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•
POLÍGONOS
REGUL
R S
Al comenzar este capftulo conviene
re
cordar las siguientes defini-
ciones:
1o
Un poi
fgono
se
dk:e regular cuando tiene todos sus lados y to-
dos sus ángulos respectivamente iguales.
2
Un
polfgono
se
dice
inscripto
en
una circunferencia cuando
todos sus vértices pertenecen a dicha circunferencia en cuyo ca
so
la
circunferencia se dice circunscripta
al
polfgono.
e
Ejemplo
•
l
pollgono
ABCDE
está
inscri
pto
en
C
O
;
r>
26
3 Un
polfgono
se
dice
r
cunscripto a una ci rcunferencia cuando
todos sus lados
son
tangentes a dicha circu
erencia
en
cuyo
caso
la
circunferencia
se
di
ce
in
ripta
en
el polfgono.
-
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Ejemplo:
• El pollgono MI ÍIPQRS está circunscripto en
Ceo•
r ) .
Si el
poligono es regular el cen-
tro
de
la
circunferencia inscripta
y
el centro de
la
circunferencia ci rcuns-
cripta coinciden con
el
centro del po-
ligona.
N
p
S
M
A continuación
se
demuestra el teorema
que
permite dibujar un
poligono regular aprendie
ndo
a inscribirlo
en
una circunferencia.
TEOREMA :
Si
una circunferencia se divide en tres o más arcos igua-
les se trazan las cuerdas determinadas por los pares de puntos de divi-
sión consecut
ivos
el polfgono inscripto que se obtiene es regular
Para la
demostración
se
considera
el caso
particular
en
que la cir-
cunferencia
se
ha dividido
en
6 .arcos iguales.
H)
C
-
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9
Igualdad de ángulos.
C
om
o
AffC =
B
CD = co
t
=
DEF
= T = F
B
por ser cada uno de ellos suma de dos de los 6 arcos iguales de la hipó-
tesis, los ángul
os
inscriptos en el los son iguales. Es decir:
= =
B
= =
\
=
Demostrada la igualdad de los lados y la de los ángulos, queda pro-
bado que el pol gono ABCDEF es regular.
Como
la demostración es
la
misma, cualquiera sea el número de
arcos iguales en que se ha dividido la circunferencia, el teorema queda
demostrado, en general.
NOTA: Se demuestra también que:
1
i una circunferencia s divide en tres o más arcos iguales y por los
puntos de división se trazan /as tangentes a ella el pollgono circunscripto
que
se
obtiene
es
regular.
2 Todo po lígono regular s inscriptible circunscriptible
en
una rcun-
ferencia .
Es
decir, que dado un polfgono
re
gular existe una circunferenc ia en que él
está inscripto y otra circunferencia en que él está c
r
cunscript
o.
Inscripción de
polfgonos
regulares
con
transportado r De acuerdo
con el teorema que di
ce
que si una circun-
ferencia se divide
en
tres o más arcos igua-
les, y
se
t razan las cuerdas determinadas por
los pares de puntos de división consecutivos ,
el pol gono inscripto que se obtiene es regu-
lar ; para inscribir un pol(gono regular de 3,
4, 5 6 6 ados , etc. , hay que ap render pr
e-
viamente a dividir la ci rcunferencia en 3 4 .
5 6 6, etc., arcos igua les. Para dividir la
circunferencia
en
arcos iguales,
se
razona
as : recordando que la suma de todos l
os
ángulos consecutivos formados
alrededor de l centro de la ci rcunferencia es igual a 360°, si
se
t iene,
por éjemplo la circunferencia dividida
en
5 partes iguales, se comprende
que el ángulo central, que abarca cada uno de los arcos, es igua l
a:
3650° =
720
Luego, pa ra inscribir
un
p
en
tágono
en
una c
r
cunferenci
a
utilizando
el
transportador,
ba
sta cons
tr
u r
cinco ángu l
os
centrales consecutivos
1?8
-
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de o cada uno. La circunferencia queda dividida en 5 arcos igllales y
se obtiene el pentágono regular inscripto. También
se
puede dibujar un
solo ángulo central de oy la cuerda que
su
btiende el arco que abarca
es el lado del pentágono regular inse>ripto; basta entonces t ransportar
consecutivamente 5 veces dicha cuerda y se obtiene el pentágono regular
inscripto.
En
general si el
po
lígono regular que
se
desea inscribir t iene
lados el ángulo central que debe
on t
ruirse es
de
3
~
.
A continuación figuran
las
gráfi as correspondientes a la inscrip
ción en una circunferencia
de
l triángulo equilátero cuadr
ado pe
ntágono
y
hex
ágono regulares.
60 0 - 1200
3 -
6 ° _ goo
4 -
lnscripcion
del cuadrado
con
regla compás.
Para inscribir
un
c
ua
-
dra do
en
u
na
circunferencia se trazan dos diá
met ros perpehdiculares por ejemplo AC y BD.
Uniendo ordenadamente los puntos A
B
C y D
se
obtiene el cuadrado
ABCD
pedido.
En efecto:
Siendo
AC
1
BD
los cuatro ángu l
os
en
O
son rectos; por consiguiente cada uno de ellos
B
A
es
de 90°=
36
Jo y por lo dicho
en
la ins-
0
e
cripción de poligonos regulares con tra nsportador AB CD . resulta poli
geno
regular ·.
de
4 lados o
sea
el cuadrado.
Se comprende que
la
longitud cf
el
lado de un pol ígono regular de-
·pende de
la
circunferencia
en
que está inscripto. Así si
en
una ircu n
ferencia de radio r
se
inscribe un pentágono regula r
el
la
do de
este
pentágono tiene una determinada longitud.
Si se considera u
na
circunferencia de radio mayor el lado de l pen-
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-
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tágono regular inscripto
en
ella tiene una longitud mayor. Es decir que
a cada radio corresponde una longitud del lado del pentágono regular
inscripto en la circunferencia, o sea que dicho lado ~ función del radio.
Lo mismo ocurre con cualquier otro polfgono regular.
Se
estudian a continuación las expresiones de los lados de diferentes
polfgonos regulares en función del radio.
Cálculo del lado e la apotema el cuadrado en función el radio
e la circunferencia en que está inscripto.
Antes de pasar
al
cálculo del
lado y de la apotema conviene recordar que
es
costumbre designar
el
lado
de un polígono mediante una letra l con un subfndice igual
al
número de
lados. Asf,
en
el
caso del cuadrado, el lado se designa por l
4
; el lado del
hexágono regular por
l
6
, etc. ·
Análogamente, la apotema de un polfgono regular,
se
designa me
diante una letra
a
con
un
subfndice igual
al
número de lados. Asf
la
apotema de un cuadrado se designa por a
4
; la apotema del hexágono
regular se designa por a
6
etc.
a. Cálculo del lado
A
El
lado AB del cuadrado
es
la hipotenusa del triángulo rectángulo
AOB;
luego, por el corolario del teorema de Pi tágoras, que dice que: la
hipotenusa es igual a la rafz cuadrada de la suma de los cuadrados de los
catetos, es:
AB =V
O
2
OB
2
pero:
AB
=
4
;
AO
= r ; 8 = r
Luego, reemplazando en [1]:
[1]
l 4 = ~ = ~ = v y-¡2=y2
r
O
sea:
A
o
B
e
que
es
la
expresión del lado del cuadrado en función del radio de la circun
ferencia en que está inscripto y que establece que:
1
l lado del cuadrado inscripto en una circunferencia es igual al radio
de
la misma multiplicado por
\. 2.
b.
Cálculo
de la
apotema
Como se
sabe
la apotema
de un
polfgono regular
es el
segmento de-
130
-
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terminado por
su
centro
y el
punto medio de uno de
sus
lados,
y
por
consiguiente, resulta perpendicular a dicho lado.
o
Al trazar la apotema OM del cuadrado ABCD, queda formado el trián-
t:. -
gulo rectángulo
AMO, en el
que OM
es un
cateto; luego, por
un
corolario
del teorema
de
Pitágoras, que dice que:
en
todo triángulo rectángulo
un
cateto es igual a la rafz cuadrada de
la
diferencia entre
el
cuadrado de
la
hipotenusa
y el
cuadrado del otro cateto,
se
puede escribir:
pero:
OM
=a
4
y
como:
AM
_ AB _
2 2
AM = r y l2
2
Reemplazando
en
[1], resulta:
[1]
A
D
e
a
4
= V
2
_ r y V
2
_ r ~ 2 =V
rL
¡ 2
r
=
=1/2r2
=
....;2r2
V 2
=
V2r
4 V4 2 2
O
sea:
1 a =
6
relación que expresa la apotema de
un
cuadrado en función del radio de
la circunferencia en que está inscripto y que establece que:
1
a apotema del cuadrado inscripto en una circunferencia es igual a la
mitad del radio de la misma multiplicado por
\[2.
OBSERV CióN
De la expresión correspondiente
al lado
y la apotema del cuadrado
en
función
del
radio resulta que la apotema
es
igual a
la
mitad
de
l lado.
Esta
deducción puede hacerse. también as : al trazar
la
apotema
OM
- o
{:
-
y
la diagonal
AC
del
ABCD,
queda determinado el
ABC,
en el que OM
es
la base
media correspondiente
al
lado
BC.
131
-
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En
consecuencia por la propiedad de la base media del triángu lo
ésta es paralela a BC e igual a su mitad es dec
ir
:
o sea :
OM
= 8 C
l
a =
D
A
8
Ejemplo e
•
a lcular el
radio
y la apotema
de
un cuadrado inscr ipto en una circunfe-
re
ncia de
10
cm de
r
ad
i
o
.co
ns
ideran
do
la
\[
apr
oximadame
nte
igua
l
a 1 41.
Como:
reemplaza ndo r
y V2
por su val
or
se tiene:
l
=
10
cm x
1 41
=
14
10 cm
Como:
4 14 10 cm
7 05
4
=
2
es a
4
=
2
=
cm
Si se quiere calcular independientemente la apotema
como: a
4
= rV
2
reemplaz ando r
y
V p
or
su val
or
se tiene:
a
4
= 10 cm X 1 41 = 5 cm
x
1 41= 7
05
cm .
2 .
Luego el
lad
o de dicho cuad rado
es
de 14 10 cm y
la
apotema del
mismo 7 05 cm.
Inscripción del octógono regular on regla compás. Pa ra inscribir
un octógono en una circunferencia
se
procede así:
Se
trazan dos diámetros pe rpendiculares el AB
y
el C
D
por ejempl
o.
C
ada
uno de los arcos que qu edan determinados es igual a la cuarta parte
de la circunferenc ia. Si se t raza la bisectriz de uno cualquiera de los án -
gu los · centrales por ejemplo la bisectriz del ángulo COO el punto
M es el punto medio del éB en consecuenc ia el arco
éM
es la octava
parte de
la
circunferencia por
se
r
la
mitad del éB; luego la cuerda CM
es el lado del octógono regular inscripto
en
la · ci rcunferencia . Transpor-
32
-
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tando cuerdas consecutivas iguales
e
CM se obtienen los oc
ho
vé rtices del
oc tógono.
En efecto:
CM = la pues
COM
= ~ y
como cOB = 90° por ser el ángulo
central correspondiente al lado
de
l
A o
cuadrado es : CO M = -
2
- = 45° que
A
D
360°
es igual a -
8
-
o
sea
el ángu
lo
central que corresponde
al
lado del
octógono regular.
Cálculo del lado
de l
apotema
del
hexágono regular
en
función
del radio de
l
circunferencia ·
en
que está inscripto. De acuerdo con lo di
cho, el ángulo central correspondiente al lado de un hexágono regular es
360°
-
6
=
60
°.
Sea
por ejemplo, el ángulo central AQtj = 60° cuyo
arco correspondiente es el
ÁB.
Determinando los arcos
Bc
,
éD
DE EF
y F iguales al
ÁB
y uniendo ordenadamente
los
puntos A,
B e,
D, E y F,
se obtiene el hexágono regu l
ar
ABCDEF pedido.
a Cá
u
lo del lado
ó
En el AOB se tiene:
OA
=
OB po
r radios de la circunferencia; y
como, en un mismo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales,
resulta, en dicho triángu lo:
\ \
A= B
A
Por otra parte, AOB =
60
°, y
como la
su
ma de los ángulos i
nt
erio
res de un triángulo es igual a 180°,
resu lta:
\
\
A
B 60°
=
180°
E
~
~ = 180°
- 60°
=
120°
\ \
B
y como A = 8, cada uno de ellos es igua l a la mitad de la suma anterior,
es
d
ecir
:
133
-
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A
Luego
el
AOB por tener sus tres ángulos iguales es equiángulo
y
en consecuencia es equilátero; es decir:
AB =
AO
=08
y
por lo tanto:
Pero AB
=
• Luego:
l
=
r
que es la expresión del lado del hexágono en función del radio de la cir
cun ferenc ia en que está inscripto
y
que expresa que:
1
l lado del hexágono inscripto en una rcunferencia
s
igual al radio
de la misma.
b. Cálculo e la apotema
Al
trazar la apotema OM del hexágono regular ABCDEF queda for
t: .
mado
el
triángulo rectángulo AMO en
el
que el cateto OM po r un coro-
lario del teorema de Pitágoras es:
pero:
OM = a
6
;
AO
=
r
E
B
y
AM
_ AB _ _. : _ = _r_
2 2
Reemplazando
en
[1]:
V
2
V r V
2_
r
a6
=
r
-
2
=
r
-
4
=
4
) sea:
expresión de la apotema de l hexágono regular en función del radio de
la circunferencia en que está inscripto
y
que expresa que:
-
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a
apotema de un hexágono regular inscripto en una circunferencia
es igual a
la
mitad del radio
de la
misma multiplicado por yf3.
Inscripción del
hexágono
regular con regla compás. Siendo el lado
del hexágono regular inscripto igual
al
radio para inscribir
un
hexágono
regular
en
una c i
rcunferencia
se
transportan
con
el compás a partir
de
un
punto de
la
misma seis cuer
das consecutivas igua
les
al radio de
terminando seis puntos en la circun
ferencia que son los vértices del
hexágono.pedido.
D
Inscripción del
dodecágono
regular con
regla
compás.
Teniendo en
cuenta que .el número de lados
de
l dodecágono es doble del número de
la-
dos del hexágono para inscribir
el K
dodecágono regular se procede asf : . 4 t = = = = ~
con
el
compás se determina
la
cuerda
Ae igual al radio.
Se
traza la bisec-
A
triz del ángulo central
AOe
que corta
al
arco
Á
en su punto medio B. El
AB es
el
lado del dodecágono. Trans-
H
portando consecutivamente cuerdas
iguales a
AB
se obtienen los vértices
A B e O E
F
G H 1 J K
y
L del
dodecágono regular.
F
E
Se
A
En efecto: AB
=
l
pues A O ~
= -
2
; pero
AOe
=
60° por
ser el ángulo central correspondiente al lado del .
he
xágono; luego:
A
60° 360°
AOB = -
2
- = 30° que es igual a o
sea
el ángulo central co-
rrespondiente
al
lado del dodecágono.
Inscripción del triángulo equilátero con regla compás. Teniendo en
cuenta que el número de lados del triángulo
es
la mitad del número de
lados del hexágono para inscribir
un
triángulo equilátero se procede asf:
con el
compás se transporta consecutivamente
el
radio
de
la circunferen
cia como para inscribir
el
hexágono obten1éndose los puntos A B C
-
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D, E y F. Se unen luego alternadamente los
puntos de división, por ejemplo A C y E obte-
niéndose el triángulo equilátero ped ido A8E.
En efecto:
/ \ / \ / \
AOC = AOB + BOC = 60° + 6 ° = 120°
36
°
que
es
igual a -
3
-
o
sea
el
ángulo cent
ra
l
correspondiente al lado del triángulo equilátero;
luego: AC CE EA = Z
3
.
A
D
Cálculo del lado
de
la apotema del triángulo equilátero
en
función
del radio ·de la circunferencia en que • stá inscripto.
a Cálculo del lado
Se
traza
el
diámetro que
pasa
por uno de los vértices del triángulo
t:
equilátero inscripto
ABC
por ejemplo, por el vértice A y que determina
sob re la circunferencia el punto
P;
se une B con P. Queda así formado
t:
A
el triángulo ABP que es rectángulo en B, por estar el B inscripto en
la
semicircunferencia ABP:
- t:
El la
do
AB es
un cateto del triángulo rectángulo ABP; luego, por un
corolario del
te
orema de Pitágoras,
se
puede escribir:
[
l]
pero:
AP
= 2 r
En efecto: BP
es
el
la
do
del
hexá
gono,
. t:
pues
un1endo
P con C resul
ta CPB en
el que
\
A
a = a = 3 ° por tener como complemen-
/ \
\
tos
y
W que
son
i
gu
ales a
6 °
por ser
t:
ángulos del
tr
iángulo equ ilátero. Lu
ego
CPB
es
isósceles,
es
decir,
CP
= PB ;
en
cons
e-
cuencia
---.
---. CPB
...._
CP
=
PB = -
2
. Como el CBP
36
A
p
A
p
-
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subtiende a Z
3
, su mitad
P
subtiende a
l
6
Reemplazando
en [1], AB,
AP y
BP
por sus valores, se tiene,
Z
3
=yl 2 r 2 r2
=V
4 r2 r2
=V
3
r2
=y13 =y13
r
o sea:
que
es la
expres ión del lado del triángu lo equilátero
en
funci
ón
del radio
de
la
circunferencia
en
que está inscripto
y
que expresa que:
1
l
lado del triángulo equilátero inscripto
en
una circunferencia
es
igual
al radio de
la
sma multiplicado por
-yT.
b. Cálculo de
la
apotema
/:: .
Se
traza
la
apotema
OM
del
triá
ngulo equ ilátero
ABC y se
une
O
con
C.
/:: .
Queda formado el
OMC,
rectángulo
en
el que el cateto OM puede
expresarse:
OM=VOC
2
M C
2
por un corolario del teorema de Pitágoras.
Pero:
y como Z
3
= r
y3,
es:
OM
=
a
3
;
OC = r
Me
_ CB _ _ _
- 2 - 2
MC = . n
/3
2
Reemplazando
en
[1],
OM,
OC
y
MC, se t iene:
A
_
V
_ r
V3
2
_
V _ ...
r2
V3
2
_
V
r2
-
r2
3
a3
- r
2 -
r
4 - 4
_ V r2 -
3
r2 _ 1/Y= 1/12
- 4 yT \(4
[1]
-
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o
sea:
expresión de la apotema de un triángu lo equilátero en función del radio
de la circunferencia en que está inscripto y que expresa qu
e:
1
a
apotema del triángulo equilátero inscripto en una circunferencia
es
igual a la
mit d
del radio de la misma
OBSERV CióN
Teniendo en cuenta que:
l
=
r y
r
= 2
ry
3
a = 2
Se deduce inmediatamente que
la
apotema del triángulo
es
igual
a
la
mitad del lado del hexágono regular
y
la apotema del hexágono regu-
lar es igual a la
mit d
del lado del triángulo equilátero
Ejemplo:
•
a
lcular
el
lado
y
la apotema
de
un triángulo equilátero inscripto
en una
circunferencia de 6 cm
de
radio. Para el
cá
lculo
se
considera \ ( 3 ~ 1 73. -
Como:
reempl
azando
se tiene:
Z = 6 cm x 1 73= 10 38 cm .
Como:
r
eemp
l
azan
d
o se
tiene:
6cm
aJ
2
= 3 cm.
Luego el radio
de
dicho t r iángulo equ ilátero insc ripto en
la
circun
ferencia es
de
10 38 cm y
la apotema
de 3 cm.
nscripción
del
decágono
regular
con regla
compás. El lado del de
cágono regular es
la
parte mayor del radio div idido en media y extrema
razón; luego para inscribir un decágono regular con regla y compás se
procede así:
se
traza un radio
el OA
por
ejemplo. Por el extremo A
se
tr
a
za
la recta n
1 OA
y sobre dicha perpendicular se determina:
8
-
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AQ
=
A
2
°
Se
traza la circunferen-
cia de centro Q
y
radio
AQ
y
la
recta F
OQ · que corta a dicha circunferencia
auxiliar
en P.
H
D
e
J
;
El
OP es el lado del decágono regular inscripto . Si se transportan
consecutivamente, a partir de A cuerdas iguales
al
segmento
OP se
obtie-
nen los vértices del decágono regular, que unidos entre si dan el poligono
pedido.
Inscripción
del
pentágono
regular con re-
gla compás.
PRIMER PROCEDIMIENTO. Te-
niendo en cuenta que el número de lados del
pentágono
es
la mitad del número de lados
del decágono, para inscribir el pentágono re-
gular en una circunferencia se determinan los
vértices correspondientes al decágono r
egu
l r
inscripto y luego
se
unen alternadamente a
partir
de
uno
de
el los obteniéndose el pentá-
gono regular pedido.
SEGUNDO
PROCEDIMIENTO.
Se
traza el
diámetro
RS y
el radio perpendicular
OA. Se
determina
M
punto medio del radio OS .
Con
centro.en M ·Y radio MA se traza un arco que
corta al radio OR en el punto P. El AP es el
lado
de
l pentágono buscado.
Se
transporta
consecutivamente el segmento
AP
determi-
nando los vértices correspondientes del po l
í-
gono pedido.
E
R
A
E
B
S
NOTA: El P determinado en la construcción anterior
es
el lado
del
de-
cágono
regular inscripto
en esa misma
circunferencia.
1
1
-
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Algunos pollgonos regulares no pueden inscribirse exactamente
en
la circunferencia con regla y compás. Pero en la práctica interesa cons
truir, aunque sea en forma aproximada, pollgonos regulares de cualquier
número
de
lados, por
eso
se
da
a continuación un procedimiento general
que permite obtener asf,
en
forma aproximada, un poligono regular
de
un número cualquiera de lados.
1
Se
a
por ejemplo, inscribir aproxima-
~
P
damente un heptágono regular en la c
ir
-
/ --
cunferencia. Se divide un diámetro, el
AM por ejemplo,
en
7 segmentos igua
les
.
Se traza po r
el
centro O la perpendicular
a dicho diámetro. Con centro en A
y
radio
AM
se
traza un arco que corta a dicha
perpendicu lar en P. La semirrecta de ori-
gen
P
que
pasa
por
el
segundo punto de
división del diámetro a contar desde A
determina sobre la circunferencia el pun-
to
B.
El segmento
AB es
aproximadamen-
te el lado del heptágono regular inscripto.
- - . - ~ \ \
- - ~ - -
_ . .
1
1
1
1
e
Para inscribir otro polfgono regular cualquiera
de n
lados,
se
divide
el diámetro en
n
partes iguales y se procede en forma análoga a·J caso
anterior.
uperficie
e
un pollgono regular
a
superficie del pollgo
no
regular
es
igual al semiproducto del perl-
me o por la apotema
Simbólicamente:
r
Prt X an
Superficie poi gono r
eg
ular de
n
lados
=
2
Justificamos la fórmula
pa
ra
el caso
par-
ticular en que
n
=
6.
·
Se trazan los radios del hexágono
y
éste
queda dividido en 6 triángu l
os
iguales. Luego,
la superficie del hexágono
es
igual a la super
ficie
de
uno de
esos
triángulos multiplicada
por 6, es decir:
A
e
Sup.
ABCDEF
=
Sup. AOB x
6
14
F
[1 ]
-
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•
pe ro:
pero:
Sup A8B
= base
t u r
Como la
base
es AB =
l
y la altura es a
6
se t iene:
Sup. A8s
= l
a
6
Reemplazando en ]
Sup.
ABCD
EF
=
l
a
6
X 6
1
luego:
Sup. ABCDEF = p
6
~
En
general
la
fórmu la es
vál
ida, cualquiera
sea
el número
de
.lados
del polfgono regular.
Luego:
p x a
Su
p
po
i íg reg. de n lados
=
2
Ejemplo
•
a lcular la superf icie del hexágono regular inscripto
en
una circunferen-
cia de 12 cm de radio.
Como:
4= r es 1
= 12 cm,
y en consecuencia:
P
=
l
·x 6 = 12 cm X 6 = 72
cm
Como: a
6
= r 1/3
2
es a
6
=
12
c m t l
73
=6cm x
l 73=
10,38cm
Luego:
·Sup hexág. reg. buscado =
72
cm X
2
10
•
38
cm = 373,
68
cm
2
Como para
el
cálculo de la superficie de los polígonos se neces
it
an
los perímetros
y
las apotemas, figuran a continuación tres cuadros donde
aparecen calculados: En el primero, los lados de l
os
po l ígonos regulares
·inscriptos·
en
una circunferencia de radio igual a
1
m;
en
el
segundo,
las apotemas de
esos
polígonos, y
en
el tercero, las apotemas de los
pol
ígonos regulares cuando
el
lado correspondiente es igual a
1 m
4
-
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CUADRO
1
Valor del
l do de
un
polfgono
regular inscripto
en
un
circunferencia
de
radio igual a m
/3
=
1 732 m
/
4
=
1 414 m
= 1 175 m
/
6
= m
CUADRO
/
8
=
0 765
m
/
9
=
0 684 m
/
10
= 0 618 m
/
12
=
0 517
m
Valor de l apotema de un polfgono regular inscripto en
un circunferencia
de
r dio igual a m
a
3
=
0 5 m
a
4
= 0 707 m
a
5
=
0 809
m
a
6
= 0 866
m
a
8
=
0 924 m
a
9
= 0 940 m
a
10
=
0 951
m
a
12
= 0 966
m
Como
los valores de los lados y las apotemas que f iguran eQ los cua -
anteriores corresponden a u n pollgono regu lar inscripto en una
radio igual a
1 m
cuando se tiene que calcu lar
el
lado
apotema que corresponde a una circunferencia de radio diferente por
radio
=
1 3
m
basta multiplicar
po
r 1 3
la
dimen
si
ón que fi-
en el cuadro.
Asf
por ejemplo:
Calcular el lado y la apotema de un triángulo equi látero inscripto en
circunferencia
de
radio ig
ual
a
1 3
m.
Como
en el
cuad
ro
f igura para l a el valor 1 732 m para el triángulo
el lado es:
1
732 m
x
1 3
=
2
2516
m
Como
en el cuadro f igura. para a
3
el valor 0 5 para el t riángulo pe-
la apotema
es:
0 5 m x 1 3
=
0 65 m .
-
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CUADRO 111
Valor
de
la apotema
de
un pollgono regular cuando el
lado de dicho polfgono
es
igual a 1 m
a
3
=
0 289
m
a
4
=
0 5
m
a
5
=
0 688
m
a
6
= 0 866
m
a
=
1 207
m
a
=
1 374
m
a
10
=
1 539 m
a
12
=
1 866
m
Ejemplo
•
l
lado
de un
octógono regular
es
de 2 5 m. Calcu
la
r
la
apotema.
Como en el cuadro para Zt = 1 m figura a
8
igual a 1 207 m para el octó
gono pedido es:
a = 1 207 m x 2 5 = 3 0175 m .
EJERCICIOS
Y
PROBLEMAS DE
APLICACION
>
- Calcul
ar
el
lado y la apotema del cuadrado inscripto
en
una
cir
cunferencia cu
yo radio
es:
l r =
2
cm;
2.
r =
5
cm;
3. r = 3 4 cm;
4. r =
12cm;
5. r = 1 6 m
2 > - Calcular el lado y la apotema del hexágono regular inscripto en una circun
ferencia cuyo radio
es:
l r = 3cm;
2. r = 4
,2c
m;
3.
r
1 8 cm;
4. r
15mm;
5.
r = 5,5cm.
39 - Calcular el lado y la apotema del triángulo equilátero in
sc
ripto en una c
ir
·
cunferencia cuyo r
ad
io
es:
l r = 2 5 cm ;
3.
r
=
4,5 cm; 5. r = 10 mm.
2. r = 30 mm; 4. r = 12 mm;
49 - . Aplicando el cuadro correspondiente calcular:
a. la apotema de un decágono regular sabiendo que
el
lado es de
40
cm;
b.
la
apotema de un eneágono regular sabiendo que
el
lado
es
de 3 4 cm;
c. la apotema de un dodecágono reg ul ar sabiendo que el lado es de 5 2 cm.
59 - Dadas tres circunferencias cuyos radios
so
n de: 3 cm; 5 cm; 4 cm
in
scribi r
en cada u
na
de ellas con regla y compás los siguientes polfgonos regulares:
triángulo equilátero cuadrado hexágono octógono
y
dodecágono.
143
-
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69 - Ca lcular la su perficie de
un
pentágono regular tal que:
a. su lado es de 4 5 cm
y
su apotema de 3,096 cm;
b. su lado es de 7 cm y su apotema de 4,816 cm;
c. su lado
es
de 3,2 cm y su apotema de 2,20 1 cm.
79 - Hallar la superficie
de
un hexágono regular tal que:
a.
lado=
5 cm; c.
pe
rlmetro = 15 cm;
b. lado = 3
cm
; d. perlmetro = 3,6 cm.
89 - Calcular la superficie de un pen tágono regular
ta
l que:
a.
lado = 7,5 cm; c. perlmetro = 60 cm;
b. lado = 4 cm ; d. perlmetro = 8,5 m.
99 - Calcular la superficie de un octógono regular tal que:
a.
lado = 8 cm ; c. perlmetro = 96 cm;
b. lado =
11
c
m;
d. perfmetro = 18 m.
109 - Observar qué pollgono convexo determinan todas las diagonales de un pen·
tágono regu la r.
119
- Dado un
tr
iángulo equi lá tero,
tr
azar
tr
es rectas que lo descompongan en otro
·.
tres triángulos equiláter
os y un
hexágono regular.
129 - La superficie
de
un hexágono regular de 1,73 m de apotema, es de 10,38
m2.
Calcular
la
su perficie del t riángulo equilátero inscripto en
la
misma ci rcunfe
rencia y probar qué parte de la superficie del hexágono es.
139 -
La
superficie de un hexágono reg
ular
inscr
ip
to
en
una circunferencia
es
de
1,26
m2.
¿Cuál
es
la superficie del cuadrado inscripto
en
la misma cir
cunferenc ia?
Respuesta 0 9711 m
2
•
149 -
Sab
iendo que la superficie de un hexágono regular
es
de 16
m2
calcular el
perlmetro
y
la apotema. Exprésese la apotema en función del lado.)
Respuesta
14
88
m 2
1452
m.
159
- Resolve r el problema anterior cuando
la
superficie es :
a. 45 c
m2;
c. 32m2;
b. 8 cm
2;
d. 25,40
m2.
169
-
La
superficie de un triángulo equilátero es de 8 m2. Calcular
la
altura.
Respuesta
3
72
m.
179 - Resolve r el problema anterior cuando
la
superficie es:
a. 35cm2; c. 42m2;
b. 21,20 m2;
d. 18,40 cm
2
189
- Decir cuáles son los ejes de s
imetrla
de un pollgono de un número par de
la
d
os
y
comp rob arlo por
el
criterio
f l
sico.
190 - Decir cuáles son los ejes de simetrla de un pollgono de un número impar de
lados
y
comprobarlo por el criterio flsico.
44
-
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9
SEMEJ NZ E
POLÍGONOS REGUL RES
E
IGU L
NÚMERO
E L DOS
TEOREMA: Dos
polfgonos regulares
e
igual número de lados son
semejantes.
H ABCD
.
MN y
A B C
1
D .
M
1
N
1
polígonos regulares
de
igual
número
de
lados.
T
políg. ABCD MN
N
políg.
A
1
B
1
C
1
D
1
•
• • M
1
N .
Demostración:
De
acuerdo con
la
definición
de
polígonos semejan
tes, para demostra r
la
semejanza de estos polígonos hay que probar la
igualdad
de
los ángulos y
la
proporcionalidad de los lados homólogos.
1o
Igualdad
e
ángulos.
Recordando que
la
suma
ae
l
os
ángulos interiores
de un
polígono
~ igual a dos rectos, por el número de lados menos
2,
para el polígo
no ABC
MN que tiene
n
lados, resulta:
\ \ \
1\
A
+
B
+
C
+ · ··
+
N
=
2 R
n
-
2
Como
el
po lígono
es
regu lar, tiene todos sus ángulos iguales, y
en
consecuenci
a,
cada uno de ellos
es
igual a la enésima parte de
la su
m
a,
es
decir:
~ _ _ _ ... _ _
2 R
n - 2
- - - - .-
= c.:....:.c:.n_.=.:...
[ ]
Análogamente, para el polfgono A B
1
C
1
•
M
1
N
1
,
que también
es re-
gular y de
n
l
ados,
resulta:
~ ~ = ~ = ~ = ... = =
2 R
n -
2)
n
[
]
Como los últimos miembros de [1 ] y
[2]
son iguales, resulta que l
os
ángulos del polígono
ABC
MN son iguales a
los
ángulos
de
l polí
gono A B
1
C
1
•
M
1
N
1
.
5
-
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20 Proporcionalidad de los lados homólogos
Por ser ABCD . . .
MN
polfgono regular, sus lados
son
iguales,
es
decir:
AB = BC = CD = ··· = MN = NA
Análogamente en el polfgono regular A'B'C'D' . . . M'N', se veri-
fica que:
A B'
=
B'C'
=
C'D'
= ·· · =
M N
=
N'A'
Dividiendo ordenadamente las igualdades anteriores, resulta:
AB =
BC
= CD = ... = MN _ _ __
A'B' B'C' C'D' M N N A'
que expresa la proporcionalidad de los lados homólogos
Luego, demostrada
la
igualdad
de
los ángulos
y
la proporcionalidad
de
l
os
lados homólogos, queda probado que:
pollg.
ASCO
. . . MN
ro
pollg. A'B'C'D' . . . M N
que es lo que
se
querla demostrar.
TEOREMA:
La razón
de los
perfmetros
de dos
polfgonos regulares de
igual número
de
lados es igual a
l
razón
de los
radios
o
de las apotemas
respectivas ·
Es decir:
p,. a,.
-p
= 7
Justificamos la
re
lación para
el
caso particular en que
el
número
de
lados
es
igual a 5.
Sean
los pentágonos ABCDE
y
A'B'C'D'E'.
Uniendo O con A y E, y 0 con A' y E', resultan los triángulos:
6.
AOE
6.
y A'O'E' que
son
isósceles por ser:
e
OA
= OE
= r
C
8
D
y
O'A' = O'E'
=
r .
D
-
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. .
\ \
t:n estos triángulos se venf1ca: O= 0 , por ser cada uno de ellos
igual a = o
A
Por ser AOE
isósceles,
es
=
t
=
1800
72
0
= 54o
2
A
\
6
18 °
o
Por ser A O E isósceles,
es A =
E =
=
54°
2
Luego, de [1] y [2 ] : = = ~ = t .
A A
[1]
[2]
Por consiguiente, los triángulos AOE y A
O
E
so
n semejantes, pues
al ser sus ángulos respectivamente igua les están comprendidos en
el
2
caso de semejanza de triángulos.
Por
lo tanto, sus lados homólogos son
proporc ionales,
es
decir:
A E A O
Pero AO = r y A O = r ; luego:
AE r
- - - -
A
E r
[4]
Como
dos polfgonos regulares
de
igual número
de
lados
son
seme
jantes, debe verificarse que la razón de sus perfmetros es igual a la razón
un par de lados homólogos, es decir:
De [4]
y
[5] resu lta:
Ps
_ AE
P
s - A E
[5]
[6]
Yeniendo en cuenta que a
5
y
a
5
resultan alturas homólogas de los
A A
l
os
semejantes AOE y A O E , aplicando
el
teorema que dice que
las alturas homólog
as
de dos triángulos semejantes son pr
opo
rcionales
los lados correspondientes,
se
tiene:
a
5
_
AE
a s
- A E
Comparando esta igualdad con Í a (51
se
llega a la
re
lació
n:
P s as
=
Ps as
[7]
-
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L
as x p r ~ s i o n
s [6)
y
[7]
son vá
lid
as, en
general, cualquiera
se
a el
nú
mero de lados de los polígonos regu lar
es
.
Luego, reemplazando el número de lados,
5,
por n en general,
re
su ltan las expresiones: ·
y
que son las que
se
querfan probar.
COROLARIO: Multiplicando
y
dividiendo por 2 los segundos miem
bros de las relaciones an teriores, se tiene:
P. 2 r
p ,. - 2 r
y
permutando l
os
medios, resulta:
P. .
p -,.
= 2 r
y
E
Como
r
y
r
son
los radios de las circunferencias circunscriptas <
los polfgonos, 2 r
y
2
r
son los diámetros de esas circunferencias.
Com<
a,. y
a ,. resultan ser radios de las
ci
rcunferencias inscriptas
en
los mis·
mos , 2
a,.
y
2 a
,.
son
los diámetr
os
de
esas
circunferencias.
Por lo tanto, puede enunciarse:
1
a raz6 1 del perímetro
de
un polígono regular l diáme
tro
de
la
cir-
cunferencia circunscripta
es
constante para todos
/os
polígonos regu-
lares
del
mismo número de lados
Análogamente:
1
a
razón del pe
rím
etro
de
un polígono regular
l
diámetro de
fa
cir-
cunferencia inscripta s constante para todos los poffgonos regulares
del
mismo
número de fados:
148
-
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MEDICIÓN
DE
FIGUR S CIRCUL RES
Imposibilidad de
med
ir una circunferencia
con
un segmento unidad
Para med
ir
la longitud de un segmento o de una po ligonal cualquiera basta
ver el número de veces que dicha longitud contiene a un segmento adop-
tado como unidad.
Para
estas mediciones
se
utilizan instrumentos apr
o-
piados, como la reg la graduada, en la que figuran determinados el seg-
mento unidad, sus múltiplos y submúltipl
os
que
pe
rmiten obtener las
medidas buscadas .con mayor o menor exactitud según la precisión de l
instrumento y de la observación.
En cambio cuando
se
trata de una curva,
en
particul r de una ci r-
cunferencia,
la
medición de su
lo
ngitud no puede hacerse mediante un
segmento rectil íneo unidad, pu
es
po r pequeño que éste
sea
, no puede
coi ncid ir
con
ningún arco
y en
consecuencia
es
imposib
le
establecer
la
razón
en tr
e
la
curva y el segmento.
Es necesa
rio,
en
tonces, recurrir a un procedimiento geométrico que
permita calcular
la
longitud
de la
circunferencia
y
en consecuencia,
su
medida.
Consideraciones geométricas
para la obtención de un segmento que
haga las veces
de
circunferencia rectificada
Si
se
considera una circu
n-
ferencia
y en
ella un polígono regu lar inscripto y otro ci rcunscripto,
po
r
ejemplo un cu
ad
rado inscripto y uno circunscripto figura de
la
izq
ui
erda),
es
fácil ver que la circunferencia está comprendida entre los contornos
de los dos cuadrados.
Si se
dupl ica el número de lados de los polígonos
se
ti ene el octógono inscripto y el octógono circunscripto figura de
la
de
recha);
se
obse
rva
que el perímet ro del polígono inscripto aumenta
mientras que el perímetro del po l ígono ci rcunscripto disminuye al mismo
t iempo que los contornos
se
aproximan cada
vez
más a
la
circunferencia.
Si
se
contin
úa
duplicando el número de lados
de
los pol ígonos regu-
lares, l
os pe
r ímetr
os
de
l
os
polígon
os
inscriptos
van
siendo
cada vez
-
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mayores, aproximándose cada vez más a
los
perfmetros de los polfgonos
circunscriptos, que
van siendo cada vez menores, al mismo tiempo que
sus
contornos se aproximan
cada
vez más a la circunferencia.
Si
se
prosigue con esta duplicación de lados, indefinidamente, los
perímetros de los polfgonos inscriptos y circunscriptos tienden hacia un
valor común que se llama longitud de
l
circunferencia
Es
decir:
la
longitud de
la
circunferencia
es
el
lfmite común
al
que
tienden los perfmetros
de los
polfgonos r
eg
ulares inscriptos y circunscrip-
tos
en
la circunferencia, al aumentar indefinidamente el número de lados.
El segmento que tiene e
sa
longitud,
es
decir, que es mayor que el
perfmetro de todos los polfgonos r
egu
lares inscriptos y menor que el
pe
-
rímetro de todos los polfgonos regulares circunscriptos, se llama circun-
ferencia rectificada
l núm ro
re
Según se acaba
de
ver pág. 148), la razón entre el perfmetro de
un polfgono regular ·
de
un determinado número de lados y el diámetro
de
la circunferencia en que está inscripto es constante. Para la circun-
ferencia , que puede considerarse como el lfmite de un polfgono regular
cuando el número de lados aumenta indefinidamente,
se ve
rifica también
que
la
razón ·entre su perfmetro, o
sea la
circunferencia rectificada y el
diámetro,
es
igual a
un
número constante.
Ese
núme
ro
constante
se
llama
p y
se
lo designa por la letra griega
Jt
que tiene ese nombre.
Luego
puede escribirse:
circunferencia rectificada
diámetro
= rt
Este número ¡e razón entre la circunferencia rectificada y
el
diá-
metro,
es
un número irracional.
ongitud de
la
circunferencia
De
la igualdad anterior res
u
a:
circunferencia rectific
ada =
t
•
diámetro
Teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia es la del
segmento que representa la circunferencia rectificada,
y
designando con
d la longitud del diámetro,
de la
igualdad anterior,
resu
lta:
long.
ci
rcunferencia ::;: t d
·Y como: d = 2 r, se tiene:
-
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long. circunferencia = t • 2 r
o sea:
long. circunferencia =2
1t
r
relaci
ón
que expresa la longitud
de
la
c
ir
cunferencia
en
función del radio ·
y que se enuncia:
a longitud de la circunferencia es igual al doble producto de
1t
por
la longitud del radio de la misma.
onsideraciones geométricas para el cálculo
de
las cifras
del
nú-
mero
t ·
A continuación
se
hacen algunas consideraciones para determi-
nar las sucesivas cifras
de
l número irracional
1t.
Sea la O: r)
.
Se inscribe en ella un hexágono regular y
se
cir-
cunscribe
un
cuadrado.
De acuerdo con lo que
se
ha dicho la
longitud de
la
circunferencia
es la
longitud
de un segmento mayor que el perlmetro del
A
hexágono inscripto pero menor que el perl-
metro del cuadrado circunscripto.
Simbólicamente:
perlm. hexág. < long. e
-
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•
Para calcular las sucesivas cifras decimales
de
este número puede
procederse as f: se duplica sucesivamente el número
de
lados de los polf
gonos regulares inscriptos y ci rcunscriptos y se obtienen los siguientes
perfmetros:
perfm.
de
polfg.
re
g. inscriptos perfm .
de
polfg.
reg.
circunscriptos
P6
=3d
p
4 = 4 d
p
12
=
3 10582
d P e =
3 31371
d _
P
24
=
3 13262 .
d P 1
6
=
3 1
826
d
P
48
=3 13935 . d
P 3
2
=
3 15173 .
d
P
96
=_3 14103 . .•d
p
64
= 3 14412 . .
d
Las igualdades del tercer renglón indican que la primera cifra deci
mal buscada es decir la de los décimos es 1 puesto que es común a un
perfmetro de un polfgono inscripto
y
al perfmetro del polfgono circuns
cripto correspondiente.
Por la misma razón las del quinto renglón indican que la segunda
cifra decimal es decir
la
de los centésimos es 4.
Continuando los cálculos se pueden determinar
las
sucesivas cifras
decimales de este número irracional
de
las cuales figu
ra
n a continuación
las 26 primeras: -
3 14159265389793228462643382
Desde la antigüedad se trató de determinar el va lor de l número :1t .
Arqufmedes lo expresó por
la
fracción
2
7
2
que da su
va
lor con
L n error menor que 2 milésimos. •
Adriano Metius expresó
el
valor de
:1t po
r la fracción ~ ~ , que
da
su valor con e
rror
menor que medio millonésimo.
En la resolución de problemas es preciso adoptar un va lor aproxi
mado
de-
- c; én general se conside
ra
: : igual a 3 14 o bien igual a 3 1416.
ongitud e un arco e circunferencia
Para determinar la longitud
de
un arco se presentan las mismas difi
cultades que para determinar la longitud de la circunferencia .
Ahora bien se comprende que la longttud de un arco igual a una
semicircunferencia será la longitud de un segmento igual a la mitad de
/
152
-
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o
G
\
longitud de la circunferencia
=
longitud del segmento PQ
circunferencia rectificada
a
longitud de la semicircunferencia= ongitud de l segmento MN
M
=
ci rcunferencia rectificada
longitud del cuadran.te
=
ongitud del segmento
RS
ci
rcunferencia rec
tifi
cada
4
a
circunferencia rectificada co rrespondiente; la longitud de un arco igual
a
un
cuadrante, será la longitud de un segmento igual a la cuarta parte
de la c ircunferencia rectificada, y as siguiendo la longitud de un arco
igual a la enésima parte de la circunferencia se rá la longitud de
un
seg-
mento igual a la enésima parte de la circunferencia rectificada
y
dicho
segmento se defi
ne
como el arco rectificado. Luego puede darse la si-
guiente:
Definición Dado un arco de circunferenc
ia
, se l l
ama
arco rectifi -
cado,
al
segmento tal que la razón entre la circunferencia rectifica-
da y el mismo
es
igual a·la razón entre la circunferencia y el arc
o.
Eíemplo
• A'B
=
ÁB
rectificado.
8 '
Definición Se llama longitud e un co a la longitud de su seg-
mento rectificado.
Asi, en el ejemplo anterior es:
long. Á = long A'B'
-
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Fórmula
de l
longitud del arco
Como en una misma circunferen
cia o en circunferencias iguales los arcos son proporcionales a los ángulos
centrales correspondientes teniendo presente que
al
ángulo central de
360
° corresponde
la
longitud de la circunferenc ia o sea 2
:re r
para
el
ángulo central
de
a
0
le corresponde
un
arco de longitud
Á
tal que puede
establecerse:
2:rcr
360°
long. AB
.
:rcra
long.
AB
=
360
· y simplificando:
.
:rcra
long.
AB
- 180
relación que expresa que:
1
a
longitud
de
un arco
de
cir cu
nf
erencia de rad
io
r es igual
l
pro-
ducto de :re por el radío
por
la medida del ángulo central correspon-
diente dividido por 180
Ejemplo:
•
a lcular la
lon
gitud del arco Á perteneciente a una circunferencia de
2
cm
de rad io
si su
ángulo central correspondiente es de 18°.
Círculo
Aplicando
la
fórmu la es:
---. 1t
• 2 cm • 18
long.
AB
=
180
=0 628 cm.
SUPERFICIE DE
FIGUR S CIRCUL RES
Imposibilidad
de l
medición de su super-
ficie· con
un
cuadrado unidad Para
medir
la
superf icie de un cuadrado un rectángulo etc.
basta ver el número
de
veces que dicha super
f icie contiene a un cuadrado adoptado como
un idad.
En cambio cuando se trata
de
uri circulo la
medición no puede hacerse mediante un cua-
drado unidad pues por pequeño
que
és te sea.
154
-
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como sus lados no
se
pueden hacer coincidir con arcos de circunferencia,
queda siempre una
pa rt
e de cfrculo sin cubrir, y por lo tanto no puede
calcularse la razón entre la superficie del cfrculo y la de l cuadr
ado
unidad .
Es necesario en tonces recurrir a un procedimiento geométrico que
res ue
lva
el
problema.
Procedimiento geométrico para obtener l medida de l superficie
del circulo Asf como la
lon
gi tud de la circun ferencia es tá comprendida
entre
el
perfmetro de un polfgono regular
inscripto y el de uno circunscripto en
ella, también
la
superficie del cfrculo está
comprendida entre la superficie de los
pol
fgonos regular
es
i
ns
criptos y circu
ns-
criptos en él; por ejemplo, la supe
rf
icie
del círculo
0 ; r) es mayor que la su
pe
rf icie del hexágono
regular
in
sc
ripto
ABCDEF y menor que la superficie del
hexágon o regular
ci
rcun scripto MNPQRS.
Llall)ando p
6
y p
6
respectivamente, a los
pe
rímetros de esos hexágonos, a
6
la apo
tema del hexágono regu lar inscripto y te
niendo en cuen
ta
que la apotema del
S
M
N
p
h
exágo
no regular ci rcunscri pto es igual al radi
o
y recordando que la super
ficie
de un
polfgono regular
es
ig
ua
l a perfmetro por apotema sobre
2
se tiene:
P
· · r
-
6
- -
6
< Sup. cfrculo 0 ; r)
< -
6
- -
2 2
Al considerar polfgonos
re
gulares inscriptos de mayor núrtlero de
l
ados
las superficies correspondien tes
van sie
ndo
cada
ve
z mayores.
En
cambio, al considerar polfgonos regula
res
circunscriptos, de mayor
nú
mero de lados, las superficies correspondientes
van
siendo ca da
ve
z
menores.
Cua
n
do
el número
de
la
dos de
l
os po
lfgonos regulares inscri
pt
os
y circunscri ptos au menta indefinidamente
sus
superficies tienden a con
fundirse con la del cfrculo. En este caso lfmite, el con torno de los polí-
-
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gonos coincide con la circ
un
ferencia,
y
por lo tanto los perlmetros con
la longitud
de
la circunfe
re
ncia
y
las apotemas con
el
radio.
Luego:
long.
e
O
.
r)
•
rSup. cfrculo
0
; r)
=
2
Pero:
long. e
O
; r) =
2
t r
luego reemplazando en [1]:
r · r
Sup.
circulo
0
; r) =
2
o sea:
Sup. cfrculo
O
; r)
~
[1]
relación que expresa la superficie de
un
cfrculo en función del radio
y
establece que:
a superficie de un circulo
es
igual
l
número n multiplicado por el
cuadrado de su radio
OBSERV CION
El
v¡;¡lo
r
r2
puede expr
esa
rse r · r, que da la superficie de un
rectángulo
de
base r y a ltura
r.
56
-
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L u ~ g o
1 Sup. cfrc.
0
;
r =
Sup. rect. :n: r , r · 1
y
teniendo en cuenta que :n: r es la mitad
de la
longitud de la circunferen-
cia
y
r el radio
de
la misma, se puede definir la superficie del circulo
co
mo
la de
un rectángulo que tiene
por
base
la mitad
de la
longitud de
su
cir-
cunferencia y por altura el radio
Ejemplo:
• ¿Cuál
es
la superficie de un drculo de 12 cm
de
radio?
Aplicando Ia fórmula, se tiene:
Sup.
clrc.
=ro: 12 cm
2
=
3,14 x
144
cm
2
= 452,16 cm2.
Supeñicie de la coron circular Para determinar la superficie de la
corona circular de centro
O y
radios r
1
y
r
2
, basta restar
de la
superficie
del cfrculo
de
centro O
y
radio r
1
, la del cfrculo
de
centro O
y
radio r
2
•
Es decir:
Sup. cor. circ.
= n
r
? - n ~
Sacando factor común:
J
Sup. cor.
circ
.
= r j -
rp
relación que expresa que:
1
a superficie
de
la corona circular es igual
l
número :n:, multiplicado
por la diferencia
de
los cuadrados de sus radios
Ejemplo:
•
alcu
lar la superficie
de
una
corona
circular cuyos
radios
son de
5 cm
y
3
cm.
Aplicando la fórmula anterior, se tiene:
Sup. cor. circ.
=
n: 25
cm
2
- 9
cm
2
)
=
3,14
x 16
cm
2
=50,24 cm
2
•
Supeñicie del sector circular Así como, en una misma circunfe-
rencia o en circunferencias iguales, la .razón
de
dos arcos es igual a la
razón de l
os
ángulos centrales correspondientes, también,
en
un mismo
círculo o en círculos iguales, la razón
de
las superficies de dos sectores
es
igual a la razón de l
os
ángulos centrales correspondientes.
-
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Como al ángulo centra l de 36 ° corresponde todo el cfrculo, si el
ángulo central del sector AOB
es
de a
0
puede establecerse:
Luego:
n r
36
°
Sup. sect.
AOB
- ---;xo-
n r
2
a
Sup. sector AOB
=
relación que expresa que:
1
a superficie de un sector
circul r es
igual a n por
el
cuadrado del
radio por
la
medida
de su
ángulo central dividido
por
360.
Ejemplo:
•
alcula
r la superficie de un sector circular cuyo rad io
es de
5 cm y su
ángulo central
de
60°.
Aplicando la fórmula, se t ie
ne:
Sup.
sector circular
=
n
5
~ ¿ ~
X
60
=
13 0
8
cm2.
OBSERVACI ON
La superficie del sector circular ~ ~ a puede escribi
rse
:
y como
n ra 1 n ra
36 r =2 1 8 · r
n ra ... ..
180
= o
ng.
AB
puede escribirse:
Sup. sector
AOB
= ~ long.
As
·
r
Pero esta superficie
es
igua l
la
del rectángulo de base ~ long. As
y
altura r por lo tanto:
58
A
o
1 r u
2 180
-
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1 )
S u p . sector AOB = Sup. rectángulo
l.T
long. AB, r
relación que permite definir l
superficie del sector
como
la
de
un rectán-
gulo que
tiene
por
b se l mit d de
la longitud del arco correspondiente
por altura el radio del sector
egmento
circular Recuérdese que: Segmento circular es cada una
de las dos partes en que queda dividido el cfrculo por una cuerda cual-
quiera. Puede ocurrir:
1
o Que la cuerda
pase
por
el
centro figu ra
1 , en
cuyo caso cada
segmento circular es un semicfrculo, luego:
. 1 ~
Sup. segm. c c. ASB =
2
sup. cfrculo =-
2
-
2
Que
la cuerda no pase por el ce·nt
ro en
cuyo caso el segmento
considerado puede ser menor que un semicfrculo o mayor que
él.
a) Si el segmento
cir
cular
es
menor que un semicirculo . figu
ra ~
dicho segmento puede considerarse como diferencia entre
el
sector
AOB
6 .
que contiene al punto M y el AOB; luego:
. 6
Sup.
segm
. circ. AMB =
Sup.
sector AOB
Sup
. AOB
b)
Si
el
segmento circu lar
es
mayor que un semicírculo
f
igura
~
dicho segmento puede
co
nsiderarse como suma del sector
circ
ular AOB
6
que contiene al punto P más el AOB; luego:
6
Sup.
segm. circ.
APB =
Sup. sector
AOB +
Sup.
AOB
Ejemplo:
•
Calcular
la
superficie
del
segmento
circular
co
lor
eado
en la
f igura , s
ab
i
endo
que la cuerda
AB
es el lado del triángulo equilátero insc ripto y
que el
radio
es
de 4cm.
159
-
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Pero:
Sup. segm. ci rc. APB
=
Sup. sector
AOB +
Sup. AOB [1]
n rz
a
Sup. sector AOB =
360
y
teniendo en cuenta que:
pero
AB
=
1
es
A Ó B
=
120°
En consecuencia:
\
a=
3
60
° -
120° =
240°
Luego:
S
AOB
_
3 14 (4
cm)
2
240
up. sector -
360
=
33,49
cmz
Por otra parte:
':.
AB X
OM
Sup.
AOB =
2
- r
0M
3
=
2
.
Luego:
At::.OB r
V3
T - r2 V3 - . 4 cm)2 X
1,73
- 6
92
mz
:- up.
=
2 -
4 - 4 - ' ·
Reemplazando en
[1]
la superficie del sector
y
la del triángulo por
.ous
valores, resu
lt
a:
Sup. segm. circ. APB
=
33 49 cm
2
6,92
cm
2
=
40,41
cm
2
.
Trapecio circular Recuérdese que: Trapecio ci rcular
es
la i
nt
ersec·
ción de una corona circular y un ángu lo central.
Simból icamente:
. \
t rap. ci rc.
ASCO =
corona c
1r
c. n
a
Es evidente que
la
superficie de
trapecio circular ASCO puede consi
de
rarse como la diferencia en
tr
e la
superficie del sector BOC
y
la del se
c
tor AOD, luego:
16
-
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Sup. trap.
circ.
ABCD
=
Sup. secto
r BOC -
Sup. secto
r AOD
Pero:
Su p. sector
BOC =
r
1
360
y
.
Sup.
sector
AOD=
qa
360
Reemplazando
en [
1],
se
tiene:
3 tqa
Sup.
trap. ci
rc. ABCD
=
360
Sacando ~ f
actor
com
ún
, resulta:
3t
r
a
360
Su p. trap. circ. ABCD =
~
r
:._ r
ª)
Ejemplo
[1]
•
alcular la superficie de un trapecio
circular
sabiendo que r, = 5
cm;
r
2
= 3 cm y el ángulo central
cor
respondiente
60
°.
Aplicando la fórmula:
3,14
X 60
Sup. trap.
circ.
ABCD =
360 25
cm2- 9 cm2 =
8,37
cm2.
EJERCICIOS PROBLEM S ·
PLIC CION
19 - Calcular la longitud de un a circunferencia tal que:
l
radio =
5 2
cm;
4.
diámetro =
8 9
cm;
2.
diámetro = 6
m;
5.
radio= 3 1
m;
3.
radio=
4 5
cm;
6.
diámetro=
14 2
cm.
9 -
Calcular la longitud de una circunferencia tal que:
l el perfmetro del hexágono reg ular inscripto
es
de
7 5
cm;
2.
el
lado del triángulo equilátero inscripto
es
de
17 30
cm;
3. el perfmetro
del
cuadr
ado
inscripto
es
de
28 20
cm.
39 - ¿Cuál es la longi tud del . borde
de
una moneda cuyo diámetro
es
de 24 mm 7
49 -
Calcular el radio
de
la circunfe
re
n
C
ia tal que:
l
longitud
de la
c
ir
cunferencia =
31 4
c
m;
2.
longi.tud de la circunferencia =
1 57
m; .
3. lon gitud de
la
circunferencia =
21 98
dm;
4. longitud de la circunferencia = 1 2 5 ~ cm.
6
-
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37/40
so
-
Calcular la longitud de los sigu ientes arcos de circunferencia:
l
radio =
4
cm; ángulo central correspondiente =
30° ;
2. radio= 4 cm; ángulo central correspondiente = 20°;
3. radio = 6 cm; ángulo· central correspondiente = 100°;
4 . rad
io
= 1 8 cm; ·ángulo central correspondiente = 45° .
60
- Calcular el radio de las c ircunferencias a que pertenecen los siguientes arcos:
l
longitud del
arco= 1 57
cm; ángulo central cor
re
spondien
t e= 18°;
2. longitud del
arco=
62 8 cm; ángulo central correspondiente =
200
° ;
3.
lon gitud del
arco= 28 26
cm; ángulo central corr
es
pondient e= 81°;
4. long
it
ud del arco= 31 4 cm; ángulo central correspondiente= 65° .
70
-
Calcul
ar
la longitud del arco que pertenece a una circunferencia de
6
cm de
diámetro si la cuerda que subtiende es el lado del pentágono regu lar inscripto.
80 - Resolver
el
mismo problema an terior cuando:
l
el diámetro
es
de
8
cm
y
la cuerda
es
el lado del hexágono regular inscripto;
2. el diámetro
es
de 16 2 cm y la cuerda es
el
lado del triángulo equil átero
inscripto;
3. el diámetro es de 14 4 cm y la cuerda es el lado del decágono regular
ins
cr
ipto.
90 - Un arco subtiende el lado del hexágo
no
regu lar q
ue
es de
4 5
cm . ¿Cuál
es
la longitud de dicho arco?
-
Un
arco subtiende el lado del cuadrado que es de
2 82
cm . ¿Cuál es la lon
gitud de dicho arco?
- Un arco subt iende el lado del triángulo equil áter
o
que
es
de 5 19 cm.
¿C
uál
es l a longitud de dicho arco?
Calcular la superfi cie de los cfrculos tales que :
l radio= 3 5
cm; 3. diámetro = 36 cm;
2.
radio= 4 8
cm;
4.
diámetro= 2 4 cm.
30 - Calcular el radio de los circules cuyas superfici
es
son d
e:
a.
314
cm2;
b.
78 30
cm
;
c .
12 56
cm2 d.
28
26
cm2.
40 - Calcu la r
la
superficie de cada uno de los cf rculos cuyas circunferenci
as
t ienen
una longitud de:
a. 1 57 m;
b. 21 98 cm;
c.
76 93 cm;
d. 7
536 cm.
-
Calcular la superf
ic
ie de un cfrculo tal que:
l el cuadrado inscripto en su circunferencia tiene una superficie de
7 9524 cm ;
2. el triángulo equilátero inscripto en su ci rcunferencia tiene una superficie
de
5 19
m2;
3. el perfmetro del hexágono regular inscripto en su circunferencia
es
de
6 9 cm ;
4 el cuadrado ci rcunscripto en su ci rcunferencia tiene una superficie de
9
cm2
.
-
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169 - Hallar la superficie de las coronas circulares tales que:
l . radio mayor= 15 cm y radio me
nor=
12 cm;
2. radio mayor = 9 cm y radio menor = 4 5 cm;
3. diámetro m
ayo r=
8
cm
y diámetro menor= 6 cm;
4. diámetro mayor= 72 mm y diámetro menor= 4 6
cm
.
170 -
Hall
ar la
superficie de l
as
coronas circular
es
tales que:
l longitud
de
la circunferencia
mayor = 439 60 cm;
longi tud
ferencia
menor= 314 cm;
2. longitud de la ci rcunferencia mayor = 94 20 cm; longitud
ferencla menor = 69 08 cm;
3. longitud
de
la c
irc
unferencia
mayor= 15 70 cm; longitud
ferencla
menor= 10 048 cm.
de la
circun-
de la
ci rcu_n-
de la ci rcun-
189 - La superficie de una corona circular es de 50 24 cm2; el radio nienor es de
3 cm. ¿Cuál es el ancho de la corona?
Respuest
a 2 cm.
190 - La superficie de una corona circular es de 100 4B.
cm
2;
el rad io mayor
es
de
6 cm. ¿Cuál
es
el ancho
de
la corona?
Respuesta 4 cm
.
200
- El cfrculo correspondiente al radio mayor de una corona
es de
1 384 74
cm2
y el correspondiente al radio
menor
es
de
379 94 cm2 Calcul
ar
el ancho de
la corona.
219-
Ca lcular la superficie
de
cada uno
radios
se
Indican a continuación:
L u = 30° r = 2 5 cm;
2. u =
45°
r = 3 cm;
3. u =
12
° r = 9 cm;
4. u = 72° r = 1 2 m;
5. u =
108° r = 4 1 cm;
Resp
uest
a
10
cm.
de los sectores cuyos ángulos central
es
y
6. 1
= 123°
7. 1 = 145°
B. a = 162°
9.
1
= 201°
10.
a =
288°
r = 0 72 m;
r = 1 80 m;
r
= 11
cm;
r =3 6 cm;
r =4 3 cm.
229 - Ca lcular la superficie del sector que pertenece a un cfrculo de 6 4 cm de
diámetro y tal que la cuerda que subtiende su arco es :
L el lado del hexágono regul
ar
inscripto;
2. el
lado del pentágono regul
ar
inscri pto;
3. el lado del octógono regular insc ri pto;
4. el lado
de
l
tri
ángulo regular inscripto.
230 - Calcular la superficie del sector que pertenece a un cfrculo de 5 cm de radio
y tal que su arco co
rr
espondiente tiene u
na
longit
ud
de:
a. 10 47 cm; b. 7 85 cm; c. 6 28 cm.
249 - Calc
ular
la superficie de un sector tal que la cuerda de su arco que
es
el
lado del triángulo equ
iláter
o
s r p
tiene una longitud de 3 46 cm.
Respuesta 4 19
cm
2
•
259
- Resolver el problema anterior cuando la cuerda es
el
lado del cuadrado y
tie
ne
una longit
ud
de 5 64 cm.
Respuesta 12 56
2
•
-
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260 Calcuiar la superficie de los siguientes segmentoy circulares:
l .
radio= 4 5 cm; ángulo central correspondiente = 700¡
2. radio= 3 2 cm; ángulo central o r e s p o n d i ~ n t e = 120°¡
3. radio = 15 cm¡ ángulo central correspondiente = 60°¡
4. diámetro = 0 4 m; ángulo -central correspond iente = 240°¡
5. diámetro = 0 22 m; ángulo central correspondiente = 300°.
270 - Calcular
la
· superficie
de
los segmentos y sectores coloreados con los datos
de las figuras siguientes:
r =
4cm
a = 60•
r =
10cm
AM
= 5 cm
r
6cm
OM
=
3cm
6M
= MA =
2cm
280
-
Ca
lcu l
ar
la superficie del trapecio circular tal que:
l ángulo central correspondiente =
25°;
radio mayor = 5 cm;
radio
menor=
3 c m;
2.
ángulo central
correspondiente=
70°;
radio mayor = 6 5 cm;
radio menqr = 2 1 cm; ·
3. ángulo central co rrespondiente = 200°¡ radio mayor = 10 cm¡
radio menor = 7 cm;
4. ángu lo central correspondiente=
60°
y la superficie de la corona a que
pertenece
es de
42 06 cm2;
5.
ángulo central correspond iente = 36° y la s ~ p r f de la corona a que
pertenece es
de
71 9
cm2
¡
6. ángulo centra l correspondiente= 225° y la supe
rf
ic ie de la corona a que
pertenece es de 12
cm2.
290 - Sab iendo que la superfic ie del cua
drado es de 36 cm 2 calcul
ar
la su-
perficie de la intersección del cfrcli
lo y del cuadrado.
64
-
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309
- En la figura se ha trazado el semi
cfrculo
de diámetro
PR = 1
cm.
Ca lcular la superficie somb reada sa-
biendo que la cuerda QR =6 cm .
319 -
Sabiendo que
......_
MON
es
un
arco
de
circunf
erencia de centro A y radio
......_
AO;
que P
OQ
es
un
arco de circun-
ferencia
de centro
e
y
radio
CO
;
y
que el cuadrado
ABCD
t iene una
superficie de
32
cm2; calcul
ar
la su-
perficie sombread
a.
329
- Ca lcular la superficie de la
inte
rsec
c
ió
n del triángulo equi látero ABC
con el C A ; AM sabiendo que el
perfmetro del triángulo es de 18 cm
y que M es punto medio de AG.
A
N
.
B
,
...
...---
Q
I J
'
o. .
,
1
M
.. ...
Íi
,
,
\
D
p
e
B
e
