Interpolacion

Sergio Gonzalez Andrade1

1Departamento de MatematicaEPN, Quito.

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 1 / 12

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1 Introduccion

2 Interpolacion polinomial

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 2 / 12

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1 Introduccion

2 Interpolacion polinomial

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 3 / 12

PreliminaresProblemas:

Aproximar funciones.

Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.

Ejemplo:

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PreliminaresProblemas:

Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.

“Predecir” el futuro.

Ejemplo:

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12

PreliminaresProblemas:

Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.

Ejemplo:

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12

PreliminaresProblemas:

Aproximar funciones.Dar “sentido” a un grupo de datos.“Predecir” el futuro.

Ejemplo:

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 4 / 12

Problema de Interpolacion

Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que

ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.

Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.

Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?

Idea: ϕ ∈ Pn!

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12

Problema de Interpolacion

Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que

ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.

Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.

Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?

Idea: ϕ ∈ Pn!

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12

Problema de Interpolacion

Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que

ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.

Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.

Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?

Idea: ϕ ∈ Pn!

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12

Problema de Interpolacion

Problema: dada una familia de n + 1 parejas de puntos (xi , yi ), hallar unafuncion ϕ tal que

ϕ(xi ) = yi , para i = 1, · · · , n.

Ojo: yi = f (si ) con f desconocida o por aproximar.

Pregunta: que tipo de funciones escoger como ϕ?

Idea: ϕ ∈ Pn!

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 5 / 12

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1 Introduccion

2 Interpolacion polinomial

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 6 / 12

Interpolacion polinomial

Teorema

Para cualquier conjunto de nodos (xi , yi ), i = 0, . . . , n, con xi 6= xj parai 6= j , existe un unico polinomio pn(x) ∈ Pn tal que

pn(xi ) = yi , i = 0, . . . , n.

Pregunta: pero, como es este polinomio?

Idea: definir una base del espacio vectorial Pn adecuada....

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 7 / 12

Interpolacion polinomial

Teorema

Para cualquier conjunto de nodos (xi , yi ), i = 0, . . . , n, con xi 6= xj parai 6= j , existe un unico polinomio pn(x) ∈ Pn tal que

pn(xi ) = yi , i = 0, . . . , n.

Pregunta: pero, como es este polinomio?

Idea: definir una base del espacio vectorial Pn adecuada....

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 7 / 12

Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn

φk(x) =n∏

j=0,j 6=k

x − xjxk − xj

, k = 1, . . . , n.

Notemos que

φk(xj) = δjk =

{1 si j = k

0 en cualquier otro caso.

Polinomio de Lagrange

Usando la propiedad anterior se sigue que

pn(x) =n∑

k=0

ykφk(x).

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Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn

φk(x) =n∏

j=0,j 6=k

x − xjxk − xj

, k = 1, . . . , n.

Notemos que

φk(xj) = δjk =

{1 si j = k

0 en cualquier otro caso.

Polinomio de Lagrange

Usando la propiedad anterior se sigue que

pn(x) =n∑

k=0

ykφk(x).

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Interpolacion de LagrangeAnalicemos la siguiente familia en Pn

φk(x) =n∏

j=0,j 6=k

x − xjxk − xj

, k = 1, . . . , n.

Notemos que

φk(xj) = δjk =

{1 si j = k

0 en cualquier otro caso.

Polinomio de Lagrange

Usando la propiedad anterior se sigue que

pn(x) =n∑

k=0

ykφk(x).

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Interpolacion de Lagrange con MATLAB

Recordemos el problema de Clima. Analicemos los datos con K = 0.67

x =

−55−45−35−25−15−55

152535455565

e y =

−3.25−3.37−3.35−3.2−3.12−3.02−3.02−3.07−3.17−3.32−3.3−3.22−3.1

c=polyfit(x,y,12)⇐ coeficientes pn.

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 9 / 12

Interpolacion de Lagrange con MATLAB

Recordemos el problema de Clima. Analicemos los datos con K = 0.67

x =

−55−45−35−25−15−55

152535455565

e y =

−3.25−3.37−3.35−3.2−3.12−3.02−3.02−3.07−3.17−3.32−3.3−3.22−3.1

c=polyfit(x,y,12)⇐ coeficientes pn.

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Interpolacion de Lagrange con MATLAB

Grafico z=linspace(x(1), x(end), 100);p=polyval(c,z);plot(z,p) hold on plot(x,y,’o’) grid on

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 10 / 12

Interpolacion de Lagrange con MATLAB

Grafico z=linspace(x(1), x(end), 100);p=polyval(c,z);plot(z,p) hold on plot(x,y,’o’) grid on

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 10 / 12

Error en la iterpolacion polinomial

Pregunta: Que tan grande es el error de aproximacion?

Error de aproximacion

Consideremos n + 1 nodos xi , i = 1, . . . , n y sea f una funcioncontinuamente diferenciable hasta orden n + 1. Entonces

f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏i=0

(x − xi )

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 11 / 12

Error en la iterpolacion polinomial

Pregunta: Que tan grande es el error de aproximacion?

Error de aproximacion

Consideremos n + 1 nodos xi , i = 1, . . . , n y sea f una funcioncontinuamente diferenciable hasta orden n + 1. Entonces

f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏i=0

(x − xi )

S. Gonzalez (EPN) ESPE, 2014 11 / 12

Fenomeno de Runge

Consideremos la funcion

f (x) =1

1 + x2

Figure : Funcion de Runge (o-) vs. p10 (-)

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Fenomeno de Runge

Consideremos la funcion

f (x) =1

1 + x2

Figure : Funcion de Runge (o-) vs. p10 (-)

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