00B TRAVI CONTINUE - architettobotta.it · possiamo suddividere i sistemi di travi in tre...

SISTEMI PIANI DI TRAVI CONTINUEEQUAZIONE DEI TRE MOMENTI

PROCEDURA RISOLUTIVA

• Nello spazio una trave ha 6 gradi di libertà (g.d.l.): 3 rotazioni e 3 traslazioni.

• Nel piano, invece, i gradi si riducono a 3 con 1 rotazione e 2 traslazioni.

06/04/2014 Arch. Pierluigi Botta 1

SISTEMASPAZIALE

SISTEMAPIANO

Come sappiano, se si valuta il numero di vincoli rispetto ai gradi di libertà della struttura nel piano, le equazioni d’equilibrio per ogni elemento strutturale sono tre:


possiamo suddividere i sistemi di travi in tre categorie:


• Per i sistemi labili le incognite, cioè le reazioni vincolari sono in numero minore delle equazioni d’equilibrio. Tranne in casi particolari, il sistema di equazioni non ha soluzione e l’equilibrio è impossibile.

• I sistemi isostatici sono caratterizzati da tante incognite quante sono le equa-zioni di equilibrio: l’equilibrio, quindi, esiste e la soluzione è unica.

• Nei sistemi iperstatici il numero di incognite è superiore a quello delle equa-zioni di equilibrio. Ciò significa che esistono infinite soluzioni che soddisfano il sistema.


La soluzione esatta, però, è solo quella congruentecon le caratteristiche di deformabilità degli elementi che compongono la struttura e con i suoi vincoli.In breve, quindi, per risolvere un problemaiperstatico, le equazioni di equilibrio non sono innumero sufficiente ed è necessario introdurre dellenuove relazioni che ci vengono fornite dallacongruenza degli spostamenti con i vincoli dellastruttura.


PER QUANTO VI SIANO DIFFERENZE TRA IL SIGNIFI-CATO LETTERALE E LA SUA APPLICAZIONE FISICA, VERIFICHIAMO IL SIGNIFICATO DI CONGRUENTE:

“Che ha un rapporto di coerenza con qualcosa.”

SINONIMO DI: appropriato, corrispondente.

Esempio: GLI SPOSTAMENTI SONO CONGRUENTICON LE CARATTERI-STICHE DEI CARICHI E DEI VINCOLI.


Prendiamo come esempio la trave incastrata-appoggiata di figura 1.2. Per risolvere il problema 1 volta iperstatico, può essere utilizzato il cosiddetto meto-do delle forze, che consiste, in prima battuta, nel sostituire i vincoli sovrabbondanti con le rispettive reazioni vincolari.


In questo caso, usando la teoria della SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, il carrello in B può essere sostituito con la corrispondente reazione vincolare RyB, assunta come incognita iperstatica.In questo modo il sistema torna ad essere isostatico sebbene, oltre ad essere sottoposto ad un carico distribuito noto è soggetto anche ad una forza concentrata in B il cui valore è sconosciuto (Fig 1.3).


Grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, dunque, la men-sola riportata in Figura 1.3 può essere considerata come il risultato della somma di due mensole diversamente caricate: la prima con il carico distribuito noto, la seconda con il carico concentrato incognito.

Ognuno dei due sistemi di carico provoca uno spostamento verti-cale in B. La congruenza con i vincoli esterni, però, (in questo caso il carrello) impone che in B lo spostamento verticale sia nullo. Di conseguenza, si deve avere necessariamente vp+vr = 0.


Questa è la relazione in più che consente di avere tante equazioni (3 di equilibrio più 1 di congruenza) quante sono le incognite (MA, RxA, RyA, RyB), per trovare la soluzione del problema iperstatico.Attraverso l’integrazione dell’equazione differenziale della linea elastica, che governa la deformazione della trave sotto i carichi dati

si ottiene che:

quindi:


Conoscendo, ora, grazie alla congruenza, il valore di RyB, risulta possibile applicare le 3 restanti equazioni di equili-brio per trovare le tre incognite rimaste.


In maniera del tutto analoga è possibile risolvere il proble-ma iperstatico legato ad una trave continua soggetta ad un carico uniformemente distribuito.Sappiamo che una trave è isostatica quando risulta vinco-lata solo con un carrello e una cerniera.Ogni ulteriore carrello aggiunto alla struttura comporta un aumento del grado di iperstaticità.Più in generale, se “m” sono gli appoggi della trave il grado di iperstaticità sarà pari a n = m-2.

La trave in figura ha cinque appoggi ed è tre volte iperstatica.


PERCHE’ UNA T.C. SIA EFFICACE DEVE ESSERE COSTITUITA DA UN UNI-CO ELEMENTO, QUINDI IN GRADO DI DARE DEFORMAZIONI CONGRUENTI.


Inoltre è necessario presupporre alcune ipotesi fonda-mentali per il calcolo:

1. I vincoli siano tutti alla stessa altezza e rigidi2. La T.C. sia sempre orizzontale3. I carichi siano sempre perpendicolari alla T.C.4. La sezione e il materiale (E•J) siano costanti.

Infine, come detto, bisogna ricorrere alle equazioni di congruenza (o di elasticità).


IPOTIZZIAMO LA SEGUENTE T.C.

Data la continuità della T.C. la deformazione su L1 “trascina” nella de-formazione anche L2.Ogni campata si comporta come se fosse “incastrata” a quelle adia-centi.Quindi le rotazioni devono essere identiche a quelle della campata adiacente (con segno opposto).

F1

A

BL1 L2

Cβ

β

s

d


Ciò vale per qualsiasi numero di campate

In realtà le rotazioni dipendono dai carichi che vi agiscono.QUESITO“Perché la campata L2 si è deformata?”RISPOSTA“Perché su di essa ha agito un Momento (MOMENTO DI MUTUO INCASTRO) che costituisce un “CARICO” a tutti gli effetti.”

F1

A

BL1 L2

Cβ

β

s

d


βs e βd devono essere identici … tuttavia dovendo imporre che …

ad ogni estremo risulti nulla la rotazione per effetto della compensazio-ne tra i carichi esterni (A*;B*) e il MOMENTO DI MUTUO INCASTRO, si ottiene (omettendo i valori costanti “E” e “J”): :

0)M2(ML1*Bβ BAS =•+•+=6

F1

A

BL1 L2

Cβ

β

s

d

MB MCMA

0)MM(2L2*Aβ CBD =+••+=6

B* è la reazione fittizia in B della campata L1; A* è la reazione fittizia in B della campata L2


UGUAGLIANDO I VALORI DELLE EQUAZIONI PRECEDENTI …

=+••+=•+•+ )MM(2L2*6A)M2(ML1*6B CBBA

DENOMINATA EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI O DI CLAPEYRONBenoît-Paul-Émile Clapeyron

ingegnere e fisico francese (Parigi 1799- 1864)

SI OTTIENE …

*-6B*6AL2ML2)(L1M2L1M CBA −=•++••+•

F1

A

BL1 L2

Cβ

β

s

d

MB MCMA


Questa equazione è assolutamente generale e, applicata alla terna di successivi vincoli (A; B; C. – B; C; D) consente di determinare il valore delle incognite iperstatiche B e C.

*-6B*6AL2ML2)(L1M2L1M CBA −=•++••+•

q1A

equazione 1 equazione 2

BL1 L2 L3

C D

E’ inteso che servirà elaborare un’equazione per ogni incognita iperstatica (o coppia di luci) e risolverle mediante un apposito sistema di equazioni.


PROCEDURA

1. Calcolo dei Momenti Flettenti ai vincoli;2. Calcolo sforzi di Taglio ad inizio e fine campata3. Individuazione punti con Taglio = 04. Calcolo dei Momenti Flettenti in campata (T=0)5. Individuazione punti con M.F. = 06. Calcolo delle reazioni vincolari7. Calcolo frecce d’inflessione* (*eventuale)


T.C. A 2 CAMPATE UGUALI CARICO UNIF. DISTRIBUITO

FASE 1 – calcolo M.F. sui vincoli (SU 2 CAMPATE).Equazione dei 3 momenti:

qA

equazione 1

BL1 L1

C 31Lq

241B*A*

:tabelle dalle

••==

)Lq241Lq

241(6LM)L( LM2LM 3

113111C11B1A ••+•••−=•++••+•

=0 31B Lq

21L14M ••−=• 2

1B Lq81M ••−=


FASE 2 – calcolo T sui vincoli (UNA CAMPATA PER VOLTA).CAMPATA 1

1dA

1

21

21

dA

BA

21

1dA

M

Lq83T

L8Lq

2Lq

T

0MM2LqLT

0

••=

•−•=

=+−•−•

=Σq

campata 1

AM MA B

BL1

dAT

sBT



1sB

11sB

1dA

sB

Y

Lq85T

LqLq83T

LqTT0

••−=

•−••=

•−=

=Σq

campata 1

AM MA B

BL1

sBTd

AT



campata 2

q MM CB

BL1

C

sCTd

BT1

dB

1

21

21

dB

CB

21

1dB

M

Lq85T

L8Lq

2Lq

T

0MM2LqLT

0

••=

•+•=

=+−•−•

=Σ



1sC

11sC

1dB

sC

Y

Lq83T

LqLq85T

LqTT0

••−=

•−••=

•−=

=Σ

campata 2

q MM CB

BL1

C

sCTd

BT


FASE 3 – calcolo punti di T=0 - CAMPATA 1.

11

1

1

dA

1

L83x

q

Lq83

x

qTx

•=

••=

=q

campata 1

A

T

M MA B

BL1

+-

sBTd

AT

11 L83x •=


FASE 3 – calcolo punti di T=0 - CAMPATA 2.

12

1

2

dB

2

L85x

q

Lq85

x

qTx

•=

••=

=

campata 2

q

T

MM CB

BL1

C

+-

sCTd

BT

12 L85x •=


FASE 4 – calcolo MMAX in x1.

21x1

21

1dAx1

M

Lq128

9M

:aportasviluppatoche2xqxTM

0

••=

•−•=

=Σq

campata 1

A

T

M MA B

BL1

+-

sBTd

AT

11 L83x •= Analogo valore si

otterrà in x2.


qA

T

M

M M MA B C

BL1 L1

C

+-

-

1x 2x

1t2t


FASE 5 – calcolo punti di M=0 – 1° CAMPATA

1

A

21

1dA

M

t incognita congrado 2 di equazione

0M2tqtT

0

°

=−•−•

=Σ

q

campata 1

A

M

MA

1

1

BT

t

L1

-

dAT


FASE 5 – calcolo punti di M=0 – 2° CAMPATA

2

B

22

2dB

M


0M2tqtT

0

°

=−•−•

=Σ

qM

2

B

t

BL1

C

dAT dBT


FASE 6 – calcolo REAZIONI VINCOLARI

La reazione vincolare verticale presente in ogni vincolo sarà sempre data dalla somma algebrica degli sforzi di taglio in destra e in sinistra.

sB

dBB TTV −=

E’ evidente che le reazioni vincolari delle estremità della trave, coincidono con il valore del taglio in destra del-l’estremità considerata.


ALTRI CASI: TRAVE A LUCI DI DIVERSA LUNGHEZZA

Non vi sono differenze sostanziali, salvo il ricorso all’e-quazione dei tre momenti generale.Non vi saranno formule finali rintracciabili nei prontuari.

qA

equazione 1

BL1 L2

C



*B-6*A6LM)L(LM2LM 2C21B1A ••−=•++••+•

qA

equazione 1

BL1 L2

C

FASE 1 – calcolo M.F. sui vincoli - Equazione dei 3 momenti:



2dB

sC

Y

CB

22

2dB

1dA

sB

Y

BA

21

1dA

M

LqTT0

0MM2LqLT

2 CAMPATALqTT

0

0MM2LqLT

1 CAMPATA0

•−=

=Σ

=+−•−•

•−=

=Σ

=+−•−•

=ΣFASE 2 – calcolo T sui vincoli

qA

equazione 1

BL1 L2

C

MA MB MC



FASE 3 – calcolo posizioni T=0

qA

T

M MMA CB

BL1

x1

L2

x2

C

+-

qTx

qTx

dB

2

dA

1

=

=



FASE 4 – calcolo MMAX in x1 e in x2

qA

T

M MMA CB

BL1

x1

L2

x2

C

+-

B

22

2dBx2

A

21

1dAx1

M

M2xqxTM

M2xqxTM

0

−•−•=

−•−•=

=Σ



FASE 5 – calcolo punti di M=0 – Campata 1

1

A

21

1dA

M


0M2tqtT

0

°

=−•−•

=Σ

q

campata 1

A

M

MA

1

1

BT

t

L1

-

dAT



FASE 5 – calcolo punti di M=0 – Campata 2

2

B

22

2dB

M


0M2tqtT

0

°

=−•−•

=Σ

qM

2

B

t

BL1

C

dAT dBT


IN ESTREMA SINTESI SI PUO’ AFFERMARE CHE LA RISO-LUZIONE DI UNA TRAVE CONTINUA IMPIEGA LO STRU-MENTO “EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI” SOLO PER LA FASE DI CALCOLO DELL’INCOGNITA(E) IPERSTATICA(E).

SUCCESSIVAMENTE, OGNI ALTRA INCOGNITA (TAGLIO – MOMENTO IN CAMPATA – POSIZIONI DI TAGLIO = 0 – PO-SIZIONI DI MOMENTO = 0) POSSONO ESSERE CALCOLA-TE IMPIEGANDO LE MODALITA’ DETTATE DALLE TRE EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA.


ALTRI CASI: TRAVE A TRE LUCI

Essendo presenti 2 incognite iperstatiche in B e in C, si dovrà risolverle separatamente, adottando l’equazione dei 3 momenti due volte: una prima volta per le campate L1 e L2, poi per le campate L2 e L3.Le due equazioni dovranno essere risolte in un sistema.

q1A


BL1 L2 L3

C D


ALTRI CASI: TRAVE A TRE LUCI

q1A


BL1 L2 L3

C D

−−=•++••+•−−=•++••+•

*6C*6BLM)L(LM2LM*6B*6ALM)L(LM2LM

3D32C2B

2C21B1A

Individuate le incognite iperstatiche in B e in C, la pro-cedura risulterà identica a quella precedentemente de-scritta. Sarà solo più lunga a causa del maggior numero delle campate.


ALTRI CASI: TRAVE CON INCASTRO AD UN ESTREMO

L’incastro crea una condizione analoga ad una ulteriore campata con luce L0 = 0. Pertanto la trave verrà risolta come se avesse una ulteriore campata (di luce = 0), oltre a quelle geometricamente definite.

q

A


BL1 L1

CCampata fittizia

con L0 = 0

q

A


BL1 L1

CCampata fittizia

con L0 = 0


ALTRI CASI: TRAVE CON INCASTRO AD UN ESTREMO

•−•−=•++••+••−•−=•++••+•

*B6*A6LM)L(LM2LM*A6*06LM)L(LM2LM

2C21B1A

1B10A00

Nella situazione rappresentata in figura la trave a due campate deve essere trattata come una trave a 3 cam-pate. Individuate le incognite iperstatiche in A e in B, la procedura risulterà invariata.

q

A1

M MB C

equazione 1

B

L1a L2

C


ALTRI CASI: TRAVE CON SBALZI AGLI ESTREMI

Il valore del momento flettente sul(i) vincolo(i) dello sbalzo(i) si calcola SEMPRE SEPARATAMENTE.Il suo valore verrà usato nell’equazione dei 3 momenti per il calcolo delle incognite iperstatiche. Individuate queste, la procedura risulterà invariata.

00B TRAVI CONTINUE - architettobotta.it · possiamo suddividere i sistemi di travi in tre...

Documents

Transcript of 00B TRAVI CONTINUE - architettobotta.it · possiamo suddividere i sistemi di travi in tre...