Post on 19-Jun-2020
25 11 15 11 16B 2 B210
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/mpm/
Mathematics and Phenomena in Miyazaki 2013
25 11 15 16
Mathematics and Phenomena in Miyazaki 2013 ( MPM2013)
PDEs and Phenomena
in Miyazaki ( PPM) 11
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/mpm/
25
2014 1
1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–23
2.
Motion of a Vortex Filament in an External Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–29
3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30–40
4. MPM2013
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–50
5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51–57
6.
Weighted Lp − Lq estimates of Stokes semigroup
in some unbounded domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58–71
7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–76
* PPM2003 PPM2011, MPM2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77–96
Mathematics and Phenomena
in Miyazaki 2013 ( MPM2013)
2013 11 15 11 16
B 2 B210
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/mpm/
11 15
14:00-14:55
15:15-16:10
Motion of a Vortex Filament in an External Flow
16:30-17:25
11 16
� MPM2013 �10:15-12:15
3
8:21 8:54 8:41 9:18 9:11 9:52 9:21 9:54 9:41 10:18
14:00-14:55
15:15-16:10
Weighted Lp − Lq estimates of Stokes semigroup in some unbounded domain
16:30-17:25
24540216 C
25400178 C
23740099 B
25800095 B Lotka-Volterra
25
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
2013.10.10
2013 11 15 11 16 Mathematics and Phenomena in Miyazaki 2013 (MPM2013)
@ B 2 B210
Akiyasu Tomoeda
Self-introduction “Akiyasu Tomoeda”
• Research Topics (1) “Jamology”
–
–
–
1
Self-introduction “Akiyasu Tomoeda”
• Research Topics (2) “Computational Illusion”–
–
–
–
Jamology
––
––– CA
x1n n 1n
2
3
“ ” (Jam + ology) “ ” (Self Driven Particles)
• Vehicles : Car, Bus, Train, Airplane, … • Pedestrians : Evacuation, Queue, … • Logistics : Transportation problem, Production line, … • Swarm, Animals : Ants, Bird, Fish, … • Jams in human body : Blood, Kinesin, Ribosome, … • Camphor boats • Internet packet transportation • Infectious disease, Forest fire, Economic, …
2013 9 28
3,360
4
“ ”
–
» 2km » 5
– 2 » 7m » » 2
– ( /5min) : 5 – (km/5min) : 5
2 7m
vQ
Q v /km
5
–
» 20km
– » 30km
– » 40km 1km 15
– » 10km
v
Jam Jam Jam
– (Q) ( ) – ( )
(45kp)
Jam Free
Q v
Q
» 80km
» -20km
( ) »
( )
»
6
Q
Q(45kp)
Expressway in Canada F. L. Hall, et. Al, Transp. Res. A 20 (1986) 197
Q
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40 50 60
Flow
Rat
e /
boat
sm
in1
Number of Camphor Boat
Density (persons/m^2)
Flow
(per
sons
/(m .s
))
Jam Free
Jam Free
Jam Free Free
N.J. Suematsu et al., Phys. Rev. E 81, 056210 (2010). A. John et al., Phys.Rev.Lett., 102, 108001 (2009)
7
.10
ETC † (Electronic Toll Collection System)
ETC
NEXCO (http://www.e-nexco.co.jp/activity/maint/congestion/mechanism.html)
† ETC 2007 11 2000 ( 70% ) (Wikipedia)
8
(sag) =
1. 2. 3. ( )4. ( )
( )
(Phantom Jam)
(Phantom Jam)
(2003) Y. Sugiyama, et. al., New Journal of Physics 10, 033001 (2008).
Bottleneck
• km/h
9
(2003) Y. Sugiyama, et. al., New Journal of Physics 10, 033001 (2008).
–
– ( )
† ( 1989)
–
20km/h†
10
11
(45kp)
Jam Free
Q
» 80km
» -20km
( ) »
( )
»
Several approaches based on Particles, Time and Space – Fluid Dynamical Model
– Car-Following Model
– Cellular Automaton Model
Model Particle Time Space
Fluid Dynamical Model
Continuous (Macroscopic) Continuous Continuous
Car-Following Model Discrete
(Microscopic) Cellular Automaton Model Discrete Discrete
x
x1i i 1i
ii
dx V xdt
2
2i i
id x dxa V xdt dt
x1n n 1n
[ 1]. { [ ]. 0;}{ [ ]. 1;}
if cell n car true cell n velelse cell n vel
2
2
u u uut x x
vt t
12
( ) = ( ) ( )
Q vx
V
Q
V
/sec /h :
/m /km :
m/sec km/h :
(Q)V
– (Kinematic Wave )
xdx
x dxxin out
Q x Q x dxt
xQxQxQ )()(
xQ
In Out
)(xQ
( ) ( ) ( )optVQ x x x
0Qt x
13
Greenshield
optV
B. D. Greenshields, Proceedins of the Highway Research Board, Washington D.C., 14 (1935), 448.
(Optimal Velocity)
0max
( ) 1optV V
Kinematic Wave Theory
– Viscous Burgers Equation (LWR Model)
: ( , )Density x t
G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves (John Wiley and Sons, New York, 1974)
2
0 2max
1 2V Dt x x
x
max
1
vSW propagates backward
max 20
max1 1 2
0
2(h )tan 1Dc c x t cV
cV
14
Dynamical Wave Theory
– Conservation law of vehicles
– Motion of vehicles
anticipation term relaxation term
: ( , )Density x t: ( , )Velocity V x t
optVV
x
21 ( )optV VV
xa
xV V
t
( ) 0Vt x
H. J .Payne, in Mathematical Models of Public Systems, 51 (1971). B. S. Kerner and P. Konhäuser, Phys. Rev. E 48, R2335 (1993). A. Tomoeda, et al., JSIAM Letters, 1, 72 (2009).
Car-following model
– Newell Model »
– Optimal Velocity Model »
G.F.Newell, Oper, Res., 9 (1961) p.209
)()( 1 nnn xxVtxdtd
nx 1nx x
h
Bando, et al, J.Phy. I 5 (1995) p.1389
2
12
1 ( )n nn n
d x dxV x xdt dt
)(hV
D.Shamoto, A. Tomoeda, R. Nishi and K. Nishinari, PRE, 046105 (2011)
15
OV
Optimal Velocity model
)(hVh
)(hV
2
12
1 ( )n nn n
d x dxV x xdt dt
Bando, et al, J.Phy. I 5 (1995) p.1389
nx 1nx x
h
2)( a
dkkdV /1a
–
–
Cellular Automaton, CA
m F
a ma F
16
( )
pp
pp0 0 01 1 1 1 1
(update rule)
184CA†
x1n n 1n
[ ]. {[ 1]. 0;
}{
[ 1]. 1;}
if cell n car truecell n vel
elsecell n vel
example
11 1min( ,1 ) min( ,1 )t t t t t t
j j j j j jU U U U U U
†Burgers Cellular Automaton (L=1)
17
184CA†
t
t+1 Time
t+2
t+3 Direction Deterministic!
184CA†
184 – “1” ( !!) – ( ) ( !!)
18
Burgers Burgers
–
– BCA L=1 Rule-184CA – Burgers – CA Max-plus
0lim log exp exp max , min ,A B A B A B
ASEP (Asymmetric Simple Exclusion Process)
P=1 184CA!!
1 1 1 4 (1 )2
Q P
pp p
:P
:
:Q
B. Derrida et al. JPA 26, 1493 (1993). Parallel
19
CA
2013 9 28
3,360
20
Q.
Answer (Concept in 1d case) : “Slow-in Fast-out”
• “Slow-in” – The action to avoid being captured by a jam and remove it by
decelerating and taking a longer headway in advance.
• ‘‘fast-out’’ – The action to follow the car in front without unnecessary time
gaps by accelerating quickly.
slow-in
fast-out
21
Answer (Concept in 1d case) : “Slow-in Fast-out”
• “Slow-in” – The action to avoid being captured by a jam and remove it by
decelerating and taking a longer headway in advance.
• ‘‘fast-out’’ – The action to follow the car in front without unnecessary time
gaps by accelerating quickly.
slow-in fast-out
20 25 /km – free flow
– 40m
[Point]
( )
Q v Q v
!!
25 /km = 40m
22
Jamology – –
–
–
– CA
– 40m 70km/h
JST CREST
(RCAST)
Acknowledgements
Thank you for your attention.
23
Motion of a Vortex Filament
in an External Flow
/
Abstract
Localized Induction Equation(LIE)
1
1858 Helmholtz[1]ω v ω = ∇× v
Figure 1:
1
24
2
1906 Da Rios[2]Localized Induction Equation (LIE) LIE
Xt = Xs ×Xss(1)
X = (X1(s, t),X2(s, t),X3(s, t)) ts ×
LIE[3]
[4, 5] (1)Schrodinger Banica
and Vega[6, 7] Gutierrez, Rivas, and Vega[8] (1)[9] (1)
(1) F
Xt =Xξ ×Xξξ
|Xξ|3 + F (X, t)(2)
(1) (2)
ξ LIE |Xξ|−3 (2)[10]
3
X(s, t)
F (·, t)
(2)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Xt =
Xξ ×Xξξ
|Xξ|3 + F (X, t), ξ ∈ T (:= R/Z), t > 0,
X(ξ, 0) = X0(ξ), ξ ∈ T.(3)
(3)
2
25
3.1 m ≥ 4 T > 0 X0 X0 ∈ Hm(T) |X0ξ| ≡ 1 FF ∈ C
([0, T ];Wm,∞(R3)
)T0 ∈ (0, T ]
X ∈ C([0, T0];H
m(T)) ∩ C1
([0, T0];H
m−2(T))
(3)
4
LIE v := Xξ (2) ξ
vt = fv × vξξ + fξv × vξ + (DF )v(4)
f =1
|v|3 F (X, t)
Hm k ≥ 3 (4) ξ k vk := ∂kξ v
vkt ∼ fv × vk
ξξ + (k + 1)fvξ × vkξ + kfξv × vk
ξ
vk L2 v k∼
vk regularity loss
Loss vk v
vk = (v·vk)|v|2 v − 1
|v|2 v × (v × vk)(5)
hk := v · vk,
zk := v × vk
hk zk L2 hk zk
(5) v, X
4.1 hk
(4) v
v · vt = v · ((DF )v)
ξ k [hk + k(vξ · ∂k−1
ξ v)]t∼ 0
hk vξ · ∂k−1ξ v hk
L2
3
26
4.2 zk
zk = v × vk t
zkt ∼ fv × zk
ξξ + (k − 2)fv × (vξ × vkξ ) + (k + 1)fξv × zk
ξ(6)
zk
hk zk
v × (vξ × vkξ ) = (v · vk
ξ )vξ − (v · vξ)vkξ
∼ hkξvξ − (v · vξ)v
kξ
vkξ vk
ξ (5)
vkξ =
(v · vkξ )
|v|2 v − 1
|v|2 v × (v × vkξ )
∼ hkξ
|v|2v − 1
|v|2 v × zkξ
v × (vξ × vkξ ) ∼ hk
ξ
(vξ − (v · vξ)
|v|2 v
)+
(v · vξ)
|v|2 v × zkξ
= − hkξ
|v|2 [v × (v × vξ)] +(v · vξ)
|v|2 v × zkξ
(6)
zkt ∼ fv × zk
ξξ − (k − 2)fhkξ
|v|2v × (v × vξ)
+
{(k − 2)f
(v · vξ)
|v|2 + (k + 1)fξ
}v × zk
ξ
= fv × {zkξξ − (k − 2)
hkξ
|v|2v × vξ
}+
{(k − 2)f
(v · vξ)
|v|2 + (k + 1)fξ
}v × zk
ξ
(7)
hk
hkξv × vξ = (v · ∂k
ξ v)ξv × vξ
∼ {(v · ∂kξ v)v × vξ
}ξ
∼{(v · ∂k−1
ξ v)v × vξ
}ξξ
zkξξ − (k − 2)
hkξ
|v|2 v × vξ ∼{zk − (k − 2)
|v|2 (v · ∂k−1ξ v)v × vξ
}ξξ
4
27
uk := zk − (k − 2)
|v|2 (v · ∂k−1ξ v)v × vξ uk ∼ zk (7) uk
ukt ∼ fv × uk
ξξ +
{(k − 2)f
(v · vξ)
|v|2 + (k + 1)fξ
}v × uk
ξ(8)
a = a(ξ, t) uk = awk a v ×ukξ
uk = awk (8)
atwk + awk
t ∼ afv ×wkξξ + 2aξfv ×wk
ξ
+ a
{(k − 2)f
(v · vξ)
|v|2 + (k + 1)fξ
}v ×wk
ξ
v ×wkξ
2aξf + a
{(k − 2)f
(v · vξ)
|v|2 + (k + 1)fξ
}= 0
a 2af a
(log a)ξ = −{(k − 2)
4(log |v|2)ξ + (k + 1)
2(log f)ξ
}ξ
a = |v|− (k−2)2 f− (k+1)
2 = |v|−2k+76
a wk ∼ uk
wkt ∼ fv ×wk
ξξ
qk := wkξ
qkt ∼ (fv × qk
ξ )ξ
1
2
d
dt‖qk‖2 = (qk, (fv × qk
ξ )ξ) + (qk,Gk) = (qk,Gk) ≤ C‖q‖n(k)
Gk L2(T) (·, ·) ‖ · ‖2 = (·, ·)n(k) k n(k) > 2
Gk hk qk
Gronwall
zk qk zk
hk XX �.
References
[1] H. von Helmholtz, Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche der Wirbelbewegungentsprechen, J. fur die reine und angewandte Mathematik, 52 (1858), pp. 297–392.
[2] L. S. Da Rios, Sul Moto D’un Liquido Indefinito Con Un Filetto Vorticoso Di Forma Qualunque,Rend. Circ. Mat. Palermo, 22 (1906), No.1, pp. 117-135 (written in Italian).
5
28
[3] T. Nishiyama and A. Tani, Initial and Initial-Boundary Value Problems for a Vortex Filament withor without Axial Flow, SIAM J. Math. Anal., 27 (1996), no. 4, pp. 1015–1023.
[4] N. Koiso, The Vortex Filament Equation and a Semilinear Schrodinger Equation in a HermitianSymmetric Space, Osaka J. Math., 34 (1997), No.1, pp. 199–214.
[5] N. Koiso, Long Time Existence for Vortex Filament Equation in a Riemannian Manifold, Osaka J.Math., 45 (2008), No. 2, pp. 265–271.
[6] V. Banica and L. Vega, On the Stability of a Singular Vortex Dynamics, Commun. Math. Phys.,286(2009), pp. 593–627.
[7] V. Banica and L. Vega, Scattering for 1D cubic NLS and singular vortex dynamics, J. Eur. Math.Soc., 14(2012), pp. 209–253.
[8] S. Gutierrez, J. Rivas, and L. Vega, Formation of Singularities and Self-Similar Vortex Motion Underthe Locoalized Induction Approximation, Comm. Partial Differential Equations, 28(2003), no. 5 and6, pp. 927–968.
[9] M. Aiki and T. Iguchi, Motion of a Vortex Filament in the Half-Space, Nonlinear Anal., 75 (2012),pp. 5180–5185.
[10] Nishiyama, On the motion of a vortex filament in an external flow according to the localized inductionapproximation, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 129 (1999), no. 3, pp. 617–626.
6
29
Kinta Hatakeyama
Key Word : Atherosclerosis, Histopathology, Inflammation, Macrophage, Thrombus 889-1692 5200 TEL:0985-85-2810 FAX:0985-85-7614 E-mail : kpathol@fc.miyazaki-u.ac.jp
23 3 1
ASO
T
30
A20-30
B30
T
31
( T ) (
)
303
1 2 3
32
PAI-1Plasminogen Activator Inhibitor-1 CD39
Hansson GK: Inflammation, atherosclerosis, and coronary artery disease. N Engl J Med 2005;352:1685-95.
Falk E, et al : Update on acute coronary syndromes: the pathologists' view. Eur Heart J. 2013; 34: 719-28.
Hatakeyama K, et al : Localization and activity of tissue factor in human aortic atherosclerotic lesions. Atherosclerosis 1997;133:213-9.
Hatakeyama K, et al : Podoplanin expression in advanced atherosclerotic lesions of human aortas. Thromb Res 2012;129:e70-6.
33
34
4
35
5
LC
FC
L
LC FC L
6
36
7
8
I I
I
A B
37
9
10
38
11
12
39
1340
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
[1]1
2
99 11
9
270mm
AC200V 750W
212mm
My =282 mm, Mz =164mm
X Y Z
(U +u, v,w) U (u, v,w)
1
2
51
7 D
17.0m 2.54m_ 1.80m
Y-Z
SYSTEM7000 Kanomax CTA-1011 5 m 1mm X (
model1241) I ( model 1210) A-D
FFT
[1]
3
u v
v
u
X =5.0 m, D = 6.6 m, Itar = 10.0 %, Ltar = 3:0 m, Utar = 8.0 m/s (a) (b)
u ; , v
:, Itar = 10.0% Ltar = 3.0 m, Utar =8.0 m/s; , Itar =
10.0 %, Ltar = 5.0 m, Utar = 8. Itar = 5.0 %,Ltar = 3.0 m, Utar = 8.0 m/s; , Itar = 5.0 %, Ltar = 5.0m, Utar = 8.0 m/s : ×, U = 3:0 m/s
52
u R X = 1.0m
“ ”
consistent
12
Re
[2]
“ ”
N
2
3
N ( 1) ×
0.4 s 1 3
1
N 3
53
X=Mz = 9
-5/3
[2]
[3] 40
Sin(f)[m2/s]
Sin(f)=C=const. (1)
10
[1]
fmin = 0:024Hz fmax = 0:96Hz fmax
= 0.024Hz 40 C
n fin
C C = 1, 2, 3, 6, 20m2/s
10
3 X/Mz=9, 7, 5,3, 1
54
12
13
13(a) (b)
X=MD 46:5
70:5
u v
u'/v'
1
12 40
11
13 (a)X/MD=46.5u( ) v( ) (c) X/MD=60.5 u
55
Kang Makita u'/v'=1.22 1.3 Mydlarski
u'/v'=1.21 1
=70.5 X/MD=46.5 u'/v'=1.20 u'/w'=1.26 Makita
1
[3] 40Re =753
[8] 2
u f A f B)+U (2)
f A=0.912Hz, f B=0.168Hz, U=4.67m/s
0.4N (1N 99)
fA
|fA ± fB|
1) S. Ozono, A. Nishi, H. Miyagi, J. of Wind Eng. Ind. Aero., Vol. 94, 225-240 (2006).
fA=0.912Hz,fB=0.168Hz
56
2) 39 9-14 2010 3) 79 300 555-566 2013
4) Kang, H.S., Chester, S. and Meneveau, C., “Decaying turbulence in an active-grid-generated flow and
comparisons with large-eddy simulation”, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 480 (2003), pp. 129-160.
5) Makita, H., “Realization of a large-scale turbulence field in a small wind tunnel”, Fluid Dynamics
Research, Vol. 8 (1991), pp. 53-64.
6) Mydlarski, L. and Warhaft, Z., “Passive scalar statistics in high-P¥'eclet-number grid turbulence”,
Journal of Fluid Mechanics, Vol. 358 (1998), pp. 135-175.
7) Larssen, J.V. and Devenport, W.J., “On the genaration of large-scale homogeneous turbulence”,
Experiments in Fluids, Vol.50, No. 5 (2010) pp. 1207-1223.
8) 2013 (2013)
57
Weighted Lp − Lq estimates of Stokessemigroup in some unbounded domain
久保 隆徹 (筑波大学 数理物質系 数学域)∗
1. はじめに本研究は小林孝行教授(佐賀大学)との共同研究に基づく.
1.1. Navier-Stokes方程式次元nはn ≥ 2とし,Ωを外部領域,すなわち次を満たす正定数R0が存在する領域とする:
Ω\BR0 = Rn\BR0 . (D)
ただし,BR = {x ∈ Rn | |x| < R}とした.この外部領域 Ωに対して,次の
Navier-Stokes 方程式を考える:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∂tu−Δu+ (u · ∇)u+∇π = f in (0,∞)× Ω,
∇ · u = 0 in (0,∞)× Ω,
lim|x|→∞
u(t, x) = 0, u(t, x) = 0 on (0,∞)× ∂Ω,
u(0, x) = a(x) in Ω.
(NS)
ここでu(t, x) = (u1(t, x), . . . , un(t, x))とπ(t, x)は,非圧縮性流体の流速と圧力を表し,ともに未知量である.また,a(x) = (a1(x), . . . , an(x))は初期流速,f(x) =
(f1(x), . . . , fn(x))は外力でありともに既知量である.
1.2. 研究の軌跡と本研究の動機Navier-Stokes方程式の研究の大きなテーマに
• 小さい初期値に対する時間大域解の一意存在と時間無限大での漸近挙動
• 定常問題の解 (定常解)の (漸近)安定性
がある 1.本研究の目的は,Navier-Stokes方程式を重み付きLp 空間で考察し,これらのテーマに対して1つの解答を与えることである.まずは,なぜ重み付きLp
空間でNavier-Stokes方程式を考えるべきかという考えに至ったか(あくまでも個人的な意見だが)研究の軌跡を踏まえながら説明しよう.Navier-Stokes方程式は今まで多くの研究者によって研究がなされてきた.しかし,未だに条件付きでしか時間大域解の一意存在性が示されていない.困難さの∗ e-mail: tkubo@math.tsukuba.ac.jp1他にも,弱解に関する研究,回転する物体の周りを流れる流体の研究,自由境界問題など多くの研究テーマがある.最大正則性などを用いての研究も最近盛んに行われており,柴田-久保[32]に詳しい解説がある.
58
理由の1つが圧力項である.それは,(NS)は圧力πに関する時間発展方程式でないため速度場uと同様に圧力項πを扱うことが出来ないだけでない.∇ · u = 0を用いてNavier-Stokes方程式の第1式から πを消去すると微分積分方程式になり解析の困難さがはるかに増すからである.実際,Navier-Stokes方程式の第1式に∇·を施せば,∇ · u = 0より,
Δπ = −n∑
i,j=1
∂i∂j(uiuj)
を得,簡単のため,考える領域をRnとすると,ラプラス方程式の基本解E(x, y)
を用いて,
π(x) = −n∑
i,j=1
∂i∂j
∫Rn
E(x, y)(uiuj)(y)dy
と変形できる.これをもとの (NS)に代入すれば微分積分方程式となってしまうからである.この解析の難しさは大雑把に言えば,宮崎での流体の動きを知るためにR
n上での積分があるために地球の裏側での流体の動きも知らなければいけないということと同じことである.この困難さを打破するために実解析的には次のHelmholtz分解
Lp(Ω) = Lpσ(Ω)⊕Gp(Ω)
がよく使われる.ただし,
Lpσ(Ω) = {u | uj ∈ C∞
0 (Ω), ∇ · u = 0}‖·‖Lp
,
Gp(Ω) = {∇π ∈ Lp(Ω) | π ∈ Lploc(Ω)}
である(n ≥ 2, 1 < p < ∞).これにより速度場と圧力を分離して考えることができる.ただし,Helmholtz分解は任意の領域に対して成り立つわけではなく,有界領域,全空間,半空間,外部領域,perturbed half-space2,aperture domain3
など限られた領域でのみ示されている([11],[12], [28]).限られた領域ではあるが,Navier-Stokes方程式の困難さの1つである圧力項を消去できるため実解析的にはよく使われている.このHelmholtz分解が成り立つ領域においては,Navier-
Stokes方程式 (NS)の線形化方程式であるStokes方程式に対する解作用素 (Stokes
半群)のLp − Lq評価が示されている:
‖e−tAf‖Lq ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)‖f‖Lp , (1.1)
‖∇e−tAf‖Lq ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− 1
2‖f‖Lp . (1.2)
2Ωが perturbed half-spaceであるとは,Ωに対して次を満たす正定数R > 0が存在するときである:Ω\BR = R
n+\BR.
3Ωが aperture domainであるとは,Ωに対して次を満たす正定数R > 0が存在するときである:Ω\BR = (Rn
+ ∪ Rn−)\BR.ただしR
n± = {x = (x′, xn) ∈ R
n | ±xn > 0}.
59
全空間 Rn においては Youngの不等式と解の表現公式を用いて 1 ≤ p ≤ q ≤
∞(p = ∞, q = 1)で (1.1),(1.2)が示されている.半空間Rn+の場合も,Ukai [34],
Borchers-Miyakawa [4]により全空間と同じ指数の条件で,(1.1), (1.2)が示されている.Ωが平行平板間の領域の場合はAbe-Shibata[1]により 1 < p ≤ q < ∞で(1.1), (1.2)が示されている.Ωが有界領域の場合は,Giga[16]によりStokes作用素の分数べきを用いて 1 < p ≤ q < ∞ に対して (1.1),(1.2)が示されている 4.さらに,Ωが外部領域の場合は,1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ (p = ∞, q = 1)に対して (1.1)が成立し,1 ≤ p ≤ q ≤ n (q = 1)に対して (1.2)が成り立つことが示されている(Iwashita [19],Chen [6],Shibata[31],Borchers-Varnhorn [5],Dan-Shibata [7],
[8], Dan-Kobayashi-Shibata [9], Maremonti-Solonnikov [27]を参照のこと).他にもperturbed half-spaceやaperture domainでも,1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ (p = ∞, q = 1)
に対して (1.1)が,1 ≤ p ≤ q < ∞(q = 1)に対して (1.2)が示されている (Kubo-
Shibata[26], Abels [2], Hishida[18], Kubo[23]を参照のこと). また,Lp − Lq評価を基に縮小写像の原理を用いて小さい初期値に対する時間大域解の一意存在や次のような時間無限大での漸近挙動なども示されている:5
‖u(t)‖Lr ≤ Ct−12+ n
2r (n ≤ r ≤ ∞), ‖∇u(t)‖Ln ≤ Ct−12 (t > 0). (1.3)
これを0定常解の漸近安定性の立場から見れば,(1.3)は摂動の時間無限大での漸近レートを表していることに注意する.一方,定常解の漸近安定性に関する研究も盛んに行われてきている.定常解の存在は n ≥ 3において外部領域や半空間などの限られた領域のみでしか示されていないのが現状である:Novotony-Padula [30], Borchers-Miyakawa [4](外部領域),Galdi [15], Shibata-Kubo[32](半空間).ここでは外部領域の場合に限定して結果を紹介しよう.(NS)に対する定常問題に対して外力fがある条件を満たせば,以下を満たす定常解の存在が示されている:
|us(x)| ≤ C
(1 + |x|)n−2, |∇us(x)| ≤ C
(1 + |x|)n−1. (1.4)
次に,定常解の安定性について考察を行う.定常解 (us, πs)に摂動 (w(t), θ(t))を加えたものが (NS)の解であるとして,摂動 (w(t), θ(t))が満たすべき方程式を考える:{
∂tw −Δw + (us · ∇)w + (w · ∇)us + (w · ∇)w +∇θ = 0, ∇ · w = 0 in Ω,
w|∂Ω = 0, w(0, x) = w0.
4領域Ωが有界領域または平行平板間の領域である場合は,指数関数的減衰を得ることもできる.5詳しくは,以下の文献を参照せよ:Giga-Miyakawa [17](有界領域), Kato [20](全空間),Ukai [34],Kozono[21](半空間), Iwashita [19](外部領域), Abe-Shibata [1](平行平板).ただし,外部領域以外では∇u(t)のLpノルムでの減衰評価も得られている.
60
この摂動方程式に対して,Kozono-Ogawa[25]は初期摂動w0のLnノルム ‖w0‖Ln
と ‖us‖Ln + ‖∇us‖Ln/2が十分小さい時に,定常解 usが漸近安定であることを示す次の評価を得ている.
‖w(t)‖Lr ≤ Ct−12+ n
2r (n ≤ r < ∞). (1.5)
同様に,Borchers-Miyakawa[4]は‖w0‖Lnと‖|x|us‖L∞が十分小さい時に,Kozono-
Yamazaki[22]は‖w0‖Lnと‖us‖Ln,∞が十分小さい時に (1.5)を示している 6.ここで,0定常解の漸近レート (1.3)と比較をすると ‖∇w(t)‖Lnや ‖w(t)‖L∞の評価は得られていないことがわかる.これは,摂動方程式が変数係数の方程式であるにも関わらず,定数係数の方程式で使われていた手法を用いていたためである(と個人的には考えている).そのため,変数係数に対する理論作りをすべきではないかと考えて本研究をスタートさせたのが出発点である.つまり,重み付き評価を用いて変数係数となっている定常解を重み関数として処理して議論できないかと考えて,重み付き空間で (NS)を考察したいというのがこの研究の動機である.
1.3. 既存の結果(Muckenhoupt class,重み付きLp空間)
定義 1.1 (Muckenhoupt class Ap). 1 < p < ∞とする.重み関数w ∈ L1loc(R
n)がMuckenhouptクラスApであるとは,
supQ
(1
|Q|∫Q
wdx
)(1
|Q|∫Q
w−1/(p−1)dx
)p−1
< ∞
を満たすときを言う.ここで,supは立方体Q ⊂ Rn上を動き,|Q|はQのLebesgue
測度である.MuckenhouptクラスApの要素の例としては,w(x) = |x|α, 〈x〉α := (1+ |x|2)α/2
(−n < α < n(p− 1)),w(x) = (1+ |xn|)α (−1 < α < p− 1)などが知られている.重み関数w ∈ Apを用いて,次のように重み付きLp空間を定義する:
Lpw(Ω) =
{u ∈ L1
loc(Ω) | ‖u‖p,w = ‖uw1/p‖p =(∫
Ω
|u|pwdx)1/p
< ∞}.
同様にして, Sobolev空間等についても次のように定義する:
W 2,pw (Ω) = {u ∈ Lp
w(Ω) | ∇αu ∈ Lpw(Ω), |α| ≤ 2}.
重み付きLp空間Lpw(Ω)において(NS)を考察するのが本研究の目的である.(NS)
の研究の第1段階は,1.2節で紹介した通りHelmholtz分解を示すことである:定理 1.1 (Helmholtz 分解). n ≥ 2, 1 < p < ∞,w ∈ Apとする.
Lpw,σ(Ω) = {u | uj ∈ C∞
0 (Ω), ∇ · u = 0}‖·‖Lpw ,
Gpw(Ω) = {∇π ∈ Lp
w(Ω) | π ∈ L1loc(Ω)}
とするとき,Lpw(Ω) = Lp
w,σ(Ω)⊕Gpw(Ω)が成り立つ.
6Ln,∞(Ω)はローレンツ空間
61
定理 1.1は次により示されている:Farwig-Sohr[10](全空間Rn,外部領域),
Frohlich[13](半空間),Kobayashi-Kubo[24](perturbed half-space).P を Lp
w(Ω)から Lpw,σ(Ω)への Helmholtz射影とするとき,Stokes作用素 A =
−PΔはLpw,σ(Ω)上の解析的半群 e−tA(Stokes半群) を生成することも示されてい
る([10],[13],[24]).
2. 主結果(Stokes半群の重み付きLp − Lq評価)
重み関数w(x)をw(x) = 〈x〉sの形のものに限定して考える.定理 2.1 (外部領域での重み付き Lp − Lq 評価). n ≥ 2, 1 < p ≤ q < ∞とする.また−n/q < s′ ≤ s < n(1− 1/p)とする.このとき,a ∈ Lp
w(Ω)に対して,次が成立する:t > 0に対して,
‖〈x〉s′e−tAPa‖Lq(Ω) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉sa‖Lp(Ω),
‖〈x〉s′∇e−tAPa‖Lq(Ω)
≤ C(t−
n2( 1p− 1
q)− 1
2 (1 + t)−s−s′2 + t−
n2p (1 + t)−
s2
)‖〈x〉sa‖Lp(Ω).
注 2.1. 重みがない場合の結果(Iwashita [19],Dan-Kobayashi-Shibata[9]):
‖e−tAPa‖Lq(Ω) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)‖a‖Lp(Ω),
‖∇e−tAPa‖Lq(Ω) ≤ C(t−
n2( 1p− 1
q)− 1
2 + t−n2p
)‖a‖Lp(Ω).
と比較してみると重み 〈x〉sがつくことで,時間無限大での減衰のレートがよくなっていることがわかる.
注 2.2. 定理2.1の主張で特筆すべきことをあげておく.
• 重み関数の指数に対する条件−n/q < s′ ≤ s < n(1 − 1/p)は 〈x〉sがMuck-
enhoupt classに属するための条件である.
• 負の重みや左右で異なる重みをつけられる.
• 証明を見ると分かるが,全空間のときは,
‖〈x〉s′∇e−tAPa‖Lq(Rn) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− 1
2 (1 + t)−s−s′2 ‖〈x〉sa‖Lp(Rn)
なる評価が得られる.外部領域との領域の違いはここに現れる.
3. 証明の概略3.1. 鍵となる2つの評価定理2.1の証明の基盤にあるのはcut-offテクニックである.このテクニックは『外部領域の解を全空間の解と有界領域の解の足し合わせで表そう』というのが基本的な考え方である.そのために有用な2つの評価を紹介する:
62
補題 3.1 (局所減衰定理). n ≥ 2, 1 < p < ∞とし,R0を (D)を満たす正定数とする.このとき,R > R0に対して次を満たす正定数 Cp,Rが存在する:
‖∂mt e−tAa‖W 2
p (ΩR) ≤ Cp,Rt−n/2−m‖a‖Lp(Ω), n ≥ 3,
‖∂mt e−tAa‖W 2
p (ΩR) ≤ Cp,Rt−1−m(log t)−2‖a‖Lp(Ω), n = 2.
ただし,t ≥ 1,a ∈ Lpσ,R(Ω) = {f ∈ Lp
σ(Ω) | suppf ⊂ BR},ΩR = Ω ∩ BR.
補題 3.2 (Rnにおける重み付きLp − Lq評価). n ≥ 2,1 < p ≤ q < ∞とする.このとき,a ∈ Lp
w(Rn), α ∈ N
n0 ,k ∈ N0, t > 0 に対して,次が成り立つ:
• −n/q < s′ ≤ s < n(1− 1/p)に対して,
‖〈x〉s′∂kt ∇αe−tAPa‖Lq(Rn) ≤ Ct−
n2( 1p− 1
q)− |α|
2−k(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉sa‖Lp(Rn).
• s′ ≤ s ≤ 0に対して,
‖〈x〉s′∂kt ∇αe−tAPa‖L∞(Rn) ≤ Ct−
n2p
− |α|2−k(1 + t)−
s2‖〈x〉sa‖Lp(Rn).
補題3.1は有界領域ΩRでの評価であり,n ≥ 3のときに Dan-Kobayashi-Shibata
[9]により,n = 2のときに,Dan-Shibata[7]により示されている.補題3.2は全空間R
nでの評価であり,Youngの不等式と次の評価 (Murata [29])
により導かれる:
1
(4πt)n/2
∫Rn
e−|x−y|2/4t〈y〉−2rdy ≤ M(1 + t)−r, 0 ≤ r < n/2.
3.2. 主定理の証明の概略0 < t < 2の場合については,次のレゾルベント評価
|λ|‖u‖Lpw(Ω) + |λ|1/2‖∇u‖Lp
w(Ω) + ‖∇2u‖Lpw(Ω) ≤ C‖f‖Lp
w(Ω)
を用いて,
‖u‖Lpw≤ C‖f‖Lp
w, ‖∇u‖Lp
w≤ Ct−1/2‖f‖Lp
w, ‖∇2u‖Lp
w≤ Ct−1‖f‖Lp
w
を示すことができ,実補間と組み合わせることで示される.そのため,ここでは,t ≥ 2について焦点を当てて証明の概略を紹介する.補題3.1, 3.2を基に外部領域のStokes半群のΩRでの評価から示そう.
補題 3.3. 1 < q < ∞,−nq< s′ ≤ s < n(1− 1
q)とする.このとき,次が成り立つ:
‖〈x〉s′u‖Lq(ΩR+2) ≤ Ct−n2q
− s2‖〈x〉su0‖Lq(Ω), t ≥ 2. (3.1)
63
Proof. cut-off関数ϕR ∈ C∞0 (Rn; [0, 1])を以下で定義する:
ϕR(x) =
{1 for |x| ≤ R + 1,
0 for |x| ≥ R + 2.
v0 = (1− ϕR)u0 + B[(∇ϕR) · u0]7とおくと,
‖〈x〉sv0‖Lq(Rn) ≤ C‖〈x〉su0‖Lq(Ω),
(1 < q < ∞,− n
q< s < n(1− 1
q)
)が成り立つ.また,v(t, x) = e−tARnv0とおくと
v ∈ C∞((0,∞), D(ARn)) ∩ C0([0,∞);Lqw,σ(R
n))
であり,∂tv−Δv = 0 in Rn ,v|t=0 = v0を満たす.また,v = e−tARnv0であるか
ら,補題3.2より
‖〈x〉s′∂kt ∇αv ‖L∞(Rn) ≤ Ct−
n2p
− |α|2−k(1 + t)−
s2‖〈x〉su0‖Lp(Rn)
が成立する. 次に,v = (1− ϕR)v + B[(∇ϕR) · v]とおくと vは
∂tv −Δv = F in Ω, v|t=0 = v0
を満たす.ただし,
F = 2(ΔϕR) · ∇v + (ΔϕR)v + B[(∇ϕR) ·Δv]−ΔB[(∇ϕR) · v].
ここで,cut-off関数の性質から supp F ⊂ DR+1 = {x | R + 1 < |x| < R + 2}となることに注意すると,k = 0, 1, 1 < p ≤ q < ∞,−n
q< s′ ≤ s < n(1− 1
p)に対
して,
‖〈x〉s′∂kt F (x, t)‖Lq(Ω) ≤ Ct−
n2p
−k(1 + t)−s2‖〈x〉su0‖Lp(Ω) (t ≥ 1) (3.2)
などが示せる. 実際,v(x, t)の評価を用いて以下のように示せる:
‖〈x〉s′F (x, t)‖Lq(Ω) ≤ C‖v‖W 1q (ΩR) ≤ C‖v‖W 1∞(Rn) ≤ Ct−
n2p
− s2‖〈x〉su0‖Lp(Ω).
同様にして,v = (1− ϕR)v + B[(∇ϕR) · v] に対しても次の評価を示せる:
‖〈x〉s′v(x, t)‖Lq(Ω) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− s−s′
2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω), (3.3)
‖〈x〉s′v(x, t)‖Lq(ΩR+2) ≤ Ct−n2q
− s2‖〈x〉su0‖Lq(Ω). (3.4)
ただし,1 < p ≤ q < ∞,−nq< s′ ≤ s < n(1− 1
p)である.
7B[·]はBogvskiı作用素であり,∇ · v0 = 0を成り立たせるようにするためのものである.詳しくは,[3]参照のこと.
64
補題 3.3 を証明するためには,vが (3.4)を満たすのでw = u− vの評価をすれば十分である.そこで (w, π)について考える.(w, π)は次を満たす:
∂tw −Δw +∇π = −F, ∇ · w = 0 in Ω, w|∂Ω = 0, w(0) = w0.
ただし,w0 = ϕRu0 −B[(∇ϕR) · u0]である.Duhamelの原理から,w(t)は次のように表せる:
w(t) = e−tAΩw0 −∫ t
0
e−(t−τ)AΩPΩF (τ)dτ.
そこで,1 < q < ∞,−nq< s′ ≤ s < n(1− 1
q)に対してw(t)に対して次を示そう:
‖〈x〉s′w‖Lq(ΩR+2) ≤ Ct−n2q
− s2‖〈x〉su0‖Lq(Ω) (3.5)
w1 = e−tAΩw0とおくと,局所減衰定理(補題3.1)から
‖〈x〉s′w1‖Lq(ΩR+2) ≤ Ct−n2 ‖w0‖Lq(ΩR+2) ≤ Ct−
n2 ‖〈x〉su0‖Lq(Ω).
次に,w2 = w − w1を評価するために積分区間を3つに分ける:8
w2 =
∫ 1
0
e−(t−τ)APF (τ)dτ +
∫ t−1
1
e−(t−τ)APF (τ)dτ +
∫ t
t−1
e−(t−τ)APF (τ)dτ
= w12 + w2
2 + w32.
w12については,局所減衰定理(補題3.1)と‖〈x〉sF (t)‖Lq(Ω) ≤ Ct−
12‖〈x〉su0‖Lq(Ω)
から
w12 ≤ C
∫ 1
0
(t− τ)−n2 τ−
12dτ ‖〈x〉su0‖Lq(Ω) ≤ Ct−
n2 ‖〈x〉su0‖Lq(Ω)
が導ける.ここで,−n2< − n
2q− s
2に注意すれば,w1
2 ≤ Ct−n2q
− s2‖〈x〉su0‖Lq(Ω)を得
る.同様にw22,w3
2についても評価できる.よって (3.5)が示された.よって,補題3.3が示された.
次に,ΩR = Ω\BRでの評価を行う.
補題 3.4. 1 < p ≤ q < ∞,n(1p− 1
q) < 1とする.−n
q< s′ ≤ s < n(1− 1
p)に対し
て,次が成り立つ:
‖〈x〉s′u‖Lq(ΩR+1) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω) (t ≥ 2).
8記号を簡単にするために,混乱がない場合はAΩやPΩの添え字を省略する.
65
Proof. 補題 3.3で定義された vに対する評価は (3.3),(3.4)によりすでにできているので,ここでも w = u − vについて評価をすれば十分.そこで,z(x, t) =
ϕRw(x, t)− B[(∇ϕR) · w] (ϕR = 1− ϕR−1)とおくと
∂tz −Δz +∇(ϕRπ) = G, div z = 0 in Rn, z|t=0 = 0 (3.6)
が成立する.ただし,
G =− 2(∇ϕR) · ∇w − (ΔϕR)w
+ΔB[(∇ϕR) · w]− B[(∇ϕR)Δw] + (∇ϕR)π + B[(∇ϕR) · ∇π] (3.7)
である.このとき,Gに対する次の評価を示すことができる.
‖〈x〉s′G(t)‖Lδ(Rn) + ‖〈x〉s′G(t)‖Lp(Rn) ≤ Ct−n2p
− s−s′2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω). (3.8)
ただし,1 < δ < p.方程式 (3.6)にHelmholtz射影 PRnを施すと
∂tz + ARnz = PRnG, z(0) = 0.
が得られ,Duhamelの原理を用いると z(t)は
z(t) =
∫ t
0
e−(t−τ)APG(τ)dτ
とかける.ここで,Gの評価を用いることで次が示せる:
‖〈x〉s′z(t)‖Lq(Rn) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω). (3.9)
実際,
z(t) =
[∫ 1
0
+
∫ t−1
1
+
∫ t
t−1
]e−(t−τ)APG(τ)dτ = z1 + z2 + z3
とおくと,z1, z2はGの評価を用いて示せる.そこで,z3を評価しよう.n(1p− 1q) < 1
より
‖〈x〉s′z3‖Lq(Rn) ≤∫ t
t−1‖〈x〉s′e−(t−τ)APG(τ)‖Lq(Rn)dτ
≤ C
∫ t
t−1‖〈x〉s′e−(t−τ)APG(τ)‖W 1
p (Rn)dτ
≤ C
∫ t
t−1(t− τ)−
12 τ
− n2p
− s2dτ‖〈x〉su0‖Lp(Ω)
≤ Ct− n
2p− s
2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω)
≤ Ct−n
2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω).
よって,‖〈x〉s′z(t)‖Lq(Rn) ≤ Ct−
n2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω)
が示される.ΩR+1上では z(t) = w(t)となることから,補題3.4が示された.
66
定理2.1の証明の概略. 最後に2つの補題を用いて重み付き Lp − Lq評価を示そう.補題3.4から,n(1
p− 1
q) < 1,t ≥ 2に対して
‖〈x〉s′e−tAu0‖Lq(ΩR+1) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− s−s′
2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω).
が成立する.一方,e−tAu0のΩRでの評価とSobolevの埋蔵定理から
‖〈x〉s′e−tAu0‖Lq(ΩR+2) ≤ C‖e−tAu0‖Lq(ΩR+2) ≤ C‖e−tAu0‖W 1p (ΩR+2)
≤ Ct−n2p (1 + t)−
s2‖〈x〉su0‖Lp(Ω).
よって,n(1p− 1
q) < 1,t ≥ 2に対して
‖〈x〉s′e−tAu0‖Lq(Ω) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− s−s′
2 ‖〈x〉su0‖Lp(Ω)
が成り立つ.指数の制限:n(1p− 1
q) < 1は半群の性質を用いて除くことができる
ので,Stokes半群の重み付きLp − Lq 評価が示される.次に,∇e−tAu0に対するLp − Lq評価を示そう.すなわち次を示す:
‖〈x〉s′∇e−tAu0‖Lq(Ω) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− s−s′
2 max(t−12 , t−
n2q
− s′2 )‖〈x〉su0‖Lp(Ω). (3.10)
上を示すために,以下の評価から示そう:1 < p < ∞に対して
‖〈x〉s′∇z(t)‖Lp(Rn) ≤ Cmax(t−12 , t−
n2p
− s′2 )‖〈x〉s′u0‖Lp(Ω). (3.11)
ここで,∇z(t)を3つに分ける:
∇z(t) ≤[∫ 1
0
+
∫ t−1
1
+
∫ t
t−1
]∇e−(t−τ)APG(τ)dτ = ∇z1 +∇z2 +∇z3.
ただし,G(t)は (3.7)で与えられる.例えば,∇z2をRnにおけるLp − Lq評価に
より 次のように示せる:
‖〈x〉s′∇z2‖Lp(Rn)
≤∫ t−1
1
‖〈x〉s′∇e−(t−τ)APG(τ)‖Lp(Rn)dτ
≤ C
∫ t−1
1
(t− τ)−12−n
2( 1δ− 1
p)(1 + t− τ)−
s−s′2 ‖〈x〉sG(τ)‖Lδ(Rn)dτ
≤ C
∫ t−1
1
(t− τ)−12−n
2( 1δ− 1
p)− s−s′
2 τ−n2p
− s′2 dτ‖〈x〉s′u0‖Lp(Ω) (δ < p)
≤ Ct−12‖〈x〉s′u0‖Lp(Ω).
よって, (3.11)が示された.
67
(3.11)を用いて (3.10)を示す.|x| ≥ R + 1では z(x, t) = w(x, t)となるので,
‖〈x〉s′∇w(t)‖Lp(ΩR+1) ≤ Cmax(t−12 , t−
n2p
− s′2 )‖〈x〉s′u0‖Lp(Ω)
が成り立ち,∇vの評価 (3.4)と合わせて
‖〈x〉s′∇e−tAu0‖Lp(Ω) ≤ Cmax(t−12 , t−
n2p
− s′2 )‖〈x〉s′u0‖Lp(Ω)
が成り立つことが分かる.よって,半群の性質から
‖〈x〉s′∇e−tAu0‖Lq(Ω) ≤ Cmax(t−12 , t−
n2p
− s′2 )‖〈x〉s′e−tA/2u0‖Lq(Ω)
≤ Ct−n2( 1p− 1
q)(1 + t)−
s−s′2 max(t−
12 , t−
n2q
− s′2 )‖〈x〉su0‖Lp(Ω)
となり,(3.10)が示される.
4. Navier-Stokes 方程式への応用最後に Stokes半群のLp − Lq評価のNavier-Stokes方程式への応用について紹介しよう.簡単のため f = 0とする.Navier-Stokes方程式 (NS)にHelmholtz 射影Pを施すと
∂tu+ Au+ P [(u · ∇)u] = 0, u(0) = a.
Duhamelの原理から u(t)は次のように表せる:
u(t) = e−tAa−∫ t
0
e−(t−τ)AP [(u · ∇)u](τ)dτ. (IE)
不動点定理と重み付きLp − Lq評価を用いることで以下が示せる:
定理 4.1 (小さい初期値に対する時間大域解の存在定理). n ≥ 2,0 ≤ s < n−1とする.このとき,次を満たす定数δ = δ(Ω, n, s) > 0が存在する:もし,a ∈ Ln
w,σ(Ω)
が ‖〈x〉sa‖Ln(Ω) ≤ δであれば積分方程式 (IE)は一意な強解 u(t)をもつ.さらに,次を満たす:
‖〈x〉s′u(t)‖Lq(Ω) ≤ Ct−12+ n
2q (1 + t)−s−s′2 ,
‖〈x〉s′∇u(t)‖Lq(Ω) ≤ C(t−1+ n
2q (1 + t)−s−s′2 + t−
12 (1 + t)−
s2
).
ただし,n ≤ q < ∞, −nq< s′ ≤ s, t > 0.
5. Appendix
おまけとして,関連する事柄で最近わかったことを紹介する.
68
5.1. 斉次重み |x|sの場合斉次重み関数 |x|sの場合について考える.Stokes半群のLp − Lq評価は以下のようになる.
定理 5.1 (Rnにおける重み付きLp − Lq評価). n ≥ 2,1 < p ≤ q < ∞,−n/q <
s′ ≤ s < n(1− 1/p)とする. このとき,a ∈ Lqw(R
n)に対して,次が成り立つ:
‖|x|s′∇αe−tAPa‖Lq(Rn) ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− |α|
2 t−s−s′2 ‖|x|sa‖Lp(Rn).
ただし,t > 0, |α| = 0, 1である.
非斉次重み関数の場合と違うところは,両辺の重みの違いにより現れる減衰項t−(s−s′)/2である.また,このLp−Lq評価をNavier-Stokes 方程式へ応用すると以下が得られる:
定理 5.2 (小さい初期値に対する時間大域解の存在定理). n ≥ 2,0 ≤ s < 1.もし,a ∈ L
n/(1−s)w,σ (Rn)に対し ‖|x|sa‖Ln/(1−s)(Rn)が十分小さければ,(IE) は一意な
強解 u(t)をもつ.
注 5.1. 初期値が属する空間が通常の空間Lnσ(R
n)と異なる.この理由はスケール不変性の観点から初期値が属する空間がL
n/(1−s)w,σ (Rn) となるからである.
5.2. 非等方的重みの場合非等方的な重みについても考えることが出来る.例えば,x = (x′, xn)に対して,x′方向とxn方向で別々の重みをつけた場合には次のようなLp −Lq評価を示すことが出来る:
定理 5.3 (Rn+における重み付きLp − Lq評価). n ≥ 2,1 < p ≤ q < ∞とし,
−(n− 1)/q < s′1 ≤ s1 < (n− 1)(1− 1/p), −1/q < s′n ≤ sn < 1− 1/p
とする.このとき,a ∈ Lqw(R
n+)に対して,次が成り立つ:
‖〈x′〉s′1〈xn〉s′ne−tAPa‖Lq ≤ Ct−n2( 1p− 1
q)− |α|
2−k(1 + t)−
s1−s′12
− sn−s′n2 ‖〈x′〉s1〈xn〉sna‖Lp .
これは,Rnでの評価をやり直し,Ukaiの表現公式を用いることで示せる.
参考文献[1] T. Abe and Y. Shibata, On a resolvent estimate of the Stokes equation on an infinite
layer, Part 2 λ = 0 case, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 5(2003), 245–274.
[2] H. Abels, Lq-Lr estimates for the non-stationary Stokes equations in an aperturedomain, Z. Anal. Anwendungen 21(2002), 159–178.
[3] M. E. Bogovskiı, Solution of the first boundary value problem for the equation ofcontinuity of an incompressible medium, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 248(1979), 1037-1040, English Transl.: Soviet Math. Dokl.20(1979), 1094-1098.
69
[4] W. Borchers and T. Miyakawa, L2 decay for the Navier-Stokes flow in halfspaces.Math. Ann. 282(1988), 139-155.
[5] W. Borchers and W. Varnhorn, On the boundedness of the Stokes semigroup in twodimensional exterior domains, Math.Z., 213(1993), 275-299.
[6] Z. M. Chen, Solutions of the stationary and nonstationary Navier-Stokes equationsin exterior domains, Pacific J.Math., 159(1993),227-240.
[7] W. Dan and Y. Shibata, On the Lq - Lr estimates of the Stokes semigroup in a twodimensional exterior domain, J. Math. Soc. Japan 51(1999), 181–207.
[8] W. Dan and Y. Shibata, Remark on the Lq-L∞ estimate of the Stokes semigroupin a 2-dimensional exterior domain, Pacific J. Math. 189(1999), 223–240.
[9] W. Dan, T. Kobayashi and Y. Shibata, On the local energy decay approach to somefluid flow in exterior domain, Recent Topics on Mathematical Theory of ViscousIncompressible Fluid, 1–51, Lecture Notes Numer. Appl. Math. 16, Kinokuniya,Tokyo, 1998.
[10] R. Farwig and H. Sohr, Weighted Lq-theory for the Stokes resolvent in exteriordomains, J. Math. Sco. Japan, 49(1997), No.2, 251-288.
[11] R. Farwig and H. Sohr, Generalized resolvent estimates for the Stokes system inbounded and unbounded domains , J. Math. Soc. Japan 46 No.4(1994), 607-643.
[12] R. Farwig and H. Sohr, Helmholtz decomposition and Stokes resolvent system foraperture domains in Lq-space, Analysis, 16(1996), 1-26.
[13] A. Frohlich, Helmholtz decomposition of Weighted Lq spaces for MuckenhouptWeights, Ann. Univ. Ferrara-Sez. VII -Sc. Mat. Vol. XLVI (2000), 11-19.
[14] A. Frohlich, The Stokes operator in weighted Lq-spaces I: weighted estimates for theStokes Resolvent Problem in a half-space, J. Math. Fluid Mech. 5(2003), 166-199.
[15] G. P. Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-StokesEquations, Vol. I: Linear Steady Problems, Vol.II: Nonlinear Steady Problems,Springer Tracts in Natural Philosophy, 38, 39, Springer-Verlag, New York (1994),2nd edition(1998).
[16] Y. Giga, Domains of fractional powers of the Stokes operator in Lr spaces, Arch.Rational Mech. Anal. 89(1985), 251–265.
[17] Y. Giga and T. Miyakawa, Solutions in Lr of the Navier-Stokes initial value prob-lem, Arch. Rational Mech. Anal. 89(1985), 267–281.
[18] T. Hishida, The nonstationary Stokes and Navier-Stokes flows through an aperture.Advances in Mathematical Fluid Mechanics(2004), 79-123.
[19] H. Iwashita, Lq-Lr estimates for solutions of the nonstationary Stokes equationsin an exterior domain and the Navier-Stokes initial value problems in Lq spaces,Math. Ann. 285(1989), 265-288.
[20] T. Kato, Strong Lp-Solutions of the Navier-Stokes Equation in Rm, with Applica-
tions to Weak Solutions. Math. Z., 187(1984), 471-480.
[21] H. Kozono, Global Ln-solution and its decay property for the Navier-Stokes equa-tions in half-space R
n+, J. Differential Equations, 79(1989), 79–88.
[22] H. Kozono and M. Yamazaki: On a larger class of stable solutions to the Navier-Stokes equations in exterior domains, Math. Z. 228, (1998), 751-785.
[23] T. Kubo, The Stokes and Navier-Stokes equations in an aperture domain,J. Math. Soc. Japan, 59, No.3(2007), 837-859.
70
[24] T. Kobayashi and T. Kubo, Weighted Lp−Lq estimates of the Stokes semigroup insome unbounded domains, Tsukuba Journal of Mathematics, 37(2013) (to appear).
[25] H. Kozono and T. Ogawa: On Stability of Navier-Stokes Flows in Exterior Do-mains, Arch. Rational. Mech. Anal. 128(1994) 1-31.
[26] T. Kubo and Y. Shibata, On the Stokes and Navier-Stokes equations in a perturbedhalf-space, Advances in Differential Equations, Vol.10, No.6(2005), 695-720.
[27] P. Maremonti and V. A. Solonnikov, On nonstationary Stokes problem in exteriordomains, Ann. Sc. Norm. Super Pisa, 24(1997) ,395-449.
[28] T. Miyakawa, The Helmholtz decomposition of vecter fields in some unboundeddomains, Math. J. Toyama Univ. 17(1994), 115-149.
[29] M. Murata: Large time asymptotics for fundamental solutions of diffusion equa-tions, Tohoku Math. J. 37, (1985), 151-195.
[30] A. Novotny and M. Padula, Note on decay of solutions of steady Navier-Stokesequations in 3-D exterior domains, Differential and Integral Equations, 8 (1995),1833-1842.
[31] Y. Shibata, On an exterior initial boundary value problem for Navier-Stokes equa-tions, Quart. Appl. Math., LVII(1999),117-155.
[32] 柴田良弘・久保隆徹著,「非線形偏微分方程式」,朝倉書店[33] Y. Shibata and R. Shimada, On a generalized resolvent estimate for the Stokes
system with Robin bounary condition, J. Math. Soc. Japan, 59, No.2(2007), 469-519.
[34] S. Ukai, A solution formula for the Stokes equation in Rn+. Comm. Pure Appl.
Math. 40(1987), 611-621.
71
Mathematics and Phenomena in Miyazaki 2013
2013 11 16 ,
:
, , ,
§1. R3
(NS)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
ut −Δu+ (u,∇)u+∇p=0 in R3×(0,T ),
∇ · u=0 in R3×(0,T ),
u|t=0= u0 in R3.
u=(u1(x,t), u2(x,t), u3(x,t)) ( ),
p= p(x, t) ( ),
u0= (u10(x), u20(x), u
30(x)) ( ).
� �
(NS) B−1∞,∞ ,
C([0, T ]; B−1∞,∞(R3)) .� �
, B−1∞,∞ .
Known Results
Lp, H−αp , B−α
p,∞(n = 3)�
��
��
��
���
��
��
��
��
���
��
��
��
��
���
��
��
���
��
��
��
��
��
��
���
��
��
���
��
��
��
��
���
��
��
��
���
���
��
��
��
��
��
��
���
���
��
��
��
��
��
��
���
��
��
��
��
��
��
���
���
��
���
��
��
��
��
��
��
���
��
��
���
��
���
��
��
��
��
��
���
��
��
��
���
���
��
��
���
��
��
��
��
���
��
��
��
��
���
��
��
���
���
��
��
��
��
���
��
��
��
��
��
��
���
��
��
��
���
���
��
��
��
��
��
��
���
��
��
����
��
��
���
���
���
����
�
������
��
����
�����
��������
��������
���
����
�
��
��
1
1/n01/p
α
α = 1− n/pcritical space
L2; Leray
Hn/2−1; Fujita-Kato
BMO−1; Koch-Tataru
B−1∞,∞ ; Bourgain-Pavlovic
B−αp,∞ for
0 ≤ α < 1− n/p
and n < p ≤ ∞; S.
B0n,∞; Cannone-Planchon
Hn/2−1; Kato-PonceLn; Kato,
Giga-Miyakawa
Lp for n ≤ p < ∞; Giga
L∞; Cannone
B−αp,∞ for n<p<∞; Kozono-Yamazaki
b−αp,∞ for n<p<∞; Amann
BMO,
B0∞,∞; open
���
1/2
◦B
−1/2∞,∞ ;
Kobayashi-
Muramatu ��
�
72
n<p<∞, q>2
Ln ⊂ B−1+n/pp,∞ ⊂ B−1
∞,2 ⊂ BMO−1 ⊂ B−1∞,q ⊂ B−1∞,∞
.
u = uλ, uλ(x, t) := λu(λx, λ2t), λ > 0;
‖λu0(λ·)‖Ln=‖u0‖Ln, ‖λu0(λ·)‖BMO−1=‖u0‖BMO−1.� �
s∈R, 1≤p, q≤∞, Bsp,q
Bsp,q :=
{f ∈ S′ ; ‖f‖Bs
p,q< ∞
},
‖f‖Bsp,q
:=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩[∑
k∈Z 2sqk‖ϕk ∗ f‖qLp
]1/qif q < ∞,
supk∈Z 2sk‖ϕk ∗ f‖Lp if q = ∞.
∑k ϕk≡1, ϕk(ξ)= ϕ0(2
−kξ), supp ϕ0⊂{35< |ξ|< 53}.� �
Mild Solution [Fujita-Kato] .
u1(t) := etΔu0 & uj+1(t) := u1(t)− B(uj) .
, etΔ:=Gt∗, Gt(x):=(4πt)−n2 exp
{−|x|2/4t
},
P := (δij +RiRj)1≤i,j≤n, Ri := ∂i(−Δ)−1/2,
B(v,w):=∫ t
0e(t−τ)ΔP(v(τ),∇)w(τ)dτ, B(v):=B(v,v).
u0 ∈ L∞(Rn) , ∃1mild solution u = u1 − B(u)C((0, T ];L∞) {uj}∞j=1
supj≥1
supt∈(0,T ]
‖uj(t)‖L∞ ≤ 2‖u0‖L∞ & T ≥ C‖u0‖−2L∞ .
, u (NS) . , p =∑
RiRjuiuj .
Q. mild solution ?
, .
, [Gibbs] g∈C1([0, T ])n ,
u = g(t), p = −g′(t) · x+ C
, (NS) u0 = g(0) .
, u mild solutions ,
u ≡ u0 = g(0), p ≡ C
. , [J.Kato] u0 ∈ L∞,
u, p ∈ L∞(Rn × (0, T )) ⇒ u mild solution.
73
§2. , ‖ · ‖ := ‖ · ‖B−1∞,∞ .
� �
1 [Bourgain-Pavlovic] ∀δ, ∀T ∈ (0,1), ∃u0 ∈B−1∞,∞(R3) s.t. ‖u0‖ < δ, ∇ · u0 = 0, ∃u: a mild
solution in C([0, T ]; B−1∞,∞) and ‖u(T )‖ > 1/δ.� �
(1)
⇒ ill-posed .
(2) , .
(3) .
� �
2 [S.] ∀T > 0, ∃u0 s.t.{‖uj(T )‖}∞j=1 diverges.
� �
§3. .
v1 := u1 vk+1 := uk+1− uk, k ≥ 1.
, uj =∑ j
k=1 vk & u =∑∞
k=1 vk .
0 < δ, T << 1 , u0
‖u0‖ < δ, ‖v1(T )‖ << 1, ‖v2(T )‖ >2
δ, ‖v3(T )‖ << 1,
v4(T ) ∼ −Kv2(T ), v5(T ) ∼ −Kv3(T ), v6∼K2v2, . . . .
, ‖u(T )‖ ≥ ‖v2(T )‖ − ‖v1(T )‖ − ∞∑k=3
‖vk(T )‖
≥ ‖v2(T )‖ − ‖v2(T )‖ ∞∑k=1
Kk>1
δ, K <
1
3.
u0 ∈ B−1∞,∞ ∇· u0 = 0
u0(x) =(0, u20(x1), u
30(x1, x2)
)
=
⎛⎜⎝0, Q√r
r∑s=1
hs cos(hsx1),Q√r
r∑s=1
hs cos(hsx1−x2)
⎞⎟⎠
, Q > 0 r, γ, η ∈ N ,
hs := 2s(s−1)/2γs−1η for s ∈ N.
‖f‖=supj∈Z
j−1‖ϕj∗f‖L∞, B−1∞,∞≈∇L∞, ‖f‖≈‖∇−1f‖L∞.
‖u0‖ = CQ√r→ 0 (< δ) as r → ∞.
‖v1(t)‖ ≤ ‖Gt‖L1‖u0‖ < δ << 1 for ∀ t > 0.
74
v2 u1=etΔu0=(0, u21(x1,t), u31(x1,x2,t)) ,
(u1,∇)u1 = (u11∂1 + u21∂2 + u31∂3)(u11, u
21, u
31).
∴ v2 := −B(u1) = (0,0, v32(x1,x2,t)) & ∇ · v2 = 0.
v32 =−∫ t
0e(t−τ)ΔQ2
r
r∑s,q=1
hshqe−(h2s+h2q+1)τcos(hsx1)sin(hqx1−x2)dτ
=Q2
r
∫ t
0e(t−τ)Δ
{ r∑s=1
h2se−(2h2s+1)τ1
2sinx2
−r∑
s=1h2se
−(2h2s+1)τ1
2sin(2hsx1−x2)
− ∑s�=q
hshqe−(h2s+h2q+1)τ cos(hsx1) sin(hqx1−x2)
}dτ
∼Q2
2r
r∑s=1
h2s
∫ t
0e−(2h2s+1)τe(t−τ)Δ sinx2 dτ
=Q2
2r
r∑s=1
h2s
∫ t
0e−(2h2s+1)τe−t+τ sinx2dτ
=Q2
2r(sinx2)
r∑s=1
h2se−t 1− e−2h2s t
2h2s
=Q2
4r(sinx2) e
−tr∑
s=1(1− e−2h2s t)
=Q2
4(sinx2) e
−t − Q2
4r(sinx2) e
−tr∑
s=1e−2h2s t (t ∼ T ).
, γ = 3, η ∼ T−1/2 , Q > 0 ,
‖v2(T )‖ ∼ Q2
4e−T‖∇−1 sinx2‖L∞ =
Q2
4e−T>
2
δ.
v3, v4, . . . v2 = (0,0, v32(x1, x2, t)) ,
u2 = v1+v2 = (0, v21(x1, t), v31(x1, x2, t)+v32(x1, x2, t)).
v3 :=u3−u2=u1−B(u2)−u1+B(u1)=−B(u2)+B(u1)=−B(v2)−B(v2,v1)−B(v1,v2)=−B(v1,v2)=(0,0,v33).
, vk+1 = −B(v1,vk) = (0,0, v3k+1),∀k ≥ 1.
, uj = (0, v21,∑ j
k=1v3k),
∀j ≥ 1.
v33∼−Q3Te−T
8√r
r∑s=1
hse−h2sT{cos(hsx1+x2)+cos(hsx1−x2)}
v34∼−KQ2
4(sinx2) e
−T with K :=(1− 3e−2)Q2
8rη2. �
75
§4. u0 , .� �
3 [S.] n ≥ 2, u0 ∈ L∞(Rn) of
u0 = (a, u20(x1), u30(x1, x2), . . . , u
n0(x1, . . . , xn−1)).
Then ∃1u: mild sol in C((0,∞);L∞) with p ≡ 0,
(UB) ‖u(t)‖L∞ ≤ ‖u0‖L∞ for t > 0.� �
u = (a, u2(x1,t), . . . , un(x1, . . . ,xn−1,t)) .
i ≤ j ⇒ RiRjuiuj = (−Δ)−1∂i∂j(u
iuj) ≡ 0.
∴ p =∑
RiRjuiuj ≡ 0. , u
(Bur) ut −Δu+ (u,∇)u = 0, u|t=0 = u0
. (UB) . �
§5. 0<ε< 12<α<1, 2<p<∞, s>n
2+1, q>1
C2 ⊂C1+α⊂ C1+ε
Hs ⊂B1+n/pp,1
⊂ B1∞,1 ⊂ B1∞,q ⊂ B1∞,∞ ⊂ C1−ε
↑ ↑[Pak-Park] [Bardos-Titi]
Shear flow [DiPerna-Lions] u0 = (0, u20(x1), u30(x2))
, u = (0, u20(x1), u30(x2 − tu20(x1)))
. , u
. , , ,
u20(x1) = sinx1 & u30(x2) =∞∑
k=1k−12−k sin(2kx2)
, (u,∇)u t>0 x .
.
76
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2003
2003 10 31 11 2
(D204)
http://www.phys.miyazaki-u.ac.jp/math-l/shige/ppm/ppm2003.html
10 31
14:30-15:20
Maximal attractor and inertial sets for Eguchi-Oki-Matsumura equation
15:40-16:30
16:40-17:30
11 1
10:00-10:50
11:00-11:50
Neumann semilinear heat equation
77
13:30-14:20
Asymptotic behavior of some global solutions for
nonlinear parabolic problems with critical Sobolev nonlinearity
14:30-15:20
Instability of nonradial bound states for 2D nonlinear Schrodinger equation
15:40-16:30
Laplace Cauchy
16:40-17:30
11 2
10:00-10:50
11:00-11:50
12:00-12:50
C(2) B
15540128
15540176
15540211
15740073
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
78
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2004 ( PPM2004)
2004 11 19 11 21
(D204)
http://www.phys.miyazaki-u.ac.jp/math-l/shige/ppm/ppm2004.html
11 19
14:30-15:20
15:40-16:30
16:40-17:30
Limit problem for the Maxwell-Schrodinger system
11 20
10:00-10:50
!!
11:00-11:50
Laplace Cauchy
79
13:30-14:20
14:30-15:20
On the solvability of the Boussinesq equations with non-decaying initial data
15:40-16:30
Lq estimates for the Stokes equations around a rotating body
16:40-17:30
–revisited–
11 21
10:00-10:50
11:00-11:50
12:00-12:50
Symmetric mountain pass lemma and sublinear elliptic equations
C(2) B
15540128
15540176
15540211
16740079
15740073
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
80
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2005 ( PPM2005)
2005 11 18 11 19
(D204)
http://www.phys.miyazaki-u.ac.jp/math-l/shige/ppm/ppm2005.html
11 18
14:30-15:20
15:40-16:30
16:40-17:30
11 19
10:00-10:50
11:00-11:50
81
13:30-14:20
2
14:30-15:20
Navier-Stokes-Poisson
15:40-16:30
Delayed Feedback
16:40-17:30
C(2) B
17540125
15540176
16740079
17740063
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
82
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2006 ( PPM2006)
2006 11 17 11 18
2 (D204)
http://www.miyazaki-u.ac.jp/˜yazaki/research/ppm/ppm2006.html
11 17
14:30-15:20
Sobolev
15:40-16:30
Schrodinger
16:40-17:30
11 18
10:00-10:50
p- p-
11:00-11:50
83
13:30-14:20
14:30-15:20
2
15:40-16:30
16:40-17:30
Kelvin-Benjamine
C(2) B
17540125
18540189
16740103
16740079
17740063
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
84
85
86
87
88
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2009 ( PPM2009)
2009 11 20 11 21
B 2 B209 20
2 D204 21
http://www.miyazaki-u.ac.jp/˜math/research/ppm/ppm2009/
11 21
14:00-15:00
Hele-Shaw
15:15-16:15
16:30-17:30
Asymptotic behavier of solution of drift-diffusion system of degenerate type
11 21
� PPM2009 �10:15-12:15
Belousov-Zhabotinsky
89
14:00-15:00
15:15-16:15
16:50-18:00
Cahn-Hilliard
C B:
20540122
20540200
20540181
19540222
21740079
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
90
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2010 PPM2010
(S)
Mathematical Theory of
Nonlinear-Non-equilibrium Reaction-Diffusion Systems
NNRDS
2010 11 20 11 21
B 2 B209
B210
http://www.miyazaki-u.ac.jp/˜math/ppm/
11 20
14:00-14:55 (S)
15:15-16:10
Marciniak
16:30-17:25 NTT
1 Discrete Breather
91
11 21
� �9:00-10:30 OV
� PPM2010 �10:45-12:15
+
14:00-14:55
15:15-16:10
Navier-Stokes
16:30-17:25
A mathematical analysis of tsunami generation
in shallow water due to seabed deformation
(S) (C)
(B)
18104002
20540122
20540200
20540181
22540231
22500206
21740079
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
92
PDEs and Phenomena in Miyazaki 2011 ( PPM2011)
2011 11 18 11 19
B 2 B209
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/ppm/ppm2011/
11 18
14:00-14:55
Liouville-Gel’fand
15:15-16:10
16:30-17:25
3
11 19
� PPM2011 �10:15-12:15
– –
3
8:21 8:54 8:41 9:18 9:11 9:52 9:21 9:54 9:41 10:18
93
14:00-14:55
3
15:15-16:10
protection zone -
16:30-17:25
C
20540181
22540231
23540150
23
13010302
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
94
Mathematics and Phenomena
in Miyazaki 2012 ( MPM2012)
2012 11 16 11 17
B 2 B210
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/mpm/
11 16
14:00-14:55
– –
15:15-16:10
16:30-17:25
11 17
� MPM2012 �10:15-12:15 J.
3
8:21 8:54 8:41 9:18 9:11 9:52 9:21 9:54 9:41 10:18
95
14:00-14:55
15:15-16:10
Ill-posedness for the nonlinear Schrodinger equations
in one and two space dimensions
16:30-17:25
24540216 C
20540181 C
22540231 C
23740099 B
23840041 Lotka-Volterra
24
(Tohru Tsujikawa)
889-2192 1-1
E-mail tujikawa@cc.miyazaki-u.ac.jp
TEL 0985-58-7381 0985-58-7288 & FAX 0985-58-7289
2012.11.07
96