UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Índices de Desigualdad

Rafael Salas Mayo de 2011

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Referencia básica

Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.

Cap. 5• Referencias adicionales:• Atkinson, A. (1970) JPE• Sen (1973) • Cowell (1985)

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Introducción

Pasamos de un orden parcial a un orden completo Definimos un índice de desigualdad:

I:RN → R Con unas propiedades:

Coherente con el Bienestar: W(x1, x2, ···, xN )=V(μ,I)

donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.

4

Índices de Atkinson

Es una clase de índices que se derivan partiendo de :

(1) Función individualista W:Rn+R como:

donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. En términos discretos:

0

)()( dxxfxuWF

N

i ixuNW

1)(

1

5

Índices de Atkinson

(2) Expresable como V(μ,I)

donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.

(3) Índice AKS: W=V=μ(1-I) I es el coste per cápita de la desigualdad

Implica que I = 1- ξ/μ donde ξ es la renta equivalente uniformente distribuída

W(ξ,ξ,…,ξ)= W(x1, x2, ···, xN)

(4) Índice relativo I no cambia:

I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0 Implica que ξ/μ no cambia, pues se transorma en kξ/kμ. Implica homoteticidad de W en xi

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Índices de Atkinson

Teorema el único índice que cumple las propiedades (1) a

(4) es el índice de Atkinson que se deriva de esta función de utilidad de aversión constante a la desigualdad:

donde ε >0 es el párametro de aversión a la desigualdad relativa constante (=-xu’’/u’)

1,ln

10,1)(

1

xba

xaxu

7

Índices de Atkinson

Índice Atkinson: derivamos

Y calculamos I = 1- ξ/μ. Nótese cómo ξ<μ para ε>0

1,ln

exp

10,1

11

N

xN

x

8 μ

x2

x1

I

W= Without loss of

generality

W= Without loss of

generality

Ilustración

Dibuja una línea recta con pendiente -1, que corta a la diagonal ... en la renta media, μ

Deriva (Renta equivalente igualitariamente distribuida) donde la isoutilidad corta a la diagonal

A natural measure of welfare W=

9

Índices de Atkinson

Además para ε →0, ξ→μ con lo cual I→0.

La desigualdad no importa

A medida que aumenta la aversión a la desigualdad ε>0, la desigualdad aumenta, fijado F

Si ε → ∞, ξ→min xi e I = 1- min xi/μ

10

I. Gini

22N

xxG i j ji

Newbury 1970 demuestra que no se puede obtenerse como un índice AKS

V= μ(1-G) de ninguna función individualista aditivamente separable. Implícitamente está en el teorema de Atkinson anterior, puesto que es un índice relativo.

11

I. Gini

• Sen 1973 dice que puede serlo de una no individualista, en donde el nivel de bienestar de dos individuos es una función del peor posicionado

• Por lo tanto el bienestar social sería el promedio de todos los pares implicados. No es individualista porque en el bienestar de un individuo importan las rentas del resto. Lambert 1985 lo racionaliza como que la función de bienestar sería del tipo:

2

)min()1(

N

xxG i j ji

0

)())(,( dxxfxFxuWF

12

I.Gini

21

)12(

N

NixG

N

ii

NN

NxxxxG NNN 1)...32(2

12

121

De hecho depende del rango de cada individuo. Se ve en esta otra formulación:

13

I.Gini

21

)12(

N

NixG

N

ii

NN

NxxxxG NNN 1)...32(2

12

121

De hecho depende del rango de cada hogar. Se ve en esta otra formulación:

14

I.Gini

Si agrupado: x1, w1 veces,…., xN, wN veces:

2

1

111

)2(

N

ii

N

iii

i

jj

N

iii

w

wwwxw

G

15

I. Gini

El índice de Gini en términos contínuos se puede

escribir como:

que coincide con dos veces el área debajo de la curva de Lorenz

1

0)(21 dppLG

16

I. Gini

•El índice de Gini extendido por Yitzhaki 1983:

•Converge al Gini clásico con v=2

1

0)(21 dppLG

vdppLpvvvG v 1)()1()1(1)(1

0

2

17

I.Gini extendido

v

N

i

vvi

N

iNiNxvG

1

)()1(1)(

En términos discretos:

N

i

vvvi NiNiNx

vG 1

/)()1(1)(

18

I.Gini extendido

Otra formulación:

))(,(2 1 vyFyCovG

19

Índices de Gini

•v es el párametro de aversión a la desigualdad como lo era ε en los índices de Atkinson:

Si v →1, ξ→μ con lo cual G→0. La desigualdad no importa

A medida que aumenta la aversión a la desigualdad v>1, la desigualdad aumenta, fijado F

Si v → ∞, ξ→min xi y G = 1- min xi/μ

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Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Dependientes del

rango, Yaari 1987, 1988:

W:R+R como: : W:RN

+R como:

donde w(p) es no negativo, no creciente y expresables como:

1

0

1 )()( dppFpwW

N

iixNiwW

1

)/(

))(1( vGW

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Índices de Gini

• Descomponibilidad: G=GB+GW+S• Lambert y Aronson 1993• S=0 si son particiones disjuntas

• Descomponibilidad por fuentes de renta Y=X+Z+G• Aplicación a los impuestos Y=X-T y subvenciones Y=X+S:

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C. Concentración

Definimos el coeficiente de concentración de impuestos T

como:

Entonces índice de progresividad de impuestos de Kakwani:

Veremos su relación con el índice de redistribución:

1

0 ,, )(21 dppLC XTXT

XXT GCK ,

TXX GG

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Redistribución

Podemos descomponer la redistribución global RS

IH ≥0 Atkinson y Plotnick 1980

)()(1 ,, XTXTXXXT CGGCt

tRS

TXXTXXTXX GCCGRS ,,

IHRVRS

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Personal Income Tax

• Progressivity and redistribution are related by the average tax rate

Personal Income Tax

BRA 99

SWI 92

ITA 91

USA 87

SPA 90

IRL 87

UK 93

GER 88

FRA 89

PER 00 VEN 03ECU 03COL 03

DIN 87

MEX 96

MEX 02

SWE 90

FIN 90

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Progressivity (Kakwani index)

Ve

rtic

al r

ed

istr

ibu

tio

n

(Gin

i re

du

cti

on

)

t=15%t=20%t=30% t=10%

t=5%

t=2,5%

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Sales Taxes

• Mainly slightly regressive as in the OECD

IVA or General Sales Tax

ECU 03

BOL 00MEX 02

MEX 96

VEN 03

COL 03

PER 00BRA 99

-0,015

-0,010

-0,005

0,000

0,005

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05

Progressivity (Kakwani index)

Ve

rtic

al r

ed

istr

ibu

tio

n

(Gin

i re

du

cti

on

)

t=10%

t=5%

t=2,5%

t=15% t=20% t=30%

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Índices de Entropía Generalizada

• Si imponemos la propiedad de descomponibilidad aditiva I=IB+IW

• donde IB es el índice entre grupos como el índice de desigualdad en el caso de que todos los hogares de cada grupo tengan su renta media μi y

• A que el índice sea relativo: I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0

• Simétrico

• Cumpla el principio de transferencias

• Nos sale como única opción los índices de Entropía Generalizada (Shorrocks, Cowell)

Wii

WiIpI ),(

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Índices de Entropía Generalizada

1ln1

0ln1

1,01)1(

1

cx

x

N

cx

N

cx

cNc

cI

i

i

i

c

i

E

Caso c=0, es el Theil cero ó desviación logarítmica media. Caso c=1, Theil 1 (Theil 1967)

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Índices de Entropía Generalizada

• Las ponderaciones de la descomponibilidad son:

• Son interesantes en Theil cero y en el Theil 1: suman la unidad • Especialmente interesantes en el Theil 0: son poblacionales

ci

ciii pp 1),(

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Índices de Entropía Generalizada

• Los índices de Theil c=1-ε son ordinalmente equivalentes a los índices de Atkinson ε>0

• Para c=1- ε

• Para c=0 y ε=1 la equivalencia es:

•

cEA cIccI /12 )1)()((1)(

))0((exp(1)1( cII EA

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Índices de Entropía Generalizada

• Los índices de Theil c=2 tienen una particularidad:

• Es coherente con el principio de la réplica de la población.

2

2

1)2( CVI E

31

Índices de Entropía Generalizada

• Problemas:

• No están normalizados entre 0 y 1• Pueden ser superiores a 1. El valor extremo del Theil 1 es Ln N

• No puede deducirse de una FBS• Ni interpretación como

))(1( cIW E

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Indices de Desigualdad

Rafael SalasMayo de 2011