المحاضرة الثانية التحليل البعدي

الله بسمالرحمن الرحيم

CE 150 1

MECH326Fluid Mechanics(2)

S.A. AbushoushaDept. of Mechanical Engineering

Omdurman Islamic University

2011 SEPTEMPER 2

Dimensional Analysis and Modeling التحليل

والنمذجة البعدي

CE 150 3

Objectivesاالهداف

• Understand dimensions, units, and dimensional homogeneity

البعدي والتجانس والوحدات االبعاد معرفة• Understand benefits of dimensional

analysisالبعدي • التحليل اهمية معرفةريلي • نظرية استخدام معرفة

• Know how to use the method of repeating variables

بكنجهام • نظرية استخدام المتغيرات (معرفة)المتكررة

CE 150 4

OUTLINE OF THE LECTURE

المحاضرة • واهداف عامة مقدمةالبعدي • التحليل اهميةوالتجانس • واالبعاد الوحداتالبعدي • التحليل نظريات اهمومساوئه • ريلي نظريةبكنجهام • نظريةوتمهيد • للمحاضرة تلخيص

التشابه لمحاضرةاالسئلة •الطالب • تساؤالترؤساء • من الحضور استالم

المجموعاتCE 150 5

Introduction مقدمة

ميكانيكا • في المسائل معظم حلولتحليلية بيانات الي يحتاج الموائع

وتجريبيةالباب • هذا في نتناول سوف

تصميم في المستخدمة التقنياتبين العالقة وايجاد التجارب

المختلفة المتغيراتنجري • كيف بدراسة سنقوم

النمذجة او المعملية التجاربخارج المتشابهة الظواهر لتوصيف

المعامل

6

Introduction

• The solutions to most fluid mechanics problems involving real fluids require both analysis and experimental data

• In this section, we look at the techniques used in designing experiments and correlating data

• Specifically, we will learn how laboratory experiments (or models) can be used to describe similar phenomena outside the laboratory

CE 150 7

Dimensional Analysis Example

• Consider an experiment that investigates the pressure drop in an incompressible Newtonian fluid flowing through a long, smooth-walled circular pipe

• Based upon our “experience”, the pressure drop per unit length is

CE 150 8

),,,( VDfpp

الضغط • هبوط اليجاد تجربة اعتبرسطح ذو انبوبة في نيتوني لمائعفي المقطع دائرية ناعم داخلي

انضغاطي ال جريانالعالقة • ان نجد الخبرة خالل من

يلي كما تكون

CE 150 9

),,,( VDfpp

البد ) ( • الدالة العالقة طبيعة لمعرفةعلي متغير كل عالقة ايجاد منالمتغيرات باقي تثبيت بعد حدة

10

البيانية • الرسمات هذة من يتضحمن قراءات عشرة الي نحتاج اننانحصل لكي متغير لكل تجربة كل

لبقية وكذا االول المخطط عليتجربة لمائة تحتاج اي المتغيرات

الكلية العالقات علي للحصول

CE 150 11

Dimensional Analysis Example• To determine the nature of this

function, an experiment could be designed which isolates and measures the effect of each variable:

CE 150 12

Experimental Testing and Incomplete Similarity

• One of the most useful applications of dimensional analysis is in designing physical and/or numerical experiments, and in reporting the results.

• Setup of an experiment and correlation of data.

• Consider a problem with 5 parameters: one dependent and 4 independent.

• Full test matrix with 5 data points for each independent parameter would require 54=625 experiments!!

• If we can reduce to 2 's, the number of independent parameters is reduced from 4 to 1, which results in 51=5 experiments vs. 625!!

Dimensions and Units والوحدات االبعاد

• Review مراجعةمثل • الفيزيائية الكمية يقيس البعد

والكتلة والزمن الطول– Dimension: Measure of a physical

quantity, e.g., length, time, massرقمية – كميات الي االبعاد تحويل الوحدات

مثل –(m( ,)sec( ,)kg)

– Units: Assignment of a number to a dimension, e.g., (m), (sec), (kg)

CE 150 14

7 Primary Dimensions: الوحدات االساسية• Mass الكتلة m (kg)• Length الطول L

(m)• Time الزمن t

(sec)• Temperature الحرارة درجة

T (K)

• Current التيار I (A)

• Amount of Light االضاءة كميةC (cd)

• Amount of matter المادة كميةN (mol)

CE 150 15

المشتقة غير االبعاد جميعمن من اشتقاقها يمكنالسبعة االساسية الوحدات

All non-primary dimensions can be formed by a combination of the 7

primary dimensionsExamples مثال

– / = الزمن المسافة السرعة{Velocity{ = }/Length Time = }{/L t}الزمن = / • المسافة الكتلة القوة•{Force{ = } /Mass Length Time = }

{/mL t2}

CE 150 16

Dimensional Homogeneity االتجانس

البعديفي • حد كل يعني البعدي التجانس

مشابه بعد له يكون ان البد معادلةلالخر

• Law of dimensional homogeneity (DH): every additive term in an equation must have the same dimensions

برنولي : • معادلة مثال• Example: Bernoulli equation

CE 150 17

– {p} = {force/area}={mass x length/time x 1/length2} = {m/(t2L)}

– {1/2V2} = {mass/length3 x (length/time)2} = {m/(t2L)}

– {gz} = {mass/length3 x length/time2 x length} ={m/(t2L)}

CE 150 18

قسمنا • اذا التجانس قوانين منمن بمجموعة الحدود جميع

الي المعادلة تتحول المتغيراتبعدية

Given the law of DH, if we divide each term in the equation by

a collection of variables and constants that have the same dimensions, the equation is rendered non dimensional

CE 150 19

Methods of Dimensional Analysis

البعدي • للتحليل طرق عدة يوجد• There are many methods of

dimensional analysis. االقدم • وهي ريالي طريق

• Rayleigh’s Indicial method – oldest method

وسوف • االشهر وهي باكنجهام طريقةالفصل هذا في نستخدمه

• Buckingham theorem – most famous method

L. M. Lye DOE Course 20

وهي • مير ورايت هنساكر طريقةاالسرع

• Hunsaker and Rightmire’smethod – quick method

المصفوفات طريقة• Matrix Method • الصحيح التعريف تعتمد الطرق هذه كل

في الموثرة الفيزيائية العوامل لكلالعملية

• All methods are absolutely dependent on the correct identification of all the factors which govern the physical events being analyzed.

CE 150 21

Rayleigh’s method

• Consider a problem involving a scale model test of a hydraulic machine. The thrust force F, velocity v, viscosity and density of the fluid is given including a typical size of the system, L, is also given.

الختبار • نموزج يتضمن مسألة اعتبرهيدروليكية المتغيرات الة تتضمن

الدافعة القوة V والسرعةF التاليةوكذلك ρوالكثافة µواللزوجة معطاة

للنظام الحقيقية Lاالبعاد


• Two questions must be posed, namely:سؤالين • علي االجابة من البد

– How to analyze or plot the data in the most informative way, and

– بشكل البيانات نمثل او نحلل كيف االولوجلي واضح

– How to relate the performance of the model to that of the working prototype.

واالصل – النموزج بين العالقة نوجد كيف الثاني

CE 150 23

Solution

• Let’s postulate that the force F is related to the other given quantities:

• في دالة القوة ان اعتبراالخري المتغيرات

[1] F = f [, v, , L]


• The form of the function is completely unknown, but it has been proposed earlier that:

بالكامل • معلوم عير الدالة شكلولكن

– The function must be in the form of a power product

مضروب – شكل في يمكن الدالةلالسس

– There must be a dimensional balance between both sides of the equation للطرفين بعدي تجانس

CE 150 25

• From [1], the equation maybe rewritten as: كتابة يمكن المعادلة منمايلي[2] F = K [a , vb ,c , Ld] يساوي ان البد اليسر الطرف في االبعاد

االيمن• So obviously, for dimensional

homogeneity, the dimensions on the LHS must equal those on the RHS.

• Expressing each quantity in [2] in terms of its dimensions,

ابعاد • شكل في المتغيرات عن عبر• MLT-2 = K[ (ML-3)a (LT-1)b (ML-1T-1)c Ld]• Equating the indices for M, L, and T,• M: 1 = a + c• L: 1 = -3a + b - c + d• T: -2 = -b - c or 2 = b + c


فقط • واربع 3لدينا معادالتنهائي حل يوجد ال مجاهيل

• Thus we have 3 equations but 4 unknowns, so a complete solution is not attainable.

جزئي • حل ايجاد فقط يمكن• We can only obtain a partial

solution. بداللة • السس كل عن cنعبر

• Let’s express all indices in terms of say c.


• a = 1 – c• b = 2 – c• d = 2 – c• Substituting for a, b, and d

in[2]:بالتعويض• F = K [1-c v2-c c L2-c]

CE 150 28

• Or,او

• Since the function represents a product, it may be restated as: c

vLKLvF

22


c

vLLvKF

22

cvL

KLv

F

22


• Or as:

• Where: K and c are unknown and must be obtained by experimentation.

يمكن cو Kحيث • معلومتان غيرالتجربة من ايجادهما

• Key points to note from the above equation:

يلي • ما مالحظة يمكن– Two groups have emerged from the

analysis. If you check, it will be found that both groups are dimensionless.

التحليل – من عليهما تحصلنا المجموعتانالبعديتين لوجدتهما فحصتهما ولو

– Dimensionless groups are independent of units and of scale and are therefore equally applicable to the model or to the prototype

– من مستقلتان البعدية المجموعاتاسخدامهما ويمكن والقياس الوحدات

واالصل للنماذج

CE 150 31

قوتين – بين نسبة المجموعتين يمثلالقصور – قوة علي الدافعة القوةالزوجة / – قوة القصور قوة

– Both groups represent ratios of forces: thrust force/inertial force, and inertial force/viscous force.


• All three fundamental dimensions are present. Therefore, if the model is to truly represent the prototype, then both model and prototype must conform to the law of dynamic similarity, i.e. the magnitude of each dimensionless group must be the same for the model as for the prototype.

اختيار • ولوتم كلها االساسية البعاد يوجدوعليه االصل تقارب بصورة النموزج

االصل بين التشابه قوانين تطبيق يمكنتكون الالبعدية والمجموعات والنموزج

لالثنين متساوية

CE 150 33

– The Raleigh indicial method is okay as long as the number of variables is small.

تكون – عندما تستخدم ريلي طريققليلة المتغيرات

CE 150 34

Another example• The velocity of propagation of a

pressure wave through a liquid can be expected to depend on the elasticity of the liquid represented by the bulk modulus K, and its mass density r. Establish by D. A. the form of the possible relationship.

• Assume: u = C Ka b

• U = velocity = L T-1, = M L-3, K = M L-1 T-2

• L T-1 = Ma L-a T-2a x Mb L-3b

• M: 0 = a + b• L: 1 = -a – 3b• T: -1 = - 2a


• Therefore: a = ½ , b = -½, and a possible equation is:

• Rayleigh’s method is not always so straightforward. Consider the situation of flow over a U-notched weir.

• Q = f(, , H, g)• [Q] = [C a b Hc gd] [ ] =>

dimensions of


K

Cu

• Using the M, L, T system,• [L3 T-1] = [ML-3]a [M L-1 T-1]b [L]c [L T-

2]d

• M: 0 = a + b (1)• L: 3 = -3a –b +c + d (2)• T: -1 = - b – 2d (3)

CE 150 37

We have only 3 equations, but there are 4 unknowns. Need to express a, b, c, in terms of d.

• b = 1 – 2d• a = -b = 2d -1• c = 3 + 3a + b – d = 1 + 3d• Q = C (2d-1) (1-2d) H(1+3d) g(d)


dgHH

C

2

32

2

32

gH

H

Qor

•Buckingham Pi Theorem نظرية بكنجهام

فيها • معادلة هنالك كانت متغير kاذاتقليل يمكن بعديا متجانسين

الي مقدارها العالقات k – rقيمةمستقل البعدي ضرب حاصل

• If an equation involving k variables is dimensionally homogeneous, it can be reduced to a relationship among k – r independent dimensionless products,

CE 150 39

• where r is the minimum number of reference dimensions required to describe the variables.

• For example, the function of G can be written as ;

CE 150 40

• G(π1, π2, π3, ……., πk-r)=0 • Or • π1=G(π2, π3, π4, ……., πk-r)=0 • The dimensionless products are

frequently referred to as “pi terms”, and the theorem is called the Buckingham Pi Theorem.

CE 150 41

للتعبير باي الرمز بكنجهام يستخدمالالبعدية االعداد ضرب حاصل

•Buckingham used the symbol П• to represent a dimensionless

product, and this notation is commonly used.

CE 150 42

Comments on Dimensional Analysis

• Selection of variables اختيار طرقالمتكررة المتغيرا

– no simple procedure سهلة طريقة توجد الالفيزيائية – والقوانين الظواهر لمعرفة يحتاج

– requires understanding of the phenomena and physical laws

الشكل حسب تصنيفها يمكن المتغيراتوالتاثيرات المادة وخواص الهندسي

الخارجية– variables can be categorized by geometry,

material properties, and external effects

CE 150 43

• To summarize, the steps to be followed in performing a dimensional analysis using the method of repeating variables are as follows :

CE 150 44

Determining the Pi Terms

المتكررة • المتغيرات طريقة• Method of Repeating Variables:

المسألة • في المتغيرات بجميع قائمة حدد1) List all variables in the problem

االساسية االبعاد صيغة في المتغيرات جميع اكتب2) Express each variable in terms of basic dimensions

باكنجهام عدد حدد3) Determine the number of pi terms

االبعاد تساوي عادة وهي المتكررة المتغرات اختارالمسألة في الداخلة االساسية

4) Select a number of repeating variables that equals the no. of reference dimensions

CE 150 45

•Step 3 Determine the required• number of pi terms .

المطلوب • باي عدد حدد

CE 150 46

• Step 4 Select a number of repeating variables, where the number required is equal to the number of reference dimensions. (usually the same as the number of basic dimensions)

• بحيث المتكررة المتغيرات حدداالساسية لالبعاد مساوية تكونفي المتغيرات جميع في الموجودةالمسالة

CE 150 47

•Step 5 Form the pi term by multiplying one of the non repeating variables by the

product of repeating variables each raised to an exponent that

will make the combination dimensionless. اليجاد بضرب قم

غير المتغيرات من واحدة بايالمتغيرات ضرب بحاصل المتكررة

المتكررة

CE 150 48

• Step 6 Repeat step 5 for each of the remaining non repeating variables.

من • االنتهاء لحين العملية هذه كررالمتكررة غير المتغيرات جميع

نص حسب باي عدد تساوي وهيالنظرية

CE 150 49

• Step 7 Check all the resulting pi terms to make sure they are dimensionless.

كل • ان من للتاكد باي كل راجعالبعدية صيغة

CE 150 50

• Step 8 Express the final form as a relationship among the pi terms and think about what it means.

النهائي • شكلها في العالقة عن عبرتعني ماذا واستنتج

CE 150 51

• Basic dimensions االبعاد االساسية– usually use MLT or FLT القوة طريقة استخدمالكتلة او الزمن المسافة

الزمن المسافة– all three not always required جميع وجود بالضرورة ليس

االساسية االبعاد

CE 150 52

Comments on Dimensional Analysis

• Repeating variablesتكون • ان البد المتكررة المتغيرات عدد

االساسية لالبعد متساوية– number must equal the no. of reference

dimensions

االساسية – االبعاد جميع تضمين من البداغفالها وعدم المتغيرات في الموجودة

– must include all basic dimensions contained in variables

االبعاد – المتشابهة المتغيرات تختار ال– must be dimensionally independent of

each other

CE 150 53

• Pi termsولكن • ثابتة تكون ان البد باي عدد

قد المتكررة المتغيرات اختيارعلي تعتمد وهي مختلفة تكون

كثيرة ومسائل امثلة بحل الخبرة– number of terms is unique but form

of each term is not unique, since selection of repeating variables is somewhat arbitrary (unless there is only one pi term)

CE 150 54

Guidelines for choosing Repeating parameters

متكرر 1. كمتغير المستقل المتغير تختار الNever pick the dependent variable. Otherwise, it may

appear in all the 's.

البعدي 1. اصال الذي المتغير تختار الNever pick parameters that are

already dimensionless.

CE 150 56

CE 150 57

وبنهما 1. متاشيهة بابعاد متغيرين تختار الفقط االسس في اختالف

Never pick two parameters with the same dimensions or with dimensions that differ by only an exponent.

يظهر • ربما الزي العام المتغير اختارفي

كل •• كل

CE 150 58

باي 1. معادلة

2. Pick common parameters since they may appear in each of the 's.

المعقدة غير المتغيرات اختار1. Pick simple parameters over complex

parameters.

Dimensionless Groups in Fluid Mechanics

• Common groups given in Table 7.1– Reynolds number– Froude number– Euler number– Mach number– Strouhal number– Weber number

CE 150 59

Correlation of Experimental Data

التحليل • استخدام يمكنالتجربة ممع البعدي

بين العالقة لتحديد العمليةباي معادالت

• Dimensional analysis and experimental data can be used together to determine the specific relationship between pi terms

CE 150 60

• Problems with one pi term:

واحد – بباي تكون التي المسائل

– relationship is determined by dimensional analysis but constant must be determined by experiment

بالتحليل • العالقة تحديد يمكنبالتجربة والثابت البعدي

CE 150 61

(constant) 1 C

CE 150 62

CE 150 63

Nuclear Explosion Shock Wave

r f (E,,t)

The propagation of a nuclear explosion shock wave depends on: E, r, , and t

n = 4 No. of variablesr = 3 No. of dimensionsn – r = 1 No. of dimensionless parameters

Select “repeating” variables: E, t, and

Combine these with the rest of the variables: r

E r t

ML2

T-2

ML-3

L T

CE 150 65

5/15/25/15/15/25/1

1

322000

1

5

220:

5

13210:

0:

)()())((

)(

tE

RtRE

bbaT

acaL

accaM

MLTTMLLTLM

tErcba

cba

5/15/25/15/15/25/1

11 0)(

tECRCtER

CF

CE 150 66

5/12

Et

CR

kg/m3

R = (E/)1/5 t2/5

log R = 0.4 log t +0.2 log(E/

0.2 log(E/

E = 7.9x1013 J = 19.8 kilotons TNT

Blast Radius vs Time

log R = 0.4058 log t + 1.5593

1

2

3

-2 -1 0 1 2

log (t)

log(

R)

Dimensional Analysis in the Lab

• Want to study pressure drop as function of velocity (V1) and diameter (do)

• Carry out numerous experiments with different values of V1 and do and plot the data

5 parameters:p, , V1, d1, do

2 dimensionless parameter groups:P/(V2/2), (d1/do)

p1

p0

V1

A1

V0

A0

Much easier to establish functional relations with 2 parameters, than 5

P V1 d

1

d

2

ML-

1T-2

ML-3

LT-

1

L L

راجعة تغية

وفوائده • البعددي التحليل عرفاالبعاد • المتجانسة بالمعدلة نعني ماذا

في المستخدمة الطرق اهم ازكرالبعدي التحليل

والبعد • الوحدة بين مالفرقوالمشتقة • االساسية بالوحدة نعني ماذاباكنجهام • نظرية ماهيباكنجهام • نظرية خطوات ماهم ماهيوكيف • المتكررة بالمتغيرات نعني ماذا

عددها تبلغ وكم نختارها

CE 150 69

HOME WORK NO (1)

من )• المسائل من( 15الي 1حلدكتور تاليف الموائع ميكانيكا كتاب

حواس مراد مصططفيالالبعدية • المجموعات عن تقريرالمختلفة • القياس انظمة مراجعة

والعالمية البريطانيةنهاية • بعد القادم االربعاء يوم يسلم

المحاضرة والتاخير • النقل ممنوعالمتسلسل • والرقم اسمك اكتب

القائمة في كما الجديد

CE 150 70

المراجع •1. G.A. Kallio Dept. of Mechanical Engineering, Mechatronic

Engineering & Manufacturing TechnologyCalifornia State University, Chico

2. Eric Paterson Penn State, University Park August 2005

CE 150 71

المحاضرة الثانية التحليل البعدي

Documents

Transcript of المحاضرة الثانية التحليل البعدي