روش عناصر محدود)برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ(

Finite Element Procedures

کریم عابدی

فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر

محدود در تحليل خطی(بخش اول)

مقدمه -1- نخس$تین کاربرد روش های عمل$ی عناص$ر محدود، در تحلی$ل خط$ی س$ازه ها بود و روش عناص$ر محدود، اس$اسا محرک اولی$ه خود را برای بس$ط و توسعه،

در این حوزه پیدا کرده است.

های - محیط و جامدات محدود عناص$ر ح$ل تحلی$ل برای اس$تاندارد روش پیوسته، روش تغییر مکان یا روش سختی است که به طور گسترده ای مورد

در تحلی$ل عناص$ر محدود ب$ا اس$تفاده از روش تغییر مکان گیرد. اس$تفاده قرار م$ی(Displacement method) ی$ا همان روش سختی (Stiffness method) از دو نوع فرمول

بندی استفاده می شود: Displacement-Based Finite Element) فرمول بندی عناص$ر محدود مبتنی بر تغییرمکان•

Formulation)(Mixed Finite Element Formulation فرمول بندی عناصر محدود آمیخته )•

از تغییرمکان، متغیرهای حالت بر بندی عناص$ر محدود مبتن$ی - در فرمول نوع تغییرمکان های تعمیم یافت$ه )تغییرمکان ی$ا دوران( می باشند. برای تحلیل س$ازه های خم$ش ص$فحه و پوس$ته ای ترجیح$ا از فرمول بندی عناصر محدود

اس$تفاده م$ی شود ک$ه در آنه$ا عالوه بر تغییرمکان های تعمی$م یافته از آمیخت$هتنش یا کرنش نیز به عنوان متغیر حالت استفاده می شود.

فرمول بندی عناص$ر محدود مبتنی بر در ای$ن فص$ل، تاکی$د و تکی$ه اص$لی م$ا بر روی -خواهد بود.تغییرمکان

" اصل کار مجازی یا تغییرمکان های مجازی" رابطه بنیادی است که برای فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان مورد استفاده قرار خواهد

برای مینیمم سازی پتانسیل Ritzگرفت. اصل مذکور، معادل کاربرد روش کلی سیستم می باشد.

- نحوه استخراج معادالت روش عناصر محدود2ابتدا معادالت روش عناصر محدود را برای یک جسم عمومی سه بعدی

استخراج می کنیم و سپس این فرمول بندی عمومی را برای مسائل جسم عمومی سه بعدی زیر را در نظر خاص اعمال می نماییم.

:می گیریمدر تحلیل عناصر محدود،

جسم را به صورت مجموعه همبسته

(Assemblage از عناصر )محدود گسسته که فقط در نقاط گرهی در مرزها با یکدیگر اتصال یافته اند،

تقریب سازی می کنیم.بحثی در مورد تفاوت مجموعه

Finiteهمبسته عناصر محدود )Element Assemblage و سازه )

(Structure)

مراحل تشکیل ماتریس سختی در روش عناصر الف: ارتباط تغییرمکان ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان محدود در تحلیل ایستایی

همبسته عناصر( های نقاط گرهی عنصر )یا مجموعهتغییرمکان ه$ا ک$ه در ی$ک دس$تگاه مختص$ات اختیاری در درون عنصر اندازه

در ه$ا تغییرمکان از تابع$ی م$ی شون$د، )یا Nگرفت$ه عنص$ر گره$ی نقط$ه مجموع$ه همبس$ته عناص$ر محدود( فرض م$ی شون$د )در ای$ن مرحل$ه دستگاه

mهای محلی و کلی یکسان در نظر گرفت$ه می شون$د(. بنابرای$ن برای عنصر داریم:

: بردار شامل سه مولفه تغییرمکانی ، و

در تمامی نقاط گرهی ع$نصر یا مجموعه همبسته عناصر می باشد، به

عبارت دیگر برداری است که درایه می باشد:3Nشامل

mماتریس درون یابی تغییرمکان عنصر : (. استShape functions)که حاوی توابع شکل

بردار مذکور را در حالت عمومی تر می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

یا Z یاX ،Y می تواند یک تغییرمکان در هر یک از جهاتUiکه در آن صفحه و پوسته باشد. دوران در سازه های تیری، خمش

:نکات اساسی در مرحله اول تشکیل ماتریس سختی در یک تحلیل عناصر محدود

- انتخاب نوع عنصر،1- انتخاب تعداد درجات آزادی در هر گره،2 - ایجاد توابع شکل که ماتریس درون یابی تغییرمکان را تشکیل می دهند.3

ب: ارتباط کرنش ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر )یا مجموعه همبسته عناصر(

: ماتریس کرنش- تغ$ییرمکان می باشد که سطرهای آن با مشتق گیری و ترکیب مناسب از ماتریس به دست می آیند.

پ: ارتباط تنش ها در درون هر عنصر بر حسب کرنش ها و تنش های اولیه عنصری یا بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر )یا

مجموعه همبسته عناصر(

m: ماتریس ارتجاعی مشخصه مصالح عنصر

m: تنش های مع$لوم اولیه عنصر

در ای$ن مرحل$ه کرن$ش ه$ا در درون ه$ر عنص$ر را م$ی توان به تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر )یا مجموعه همبسته عناصر محدود( به صورت زیر ارتباط داد:

ت: اعمال اصل تغییرمکان های مجازی و استخراج ماتریس سختی سازه )در مختصات کلی( و بردار بار )در مختصات کلی(

جس$م می باشند. S: س$طوح عناص$ر اس$ت ک$ه قس$متی از س$طح ک$ل$ی برای عناص$ری ک$ه کامال بوس$یله س$ایر عناص$ر احاط$ه شده اند، چنان س$طحی وجود ندارد، در حال$ی ک$ه برای عناص$ر واق$ع در س$طح جسم،

در استفاده از اصل تغییرمکان های مجازی فرضیات یکسانی را برای تغییرمکان ها و کرنش های مجازی به کار یک یا چند سطح در انتگرال گیری سطحی وارد می شوند.می بریم به عبارت دیگر داریم:

اصل کار مجازی برای یک جسم عمومی را به صورت زیر نوشتیم:

اصل کار مجازی مذکور را اگر به اعمال کنیم، مجموعه همبسته عناصر

در این صورت خواهیم داشت:

اگر روابط مذکور را در اصل کار مجازی جایگذاری کنیم:

رابطه زیر را بدست می آوریم:

ماتریس های درون یابی تغییرمکان های سطحی از جایگذاری مختصات مناسب سطحی عنصر در ماتریس های درون یابی عنصر به دست می

ام بردارi: بردار شامل بارهای متمرکز وارد بر گره های مجموعه همبسته عناصر می باشند که مولفه آیند.امین مولفه تغییرمکان در بردار می باشد.i یک نیروی گرهی متمرکز است که متناظر با

درنهایت به رابطه روبرو می رسیم:

بردار بار ناشی از نیروهای حجمی

عنصری

بردار بار ناشی از نیروهای سطحی

بردار بار ناشی از تنش عنصریهای اولیه عنص$ری

ترکیب مناسب - یادآوری می کنیم که مجموع انتگرال های حجمی در باال بیانگر ماتری$س های س$ختی عنص$ری برای بدس$ت آوردن ماتری$س س$ختی کل مجموع$ه همبس$ته عناص$ر اس$ت. ب$ه ای$ن ترتی$ب، بردار نیروی حجم$ی مجموعه همبس$ته عناص$ر ، مس$تقیما از جم$ع بردارهای نیروی حجم$ی عناصر

حاصل می گردد و نیز به طور مشابهی و به دست می آیند.

بررسی دو مثال: مثال حالت تنش مسطح را در نظر می گیریم:

در چارچوب مسائل االستیسیته صفحه ای (Plane Stressتنش مسطح )ویژگی های مسائل االستیسیته صفحه ای:مطرح می شود.

شامل بررسی محیط های پیوسته ای است ک$ه در صفحه خود بارگذاری شده اند،- مسائل االستیسیته صفحه ای شامل دو حالت است:-

Plane- مسائل تنش مسطح )1 Stress)

- مسائل کرنش مسطح 2 (Plane Strain)

)نظیر صفحه( نسبت به ابع$اد - در مسائل تنش مسطح، ضخامت محیط پیوستهدیگر کم بوده و تنش های عمود بر صفحه صفر می باشند ) ( و روابط

بین تنش ها و ک$رنش ها به صورت زیر می باشند:

ماتریس مصالحمثالی از شرایط تنش مسطح:

تیر تحت اثر کنش های درون صفحه ای ) از جمله دیوارهای برشی(

در مسائل کرنش مسطح، ک$رنش ع$مود بر صفحه بارگ$ذاری صفر است ) (، - روابط تنش- کرنش در این حالت$ به صورت زیر می باشند:-

با حذف و حل معادالت بر حسب به رابطه ماتریسی زیر می

رسیم:

مثالی از شرایط کرنش مسطح : سد طویل تحت اثر فشار آب

در مسائل االستیسیته صفحه ای، تمامی تغییرمکان ها در خود صفحه اتفاق می افتد و لذا هر گره دارای.(u (x ,y) , v (x ,y)) دو درجه آزادی است

ماتریس مصالح

تحلیل یک صفحه طره ای نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. برای نشان دادن تکنیک تحلیل،مثال: از ایده آل سازی عناصر محدود درشت که در شکل زیر مشخص شده است استفاده کنید. ماتریس های ،

و را ایجاد نمائید.

صفحه طره ای در شرایط تنش مسطح ع$مل می کند، پس ماتریس مصالح آن به صورت زیر می باشد:

، تغ$ییرمکان های داخلی عنصر را به تغییرمکان های 2ماتریس درون یابی عنصر نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر محدود ارتباط می دهد:

برداری است که شامل تمامی تغییرمکان های نقاط گ$رهی مجموعه همبسته عناصر محدود می باشد:Uکه در آن

:حل

را 2در این مرحله از تحلیل، مدل سازه ای را بدون شرایط مرزی تغییرمکانی در نظر می گیریم. اگر عنصر در تغییرمکان های عنصر مذکور موثرند. 6 و5، 2،3در نظر بگیریم، درمی یابیم که تنها تغ$ییرمکان های گره های

)اشاره به نحوه شماره گذاری نقاط گرهی ع$نص$ر و درجات آزادی متناظر با آن نقاط(

یابی$م ک$ه در ه$ر چهار نقطه برای اس$تخراج ماتری$س در )ال$ف( درم$ی وجود دارد. بنابرای$ن می توان فرض v (x , y)و u (x , y)گره$ی، دو تغییرمکان

ای عنص$ر در مختص$ات محل$ی ب$ه ص$ورت چندجمله u , v کرد ک$ه تغییرمکان های بیان x , yهای زی$ر مشخ$ص م$ی شون$د ک$ه بر حس$ب متغیرهای مختص$ات محلی

گردیده اند:

ضرایب مجهول که به آنها مختصات تعمیم یافته نیز اطالق می شود، بر حسب تغییرمکان های مجهول نقاط گرهی عنصری و بیان خواهند شد. با تعریف زیر:

می توان )پ( را به صورت ماتریسی زیر نوشت:

که در آن داریم:

معادله )ث( باید برای تمام نقاط گرهی صادق باشد، بنایراین با استفاده از )ت( داریم:

حل شوند و نتیجه در )ث( جایگذاری شود، رابطه زیر بدست می آید:αاگر معادالت )ج( برای یافتن

1A u

( , )( , )

u x yH u

v x y

استفاده نمی شود، داللت براین نکته دارد که ماتریس درون یابی Hاین واقعیت که اندیس باال در تغییرمکان متناظر با تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر در )ت( تعریف می شوند:

مشخص$ شده در )ح( با توجه به شکل روبرو داریم:Hبا

در شرایط تنش مسطح، کرنش های عنصری عبارتند از:

بنابراین ماتریس کرنش- تغییرمکان متناظر با درجات آزادی محلی عنصر عبارتست از:

به دست آورد:(H) را می توان با مشتق گیری مناسب از سطر های ماتریس (B)ماتریس کرنش- تغییرمکان

باشد، در این صورت داریم:B(ام ماتریس i , j ع$نصر )Bijاگر

که در آن درجات آزادی عنصری و درجات آزادی مجموعه همبسته عناصر به همان طریق )ب( و )ت( مرتب شده اند.

از یک مجموعه همبسته عناصر mمطلوبست تعیین برای عنصر مثال: محدود که تحت اثر یک فشار سطحی گسترده خطی قرار دارد.

گام اول تعیین است. برای تغییرمکان های سطحی فرض می کنیم که :

گام دوم تعیین است :

1

1 1 11 1 11 0 0

A

برای بدست آوردن ، ابتدا را تعیین می کنیم:

بنابراین متناظر با درجات آزادی کلی داده شده داریم:

- درجات آزادی محلی عنصری و درجات آزادی کلی سازه3 Element Local Degrees ofدر ای$ن ج$ا ب$ه بررس$ی درجات آزادی محل$ی عنصری )

Freedom و )( می پردازیم:Structural Global Degrees of Freedomدرجات آزادی کلی سازه )

در فرایند سوار نمودن ماتریس ه$ا در روش عناصر محدود، تاکنون فرض شد که جهات تغ$ییرمکان های نقاط

Uگره$ی محل$ی عنص$ر ب$ا جهات تغییرمکان های نقاط گره$ی کل$ی سازه یکسان می باشند.

با * متناظ$ر را ه$ا ماتری$س ابتدا ک$ه در پی$ش گرفتی$م در را ای$ن روش تاکنون درجات آزادی محل$ی ایجاد کردیم. در ای$ن ص$ورت ماتری$س های عناصر محدود متناظ$ر ب$ا درجات آزادی کل$ی مجموع$ه همبس$ته عناص$ر را م$ی توان مس$تقیما با مشخ$ص نمودن درجات آزادی کل$ی ک$ه متناظ$ر ب$ا درجات آزادی محل$ی عنص$ر می

تغییرمکان های نقاط گرهی باشن$د، ایجاد کرد ) روش اول در حالت$ی ک$ه جهات یکس$ان می Uمحل$ی عنص$ر ب$ا جهات تغییرمکان های نقاط گره$ی کل$ی س$ازه

( .باشند اگ$ر ماتریس های را که متناظر با درجات آزادی کلی سازه می باشند در نظر بگیریم، -در این صورت فقط آن سطرها و ستون هایی که متناظر با درجات آزادی محلی عنصر هستند دارای عناصر

غیرصفر هستند.می توانستیم یک روش دیگری را در پیش بگیریم به این صورت که : *

: تغییرمکان های نقاط گرهی ع$نصری که در هر دستگاه مختصات مناسب و دلخواهی تعیین شده اند.

استفاده نشده است که داللت بر این نکته دارد که m از اندیس باالی B و Hدر روابط مذکور در ماتریس های ماتریس ها نسبت به درجات آزادی عنصر تعریف شده اند. بنابراین می توان ماتریس و بردارهای

و و را متناظر با مختص$ات محلی به صورت زیر داشت:

ایجاد ب$ا دس$تگاه مختص$ات محلی ای$ن ک$ه ماتری$س های مذکور متناظ$ر ب$ه مح$ض (، آنها را Connectivity arrayشدن$د، م$ی توان مس$تقیما ب$ا اس$تفاده از آرای$ه اتص$ال )

در ماتریس هایی که متناظر با دستگاه مختصات کلی می باشند سوار کرد. برای هر عنصر شامل درجات آزادی کلی سازه می باشد که به LMآرایه اتصال •

ترتیب درجات آزادی محلی عنصر قرار گرفته اند و دارای مقدار صفر به ازای سطر و ستون متناظر عنصری است که در تشکیل ماتریس سختی کلی سازه نقشی

ندارد.آرای$ه های و ماتری$س های س$ختی عناص$ر اگ$ر دیگ$ر باشند، LMب$ه عبارت معلوم

ماتری$س س$ختی ک$ل س$ازه را م$ی توان مس$تقیما ب$ه طریق$ه ای خودکار بدست آورد روش دوم در حالت$ی ک$ه جهات تغ$یرمکان های نقاط گره$ی محل$ی عنص$ر با جهات )

( . یکسان می باشندUتغییرمکان های نقاط گرهی کلی سازه

فرض كني$د ماتريس هاي س$ختي عنص$ري ك$ه متناظ$ر با تغييرمكان هاي عنصري مثال : A , B , C , Dنشان داده شده در شك$ل زي$ر م$ي باشن$د محاس$به شده اند. عناص$ر با

نشان داده م$ي شوند. مس$تقيما ماتري$س های عنص$ري مذكور را در ماتري$س سختي كل$ي س$ازه ب$ا در نظ$ر گرفت$ن شراي$ط مرزي تغييرمكاني نشان داده شده در شك$ل زیر

را براي عناصر مزبور به دست آوريد.LMسوار كنيد. همچنين آرايه اتصال

از آنج$ا ك$ه تغييرمكان ه$ا در تكي$ه گاه ه$ا ص$فر م$ي باشن$د، ضروري اس$ت كه ح$ل: را تشكيل داد. Uفق$ط ماتري$س س$ختي متناظ$ر ب$ا مولف$ه هاي مجهول تغ$ييرمكان$ی

( براي ه$ر عنص$ر شام$ل درجات آزادي كل$ي س$ازه م$ي باشد LMآراي$ه اتص$ال )آراي$ه ك$ه ب$ه ترتي$ب درجات آزادي محل$ي عنص$ري قرار گرفت$ه ان$د و داراي مقدار ص$فر به ازاي س$تون و س$طر متناظ$ر ماتري$س س$ختي متناظ$ر عنص$ري اس$ت ك$ه در تشكيل

ماتريس سختي كل سازه نقشي ندارد .

و معادله نتيجه زير را به دست مي دهد:

ای$ن، در برخ$ی تحلی$ل ه$ا مناس$ب اس$ت ک$ه اس$تخراج ماتری$س ها را * ب$ا وجود متناظ$ر ب$ا درجات آزادی نقاط گره$ی عنص$ری آغاز کرد ک$ه در امتداد درجات

آزادی کلی مجموعه همبسته عناصر نمی باشند. در این صورت داریم:

)ماتریس دوران( ، درجات آزادی را به درجات آزادی تبدیل می کند.Tماتریس

بنابراي$ن در ي$ك جمع ب$ا س$ه حالت بندي، فرمول توانيم م$ي بندي عناصر محدود

را دنبال كنيم:

مشخ$ص اس$ت ك$ه اگ$ر تمام$ي ماتري$س هاي عناص$ر محدود را ك$ه متناظ$ر با درجات آزادي ميباشن$د ب$ا ي$ك ) ( مشخ$ص كني$م، در اي$ن ص$ورت خواهيم

داشت:

براي ي$ك عنص$رخاص با جهات درجات Tمطلوبس$ت اس$تخراج ماتريس دوران مثال : آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

: دوران مثال ماتري$س اس$تخراج مسطح Tمطلوبس$ت تن$ش عنص$ر ي$ك براي چهارگرهی با جهات درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

cos sin 0 0 0 0 0 0sin cos 0 0 0 0 0 00 0 cos sin 0 0 0 00 0 sin cos 0 0 0 00 0 0 0 cos sin 0 00 0 0 0 sin cos 0 00 0 0 0 0 0 cos sin0 0 0 0 0 0 sin cos

T

1 1 2 2 3 3 4 4ˆ [ , , , , , , , ]Tu u v u v u v u v

cos 0 0 0 sin 0 0 00 cos 0 0 0 sin 0 00 0 cos 0 0 0 sin 00 0 0 cos 0 0 0 sin

sin 0 0 0 cos 0 0 00 sin 0 0 0 cos 0 00 0 sin 0 0 0 cos 00 0 0 sin 0 0 0 cos

T

((Imposition of Boundary ConditionsImposition of Boundary Conditions))اعمال شرایط مرزی: اعمال شرایط مرزی: --44 قب$ل از اعمال شرای$ط مرزی ی$ک ماتریس K- ماتری$س س$ختی ک$ل س$ازه

ویژ$ه اس$ت )دترمینان آ$ن برابر ص$فر اس$ت( و نشانگ$ر ای$ن واقعی$ت م$ی باشد که سازه بدون تکیه گاه ناپایدار است.

باش$د ک$ه در هر - معادل$ه ماتریس$ی ، ی$ک دس$تگاه معادالت مختل$ط م$یطرف آن مقادیر معلوم و مجهول وجود دارند. دو

یافت$ه تعمی$م نیروی بردار -P نیروهای شامل معادل$ه ای$ن چ$پ طرف در خارج$ی معلوم موث$ر بر گره های آزاد س$ازه و نی$ز حاوی عک$س العمل های

مجهول تکیه گاهی نیز می باشد.تغییرمکان بردار معادل$ه شامل - ای$ن راس$ت درس$مت یافت$ه تعمی$م های

های معلوم های آزاد س$ازه و نیز حاوی تغییرمکان های مجهول گره تغییرمکانهای بدون نشست، برابر مقدار مشخص گاه$ی )برابر صفر برای تکی$ه گاه تکی$ه

های ارتجاعی( گاه$ی، ب$ه ص$ورت تابع$ی برای تکی$ه گاه برای حال$ت نشس$ت تکی$هباشد. می

ای تنظی$م شده اس$ت که گره - فرض کنی$د ک$ه ماتری$س س$ختی س$ازه ب$ه گون$هت$ا 1های mتغییر مکان( تکی$ه گاه$ی کننده گره های های معلوم مشخ$ص

آزاد های گره نی$ز بیانگرn ت$ا m+1تعمی$م یافت$ه )برابر ص$فر(( باشن$د و گره هایتا تعمی$م یافت$ه ت$ا مجهول(. بنابرای$ن نیروهای ) باشن$د س$ازه

بیانگر ت$ا و گاه$ی مجهول س$ازه تکی$ه العم$ل های بیانگ$ر عک$س نیروهای تعمیم یافته وارد بر گره های آزاد سازه می باشند.

P K

1n m 1mP P

1n mP P

1

1

m

m

n

P

PP

P

11 1 1, 1 1

1 , 1

1, 1 1,

m m n

m mm m m mn

m m m n

nn

K K K K

K K K KK K

SymK

1

1

0

0m

m

n

I

II

PP

, ,

, ,

I I I II

II I II II

K KK K

0

II

,

,

II II II II

I I II II

P K

P K

رابط$ه ، رابطه ماتریسی نهای$ی سازه اس$ت؛ زیرا مجهوالت تغییر -مکان$ی گره ه$ا را ب$ه نیروهای خارج$ی معلوم موث$ر در ای$ن گره ه$ا مرتب$ط می

سازد.

بنابراین معادل$ه نهایی ماتریسی سازه در حقیقت از حذف سطرها و ستون های -مربوط به تغییر مکان های معلوم صفر سازه در تکیه گاه ها به دست می آید.

Satisfying the)شوند ای$ن طری$ق شرای$ط مرزی نی$ز ارضاء م$ی عبارت دیگ$ر ب$ه - ب$هBoundary Condition) گردند م$ی اعمال مرزی شرای$ط دیگ$ر س$خن ب$ه ی$ا

(Imposition of Boundary Conditions) . بنابرای$ن ب$ه طور خالص$ه وقت$ی شرایط مرزیتغیی$ر مکان باشند، برحس$ب برابر ص$فر امتداد محورهای مختص$ات کل$ی ه$ا در

معرف$ی آنه$ا در معادالت ماتری$س س$ختی ب$ا حذف س$طرها و س$تون های مربوطه انجام می گیرد.

,II II II IIP K

((Properties of the Stiffness MatricesProperties of the Stiffness Matrices))خواص ماتریس های سختی خواص ماتریس های سختی - - 55ماتری$س س$ختی، ی$ک ماتری$س متقارن م$ی باش$د، در نتیج$ه در ماتری$س سختی ( ال$ف

زیرماتریس های غیر قطری مساوی ترانسپوز همدیگر هستند، یع$نی:

مقادیری عددی هستند.Kب( درایه های ماتریس سختی

Tij jiK K

معین مثب$ت- ماتری$س ی$ک شرای$ط مرزی( اعمال از )بع$د س$ازه نهای$ی س$ختی ماتری$س پ(

.(Positive-Definite) است- ابتدا باید تعاریف زیر را بیان کنیم:

معین1 مثب$ت- ماتری$س معی$ن: مثب$ت- ماتری$س -A پیش ک$ه اس$ت ماتریس$ی ، ی$ک مقدار مثب$ت می (B)ضرب و پ$س ضرب آ$ن ب$ا ی$ک بردار دلخواه غیرص$فر

| مثب$ت اس$ت Aباش$د: . م$ی توان اثبات نمود ک$ه دترمینان ماتری$س A|>0.

معی$ن 2 نیم$ه مثب$ت- ماتری$س -(Positive-Semi Definite):-مثب$ت ماتری$س نیمه ، ماتریس$ی اس$ت ک$ه پی$ش ضرب و پ$س ضرب آ$ن ب$ا یک بردار دلخواه Aمعی$ن

مس$اوی ص$فر م$ی باش$د، م$ی توان اثبات نمودک$ه دترمینان ماتریس (B)غیرص$فر A صفر است|A|=0.نامعی$ن 3 ماتری$س -(Indefinite): نامعی$ن ماتری$س A پیش ک$ه اس$ت ماتریس$ی

ی$ک مقدار منف$ی می (B)ضرب و پ$س ضرب آ$ن ب$ا ی$ک بردار دلخواه غی$ر ص$فر .A|<0| کوچکتر از صفر است Aباشد. می توان اثبات نمود که دترمینان ماتریس

س$ازه )بع$د از اعمال شرای$ط مرزی( یک نهای$ی ماتری$س س$ختی توان اثبات نمودک$ه م$یمعین است: ماتریس مثبت-

معادل$ه ماتری$س سختی نهایی

انرژی تغییر شکل سیستم متقارن است( K )چون

U ∆ بیانگ$ر انرژ$ی تغیی$ر شک$ل س$یستم اس$ت ک$ه ی$ک مقدار مثب$ت م$ی باشد و K|>O|: یک ماتریس مثبت- معین است ، و لذا داریمKاختیاری است، بنابراین

0TB AB

121 12 2

T

T T T

P K

U P

U K K

- ماتری$س س$ختی س$ازه )قب$ل از اعمال شرای$ط مرزی(، ی$ک ماتری$س مثبت – نیمه معین است زیرا داریم:

اس$ت ک$ه در اث$ر تغییر (Rigid Body Mode)ک$ه متناظ$ر ب$ا ی$ک م$د ص$لب جس$می مکان کاری در س$یستم انجام نم$ی شود. چرا ک$ه س$ازه م$ی توان$د ی$ک حرکت

انجام دهد. (Rigid Body Motion)صلب جسمی

ماتری$س سختی اص$لی ماینورهای از هیچکدام ک$ه داد نشان توان م$ی ت( را ب$ه صورت K برابر ص$فر نخواه$د بود. اگ$ر ماتری$س س$ختی نهای$ی Kنهای$ی

زیر افراز کنیم:

در این صورت مثبت معین می باشند:

1 02

TU K

, ,,II II I IK K

, ,0 , 0II II I IK K

, ,

, ,

I I I III I

II I II IIII II

K KPK KP

ب$ه همی$ن ترتی$ب م$ی توان ثاب$ت کرد ک$ه نی$ز ی$ک ماتری$س مثب$ت- معین -است.

- مشخص است که به همین ترتیب می توان ثابت نمود که:

اعمال از )بعد س$ازه نهای$ی س$ختی ماتری$س قطری های درای$ه تمام بنابرای$ن شرایط مرز$ی( مثبت می باشند.

ث( ماتری$س های مثب$ت- معی$ن، مثب$ت- نیم$ه معی$ن و نامعی$ن را ب$ه ص$ورت زیر نیز تعریف می کنند:

آن (Eigenvalues)ماتری$س مثب$ت- معی$ن، ماتریس$ی اس$ت ک$ه ویژ$ه مقادی$ر -همگی مثبت می باشند.

- ماتری$س مثب$ت- نیم$ه معی$ن، ماتریس$ی اس$ت ک$ه ویژ$ه مقادی$ر آ$ن مس$اوی یا بزرگتر از صفر می باشند.

- ماتری$س نامعی$ن ماتریس$ی اس$ت ک$ه ویژ$ه مقادی$ر آ$ن منف$ی، ص$فر و مثبت می توانند باشند.

را م$ی توان ب$ه ص$ورت زیر K- ویژ$ه مس$أله اس$تاندارد برای ماتری$س س$ختی نوشت:

ماتری$$س مقادی$$ر ویژ$$ه از یک$$ی (K ویژه از یک$$ی و م$ی باشن$د( جواب های ای$ن مس$أله ویژه K ماتری$س (Eigenvectors)بردارهای

جفت های و می باشند.

iiK

0i ii i iiP K K

0iik

K

( , )i i 1,2,...,i n

چون اشاره کردی$م ک$ه ماتری$س س$ختی نهای$ی ی$ک ماتری$س مثب$ت- معی$ن می باشد، بنابراین تمامی ویژه مقادیر آن مثبت می باشند.

ای$ن ک$ه برای ماتری$س س$ختی- ب$ه ب$ا توج$ه از اعمال شرایط مرزی( )قب$ل بنابرای$ن یک$ی ی$ا تعدادی از ویژ$ه مقادی$ر ماتری$س س$ختی صفر ، K|=0|داری$م است:

- m مساوی تعداد مدهای صلب جسمی است (Rigid body modes):

1 2 ... 0m

ب$ه عبارت دیگ$ر عناصر نواری اس$ت. ج( ماتری$س س$ختی بص$ورت ماتری$س ه$ا به غیرص$فر در اطراف قط$ر اص$لی هس$تند، مشروط بر ای$ن ک$ه تمام گره

همدیگر متصل نشده باشند.

شماره گذاری طوری انجام م$ی شود ک$ه تفاض$ل بی$ن دو شماره مشخ$ص یک عض$و ب$ه حداق$ل ممک$ن محدود شده باشد. یعن$ی تفاوت بین دو شماره مربوط

به یک عنصر حتی المقدور مینیمم مقدار ممکن را داشته باشد.ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =3

K[= عرض نوار ماتریس 2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجات آزادی×]([=2()3+)1]3=21

ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =4K[= عرض نوار ماتریس2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجه آزادی×]

([=2()4+)1]3=27

Kبنابراین توجه به شماره گذاری گره ها، باعث کاهش عرض نوار ماتریس و بالنتیجه صرفه جویی در انبار نمودن اطالعات در ماشین می گردد.

مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس --سختی سازه:سختی سازه:

ماکزیمم تفاوت بین =4 شماره اعضاء

= عرض نوار ماتریس 27K

ماکزیمم تفاوت =2 بین

شماره اعضاء= عرض نوار 15

Kماتریس

Generalized)- مدل هاي مختصات تعميم يافته 6Coordinates Models ) ي استخراج ماتريس سختی عناصرKبرا

محدود براي مسائل خاص الف( مقدمهدر بخ$ش هاي پيشي$ن، روش گس$سته س$ازي عناص$ر محدود و استخراج معادالت -

تعادل در حال$ت كل$ي ارائ$ه گردي$د، ب$ه عبارت ديگ$ر ي$ك جس$م عموم$ي سه بعدي در نظر گرفته شد.

مثال هاي مورد بررس$ي، نشان دادن$د ك$ه معادالت ع$موم$ي اس$تخراج شده باي$د به صورت خاص براي شرايط معين تنش و كرنش بكار روند.

توان ك$ه چگون$ه مي اس$ت نكت$ه اي$ن اختص$اري بيان و بح$ث بخ$ش اي$ن - هدف عناصر معادالت عموم$ی از براي مس$ائل خاص را عناص$ر محدود هاي ماتري$س

- اگ$ر چ$ه ه$ر جس$مي در تئوري، س$ه بع$دي تلق$ي م$ي شود، ول$ي براي تحلي$ل عملي محدود بدست آورد.بعدي و ي$ا دوبعدي الزامي و ضروري آ$ن در اغل$ب حاالت، تبدي$ل آ$ن ب$ه جس$م ي$ك

اس$ت. بنابراي$ن اولي$ن گام در ي$ك تحلي$ل ع$ناص$ر محدود تصميم گ$يري در مورد نوع بر ي$ا نوع مدل رياض$ي مورد نظ$ر براي تحلي$ل م$ي باشد. تص$ميم مذكور مس$اله براي رياضي ارتجاع$ي، مدل هاي تئوري در ك$ه اس$ت اس$توار اس$اس فرضيات$ي

مسائل خاص مورد استفاده قرار مي گيرند.

مسائلي را كه در تحليل مهندسي با آنها روبرو مي شويم، مي توان به صورت زير طبقه بندي كرد:

(Truss خرپا )-(Beam تير )-(Plane stress تنش مسطح )-(Plane strainكرنش مسطح )-(Plate bending خمش صفحه )-( جدارنازكAxisymmetric عنصر با محور تقارن )-

جداركلفت ( Shell)- عنصر پوسته ای

( عمومي بعدي س$$$ه -General three dimensional) براي هر يك از اين حاالت، فرمول بندي عمومي را مي توان بكار برد، ولي تنها

داد را مورد استفاده قرار تن$ش و كرن$ش تغييرمكان، باي$د متغيرهاي مناس$ب )متغ$ي$ر حال$ت - تاب$ع تغييرمكان - مولف$ه هاي كرن$ش- مولف$ه هاي تن$ش- ماتريس

.خواص مصالح - نوع انتگرال گيري براي تعيين درايه هاي ماتريس سختي(

ب( مفهوم مدل هاي مختصات تعميم يافته در مثال هاي مورد نظ$ر در بخ$ش پيشي$ن، در مس$اله تن$ش مسطح براي تغ$ييرمكان -

چندجمله اي هاي ، u , vهاي به ع$نوان - -را آنه$ا ضراي$ب چندجمل$ه اي ه$ا خط$ي س$اده فرض كردي$م ك$ه در

مختصات تعميم يافته مشخص نموديم.- تعداد ضراي$ب مجهول در چندجمل$ه اي ه$ا، مساوي مجموع درجات آزادي گره هاي

عنصر بود.تغييرمكان هاي نقاط گرهي ) ( بر حس$ب يافت$ه بيان مختص$ات تعمي$م ب$ا -عنص$ر دريافتي$م ك$ه عموم$ا ه$ر ضري$ب چندجمل$ه اي ي$ك تغ$ييرمكان واقع$ي

نيست، بلكه مساوي با تركيب خطي تغييرمكان هاي گ$رهي عنصر مي باشد.

ˆu Hu

كه بندي شون$د فرمول اي$ن فرض ب$ا عناص$ر محدود هاي ماتري$س اگ$ر -تغييرمكان ه$ا بر مبناي تابع$ي تغيي$ر م$ي كنن$د ك$ه ضراي$ب مجهول آ$ن تابع، مختصات تعميم يافته باشند، در اين صورت به آنها مدل هاي عناصر محدود

اطالق مي شود.( Generalized Coordinate Finite Element Models)مختصات تعميم يافته چندجمل$ه اي ه$ا رده اي از تواب$ع م$ي باشن$د ك$ه طبيعت$ا براي تقري$ب سازي هاي تغييرمكان هاي عناص$ر مورد اس$تفاده قرار م$ي گيرند. زيرا اي$ن توابع، عموم$ا براي تقري$ب س$ازي تواب$ع مجهول ب$ه كار م$ي رون$د و ه$ر چقدر درجه چن$د جمل$ه اي ه$ا باالت$ر باش$د، ب$ه همان ميزان تقري$ب س$ازي بهتري را مي

همچني$ن چندجمل$ه اي ه$ا ب$ه آس$اني مشت$ق گيري م$ي شون$د، ب$ه عبارت ديگر توان انتظار داشت.اگ$ر چندجمل$ه اي ه$ا تغييرمكان هاي س$ازه را تقري$ب س$ازي كنن$د، در اين

صورت كرنش ها را مي توان با سهولت نسبي تعيين نمود.- هدف اي$ن بخش توصيف فرمول بندي تعداد متنوعي از مدل هاي عناصر محدود مختص$ات تعمي$م يافت$ه م$ي باش$د ك$ه در آنه$ا برای تقري$ب سازي ميدان هاي تغييرمكان از چندجمل$ه اي ه$ا اس$تفاده م$ي شود. در اصل از تواب$ع ديگري – مثال تواب$ع مثلثات$ي- ني$ز ب$ه طري$ق مشاب$ه م$ي توان استفاده تقارن محوري با آنه$ا در مس$ائل خاص$ي- نظي$ر س$ازه كاربرد كرد، ول$ی

تحت اثر بارگذاري غيرمتقارن محوري- مي تواند مفيد باشد.

در ارائ$ه مدل هاي عناص$ر محدود مختص$ات تعمي$م يافت$ه به جاي ي$ك نكت$ه مه$م:- پرداخت$ن ب$ه عناص$ر محدودي ك$ه از نظ$ر عددي موث$ر م$ي باشند، بر فرمول بندي عموم$ي آ$ن مدل ه$ا تاكي$د خواه$د شد. بنابراي$ن، نق$ش اي$ن بخ$ش عمدت$ا تقويت و افزاي$ش فه$م عموم$ي م$ا از روش عناص$ر محدود خواه$د بود. عناص$ر محدود بسيار

مي باشند ك$ه در فص$ل بع$د عناصر ایزوپارامتریک موثر براي كاربردهاي عمومي تر، پ( عناصر مختلف و وي ژگي هاي آنها توصيف خواهند شد.

از اين عنصر در تحليل خرپاها استفاده مي شود.: ( عناصر خرپايي1پ-

تغييرمكان: هاي مولف$ه - u(x) ( ميله امتداد طول در تغييرمكان =x در طول – در هر گره يك درجه آزادي وجود دارد. عنصر تغيير مي ك$ند(،

) كه در سرتاسر ميله در هر مقطعي يكنواخت مي باشد(.- مولفه تنش: )تمامي مولفه هاي ديگر تنش صفر مي باشند(.

C: [E ] ماتريس مصالح -

: ) عنصر یک بعدی می باشد( - تابع تغيير مكان

- نحوه انتگرال گيري:

- مولفه كرنش :

خرپا الف : مثال یک محدود عناصر تحلیل

مشخصات خرپا:E=2100000 , ν = 0.3 , L = 100 (طول هر عضو) , P = 4500 , A=5

,

سختی ماتریسدر 6و 5عناصر

کلی مختصات

از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.

عناصر سختی 7ماتریسمختصات 2و 1و در

کلی و محلی

سختی ماتریسدر 3و 4عناصر

کلی مختصات

For element (2)

For element (3)

For element (4)

For element (1)

For element (5)

For element (6)

For element (7)

توسط حلبرنامه ABAQUS

دستی حلعناصر محدود

مکان تغییر

0.05143 0.05142 U1 - 1 گره

-0.02857 -0.02828 V1 - 1 گره

0.03429 0.03428 U2- 2 گره

-0.02857 -0.02828 V2-2 گره

: ب خرپا مثال یک محدود عناصر تحلیل

مشخصات خرپا:E=2100000 , ν = 0.3 , L = 100 (طول هر عضو) , P = 4500 , A=5

,

سختی ماتریسدر 4و 5عناصر

کلی مختصات

از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.

عناصر سختی 7ماتریسمختصات 6و 1و در

کلی و محلی

سختی ماتریسدر 3و 2عناصر

کلی مختصات

For element (2)

For element (3)

For element (4)

For element (1)

For element (5)

For element (6)For element (7)

توسط حلsapبرنامه

دستی حلعناصر محدود

مکان تغییر

0.10408 0.1038 U1 - 3 گره

0.002808 0.0027 V1 - 3 گره

0.085922 0.0857 U2- 4 گره

-0.028642 -0.028 V2-4 گره

0.110728 0.1104 U2- 5 گره

-0.121215 --0.12 V2-5 گره