Post on 18-Feb-2016
description
Interpolacion
Sergio Gonzalez Andrade1
1Departamento de MatematicaEPN, Quito.
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 1 / 12
Outline
1 Introduccion
2 Interpolacion polinomial
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 2 / 12
Outline
1 Introduccion
2 Interpolacion polinomial
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 3 / 12
PreliminaresProblemas:
Aproximar funciones.
Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.
Ejemplo:
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12
PreliminaresProblemas:
Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.
“Predecir” el futuro.
Ejemplo:
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12
PreliminaresProblemas:
Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.
Ejemplo:
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12
PreliminaresProblemas:
Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.
Ejemplo:
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12
Problema de Interpolacion
Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que
ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.
Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.
Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?
Idea: ϕ ∈ Pn!
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12
Problema de Interpolacion
Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que
ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.
Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.
Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?
Idea: ϕ ∈ Pn!
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12
Problema de Interpolacion
Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que
ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.
Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.
Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?
Idea: ϕ ∈ Pn!
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12
Problema de Interpolacion
Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que
ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.
Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.
Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?
Idea: ϕ ∈ Pn!
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12
Outline
1 Introduccion
2 Interpolacion polinomial
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 6 / 12
Interpolacion polinomial
Teorema
Para cualquier conjunto de nodos (xi , yi ), i = 0, . . . , n, con xi 6= xj parai 6= j , existe un unico polinomio pn(x) ∈ Pn tal que
pn(xi ) = yi , i = 0, . . . , n.
Pregunta: pero, como es este polinomio?
Idea: definir una base del espacio vectorial Pn adecuada....
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 7 / 12
Interpolacion polinomial
Teorema
Para cualquier conjunto de nodos (xi , yi ), i = 0, . . . , n, con xi 6= xj parai 6= j , existe un unico polinomio pn(x) ∈ Pn tal que
pn(xi ) = yi , i = 0, . . . , n.
Pregunta: pero, como es este polinomio?
Idea: definir una base del espacio vectorial Pn adecuada....
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 7 / 12
Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn
φk(x) =n∏
j=0,j 6=k
x − xjxk − xj
, k = 1, . . . , n.
Notemos que
φk(xj) = δjk =
{1 si j = k
0 en cualquier otro caso.
Polinomio de Lagrange
Usando la propiedad anterior se sigue que
pn(x) =n∑
k=0
ykφk(x).
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 8 / 12
Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn
φk(x) =n∏
j=0,j 6=k
x − xjxk − xj
, k = 1, . . . , n.
Notemos que
φk(xj) = δjk =
{1 si j = k
0 en cualquier otro caso.
Polinomio de Lagrange
Usando la propiedad anterior se sigue que
pn(x) =n∑
k=0
ykφk(x).
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 8 / 12
Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn
φk(x) =n∏
j=0,j 6=k
x − xjxk − xj
, k = 1, . . . , n.
Notemos que
φk(xj) = δjk =
{1 si j = k
0 en cualquier otro caso.
Polinomio de Lagrange
Usando la propiedad anterior se sigue que
pn(x) =n∑
k=0
ykφk(x).
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 8 / 12
Interpolacion de Lagrange con MATLAB
Recordemos el problema de Clima. Analicemos los datos con K = 0.67
x =
−55−45−35−25−15−55
152535455565
e y =
−3.25−3.37−3.35−3.2−3.12−3.02−3.02−3.07−3.17−3.32−3.3−3.22−3.1
c=polyfit(x,y,12)⇐ coeficientes pn.
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 9 / 12
Interpolacion de Lagrange con MATLAB
Recordemos el problema de Clima. Analicemos los datos con K = 0.67
x =
−55−45−35−25−15−55
152535455565
e y =
−3.25−3.37−3.35−3.2−3.12−3.02−3.02−3.07−3.17−3.32−3.3−3.22−3.1
c=polyfit(x,y,12)⇐ coeficientes pn.
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 9 / 12
Interpolacion de Lagrange con MATLAB
Grafico z=linspace(x(1), x(end), 100);p=polyval(c,z);plot(z,p) hold on plot(x,y,’o’) grid on
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 10 / 12
Interpolacion de Lagrange con MATLAB
Grafico z=linspace(x(1), x(end), 100);p=polyval(c,z);plot(z,p) hold on plot(x,y,’o’) grid on
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 10 / 12
Error en la iterpolacion polinomial
Pregunta: Que tan grande es el error de aproximacion?
Error de aproximacion
Consideremos n + 1 nodos xi , i = 1, . . . , n y sea f una funcioncontinuamente diferenciable hasta orden n + 1. Entonces
f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
n∏i=0
(x − xi )
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 11 / 12
Error en la iterpolacion polinomial
Pregunta: Que tan grande es el error de aproximacion?
Error de aproximacion
Consideremos n + 1 nodos xi , i = 1, . . . , n y sea f una funcioncontinuamente diferenciable hasta orden n + 1. Entonces
f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
n∏i=0
(x − xi )
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 11 / 12
Fenomeno de Runge
Consideremos la funcion
f (x) =1
1 + x2
Figure : Funcion de Runge (o-) vs. p10 (-)
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 12 / 12
Fenomeno de Runge
Consideremos la funcion
f (x) =1
1 + x2
Figure : Funcion de Runge (o-) vs. p10 (-)
S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 12 / 12