Post on 29-Sep-2015
description
PERTEMUAN 4
UJI NORMALITAS
Uji normalitas adalah suatu uji yang digunakan untuk melihat apakah data yang diteliti
memiliki sebaran normal atau tidak, atau dengan istilah lain apakah data diambil dari
populasi yang mempunyai sebaran normal.
Kenapa dilakukan uji normalitas? Karena untuk menentukan teknik statistika apa yang
akan digunakan dalam analisa data, yaitu dengan menggunakan statistika parametrik
atau nonparametrik.
Dalam kemajuan teknologi, normalitas suatu data dapat dicari dengan menggunakan
bantuan software computer, seperti halnya Calc, PSPP, SPSS dan lain sebagainya yang
sejenis, akan tetapi sebagai scientist maka anda juga dituntut untuk menguasai
perhitungan secara manualnya.
Ada beberapa jenis uji normalitas yang digunakan dalam penelitian, yaitu Chi-Square,
Kolmogorof Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk, Geary.
Dalam pertemuan ini, anda akan mengenal uji normalitas dengan menggunakan chi
square dan Kolmogorov smirnov.
A. CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT)
Quotes:
"...it is important that the particular goodness of fit test used be selected without consideration of the sample at hand, at least if the calculated significance level is to be meaningful. This is because a measure of discrepancy chosen in the light of an observed sample anomaly will tend to be inordinately large." H.T. David, 1978
Uji Chi Square biasa juga dikenal uji 2(dibaca kai square).
Metode ini menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan dari data hasil
observasi tiap kelompok/kelas dengan nilai yang diharapkan.
2 = ( )
2
=1
Keterangan:
2 = Nilai dari 2
= Nilai observasi/frekuensi yang diperoleh (diamati)
= Nilai ekspektasi/harapan atau frekuensi yang diharapkan
= Banyaknya angka pada data (total frekuensi).
Karakteristik/ciri dari distribusi chi square adalah:
1) Nilai Chi Square selalu positif.
2) Bentuk distribusi chi square adalah menjulur positif, semakin besar derajad
kebebasannya ( atau atau ) maka semakin mendekati distribusi normal
(contoh pada gambar 4.1).
3) = 1 di mana adalah banyaknya kategori.
4) Bentuk distribusi chi square tidak ditentukan banyaknya sampel melainkan
ditentukan oleh banyaknya derajad kebebasannya ().
Gambar 4.1. Contoh grafik distribusi chi square
Syarat menggunakan Chi Square,
1) Data disusun secara berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi
frekuensi.
2) Cocok dengan data dengan sampel lebih dari 30.
3) Setiap sel harus terisi, data yang kurang dari 5 digabungkan.
Signifikansi,
Signifikansi uji adalah nilai 2 hitung dibandingkan dengan 2 tabel (Chi-Square).
1) Jika nilai 2 hitung < 2 tabel, maka terima dan tolak .
2) Jika nilai 2 hitung > 2 tabel, maka tolak dan terima .
Bagaimana melakukan uji normalitas dengan menggunakan Chi Square?
Perhatikan contoh soal berikut.
Dipunyai data berat badan 100 orang mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut
seperti pada tabel 4.1:
No jumlah
1 40 - 44 4
2 45 - 49 6
3 50 - 54 12
4 55 - 59 25
5 60 - 64 14
6 65 - 69 10
7 70 - 74 12
8 75 - 79 8
9 80 - 84 6
10 85 - 89 3
100
berat badan (kg)
jumlah
Tabel 4.1. Data berat badan 100 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut.
Dengan menggunakan uji Goodness of fit test, selidiki dari data pada tabel 4.1. dengan
menggunakan = 5%, apakah data tersebut berdistribusi normal atau tidak?
Secara manual.
Penyelesaian:
1) Tentukan Hipotesis:
: Sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut berasal
dari populasi yang berdistribusi normal.
: Sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut tidak
berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
2) Cari rata-rata (Means) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi).
No jumlah Xi Xi .f
1 40 - 44 4 42 168
2 45 - 49 6 47 282
3 50 - 54 12 52 624
4 55 - 59 25 57 1425
5 60 - 64 14 62 868
6 65 - 69 10 67 670
7 70 - 74 12 72 864
8 75 - 79 8 77 616
9 80 - 84 6 82 492
10 85 - 89 3 87 261
100 6270
berat badan (kg)
jumlah
=
=6270
100
= 62,7
Jadi Mean/rata-rata berat badan 100 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika
lanjut adalah 62,7 kg.
No
( )
Nilai tengah
kelas
interval
2 =
210=1
(
10=1
)
2
=405380
100 (
6270
100)
2
=405380
100
393129
100
=405380 393129
100
= 122,51
= 122,51
= 11,07
Jadi simpangan baku/deviasi standar berat badan 40 mahasiswa yang mengikuti
kuliah statistika lanjut adalah 11,07.
3) Uji Normalitas dengan Chi-Square adalah,
2 = ( )
2
=1
1 42 4 1764 168 7056 28224
2 47 6 2209 282 13254 79524
3 52 12 2704 624 32448 389376
4 57 25 3249 1425 81225 2030625
5 62 14 3844 868 53816 753424
6 67 10 4489 670 44890 448900
7 72 12 5184 864 62208 746496
8 77 8 5929 616 47432 379456
9 82 6 6724 492 40344 242064
10 87 3 7569 261 22707 68121
jumlah 100 43665 6270 405380 5166210
= =
No Kelas IntervalBatas bawah kelas
interval (xi)Zhitung pi Oi Ei=pi x d
1 40 - 44 39.5 -2.10 0.0277 4 2.77
2 45 - 49 44.5 -1.64 0.0224 6 2.24
3 50 - 54 49.5 -1.19 0.2015 12 20.15
4 55 - 59 54.5 -0.74 0.1563 25 15.63
5 60 - 64 59.5 -0.29 0.0505 14 5.05
6 65 - 69 64.5 0.16 0.1655 10 16.55
7 70 - 74 69.5 0.61 0.1286 12 12.86
8 75 - 79 74.5 1.07 0.078 8 7.8
9 80 - 84 79.5 1.52 0.0399 6 3.99
10 85 - 89 84.5 1.97 0.0166 3 1.66
11 90 89.5 2.42
Jumlah 100
Keterangan:
d = jumlah frekuensi.
Ei = nilai ekspektasi atau harapan (frekuensi yang diharapkan)
z = angka baku
pi = luas daerah antara dua harga
xi = batas bawah kelas
Statistik Uji:
2 = ( )
2
10
=1
=(4 2.77)2
2.77+
(6 2.24)2
2.24+
(12 20.15)2
20.15+
(25 15.63)2
15.63+
(14 5.05)2
5.05+
(10 16.55)2
16.55+
(12 12.86)2
12.86+
(8 7.8)2
7.8+
(6 3.99)2
3.99+
(3 1.66)2
1.66
= 36.38
Derajad kebebasan (dk)
Derajad kebebasan adalah
= 1
Luas daerah yang
dihitung dari nilai
|2,10 1,64|
= |0.4821 0.4495|
= 0.0277
= 10 1
= 9
Di mana = banyak kelas
Sehingga 2
= 2(9,0.05) = 16.919
Karena 2
> 2
maka ditolak dan diterima.
Dengan kata lain bahwa sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika
lanjut tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
Derajad kebebasan menurut Walpole (1992), Derajad kebebasan dalam Chi Square
sama dengan banyaknya sel dikurangi dengan banyaknya besaran yang diperoleh dari
data pengamatan digunakan dalam perhitungan frekuensi harapannya.
Gambarannya begini, ketika anda mempunyai buah data maka anda hanya
mempunyai k1 buah data yang bebas anda pilih. Sebagai contoh misalkan anda
mempunyai sepeda motor merk A, B, C, D, ketika suatu hari anda ingin memilih motor
mana yang akan anda kendarai maka anda hanya bisa memilih 3 sepeda motor dengan
merek tersebut, misalkan pilihan pertama anda memilih sepeda motor merk B, pilihan
kedua merk A, pilihan ketiga D maka yang keempat tentu saja anda tidak bisa memilih
lagi, jadi pilihan yang ke empat sudah bukan pilihan bebasa lagi.
Hal ini kenapa = 1.
METODE KOLMOGOROV SMIRNOV
Konsep dasar uji normalitas dengan kolmogorov smirnov adalah membandingkan
sebaran data yang akan diuji normalitasnya dengan sebaran normal baku.
Untuk perhitungan secara manual bagaimana uji normalitas dengan kolmogorov
smirnov, dapat disusun seperti dalam tabel 3.2.
No =
| |
1
2
dan seterusnya
Tabel 3.2. Tabel uji normalitas melalui kolmogorov smirnov
Keterangan:
= angka pada data ke
= transformasi dari angka ke notasi pada sebaran normal, tabel baku yaitu area
dibawah kurva normal baku dari 0 sampai .
= peluang kumulatif normal
=Peluang kumulatif empiris
=
Signifikansi
Signifikansi uji normalitas dengan menggunakan kolmogorov smirnof, nilai dari
| | terbesar yang dihitung dibandingkan dengan nilai pada tabel kolmogorov
smirnov.
Jika | | hitung terbesar < nilai tabel kolmogorov smirnov, maka terima 0 dan
tolak .
Jika | | hitung terbesar > nilai tabel kolmogorov smirnov, maka tolak 0 dan
terima .
Contoh:
Suatu penelitian mengenai tinggi badan mahasiswa yang mengikuti perkuliahan
statistika lanjut dengan sampel sebanyak 25 mahasiswa diambil secara acak diperoleh
data sebagai berikut (dalam satuan cm): 150, 143, 153, 155, 167, 170, 151, 147, 165,
161, 163, 148, 155, 158, 170, 171, 145, 160, 158, 162, 164, 166, 158, 155, 149. Selidiki
dengan menggunakan = 5%, apakah data tersebut diambil dari populasi yang
berdistribusi normal?
Penyelesaian:
Hipotesis:
0: data tidak berbeda dengan populasi yang berdistribusi normal (data sampel normal)
: Data berbeda dengan populasi yang berdistribusi normal (data sampel tidak normal)
Langkah-langkah:
1) Urutkan data dari yang terkecil sampai terbesar.
2) Carilah rata-rata dan simpangan baku/standar deviasi nya
No Tinggi badan (cm) (xi-mean)^2
1 143 217.8576
2 145 162.8176
3 147 115.7776
4 148 95.2576
5 149 76.7376
6 150 60.2176
7 151 45.6976
8 153 22.6576
9 155 7.6176
10 155 7.6176
11 155 7.6176
12 158 0.0576
13 158 0.0576
14 158 0.0576
15 160 5.0176
16 161 10.4976
17 162 17.9776
18 163 27.4576
19 164 38.9376
20 165 52.4176
21 166 67.8976
22 167 85.3776
23 170 149.8176
24 170 149.8176
25 171 175.2976
Jml 3944 1600.56
mean 157.76
SD 8.166394553
3) Sekarang akan dicari score, , dan | |
No score | |
=
25=1
25
=3944
25
= 157.76
= ( )2
25=1
25 1
= 1600.56
24
= 8.166
(1.81) = 0.4649 Karena negatif, maka = 0.5 (1.81) = 0.5 0.4649 = . (mencari yang lain analog)
1 143 -1.81 0.0351 0.04 0.0449
2 145 -1.56 0.0594 0.08 0.0577
3 147 -1.32 0.0934 0.12 0.0689
4 148 -1.20 0.1151 0.16 0.0767
5 149 -1.07 0.1423 0.2 0.039
6 150 -0.95 0.1711 0.24 0.0731
7 151 -0.83 0.2033 0.28 0.0731
8 153 -0.58 0.2810 0.32 0.0731
9 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048
10 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048
11 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048
12 158 0.03 0.5120 0.56 0.0054
13 158 0.03 0.5120 0.56 0.0154
14 158 0.03 0.5120 0.56 0.0185
15 160 0.27 0.6054 0.6 0.0189
16 161 0.40 0.6554 0.64 0.0164
17 162 0.52 0.6985 0.68 0.0133
18 163 0.64 0.7389 0.72 0.0038
19 164 0.76 0.7764 0.76 0.0092
20 165 0.89 0.8133 0.8 0.0268
21 166 1.01 0.8438 0.84 0.0268
22 167 1.13 0.8708 0.88 0.0526
23 170 1.50 0.9332 0.96 0.0449
24 170 1.50 0.9332 0.96 0.0577
25 171 1.62 0.9474 1 0.0689
Jml 3944
mean 157.76
SD 8.166
4) Cari nilai terbesar dari | |, misalkan beri nama D, bandingkan dengan tabel
kolmogorov smirnov.
= | | terbesar adalah 0.0767.
= ; = 0.05;25 = 0.23768
Karena < maka terima 0 dan tolak .
Dengan kata lain bahwa data tidak berbeda dengan populasi yang berdistribusi
normal (data sampel normal).
Latihan 1.
Dipunyai suatu tabel sebaran yang menggambarkan nilai pelajaran bahasa Indonesia
dari 55 mahasiswa adalah sebagai berikut,
No Nilai banyak
1 0 - 9 2
2 10 - 19. 1
3 20 - 29 3
4 30 - 39 5
5 40 - 49 9
6 50 - 59 11
7 60 - 69 16
8 70 - 79 4
9 80 - 89 3
10 90 - 99 1
Periksa apakah data pada latihan 1 berdistribusi normal atau tidak1
Latihan 2.
Dipunyai data banyaknya kendaraan beroda 2 yang melintas di wilayah kelapa dua
serpong merk ABRAKADABRA selama satu bulan adalah sebagai berikut,
Hari ke
banyak
kendaraan
(buah)
Hari ke
banyak
kendaraan
(buah)
Hari ke
banyak
kendaraan
(buah)
1 7 11 22 21 8
2 24 12 13 22 20
3 21 13 9 23 17
4 15 14 6 24 20
5 12 15 22 25 22
6 9 16 20 26 18
7 9 17 17 27 14
8 24 18 16 28 8
9 21 19 20 29 25
10 20 20 11 30 16
Selidiki apakah data pada latihan 2 berdistribusi normal atau tidak!
Pertemuan 5
UJI HOMOGENITAS
Uji homogenitas dimaksudkan untuk memperlihatkan bahwa dua atau lebih kelompok
data sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi yang sama. UJI HOMOGENITAS juga
biasa disebut dengan UJI KESAMAAN DUA VARIANSI, uji ini digunakan untuk mengetahui
apakah sebaran data homogen atau tidak, artinya apakah data yang dianalisa berasal dari
populasi yang tidak jauh berbeda keragamannya.
Uji homogenitas dilihat dengan cara membandingkan variansi-nya. Jika dua buah data
atau lebih memiliki variansi yang sama, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan.
Uji homogenitas dilakukan apabila kondisi data adalah mempunyai sebaran normal.
Pengujian homogenitas varians suatu kelompok data, dapat dilakukan dengan cara:
1) Uji Fisher ( Uji F ), dan
2) Uji Bartlett.
3) Levene
Pada pertemuan ini, kita akan mempelajari penggunaan uji Fisher dan Bartlett.
Uji Fisher (Uji F)
Uji Fisher atau dikenal dengan uji F digunakan untuk menguji hipotesis dari dua kelompok
data.
Rumus Uji F
=
(5.1. )
di mana:
12 = varians kelompok 1
22 = varians kelompok 2.
Catatan :
N 2
j j
j 1
f . A X
sN 1
, atau
2N N
2
j 1 j 1s
N N 1
j j j jN f . X f . X
Hipotesis pengujian adalah:
0 = 12 = 2
2 (variansi data homogen)
0 = 12 2
2 (variansi data tidak homogen)
Kriteria pengujian,
Jika (1
1
2); (1; 2)
< < 12
(1;2) maka terima 0, dan sebaliknya
Jika (112
); (1; 2) atau 1
2(1;2)
maka tolak 0.
di mana 1 = 1 1; 2 = 2 1
Catatan :
(1
12
); (1; 2)=
1
12
; (2; 1)
(1
12
.0.10)(9;12)= (.)(;) =
1
0.05; (;)=
1
3,07= 0,328
Note : untuk menghitung nilai dalam tabel, nilai di tabel hanya pada = 0.01 dan =0.05; Bagaimana jika tidak ada pada tabel? untuk menentukan nilai lainnya dapat digunakan rumus
=
(; )
Ada dua macam pengukuran kelembaman suatu zat. Cara ke I dilakukan dengan 10
kali yang menghasilkan 2 = 24,7 dan cara ke II dilakukan 13 kali dengan 2 = 37,2.
Dengan = 0,10 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai
varians yang homogen?
Penyelesaian:
Diketahui : 1 = 10; 1 = 9 ; 12 = 24,7
2 = 13 ; 2 = 12; 22 = 37,2
Ditanya : Apakah varians homogen?
Jawab :
Kita hitung tabel
=24,7
37,2= 0,663
Sekarang kita hitung tabel
(0,05); (;) = 3,07
(10.05)(9;12) = (.)(;) =1
0.05; (;)=
1
3,07= 0,328
12
(0.10)(9;12)= (0,05);(9;12) = 2,80
Contoh 5.1
Karena (0.95)(9;12) < < (0,05);(9;12) yaitu 0,328 < 0,663 < 2,8 berarti
terima .
Jadi kedua cara pengukuran mempunyai varians yang homogen.
Suatu penelitian, untuk untuk mengetahui kinerja dosen berdasarkan latar belakang
pendidikan disusun. Oleh karena itu dibuatlah sebuah alat ukur yang bisa digunakan
untuk mengetahui skor kinerja dosen. Terdapat 70 responden sebagai subyek
penelitian tersebut. Adapun ringkasannya dapat dilihat dari tabel 5.1. Diketahui juga
= 10%.
Pendidikan Terakhir
Jml.Responden Jml.Skor Kinerja
Rata-rata skor
Varians data
S2 20 1849 92,45 8,23
S3 50 4634 92,68 8,46
Tabel 5.1. ringkasan data kinerja dosen
Hipotesis pengujian:
0: 12 = 2
2 (varians data homogen)
: 12 2
2 (varians data tidak homogen)
Langkah pengujian:
1. Varians data dari setiap kelompok sampel
Varians dari golongan S2
12 = 8,23 dengan 1 = 20 1 = 19
Varians golongan S3
22 = 8,46 dengan 2 = 50 1 = 49
2. Menghitung nilai , yaitu
=1
2
22 =
8,23
8,46= 0,973
3. Melihat nilai , dengan 1 = 19; 2 = 49 pada = 5% diperoleh
(10.05)(19;49) = (0.95)(19;49) =1
0.05; (49;19)=
1
2,00= 0,50
Contoh 5.2
(0,05; 19; 49) = 1,803
4. Karena (10.05)(19;49) < < (0,05; 19; 49) maka terima
5. Artinya varians skor kinerja guru kelompok 3A dengan kelompok 3B
homogen pada taraf 10% (selang kepercayaan 90%).
Ujian akhir mata kuliah A telah diberikan kepada kelompok mahasiswa dan
mahasiswi. Dalam ujian tersebut telah diikuti 68 mahasiswa dan 46 mahasiswi,
setelah dinilai ternyata untuk mahasiswa mencapai rata-rata 84 dengan simpangan
baku 9 dan untuk mahasiswi mencapai rata-rata 80 dengan simpangan baku 10.
ujilah homogenitas kedua varians dengan taraf nyata 0,10 yang diasumsikan bahwa
varians kedua populasi sama dengan alternatif tidak sama !
Penyelesaian:
Diketahui : n1 = . ; dk1 = . ; s12 = .
n2 = . ; dk2 = . ; s22 = .
Ditanya : Apakah varians homogen?
Jawab :
1. Formulasi hipotesis
Ho : ..
Ha : ..
2. Taraf nyata () dan nilai Ftabel
: 0,10
s12 = ..
Contoh 5.3
s22 = ..
Ftabel = (12
); (1; 2)= (..); (; ), dan
(1
1
2); (1; 2)
=
2 1
1 ( ; )
2
1
dk dkF
= ....... (....... ; .......)
1
F
3. Kriteria pegujian
Ho diterima, jika ...
Ho ditolak, jika ...
4. Uji Statistik
S12 = ...
S22= ...
Fhitung =
5. Kesimpulan
Karena
.......................................................................................................................
,maka
.......................................................................................................................
.
Jadi,
.......................................................................................................................
...
Pertanyaannya sekarang, bagaimana apabila uji yang dihadapi ternyata uji satu pihak,
yaitu
Uji Pihak Kanan yaitu untuk hipotesis dengan tandingan , dan
{: 1
2 = 22
: 12 > 2
2
Kriteria pengujian :
Jika < (1;2) Terima , sedangkan sebaliknya
Jika (1;2) Tolak .
Uji Pihak Kiri:
{: 1
2 = 22
: 12 < 2
2
Kriteria pengujian :
Jika > (1)(1;2) maka Terima , sedangkan sebaliknya
Jika (1)(1;2) maka Tolak
Note : Nilai F tabel anda bisa peroleh dengan menggunakan bantuan software excel atau
calc dengan kata kunci = (, 1, 2). 1 juga biasa disebut derajad kebebasan varians kelompok 1. 2 juga biasa disebut derajad kebebasan varians kelompok 2.
Ujian akhir m Penelitian terhadap dua metode belajar menghasilkan 12 = 25,4 dan
22 = 30,7. masing-masing dilakukan sebanyak 13 dan 11 kali. Dengan menggunakan
= 5%, ada anggapan bahwa metode pertama menghasilkan varians lebih kecil.
Apakah betul anggapan tersebut?
Penyelesaian:
Contoh 5.4
Diketahui : 12 = 25,4
22 = 30,7
1 = 13; 2 = 11
1 = 12; 2 = 10
Ditanya : Akan diperiksa 12 > 2
2
Jawab :
Yang akan diuji
{: 1
2 = 22
: 12 > 2
2
Kita cari hitung
=25,4
30,7= 0,827
Kit cari tabel
0,05(12;10) = 2,913.
Karena 0,827 < 2,913 maka terima .
Artinya metode ke I mempunyai varians lebih kecil daripada metode II.
Terdapat sebuah penelitian berjudul Pengaruh Penggunaan Alat Peraga Terhadap
Hasil Belajar Matematika. Dalam penelitian ini, peneliti ingin mencari
kehomogenitasan dari variabel bebas antara penggunaan alat peraga manual sebagai
kelas kontrol terhadap penggunaan alat peraga multimedia sebagai kelas ekspriment.
Perhitunganya mengacu kepada langkah-langkah di atas, adalah sebagai berikut:
No
Siswa
Kelas
Eksperiment
Kelas
Kontrol
No Siswa
Kelas
Eksperiment
Kelas
Kontrol
1 100 91 11 96 87
2 100 91 12 96 87
3 100 91 13 91 87
4 100 91 14 91 83
5 96 91 15 91 83
6 96 87 16 91 83
7 96 87 17 91 83
8 96 87 18 87 83
9 96 87 19 87 83
10 96 87 20 87 78
Jika Rata-rata dan simpangan baku kelas eksperiment adalah : 94,2 dan 4,396. Sedangkan
Rata-rata dan simpangan baku kelas kontrol adalah : 86,35 dan 3,617.
Contoh 5.4
Penyelesaian:
Diketahui : n1 = . ; dk1 = . ; s12 = .
n2 = . ; dk2 = . ; s22 = .
Ditanya : Apakah varians homogen?
Jawab :
1. Formulasi hipotesis Ho : .. Ha : ..
2. Taraf nyata () dan nilai Ftabel
: 0,10 s12 = ..
s22 = ..
Ftabel = (12
); (1; 2)= (..); (; ), dan
(1
1
2); (1; 2)
=
2 1
1 ( ; )
2
1
dk dkF
= ....... (....... ; .......)
1
F
3. Kriteria pegujian
Ho diterima, jika ...
Ho ditolak, jika ...
4. Uji Statistik
S12 = ...
S22= ...
Fhitung =
5. Kesimpulan
Karena
.......................................................................................................................
,maka
.......................................................................................................................
.
Jadi,
.......................................................................................................................
...
1. Ujian mata kuliah STATISTIKA DASAR telah diberikan kepada kelompok mahasiswa
dan mahasiswi. Dalam ujian tersebut diikuti 68 mahasiswa dan 46 mahasiswi.
Setelah dinilai ternyata untuk mahasiswa mencapai rata-rata 84 dengan
simpangan baku 9 dan untuk mahasiswi mencapai rata-rata 80 dengan simpangan
baku 10. Ujilah homogenitas kedua varians dengan taraf signifikansi 10%.
2. Diberikan dua buah sampel dengan data
Sampel I : 87, 79, 65, 92, 80, 98, 83
Sampel II : 96, 67, 72, 83, 78
Yang masing-masing diambil dari populasi I dengan simpangan baku 1 dan ari
populasi II dengan simpangan baku 2. Dengan menggunakan = 5% supaya diuji
hipotesis : 12 = 2
2 melawan : 12 > 2
2.
Latihan 5.1
Apabila kelompok data yang akan diuji kehomogenannya lebih dari dua, maka
digunakan uji Bartlett. Pada pengujian ini terdapat syarat data bahwa data harus
berdistrbusi normal
Kita misalkan masing-masing sampel berukuran 1, 2, , dengan data ( =
1, 2, , = 1,2, , ) dan hasil pengamatan disusun dalam tabel 5.2.
Selanjutnya dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah
12, 2
2, 32, ,
2.
Dari populasi ke
1 2 k
Data hasil pengamatan
1 1
1 2
1 3
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1
2
3
Tabel 5.2. data sampel dari buah populasi
Untuk memudahkan perhitungan satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett
lebih baiknya disusun dalam sebuah daftar seperti dalam tabel 5.3.
Sampel ke
()
1
1 1
1
1 1
1
2 log 12 (1 1) log 1
2
2
2 1
1
2 1
2
2 log 22 (2 1) log 2
2
k 1 1
1
2 log 2 ( 1) log
2
Uji Bartlett
Jumlah ( )
=
=
- - ( )
=
Tabel 5.3. harga-harga yang diperlukan untuk uji Bartlett : 12 = 2
2 = = 2
Dari tabel 5.3. kita hitung harga-harga yang diperlukan, yaitu
1) Varians Gabungan dari semua sampel
2 = ( 1)
2=1
1=1
2) Harga Satuan yang kita namakan dengan rumus
= (log 2) ( 1)
=1
Rumus uji Bartlet adalah dengan menggunakan statistika Chi Square, dengan
2 = ( 10) ( ( 1) log 2
=1
)
dimana,
ln 10 = 2,3026, ini disebut logaritma asli dari bilangan 10.
= jumlah data
2 = variansi data untuk setiap kelompok ke
= ( 1) = derajad kebebasan.
Hipotesis pengujian,
0: 12 = 2
2 = = 2
: paling sedikit salah satu tanda tidak sama.
Kriteria pengujian
Jika 2
2(1;=1)
maka tolak 0.
Jika 2
< 2(1;=1)
maka terima 0.
Misalkan pertambahan berat badan kambing karena disebabkan empat macam
makanan dirangkum dalam tabel 5.4.
Pertambahan berat karena makanan ke
1 2 3 4
Data hasil pengamatan
12 20 23 10 17
14 15 10 19 22
6 16 16 20
9 14 18 19
Tabel 5.4. pertambahan berat badan (dalam kg) lambing setelah percobaan dilakukan
Penyelesaian:
Hipotesis :
0: 12 = 2
2 = 32 = 4
2
: keempat ragam populasi adalah tidak homogen (dalam contoh ini tidak
semuanya sama)
Kita hitung varians untuk tiap sampel, diperoleh
12 = 29,3 ; 2
2 = 21,5 ; 32 = 35,7 ; 4
2 = 20,7
Kemudian dirangkum dalam tabel 5.5 sesuai acuan dari tabel 5.3, diperoleh harga-
harga yang dibutuhkan adalah,
Contoh 5.5
Sampel ke
()
1 4 0,25 29,3 1,4669 5,8676
2 4 0,25 21,5 1,3324 5,3296
3
3
0,25 35,7 1,5527 4,6581
4 3 0,25 20,7 1,3160 3,9480
Jumlah , - - ,
Varians gabungan dari empat sampel adalah
2 =4(29,3) + 4(21,5) + 3(35,7) + 3(20,7)
4 + 4 + 3 + 3= 26,6
sehingga
log 2 = log(26,6) = 1,4249
dan
= (1,4249)(14) = 19,9486
sehingga
2 = ( 10) ( ( 1) log 2
=1
)
= (2,3026)(19,9486 19,8033)
= 0,063
Misalkan yang dipakai adalah 5%, dari daftar tabel Chi Square diperoleh dengan
= 3 diperoleh 2(0,95)(3)
= 7,81.
Ternyata bahwa 2 = 0,063 < 7,81 ehingga terima
Suatu penelitian tentang perbedaan hasil belajar siswa akibat dari suatu perlakuan
(eksperimen). Adapun perlakuan yang diberikan adalah perbedaan strategi/metode
pembelajaran pada siswa. Adapun strategi/ metode pembelajaran yaitu:
Kelompok 1 : Metode A (Diskusi kelompok besar)
Kelompok 2 : Metode B (Diskusi kelompok kecil)
Kelompok 3 : Metode C (Ceramah dengan media)
Kelompok 4 : Metode D (Ceramah tanpa media)
Adapun data hasil belajar siswa berdasarkan skor tes yang diperoleh dan jumlah siswa
untuk setiap kelompok disajikan pada tabel berikut:
No Kel.1 Kel. 2 Kel. 3 Kel. 4
1 23 17 15 28
2 20 22 15 24
3 21 27 14 21
4 21 25 20 23
5 24 20 21 22
6 18 17 18 26
7 13 20 19 20
8 17 22 21 22
9 22 23 15 24
10 14 25 20 23
11 18 28 19 24
12 22 26 18 21
13 21 27 14 19
14 18 18 18 22
15 19 22 25 24
16 17 25 26
17 18 24 28
18 15 16
19 24 20
20 23 24
21 19 19
Contoh 5.6
22 22 17
23 20 18
24 19
25 15
Jumlah
483
399
435 397
N 25 15 23 17
Rerata
19,32
22,60
18,91
23,35
Untuk menguji homogenitas varians data dari keempat kelompok digunakan teknik
Bartlett. Berdasarkan data di atas dapat dihitung nilai varians setiap kelompok seperti
pada tabel berikut.
Statistik Kelompok Perlakuan
Kel. 1 Kel. 2 Kel. 3 Kel. 4
Rata-rata (X) 19,32 22,60 18,91 23,35
S.Deviasi (s) 3,06 3,68 3,36 2,57
Varians (s2) 9,39 13,54 11,26 6,62
Jumlah data (n) 25 15 23 17
Hipotesis statistik untuk pengujian homogenitas varians, adalah
0 12 = 2
2 = 32 = 4
2
keempat ragam populasi adalah tidak homogen (dalam contoh ini tidak
semuanya sama)
Langkah-langkah perhitungan :
1. Varians dari setiap kelompok sampel :
Varians dari Kel. 1 s12 = 9,39; dengan dk = 25 1 = 24.
Varians dari Kel. 2 s22 = 13,54; dengan dk = 15 1 = 14.
Varians dari Kel. 3 s32 = 11,26; dengan dk = 23 1 = 22.
Varians dari Kel. 4 s24 = 6,62; dengan dk = 17 1 = 16.
2. Tabel homogenitas varians :
Tabel Penolong untuk Uji Homogenitas Varians
Sampel .dk 1/dk si2 dk. si2 .log si2 (dk)log si2
Kel. 1 24 0,04 9,39 225,44 0,97 23,35
Kel. 2 14 0,07 13,54 189,60 1,13 15,84
Kel. 3 22 0,05 11,26 247,83 1,05 23,14
Kel. 4 16 0,06 6,62 105,88 0,82 13,13
76 40,82 768,75 3,98 75,46
3. Menghitung varians gabungan
2 = ( 1) .
2=1
( 1)=1
=
= =10,12
4. Menghitung nilai B
= (log 2) ( 1)
=1
B = ..
= ..
= ..
5. Menghitung harga chi-kuadrat :
2 = ( 10) ( ( 1) log 2
=1
)
2 = ..
2 = ..
2 = ..
Untuk = 5%, dari daftar distribusi dengan dk = .
didapat 2
= ..
ternyata bahwa 2
. 2
sehingga hipotesis yang menyatakan varians homogen di dalam taraf =
5%.
1. Selidikilah homogenitas varians tiga metode yang digunakan untuk mengajar
Matematika dengan = 5% yang telah diberikan kepada tiga kelompok anak-
anak SD. Hasil ujian pada akhir pengajaran berdaarkan metode tersebut dirangkum
dalam tabel berikut.
metode dk 2
1
2
3
8
5
6
180,11
101,37
94,48
Latihan 5.2
2. Berikut ini adalah data hasil nilai posttest dari hasil penelitian terhadap
perbandingan 3 buah metode.
TES HASIL BELAJAR MATEMATIKA
TIGA METODE PEMBELAJARAN
Praktek Diskusi Ceramah
No Xi Xi2 Xi Xi2 Xi Xi2 1 64 4096 64 4096 36 1296
2 36 1296 81 6561 9 81
3 81 6561 81 6561 4 16
4 64 4096 81 6561 9 81
5 81 6561 36 1296 81 6561
6 81 6561 64 4096 36 1296
7 64 4096 81 6561 81 6561
8 36 1296 9 81 81 6561
9 64 4096 81 6561 36 1296
10 64 4096 64 4096 36 1296
11 36 1296 81 6561 53 2809
12 49 2401 81 6561 9 81
13 81 6561 36 1296 25 625
14 49 2401 49 2401 25 625
15 36 1296 64 4096 25 625
16 64 4096 36 1296 25 625
17 36 1296 36 1296 100 10000
18 36 1296 81 6561 100 10000
19 36 1296 81 6561 25 625
20 36 1296 9 81 100 10000
21 81 6561 64 4096 25 625
22 81 6561 81 6561
1256 79112 1341 93837 921 61685
12 =
n xi2 ( xi)
2
n(n 1)= 352,66
22 =
n xi2 ( xi)
2
n(n 1)= 576,05
32 =
n xi2( xi)
2
n(n1)=1064,63
Ujilah kemohogenan varians dari kelompok-kelompok tersebut!
3. Suatu penelitian tentang perbedaan hasil belajar akibat dari tiga perlakuan
dirangkum dalam tabel berikut,
No Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
23 21 20 21 24 22 14 18 22 18 21 19 17 15 20
17 22 27 25 20 19 23 21 17 20
23 21 21 20 19 17 15 20 21 19 23 23 19
Ujilah kemohogenan varians dari kelompok-kelompok tersebut!
4. Sembilan belas ekor sapi dibagi ke dalam 4 kelompok dan tiap kelompok diberikan
makanan yang berbeda. Data yang digunakan berat dalam kg, dan diharapkan
melalui pengujian diperoleh berat yang sama untuk semua sapi. Dan dirangkum
dalam tabel berikut, ujilah kehomogenan dari varinsi kelompk-kelompok tersebut!
Makanan 1 Makanan 2 Makanan 3 Makanan 4
60,8
57
65
58,6
61,7
68,7
67,7
74
66,3
69,8
102,6
102,1
100,2
96,5
87,9
84,2
83,1
85,7
90,3
Uji Levene juga merupakan metode pengujian homogenitas varians yang hampir sama
dengan uji Bartlet. Perbedaan uji Levene dengan uji Bartlett yaitu bahwa data yang diuji
dengan uji Levene tidak harus berdistribusi normal, namun harus kontinue. Pengujian
hipotesis yaitu :
H0 : 12 = 2
2 = = 2 (data homogen)
H1 : paling sedikit ada satu 2 yang tidak sama
Statistik uji : = ()
(1)
(=1 ..)
2
(=1
=1 )
2
adalah rata-rata grup
.. adalah rata-rata seluruh data
Dimana dapat diperoleh dari :
= | | dimana : adalah rata-rata sub grup ke-i
= | | dimana : adalah median sub grup ke-i
= | 1
| dimana : 1 rata-rata dari 10% data sub grup ke-i
Kriteria Pengujian : Ho ditolak jika ),1,( kNkFW .
Dimana :
adalah rata-rata grup
.. adalah rata-rata seluruh data
Dimana dapat diperoleh dari :
= | | dimana : adalah median sub grup ke-i
Tolak H0 jika : W > F(, k-1, N-k)
Uji LEVENE
Berikut ini adalah hasil nilai tes siswa
TES HASIL BELAJAR MATEMATIKA
TIGA METODE
Praktek Diskusi Ceramah
No Xi Xi2 Xi Xi2 Xi Xi2 1 64 4096 64 4096 36 1296
2 36 1296 81 6561 9 81
3 81 6561 81 6561 4 16
4 64 4096 81 6561 9 81
5 81 6561 36 1296 81 6561
6 81 6561 64 4096 36 1296
7 64 4096 81 6561 81 6561
8 36 1296 9 81 81 6561
9 64 4096 81 6561 36 1296
10 64 4096 64 4096 36 1296
11 36 1296 81 6561 53 2809
12 49 2401 81 6561 9 81
13 81 6561 36 1296 25 625
14 49 2401 49 2401 25 625
15 36 1296 64 4096 25 625
16 64 4096 36 1296 25 625
17 36 1296 36 1296 100 10000
18 36 1296 81 6561 100 10000
19 36 1296 81 6561 25 625
20 36 1296 9 81 100 10000
21 81 6561 64 4096 25 625
22 81 6561 81 6561
1256 79112 1341 93837 921 61685
12 =
n xi2 ( xi)
2
n(n 1)= 352,66
22 =
n xi2 ( xi)
2
n(n 1)= 576,05
Contoh 5.7
32 =
n xi2( xi)
2
n(n1)=1064,63
1). = | | dimana : adalah median sub grup ke-i
= |64 64|
= 0
64 merupakan median dari group metode praktek (X1) 64 merupakan median dari group metode diskusi (X2)
36 merupakan median dari group metode ceramah (X3)
Dst..
Tabel 4
HASIL DATA MEDIAN DAN Zij
No Praktek
Group
Median Zij
Diskusi Group
Median Zij
Ceramah Group
Median Zij
X1 X2 X3
1 64 64 0 64 64 0 36 36 0
2 36 64 28 81 64 17 9 36 27
3 81 64 17 81 64 17 4 36 32
4 64 64 0 81 64 17 9 36 27
5 81 64 17 36 64 28 81 36 45
6 81 64 17 64 64 0 36 36 0
7 64 64 0 81 64 17 81 36 45
8 36 64 28 9 64 55 81 36 45
9 64 64 0 81 64 17 36 36 0
10 64 64 0 64 64 0 36 36 0
11 36 64 28 81 64 17 53 36 17
12 49 64 15 81 64 17 9 36 27
13 81 64 17 36 64 28 25 36 11
14 49 64 15 49 64 15 25 36 11
15 36 64 28 64 64 0 25 36 11
16 64 64 0 36 64 28 25 36 11
17 36 64 28 36 64 28 100 36 64
18 36 64 28 81 64 17 100 36 64
19 36 64 28 81 64 17 25 36 11
20 36 64 28 9 64 55 100 36 64
21 81 64 17 64 64 0 25 36 11
22 81 64 17 81 64 17 - - -
2). Zi adalah rata-rata grup Zij
Zi = Zij
N, dari goup masing-masing, dengan N = jumlah sampel dalam group
HASIL DATA Zij DAN Zi_bar ()
Praktek Zij Zi_bar
Diskusi Zij Zi_bar
Ceramah Zij Zi_bar
X1 X2 X3
64 0 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905
36 28 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905
81 17 16,182 81 17 18,5 4 32 24,905
64 0 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905
81 17 16,182 36 28 18,5 81 45 24,905
81 17 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905
64 0 16,182 81 17 18,5 81 45 24,905
36 28 16,182 9 55 18,5 81 45 24,905
64 0 16,182 81 17 18,5 36 0 24,905
64 0 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905
36 28 16,182 81 17 18,5 53 17 24,905
49 15 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905
81 17 16,182 36 28 18,5 25 11 24,905
49 15 16,182 49 15 18,5 25 11 24,905
36 28 16,182 64 0 18,5 25 11 24,905
64 0 16,182 36 28 18,5 25 11 24,905
36 28 16,182 36 28 18,5 100 64 24,905
36 28 16,182 81 17 18,5 100 64 24,905
36 28 16,182 81 17 18,5 25 11 24,905
36 28 16,182 9 55 18,5 100 64 24,905
81 17 16,182 64 0 18,5 25 11 24,905
81 17 16,182 81 17 18,5 - - -
3). Z adalah rata-rata seluruh data Zij
Z = Zij
N, dari seluruh group dalam hal ini data yang diuji terdiri dari tiga
metode praktek, diskusi, dan ceramah. Dengan N=65.
4). Tentukan besaran dari ( )2
5). Lanjutkan dengan ( )2
6). Uji Statistik:
= ( )
( 1)
( =1 . . )
2
( =1
=1 )
2
Tabel 5
HASIL DATA UJI LEVENA
Praktek Group
Median Zij Zi_bar Z_bar
(Zij-Zi)2 (Zi-Z)2 Diskusi Group Median
Zij Zi_bar Z_bar (Zij-Zi)2 (Zi-Z)2 Ceramah Group
Median Zij Zi_bar Z_bar
(Zij-Zi)2 (Zi-Z)2
X1 bar bar X2 bar bar X3 bar bar
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 4 36 32 24,905 19,785 50,342 26,2159
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 9 64 55 18,5 19,785 1332,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 53 36 17 24,905 19,785 62,485 26,2159
49 64 15 16,182 19,785 1,39669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
49 64 15 16,182 19,785 1,39669 12,9801 49 64 15 18,5 19,785 12,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 9 64 55 18,5 19,785 1332,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159
81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 - - - - - - -
2695,27 285,563
4771,5 36,3052
9563,810 550,534
38
= ( )
( 1)
( =1 . . )
2
( =1
=1 )
2
= (65 3)
(3 1)
872,40
17030,58
W = 1,587995
SS df
Between Group 872,4024 2
Within Group 17030,58 62
Levene's Statistic 1,587995
Critical Value (=0.05) 3,145258
P-value 0,212533
Tolak H0 jika : W > F(, k-1, N-k)
Dari hasil yang didapat W=1,588
38
TABEL KURVA NORMAL
38
TABEL DISTRIBUSI Z
38
TABEL DISTRIBUSI F