PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑦(𝑥) 𝑦(𝑡)𝑡

INTRO ODE

Fig 1 . Modelling, solving, interpretasi

Contoh persamaan ODE :

➢ 𝑦′ = cos 𝑥➢ 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑒−2𝑥

➢ 𝑦′′′𝑦′ −3

2𝑦 = 0

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH PEMODELAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

𝑦′′ = 𝑔𝑦′ = 𝑣

𝑦

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑡

1. Benda jatuh 2. Kecepatan pada mobil

Jika variabel bebasnya adalah x

Jika variabel bebasnya adalah t

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑦′

𝑦 𝑥

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0

𝑦′ = 𝐹(𝑥, 𝑦)

𝑦′ =𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑦 = ℎ(𝑥)

FIRST ORDER ODE (ODE ORDE SATU)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑦′ = cos 𝑥

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= cos𝑥

𝑦 = න𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶

CONTOH 1 : ODE TRIGONOMETRI

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

Fig 2 . Solusi y= sin x + C dari persamaan ODE 𝑦′ = cos 𝑥

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH 2 : ODE EKSPONENSIAL

𝑦 = 𝑐𝑒0.2𝑡

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0.2 𝑒0.2𝑡 = 0.2 𝑦

𝑦′ = 0.2 𝑦

𝑦 𝑦′ = 0.2𝑦 𝑦′ = 𝑘𝑦𝑘

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = 0.2𝑦

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH 3 : ODE EKSPONENSIAL

𝑦 = 𝑐𝑒−0.2𝑡

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑡= −0.2 𝑒−0.2𝑡 = −0.2 𝑦

𝑦′ = −0.2 𝑦

𝑦 𝑦′ = −0.2𝑦 𝑦′ = −𝑘𝑦𝑘

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = −0.2𝑦

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PERMASALAHAN NILAI AWAL (IVP / INITIAL VALUE

PROBLEM)

𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦 𝑥0 = 𝑦0

𝑦 𝑥0 = 𝑦0

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑦, 𝑦 0 = 5.7

✓ 𝑦′ = 3𝑦

✓ 𝑦 0 = 5.7

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

Solusi dari persamaan ODE dengan nilai awal dapat dilakukan dengan melakukan integrasi dari persamaan tersebut.

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑦

𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥

1. Menyelesaikan persamaan sistem :

2. Menyelesaikan persamaan nilai awal :

𝑦(0) = 𝑐𝑒0

𝑦 0 = 𝑐 = 5.7

Sehingga didapatkan solusi 𝑦 = 5.7𝑒3𝑥

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS : RADIOAKTIF

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5

• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut

berkurang seiring berjalannya waktu (t)

• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5

gram

𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡

𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡

Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

Fig 4 . Grafik subtansi radioaktif dengan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan

limit t → ∞

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

REVIEW - QUIZ

•𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2 − 3

• 𝜃2𝑑𝜃 = sin 𝑡 + 0.2 𝑑𝑡

• 𝑑𝑦 + 7𝑥 𝑑𝑥 = 0

• 𝑦′ = 5

•𝑑𝑦

𝑑𝑡= cos(𝑡 + 𝛽)

Berikan solusi pada persamaan ODE order satu berikut ini:

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦

𝑦 𝑥0 = 𝑦0

ℎ

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛

EULER METHOD

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦

𝑦 0 = 0

𝑥 𝑥 = 1 ℎ = 0.25

CONTOH

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOLUSI

Nilai awal :

n=1

n=2

n=3

n=4

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

REPRESENTASI GRAFIK

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

ERROR ?

Solusi linear ODE dari 𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 adalah

Solusi dengan metode

numeric eulerSolusi dengan tanpa metode

numeric euler (solusi linear)Titik merah = metode numeric euler

Garis biru = solusi linear

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

H= 0.02

Error akan semakin besar jika nilai interval H semakin besar.

Error akan semakin kecil jika nilai intrerval H semakin kecil.

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

TUGAS ! BUAT PENYELESAIAN DENGAN METODE

NUMERIK EULER!

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5

• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut

berkurang seiring berjalannya waktu (t)

• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5

gram

𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡

𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡

Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0