PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK...
Transcript of PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK...
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦(𝑥) 𝑦(𝑡)𝑡
INTRO ODE
Fig 1 . Modelling, solving, interpretasi
Contoh persamaan ODE :
➢ 𝑦′ = cos 𝑥➢ 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑒−2𝑥
➢ 𝑦′′′𝑦′ −3
2𝑦 = 0
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH PEMODELAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
𝑦′′ = 𝑔𝑦′ = 𝑣
𝑦
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡
1. Benda jatuh 2. Kecepatan pada mobil
Jika variabel bebasnya adalah x
Jika variabel bebasnya adalah t
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′
𝑦 𝑥
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0
𝑦′ = 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑦′ =𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦 = ℎ(𝑥)
FIRST ORDER ODE (ODE ORDE SATU)
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = cos 𝑥
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos𝑥
𝑦 = න𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶
CONTOH 1 : ODE TRIGONOMETRI
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 2 . Solusi y= sin x + C dari persamaan ODE 𝑦′ = cos 𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH 2 : ODE EKSPONENSIAL
𝑦 = 𝑐𝑒0.2𝑡
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0.2 𝑒0.2𝑡 = 0.2 𝑦
𝑦′ = 0.2 𝑦
𝑦 𝑦′ = 0.2𝑦 𝑦′ = 𝑘𝑦𝑘
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = 0.2𝑦
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH 3 : ODE EKSPONENSIAL
𝑦 = 𝑐𝑒−0.2𝑡
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡= −0.2 𝑒−0.2𝑡 = −0.2 𝑦
𝑦′ = −0.2 𝑦
𝑦 𝑦′ = −0.2𝑦 𝑦′ = −𝑘𝑦𝑘
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = −0.2𝑦
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PERMASALAHAN NILAI AWAL (IVP / INITIAL VALUE
PROBLEM)
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑦, 𝑦 0 = 5.7
✓ 𝑦′ = 3𝑦
✓ 𝑦 0 = 5.7
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Solusi dari persamaan ODE dengan nilai awal dapat dilakukan dengan melakukan integrasi dari persamaan tersebut.
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑦
𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥
1. Menyelesaikan persamaan sistem :
2. Menyelesaikan persamaan nilai awal :
𝑦(0) = 𝑐𝑒0
𝑦 0 = 𝑐 = 5.7
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 = 5.7𝑒3𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH KASUS : RADIOAKTIF
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5
• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut
berkurang seiring berjalannya waktu (t)
• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5
gram
𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡
𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 4 . Grafik subtansi radioaktif dengan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan
limit t → ∞
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
REVIEW - QUIZ
•𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥2 − 3
• 𝜃2𝑑𝜃 = sin 𝑡 + 0.2 𝑑𝑡
• 𝑑𝑦 + 7𝑥 𝑑𝑥 = 0
• 𝑦′ = 5
•𝑑𝑦
𝑑𝑡= cos(𝑡 + 𝛽)
Berikan solusi pada persamaan ODE order satu berikut ini:
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
ℎ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛
EULER METHOD
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦
𝑦 0 = 0
𝑥 𝑥 = 1 ℎ = 0.25
CONTOH
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
SOLUSI
Nilai awal :
n=1
n=2
n=3
n=4
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
REPRESENTASI GRAFIK
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
ERROR ?
Solusi linear ODE dari 𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 adalah
Solusi dengan metode
numeric eulerSolusi dengan tanpa metode
numeric euler (solusi linear)Titik merah = metode numeric euler
Garis biru = solusi linear
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
H= 0.02
Error akan semakin besar jika nilai interval H semakin besar.
Error akan semakin kecil jika nilai intrerval H semakin kecil.
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
TUGAS ! BUAT PENYELESAIAN DENGAN METODE
NUMERIK EULER!
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5
• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut
berkurang seiring berjalannya waktu (t)
• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5
gram
𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡
𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0