P x d

vis à vis du point B:M/B = - P x a - P x b

= - P x (a+b) = - P x d

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Comme précédemment. Calculons le moment par rapport au point C, pris hors du couple:

Vis à vis du point C:MC = - P x (d+c) + P x c

= - P x d

Quel que soit le centre de rotation, le moment d'un couple est égal au produit de la grandeur des forces qui le composent par leur distance mutuelle.

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L'effet rotatif d'un couple, son moment, ne dépend pas du lieu d'application sur le corps.

Grandeur et sens de rotation de son moment définissent donc entièrement un couple.

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3- Moment dû à une forceExercice d'application

M/0 = ?

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M/0 = + 5daNx1m + 15daNx2m – 10daNx3m = + 5 daN.m

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M/0 = ?

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M/0 = - 10daNx1m + 15daNx2m – 25daNx1m = - 5daN.m

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4- Le frottement

DéfinitionLe frottement est la résistance qui s’oppose au déplacement relatif de 2 solides en

contact.Le frottement dépend :- du type de mouvement : translation, rotation, roulement, pivotement….- de la vitesse- de la présence éventuelle d’un lubrifiant (frottement sec ou librifié)�

- de l’état des surfaces en contact- de la température, etc.

C’est un phénomène complexe

Il se caractérise par le fait qu’il s’oppose au mouvement qui lui a donné naissance.

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4- Le frottementDéfinition

Pour le frottement F de glissement sec à l’état statique, on peut utiliser la loi de

Coulomb.

P

HF

On peut montrer que F = µ . P

avec

µ

Métal sur métal 0,30

Pierre sur Pierre 0,30

Bois sur Bois 0,40

Acier sur Béton 0,03Métal sur Pierre 0,50

Métal sur bois 0,40

Pierre sur Terre 0,60

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4- Le frottement

Quand il n’y a pas de frottement

(chaussée verglacée par exemple),

pour déplacer le corps ci-contre il

suffit d’une force F// (parallèle au

plan de glissement) minime.

Le plus souvent, il y a frottement et

F n’est pas négligeable. Des séries

d’expérience montrent que

l’intensité de F// dépend de:

-F⊥ perpendiculaire au plan de

glissement (ici Q+P)�

- la nature des deux matériaux en

contact

- ne dépend pas de l ’aire de la

surface de contact (l’expérience ci-

contre donne F1=F2=F3)�

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4- Le frottement

L’intensité de de F est donné par la

formule:

F// = constante x F⊥

Cette constante est le coefficient

de frottement

c = F// : F⊥

Ce coefficient caractérise le

frottement entre les deux matériaux

Définition

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4- Le frottement

Sur un plan incliné sans

frottement pour que le

corps soit en équilibre, il

faut le retenir avec la

force F

Définition

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4- Le frottement

Le poids P peut se

décomposer en:

- une force ⊥ au plan de glissement (la réaction du

plan) : P.cosα

- une force // au plan de

glissement : P.sinα

L’équilibre du corps

implique l’égalité des deux

forces opposées:

F = P x sin α

Définition

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4- Le frottement

En utilisant les acquis

précédents du cas du

frottement sur un plan

horizontal, on :

F// = P.sinα

F⊥ = P.cos α

Et l’on peut en déduire

l’expression du coefficient

de frottement

Définition

Coefficient de frottement c

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4- Le frottement

Le coefficient de frottement des deux matériaux (du

corps et du plan incliné est égal à la tangente de l’angle

du plan incliné à la limite du glissement.

Définition

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4- Le frottement

Quelques coefficients de frottement:

acier / acier: 0,3 (train; métro etc..)

sol/béton: 0,5 (fondation) �

Exemples

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4- Le frottement

Pour que la luge avance sur la neige Toto doit exercer

une force de de 10N sur la corde.

Sachant que le coefficient de frottement entre la neige et

les patins de la luge est de 0,05, quel est le poids de la

luge ?

Exercice

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4- Le frottement

F// = Tcos30° F⊥ = Pds - Tsin30°

coff frot c = F// : F⊥ d'où F⊥ = F// : 0,05

soit Pds - Tsin30°= Tcos30°/ c

soit Pds = 10x0,866/0,05 + 10x0,5 = 178,2 N

Exercice

Tsin30°

Tcos30°Pds

T

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5- La poussée d’ArchimèdeDéfinitionTout corps plongé dans l’eau (fluide) subit une force vers le haut et égale au

poids du volume d’eau (fluide) déplacé.

CalculPar définition, la poussée d’Archimède peut donc s’écrire :

PA = (volume d’eau déplacé) x (poids volumique de l’eau)�

PA = (volume immergé en m3) x 10 kN/m3

P

PA

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5- La poussée d’Archimède

Exemples d’application de la poussée d’archimède

Sous marin / ballast Dirigeable

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Exercice / Le dirigeable

Soit un dirigeable de forme

cylindrique R = 5m / L = 50m

Quel poids total (poids propre +

surcharge) peut-il emporter ?

Masse volumique de l’air 1,3 g/l

Soit 1,3 Kg/m3

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Exercice / Le dirigeable

Volume du dirigeable

V = section x L

= Π R² x L = Π x 5² x 50

= 3925 m3

Poussée d’archimède = Poids du

volume déplacé

= V x 1,3 Kg/m3 x 10 m/s²

= 3925 m3 x 13N/m3 = 51025 N

= 51,02 KN (5,1 Tonne force)

Capacité portante = poussé

d’archimède = 51 KN

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Exemples d’application de la poussée d’archimède

Tanker

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Bibliographie du cours

. Halik Daniel, Polycopié de cours - Statique, Ecole Nationale Supérieure d’Architecture de Marseille : Marseille, Novembre 2005.

. Fleury François, Statique - Résistance des matériaux - structures, polycopié de cours de l’Ecole

Nationale Supérieure d’Architecture de Lyon : Lyon.

. Sandori, Petites logiques des forces, Editions Seuil Point Sciences : Paris, 1983.

. Studer Marc-André et Frey François, Introduction à l’analyse des structures, Presses

Polytechniques et Universitaires Romandes, 2004, 368 p.

Jean Luc Zanforlin - ENSAM

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