Η αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών .

Το τεστ για ένα καλό αξιωματικό σύστημα είναι τα θεωρήματα που παράγονται από τα αξιώματα του συστήματος……. Oswald Veblen .

Γιώργος Μπαντές

www .mpantes.gr

Aξιωματική βάση διατεταγμένο σώμαμεταμαθηματικάΑξίωμα της πληρότητας (συνέχειας)Δεκαδικά αναπτύγματα αριθμώνΑκολουθίες Κωσύ Άνω φράγμα, ελάχιστο άνω φράγμαΙδιότητες της συνέχειας στο RΑρχιμήδειος νόμος πραγματικών αριθμώνΟ θάνατος των απειροστών

Όπως ακριβώς συνέβη στη γεωμετρία, όπου η αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη παρήγαγε τα θεωρήματα της γεωμετρίας της ευθείας και του κύκλου, τώρα το ίδιο συνέβη με την άλγεβρα , όπου μια αξιωματική βάση παράγει όλα τα θεωρήματα του αριθμητικού συστήματος , το οποίο θεμελιώνει την άλγεβρα και την ανάλυση: των πραγματικών αριθμών.

Φαίνεται ότι η αξιωματική βάση

The axiomatic foundation of real numbers.The test of a good axiomatic system is the theorems derived from the axioms of the system ....... Oswald Veblen. 

George Mpantes www.mpantes.gr

Axiomatic base, ordered field metamathematicsAxiom of Completeness (continuity)Decimal expansions of numbers sequences CauchyUpper bound, least upper boundProperties of continuity in the RArchimedean law of real numbersDeath of infinitesimals

As was the case in geometry, where the axiomatic method of Euclid produced the theorems of geometry of the line and the circle, now the same happened with algebra, where an axiomatic basis produces all theorems of number system, which installs algebra and analysis: this of the real numbers.

It seems that the axiomatic basis “falls from

1

«πέφτει από τον ουρανό». Όμως δεν είναι έτσι. Ο Klein λέει ότι «η αξιωματική βάση είναι το τελικό αποτέλεσμα (το επιστέγασμα ) μιας ήδη προηγηθείσας εξελικτικής πορείας». Ακόμα

Τα μαθηματικά δεν ξεκινούν σαν a priori αξιωματικά συστήματα. Υπάρχουν πρώτα πολύ συγκεκριμένα προβλήματα , αναζητούνται πρακτικές λύσεις υπάρχουν διαρκώς «πέρα δώθε», εντοπίζονται ασυνέπειες , παράδοξα κλπ. όλα αυτά δείχνουν προς τη γενετική μιας a posteriori επιστήμης.1

Η ίδια η αξιωματική κατασκευή είναι μια μαθηματική πράξη με υψηλά στάνταρς. Υπάρχουν ιδιότητες απαραίτητες τις οποίες θα πρέπει να πληρούν τα αξιώματα, ( αρχές ισοδυναμίας, συνοχής, ανεξαρτησίας, πληρότητας, κατηγορικότητας ), αλλιώς η αξιωματική βάση είναι άκυρη.

Η εξέταση των ιδιοτήτων των αξιωματικών συστημάτων είναι γνωστή σήμερα τεχνικά ως μεταμαθηματικά, αλλά δεν θα επεκταθούμε. Η ιστορία τους ξεκίνησε με το βιβλίο του Χίλμπερτ «Θεμέλια της Γεωμετρίας» (σε Ελληνική μετάφραση Στρατής Παπαδόπουλος , Εκδόσεις Τροχαλία).

the sky”. "But not so. Klein says that "the axiomatic basis is the final result (the crowning) of an already preceding evolutionary process." evenThe math does not start as a priori axiomatic systems. There are first very specific problems, sought practical solutions, there are constantly 'to and fro' inconsistencies and paradoxes are detected, etc. All these are pointing to genetics of a posteriori science. (E. Geronikolos PhD Philosophy University Boston)

The axiomatic construction is itself a mathematical operation with high standards. There are qualities necessary which should satisfy the axioms (equivalence principles, consistency, independence, completeness, categoricalness), otherwise the axiomatic basis is invalid.

The test of the properties of axiom systems are now known technically as metamathematics, but we will not expand. Their history began with the book of Hilbert "Foundations of Geometry" (in Greek translation Stratis Papadopoulos Publications Τροχαλία).

1 Ε. Γερονικολός διδάκτωρ φιλοσοφίας Πανεπιστημίου Βοστώνης, Μ.

Μυτιληναίος Αναπλ. Καθηγητής οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών.

2

διατεταγμένο σώμα .

Ονομάζουμε διατεταγμένο σώμα, ένα σύνολο εφοδιασμένο με δύο «πράξεις» την ‘πρόσθεση’ και τον ‘πολλαπλασιασμό’, δύο ειδικά στοιχεία τα 0 και 1 και μια διμελή σχέση την < ,το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω δύο αξιώματα:

A. Το σύνολο ( ,+,. ) αποτελεί σώμα.

Αναλυτικά: Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z και x(yz) = (xy)z.Για όλα τα x και y στο , x + y = y + x και xy = yx.Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα

στοιχείο 1 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.Για όλα τα x ≠ 0 στο , υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.

B. Το σώμα είναι διατεταγμένο.

Αναλυτικά για x, y, και z στο ισχύει ακριβώς μια από τις: x<y, x=y, x>y (τριχοτομία)

Ordered field .

We call ordered field , a set R equipped with two binary “operations on 'Additon'and 'multiplication', two special elements 0 and 1 and a binary relation the <which satisfies the following two axioms:A The Set (R,+,.) is a field.

Analytically:For all x, y, and z on, is x + (y + z) = (x + y) + z and x (yz) = (xy) z.For all x and y in, x + y = y + x and xy = yx.For all x, y, and z on, force x (y + z) = (xy) + (xz).For all x in, there is an element 0 such that x + 0 = x = 0 + x and a point 1 ≠0 such that x1 = x = 1x.For all x in, there is a -x element in R, such that x + (-x) = 0 = (-x) + x.For all x ≠ 0 in, there is an element x-1 in R, such that xx-1 = 1 = x-1 x.

B. The field R is ordered . Analytically for x, y, and z on Rapply just one of: x <y, x = y, x> y (trichotomy)Even if x <y then x + z <y + zAnd if x> 0 and y> 0 then xy> 0.

3

Ακόμα αν x<y τότε x+z<y+zΚαι αν αν x>0 και y>0 τότε xy>0.

Τα αξιώματα που θεμελιώνουν το διατεταγμένο σώμα συνιστούν ένα αξιωματικό σύστημα για την στοιχειώδη άλγεβρα του σχολείου. Τα αξιώματα του διατεταγμένου σώματος για την άλγεβρα του σχολείου , είναι ό,τι τα αξιώματα του Ευκλείδη για τη γεωμετρία του σχολείου. Η ανάπτυξη της στοιχειώδους άλγεβρας από αυτά τα αξιώματα , θα ήταν εποικοδομητική αν και επίπονη (εργασία και χαρά!). Θα ήταν ακόμα πολύ αφηρημένη για απασχόληση σε επίπεδο Λυκείου όπου πρωτοδιδάσκεται η στοιχειώδης άλγεβρα, αλλά η κατανόηση αυτής της ανάπτυξης μας δείχνει τις τάσεις των σύγχρονων μαθηματικών.

Δύο σημαντικά παραδείγματα διατεταγμένων σωμάτων είναι το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των πραγματικών, με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. (για τον αναγνώστη) . Ακόμα οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένα σώμα, και το σύνολο των αριθμών της μορφής α+β√2 όπου α, β ρητοί ομοίως . Είναι ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και υπερσύνολο των ρητών.

Ο π ο ι ο δ ή π ο τ ε θ ε ώ ρ η μ α της άλγεβρας των ρητών αριθμών, παράγεται από τα αξιώματα του διατεταγμένου σώματος. Ακόμα το διατεταγμένο σώμα

The axioms underlying the ordered field constitute an axiomatic system for the elementary school algebra as that the axioms of Euclid for the school geometry. The development of elementary algebra of these axioms would be fruitfull although tedious (labor and joy!). It woulb be too abstract for employment in high school level, where is the first taught of elementary algebra, but the understanding of this development shows the trend of modern mathematics.

Two important examples of ordered body is the set of rational numbers and the set of real numbers, with the usual operations of addition and multiplication. (for the reader). Even the complex numbers is a field , and similarly the set of numbers of the form a + v√2 wherein a, b rationals . It is a subset of the real numbers and superset of rationals.

E v e r y t h e o r e m the algebra of rational numbers, is derived from the axioms of an ordered field. Even the ordered field covers all the algebraic properties of real numbers. But when we move to analysis, there by displaying of infinite procedures, limits, convergent sequences, etc. the ordered field is not enough. The properties of rationals need to be supplemented to cover operations with infinity.

4

καλύπτει όλες τις αλγεβρικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Όταν όμως μετακινηθούμε στην ανάλυση , εκεί με την εμφάνιση των επ’ άπειρο διαδικασιών , όρια ,συγκλίνουσες ακολουθίες κλπ. το διατεταγμένο σώμα δεν αρκεί. Χρειάζεται συμπλήρωση των ιδιοτήτων των ρητών για να καλύψουν τις πράξεις με το άπειρο.

Χρειάζεται επί πλέον ένα αξίωμα , το αξίωμα της πληρότητας (συνέχειας):Το διατεταγμένο σώμα είναι πλήρες όταν κάθε μη κενό, άνω φραγμένο υποσύνολό του, έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (suprimum). (αξίωμα της πληρότητας ή της συνέχειας). Το πλήρες διατεταγμένο σώμα μπορεί να « ερμηνευτεί» ως το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μια τέτοια ερμηνεία συνίσταται στην κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς, και στην απόδειξη ότι το νέο σύνολο πληρεί τα αξιώματα . π.χ η κατασκευή του Dedekind (άρθρο στο Scribd, η συνέχεια των αριθμών και η άρρητοι, τομές Dedekind) . Εδώ δεν θα κατασκευάσουμε τους πραγματικούς αριθμούς αλλά θα διερευνήσουμε σε αυτούς –που μας είναι οικείοι- τη σημασία των αξιωμάτων και κυρίως του αξιώματος της συνέχειας. Γ ι α ν α κ α τ α ν ο ή σ ο υ μ ε α υ τ ό τ ο φ α ι ν ό μ ε ν ο τ η ς σ υ ν έ χ ε ι α ς , θα αναφερθούμε στα γνωστά από την αριθμητική

δεκαδικά αναπτύγματα των αριθμών..

You need an additional axiom, the axiom of completeness (continuity):

The ordered complete is complete if every non-empty, upper bounded subset, has a minimum upper bound (suprimum). (axiom of completeness or continuity).

The complete ordered field can be "interpreted" as the set of real numbers. Such an interpretation is the construction of real numbers by rationals, and the proof that the new set satisfies the axioms. eg the construction of Dedekind (article on Scribd, the continuity of the numbers and irrational, Dedekind cuts). Here we will not construct the real numbers but we will investigate in them -with which we are familiar-the importance of the axioms and especially the axiom of continuity,

I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h i s p h e n o m e n o n o f c o n t i n u i t y We will refer to known from arithmetic numerical

decimal expansions of numbers ..

What does a number with finite decimal terms mean?We all know that it is a rational number. Ie 2,3=23/10, 1,456 = 1456/1000 etc..

But there rational that are not expressed with finite decimal digits. The number 1/3 is rational but expressed as known 0,3333333 ...

5

Τι σημαίνει ένας αριθμός με πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία; Όλοι γνωρίζουμε ότι πρόκειται για ρητό αριθμό. Π.χ 2,3=23/10, 1,456=1456/1000 κπ. Όμως υπάρχουν ρητοί που δεν εκφράζονται με πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία. Το 1/3 είναι ρητός όμως εκφράζεται όπως γνωρίζουμε 0,3333333…τα δεκαδικά είναι άπειρα , επαναλαμβανόμενα με περίοδο το 3, και το πρόβλημα είναι τι σημαίνει αυτή η γραφή για τον αριθμό: Σημαίνει όριο, ο αριθμός δεν υπολογίζεται αλλά προσεγγίζεται. Ακόμα ο √5=2,236067977499789696…….. έχει άπειρα δεκαδικά που δεν επαναλαμβάνονται, κι αυτός σημαίνει όριο. Οι επόμενες τρεις προτάσεις είναι καθοριστικές της σχέσεως των πραγματικών αριθμών με τα άπειρα δεκαδικά αναπτύγματα .1. Αποδεικνύεται ότι όλοι οι αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία, επαναλαμβανόμενα ή όχι καθορίζουν μια ακολουθία Κωσύ,(άρθρο «τα απειροστά και ο Κωσύ)2. Αποδεικνύεται εύκολα ότι σε κάθε ρητό αριθμό που δεν μπορεί να γραφεί με πεπερασμένα δεκαδικά , αντιστοιχεί ένας δεκαδικός με μια επαναλαμβανόμενη απειρία δεκαδικών (περίοδος), ο οποίος με τη γνωστή διαδικασία των ακολουθιών Κωσύ συγκλίνει προς το ρητό αυτό.3. Αποδεικνύεται ότι καμιά άλλη απειρία δεκαδικών, επαναλαμβανόμενη ή όχι, δεν θα συγκλίνει στον ίδιο ρητό.

decimals are infinite, repeated with period 3, and the problem is what this writing means for the number: It means limit the number is not calculated but approached. Even the √5 = 2,236067977499789696 ...... .. has infinite decimals not repeated, and that means again limit.

The next three statements are decisive of the relationship of real numbers with infinite decimal expansions.

1. all numbers with infinite decimal terms, repeated or not define a Cauchy sequence,

2. In every rational number that can not be written with finite decimal, corresponds a decimal number with a repeating infinite decimal (period), which in the known procedure of Caucy sequence converges to this rational.

3. no other infinite decimal, repeated or not, will converge to the same rational.

We can for example to create for the rational 1/3 a sequence of rationals, 0.3 0.33 0.333 0.3333 ...... . which is a Cauchy sequence to the limit of 1/3 (known from previous article). We say that the above sequence converges to 1/3 or 1/3 is limit of a Cauchy sequence of rational numbers (of this). This in turn means that we can find a fraction

6

Μπορούμε π.χ για το 1/3 να δημιουργήσουμε μια ακολουθία ρητών, 0,3 0,33 0,333 0,3333…….η οποία είναι ακολουθία Κωσύ , με όριο το 1/3 (γνωστά από προηγούμενο άρθρο) . Λέμε ότι η παραπάνω ακολουθία συγκλίνει στο 1/3 ή ότι το 1/3 είναι όριο μιας ακολουθίας Κωσύ ρητών αριθμών (της συγκεκριμένης) . Αυτό στη συνέχεια σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε ένα κλάσμα οσοδήποτε κοντά στο 1/3 αρκεί να πάρουμε τον κατάλληλο όρο από τους τύπους σύγκλισης του Κωσύ.

Προσοχή : η προηγούμενη ακολουθία δεν είναι η μοναδική που συγκλίνει στο 1/3, αλλά είναι η μοναδική που παράγεται από άπειρα δεκαδικά.. Ακόμα για το √5 την ακολουθία Κωσύ 2,2 2,23 2,236 2,2360 2,23606 2,236067……… Τι θα συμβαίνει όταν έχουμε (όπως ο √5) άπειρα δεκαδικά ψηφία αλλά μη επαναλαμβανόμενα; Τι αντιπροσωπεύουν; Αφού είναι άπειρα τα δεκαδικά ψηφία τους άρα επιδέχονται ερμηνεία συγκλίνουσας ακολουθίας. Από τις παραπάνω προτάσεις προκύπτει ότι οι αντίστοιχες ακολουθίες Κωσύ δεν συγκλίνουν σε κανένα ρητό. Πού συγκλίνουν; Φαίνεται ότι οι ρητοί αριθμοί έχουν κενά. Για να πληρωθούν τα κενά των ρητών ανακαλύπτουμε τους πραγματικούς αριθμούς.

arbitrarily close to 1/3 as long to get the appropriate term from the types of convergence of Cauchy.

Caution: the previous sequence is not the only one that converges to 1/3, but is the only one produced by infinite decimal ..Even for √5 a Cauchy sequence is 2.2 2.23 2.236 2.2360 2.23606 2.236067 .........

What happens when we have (like √5) infinite decimal terms but not repetitive? What do they represent?

Since the decimal digits are infinite, hence are amenable of an interpretation of convergent sequence. From the above propositions we have that the corresponding Cauchy sequences do not converge to any rational. Where converge? It seems that the rational numbers have gaps. To fill the gaps of rational we discover the real numbers.

So what is a real number? Every real takes the form of an infinite decimal expansion. If it is repetitive the number is rational if no the number is irrational. So we understood the real numbers in high school with basic intuitive picture of the real line. But now through the axiomatic basis will understand this distinction in relation to indefinitely numerical procedures of analysis.

7

Τι είναι λοιπόν ένας πραγματικός αριθμός; Κάθε πραγματικός παίρνει τη μορφή ενός άπειρου δεκαδικού αναπτύγματος. Αν είναι επαναλαμβανόμενο ο αριθμός είναι ρητός , αν δεν είναι επαναλαμβανόμενο ο αριθμός είναι άρρητος. Έτσι κατανοούσαμε τους πραγματικούς αριθμούς στο Λύκειο με βασική διαισθητική εικόνα την πραγματική ευθεία. Τώρα όμως μέσα από την αξιωματική βάση θα κατανοήσουμε αυτή τη διάκριση σε σχέση με τις επ’ άπειρο αριθμητικές διαδικασίες της ανάλυσης.

Το πρόβλημα είναι ότι οι άνθρωποι με την πεπερασμένη ζωή, δεν μπορούν να συμφιλιωθούν με άπειρες πράξεις. Και πράγματι δεν μπορούμε να κάνουμε αριθμητική με πραγματικούς αριθμούς , ούτε να υπολογίσουμε. Όμως μέσα από τις διαδικασίες των ορίων που αναφέραμε, μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς όχι ακριβείς αλλά με τόση ακρίβεια όση υπομονή διαθέτουμε για να πλησιάσουμε. Αυτή είναι η χρησιμότητα των πραγματικών αριθμών: θυμόμαστε ότι κάποιες ακολουθίες ρητών δεν συγκλίνουν σε ρητό αριθμό, συγκλίνουν όμως σε πραγματικό. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των ρητών , τα όρια δεν υφίστανται οπουδήποτε τα ζητήσουμε, δηλαδή ο λόγος που χρησιμοποιούμε τους πραγματικούς αριθμούς είναι ότι περιέχουν όλα τα όρια. .Και τώρα μπορούμε να μιλήσουμε για το αξίωμα της συνέχειας στο

The problem is that people with a finite life, can not be reconciled with infinite acts. And indeed we can not do arithmetic with real numbers, or compute. But through the processes of the limits mentioned, we do not exact calculations but as accurately as patience we have to get closer.

This is the utility of real numbers:remember that some sequences of rationals do not converge to rational number, but converge in real. This means that between rationals , the limits not exist anywhere in the request, that is e the cause we use real numbers is that they contain all limits.

And Now we can talk about                        axiom of continuity in R .

starting from the bounds. The subset of R, interval A = [-2, 5) has upper bounds, i.e. there are numbers greater than or equal all elements of A are e.g. 5, 6, 100, etc. To an ordered field the bounds up and down) is nothing remarkable.

But from all previous upper bounds there is a minimum the number 5 and the existence of the least upper bound is featuring the real numbers. If there is least upper bound for each non-empty, upper bounded subset of an ordered field R, then that R is the real

8

σύνολοR αρχίζοντας από τα φράγματα. Το υποσύνολο του R, διάστημα Α= [-2, 5) έχει άνω φράγματα, δηλαδή υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι όλων των στοιχείων του Α π.χ οι 5 , 6 , 100 κλπ. Σε ένα διατεταγμένο σώμα τα άνω φράγματα (αντίστοιχα κάτω φράγματα) δεν είναι τίποτα το αξιοσημείωτο. Όμως, από όλα τα προηγούμενα άνω φράγματα υπάρχει ένα ελάχιστο το 5 και η ύπαρξη του ελάχιστου άνω φράγματος είναι που χαρακτηρίζει τους πραγματικούς αριθμούς. Αν υπάρχει ελάχιστο άνω φράγμα για κάθε μη κενό, άνω φραγμένο υποσύνολο του διατεταγμένου σώματος R, τότε αυτό το R είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Αυτό είναι το αξίωμα της πληρότητας ή της συνέχειας των πραγματικών αριθμών.

Ας το δούμε με την εικόνα των δεκαδικών αναπτυγμάτων:Έστω το Α υποσύνολο των θετικών ρητών ρ που πληρούν την ρ2<5. δηλαδή Α=(0,√5) . Το Α έχει πολλά άνω φράγματα για παράδειγμα, ο 3, ο 2,24 ο 2,23607 , αλλά προσέχουμε ότι όποιον αριθμό κι αν προτείνουμε για άνω φράγμα του Α πάντα μπορούμε να βρούμε έναν άλλο ρητό μικρότερο από αυτόν ο οποίος να είναι επίσης άνω φράγμα του Α.

Μπορούμε να καταλάβουμε γιατί : αυτοί οι αριθμοί συγκλίνουν στο √5=2,236067977499789696……..ο οποίος δεν είναι ρητός και μέσα από την εικόνα της

numbers.

This is the axiom of completeness or continuity of real numbers.

Let's see it in the picture of decimal expansions:Let A subset of positive rational r that satisfy the r2 <5. i.e., A = (0, √5). A has several upper bounds for example, 3, the 2.24 by 2.23607, but beware that for any number you recommend for upper bound of A we can always find another rational less than that, which is also an upper bound of A .

We can understand why: these numbers converge in√5 = 2,236067977499789696 ...... ..which is not rational and through the image the sequence of Cauchy which tends to √5, the terms never reach the limit which is not rational, they approach it indefinitely, being always upper bounds of the interval A, so there is no minimum rational upper bound for A.  But if A is a subset of the real numbers, the least upper bound will be √5, the limit of the previous sequence belongs to the real numbers, no gap is present, the set is complete.

The existence of the least upper bound for a set of numbers, is equivalent to the existence in this set, the limit of every Cauchy sequence of rational terms.

9

ακολουθίας Κωσύ η οποία τείνει στο √5 , ποτέ οι όροι δεν φτάνουν το όριο το οποίο δεν είναι ρητός , το πλησιάζουν επ’ άπειρο , όντας πάντα άνω φράγματα του διαστήματος Α, δεν υπάρχει λοιπόν ελάχιστο ρητό άνω φράγμα για το Α. Αν όμως το Α είναι υποσύνολο των πραγματικών , το ελάχιστο άνω φράγμα θα είναι το √5, το όριο της προηγούμενης ακολουθίας ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς , κανένα κενό δεν υφίσταται, το σύνολο είναι πλήρες. Η ύπαρξη του ελάχιστου άνω φράγματος για ένα σύνολο αριθμών , είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη σε αυτό το σύνολο, του ορίου οποιασδήποτε ακολουθίας Κωσύ ρητών όρων.Φυσικά δεν έχει κάθε υποσύνολο των πραγματικών ένα ελάχιστο άνω φράγμα, για παράδειγμα ένα σύνολο χωρίς άνω φράγμα το [1,∞) αλλά αυτό που πραγματικά χαρακτηρίζει τους πραγματικούς αριθμούς είναι ότι αν ένα μη κενό σύνολο πραγματικών έχει ένα άνω φράγμα , θα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Θα βοηθήσω τον αναγνώστη ακόμα λίγο με την παρατήρηση ότι στα μαθηματικά αυτό που μετράει είναι το πώς συμπεριφέρονται τα «αντικείμενα» και όχι το τι είναι. Αλλά η αξιωματική κατασκευή είναι μια σημαδεμένη τράπουλα. Όλες οι ιδιότητες των πραγματικών αριθμών (που τις μάθαμε στο Λύκειο χωρίς να έχουμε ορίσει αυστηρά τους πραγματικούς,) προέρχονται από τις

Of course not every subset of the real numbers has a least upper bound, for example a set without upper bound is [1, ∞) but what really characterizes real numbers is that if a non-empty set of real has an upper bound, will have a least upper bound. 

I will help the reader even a bit with the observation that in mathematics, what matters is how behave the "objects" rather than what they are. But the axiomatic structure is a marked pack of cards. All the properties of real numbers

(which we learned in high school without having rigorously define real,) are coming from the axiomatic properties and are known and familiar to the reader when not based on the principle of continuity. Such are the

 

Other properties based on least upper bound are:

and others.

10

αξιωματικές τους ιδιότητες και είναι γνωστές και οικείες στον αναγνώστη όταν δεν βασίζονται στην αρχή της συνέχειας. Τέτοιες είναι οι

Άλλες ιδιότητες που βασίζονται στο ελάχιστο άνω φράγμα είναι:Άλλες ιδιότητες που βασίζονται στο ελάχιστο άνω φράγμα είναι:

και άλλες.

Τώρα έχουμε κατανοήσει πλήρως την αξιωματική βάση του συνόλου των πραγματικών αριθμών . Αξίζει να δείξουμε ένα θεώρημα που προκύπτει από αυτή , το οποίο είναι η πράξη θανάτου των απειροστών στην ανάλυση.

Αρχιμήδειος νόμος των πραγματικών αριθμών:

Η αρχή της συνέχειας θα εξασφαλίσει την Αρχιμήδεια δομή του R , άρα θα εξορίσει τα απειροστά από το λογισμό:Έστω α και β δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί , τότε υπάρχει ένας θετικός ακέραιος ν τέτοιος ώστε να ισχύει ν.α>β

Απόδειξη Howard Eves σελ. 182

Now we fully understand the axiomatic basis of the real numbers. It can show a theorem derived from it, which is the death certificate of infinitesimals in the analysis.

Archimedean law of real numbers:

The principle of continuity will ensure the Archimedean structure of R, so it will banish the infinitesimals from calculus: Let a and b two positive real numbers, then there is a positive integer n such that na > b

Proof: Howard Eves p. 182 In the calculus of infinitesimals we have that if a then an infinitesimal then n.a likewise would be infinitesimal, that is contrary to the Archimedean principle. So in real numbers there a r e n o t i n f i n i t e s i m a l s . (old belief of Archimedes).The proof is to Howard Eves, but there are other proofs based on properties of real numbers which however are produced from axiomatic base, in combination with others, e.g., by  (To reader)

Sources .

11

Στο λογισμό των απειροστών είχαμε ότι αν το α απειροστό τότε το ν.α ομοίως θα ήταν απειροστό, άρα αντιβαίνει στην Αρχιμήδειο αρχή. Ώστε στους πραγματικούς αριθμούς δ ε ν υ π ά ρ χ ο υ ν α π ε ι ρ ο σ τ ά . (παλιά πεποίθηση του Αρχιμήδη) .Η απόδειξη υπάρχει στον Howard Eves, υπάρχουν κι άλλες αποδείξεις που βασίζονται σε ιδιότητες των πραγματικών αριθμών οι οποίες παράγονται βέβαια από την αξιωματική βάση, σε συνδυασμό με άλλες, π.χ η

) (για τον αναγνώστη)

Πηγές .

Foundation and fundamental concepts of

mathematics, Howard Eves

Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο (Τζέιμς Στάιν, Αυγό)

A short account of the history of mathematics (Rousse Ball, Dover)The teal numbers and real analysis Ethan D.Bloch Springer What are the real numbers really? (Eric Schechter, διαδίκτυο)Karl’s Calculus Tutor: Number system (διαδίκτυο)Γιώργος Μπαντές mpantes on scribd .

Foundation and fundamental concepts of mathematics, Howard EvesHow mathematics explain the world (James Stein, Egg)A short account of the history of mathematics (Rousse Ball, Dover)The teal numbers and real analysis Ethan D.Bloch SpringerWhat are the real numbers really? (Eric Schechter, Internet)Karl's Calculus Tutor: Number system (internet)

George mpantes mpantes on scribd.

12