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7/23/2019 Integrales Fourier
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Métodos
Matemáticos I
Marta Cordero Gracia
Mariola Gómez López
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 1
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Análisis de Fourier
Definición
El Análisis de Fourier es un conjunto de técnicas basadas
en la descomposición de una función en funciones trigonomé-
tricas.
Análisis deFourier
Sistema de
Funciones Ortogonales
{f 1, f 2, . . . , f k, . . .}
f k trigonométrica
f = a1f 1 + a2f 2 + · · · + akf k + · · ·
– p. 2
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Análisis de Fourier
Serie deFourier
Transformadade Fourier
Análisis deFourier
f : R → R periódica
f : [a, b] →R
f : R → R
no periódica
– p. 3
7/23/2019 Integrales Fourier
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos
Función par/impar
Par: f (
−x) = f (x)
∀x
∈ [a, b]
Impar: f (−x) = −f (x) ∀x ∈ [a, b]
Integración de funciones par/impar
a
−a
f (x) dx =
2 a
0
f (x) dx Si f es par
0 Si f es impar
– p. 4
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos
Función periódica
f (x) = f (x + T ) ∀
x ∈
R con T ∈
R+
Integración de funciones periódicas
Si f (x) = f (x + T ) ∀x ∈ R
entonces a+T a f (x) dx no depende de a
– p. 5
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función periódica
Sea f : R → R una función 2π-periódica continua a trozos.
Serie de Fourier: forma trigonométrica
f (x) =
1
2 a0 +
+∞n=1
an cos(nx) + bn sin(nx)
Serie de Fourier: forma exponencial
f (x) =+∞
n=−∞cn einx
c0 = 1
2 a0 cn =
1
2(an − ibn) c−n =
1
2(an + ibn)
– p. 6
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Cálculo de coeficientes
f (x) =+∞
n=−∞
cn einx
π−π f (x)e
−ikx
dx =
+∞n=−∞
cn π−π e
i(n−k)x
dx = 2πck
ya que π−π
ei(n−k)x dx =
2π si n = k
0 si n = k
cn = 12π
π−π
f (x)e−inx dx n = 0, ±1, ±2, . . .
– p. 7
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Cálculo de coeficientes
an = cn + c−n = 1
2π
π−π
f (x)
e−inx + einx
dx =⇒
an = 1π
π−π
f (x)cos(nx) dx n = 0, 1, 2, . . .
bn = i(cn − c−n) = i
2π π
−π
f (x)
e−inx − einx
dx =⇒
bn = 1
π
π−π
f (x)sin(nx) dx n = 1, 2, . . .
– p. 8
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1
f (t) = |t| − π ≤ t ≤ π f (t) = π
2 − 4
π
∞k=1
cos(2k − 1)t
(2k − 1)2
a0 = 1π
π
−π
f (t) dt = 2π
π
0
t dt = π
an
= 1
π
π−π
f (t)cos(nt) dt = 2
π
π0
t cos(nt) dt =
=
2
π
(
−1)n
−1
n2 =
0 n = 2k
− 4πn2
n = 2k + 1
bn = 1
π
π−π
f (t)sin(nt) dt = 0
– p. 9
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1
– p. 10
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1
– p. 10
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1
– p. 10
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1
– p. 10
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo 1
– p. 10
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo 2
f (t) = t − π < t < π f (t) = 2∞n=1
(−1)n+1
n sin(nt)
c0 = 1
2π π
−π
f (t)dt = 1
2π π
−π
tdt = 0
cn
= 1
2π
π−π
f (t)e−intdt = 1
2π
π−π
te−intdt = (−1)n+1
in
f (t) =∞
n=−∞
cn eint =n=0
(−1)n+1
in eint =
=∞
n=1
(−1)n+1
in
eint +∞
n=1
(−1)−n+1
−in
e−int =
=∞n=1
(−1)n+1
in
eint − e−int
– p. 11
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2
– p. 12
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2
– p. 12
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo 2
– p. 12
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo 2
– p. 12
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2
– p. 12
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Serie de Fourier
f : R → R 2π-periódica e integrable en [−π, π]
Serie de Fourier: forma trigonométrica
f (x) = 12
a0 ++∞n=1
an cos(nx) + bn sin(nx)
an = 1
π
π−π
f (x)cos(nx) dx bn = 1
π
π−π
f (x)sin(nx) dx
Serie de Fourier: forma exponencial
f (x) =+∞
n=−∞
cn einx cn = 1
2π
π−π
f (x)e−inx dx
– p. 13
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Serie de Fourier
f : R → R 2L-periódica e integrable en [−L, L]
Serie de Fourier: forma trigonométrica
f (x) =
1
2 a0 +
+∞n=1
an cos
nπ
L x
+ bn sinnπ
L x
an = 1
L
L−L
f (x)cosnπ
L x
dx bn = 1
L
L−L
f (x)sinnπ
L x
dx
Serie de Fourier: forma exponencial
f (x) =+∞
n=−∞
cn einπL
xcn =
1
2L
L−L
f (x)e−i
nπL
xdx
– p. 14
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Función par
Si f es par, 2π-periódica e integrable en [−π, π]
an = 1
π
π−π
f (x)cos(nx) dx = 2
π
π0
f (x)cos(nx) dx
bn = 1
π
π−π
f (x) sin(nx) dx = 0
Serie de Fourier (desarrollo en cosenos)
f (x) = a0
2 +
+∞
n=0
an
cos(nx)
– p. 15
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función impar
Si f es impar, 2π-periódica e integrable en [−π, π]
an = 1
π π
−π
f (x)cos(nx) dx = 0
bn = 1
π
π−π
f (x)sin(nx) dx = 2
π
π0
f (x) sin(nx) dx
Serie de Fourier (desarrollo en senos)
f (x) =+∞n=1
bn sin(nx)
– p. 16
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Extensión par
Sea f : [0, π] → R se define la extensión par de f como la
función f : [−π, π] → R definida por
f (x) = f (−x) −π ≤ x < 0
f (x) 0 ≤ x ≤ π
Ejemplo: f (x) = √
x x ∈ [0, π]
f (x) =
√ −x −π ≤ x < 0
√ x 0 ≤ x ≤ π
– p. 17
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Extensión impar
Sea f : [0, π] → R se define la extensión impar de f como la
función f : [−π, π] → R definida por
˜f (x) =
−f (−x) −π ≤ x < 0
f (x) 0 ≤ x ≤ π
Ejemplo f (x) = √
x x ∈ [0, π]
f (x) = −
√ −
x
−π
≤ x < 0
√ x 0 ≤ x ≤ π
– p. 18
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo. Extensión par
Función:
f (x) = π − x x ∈ [0, π]
Extensión par:
f (x) =
π + x
−π
≤ x < 0
π − x 0 ≤ x ≤ π
– p. 19
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión par
Extensión par: =⇒ Desarrollo en cosenos (bn = 0)
f (x) = π + x −π ≤ x < 0
π − x 0 ≤ x ≤ πf (x) =
π
2 +
4
π
∞
k=1
cos(2k
−1)x
(2k − 1)2
a0 = 1
π
π−π
f (x) dx = 2
π
π0
(π − x) dx = π
an
= 1
π π
−π
f (x)cos(nx) dx = 2
π π
0
(π
−x)cos(nx) dx =
= 2
π
1 − (−1)n
n2 =
0 n = 2k4
πn2 n = 2k + 1
– p. 20
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión impar
Función:
f (x) = π − x x ∈ [0, π]
Extensión impar:
f (x) =
−(π + x) −π ≤ x < 0
π − x 0 ≤ x ≤ π
– p. 21
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo. Extensión impar
Extensión impar =⇒ Desarrollo en senos (an = 0)
f (x) =
−(π + x) −π ≤ x < 0
π−
x 0 ≤
x ≤
πf (x) = 2
∞
n=1
sin(nx)
n
bn
= 1
π
π−π
f (x) sin(nx) dx = 2
π
π0
(π − x) sin(nx) dx =
= 2
π
π
n =
2
n
– p. 22
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Ejemplo. Extensión periódica
Función:
f (x) = π − x x ∈ [0, π]
Extensión π-periódica:
f (x) =
−x −π ≤ x < 0
π
−x 0
≤ x
≤ π
– p. 23
ó ó Ej i i
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión periódica
Extensión π-periódica:
f (x) = −x −π ≤ x < 0
π − x 0 ≤ x ≤ πf (x) =
π
2 +
∞
n=1
sin(2nx)
2n
a0 = 1
(π/2)
π0
f (x) dx = 2
π
π0
(π − x) dx = π
an
= 1
(π/2) π
0
f (x)cos(2nx) dx = 2
π π
0
(π
−x) cos(2nx) dx = 0
bn = 1
(π/2)
π0
f (x)sin(2nx) dx = 2
π
π0
(π − x) sin(2nx) dx = 1
n
– p. 24
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejercicios
Obtener la serie de Fourier de las funciones:
1. f (t) = −1 −π < t < 0
1 0 < t < π
(2π-periódica)
2. f (t) = | sin t| − π < t < π
3. f (t) = 0 − π < t < 0
sin t 0 < t < π
(2π-periódica)
– p. 25
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 26
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Conceptos previos
Función continua a trozos
f : [a, b] → R con −∞ < a < b < +∞ tal que
es continua en [a, b] salvo quizá en un número finito de
puntos {x1, x2, . . . , xn}en cada punto de discontinuidad, el salto es finito.
Función regular a trozos
f : [a, b] → R con −∞ < a < b < +∞ tal que
f es continua a trozos en [a, b]
f es continua a trozos en [a, b]
– p. 27
C t i C i t l
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos
Función L1
f : [a, b] → R tal que b
a
|f (x)| dx < +∞
f : R → R tal que
+∞
−∞
|f (x)| dx < +∞
Función L2
f : [a, b] → R tal que
ba
|f (x)|2 dx < +∞
f : R → R tal que +∞−∞ |f (x)|
2
dx < +∞
L2
[a, b]
⊂ L1
[a, b]
– p. 28
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Convergencia puntual
Sea f función 2π-periódica. Si cumple
f es continua a trozos en [−π, π]
Existe la derivada de f por la derecha y por la izquierda ∀x ∈[−π, π)
La serie de Fourier de f converge puntualmente en [−π, π]
a0
2 +
+∞
n=1
an cos(nx) + bn sin(nx) =
1
2
f (x+) + f (x−)
Si x ∈ (−π, π)
1
2
f (π) + f (−π)
Si x = −π ó x = π
– p. 29
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Convergencia uniforme
Criterio de la mayorante
Dadas la serie funcional S (x) =+∞n=1
f n(x) y la serie numérica
+∞n=1
M n, que cumplen:
|f n(x)| ≤ M n ∀x ∈ [a, b] y ∀n ∈ N
Si la serie numérica
+∞n=1
M n converge, entonces la serie S (x)
converge uniformemente en [a, b]
– p. 30
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Conv. uniforme. Serie de Fourier
f (x) = a0
2 +
+∞n=1
an cos(nx) + bn sin(nx)
=
+∞−∞
cneinx x ∈ [−π, π]
Si las series
an y
bn o
cn convergen absolutamente,entonces la serie de Fourier converge uniformemente a f en
[−π, π]
Si f es 2π-periódica y continua, y f es continua a trozos en
[
−π, π], entonces la serie de Fourier converge uniformemente a
f en [−π, π]
– p. 31
Dpto Matemática Aplicada y EstadísticaT a Dpto Matemática Aplicada y Estadística
U i id d
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Teoremas
Si f (x) =+∞n=1
f n(x) siendo la convergencia uniforme en [a, b]
Continuidad Si f n(x) es una función continua [a, b] para todo n ∈ N, entonces
f es continua en [a, b]
Integrabilidad
Si f n(x) es una función continua [a, b] para todo n ∈
N entonces
se puede integrar la serie término a término:
x2x1
f (x) dx =+∞n=1
x2x1
f n(x) dx a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b
– p. 32
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Unicidad
Si f es 2L-periódica y regular a trozos en [−L, L], entonces la
serie de Fourier de f es única.
Ejemplo
f (t) = | sin t| = 2
π − 4
π
∞n=1
cos(2nt)
4n2 − 1
g(t) =
0 − π < t < 0
sin t 0 < t < π=
1
2(sin t + f (t))
g(t) = 1
π − 2
π
∞n=1
cos(2nt)
4n2 − 1 +
1
2 sin t
– p. 33
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Derivación
Si f es 2L-periódica y continua, y f es regular a trozos en
[−L, L], entonces la serie de Fourier (que converge uniforme-
mente a f en [−L, L])
f (x) = 12
a0 ++∞n=1
an cos
nπL
x
+ bn sin
nπL
x
se puede derivar término a término y converge puntualmente a
f (x) en [−L, L]
f (x) = π
L
+∞
n=1
nbn cosnπ
L x−
nan sinnπ
L x
– p. 34
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Integración
Si f es 2L-periódica y continua a trozos, y f es continua a
trozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier (que converge
puntualmente a f en [−L, L])
f (x) = 12
a0 ++∞n=1
an cos
nπL
x
+ bn sin
nπL
x
se puede integrar término a término.
– p. 35
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
IntegraciónDpto. Matemática Aplicada y Estadística
Ejemplo
7/23/2019 Integrales Fourier
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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Integración
f (x) = 1
2 a0 +
+∞n=1
an cos
nπ
L x
+ bn sinnπ
L x
=⇒ 12
A0 + Lπ
+∞n=1
− bn
n cos
nπL
x
+ an
n sin
nπL
x
converge uniformente a F (x) − a0
2 x en [−L, L] con
F (x) = x
0
f (s) ds
−L
≤ x
≤ L
1
2 A0 =
1
2L
L−L
F (x) dx
– p. 36
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo
A partir del desarrollo de la función
f (t) = −1 − π < t < 0
1 0 < t < π
obtener la serie de Fourier de g(t) = |t| en [−π, π]
– p. 37
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 38
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Error cuadrático medio
Sea: f : [−π, π] −→ R 2π− periódica
Suma parcial N -ésima de su serie de Fourier:
S N (x) = 1
2 a0 +
N n=1
an cos(nx) + bn sin(nx)
Error de la aproximación en cada punto:
E N (x) =f (x) − S N (x)
Error cuadrático medio de la aproximación
EN = 1
2π
π−π
f (x) − S N (x)
2dx
– p. 39
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
Desigualdad de BesselDpto. Matemática Aplicada y Estadística
Convergencia en la media
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E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Desigualdad de Bessel
Error cuadrático medio de la aproximación
EN = 1
2π
π
−π
f 2(x) dx
−πa2
0
2
+N
n=1
(a2n + b2n)
Como EN ≥ 0
a20
2 +
N
n=1
(a2n + b2n) ≤ 1
π
π−π
f 2(x) dx
– p. 40
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Convergencia en la media
a20
2 +
N n=1
(a2n + b2n) ≤ 1
π
π−π
f 2(x) dx
Si f ∈ L2([−π, π]) entonces la serie
a20
2 +
∞n=1
a2n + b2n
converge. Además, convergen por separado.
Se cumple (convergencia en la media)
lımN →∞
EN = lımN →∞
1
2π
π−π
f (x) − S N (x)
2dx = 0
– p. 41
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Identidad de Parseval
Como lımN →∞
EN = 0,
π
−π
f 2(x) dx = π
2 a2
0 + π∞
n=1
(a2n + b2n)
Ejemplo: a partir del desarrollo de Fourier de la función 2π-
periódica
f (t) = t2 t ∈ [−π, π]
calcular la suma∞n=1
1n4
– p. 42
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 43
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
Función delta de DiracDpto. Matemática Aplicada y Estadística
Propiedades
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E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función delta de Dirac
Sea
f ε(t) =
1
ε
0
≤ t
≤ ε
0 resto
+∞−∞
f ε(t) dt = 1
t
f ε(t)
ε
1/ε
δ (t) = lımε→0
f ε(t) y
+∞−∞
δ (t) dt = 1
– p. 44
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Propiedades
+∞−∞
δ (t) dt = 1
Si g(t) es una función continua en R, entonces +∞−∞
g(t)δ (t) dt = g(0)
Si g(t) es una función continua en R, entonces +∞−∞
g(t)δ (t − a) dt = g(a)
– p. 45
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
serie de Fourier
δ (t) =
∞ t = 0
0 t = 0− T < t < T −→ δ (t) =
∞n=−∞
cneinπ
T t
cn = 1
2T
T −T
δ (t) e−inπ
T t dt =
1
2T e−i
nπ
T 0 =
1
2T
δ (t) =∞
n=−∞
cneinπ
T t =
1
2T +
1
2T
∞n=1
ei
nπ
T t + e−i
nπ
T t
=⇒
δ (t) = 1
2T +
1
T
∞n=1
cosnπ
T t
– p. 46
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 47
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E T S I A á ti (UPM)
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E T S I A á ti (UPM)
7/23/2019 Integrales Fourier
http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 15/17
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 47
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 47
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
– p. 48
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
f : R → R 2L-periódica e integrable en [−L, L]
Serie de Fourier: forma trigonométrica
f (x) = 1
2 a
0 +
+∞
n=1
an
cos nπ
L x+ b
n sinnπ
L x
an = 1
L
L−L
f (x)cosnπ
L x
dx bn = 1
L
L−L
f (x)sinnπ
L x
dx
Serie de Fourier: forma exponencial
f (x) =+∞
n=−∞
cn einπL
xcn =
1
2L
L−L
f (x)e−i
nπL
xdx
c0 = 1
2 a0 cn =
1
2(an − ibn) c−n =
1
2(an + ibn)
– p. 49
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E T S I Aeronáuticos (UPM)NotaciónDpto. Matemática Aplicada y Estadística
E T S I Aeronáuticos (UPM)Ejemplo
7/23/2019 Integrales Fourier
http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 16/17
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Notación
Periodo
T = 2L
Frecuencia fundamental
ω0 = 2π
T
Frecuencia del armónico n
ωn = nω0
f (t) =+∞
n=−∞
cn eiωnt cn = 1
T
T/2−T/2
f (t)e−iωnt dt
– p. 50
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo
f (t) =
−1 −T /2 < t < 0
1 0 < t < T/2f (t) =
4
π
∞
k=1
sin(2k − 1)ω0t
2k
−1
– p. 51
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Forma exponencial
c0 = 1
2 a0 cn =
1
2(an − ibn) c−n =
1
2(an + ibn)
Forma exponencial de los coeficientes cn
cn = |cn|eiφn c−n = cn = |cn|e−iφn
siendo
Amplitud del armónico n
|cn| = 1
2 a2n + b2n
Fase del armónico n
φn = arg(cn)
– p. 52
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)
Espectros de frecuencia discreta
A cada función periódica f (t) le corresponde un único desarro-
llo en serie de Fourier.
f (t) −→ {cn}
Los coeficientes cn especifican a f (t) en el dominio de la fre-
cuencia, de la misma manera que f (t) especifica la función en
el dominio del tiempo.
– p. 53
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Espectros de frecuencia discretaDpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo
7/23/2019 Integrales Fourier
http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 17/17
( )Espectros de frecuencia discreta
Se llama espectro de amplitud de f (t) a la gráfica que represen-
ta el módulo de los coeficientes cn frente a la frecuencia angular
ωn del armónico correspondiente.
Se llama espectro de fase de f (t) a la gráfica que representa
el argumento φn de los coeficientes cn frente a la frecuencia
angular ωn del armónico correspondiente.
Como ωn = nω0, los espectros son gráficas discretas
– p. 54
( )Ejemplo
f (t) =
−1 −T /2 < t < 0
1 0 < t < T/2f (t) =
4
π
∞k=1
sin(2k − 1)ω0t
2k − 1
cn =
0 n par
−i
2
nπ n impar
– p. 55