Post on 20-Jun-2019
PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL
TRANS JAWA DENGAN MENERAPKAN ALGORITMA FLOYD-
WARSHALL
(Skripsi)
Oleh
MAHARANI DAMAYANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRACT
DETERMINATION OF THE SHORTEST ROUTE ON OPTIMIZATION
OF TRANS JAVA TOLL ROUTE BY APPLYING ALGORITHM FLOYD-
WARSHALL
By
MAHARANI DAMAYANTI
A connected infrastructure, java trans toll for example, can be seen as a connected
graph. Therefore, for the efficiency of java trans toll usage must be determined the
shortest distance and route. This paperdescribe research result about how to get the
shortest distance and route by regions by using floyd warshall algorithm. With this
algorithm generated the smallest weight from all the route that connect one region
to another (called as a pair of points). Besides, it is also determined for all pairs of
points by points till reaching destination point with the most minimum sum of
weight.simulation to reach this research purpose using software MATLAB.
Key Words: Trans Java Toll Route, Graph, Shortest Route, Floyd-Warshall
ABSTRAK
PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL
TRANS JAWA DENGAN MENERAPKAN ALGORITMA FLOYD-
WARSHALL
Oleh
MAHARANI DAMAYANTI
Sebuah infrastruktur yang terkoneksi, jalur Tol Trans Jawa misalnya, dapat di
pandang sebagai graf terhubung. Oleh karena itu, untuk efisiensi penggunaan Tol
Trans Jawa perlu ditentukan jarak dan rute terpendeknya. Skripsi ini
mendeskripsikan hasil penelitian berkenaan dengan upaya mendapatkan jarak dan
rute terpendek antar daerah dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall.
Dengan algoritma ini dihasilkan bobot terkecil dari semua jalur yang
menghubungkan sebuah daerah dengan daerah lainnya (disebut sebagai pasangan
titik). Selain itu juga ditentukan untuk semua pasangan titik demi titik hingga
mencapai titik tujuan dengan jumlah bobot yang paling minimum. Simulasi dalam
mencapai tujuan penelitian ini menggunakan software MATLAB.
Kata kunci: Jalur Tol Trans Jawa, Graf, Rute Terpendek, Floyd-Warshall
PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL
TRANS JAWA DENGAN MENERAPKAN ALGORITMA FLOYD-
WARSHALL
Oleh
MAHARANI DAMAYANTI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 19 Januari 1997. Penulis
merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Danang Sri Maryadi dan Ibu Sri
Supriyantini, serta kakak dari Ramadhani Dwi Nurcahyo dan Salsabila Octaviani
Damayanti.
Penulis memulai pendidikan dari taman kanak-kanak di TK Fitrah Insani Bandar
Lampung tahun 2001. Pendidikan sekolah dasar di SD Negri 1 Langkapura tahun
2003. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negri 4 Bandar Lampung
tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3 Bandar
Lampung tahun 2012 dan di SMA Negri 7 Bandar Lampung tahun 2013.
Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai
mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
pada tahun 2015 memalui jalur SBMPTN. Pada periode tahun 2015/2016 penulis
terdaftar sebagai anggota GEMATIKA Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA
Unila. Penulis pernah menjadi anggota bidang Eksternal Himpunan Mahasiswa
Matematika Tahun 2016.
Sebagai bentuk penerapan ilmu perkuliahan, penulis telah melaksanakan Kuliah
Kerja Nyata (KKN) pada tahun 2018 selama 40 hari di desa Mercu Buana, Kec.
Way Kenanga, Kab. Tulang Bawang Barat, Provinsi Lampung. Penulis juga telah
melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Kantor Wilayah Direktorar Jenderal Pajak
Bengkulu dan Lampung selama kurang lebih satu bulan pada tahun 2018.
MOTTO
“Berjanjilah untuk sukses dan berhasil membeli apapun yang kamu mau
Berjanjilah untuk berusaha membanggakan kedua orang tua dengan segala yang kamu
mampu
Karena kau perlu melihat ke atas untuk tau dimana kau berada
Kadang pula kau perlu melihat ke bawah bahwa masih banyak orang tak seberuntung kamu
namun tetap bahagia
Dan tetap melihat ke depan agar tak terjatuh, seperti sebagaimana kau mestinya.
Bersyukur atas apa yang telah kamu punya.”
“ Kita punya dua pilihan. Santai membiarkan semua
mengalir dan silahkan coba tahun-tahun selanjutnya atau
mari berusaha dan berdoa maksimal dan rasakan manisnya
di akhir nanti. Allah selalu menepati janjinya.”
Puji dan syukur kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas hidayah dan kasih
sayang-Nya
Sebuah karya sederhana yang penuh perjuangan telah selesai
Kupersembahkan Skripsi ini untuk :
Papa Danang Sri Maryadi & Mama Sri Supriyantini
Serta
Ramadhani Dwi Nurcahyo
Salsabila Octaviani Damayanti
M Wildan Maulana
Terimakasih atas doa, dukungan, dan semangat yang telah diberikan
Terimakasih atas cinta dan kasih sayang yang telah diberikan
Terimakasih atas kesabaran yang telah diberikan
PERSEMBAHAN
SANWANCANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya,
sehingga penulisan skripsi dengan judul “Penentuan Rute Terpendek Pada
Optimalisasi Jalur Tol Trans Jawa dengan Menerapkan Algoritma Floyd-Warshall”
dapat terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada junjungan kita
Nabi Muhammad SAW, teladan terbaik sepanjang masa.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bantuan,
dukungan, bimbingan serta kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini
mampu terselesaikan. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing utama yang telah
memberikan ilmu, semangat, dan motivasi dengan kesabarannya dalam
membimbing hingga skripsi ini terselesaikan.
2. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc.selaku dosen pembimbing pembantu yang
telah membimbing, memberi masukan, dan mengarahkan penulis selama
proses penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan
kritik dan saran kepada penulis selama proses penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Drs. Suharsono. S, M.S., M.Sc., Ph.D.selaku Pembimbing Akademik.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.
8. Orang tua dan Adik penulis, serta seluruh keluarga yang senantiasa
memberikan doa, dukungan, penulis untuk memberikan yang terbaik.
9. M. Wildan Maulana yang senantiasa mendoakan, mendukung dan memberi
semangat penulis untuk memberikan yang terbaik.
10. Sahabat-sahabatku Anggun, Atuy, Edwin, Nurah, Thalia dan Tirania serta
teman-teman seperjuangan angkatan 2015 yang telah mendoakan, mendukung,
dan memotivasi penulis dalam melalui proses perkuliahan.
Bandar lampung, Januari 2019
Penulis
Maharani Damayanti
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................. i
DAFTAR GAMBAR ............................................................................. ii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 3
1.3 Manfaat Penelitian ..................................................................... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf ................................................................... 5
2.2 Algoritma Floyd-Warshall ....................................................... 10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 17
3.2 Metodologi Penelitian............................................................... 17
IV.HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data ..................................................................... 19
4.2 Pemodelan Graf Dari Data ........................................................ 20
4.3 Penerapan Algoritma Floyd-Warshall ...................................... 24
4.4 Hasil Simulasi Rute .................................................................. 26
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan ............................................................................... 37
5.2 Saran ......................................................................................... 37
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Jalur Jaringan Jalur Tol Trans Jawa dan Jarak Untuk Setiap Jalur
Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ........................................................... 20
2. Titik Dari Jaringan Jalur Tol Trans Jawa .......................................... 21
3. Sisi Dari Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ............................................ 22
4. Hasil Simulasi Rute Jalur Tol Trans Jawa ........................................ 26
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Satu Contoh Graf 𝐺 (Graf Sederhana) .............................................. 5
2. Satu Contoh Graf Berarah (Directed graph) ..................................... 6
3. Contoh Tree dengan 5 titik dan 4 sisi ............................................... 6
4. Satu Contoh Graf Berbobot ................................................................ 7
5. Sebuah Graf yang digunakan pada Algoritma Floyd-Warshall ........ 14
6. Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ........................................................... 19
7. Pemodelan Graf dari Data ................................................................. 23
8. Pseudocode Algoritma Floyd-Warshall ............................................ 25
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Tol Trans Jawa (Trans Java Toll Road) merupakan salah satu prioritas program
nasional. Diharapkan dengan adanya peningkatan infrastruktur jalur Tol akan memiliki
dampak positif terhadap pembangunan ekonomi dan sosial bagi daerah di Jawa.
Dengan adanya jalur Tol menjadi alternatif pengurangan masalah transportasi,
peningkatan pemerataan pembangunan, dan terjadinya multiplier effect pertumbuhan
perkonomian, baik di tingkat pusat maupun daerah-daerah di Pulau Jawa. Di Pulau
Jawa, Tol Trans Jawa diharapkan dapat menghubungkan antara Jawa bagian barat
hingga bagian timur sehingga lahirnya infrastruktur yang terkoneksi.
Pencarian rute terpendek telah diterapkan diberbagai bidang untuk mengoptimasi
kinerja suatu sistem baik untuk meminimalkan biaya ataupun mempercepat jalurnya
suatu proses. Salah satu aplikasi pencarian rute terpendek yang paling menarik untuk
dibahas adalah masalah transportasi.
2
Ada beberapa metode untuk pencarian rute terpendek yaitu algoritma Djikstra,
algortima Bellman-Ford, algoritma Floyd-Warshall dan sebagainya. Dalam
menemukan rute terpendek algoritma Djikstra lebih cepat namun algoritma Djikstra
yang menerapkan prinsip greedy tidak selalu berhasil memberikan solusi optimum
untuk kasus penentuan lintasan terpendek (single pair shortest path) karena algoritma
Djikstra hanya memikirkan solusi terbaik yang akan diambil pada setiap langkah tanpa
memikirkan konsekuensi ke depan serta algortima Djikstra tidak dapat menangani sisi
graf berbobot negatif (M. Rofiq & Uzzy, 2014). Sedangkan pada algoritma Bellman-
Ford dapat menangani masalah lintasan terpendek (dari satu sumber) yang berawal
pada satu sumber dengan diperbolehkan sisi graf berbobot negatif, namun
membutuhkan waktu yang lebih lama (Anggraini, F., dan Mingparwoto, S, 2015).
Pada algoritma Floyd-Warshall yang menggunakan program dinamis dapat digunakan
dalam penentuan solusi minimum karena algoritma ini dapat membandingkan semua
kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap sisi dari semua titik yang dilewati dan
memperbolehkan adanya sisi graf dengan bobot negatif (Setiawan, V., Kiftiah, M., dan
Partiwi, W.D, 2017).
Dalam bidang transportasi terdapat sejumlah permasalahan yang berdampak langsung
kepada masyarakat. Salah satunya adalah menentukan rute optimal ketika masyarakat
dihadapkan pada banyaknya rute untuk sampai di tempat tujuan dengan efisien dan
efektif. Sebagai studi kasus penelitian ini adalah jalur Tol Trans Jawa. Jalur Tol Trans
Jawa, dalam hal ini jalur penghubung dari Jakarta sampai dengan Surabaya . Dimulai
dari Merak - Jakarta, Jakarta - Cikampek, Cikampek - Palimanan, Palimanan - Kanci,
3
Kanci - Penjagaan, Penjagaan - Pemalang, Pemalang - Batang, Batang - Semarang,
Semarang seksi A,B,C ,Semarang - Solo, Solo - Ngawi, Ngawi - Kertosono, Kertosono
- Mojokerto, Surabaya – Mojokerto, Surabaya - Gempol, Gempol – Pasuruan, Pasuruan
– Purbolinggo, Gempol – Pandaan. Pada kasus ini penentuan rute terpendek dan jarak
antar titik untuk semua pasangan titik sangat diperlukan untuk memberi efisiensi pada
jarak dan waktu yang akan ditempuh serta bahan bakar yang akan digunakan dalam
perjalanan yang akan ditempuh.
Oleh karena hal di atas maka pada penelitian ini akan dianalisa jarak untuk setiap
perjaluran dari semua pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans Jawa dan
menentukan rute terpendek untuk semua pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans
Jawa. Dalam penelitian dibuat sebuah program menggunakan software MATLAB
untuk mempermudah proses iterasi untuk menyelesaikan permasalahan rute terpendek
untuk setiap pasangan titik.
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian yang dilakukan bertujuan menyelesaikan masalah lintasan terpendek pada
jalur Tol Trans Jawa dengan menggunakan algoritma floyd-warshall. Dengan kata lain
dari hasil penelitian ini dapat ditentukan rute dan jarak terpendek untuk semua
pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans Jawa.
4
1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan manfaat antara lain:
1. Dapat dijadikan acuan jarak dan rute untuk setiap perjaluran yang melewati jalur Tol
Trans Jawa.
2. Dapat dimanfaatkan untuk masyarakat di Pulau Jawa dalam mempertimbangkan
pilihan rute optimal melalui jalur Tol Trans Jawa.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan diberikan konsep-konsep dasar graf yang diambil dari Deo (1989),
graf 𝐺 adalah suatu struktur (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉(𝐺) ={𝑣1, 𝑣2, . . , 𝑣𝑛 } himpunan tak
kosong dengan elemen-elemennya disebut titik, sedangkan 𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}
(mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurut dari elemen-elemen di
𝑉(𝐺) ={(𝑣1, 𝑣2), (𝑣2, 𝑣3), (𝑣3, 𝑣4), … . , (𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛)} yang anggotanya disebut sisi (edge).
Gambar 2.1. Satu Contoh Graf 𝐺 (Graf Sederhana)
𝑣1 𝑣1 𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒4
6
Graf 𝐺 berarah terdiri dari serangkaian titik 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}, serangkaian garis 𝐸 =
{𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}, dan pemetaan yang memetakan setiap sisi ke beberapa pasangan titik
(𝑣𝑖, 𝑣𝑗}.
Gambar 2.2 Satu Contoh Graf Berarah (Directed graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak memuat sisi paralel dan loop (contoh pada
Gambar 2.1). Pohon (Tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat sirkuit.
Gambar 2.3 Contoh Tree dengan 5 titik dan 4 sisi
Graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot), bobot pada setiap sisi dapat
berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf. Bobot dapat
dinyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjaluran antara dua buah kota, waktu
𝑣1
𝑣4 𝑣3
𝑣 5 𝑣 4
𝑣 3 𝑣 2
𝑣 1
𝑒 4 𝑒 3
𝑒 2 𝑒 1
𝑣2
7
tempuh pesan (message) dari buah titik komunikasi ke jaringan computer, dan ongkos
produksi (Munir, 2001).
Bila sisi 𝑒 dalam graf 𝐺 dikaitkan dengan sebuah bilangan real 𝑊(𝑒) disebut bobot
(weight) dari 𝑒. Bobot dari sebuah graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑊(𝐺). Sebuah graf
yang setiap sisinya dikaitkan dengan bilangan real disebut graf bobot.
Contoh 2.1
Berikut ini adalah graf berbobot dengan ketentuan sebagai berikut :
(𝑣1, 𝑣2) = 19, (𝑣2, 𝑣3) = 8, (𝑣1, 𝑣4) = 10, (𝑣2, 𝑣4) = 4, (𝑣4. 𝑣5)=1,8 ,
(𝑣4, 𝑣3) = 3, (𝑣3, 𝑣5) = 6, (𝑣3, 𝑣6) = 15, (𝑣5, 𝑣6) = 5.
Berdasarkan titik yang sudah diketahui maka dapat digambarkan graf berbobot sebagai
berikut :
Gambar 2.4. Satu Contoh Graf Berbobot
Derajat suatu titik adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Misalkan 𝑣
adalah titik dalam suatu graf 𝐺. Derajat titik 𝑣 atau titik 𝑑(𝑣) adalah jumlah garis (sisi)
8
yang berhubungan dengan titik 𝑣 dan loop dihitung dua kali. Derajat total 𝐺 adalah
jumlah derajat semua titik dengan 𝐺 (Siang, 2006).
Derajat suatu titik pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titik
tersebut. Derajat pada graf berarah terdiri dari 𝑑𝑖𝑛(𝑣) dan 𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣). 𝑑𝑖𝑛(𝑣) adalah
derajat masuk (in-degree) yaitu jumlah busur yang masuk ke titik 𝑣. Sedangkan
𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣) adalah derajat keluar (out-degree) yaitu jumlah busur yang keluar dari titik 𝑣,
dengan : 𝑑(𝑣) = 𝑑𝑖𝑛(𝑣) + 𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣) (Siang,2006).
Suatu graf dapat direpresentasikan melaluin matriks. Representasi graf yang
dimaksud diantaranya : (Munir,2001)
1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matriks)
Matriks ketetanggaan adalah representasi graf paling umum. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸)
adalah graf dengan 𝑛 titik 𝑛 ≥ 1. Bila matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] maka [𝑎𝑖𝑗] = 1 jika titik
𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗 bertetangga. Berlaku juga pada garf berbobot, 𝑎𝑖𝑗 menyatakan bobot tiap
sisi yang menghubungkan titik 𝑖 dengan titik 𝑗. Tanda ‘’∞” menyatakan bahwa tidak
ada sisi dari titik 𝑖 ke titik 𝑗atau dari titik 𝑖 ke titik 𝑖 itu sendiri, sehingga diberi nilai
tak berhingga. Pernyataan tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut :
𝑎𝑖𝑗 {1,0,
jika bertetangga (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
jika tidak bertetangga (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
9
2. Matriks Bersisian (Incidency matrix)
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf dengan 𝑛 titik dan 𝑚 buah sisi. Matriks bersisian
𝐺 adalah matriks dwimatra yang berukuran 𝑚 × 𝑛. Baris menunjukkan label titik,
sedangkan kolom menunjukkan label sisinya. Apabila matriks tersebut dinamakan
𝐴 = [𝑚𝑖𝑗], maka 𝑚𝑖𝑗 = 1 jika titik 𝑖 bersisian dengan sisi 𝑗, sebaliknya 𝑚𝑖𝑗 = 0 jika
titik 𝑖 tidak bersisian dengan titik 𝑗. Pernyataan tersebut dapat dinotasikan sebagi
berikut :
𝑚𝑖𝑗 = {1,0,
jika ada sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
jika tidak ada sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
Representasi matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf. Lintasan
terpendek merupakan salah satu dari masalah yang dapat diselesaikan dengan graf.
Jika diberikan sebuah graf berbobot, masalah lintasan terpendek adalah upaya mencari
sebuah jalur pada graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut
(Deo,1989).
Terdapat beberapa macam persoalan lintasan terpendek antara lain :
a. Lintasan terpendek antara dua buah titik tertentu (a pair shortets path).
b. Lintasan terpendek antara semua pasangan titik (all pairs shortest path).
c. Lintasan terpendek dari titik tertentu ke semua titik yang lain (single source shortest
path).
d. Lintasan terpendek antara dua buah titik yang melalui beberapa titik tertentu
(intermediate shortest path).
10
Beberapa Algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini adalah
algoritma Djikstra, algoritma Bellman-Ford, dan algoritma Floyd-Warshall. Setiap
algoritma penyelesaian persoalan lintasan terpendek memiliki kriteria masing-masing.
Kompleksitas waktu asimptotik algoritma, kekurangan, serta kelebihan masing-masing
algoritma.
2.2 Algoritma Floyd-Warshall
Algoritma Floyd-Warshall ditemukan oleh R. Floyd pada tahun 1962. Algoritma
Floyd-Warshall adalah salah satu pemrograman dinamis, yaitu suatu metode yang
melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh
sebagai suatu keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk
dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih dari
satu. Algoritma floyd-warshall merupakan algoritma yang mengambil jarak minimal
dari suatu titik ke titik lainnya. Pada algoritma ini menerapkan suatu algoritma dinamis
yang menyebabkan akan mengambil jarak lintasan terpendek secara benar (Hasibuan,
2016).
Algoritma yang ditemukan oleh Warshall untuk mencari rute terpendek merupakan
algoritma yang sederhana dan mudah implementasinya. Algoritma Floyd-Warshall
memiliki input graf berarah dan berbobot (𝑉, 𝐸), yang berupa daftar titik (node/titik 𝑉)
dan daftar sisi (sisi 𝐸). Bobot garis e dapat diberi simbol 𝑊(𝑒). Jumlah bobot sisi-sisi
11
pada sebuah jalur adalah total bobot jalur tersebut. Sisi pada 𝐸 diperbolehkan memiliki
bobot negatif, akan tetapi tidak diperbolehkan bagi graf 𝑊𝑖𝑗 untuk memiliki siklus
dengan bobot negatif. Algoritma ini menghitung bobot terkecil dari semua jalur yang
menghubungkan sebuah pasangan titik, dan melakukannya sekaligus untuk semua
pasangan titik demi titik hingga mencapai titik tujuan dengan jumlah bobot yang paling
minimum.
Mekanisme algoritma Floyd-Warshall dalam menentukan lintasan terpendek terdiri
dari beberapa langkah yang harus dilaksanakan antara lain (Jayanti, 2014) :
1. Merepresentasikan suatu graf sebagai suatu matriks berbobot. Dimana bobot untuk
setiap sisi adalah
𝑊𝑖𝑗 = {1,
𝑊(𝑖, 𝑗),∞,
jika 𝑖 = 𝑗 jika 𝑖 ≠ 𝑗 dan (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸
jika 𝑖 ≠ 𝑗 dan (𝑖, 𝑗) ∉ 𝐸
Format output berupa matriks 𝑛 𝑥 𝑛 berjarak 𝐷 = [𝑑𝑖𝑗] dimana 𝑑𝑖𝑗 adalah jarak
dari titik 𝑖 ke 𝑗.
2. Melakukan dekomposisi algoritma Floyd-Warshall sebagai berikut.
𝑑𝑖𝑗(𝑘)
merupakan panjang dari lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗, sehingga semua
titik intermediate yang terdapat pada lintasan (jika ada) terkumpul pada
{1,2, … , 𝑘}.
𝑑𝑖𝑗(0)
dikumpulkan pada 𝑊𝑖𝑗 yaitu tidak ada titik intermediate
𝑑 (𝑘) menjadi matriks 𝑛 𝑥 𝑛 [𝑑𝑖𝑗
(𝑘)]
12
Tentukan 𝑑𝑖𝑗(𝑛)
sebagai jarak dari 𝑖 ke 𝑗 kemudian hitung 𝑑 (𝑛)
Hitung 𝑑 (𝑘) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑛
3. Menentukan susunan lintasan terpendek, yaitu dengan dilakukan dua pengamatan
terlebih dahulu sebelum melangkah lebih jauh
Sebuah lintasan terpendek tidak berisi titik yang sama sebanyak dua kali
Untuk sebuah lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗 dengan beberapa titik intermediate
pada path dipilih dari kumpulan {1,2, … , 𝑘} dengan dua kemungkinan, yaitu
a. 𝑘 bukan merupakan titik pada lintasan ( lintasan terpendek memiliki
panjang 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
).
b. 𝑘 merupakan titik pada lintasan (lintasan terpendek memiliki panjang
𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
+ 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)
).
Setelah melakukan pengamatan di atas, kemudian dilakukan penetuan
lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗 yang memuat titik 𝑘.
lintasan terpendek tersebut memuat sebuah lintasan bagian dari 𝑖 ke 𝑘 dan
sebuah lintasan bagian dari 𝑘 ke 𝑗.
Setiap lintasan bagian hanya bisa memuat titik intermediate pada {1, … , 𝑘 −
1} dan memiliki nilai terkecil, kemudian sebut sebagai 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
dan 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)
sehingga lintasan memiliki panjang 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
+ 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)
.
4. Melakukan iterasi yang dimulai dari iterasi ke 0 sampai dengan 𝑛. Perhitungan
yang dilakukan yaitu :
Menentukan 𝐷(0) atau iterasi ke 0 =[𝑊𝑖𝑗] merupakan matriks berbobot
13
Menentukan 𝐷(𝑘) dapat dicari dengan menggunakan rumus
𝑑𝑖𝑗(𝑘)
= min{𝑑𝑖𝑗(𝑘−1)
, 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
+ 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)
} , untuk 𝑘 = 1, … , 𝑛 dimana 𝑛 adalah
jumlah titik.
Dalam iterasinya untuk mencari lintasan terpendek, algoritma Floyd-Warshall
membentuk 𝑛 matriks, sesuai dengan iterasi-𝑘. Ini akan menyebabkan prosesnya
lambat, terutama untuk nilai 𝑛 yang besar. Meskipun waktu prosesnya bukanlah yang
tercepat, algoritma Floyd-Warshall sering digunakan untuk menghitung lintasan
terpendek karena kesederhanaannya. Selain itu, implementasi algoritma Floyd-
Warshall sangat mudah dibuat.
Matriks keterhubungan W yang digunakan untuk menyatakan graf berarah berbobot
sama dengan matriks yang digunakan untuk menyatakan graf berbobot, yaitu elemen-
elemennya menyatakan bobot garis. Secara umum matriks keterhubungan untuk
menyatakan graf berarah berbobot tidaklah simetris karena bobot garis dari titik 𝑣𝑖 ke
𝑣𝑗 (𝑊𝑖,𝑗) tidak sama dengan bobot garis dari titik 𝑣𝑗 ke 𝑣𝑖 (= 𝑊𝑗,𝑖) dan 𝑊𝑖,𝑖 = ∞ untuk
semua 𝑖.
Salah satu contoh dari penerapan algoritma Floyd-Warshall adalah sebagai berikut:
14
Gambar 2.5. Sebuah Graf yang digunakan pada Algoritma Floyd-Warshall
Dari Gambar 2.5 dapat dibentuk sebuah matriks 𝑛 𝑥 𝑛 yang berisi nilai sisi untuk setiap
pasangan titik sebagai berikut :
𝑊 = 𝐷(0) =
Untuk Itersasi ke-1, k=1 pada baris ke 1
– 𝑑11 =min(0,0+0)=0
– 𝑑12 =min(3,0+3)=3
– 𝑑13=min(7,0+7)=7
– 𝑑14 =min(4,0+4)=4
– 𝑑15 =min(∞,0+∞)=∞
– 𝑑16=min(∞,0+∞)=∞
Dengan cara yang sama pada k=1, maka dapat diuraikan matriks untuk iterasi ke-1
adalah sebagai berikut
15
𝑊 = 𝐷(1) =
[ 0 3 7 4 ∞ ∞3 0 2 7 ∞ 97 2 0 1 3 64 7 1 0 3 ∞∞ ∞ 3 3 0 3∞ 9 6 ∞ 3 0 ]
Matriks untuk iterasi ke-2 adalah
𝑊 = 𝐷(2) =
[ 0 3 5 4 ∞ 123 0 2 7 ∞ 95 2 0 1 3 64 7 1 0 3 16∞ ∞ 3 3 0 312 9 6 16 3 0 ]
Matriks untuk iterasi ke-3 adalah
𝑊 = 𝐷(3) =
[ 0 3 5 4 8 113 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 78 5 3 3 0 311 8 6 7 3 0 ]
Matriks untuk iterasi ke-4 adalah
𝑊 = 𝐷(4) =
[ 0 3 5 4 7 113 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 77 5 3 3 0 311 8 6 7 3 0 ]
Matriks untuk iterasi ke-5 adalah
𝑊 = 𝐷(5) =
[ 0 3 5 4 7 103 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 67 5 3 3 0 310 8 6 6 3 0 ]
Matriks untuk iterasi ke-6 adalah
16
𝑊 = 𝐷(6) =
[ 0 3 5 4 7 103 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 67 5 3 3 0 310 8 6 6 3 0 ]
Dari hasil iterasi ke-6 atau 𝐷(6) yang di asosiasi dengan graf pada Gambar 2.5 dapat
diperoleh hasil sebagai berikut.
– Lintasan terpendek dari 1 ke 2 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑12 =3
– Lintasan terpendek dari 1 ke 3 dan sebaliknya, lewat intermediate 2𝑑13=5
– Lintasan terpendek dari 1 ke 4 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑14=4
– Lintasan terpendek dari 1 ke 5 dan sebaliknya, lewat intermediate 4𝑑15=7
– Lintasan terpendek dari 1 ke 6 dan sebaliknya, lewat intermediate 4,5 𝑑16=10
– Lintasan terpendek dari 2 ke 3 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑23=2
– Lintasan terpendek dari 2 ke 4 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑24 =3
– Lintasan terpendek dari 2 ke 5 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑25 =5
– Lintasan terpendek dari 2 ke 6 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑26= 8
– Lintasan terpendek dari 3 ke 4 dan sebaliknya, tidak ada intermediate 𝑑34=1
– Lintasan terpendek dari 3 ke 5 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑35=3
– Lintasan terpendek dari 3 ke 6 dan sebaliknya, tidak ada intermediate 𝑑36=6
– Lintasan terpendek dari 4 ke 5 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑45=3
– Lintasan terpendek dari 4 ke 6 dan sebaliknya, lewat intermediate 5𝑑46=6
– Lintasan terpendek dari 5 ke 6 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑56=3
17
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian telah dilaksanakan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metodologi Penelitian
Penelitian ini menggunakan pendekatan studi literatur dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
1. Mendefinisikan Masalah
Mendefinisikan masalah ialah tahapan dalam menetapkan permasalah yang
berhubungan dengan penentuan rute terpendek.
2. Studi Literatur
Studi literatur ialah tahapan dalam mengumpulkan materi referensi mengenai
algoritma yang dapat menyelesaikan masalah rute terpendek dari buku-buku, jurnal
ilmiah, artikel popular.
18
3. Pengumpulan Data
Pengumpulan data dilakukan terhadap data jaringan jalur Tol Trans Jawa, untuk
mendapatkan jarak jalur antar lokasi awal dan lokasi tujuan berdasarkan data Jasa
Marga dan sumber-sumber yang dapat dipercaya.
4. Pemodelan Graf dari Data
Pada tahap ini data dari lokasi tujuan jalur Tol Trans Jawa dibentuk menjadi sebuah
graf berbobot yang memiliki arah.
5. Penerapan Algoritma Floyd-Warshall
Pada tahap ini graf yang telah dibentuk diselesaikan dengan menggunakan algoritma
Floyd-Warshall dengan langkah-langkah sebagi berikut :
Misalkan 𝑊 adalah matriks awal graf berarah berbobot. 𝑊∗ adalah matriks
berbobot terpendek dengan 𝑊𝑖𝑗 sama dengan shortest path dari titik 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 .
i. 𝑊 = 𝐷(0)
ii. untuk 𝑘 = 1 hingga 𝑛, lakukan :
untuk 𝑖 = 1 hingga 𝑛, lakukan :
untuk 𝑗 = 1 hingga 𝑛, lakukan :
iii. 𝑑𝑖𝑗(𝑘)
= min{𝑑𝑖𝑗(𝑘−1)
, 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)
+ 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)
}
iv. 𝑊∗ = 𝐷(𝑘)
6. Hasil Rute
Hasil akhir yang didapatkan dari algoritma Floyd-Warshall yaitu matriks untuk
iterasi ke-𝑛. Dari matriks ke-𝑛, dapat diketahui nilai (shortest path) lintasan
terpendek untuk setiap titik pada suatu graf.
37
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dari bab hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa
algoritma Floyd-Warshall dapat menyelesaikan permasalahan rute terpendek pada
jalur Tol Trans Jawa. Rute terpendek pada jalur Tol Trans Jawa didapatkan dengan
menghitung jarak seluruh jalur atau lintasan yang ada antar daerah yaitu 420 rute
terpendek pada jalur Tol Trans Jawa untuk setiap pasangan titik.
5.2 Saran
Hasil penelitian ini dapat ditindaklajuti melalui :
1. Memperluas cakupan penelitian tidak hanya jalur Tol Trans Jawa, tetapi untuk
semua jalur Tol yang ada di Indonesia, sehingga rute jalur Tol optimal yang akan
dipilih semakin banyak dan dapat menjangkau kepentingan masyarakat luas.
2. Mengembangkan penelitian ini menjadi sebuah aplikasi Android.
38
DAFTAR PUSTAKA
Anggraini, F., dan Mingparwoto, S. 2015. Penerapan Metode Algoritma Bellman-
Ford Dalam Aplikasi Pencarian Lokasi Perseroan Terbatas di PT. Jakarta
Industrial Estate Pulogadung (PT.JIEP). Jurnal Teknologi Universitas
Muhammadiyah Jakarta. 7(1).28-29.
Deo, Narsingh. 1989. Graf Theory With Applications to Engineering and Computer
Science. Prentice Hall of India, New Delhi.
Hasibuan, Ahyar Rival. 2016. Penerapan Algoritma Floyd Warshall Untuk
Menentukan Jalur Terpendek Dalam Pengiriman Barang. Jurnal Riset
Komputer (JURIKOM), 3(6): 20.
Jayanti, Ni Ketut Dewi. 2014. Penggunaan Algoritma Floyd-Warshall dalam
Masalah Jalur Terpendek pada Penentuan Tata Letak Parkir. Prosiding Seminar
Nasional Informatika 2015. STMIK STIKOM, Bali.
M, Rofiq., & Uzzy, R. F. 2014. Penentuan Jalur Terpendek Menuju Café Di Kota
Malang Menggunakan Metode Bellman-Ford dengan Location Based Service
Berbasis Android. Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasi ASIA, 8(2), 49-64.
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Ed. Ke-3. Informatika, Bandung.
Setiawan, V., Kiftiah, M., dan Partiwi, W.D. 2017. Analisis Algoritma Floyd-
Warshall Untuk Menentukan Lintasan Terpendek Pengangkutan Sampah (Studi
Kasus: Pengangkutan Sampah di Kambupaten Kubu Raya). Buletin Ilmiah
Math. Stat. dan Terapaannya (Bimaster). 6(3): 221-230.