С/к Методы решения многоэкстремальных задач(Методы решения задач для уравнений математической физики)

Вариантзадания

Группа 2521

1 Гречаная Виктория Вариант 12 Калинин Арсений Вариант 23 Коробова Алина Вариант 3

Группа 2522

4 Бобрик Екатерина Вариант 45 Богатова Екатерина Вариант 56 I Вариант 6Кондаков Янис

7 Старостина Елена Вариант 7

Темы лабораторных работ [1]

1 - Задание 5.1. Численное решение начально-краевой задачи

для дифференциального уравнения параболического типа

2 - Задание 5.2. Численное решение начально-краевой задачидля дифференциального уравнения гиперболическоготипа

3 - Задание 5.3. Численное решение краевЬй задачи для

дифференциального уравнения эллиптического типа

Литература

1. Численные методы. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / В. Ю. Гидаспов, И.Э.Иванов, Д.Л. Ревизников и др.; под ред. У.Г. Пируманова - М.: Дрофа, 2007. - 144с.

2. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин - М.: Наука, 1989.3. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.с. Бахвалов, н.п. Жидков, Г.М. Кобельков - М.:

Лаборатория базовых знаний, 2002.4. Срочко В.А. Численные методы / В.А. Срочко - СПб.: Лань, 2010.5. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев - М.:

Высшая школа, 2004.6. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам / А.А. Самарский, П.Н.

Вабищевич, Е.А. Самарская - М.: Едиториал УРСС, 2003.

Результ~ты решения задачи оформляются в виде отчета.

Содержание отчета:1. Постановка задачи2. Метод решения (подробное описание метода)3. Алгоритм метода (Блок-схема и Код программы)4. Результаты вычислительного эксперимента и их обсуждение

График сдачи отчетов:1. Работа 1 - 25 октября2. Работа 2 - 8 ноября3. Работа 3 - 22 ноября

Решение предлагаемых задач связано с достаточно большимобъемом вычислительной работы и требует использованиякомпьютерной техники. Предполагается, что читатель владеетнавыками программирования и будет разрабатывать свое собст-венное программное обеспечение. Ряд задач содержит парамет-ры а, Ь, С, которые наряду с сеточными параметрами следуетзадавать во входном потоке. Такой подход дает возможностьпроведения параметрического анализа. Для всех задач приво-дятся точные аналитические решения, что, с одной стороны,является эффективным средством тестирования разработанногочитателем программного обеспечения, а с другой - позволяетоценить и проанализировать погрешность численного решения.

5.1. Используя явную и неявную конечно-разностные схемы, атакже схему Кранка - Николсона, решить начально-краевуюзадачу для дифференциального уравнения параболическоготипа. В раЗЛИЧН»Iемоменты времени вычислить погрешностьчисленного решения путем сравнения результатов с приведен-ным в задании аналитическим решением и(х, t). Исследоватьзависимость погрешности от сеточных параметров 't, h.

и(О, t) = О, и(1, t) = О, и(х, О) = sin (2пх).

Аналитическое решение: И(х, t) = ехр (-41t2at) sin (2пх).

и(О, t) = О, и(1, t) = 1, и(х, О) = х + sin (пх).

Аналитическое решение: и(х, t) = х + ехр (-1t2at) sin (пх).

и(О, t) = ехр (-at), и(п, t) = -ехр (-at), и(х, О)= cos х.

Аналитическое решение: И(х, t) = ехр (-at) cos х.

и)О, t) = ехр (-at), и)п, t) = -ехр (-at), и(х, О) = sin х.

Аналитическое решение: И(х, t) = ехр (-at) sin х.

дu д2u .5. at = дх2 + sш (пх),

и(О, t) = О, и(1, t) = О, и(х, О) = О.

Аналитическое решение: И(х, t) = ~ (1 - ехр (-1t2t» sin.(1tx).те

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-0.5t) sin х.

и(х, О) = sin х.

и(х, О) = О.

и(х, О) = sin х + cos Х,

ut(x, О) = -а (sin х + cos х).

и(х, О) = sin х,ut(x, О) = -а cos х.

их(п, t) = --ехр (-0.5t),

и)О, t) - и(О, t) = О,их(п, t) - и(п, t) = О,

и(О, t) = -sin (at),и(п, t) = sin (at),

их(О, t) = ехр (-0.5t),

ди д2и .6. at = дх2 + cos х (cOs t + sш t),

и(О, t) = sin t, их(п/2, t) = -sin t,

Аналитическое решение: U(х, t) = sin t cos х.

ди д2и7. дt = дх2 + 0.5 ехр (-0.5t) cos х,

их(О, t) = ехр «с - a)t), и(п/2, t) = ехр «с - a)t), и(х, О) = sin х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр «с - a)t) sin х.

ди д2и8. дt = а дх2 + си, а > О, с < О,

Аналитическое решение: U(х, t) = sin (х - at).

и)О, t) - и(О, t) = ехр (-at) (cos (Ы) + sin (bt»,

их(п, t) - и(п, t) = ехр (-at) (cos (Ы) + sin (Ы»,

и(х, О) = cos х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-at) cos (х + Ы).

АНЩIИтическое решение: U(х, t) = sin (х --' at) + cos (х + at).

5.2. Используя явную схему крест и неявную схему, решить началь-но-краевую задачу для дифференциального уравнения гипер-болического типа. В различные моменты времени вычислитьпогрешность численного решения путем сравнения результа-тов с приведенным в задании аналитическим решением U(х, t).Исследовать зависимость погрешности от сеточных парамет-ров 1:, h.

ди д2и ди10'at =адх2 +Ьдх +си,а>О,Ь>О,с<О.

их(О, t) + и(О, t) = ехр «с - a)t) (cos (Ы) + sin (Ы»,

их(п, t) + и(п, t) = -ехр «с - a)t) (cos (Ы) + sin (Ы»,

и(х, О) = sin х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр «с - a)t) sin (х + Ы).

и(О, t) = sin (2t),и(п, t) = -sin (2t),

и(х, О) = О,ut(x, О) = 2 cos х.

'u'

Аналитическое решение: U(х, t) = cos х sin (2t).

их(О, t) - 2и(0, t) = О,ux(l, t) - 2u(1, t) = О,

и(х, О) = ехр (2х),

ut(x, О) = О.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (2х) cos t.

и(О, t) = О,и(п, t) = О,

и(х, О) = О,uix, О) = ехр (-х) sin х.

Аналитическое решение: U(х, t) = 0.5 ехр (-х) sin х sin (2t).

и(О, t) = cos (2t),и(л/2, t) = О,

и(х, О) = ехр (-х) cos х,uix, О) = О.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-х) cos х cos (2t).

и(О, t) = ехр (-t) cos (2t),и(л/2, t) = О,

и(х, О) = ехр (-х) cos х,ut(x, О) = -ехр (-х) cos х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-t - х) cos х cos (2t).

8,д2и + 2ди = д2и + 2ди _ 3и,

. dt2 dt дх2 дх

и(О, t) = О,и(п, t) = О,

и(х, О) = О,uix, О) = 2 ехр (-х) sin х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-t - х) sin х sin (2t).

д2и ди д2и ди .9. dt2 + 3 dt = дх2 + дх - u + sш х ехр (-t),

и(О, t) = ехр (-t),и(п, t) = -ехр (-t),

и(х, О) = cos Х,

ut(x, О) = - cos х.

__ А_н_а_лити~ч~е~с~к~о~е~ре~е~ш~ен~и~е=---:!:U~!(~xi,~tl)~e~x!9PQ.i(=-ttJ)iJС~О~Si....;Х~.,--_~---------

д2u дu д2u дu10. at2 + 3 at = дх2 + дх - и - cos х ехр (-t),

их(О, t) = ехр (-t), и(х, О)= sin х,их(п, t) = -ехр (-t), ut(x, О) = -sin х.

Аналитическое решение: U(х, t) = ехр (-t) sin х.

5.3. Используя центрально-разностную схему и метод Либмана,решить краевую задачу для дифференциального уравненияэллиптического типа. Вычислить погрешность численного ре-шения путем сравнения результатов с приведенным в заданиианалитическим. решением U(х, у). Исследовать зависимостьпогрешности от сеточных параметров hx, hy'

д2u д2u1. дх2 + ду2 = О,

и(О, у) = у,и(1, у) = 1+ у,

и(х, О) = х,и(х, 1)= 1 + х.

Аналитическое решение: U(х, у) = х + у.

д2u д2u2. дх2 + ду2 = О,

их(О, у) = О,и(1, у) = 1- у2,

uix, О) = О,и(х, 1) = х2 - 1.

Аналитическое решение: U(х, у) = х2 - у2.

д2u д2u3. дх2 + ду2 = О,

и(О,у) = cos у, uix, О) = О,и(1, у) = е cos у, uix, п/2) = -ехр (Х).

Аналитическое решение: U(х, у) = ехр (х) cos у.

д2u д2u4. дх2 + ду2 = О,

их(О, у) = ехр (у),

их(п, у) = -ехр (у),u(х, О) = sin х,и(х, 1) = е sin х.

Аналитическое решение: U(х, у) = sin х ехр (у).

д2u д2u5. дх2 + ду2 = -и,

их(О, у) = cos у,

их(1, у) - и(1, у) = О,и(х, О) = х,и(х, п/2) = О.

Аналитическое решение: U(х, у) = х cos у.

д2u д2u6. дх2 + ду2 = -и,

и(О, у) = О,и(п/2, у) = у,

иу(х, О) = sin х,иу(х, 1) - и(х, 1) = О.

Аналитическое решение: U(х, у) = у sin х!~~---------

д2и д2и7. дх2 + ду2 = -2u,

u(О, у) = сов у,u(1tj2, у) = О,

Аналитическое решение:U(х, у) = сов х сов у.

д2и д2и ди8. дх2 + ду2 = -2дх - 3u,

u(О, у) = сов у,u(1tj2, у) = О,

u(х, О)= сов х,u(х, 1tj2) = О.

u(х, О)= ехр (-х) сов х,u(х, 1tj2) = О.

Аналитическое решение:И(х, у) = ехр (-х) сов х сов у.

д2и д2и ди9. дх2 + ду2 = -2ду - 3u,

u(О, у) = ехр (-у) сов у,u(1tj2, у) = О,

u(х, О)= сов х,u(х, 1tj2) = О.

Аналитическое решение:U(х, у) = ехр (-у) сов х сов у.

10 д2и + д2и = _2ди _ 2ди. дх2 ду2 дх ду

u(О, у) = ехр (-у) сов у,u(1tj2, у) = О,

-4u,

u(х, О)= ехр (-х) сов х,u(х, 1tj2) = О.

Аналитическое решение:U(х, у) = ехр (-х - у) сов х сов у.

5.4.

ди1. at

Используя схемы переменных направлений и дробных шагов,решить двумерную начально-краевую задачу для дифференциа-льного уравнения параболического типа. В различные моментывремени вычислить погрешность численного решения путемсравнения результатов с приведенным в задании аналитическимрешением U(х, t). Исследовать зависимость погрешности отсеточных параметров "С, hx, hy'

д2и д2и=адх2 +аду2,а>0,

u(О, у, t) = сов (j..L2Y)ехр [-(j..Lr + j..Lпat],

u(п, у, t) = (-1)J.!1сов (j..L2Y)ехр [-(/1r +j..L~)at],

u(х, О, t) = сов (/11Х) ехр [-(/1r + /1~ )at],

u(х, п, t) = (-1)J.!1сов (/11Х) ехр [-(/1r + j..L~)at],

u(х, у, О)= сов (/11Х) сов (/12У)'

а) j..L1= 1, /12= 1 б) /11= 2, /12= 1;Аналитическое решение:U(х, у, t) = сов (/11Х) сов (/12У) ехр [-(/1r + /1~ )at].

I

в) /11= 1, /12= 2.