PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL …digilib.unila.ac.id/55501/3/SKRIPSI TANPA...

PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL

TRANS JAWA DENGAN MENERAPKAN ALGORITMA FLOYD-

WARSHALL

(Skripsi)

Oleh

MAHARANI DAMAYANTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRACT

DETERMINATION OF THE SHORTEST ROUTE ON OPTIMIZATION

OF TRANS JAVA TOLL ROUTE BY APPLYING ALGORITHM FLOYD-

WARSHALL

By

MAHARANI DAMAYANTI

A connected infrastructure, java trans toll for example, can be seen as a connected

graph. Therefore, for the efficiency of java trans toll usage must be determined the

shortest distance and route. This paperdescribe research result about how to get the

shortest distance and route by regions by using floyd warshall algorithm. With this

algorithm generated the smallest weight from all the route that connect one region

to another (called as a pair of points). Besides, it is also determined for all pairs of

points by points till reaching destination point with the most minimum sum of

weight.simulation to reach this research purpose using software MATLAB.

Key Words: Trans Java Toll Route, Graph, Shortest Route, Floyd-Warshall

ABSTRAK



WARSHALL

Oleh

MAHARANI DAMAYANTI

Sebuah infrastruktur yang terkoneksi, jalur Tol Trans Jawa misalnya, dapat di

pandang sebagai graf terhubung. Oleh karena itu, untuk efisiensi penggunaan Tol

Trans Jawa perlu ditentukan jarak dan rute terpendeknya. Skripsi ini

mendeskripsikan hasil penelitian berkenaan dengan upaya mendapatkan jarak dan

rute terpendek antar daerah dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall.

Dengan algoritma ini dihasilkan bobot terkecil dari semua jalur yang

menghubungkan sebuah daerah dengan daerah lainnya (disebut sebagai pasangan

titik). Selain itu juga ditentukan untuk semua pasangan titik demi titik hingga

mencapai titik tujuan dengan jumlah bobot yang paling minimum. Simulasi dalam

mencapai tujuan penelitian ini menggunakan software MATLAB.

Kata kunci: Jalur Tol Trans Jawa, Graf, Rute Terpendek, Floyd-Warshall



WARSHALL

Oleh

MAHARANI DAMAYANTI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 19 Januari 1997. Penulis

merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Danang Sri Maryadi dan Ibu Sri

Supriyantini, serta kakak dari Ramadhani Dwi Nurcahyo dan Salsabila Octaviani

Damayanti.

Penulis memulai pendidikan dari taman kanak-kanak di TK Fitrah Insani Bandar

Lampung tahun 2001. Pendidikan sekolah dasar di SD Negri 1 Langkapura tahun

2003. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negri 4 Bandar Lampung

tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3 Bandar

Lampung tahun 2012 dan di SMA Negri 7 Bandar Lampung tahun 2013.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai

mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

pada tahun 2015 memalui jalur SBMPTN. Pada periode tahun 2015/2016 penulis

terdaftar sebagai anggota GEMATIKA Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA

Unila. Penulis pernah menjadi anggota bidang Eksternal Himpunan Mahasiswa

Matematika Tahun 2016.

Sebagai bentuk penerapan ilmu perkuliahan, penulis telah melaksanakan Kuliah

Kerja Nyata (KKN) pada tahun 2018 selama 40 hari di desa Mercu Buana, Kec.

Way Kenanga, Kab. Tulang Bawang Barat, Provinsi Lampung. Penulis juga telah

melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Kantor Wilayah Direktorar Jenderal Pajak

Bengkulu dan Lampung selama kurang lebih satu bulan pada tahun 2018.

MOTTO

“Berjanjilah untuk sukses dan berhasil membeli apapun yang kamu mau

Berjanjilah untuk berusaha membanggakan kedua orang tua dengan segala yang kamu

mampu

Karena kau perlu melihat ke atas untuk tau dimana kau berada

Kadang pula kau perlu melihat ke bawah bahwa masih banyak orang tak seberuntung kamu

namun tetap bahagia

Dan tetap melihat ke depan agar tak terjatuh, seperti sebagaimana kau mestinya.

Bersyukur atas apa yang telah kamu punya.”

“ Kita punya dua pilihan. Santai membiarkan semua

mengalir dan silahkan coba tahun-tahun selanjutnya atau

mari berusaha dan berdoa maksimal dan rasakan manisnya

di akhir nanti. Allah selalu menepati janjinya.”

Puji dan syukur kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas hidayah dan kasih

sayang-Nya

Sebuah karya sederhana yang penuh perjuangan telah selesai

Kupersembahkan Skripsi ini untuk :

Papa Danang Sri Maryadi & Mama Sri Supriyantini

Serta

Ramadhani Dwi Nurcahyo

Salsabila Octaviani Damayanti

M Wildan Maulana

Terimakasih atas doa, dukungan, dan semangat yang telah diberikan

Terimakasih atas cinta dan kasih sayang yang telah diberikan

Terimakasih atas kesabaran yang telah diberikan

PERSEMBAHAN

SANWANCANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya,

sehingga penulisan skripsi dengan judul “Penentuan Rute Terpendek Pada

Optimalisasi Jalur Tol Trans Jawa dengan Menerapkan Algoritma Floyd-Warshall”

dapat terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada junjungan kita

Nabi Muhammad SAW, teladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bantuan,

dukungan, bimbingan serta kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini

mampu terselesaikan. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing utama yang telah

memberikan ilmu, semangat, dan motivasi dengan kesabarannya dalam

membimbing hingga skripsi ini terselesaikan.

2. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc.selaku dosen pembimbing pembantu yang

telah membimbing, memberi masukan, dan mengarahkan penulis selama

proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan

kritik dan saran kepada penulis selama proses penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Drs. Suharsono. S, M.S., M.Sc., Ph.D.selaku Pembimbing Akademik.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas

Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.

8. Orang tua dan Adik penulis, serta seluruh keluarga yang senantiasa

memberikan doa, dukungan, penulis untuk memberikan yang terbaik.

9. M. Wildan Maulana yang senantiasa mendoakan, mendukung dan memberi

semangat penulis untuk memberikan yang terbaik.

10. Sahabat-sahabatku Anggun, Atuy, Edwin, Nurah, Thalia dan Tirania serta

teman-teman seperjuangan angkatan 2015 yang telah mendoakan, mendukung,

dan memotivasi penulis dalam melalui proses perkuliahan.

Bandar lampung, Januari 2019

Penulis

Maharani Damayanti

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ................................................................................. i

DAFTAR GAMBAR ............................................................................. ii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian ..................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Dasar Graf ................................................................... 5

2.2 Algoritma Floyd-Warshall ....................................................... 10

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 17

3.2 Metodologi Penelitian............................................................... 17

IV.HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pengumpulan Data ..................................................................... 19

4.2 Pemodelan Graf Dari Data ........................................................ 20

4.3 Penerapan Algoritma Floyd-Warshall ...................................... 24

4.4 Hasil Simulasi Rute .................................................................. 26

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ............................................................................... 37

5.2 Saran ......................................................................................... 37

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Jalur Jaringan Jalur Tol Trans Jawa dan Jarak Untuk Setiap Jalur

Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ........................................................... 20

2. Titik Dari Jaringan Jalur Tol Trans Jawa .......................................... 21

3. Sisi Dari Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ............................................ 22

4. Hasil Simulasi Rute Jalur Tol Trans Jawa ........................................ 26

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Satu Contoh Graf 𝐺 (Graf Sederhana) .............................................. 5

2. Satu Contoh Graf Berarah (Directed graph) ..................................... 6

3. Contoh Tree dengan 5 titik dan 4 sisi ............................................... 6

4. Satu Contoh Graf Berbobot ................................................................ 7

5. Sebuah Graf yang digunakan pada Algoritma Floyd-Warshall ........ 14

6. Jaringan Jalur Tol Trans Jawa ........................................................... 19

7. Pemodelan Graf dari Data ................................................................. 23

8. Pseudocode Algoritma Floyd-Warshall ............................................ 25

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Tol Trans Jawa (Trans Java Toll Road) merupakan salah satu prioritas program

nasional. Diharapkan dengan adanya peningkatan infrastruktur jalur Tol akan memiliki

dampak positif terhadap pembangunan ekonomi dan sosial bagi daerah di Jawa.

Dengan adanya jalur Tol menjadi alternatif pengurangan masalah transportasi,

peningkatan pemerataan pembangunan, dan terjadinya multiplier effect pertumbuhan

perkonomian, baik di tingkat pusat maupun daerah-daerah di Pulau Jawa. Di Pulau

Jawa, Tol Trans Jawa diharapkan dapat menghubungkan antara Jawa bagian barat

hingga bagian timur sehingga lahirnya infrastruktur yang terkoneksi.

Pencarian rute terpendek telah diterapkan diberbagai bidang untuk mengoptimasi

kinerja suatu sistem baik untuk meminimalkan biaya ataupun mempercepat jalurnya

suatu proses. Salah satu aplikasi pencarian rute terpendek yang paling menarik untuk

dibahas adalah masalah transportasi.

2

Ada beberapa metode untuk pencarian rute terpendek yaitu algoritma Djikstra,

algortima Bellman-Ford, algoritma Floyd-Warshall dan sebagainya. Dalam

menemukan rute terpendek algoritma Djikstra lebih cepat namun algoritma Djikstra

yang menerapkan prinsip greedy tidak selalu berhasil memberikan solusi optimum

untuk kasus penentuan lintasan terpendek (single pair shortest path) karena algoritma

Djikstra hanya memikirkan solusi terbaik yang akan diambil pada setiap langkah tanpa

memikirkan konsekuensi ke depan serta algortima Djikstra tidak dapat menangani sisi

graf berbobot negatif (M. Rofiq & Uzzy, 2014). Sedangkan pada algoritma Bellman-

Ford dapat menangani masalah lintasan terpendek (dari satu sumber) yang berawal

pada satu sumber dengan diperbolehkan sisi graf berbobot negatif, namun

membutuhkan waktu yang lebih lama (Anggraini, F., dan Mingparwoto, S, 2015).

Pada algoritma Floyd-Warshall yang menggunakan program dinamis dapat digunakan

dalam penentuan solusi minimum karena algoritma ini dapat membandingkan semua

kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap sisi dari semua titik yang dilewati dan

memperbolehkan adanya sisi graf dengan bobot negatif (Setiawan, V., Kiftiah, M., dan

Partiwi, W.D, 2017).

Dalam bidang transportasi terdapat sejumlah permasalahan yang berdampak langsung

kepada masyarakat. Salah satunya adalah menentukan rute optimal ketika masyarakat

dihadapkan pada banyaknya rute untuk sampai di tempat tujuan dengan efisien dan

efektif. Sebagai studi kasus penelitian ini adalah jalur Tol Trans Jawa. Jalur Tol Trans

Jawa, dalam hal ini jalur penghubung dari Jakarta sampai dengan Surabaya . Dimulai

dari Merak - Jakarta, Jakarta - Cikampek, Cikampek - Palimanan, Palimanan - Kanci,

3

Kanci - Penjagaan, Penjagaan - Pemalang, Pemalang - Batang, Batang - Semarang,

Semarang seksi A,B,C ,Semarang - Solo, Solo - Ngawi, Ngawi - Kertosono, Kertosono

- Mojokerto, Surabaya – Mojokerto, Surabaya - Gempol, Gempol – Pasuruan, Pasuruan

– Purbolinggo, Gempol – Pandaan. Pada kasus ini penentuan rute terpendek dan jarak

antar titik untuk semua pasangan titik sangat diperlukan untuk memberi efisiensi pada

jarak dan waktu yang akan ditempuh serta bahan bakar yang akan digunakan dalam

perjalanan yang akan ditempuh.

Oleh karena hal di atas maka pada penelitian ini akan dianalisa jarak untuk setiap

perjaluran dari semua pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans Jawa dan

menentukan rute terpendek untuk semua pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans

Jawa. Dalam penelitian dibuat sebuah program menggunakan software MATLAB

untuk mempermudah proses iterasi untuk menyelesaikan permasalahan rute terpendek

untuk setiap pasangan titik.

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian yang dilakukan bertujuan menyelesaikan masalah lintasan terpendek pada

jalur Tol Trans Jawa dengan menggunakan algoritma floyd-warshall. Dengan kata lain

dari hasil penelitian ini dapat ditentukan rute dan jarak terpendek untuk semua

pasangan titik yang melalui jalur Tol Trans Jawa.

4

1.3 Manfaat Penelitian

Penelitian ini memberikan manfaat antara lain:

1. Dapat dijadikan acuan jarak dan rute untuk setiap perjaluran yang melewati jalur Tol

Trans Jawa.

2. Dapat dimanfaatkan untuk masyarakat di Pulau Jawa dalam mempertimbangkan

pilihan rute optimal melalui jalur Tol Trans Jawa.

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Dasar Graf

Pada bagian ini akan diberikan konsep-konsep dasar graf yang diambil dari Deo (1989),

graf 𝐺 adalah suatu struktur (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉(𝐺) ={𝑣1, 𝑣2, . . , 𝑣𝑛 } himpunan tak

kosong dengan elemen-elemennya disebut titik, sedangkan 𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}

(mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurut dari elemen-elemen di

𝑉(𝐺) ={(𝑣1, 𝑣2), (𝑣2, 𝑣3), (𝑣3, 𝑣4), … . , (𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛)} yang anggotanya disebut sisi (edge).

Gambar 2.1. Satu Contoh Graf 𝐺 (Graf Sederhana)

𝑣1 𝑣1 𝑣2

𝑣3 𝑣4

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

6

Graf 𝐺 berarah terdiri dari serangkaian titik 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}, serangkaian garis 𝐸 =

{𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}, dan pemetaan yang memetakan setiap sisi ke beberapa pasangan titik

(𝑣𝑖, 𝑣𝑗}.

Gambar 2.2 Satu Contoh Graf Berarah (Directed graph)

Graf sederhana adalah graf yang tidak memuat sisi paralel dan loop (contoh pada

Gambar 2.1). Pohon (Tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat sirkuit.

Gambar 2.3 Contoh Tree dengan 5 titik dan 4 sisi

Graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot), bobot pada setiap sisi dapat

berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf. Bobot dapat

dinyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjaluran antara dua buah kota, waktu

𝑣1

𝑣4 𝑣3

𝑣 5 𝑣 4

𝑣 3 𝑣 2

𝑣 1

𝑒 4 𝑒 3

𝑒 2 𝑒 1

𝑣2

7

tempuh pesan (message) dari buah titik komunikasi ke jaringan computer, dan ongkos

produksi (Munir, 2001).

Bila sisi 𝑒 dalam graf 𝐺 dikaitkan dengan sebuah bilangan real 𝑊(𝑒) disebut bobot

(weight) dari 𝑒. Bobot dari sebuah graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑊(𝐺). Sebuah graf

yang setiap sisinya dikaitkan dengan bilangan real disebut graf bobot.

Contoh 2.1

Berikut ini adalah graf berbobot dengan ketentuan sebagai berikut :

(𝑣1, 𝑣2) = 19, (𝑣2, 𝑣3) = 8, (𝑣1, 𝑣4) = 10, (𝑣2, 𝑣4) = 4, (𝑣4. 𝑣5)=1,8 ,

(𝑣4, 𝑣3) = 3, (𝑣3, 𝑣5) = 6, (𝑣3, 𝑣6) = 15, (𝑣5, 𝑣6) = 5.

Berdasarkan titik yang sudah diketahui maka dapat digambarkan graf berbobot sebagai

berikut :

Gambar 2.4. Satu Contoh Graf Berbobot

Derajat suatu titik adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Misalkan 𝑣

adalah titik dalam suatu graf 𝐺. Derajat titik 𝑣 atau titik 𝑑(𝑣) adalah jumlah garis (sisi)

8

yang berhubungan dengan titik 𝑣 dan loop dihitung dua kali. Derajat total 𝐺 adalah

jumlah derajat semua titik dengan 𝐺 (Siang, 2006).

Derajat suatu titik pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titik

tersebut. Derajat pada graf berarah terdiri dari 𝑑𝑖𝑛(𝑣) dan 𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣). 𝑑𝑖𝑛(𝑣) adalah

derajat masuk (in-degree) yaitu jumlah busur yang masuk ke titik 𝑣. Sedangkan

𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣) adalah derajat keluar (out-degree) yaitu jumlah busur yang keluar dari titik 𝑣,

dengan : 𝑑(𝑣) = 𝑑𝑖𝑛(𝑣) + 𝑑𝑜𝑢𝑡(𝑣) (Siang,2006).

Suatu graf dapat direpresentasikan melaluin matriks. Representasi graf yang

dimaksud diantaranya : (Munir,2001)

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matriks)

Matriks ketetanggaan adalah representasi graf paling umum. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸)

adalah graf dengan 𝑛 titik 𝑛 ≥ 1. Bila matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] maka [𝑎𝑖𝑗] = 1 jika titik

𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗 bertetangga. Berlaku juga pada garf berbobot, 𝑎𝑖𝑗 menyatakan bobot tiap

sisi yang menghubungkan titik 𝑖 dengan titik 𝑗. Tanda ‘’∞” menyatakan bahwa tidak

ada sisi dari titik 𝑖 ke titik 𝑗atau dari titik 𝑖 ke titik 𝑖 itu sendiri, sehingga diberi nilai

tak berhingga. Pernyataan tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut :

𝑎𝑖𝑗 {1,0,

jika bertetangga (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)

jika tidak bertetangga (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)

9

2. Matriks Bersisian (Incidency matrix)

Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf dengan 𝑛 titik dan 𝑚 buah sisi. Matriks bersisian

𝐺 adalah matriks dwimatra yang berukuran 𝑚 × 𝑛. Baris menunjukkan label titik,

sedangkan kolom menunjukkan label sisinya. Apabila matriks tersebut dinamakan

𝐴 = [𝑚𝑖𝑗], maka 𝑚𝑖𝑗 = 1 jika titik 𝑖 bersisian dengan sisi 𝑗, sebaliknya 𝑚𝑖𝑗 = 0 jika

titik 𝑖 tidak bersisian dengan titik 𝑗. Pernyataan tersebut dapat dinotasikan sebagi

berikut :

𝑚𝑖𝑗 = {1,0,

jika ada sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)

jika tidak ada sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗)

Representasi matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf. Lintasan

terpendek merupakan salah satu dari masalah yang dapat diselesaikan dengan graf.

Jika diberikan sebuah graf berbobot, masalah lintasan terpendek adalah upaya mencari

sebuah jalur pada graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut

(Deo,1989).

Terdapat beberapa macam persoalan lintasan terpendek antara lain :

a. Lintasan terpendek antara dua buah titik tertentu (a pair shortets path).

b. Lintasan terpendek antara semua pasangan titik (all pairs shortest path).

c. Lintasan terpendek dari titik tertentu ke semua titik yang lain (single source shortest

path).

d. Lintasan terpendek antara dua buah titik yang melalui beberapa titik tertentu

(intermediate shortest path).

10

Beberapa Algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini adalah

algoritma Djikstra, algoritma Bellman-Ford, dan algoritma Floyd-Warshall. Setiap

algoritma penyelesaian persoalan lintasan terpendek memiliki kriteria masing-masing.

Kompleksitas waktu asimptotik algoritma, kekurangan, serta kelebihan masing-masing

algoritma.

2.2 Algoritma Floyd-Warshall

Algoritma Floyd-Warshall ditemukan oleh R. Floyd pada tahun 1962. Algoritma

Floyd-Warshall adalah salah satu pemrograman dinamis, yaitu suatu metode yang

melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh

sebagai suatu keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk

dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih dari

satu. Algoritma floyd-warshall merupakan algoritma yang mengambil jarak minimal

dari suatu titik ke titik lainnya. Pada algoritma ini menerapkan suatu algoritma dinamis

yang menyebabkan akan mengambil jarak lintasan terpendek secara benar (Hasibuan,

2016).

Algoritma yang ditemukan oleh Warshall untuk mencari rute terpendek merupakan

algoritma yang sederhana dan mudah implementasinya. Algoritma Floyd-Warshall

memiliki input graf berarah dan berbobot (𝑉, 𝐸), yang berupa daftar titik (node/titik 𝑉)

dan daftar sisi (sisi 𝐸). Bobot garis e dapat diberi simbol 𝑊(𝑒). Jumlah bobot sisi-sisi

11

pada sebuah jalur adalah total bobot jalur tersebut. Sisi pada 𝐸 diperbolehkan memiliki

bobot negatif, akan tetapi tidak diperbolehkan bagi graf 𝑊𝑖𝑗 untuk memiliki siklus

dengan bobot negatif. Algoritma ini menghitung bobot terkecil dari semua jalur yang

menghubungkan sebuah pasangan titik, dan melakukannya sekaligus untuk semua

pasangan titik demi titik hingga mencapai titik tujuan dengan jumlah bobot yang paling

minimum.

Mekanisme algoritma Floyd-Warshall dalam menentukan lintasan terpendek terdiri

dari beberapa langkah yang harus dilaksanakan antara lain (Jayanti, 2014) :

1. Merepresentasikan suatu graf sebagai suatu matriks berbobot. Dimana bobot untuk

setiap sisi adalah

𝑊𝑖𝑗 = {1,

𝑊(𝑖, 𝑗),∞,

jika 𝑖 = 𝑗 jika 𝑖 ≠ 𝑗 dan (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸

jika 𝑖 ≠ 𝑗 dan (𝑖, 𝑗) ∉ 𝐸

Format output berupa matriks 𝑛 𝑥 𝑛 berjarak 𝐷 = [𝑑𝑖𝑗] dimana 𝑑𝑖𝑗 adalah jarak

dari titik 𝑖 ke 𝑗.

2. Melakukan dekomposisi algoritma Floyd-Warshall sebagai berikut.

𝑑𝑖𝑗(𝑘)

merupakan panjang dari lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗, sehingga semua

titik intermediate yang terdapat pada lintasan (jika ada) terkumpul pada

{1,2, … , 𝑘}.

𝑑𝑖𝑗(0)

dikumpulkan pada 𝑊𝑖𝑗 yaitu tidak ada titik intermediate

𝑑 (𝑘) menjadi matriks 𝑛 𝑥 𝑛 [𝑑𝑖𝑗

(𝑘)]

12

Tentukan 𝑑𝑖𝑗(𝑛)

sebagai jarak dari 𝑖 ke 𝑗 kemudian hitung 𝑑 (𝑛)

Hitung 𝑑 (𝑘) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑛

3. Menentukan susunan lintasan terpendek, yaitu dengan dilakukan dua pengamatan

terlebih dahulu sebelum melangkah lebih jauh

Sebuah lintasan terpendek tidak berisi titik yang sama sebanyak dua kali

Untuk sebuah lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗 dengan beberapa titik intermediate

pada path dipilih dari kumpulan {1,2, … , 𝑘} dengan dua kemungkinan, yaitu

a. 𝑘 bukan merupakan titik pada lintasan ( lintasan terpendek memiliki

panjang 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)

).

b. 𝑘 merupakan titik pada lintasan (lintasan terpendek memiliki panjang

𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)

+ 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)

).

Setelah melakukan pengamatan di atas, kemudian dilakukan penetuan

lintasan terpendek dari 𝑖 ke 𝑗 yang memuat titik 𝑘.

lintasan terpendek tersebut memuat sebuah lintasan bagian dari 𝑖 ke 𝑘 dan

sebuah lintasan bagian dari 𝑘 ke 𝑗.

Setiap lintasan bagian hanya bisa memuat titik intermediate pada {1, … , 𝑘 −

1} dan memiliki nilai terkecil, kemudian sebut sebagai 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)

dan 𝑑𝑘𝑗(𝑘−1)

sehingga lintasan memiliki panjang 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)


.

4. Melakukan iterasi yang dimulai dari iterasi ke 0 sampai dengan 𝑛. Perhitungan

yang dilakukan yaitu :

Menentukan 𝐷(0) atau iterasi ke 0 =[𝑊𝑖𝑗] merupakan matriks berbobot

13

Menentukan 𝐷(𝑘) dapat dicari dengan menggunakan rumus

𝑑𝑖𝑗(𝑘)

= min{𝑑𝑖𝑗(𝑘−1)

, 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)


} , untuk 𝑘 = 1, … , 𝑛 dimana 𝑛 adalah

jumlah titik.

Dalam iterasinya untuk mencari lintasan terpendek, algoritma Floyd-Warshall

membentuk 𝑛 matriks, sesuai dengan iterasi-𝑘. Ini akan menyebabkan prosesnya

lambat, terutama untuk nilai 𝑛 yang besar. Meskipun waktu prosesnya bukanlah yang

tercepat, algoritma Floyd-Warshall sering digunakan untuk menghitung lintasan

terpendek karena kesederhanaannya. Selain itu, implementasi algoritma Floyd-

Warshall sangat mudah dibuat.

Matriks keterhubungan W yang digunakan untuk menyatakan graf berarah berbobot

sama dengan matriks yang digunakan untuk menyatakan graf berbobot, yaitu elemen-

elemennya menyatakan bobot garis. Secara umum matriks keterhubungan untuk

menyatakan graf berarah berbobot tidaklah simetris karena bobot garis dari titik 𝑣𝑖 ke

𝑣𝑗 (𝑊𝑖,𝑗) tidak sama dengan bobot garis dari titik 𝑣𝑗 ke 𝑣𝑖 (= 𝑊𝑗,𝑖) dan 𝑊𝑖,𝑖 = ∞ untuk

semua 𝑖.

Salah satu contoh dari penerapan algoritma Floyd-Warshall adalah sebagai berikut:

14

Gambar 2.5. Sebuah Graf yang digunakan pada Algoritma Floyd-Warshall

Dari Gambar 2.5 dapat dibentuk sebuah matriks 𝑛 𝑥 𝑛 yang berisi nilai sisi untuk setiap

pasangan titik sebagai berikut :

𝑊 = 𝐷(0) =

Untuk Itersasi ke-1, k=1 pada baris ke 1

– 𝑑11 =min(0,0+0)=0

– 𝑑12 =min(3,0+3)=3

– 𝑑13=min(7,0+7)=7

– 𝑑14 =min(4,0+4)=4

– 𝑑15 =min(∞,0+∞)=∞

– 𝑑16=min(∞,0+∞)=∞

Dengan cara yang sama pada k=1, maka dapat diuraikan matriks untuk iterasi ke-1

adalah sebagai berikut

15

𝑊 = 𝐷(1) =

[ 0 3 7 4 ∞ ∞3 0 2 7 ∞ 97 2 0 1 3 64 7 1 0 3 ∞∞ ∞ 3 3 0 3∞ 9 6 ∞ 3 0 ]

Matriks untuk iterasi ke-2 adalah

𝑊 = 𝐷(2) =

[ 0 3 5 4 ∞ 123 0 2 7 ∞ 95 2 0 1 3 64 7 1 0 3 16∞ ∞ 3 3 0 312 9 6 16 3 0 ]


𝑊 = 𝐷(3) =

[ 0 3 5 4 8 113 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 78 5 3 3 0 311 8 6 7 3 0 ]


𝑊 = 𝐷(4) =

[ 0 3 5 4 7 113 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 77 5 3 3 0 311 8 6 7 3 0 ]


𝑊 = 𝐷(5) =

[ 0 3 5 4 7 103 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 67 5 3 3 0 310 8 6 6 3 0 ]


16

𝑊 = 𝐷(6) =

[ 0 3 5 4 7 103 0 2 3 5 85 2 0 1 3 64 3 1 0 3 67 5 3 3 0 310 8 6 6 3 0 ]

Dari hasil iterasi ke-6 atau 𝐷(6) yang di asosiasi dengan graf pada Gambar 2.5 dapat

diperoleh hasil sebagai berikut.

– Lintasan terpendek dari 1 ke 2 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑12 =3

– Lintasan terpendek dari 1 ke 3 dan sebaliknya, lewat intermediate 2𝑑13=5

– Lintasan terpendek dari 1 ke 4 dan sebaliknya, tidak ada intermediate𝑑14=4


– Lintasan terpendek dari 1 ke 6 dan sebaliknya, lewat intermediate 4,5 𝑑16=10


– Lintasan terpendek dari 2 ke 4 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑24 =3

– Lintasan terpendek dari 2 ke 5 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑25 =5

– Lintasan terpendek dari 2 ke 6 dan sebaliknya, lewat intermediate 3𝑑26= 8

– Lintasan terpendek dari 3 ke 4 dan sebaliknya, tidak ada intermediate 𝑑34=1


– Lintasan terpendek dari 3 ke 6 dan sebaliknya, tidak ada intermediate 𝑑36=6




17

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian telah dilaksanakan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metodologi Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan studi literatur dengan langkah-langkah sebagai

berikut :

1. Mendefinisikan Masalah

Mendefinisikan masalah ialah tahapan dalam menetapkan permasalah yang

berhubungan dengan penentuan rute terpendek.

2. Studi Literatur

Studi literatur ialah tahapan dalam mengumpulkan materi referensi mengenai

algoritma yang dapat menyelesaikan masalah rute terpendek dari buku-buku, jurnal

ilmiah, artikel popular.

18

3. Pengumpulan Data

Pengumpulan data dilakukan terhadap data jaringan jalur Tol Trans Jawa, untuk

mendapatkan jarak jalur antar lokasi awal dan lokasi tujuan berdasarkan data Jasa

Marga dan sumber-sumber yang dapat dipercaya.

4. Pemodelan Graf dari Data

Pada tahap ini data dari lokasi tujuan jalur Tol Trans Jawa dibentuk menjadi sebuah

graf berbobot yang memiliki arah.

5. Penerapan Algoritma Floyd-Warshall

Pada tahap ini graf yang telah dibentuk diselesaikan dengan menggunakan algoritma

Floyd-Warshall dengan langkah-langkah sebagi berikut :

Misalkan 𝑊 adalah matriks awal graf berarah berbobot. 𝑊∗ adalah matriks

berbobot terpendek dengan 𝑊𝑖𝑗 sama dengan shortest path dari titik 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 .

i. 𝑊 = 𝐷(0)

ii. untuk 𝑘 = 1 hingga 𝑛, lakukan :

untuk 𝑖 = 1 hingga 𝑛, lakukan :

untuk 𝑗 = 1 hingga 𝑛, lakukan :

iii. 𝑑𝑖𝑗(𝑘)

= min{𝑑𝑖𝑗(𝑘−1)

, 𝑑𝑖𝑘(𝑘−1)


}

iv. 𝑊∗ = 𝐷(𝑘)

6. Hasil Rute

Hasil akhir yang didapatkan dari algoritma Floyd-Warshall yaitu matriks untuk

iterasi ke-𝑛. Dari matriks ke-𝑛, dapat diketahui nilai (shortest path) lintasan

terpendek untuk setiap titik pada suatu graf.

37

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari bab hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa

algoritma Floyd-Warshall dapat menyelesaikan permasalahan rute terpendek pada

jalur Tol Trans Jawa. Rute terpendek pada jalur Tol Trans Jawa didapatkan dengan

menghitung jarak seluruh jalur atau lintasan yang ada antar daerah yaitu 420 rute

terpendek pada jalur Tol Trans Jawa untuk setiap pasangan titik.

5.2 Saran

Hasil penelitian ini dapat ditindaklajuti melalui :

1. Memperluas cakupan penelitian tidak hanya jalur Tol Trans Jawa, tetapi untuk

semua jalur Tol yang ada di Indonesia, sehingga rute jalur Tol optimal yang akan

dipilih semakin banyak dan dapat menjangkau kepentingan masyarakat luas.

2. Mengembangkan penelitian ini menjadi sebuah aplikasi Android.

38

DAFTAR PUSTAKA

Anggraini, F., dan Mingparwoto, S. 2015. Penerapan Metode Algoritma Bellman-

Ford Dalam Aplikasi Pencarian Lokasi Perseroan Terbatas di PT. Jakarta

Industrial Estate Pulogadung (PT.JIEP). Jurnal Teknologi Universitas

Muhammadiyah Jakarta. 7(1).28-29.

Deo, Narsingh. 1989. Graf Theory With Applications to Engineering and Computer

Science. Prentice Hall of India, New Delhi.

Hasibuan, Ahyar Rival. 2016. Penerapan Algoritma Floyd Warshall Untuk

Menentukan Jalur Terpendek Dalam Pengiriman Barang. Jurnal Riset

Komputer (JURIKOM), 3(6): 20.

Jayanti, Ni Ketut Dewi. 2014. Penggunaan Algoritma Floyd-Warshall dalam

Masalah Jalur Terpendek pada Penentuan Tata Letak Parkir. Prosiding Seminar

Nasional Informatika 2015. STMIK STIKOM, Bali.

M, Rofiq., & Uzzy, R. F. 2014. Penentuan Jalur Terpendek Menuju Café Di Kota

Malang Menggunakan Metode Bellman-Ford dengan Location Based Service

Berbasis Android. Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasi ASIA, 8(2), 49-64.

Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Ed. Ke-3. Informatika, Bandung.

Setiawan, V., Kiftiah, M., dan Partiwi, W.D. 2017. Analisis Algoritma Floyd-

Warshall Untuk Menentukan Lintasan Terpendek Pengangkutan Sampah (Studi

Kasus: Pengangkutan Sampah di Kambupaten Kubu Raya). Buletin Ilmiah

Math. Stat. dan Terapaannya (Bimaster). 6(3): 221-230.

39

Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.

Andi, Yogyakarta.

PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL …digilib.unila.ac.id/55501/3/SKRIPSI TANPA...

Documents

Transcript of PENENTUAN RUTE TERPENDEK PADA OPTIMALISASI JALUR TOL …digilib.unila.ac.id/55501/3/SKRIPSI TANPA...