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3ème cours de Mécanique Analytique (2 Octobre 2014)
http://reflexions.ulg.ac.be/cms/c_351789/mirror-mirror-on-the-wall
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3ème cours de Mécanique Analytique (2 Octobre 2014)
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Leçon précédente ...
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Leçon précédente ...
Chapitre 1 : Les équations de Lagrange !
• 1.4 Généralisation du principe des travaux virtuels et le principe de d’Alembert • 1.5 Les équations de Lagrange • 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
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Aujourd’hui ...
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Aujourd’hui ...
Chapitre 1 : Les équations de Lagrange !• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange !
• Exemple 1 : le pendule plan • Exemple 2 : la cuvette sphérique • Exemple 3 : la fronde en contraction • Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.5 Les équations de Lagrange
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• 1.5 Les équations de Lagrange
(1.19) (1.20)
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• 1.5 Les équations de Lagrange
(1.19) (1.20)
(1.28) (1.29)
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
.
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
• Choisir un ensemble de f coordonnées généralisées (q1, q2, …, qf)
.
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
• Choisir un ensemble de f coordonnées généralisées (q1, q2, …, qf)
.
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
• Choisir un ensemble de f coordonnées généralisées (q1, q2, …, qf)
• Exprimer T, Qi et V en fonction des qi, qi et t.
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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange
• Choisir un ensemble de f coordonnées généralisées (q1, q2, …, qf)
• Exprimer T, Qi et V en fonction des qi, qi et t.
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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φ
θx
y
z
Fa = mg
F
• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
ℓ
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φ
θx
y
z
Fa = mg
F
• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
ℓ
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φ
θx
y
z
Fa = mg
F
• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
ℓ
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φ
θx
y
z
Fa = mg
F
• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
ℓ
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φ
θx
y
z
Fa = mg
F
• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
ℓ
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1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique
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• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
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x
ym
S φ
• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
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x
ym
S φ
• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
-c (cm par seconde)
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x
ym
S φ
• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
q = φ
-c (cm par seconde)
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x
ym
S φ
• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
q = φ
-c (cm par seconde)
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• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
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• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
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• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction
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• Exercice proposé :
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• Exercice proposé :
Si q = q(q,t) et donc aussi q = q(q,t), montrer au moyen de ces transformations de coordonnées généralisées que la forme des équations de Lagrange est invariante, et aussi que l’existence d’un potentiel généralisé V ou d’un lagrangien L sont des propriétés intrinsèques du système mécanique considéré, et sont donc indépendants du choix des coordonnées généra- lisées.
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Montrer donc que si :
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Montrer donc que si :
et/ou
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Montrer donc que si :
et/ou
Alors
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Montrer donc que si :
et/ou
Alors
et/ou_ _
_ __ _
_ _
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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•C
mg
ligne des noeuds
x1
x2x3
X1
X3
X2
φ ψ
θ
o
• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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•C
mg
ligne des noeuds
x1
x2x3
X1
X3
X2
φ ψ
θ
o
• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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Rappels :• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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Rappels :
1. Pour le cas d’un solide soumis à des forces extérieures qui découlent d’un potentiel V(rα,t), on peut facilement établir l’équation de conservation d’énergie T + V = Cte (cf. cours de mécanique analytique de 2ème B ac.).
• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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Rappels :
1. Pour le cas d’un solide soumis à des forces extérieures qui découlent d’un potentiel V(rα,t), on peut facilement établir l’équation de conservation d’énergie T + V = Cte (cf. cours de mécanique analytique de 2ème B ac.).
2. Pour le cas d’un solide en rotation autour d’un point fixe O, on a : Li = Iij ωj , T = Iij ωi ωj / 2. !Si Iij = δij {Ii}, alors Li = δij {Ii} ωj = {Ii} ωi ! T = {Ii} ωi ωi / 2.
• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson
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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson