ةلضا فت تلاداعم...ةيناثلا ةنسلا][ Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page :...
Transcript of ةلضا فت تلاداعم...ةيناثلا ةنسلا][ Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page :...
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
1
خليل يحيىدكتور المادة: ◄
معادلة برنولي :عنوان المحاضرة ◄ السابعة:المحاضرة ◄
أهلاً بكم أصدقائي سندرس في هذه المحاضرة : :المحتوى العلمي
معادلة برنولي-1
أمثلة عن معادلات برنولي-2
المعادلات التفاضلية التامة-3
معادلات برنولي
نقول عن المعادلة التفاضلية من المرتبة الأولى أنها معادلة برنولي إذا كانت من الشكل:
( ) ( ) ( )
: حيث أن
ℝمن [ ] دالتان معرفتان ومستمرتان على مجال ( ) و ( ) و
فنجد أن: ولإيجاد الحل العام نقسم الطرفين على
( )
( ) ( )
:نفرض أن
( ) :نشتق الطرفين
: (2ن ما سبق في المعادلة التفاضلية )نعوض الآ
( ) ( )
و هي معادلة خطية غير متجانسة يتم ايجاد الحل العام لها وفق خطوات الحل في المحاضرة السابقة.
7112-11-77
معادلات تف اضلة
نظري
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
7
مثال:
أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية:
الحل:
: نقسم الطرفين على
( )
برنولي إذاً نفرض: وهي معادلة من الشكل
نشتق الطرفين:
:( )ـب ( )نضرب المعادلة
والآن نعوض: ( )
من المرتبة الأولى نحلّها كما يأتيوهكذا حصلنا على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة طرف ثاني: نوجد الحل العام لها بدون
نكامل لنجد أن:
| | | |
: ثم نشتق بالنسبة ل تابعا ل cن نجعل و هو الحل بدون طرف ثاني و الآ
( ) ( )
( )
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
3
:(2المعادلة )نعوض في ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) نكامل الطرفين:
(2في ) cنعوض
(
)
والآن نعوض
لنحصل على الحل العام المطلوب.
الحل:
: نقسم الطرفين على
( )
وهي معادلة من الشكل برنولي إذاً نفرض:
نشتق الطرفين:
:( )ـب ( )نضرب المعادلة
:في المعادلة والآن نعوض
من المرتبة الأولى. وهكذا حصلنا على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
4
لإيجاد الحل العام لها: :ٍنوجد حل العام للمعادلة التفاضلية الخطية دون طرف ثان
| | | | | | | | |
|
.وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة )دون طرف ثانٍ(
:)ٍنوجد حل خاص للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة )مع طرف ثان فنكتب الحل العام السابق بالشكل: ـتابع ل ومن أجل ذلك نجعل الثابت
( ) ( )
: ـبالنسبة ل ثمَّ نشتق ( )
( )
والآن نعوض في المعادلة التفاضلية مع طرف ثانٍ: ( )
( )
( ) ( )
( )
نكامل الطرفين:
( ) ∫
∫
( )
فنحصل على: ( )في العلاقة ( ) نعوض قيمة
(
)
: والآن نعود فنعوض قيمة
الحل العام المطلوب. وهو
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
5
: نضرب ب
( )
( 2في ) نعوض
و هي معادلة غير متجانسة من المرتبة الأولى لإيجاد الحل العام لها نأخذ المعادلة بدون طرف ثاني:
∫
∫
| | | | | | |
| | |
بالنسبة ل ثم نشتق تابعا ل cنجعل ( ) ( ) ( ) ( )
نعوض في المعادلة طرف ثاني:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
نكامل لنحصل على:
( )
) في *: c نعوض قيمة
)
) : والآن نعوض
)
وهو الحل العام المطلوب.
:الحل
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
6
المعادلات التفاضلية التامة و عوامل التكميل :(
التفاضلية:نقول عن المعادلة ( ) ( ) ( )
؛ دالتان معرفتان ومستمرتان على منطقة ما ولتكن ( ) و ( ) حيث أنَّ بحيث يكون: معرف ومستمر على ( ) تامة إذا وجد تابع إنّها
( ) ( ) ( ) ( ) : ( )و ( )بالمقارنة بين نجد أنَّ
( )
( )
والتفاضل العام الكلي:
( )
:, نأخذ المشتق الجزئي الثاني لها قابلتان للمفاضلة ( ) و ( ) بما أنَّ الدالتين
( )
( )
وبالمقارنة طرفاً إلى طرف نجد: ( )
( )
تامة. ( )الشرط اللازم لكي تكون المعادلة التفاضلية وهو ( ) ويكون الحل العام لهذه المعادلة هو:
مثال: أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
الحل:
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
2
{
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
ومنه فالمعادلة التفاضلية المدروسة تامة. ( )
بالمكاملة نجد:
طريقة إيجاد الحل العام للمعادلات التفاضلية التامة بالطريقة العامة:
:وجدنا أن المعادلة التفاضلية التامة تحقق أنَّ
( )
{
( )
( )
:( )نأخذ إحدى العلاقتين في لإيجاد الحل العام يجب إيجاد الدالة
( ) ∫ ( )
( )
فقط , ـل تابعةدالة ( ) حيث: :من أجل تحقق الشرط السابق , وبالتالي من أجل ذلك ( ) وبالتالي يجب علينا إيجاد الدالة
( )
∫
( )
( ) ( )
:أنَّ ونعلم ( )
( )
( )
∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
8
( ) ∫ ( )
( ) ∫ ( )
∫ ( )
نقطة تنتمي إلى مجال تعريف الدالة. ( )وهو الحل العام حيث
مثال:
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
الحل:
نبرهن أنها تامة:
{
( )
( )
.المعادلة تامة ومنه فالشرط محقق إذاً :ها على شكل التكامل العام)ليست الطريقة العامة, بل حسب التعريف(لحلها نكتب
( )
( )
:الحل العامفيكون
( )
ويمكن الحصول على الحل العام باستخدام الطريقة العامة وهي التي سنستعملها غالباً , وتصلح دائماً في حالة المعادلات التفاضلية التامة , لدينا:
( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
( )
[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية
Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات
9
: نشتق بالنسبة لـ
( )
نجعل:
( ) ( ) ( )
( )
وهو الحل العام المطلوب.
انتهت المحاضرة
بسمة نصر الله و ياسين الحليبي و رهف النقشيإعداد:
It is what it is
We'll be Counting Stars