haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...

TELAVIV UNIVERSITYRAYMOND AND BEVERLY SACKLER FACULTY OF EXACT SCIENCES

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES

âáéáà-ìú úèéñøáéðåàøì÷àñ éìøááå ãðåîééø ù"ò íé÷éåãî íéòãîì äèìå÷ôää÷éèîúîä éòãîì øôñä úéá

äàåìâ úøåúá íéàùåð

øåòù éëøòî

ó"ùú

éãé ìò êøòð

ïøä ïã

27.1.2020 :ïåøçà ïåëãò

úöìîåî úåøôñ

• M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic (3rd edition), Ergebnisse der Mathematik und

ihrer Grenzgebiete 11, Springer 2008

• M. Jarden, Algebraic Patching, Springer Monographs in Mathematics, Springer 2011

•H. Volklein, Groups as Galois groups; an introduction, Cambridge Studies in Advanced

Mathematics 53, Cambridge University Press 1996

• L. Ribes, Introduction to Profinite Groups and Galois Cohomology, Queen’s Univer-

sity, Queen’s papers in pure and applied Mathematics 24, Kingston, 1970

• L. Ribes, P. Zalesskii, Profinite Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Gren-

zgebiete 40, 2nd edition, Springer 2010

ïøåì éøåèå úå÷æç éøåè .1

øéãâð .äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé

,R[[t]] = ∞∑i=0

aiti| ai ∈ R

.R((t)) =

∞∑i=N

aiti| N ∈ Z, ai ∈ R

úåàáä úåìåòôì ñçéá , äãéçé íò íééáéèèåîå÷ íéâåç íäéðù .R ìòî ïøåì éøåè âåçå R ìòî úå÷æç éøåè âåç(∑

aiti)+(∑

biti)=

(ai + bi)ti

aiti)(∑

bjtj)=

.k ìëì ,ck =∑i+j=k aibj ∈ R øùàá

.äãù àåä K((t)) æà ,äãù K íà :1.1 äðòè

æà .aN = 0 úåéììëä úìáâä éìá .K((t))-á éëôåä ùé 0 = f =∑∞i=N ait

i ìëìù çéëåäì êéøö :äçëåä

f = æà .(aN tN )−1f -á f úà óéìçð úøçà ,a0 = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .êéôä aN t

a0b0 = 1 ,øîåìë ,fg = 1-ù êë g =∑∞i=0 bit

i ∈ K[[t]] àåöîì éã úòë .a0 = 1 ,∑∞i=0 ait

i ∈ K[[t]]

.bk = −akb0 − ak−1b1 − . . .− a1bk−1 äéö÷åãðéàáå ,b0 = 1 øéãâð .k > 0 ìëì∑i+j=k aibj = 0-å

.äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé :1.2 äøòä

.R ⊆ R[t] ⊆ R[[t]] ⊆ R((t)) (à)

.K[[t]] ìù úåðîä äãù àåä K((t)) (á)

.K(t) ⊆ K((t)) (â)

åäæ .∑∞i=0 ait

i 7→ a0 éãé ìà äðåúðä R[[t]] → R ä÷úòä àéä f 7→ f(0) ñôà úáöä :1.3 äøãâä

.íéâåç íæéôøåîåîåä

íà :R[[t]][X] → R[X] íéîåðéìåôä éâåç ìù F (X) 7→ F0(X) íæéôøåîåîåäì äúåà áéçøð

.F0(X) =∑nk=0 fk(0)X

k æà ,fk ∈ R[[t]] øùàá F (X) =∑nk=0 fkX

g, h ∈ K[X] øùàá ,F0 = gh çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãùK éäé :(Hensel ìù äîìä) 1.4 èôùî

,ïë ìò øúé .G0 = g,H0 = h-å íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá F = GH æà .íéøæå íéð÷åúî

.degH = deg h-å degG = deg g

.r = deg g, s = deg h åéäéå n = degF = degF0 éäé :äçëåä

òáåð F = GH êåúî ìáà .degG ≥ r,degH ≥ s æà ,G0 = g,H0 = h-ù êë íéð÷åúîG,H íà

.degG = r,degH = s çøëäá ïëì ,degG+ degH = n = r + s

ìëì ain = 0-å a0n = 1 ,ï÷åúî F -ù ïååéë .aik ∈ K øùàá ,F =∑nk=0(

∑∞i=0 aikt

i)Xk áåúëð

degFi < n-å degF0 = n æà .i ìëì Fi =∑nk=0 aikX

k øùàá ,F =∑∞i=0 Fit

i áåúëì øùôà .i > 0

íéé÷úîù êë ,Gi,Hi ∈ K[X] øùàá ,H =∑∞i=0Hit

i ,G =∑∞i=0Git

i àåöîì éã .i > 0 ìëì

,øîåìë ,F = GH-å (íéð÷åúî G,H ïëìå) i > 0 ìëì degGi < r, degHi < s ,G0 = g,H0 = h

.k ≥ 0 ìëì Fk =∑i+j=kGiHj

.k ìò äéö÷åãðéàá àéä Gk,Hk ìù äéðáä

.F0 = G0H0 íéîéé÷îå úåðåëðä úåìòîäî íä ,íéðåúð øáë G0,H0 :k = 0 øåáò

íéé÷úîù êë ,degGk < r, degHk < s úåìòîî Gk,Hk àåöîì êéøö .k − 1 øåáò úåðåëð çéðð

.gHK + hGk = Fk −k−1∑i=1

GiHk−i =: U

ïàëî .1 = gh + hg-ù êë g, h ∈ K[X] ùé ,íéøæ g, h-ù ïååéë .degU < r + s = n-ù áì íéùð

.Hk = hU ,Gk = gU øùàá ,U = gHk + hGk

,degGk < r ïëì .deg(hGk) = deg(U − gHk) < n ïëìå ,deg gHk < n æà ,degHk < s íà

.åðîééñå

ïúåð úéøàù íò ÷åìéç ,àì íà

Hk = hQ+ Hk, Q, Hk ∈ K[X], deg Hk < deg h < s

,U = ghQ+ gHk + hGk = gHk + h(gQ+Gk) = gHk + hGk

.deg Gk < r ,ìéì øåîàä éôì ,ïëì .deg Hk < s ,øåîàë .Gk = gQ+Gk øùàá

êë α ∈ K ùøåù ùé ,F0 ∈ K[X] ,åìù ñôàá äáöäìù çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãù K éäé :1.5 ìéâøú

.g(0) = α íéé÷îù g(t) ∈ K[[t]] ùøåù ùé F íåðéìåôìù çëåä .F ′0(α) = 0-ù

êë ,degF = n ≥ 2 ,ï÷åúî F (X) ∈ K[[t]][X] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.6 äð÷ñî

,F = GH æà .0 íìåë àì a0, . . . , an−2 ∈ K -å ,n ≥ 2 øùàá ,F0 = Xn + an−2Xn−2 + . . .+ a0 -ù

.0 < degG, degH < n ,íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá

øùàá F0 = gh æà ,íéååù íìåë àì α1, . . . , αn íà .F0 =∏ni=1(X − αi) ïëì ,úéøáâìà øåâñ K :äçëåä

.ù÷åáî ÷åøéô ùé ìæðä úîì éôì .íéð÷åúîå íéøæ g, h ∈ K[X]

éôì .F0 = (X − α1)n = Xn − nα1X

n−1 + . . . + (−1)nαn1 ïëìå ,α1 = . . . = αn úøçà

.äøéúñ ,F0 = Xn ïëìå ,α1 = 0 ïëì .nα1 = 0 äçðää

æà .e ∈ N éäé

eZ = n

e| n ∈ Z

äöåá÷ä .Z-ì úéôøåîåæéà íâ ìáà ,Z úà äìéëî ,Q ìù úéøåáéç äøåáç úú àéä

Λe := K((t1e )) =

∞∑i=N

aitie | N ∈ Z, ai ∈ K

íéé÷úî .K((t

1e )) ∼= K((t)) íâ ìáà ,K((t)) ⊆ K((t

1e )) ,äãù àåä (úåøåøáä úåìåòôä íò)

.Λ := K((t)) =∑

aitie ∈ Λe| e ∤ i ìëì ai = 0

g -ì ùé n ∈ N ìëì æà .g(0) = 0-ù êë g ∈ K[[t]] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.7 ìéâøú

.K[[t]]-á é-n ùøåù

úøåáç .τ = t1e éãé ìò úøöåð ,e äìòîî äàåìâ úáçøä Λe/Λ æà .ζe éáéèéîéøô äãéçé ùøåù ìéëî K -ù çéðð :1.8 äîì

.ωe(τ) = τζe èøôá .∑i ait

ie 7→

∑i aiζ

ie :êë øãâåîù ωe éãé ìò úøöåð ,úéìâòî äìù äàåìâ

.τ = t1e ïîñð :äçëåä

äãéçé äâöä ùé i ∈ Z ìëì .f =∑i aiτ

i ∈ Λe éäé ,ïëà .Λe/Λ ìù ñéñá 1, τ, . . . , τe−1 :äðòè

ïëì .e, j ∈ Z ,0 ≤ k < e øùàá ,i = ej + k

e−1∑k=0

aej+kτej+k =

e−1∑k=0

aej+ktj)τk

.äãéçé åæ äâöäù úåàøì ì÷ .Λ ìòî 1, τ, . . . , τe−1 ìù éøàðéì óåøéö f ïëì .k ìëì∑j aej+kt

j ∈ Λ øùàá

øîå÷ úøåúî .irr(τ,Λ) = Xe − t ïëì .τe = t ∈ Λ øùàë ,Λe = Λ(τ)-å ,e äìòîî Λe/Λ ,ïë íà

æà ìáà .ωe(τ) = τζe øùàá ,Gal(Λe/Λ) = ⟨ωe⟩ ,úéìâòî äàåìâ Λe/Λ-ù òåãé

aiτi)= ωe

( e−1∑k=0

aej+ktj)τk

e−1∑k=0

aej+ktj)(τζe)

=e−1∑k=0

aej+kζeje τ

ej)(ζke τ

k) =∑i

aiζieτi

íà .e ∈ N ìëì ,éáéèéîéøô é-e äãéçé ùøåù ùé K-á æà .úéøáâìà øåâñ K-å charK = 0 çéðð

êë e ùé e1, e2 ìëì éë ,äãù åäæ ,ïë ìò øúé .øãâåî Λ :=∪e∈N Λe ïëì .éòáè ïôåàá Λd ⊆ Λe æà d|e

.Λe1 ,Λe2 ⊆ Λe-ù

.∆ = Λe æà .e äìòîî Λ ìù äáçøä ∆ ⊆ Λ éäú :1.9 äð÷ñî

ìáà .Λe ⊆ Λf ïëì ,e = [∆ : Λ]|[Λf : Λ] = f æà .∆ ⊆ Λf -ù êë f ∈ N ùé Λ ìù äøãâää éôì :äçëåä

.∆ = Λe ïàëî .Λ ìòî e äìòîî ãéçé íééðéá äãù äì ùé ïëìå f äìòîî úéìâòî äáçøä Λf/Λ

.Λ ìù éøáâìà øÛâñ àåä Λ æà .úéøáâìà øåâñ K -å charK = 0 çéðð :1.10 èôùî

çéëåäì éã ,èôùîä úà çéëåäì éãë :äçëåä

.Λ-á ùøåù ùé 1 ≤ äìòîî F ∈ Λ[X] ìëì :äðòè

éäé .Λ ìòî éøáâìà α æà .α ∈ Ω éäé ,êôéäì .Λ ⊆ Ω æà Λ ìù éøáâìà øÛâñ Ω éäé .úéøáâìà Λ/Λ ,ïëà

.Λ = Ω ïëì .α ∈ Λ íâ ïëì ,úéìîøåð Λ/Λ ìáà .Λ-á ùøåù åì ùé äðòèä éôì F = irr(α,Λ)

.äøåøá äðòèä n = 1 øåáò .n = degF ìò äéö÷åãðéàá :äðòè úçëåä

úìáâä éìá .λn = 0-å λi ∈ Λ øùàá ,F (X) = λnXn + λn−1X

n−1 + . . .+ λ0 æà .n > 1 çéðð

.÷éôñî ìåãâ N ∈ N øùàá tN -á F úà ìéôëð úøçà ,i ìëì λi ∈ K[[t]] úåéììëä

,ïëà .λn = 1 úåéììëä úìáâä éìá

,λn−1n F (X) = (λnX)n + λn−1(λnX)n−1 + . . .+ λn−2

n λ1(λnX) + λn−1n λ0 = G(λnX)

G(X)-ì íà .ï÷åúî G(X) = Xn + λn−1Xn−1 + . . .+ λn−2

n λ1X + λn−1n λ0 ∈ K[[t]][X] øùàá

. αλn∈ Λ ùøåù ùé F (X)-ì æà α ∈ Λ ùøåù ùé

,ï÷åúî G ∈ K[[t]][X] æà .G(X) = F (X − λn−1

n ) éäé ,ïëà .λn−1 = 0 úåéììëä úìáâä éìá

(n− 1 > äìòîî íéîåðåî úèîùäá) ìáà .Λ-á ùøåù ùé F -ì íà ÷øå íà Λ-á ùøåù åì ùéå ,n äìòîî

G(X) = (X − λn−1

n)n + λn−1(X −

λn−1

n)n−1 + . . . =

= (Xn − nλn−1

nXn−1 + . . .) + λn−1(X

n−1 + . . .) + . . . = Xn + 0Xn−1 + . . .

ùøåù åì ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ,ïëìå ,Λ ìòî ÷øôúî F (X) ,1.6 äð÷ñî éôì æà , F0(X) = Xn íà

.F0(X) = Xn éë çéðð ïëì .Λ-á

aNj j = 0 øùàá ,λj =∑∞i=Nj

aijti ,j ∈ J ìëì æà .J = 0 ≤ j ≤ n − 2| λj = 0 éäú

êë ùøåôî ïôåàá áåúëì øùôà F úà .Nj > 0-å

.F (X) =∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijti)Xj +Xn

.Λ-á 0 ùøåù åì ùéå F (X) = Xn æà J = ∅ íà

æà .d, e ∈ N øùàá de = minj∈J

n−j > 0 éäé .J = ∅ çéðð

.j′ åúåà ïîñð ;ïåéååù ùé åøåáò j ∈ J ùéå j ∈ J ìëì d(n− j) ≤ eNj (à)

øéãâð .τ = t1e ∈ Λ éäé

.F ∗(X) = τ−dnF (τdX) =∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijτ−dn(τe)i

)τdjXj + τ−dnτdnXn =

=∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijτei−d(n−j))Xj +Xn

.aNj′ j′ = 0 àåä F ∗

0 -á Xj′ ìù íã÷îä éë ,F ∗0 (X) = Xn-å F ∗(X) ∈ K[[τ ]][X] ,(à) éôì

ùéù ììâá) äéö÷åãðéàä úçðä éôì .F ∗ = G∗ · H∗ ,øîàð ,K[[τ ]] ìòî ÷øôúî F ∗ ,1.6 äð÷ñî éôì

äáçøä éäùåæéàá øîåìë ,K((τ)) ìù éøáâìà øåâñá ùøåù H∗-ì ùé (K[[τ ]] ∼= K[[t]] íæéôøåîåæéà

ùøåù ùé F -ì íâù ïàëî .Λ-á ùøåù ùé F ∗-ì íâ ïëì .K((τ)) ìù K((τ1f )) = K((t

1ef )) ⊆ Λ

.Λ-á

.e ìëì ω|Λe= ωe -ù êë ω ∈ Gal(Λ/Λ) ùé ,øîåìë ,Gal(Λ/Λ) ∼= Z-å ,äàåìâ úáçøä Λ/Λ :1.11 èôùî

.Λ ìù äàåìâ úáçøä àéä íâ ,Λ ìù äàåìâ úåáçøä ìù óåøéö àéä Λ-ù ïååéë :äçëåä

íà ,ìùîì) .e1, e2 ∈ N ìëì ζe1e1e2 = ζe2 -ù óë ζee∈N íééáéèéîéøô äãéçé éùøåù úëøòî øçáð

(.e ìëì ζe = exp( 2π√−1e ) ç÷ð ,K = C

ïàëîå ,e = [Λe : Λ]|[Λf : Λ] = f ,ïëà .ωf |Λe= ωe æà Λe ⊆ Λf íà ,åæ äøéçáá

.ωf (t1e ) = ωf

(ωf (t

1f )) f

e = (ζf t1f )

fe = (ζf )

fe = ζet

1e = ω(t

x ∈ Λe′ íâå x ∈ Λe íà :äáåè äøãâä éäåæ .x ∈ Λe íà ,ω(x) = ωe(x) éãé ìò ω: Λ → Λ øéãâð

.ωe(x) = ωf (x) = ωe′(x) úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .f = ee′ øùàá ,x ∈ Λf æà

.ìòå éëøò-ãç-ãç ,íæéôøåîåîåä ω-ù úåàøì ì÷

-á ùøåù ïéà F (X) = Xp − X − t−1 ∈ Λ[X] íåðéìåôì æà ,charK = p > 0 íà :1.12 ìéâøú

.Λ ìù éøáâìàä åà ãéøôä øåâñä åðéà Λ ,èøôá .Λ =∪eK((t

úéìâòî (äãéøô èøôáå) äàåìâ úáçøä øöåéù åà Λ ìòî ìöôúîù åà äæë íåðéìåô ,øééøù-ïéèøà úøåú éôì :äçëåä

.Λ-á ùøåù ïéà F -ìù çéëåäì éã ïëì .p äìòîî

àåä F ìù ùøåù æà .äæë øúåéá ïè÷ e ç÷éð .τ = t1e øùàá ,Λe = K((τ))-á ùøåù åì ùé æà .ùéù çéðð

äøåöäî

.f(τ) =∞∑i=N

aiτi, aN = 0

ïëìå ,(f(τ))p =∑∞i=N a

pi τpi ,(charK = p-ù ïååéë) ïàëîå

∞∑i=N

api τpi −

∞∑i=N

aiτi = τ−e

íã÷îä ìàîù óâàá æà ,p ∤ i íà .p|e èøôá .pN = −e-å N < 0-ù íéàåø íéôâàä éðùá íéîã÷îä úàååùäî

ïàëî .p|N ,aN = 0-ù ïååéë ,èøôá .ai = 0 ïëì .0 àåä (p|e-ù ììâá) ïéîé óâàáå −ai àåä τ i ìù

,f(τ) =

∞∑i=N

aiτi =

∞∑j=N

apjτpj ∈ K((τp)) = K((t

1ep ))

.e ìù úåéøòæîì äøéúñá

óåòéñ .2

úáçøä F/E éäú .E = K(z) éäéå ,K ìòî éèðãðöñðøè z éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé

.n äìòîî úéôåñ äàåìâ

.E = K(tp) æà .tp =

z − p p ∈ K1z p =∞ øéãâð p ∈ P1

K ìëì .P1K = K ∪· ∞ ïîñð :2.1 äøãâä

éäé .åìù éøáâìàä øåâñä Λ =∪e Λe éäéå Λ = K((t)) ⊇ E éäé .t = tp éäéå p ∈ P1

K éäé

.e ìëì ω|Λe = ωe íéé÷îù íæéôøåîåèåàä ω ∈ Gal(Λ/Λ)

.äàåìâ úáçøä àéä θ(F )/E åøåáò .θ: F → Λ E -ïåëéù íéé÷ (à) :2.2 äîì

.θ(F ) = θ′(F ) èøôá .σ ∈ Gal(F/E) øùàá ,θ′ = θ σ íà ÷øå íà E -ïåëéù àéä θ′: F → Λ ä÷úòä (á)

f -ì ùé ,úéøáâìà øåâñ Λ-ù ïååéë .f = irr(α,E) ∈ E[X] éäé .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé (à) :äçëåä

.θ(F ) = E(β) æà .θ(α) = β-ù êë θ: E(α)→ E(β) E-íæéôøåîåæéà íéé÷ ,òåãéë .β ∈ Λ ùøåù

.êë éðùä íâ ,E ìòî ãéøôå éìîøåð àåä ïåùàøäå E ìòî íééôøåîåæéà E(α), E(β)-ù ïååéë

.θ(F ) = θ′(F ) ïëìå ,Λ-á f ìù ìåöéô úåãù íäéðù θ(F ), θ′(F ) æà ,E-ïåëéù θ′: F → Λ íà (á)

θ′ = θ σ æà ,σ ∈ Gal(F/E) íà ,êôéäì .θ′ = θ σ íéé÷úîå σ ∈ Gal(F/E) æà .σ = θ−1 θ′ éäé

.E-ïåëéù àåä

.Cp = θ−1 ω θ| θ: F −→E

Λ ⊆ Gal(F/E) äöåá÷ä àéä F/E-á p ìù ä÷ìçîä (à) :2.3 äøãâä

.θ ìù äøéçáá äéåìú äðéà àéä .θ: F −→E

Λ øùàá ,θ−1 ω θ ìù úåãéîöä ú÷ìçî éäåæ ,äîìä éôì

ñ÷ãðéà àø÷éé äæ øôñî ;e = ep(F/E) ∈ N äæéà øåáò ,Λθ(F ) = Λe æà θ: F −→E

Λ íà (á)

.F/E-á p ìù óåòéñä

.ep(F/E)|[F : E] èøôá .ord g = ep(F/E) æà .g ∈ Cp éäé (à) :2.4 äîì

p ìù Cp ä÷ìçîä ìù íåöîöä àéä F ′/E -á p ìù C ′p ä÷ìçîä æà .F ′ ⊆ F , äàåìâ úáçøä F ′/E éäú (á)

.ep(F′/E)|ep(F/E)-å F/E -á

Gal(Λe/Λ) → Gal(θ(F )/E) íåöîöä ú÷úòä ,Λθ(F ) = Λe-ù ïååéë .e = ep(F/E) éäé (à) :äçëåä

.ord g = ord (ω|Λe) = ordωe = e ïëì .úéëøò-ãç-ãç àéä

.#Gal(θ(F )/E) = #Gal(F/E) = [F : E] úà ÷ìçî äæ øôñî èøôá

ìù íåöîöä àåä (θ′)−1 ω θ′ æà .F ′-ì åîåöîö θ′: F ′−→E

Λ éäéå θ: F −→E

Λ øçáð (á)

.äîàúäá ,äìà íéøáà ìù úåãéîöä úå÷ìçî ïä Cp, C′p-å ,θ

−1 ω θ

.p ∈ P1K ìëì ep(F/E) úà àöîð .F = E( n

√f) éäéå ,f ∈ E = K(z) éäé :2.5 äîâåã

,ï÷åúî ,f ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá ïëì .c ∈ E× ìëì E( n√f) = E( n

√cnf)-ù áì íéùð

.j ìëì 1 ≤ mj < n ,íéðåù p1, . . . , pr ∈ K øùàá ,f =∏rj=1(z − pj)mj

θ(F ) úà øöåé äæë íøåâ ìù ùøåù .Λ ìòî íé÷éøô éà íéîøåâì Xn − f ∈ Λ[X] úà ÷øôð .t = tp éäé

:Λ ìòî Λe úà ïëìå ,E ìòî

æà .1 ≤ i ≤ r äæéà øåáò p = pi çéðð (à)

f = f(z) = f(t+ pi) = tmi

∏j =i

(t+ pi − pj)mj = tmig(t)n

ïëì .1.7 ìéâøú éôì ,g ∈ K[[t]] äæéà øåáò

Λ(f1/n) = Λ(tmin ) = Λ(t

mi/gcd(mi,n)

n/gcd(mi,n) ) = Λ(t1

n/gcd(mi,n) )

a, b ∈ Z ùé ïëì ,íéøæ e, d æà .e = n/gcd(mi, n), d = mi/gcd(mi, n) ïîñð :ïåøçàä ïåéååùä úà øéáñð)

ïëì .tde = (t

1e )d ∈ Λ(t

1e ) ,éðù ãöî .t

1e = ta(t

de )b ∈ Λ(t

de ) ïëìå , 1e = a+ bde æà .1 = ae+ bd-ù êë

.epi(F/E) = ngcd(mi,n)

ïàëî (.Λ(tde ) = Λ(t

æà .p = p1, . . . , pr ,p ∈ K éäé (á)

f = f(z) = f(t+ p) =∏j

(t+ p− pj)mj ∈ K[[t]]n

.ep(F/E) = 1 ïàëî .Λ(f1/n) = Λ ïëì

æà .am = 1 øùàá ,f(z) = amzm + . . .+ a0 éë çéðð .p =∞ éäé (â)

f = f(z) = f(1

tm(am + . . .+ a0t

m) = t−mgn

ïëì .g ∈ K[[t]] äæéà øåáò

Λ(f1/n) = Λ(t−m/n) = Λ(tm/n) = Λ(t1

n/gcd(m,n) )

.e∞(F/E) = ngcd(m,n) ïàëîå

.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá

h = (X−α1) · · · (X−αn) éäé .h = Xn+a1Xn−1+ . . .+an ∈ L[X] éäéå äãù L éäé :2.6 äøãâä

æà .L ìù L éøáâìà øåâñ ìòî å÷åøéô

Dnh :=∏i<j

(αi − αj)2 ∈ L

.h ìù äèððéîéø÷ñéãä àø÷ð

.(éøáâìà øåâñá) íéáåøî íéùøåù ïéà h-ì íà ÷øå íà Dnh = 0 :úîéé÷î àéä

éäé .Q ìòî íééåìú éúìá íéðúùî t1, . . . , tn åéäé .äèððéîéø÷ñéãä âùåîá èåøéô øúéá ïåãð

H = (X − t1) · · · (X − tn) = Xn +A1Xn−1 +A2X

n−2 + . . .+An ∈ Z[A1, . . . , An][X]

øùàá

−A1 = s1(t1, . . . , tn) =∑i

A2 = s2(t1, . . . , tn) =∑i<j

−A3 = s3(t1, . . . , tn) =∑i<j<k

titjtk

(−1)nAn = sn(t1, . . . , tn) = t1 · · · tn

íééåìú éúìá íä A1, . . . , An íâ ïëìå s1, . . . , sn ,òåãéë .t1, . . . , tn-á íééãåñéä íééøèîéñä íéîåðéìåôä íä

.Q ìòî úéøáâìà

g′(Y1, . . . , Yn) ∈ Z[Y1, . . . , Yn] ãéçé íåðéìåô íéé÷ ïëì .éøèîéñ íåðéìåô àåä∏i<j(ti− tj)2 ,úòë∏

i<j(ti − tj)2 =-ù êë ãéçé g ∈ Z[Y1, . . . , Yn] íéé÷ ïëì .∏i<j(ti − tj)2 = g′(s1, . . . , sn)-ù êë

.g(A1, . . . , An)

;DnH = g(A1, . . . , An) (à) :2.7 äðòè

.Dnh = g(a1, . . . , an) ∈ L (á)

.DnH =∏i<j(ti − tj)2 = g(A1, . . . , An) (à) :äçëåä

íæéôøåîåîåäì åúåà áéçøðå ,ti 7→ αi éãé ìò φ: Z[t1, . . . , tn] → L íæéôøåîåîåä øéãâð (á)

ïëì .i ìëì φ(Ai) = ai-å φ(H) = h æà .φ: Z[t1, . . . , tn][X]→ L[X]

Dnh =∏i<j

(αi − αj)2 =∏i<j

(φ(ti)− φ(tj)

)2= φ

(∏i<j

(ti − tj)2))=

= φ(g(A1, . . . , An)

(φ(A1), . . . , φ(An)

)= g(a1, . . . , an)

æà .n = 2 éäé :2.8 äîâåã

D2(X2 + a1X + a2) = (α1 − α2)

2 = (α1 + α2)2 − 4α1α2 = s1(α1, α2)

2 − s2(α1, α2) =

= A1(α1, α2)2 −A2(α1, α2) = a21 − 4a2

.ñôàî äðåù D := Dnf ∈ K[z] æà .n äìòîî f = irr(α,E) ∈ K[z][X]-ù êë F = E(α) éäé :2.9 äîì

.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá .ep(F/E) = 1 æà D(p) = 0-å p ∈ K íà

.f = f(z,X) ∈ K[z][X] ,íéðúùî éðùá íåðéìåôë f úà úåàøì øùôà ,K ìòî éèðãðöñðøè z-ù ïååéë :äçëåä

,÷éøô éà f -ù ïååéë .f(p,X) ìù äèððéîéø÷ñéãä àéä D(p) ∈ K-å ,D = Dnf ∈ K[z] ,(á) 2.7 äðòè éôì

.íéáåøî íéùøåù ïéà f(p,X)-ì æà ,D(p) = 0 íà .D = 0 ïëì ,íéáåøî íéùøåù f -ì ïéà ,äãéøô F/E-å

øùàá ,f(X) = H(X) ∈ K[[t]][X] æà .t = tp = z − p éäé .D(p) = 0-ù êë p ∈ K éäé

ïååéë .íéáåøî íéùøåù àìì H0(X) = f(0 + p,X) ∈ K[X] ïëì .H(X) = f(t+ p,X) ∈ K[[t]][X]

ìù äìôëî àåä H ,ìæðä ìù äîìä éôì .K ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ ìù äìôëî àåä H0 ,úéøáâìà øåâñ K-ù

.1 äìòîî àéä θ(F )Λ/Λ äáçøää ïëì .K[[t]] ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ

ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé F/E äáçøäì äîìä éôì .ep(F/E) > 1 íà F/E ìù úåôòúñä úãå÷ð àéä p

.úåôòúñä úåãå÷ð

.äîìá åîë f íåðéìåô íéé÷ù äàøä :2.10 ìéâøú

,ep(F2/E) = 1 éë çéðð .E = K(z) ìù äàåìâ úåáçøä éúù F1, F2 äðééäúå p ∈ P1K éäú :2.11 ìéâøú

.ep(F1F2/E) = 1 éë çëåä .ep(F1/E) = 1

úéøáâìà ä÷áãä .3

úëøòî íä ä÷áãä éðåúð :3.1 äøãâä

,E = (E,Fi, Qi, Q;Hi, G)i∈I (1)

-ù êë ,i ∈ I ìëì ,úåéôåñ úåøåáç ïä Hi ≤ G ,úåãù íä E ⊆ Fi, Qi ⊆ Q ,úéôåñ íéñ÷ãðéà úöåá÷ I äá

;i ∈ I ìëì ,Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Fi/E (à)

;i ∈ I ìëì ,Fi ⊆ Q′i :=

∩j =iQj (á)

;∩i∈I Qi = E (â)

;G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ (ã)

B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ùéB ∈ GLn(Q) ìëìå i ∈ I ìëì .n = |G| éäé (Cartan ÷åøéô) (ä)

.B = B1B2-ù êë

.(1) ä÷áãä éðåúð íéðåúðù çéðð äúòî

.E ⊆ Qi ∩ Fi ⊆ Qi ∩ Q′i = E éë ,Qi ∩ Fi = E íéé÷úî .Pi = QiFi ⊆ Q éäé i ∈ I ìëì

ääæð .Fi-ì íåöîöä éãé ìò ,Hi = Gal(Fi/E)-ì úéôøåîåæéà äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Pi/Qi ïëì

.PHii = Qi èøôá .Hi íò Gal(Pi/Qi)

úîéé÷îä f : G→∩i∈I Pi äéö÷ðåô àéä a ìù çåúéô .a ∈

∩i∈I Pi éäé :3.2 äøãâä

;a = f(1); (à)

.g ∈ G, h ∈ Hi = Gal(Pi/Qi) ,i ∈ I ìëì f(hg) = h(f(g)) (á)

.çåúéô ùé íäì a ∈∩i∈I Pi ìë úöåá÷ àåä E ä÷áãä éðåúð ìù ãéëìúä

,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ïëì ,G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ ,ïëà .ãéçé àåä ,a ìù çåúéô íéé÷ íà

äéö÷åãðéàáå ,f(h2h1) = h2(h1(a)) ,f(h1) = h1(a) ,f(1) = a æà .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá

.fa-á (íéé÷ àåä íà) a ìù çåúéôä úà ïîñð .f(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)

æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.3 äîì

.E ⊆ F ïëì .g 7→ a äòåá÷ä äéö÷ðåôä – çåúéô ùé a ∈ E ìëì (à)

.fab = fafb ,fa+b = fa + fb ,÷åéã øúéá .a+ b, ab ∈ F æà a, b ∈ F åéäé (á)

,fa−1(g) = (fa(g))−1 ,÷åéã øúéá .a−1 ∈ F æà .0 = a ∈ F éäé (â)

.fc(g) = fa(gσ) ,÷åéã øúéá .c := fa(σ) ∈ F æà .σ ∈ G-å a ∈ F åéäé (ã)

.h ∈∪Hi ìëì h(a) = a ïëìå i ∈ I ìëì E ⊆ Qi éë ,øåøá (à) :äçëåä

.øåøá (á)

fc(hg) = fa(hgσ) = h(fa(gσ)) = h(fc(g))-å ,fc(1) = fa(σ) = c æà .ìéòì åîë fc øéãâð (ã)

.c ∈ F èøôáå c ìù çåúéôä fc ïëì .h ∈∪i∈I Hi ìëì

(à) éôìå (ã) éôì úøçà ,fa(g) = 0 íéé÷úî g ∈ G ìëì (â)

,a = fa(1) = fa(g−1g) = ffa(g)(g

−1) = f0(g−1) = 0

.a−1 ìù çåúéô àéäù øåøá .äáåè ìéòì fa−1 äéö÷ðåôä ìù äøãâää ïëì .äøéúñ

ìëìù êë F ìò úìòåô G äøåáçä .E ìù äàåìâ úáçøä ,äãù àåä F æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.4 äîì

.E = FG íéé÷úî .F ⊆ Pi ìò Hi = Gal(Pi/Qi) ìù äìåòôä íò ääãæî Hi ≤ G ìù äìåòôä i ∈ I

.E úà ìéëî ,äãù àåä F ,3.3 äîì éôì :äçëåä

éãé ìò åéìò G ìù äìåòô øéãâð

.g∗(a) = fa(g) (2)

(.úåìåòôä éúù ïéá ìéãáð òâøë ìáà ,g∗(a) íå÷îá g(a) áåúëð ,äîìä úà çéëåðù éøçà)

íéé÷úéù êë äìåòô øéãâäì äãéçéä úåøùôàä éäåæ

.h ∈∪i∈I

Hi ìëì ,h∗(a) = h(a) (3)

íéé÷úî æà ,åðéàøù éôë .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá ,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ,ïëà

.fa(g) = h∗m(· · · (h∗2(h∗1(a)))···) = g∗(a) æà íéé÷úî (3) íà ,ïëì .fa(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)

(ã)3.3 äîì éôì .g∗(a1a2) = g∗(a1)g∗(a2) ,g∗(a1 + a2) = g∗(a1) + g∗(a2) ,(á)3.3 äîì éôì

(gσ)∗(a) = fa(gσ) = ffa(σ)(g) = fσ∗(a)(g) = g∗(σ∗(a)),

1∗(a) = fa(1) = a

.h∗(a) = fa(h) = h(fa(1)) = h(a) æà h ∈ Hi íà .äìåòô éäåæ ïëì

æà a ∈ FG íà ,êôéäì .E ⊆ FG ïëì ,g ∈ G ìëì g∗(a) = fa(g) = a æà a ∈ E íà

.E = FG ïëì .a ∈∩i∈I Qi = E ïàëîå ,i ∈ I ìëì a ∈ PHi

i = Qi

.Gal(F/E) = G-å äàåìâ F/E ïéèøà ìù äîìä éôì .Aut(F )-á G ìù äðåîúä G éäú

.íæéøôåîåæéà àåä G→ G øîåìë ,Gal(F/E) = G éë çéëåðå äîìä úà øôùð

øéãâð i ∈ I ìëì .|G| ãîéî ìòá Q ìòî éøåè÷å áçøî åäæ .Q êåúì G-î úåéö÷ðåôä ìë úöåá÷ N éäú

.Ni =f ∈ N | g ∈ G, h ∈ Hi ìëì f(hg) = h(f(g)), f(g) ∈ Pi

.Qi ìòî éøåè÷å áçøî åäæ

.Nk -á ìëåîù Q ìòî N ìù ñéñá ùé k ∈ I ìëì :3.5 ìéâøú

åìåãåî G ìù íéâöééî úëøòî Ω éäú .Hk éøáéà ìë h1, . . . , hm åéäéå ,m = |Hk| = [Pk : Qk] éäé :äçëåä

.Pk/Qk øåáò éáéèéîéøô øáéà z éäé .G = (hiω| ω ∈ Ω, i = 1, . . . ,m) æà .G =∪· ω∈ΩHω ,øîåìë ,H

.g ∈ Ω ,i = 1, . . . ,m ìëì fωj(hig) = δωghi(zj−1) éãé ìò fωj ∈ N øéãâð 1 ≤ j ≤ m, ω ∈ Ω ìëì

-å fωj(hig) ∈ Pk ïëà :fωj ∈ Nk-ù áì íéùð

.fωj(hhig) = δωg(hhi)(zj−1) = h

(δωghi(z

j−1))= h

(fωj(hig)

), h, hi ∈ Hi, g ∈ Ω

:ñéñá àéä ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá àéäù äàøð .íéøáéàm · |Ω| = |G| úá äöåá÷ fωjω,j æà

æà .g ∈ Ω-å 1 ≤ i ≤ m øùàá ,hig áéöð .∑mj=1

∑ω∈Ω aωjfωj = 0-ù êë aωj ∈ Q åéäé

úåàååùî úëøòî ìù ïåøúô àéä (ag1, . . . , agm) äé-m-ä ,g ∈ Ω ìëì ,ïëì .∑mj=1 agjhi(z

j−1) = 0

úöéøèî éäåæ .(A)ij = hi(zj−1) =

(hi(z)

)j−1éãé ìò äðåúð A ∈ Mm(Pk) øùàá ,AX = 0 úåéøàðéì

ìëìå 1 ≤ j ≤ m ìëìå agj = 0 ïëì .(detA =∏i<j

(hj(z)− hi(z)

)= 0) äëéôä äðéäù ,äãðåî-øã-ïå

.g ∈ Ω

.∩i∈I Ni -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá ùé :3.6 äîì

.|J | ìò äéö÷åãðéàá – äçëåää .∩j∈J Nj -á ìëåî øùà N ìù ñéñá ùéù ∅ = J ⊆ I ìë øåáò çéëåð :äçëåä

úçðä éôì .J ′ = J ∖i éäéå i ∈ J éäé ,|J | > 1 çéðð .3.5 ìéâøú ìù äðòèä éäåæ ,|J | = 1 íà

B ∈ GLn(Q) øáòîä úöéøèî .vi ⊆ Ni ñéñá ùé 3.5 ìéâøú éôì .u ⊆∩j∈J′ Nj ñéñá ùé äéö÷åãðéàä

.u = viB úîéé÷î u-ì vi-î

êë B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ⊆

∩j∈J′ GLn(Qj) úåîéé÷ 3.1 äøãâäá (ä) éàðú éôì

æà .B = B1B2-ù

uB−12 = viB1

àåä ïëì .(ïéîé ãö ììâá) Ni-á íâå (ìàîù ãö ììâá) j ∈ J ′ ìë øåáò ,Nj -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá àåä

.j ∈ J ìëì Nj -á ìëåî

.Pi = QiF íéé÷úî i ∈ I ìëìå Gal(F/E) = G æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.7 èôùî

.i ìëì Pi = QiF -å [F : E] ≥ |G| éë çéëåäì øúåð .3.4 äîìá äìåë èòîë äçëåä äðåùàøä äðòèä :äçëåä

3.6 äîì éôì .∩iNi àéä F ′ äúðåîú .E ìòî úéøàðéì äðéä a 7→ fa éãé ìò äðåúðä F → N ä÷úòää

.[F : E] = dimE F′ ≥ |G| ïëì .E ìòî íâ ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá íéøáéà |G| úá äøãñ F ′-á ùé

àéä ïëìå ,Hi → G äìëää àéä Gal(Pi/Qi) → Gal(F/E) íåöîöä ú÷úòä ,3.4 äîì éôì

. Pi = QiF ïàëî .úéëøò-ãç-ãç

ìáà .F1, F2 ⊆ F ììë êøãá

res: Gal(F/E) → íåöîöä ú÷úòäå F1 = FH2 æà .G = H1 ⋉ H2 -å I = 1, 2 çéðð :3.8 äð÷ñî

.G→ H1 äìèää àéä Gal(F1/E)

:äøùé éöç äìôëî ìù äøãâää úà íãå÷ øéëæð :äçëåä

.G = H1H2, H1 ∩H2 = 1, H2 ◁ G, H1 ≤ G ⇔ G = H1 ⋉H2

àéä h1h2 7→ h1 ä÷úòää .h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 øùàá ,g = h1h2 äãéçé äâöä ùé g ∈ G ìëì æà

.äìèää úàø÷ð àéä .H2 àåä åðéòøâù G→ H1 íæéôøåîéôà

.F1 ⊆ P1 ∩ P2 ïëì ,F1 ⊆ F1Q1 = P1 ,F1 ⊆ Q′1 = Q2 ⊆ P2 íéé÷úî

.h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 ìëì ,f(h1h2) = h1(a) éãé ìò f : G→ F1 ⊆ P1 ∩ P2 øéãâð .a ∈ F1 éäé

,ïëà .a ∈ F ïëìå ,a ìù çåúéô f æà

.f(1) = a (à)

.f(h(h1h2)) = f((hh1)h2) = (hh1)(a) = h(h1(a)) = h(f(h1h2)) æà h ∈ H1 íà (á)

åìéàå .f(h(h1h2)) = f(h1(hh1h2)) = h1(a) ïëì ,hh1 ⊂ H2 æà h ∈ H2 íà (â)

H2 = ìù úáùä äãù ,Q2-á ìëåî h1(a) ∈ F1 éë ,h(f(h1h2)) = h(h1(a)) = h1(a)

.f(h(h1h2)) = h(f(h1h2)) ïëì .Gal(P2/Q2)

.a ìù çåúéôä f = fa ïëì

íà ,(h1h2)(a) = fa(h1h2) = h1(a) ,F ìò G ìù äìåòôä ìù äøãâää éôì .F1 ⊆ F -ù åðçëåä

.G→ H1 äìèää àéä res ïëì .res(h1h2) = h1 ïëì .a ∈ F1

íéñðëúî úå÷æç éøåè .4

:a, b ∈ R ìëì úîéé÷îù | |: R→ R äéö÷ðåô àéä R ìò äîøåð .äãéçé íò âåç R éäé :4.1 äøãâä

.a = 0 íà ÷øå íà |a| = 0-å ,|a| ≥ 0 (à)

.|a+ b| ≤ max(|a|, |b|) (á)

.|ab| ≤ |a| · |b| (â)

.|1| = | − 1| = 1 (ã)

(.úéèîåèåà íéé÷úî (ã) æà) .(éøèî äøèìåà) èìçåî êøò àø÷ð | | ,ïåéååù ùé (â) éàðúáå éáéèèåîå÷ R íà

a, b-å ab, r ∈ Z øùàá ,x = ab pr íà |x|p = p−r :éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Z åà Q (à) :4.2 úåàîâåã

.|0| = 0 ,óñåðá ;p-ì íéøæ

èìçåîä êøòä íò K0((t)) äãùä åà K0[[t]] âåçä .éùîî 0 < c < 1 éäé .åäùìë äãù K0 éäé (á)

.r = min(n| an = 0) øùàá , |∑∞n=N ant

n| = c−r

.||A|| = maxi,j(|(A)ij |) éãé ìò Mn(R) ìò äîøåð øéãâð .äîøåð íò âåç R éäé (â)

an ∈ Z/pnZ øùàë a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp éäé .íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ,Zp = lim←n

Z/pnZ (ã)

êë øúåéá ìåãâä r éäéå am = 0-ù êë m éäé úøçà .|a| = 0 æà n ìëì an = 0 íà .an+1 ≡ an mod pn-å

.èìçåî êøò | · | ïàë íâ .|a| = p−r øéãâð .n ≤ m ìëì pr|an-ù êë øúåéá ìåãâä r æà .pr|am-ù

.0 ≤ an < pn ãéçé íìù øôñî íò an ∈ Z/pnZ ìë úåäæì øùôà :àáä ïôåàá Zp éøáà úà íåùøì âåäð

íò ääåæî an íà .íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑n−1i=0 cip

i (éãà-p çåúéô) äãéçé äâöä ùé äæ øôñîì

éôåñðéà øåèë a = (a1, a2, . . .) úà íåùøì øùôà ïëì .∑n−2i=0 cip

i íò ääåæî an−1 æà ,∑n−1i=0 cip

.n− 1 ãò åìù éôåñä øåè-úúä àåä an áéëø ìë øùàë ,íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑∞i=0 cip

Z-á íéøôñîë íééôåñ íéøåè ïéá úåìåòôì úåîåã ïä äìàä íééôåñðéàä íéøåèä ïéá ìôëäå øåáéçä úåìåòô

.i ìëì ci = 0 íà ÷øå íà∑∞i=0 cip

i = 0-ù áì íéù .("íéëåøà" ìôëå øåáéç)

:íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ìò úö÷ áéçøð

.(p ∤ a1 ,øîåìë) .Z/pZp -á a1 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp :4.3 äðòè

ïëì ,a1b1 ≡ 1 (mod p) æà .åìù éëôåää b = (b1, b2, . . .) ∈ Zp éäéå êéôä a-ù çéðð :äçëåä

.a1 ≡ 0 (mod p)

.1 = anbn+ pnkn-ù êë bn, kn ∈ Z ùé ïëì .pn-ì íâ ïëìå p-ì øæ an ìë æà .p-ì øæ a1-ù çéðð ,êôéäì

äéöðàåøâðå÷ íéé÷îù Z/pnZ-á ãéçé bn ,Z/pnZ-á an ìù éëôåää úåãéçé ììâá .anbn ≡ 1 (mod pn) æà

ì"ðä úåãéçéä ììâáå ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn) íâ æà ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn+1) íà ,úòë .åæ

.ab = 1 íéé÷úîå Zp ìù øáéà b = (b1, b2, . . .) ïëì .bn+1 ≡ bn (mod pn) íéé÷úî

.c0 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä∑∞i=0 cip

i :4.4 äð÷ñî

.|c| = p−r æà .b ∈ Z×p -å íìù r ≥ 0 øùàá ,prb äøåöäî àåä 0 = c ∈ Zp ìë :4.5 äð÷ñî

,c =∑∞i=r cip

i = prb -å |c| = p−r æà .cr = 0-ù êë øúåéá ïè÷ä r éäéå ,c =∑∞i=0 cip

i áåúëð :äçëåä

.b = cr + cr+1p+ cr+2p2 + . . . ∈ Z×

p øùàá

.a, b ∈ R åéäé .| | äîøåð íò âåç R éäé :4.6 äîì

.| − a| = |a| (à)

.|a+ b| = |b| æà |a| < |b| íà (á)

.åìù úåðîä äãù ìò èìçåî êøòì | | úà áéçøäì ïúéðå úåîìù íåçú R æà ,èìçåî êøò | | íà (â)

.|a| ≤ | − a| éøèîéñ ïôåàá .| − a| = |(−1)a| ≤ | − 1| · |a| = |a| (à) :äçëåä

æà .|a+ b| < b éë äìéìùá çéðð .|a+ b| ≤ b ,(á)4.1 äøãâä éôì (á)

.äøéúñ ,|b| = |(−a) + (a+ b)| ≤ max(| − a|, |a+ b|) = max(|a|, |a+ b|) < |b|

.|ab | =|a||b| éãé ìò äðåúð äáçøää .ab = 0 ïëì ,|ab| = |a| · |b| = 0 æà a, b = 0 íà (â)

.èìçåî êøò íò äãù àåä Qp íééãà-p-ä íéøôñîä äãù ,Zp ìù úåðîä äãù :4.7 äîâåã

íìù t øùàá ,ptc äøåöäî ïëìå ,a, b ∈ Z×p -å íéîìù r, s ≥ 0 øùàá ,p

rapsb äøåöäî àåä äæ äãùá øáéà

.ptc =∑∞i=0 cip

t+i æà c =∑∞i=0 cip

i íà .|ptc| = p−t æà .c ∈ Z×p -å

,øîåìë ,éøèî áçøîë íìù àåä íà íìù R-ù íéøîåà .d(a, b) = |b− a| :R ìò ä÷éøèî äøéãâî äîøåð

.úñðëúî R-á éùå÷ úøãñ ìë

.| | äîøåðì íò âåç R éäé :4.8 äîì

.limn→∞ an = 0 íà ÷øå íà éùå÷ øåè àåä R éøáà ìù∑∞n=0 an øåè (à)

.äôéöø äðéä R êåúì R-î x 7→ |x| ä÷úòää (á)

.1− a ∈ R× æà |a| < 1-å a ∈ R íà .íìù R éë çéðð (â)

.limn→∞ an = 0-å n ìëì |an| < ε-ù êë a1, a2, . . . ∈ R åéäé .éùîî 0 < ε < 1 éäé .íìù R éë çéðð (ã)

.êéôä øáéàì R-á úñðëúî pn∞n=1 äøãñä æà .n ∈ N ìëì ,pn = (1− a1)(1− a2) · · · (1− an) øéãâð

,øîåìë ,éùå÷ äøãñ sn íà ÷øå íà éùå÷ øåè∑∞n=0 an ,äøãâää éôì .sn =

∑nk=0 an ïîñð (à) :äçëåä

.|∑nk=m+1 an| = |sn − sm| < ε æà n ≥ m ≥ N íàù êë N ùé ε > 0 ìëì ('à)

íà ÷øå íà limn→∞ an = 0 åìéàå

.|an| < ε æà n ≥ N ′ íàù êë N ′ ùé ε > 0 ìëì (''à)

.N = N ′ øåáò ,(á)4.1 äøãâä éôì :('à)⇐ (''à) .m = n− 1 ç÷éðå N ′ = N + 1 éäé :(''à)⇐ ('à)

äøåöäî úåöåá÷ éãé ìò ïåúð a ∈ R ìù úåáéáñì ñéñá :äîøåðä ãé ìò äðåúð R ìò äéâåìåôåèä (á)

éìá .∣∣ |a| − |b| ∣∣ ≤ |a− b| æà a, b ∈ R íà :çéëåäì éã ïëì .éùîî r > 0 øùàá ,x ∈ R| |x− a| < r

.(á)4.1 äøãâäî úòáåð äðòèä æà .|a| ≥ |b| úåéììëä úìáâä

íéé÷úî .ñðëúî∑∞n=0 a

n ïëì .limn→∞ an = 0 (â)

(1− a)n∑k=0

ak = 1− an+1 =n∑k=0

ak(1− a)

.1− a ìù ìàîùî íâå ïéîéî éëôåä àåä∑∞n=0 a

n-ù ïàëîå

.|pn| ≤ |1− a1| · · · |1− an| = 1 æà .p0 = 1 éäé .n ∈ N ìëì |1− an| = 1 ,(á)4.6 äîì éôì (ã)

úøãñ àéä pn∞n=1 ïëì |pn − pn−1| ≤ |pn−1| · |an| ≤ |an| → 0 ïëì .pn = pn−1(1 − an) ïë åîë

íéé÷úî .p ∈ R äæéàì úñðëúî ïëìå R-á éùå÷

.|pk − 1| = |pk − p0| = |k∑

(pn − pn−1)| ≤ max(|an|) ≤ ε

.p ∈ R× ,(â) éôì .|p− 1| ≤ ε < 1 ,(á) éôì ,ïëì

K0[[t]],K0((t)) ïë åîë .íéîìù Zp,Qp êà ,íéîìù íðéà éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Q åà Z :4.9 úåàîâåã

.íìù Mn(R) íâ æà íìù R íà .íäìù èìçåîä êøòì ñçéá íéîìù

.| | èìçåî êøòì ñçéá íìù éáéèèåîå÷ âåç R éäé äúòî

øéãâð .äðúùî z éäé

,Rz = ∞∑n=0

anzn| an ∈ R, lim

n→∞an = 0

⊆ R[[z]],

Rz−1 = ∞∑n=0

anz−n| an ∈ R, lim

n→∞a−n = 0

.Rz, z−1 =

∞∑n=−∞

anzn| an ∈ R, lim

n→∞an = 0, lim

n→∞a−n = 0

.|f | = max(|an|) øéãâð äìàä úåöåá÷äî úçàá f =

∑n anz

n øåáòå

:äìà úåöåá÷ ìò ìôëå øåáéç øéãâð .Rz−1, Rz ⊆ Rz, z−1 æà

aizi)(∑

bjzj)=

( ∑i+j=n

aibj)zn ,

anzn +

bnzn =

(an + bn)zn

n ∈ Z ìëì æà ,∑i aiz

i,∑j bjz

j ∈ Rz, z−1 íà :úåáåè úåøãâää

∑i+j=n

aibj =∞∑i=0

aibn−i +∞∑i=1

a−ibn+i

,ïëà) .n→∞ øùàë c±n → 0-å ,cn ∈ R äæéàì (limi→∞ aibn−i = limi→∞ a−ibn+i = 0 éë) ñðëúî

|ai|, |bj | < εM -ù êë éòáè N ùé éùîî ε > 0 ìëì .i, j ìëì |ai|, |bj | < M -ù êë éùîî M > 0 éäé

ïëìå ,j > N åà i > N æà i + j = n-å n > 2N íà .i, j ≤ −N ìëìå i, j ≥ N ìëì

íà ,äîåã ïôåàá .|∑i+j=n aibj | ≤ max |aibj | ≤ ε ïàëîå ,|aibj | ≤ |ai| · |bj | < M · εM = ε

( .n < −2N

.Rz−1-å Rz éáâì äîåã ïôåàá .∑i aiz

i ·∑j bjz

j =∑n cnz

n ∈ Rz, z−1 ïëì

.ì"ðä ìôëäå øåáéçì ñçéá íééáéèèåîå÷ íéâåç ïðéä äìà úåöåá÷ :4.10 ìéâøú

.R ìù èìçåîä êøòä úà áéçøîù Rz, z−1 ìò èìçåî êøò àåä | | (à) :4.11 äîì

.äæ èìçåî êøòì ñçéá íéîìù Rz ,Rz, z−1 (á)

éãé ìò ïåúðä Rz, z−1 → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| = 1 íéé÷î øùà c ∈ R× ìë (â)

.f =∑n anz

n 7→ f(c) =∑n anc

éãé ìò ïåúðä Rz → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| ≤ 1 íéé÷î øùà c ∈ R ìë (ã)

.f =∑n anz

n 7→ f(c) =∑n anc

.|f+|, |f−| ≤ |f |-å f = f+ + f− -ù êë f− ∈ Rz−1-å f+ ∈ Rz ùé f ∈ Rz, z−1 ìëì (ä)

éìá .|fg| = |f | · |g|-ù f =∑∞i=−∞ aiz

i, g =∑∞j=−∞ bjz

j ∈ Rz, z−1 øåáò ,÷åãáð (à) :äçëåä

æà ,fg =∑∞n=−∞ cnz

n íà .f = 0 ,g = 0 úåéììëä úìáâä

.|cn| =∣∣∣ ∑i+j=n

∣∣∣ ≤ supi+j=n

|ai| · |bj | ≤ | supi+j=n

|f | · |g| = |f | · |g|

.|fg| ≤ |f | · |g| ïëì

ïðåáúðå ,ℓ = n +m éäé ,|an| = |f | ,|bm| = |g|-ù êë øúåéá íéìåãâä íéñ÷ãðéàä n,m åéäé ,êôéäì

|ai| < |f | ïëì .j > m åà i > n æà ,(i, j) = (n,m) -å i + j = ℓ íà .fg-á zℓ ìù cℓ íã÷îá

,maxi+j=ℓ(|aibj |) = |an| · |bm| = |f | · |g| ïàëî .|ai| · |bj | < |f | · |g| ïëìå ,|bj | < |g| åà

ïàëîå |cℓ| = |∑i+j=ℓ aibj | = |f | · |g| ,(á)4.6 äîì éôì .(i, j) = (n,m) íà ÷øå íà ìá÷úî íåîéñ÷îäå

.|fg| ≥ |f | · |g|

.éìàéååéøè ïôåàá úåîéé÷úî èìçåî êøò ìù 4.1 äøãâäá (á) ,(à) úåîåéñ÷àä

,n ìëì ,|akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| æà .Rz, z−1-á éùå÷ úøãñ (fk =∑n aknz

n)∞k=1 éäú (á)

íåëñä f =∑n anz

n éäé .an = limk→∞ akn ∈ R ìåáâ äì ùé ïëì ,R-á éùå÷ úøãñ akn∞k=1 ïëì

:|f − fk| → 0-å f ∈ Rz, z−1-ù úåàøì ì÷ .éìîøåôä

ïååéë ,ïàëî .n ìëì |akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| ≤ ϵ æà k, ℓ ≥ K íàù êë éòáè K ùé .ϵ > 0 éäé

n ≥ N íàù êë éòáè N ùé ïëì ,fK ∈ Rz, z−1 ìáà .n ìëì |akn − an| ≤ ϵ ,óéöø àåä èìçåî êøòù

êåúî ïë åîë .äæë n ìëì |an| ≤ max(|an − aKn|, |aKn| ≤ ϵ ïàëî .|aKn| ≤ ϵ æà n ≤ −N åà

.|f − fk| → 0 -ù ÷éñð n ìëì ||akn − an| ≤ ϵ

.f ∈ Rz æà k ìëì fk ∈ Rz íà

.íéøåøá (ã) ,(â)

.f− =∑−1n=−∞ anz

n-å f+ =∑∞n=0 anz

n åéäé ,f =∑∞n=−∞ anz

n íà (ä)

úà ÷éúòî àåä .2 øãñî Rz, z−1 ìù äîøåð øîåù R-íæéôøåîåèåà äøéãâî z 7→ z−1 ä÷úòää :4.12 äøòä

úàå R[z−1] ìò R[z] úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåèåà ,ïë ìò øúé .Rz ∼= Rz−1 ïëì .Rz−1 ìò Rz

.åîöò ìò R[z, z−1]

íìùä øôñîä úåéäì f ìù pdeg f äìòî-ïéòî øéãâð 0 = f =∑∞n=0 anz

n ∈ Rz øåáò :4.13 äøãâä

.ad ∈ R× íà éøìåâø f éë øîàð .d = max(n : |an| = |f |)

ùé æà .pdeg g = d ,éøìåâø g ∈ Rz éäéå f ∈ Rz éäé :(Weierstrass ìù ÷åìéçä èôùî) 4.14 èôùî

,ïë ìò øúé .deg r < d-å f = gq + r-ù êë íéãéçé r ∈ R[z]-å q ∈ Rz

|q| · |g| ≤ |f |, |r| ≤ |f |. (1)

:äçëåä

.øåøá (1)-å r = f æà q = 0 íà .deg r < d øùàá ,f = gq + r çéðð .(1) íéîñçä :à ÷ìç

;gq-á zd+ℓ ìù íã÷îä ìù èìçåîä êøòä àåä |gq| = |g| · |q| æà .ℓ = pdeg q éäéå q = 0 çéðð

ïàëî .|g| · |q| ≤ |f | ïëì .deg r < d + ℓ éë ,f = gq + r-á zd+ℓ ìù íã÷îä íâ àåä äæä íã÷îä

.|r| = |f − gq| ≤ max(|f |, |gq|) ≤ |f |

.0 = g(q− q′)+(r−r′) æà .deg r,deg r′ < d øùàá ,f = gq+r = gq′+r′ çéðð .úåãéçéä :á ÷ìç

.r = r′-å q = q′ ïëì .|q − q′| = |r − r′| = 0 ,à ÷ìç éôì

.fm =∑mn=0 bnz

n ∈ R[z] éäém ≥ 0 ìëì .f =∑∞n=0 bnz

n çéðð .däìòîîíåðéìåôg íà ,íåé÷ä :â ÷ìç

øåáò ñãéì÷åà ìù íúéøåâìàä .êéôä g ìù ïåéìòä íã÷îä ,pdeg g = d = deg g-å éøìåâø åðéä g-ù ïååéë

k,m ìëì ïëì .deg rm < deg g-å fm = gqm + rm-ù êë qm, rm ∈ R[z] ïúåð R ìòî íéîåðéìåô

.|g| · |qm − qk|, |rm − rk| ≤ |fm − fk| ,à ÷ìç éôì .fm − fk = g(qm − qk) + (rm − rk) íéé÷úî

øåøá .r ∈ R[z]-å q ∈ Rz-ì úåñðëúî ïä ïëìå Rz-á éùå÷ úåøãñ ïä rm∞m=0-å qm∞m=0 ïëì

.deg r < d-å f = gq + r-ù

,|g−g0| < |g| æà .g0 =∑dn=0 anz

n ∈ R[z] ç÷éð ,g =∑∞n=0 anz

n íà .åäùìë g øåáò ,íåé÷ä :ã ÷ìç

.deg r0 < d-å f = g0q0 + r0-ù êë r0 ∈ R[z]-å q0 ∈ Rz ùé f -å g0 íò â ÷ìç éôì .|g0| = |g| ïëìå

.|f1| ≤ |g−g0||g| · |f |-å ,f1 = (g0− g)q0 øùàá ,f = gq0+ r0+ f1 ïëì .|g| · |q0|, |r0| ≤ |f | ,à ÷ìç éôì

,deg rk < d-ù êë ,fk, qk ∈ Rz-å rk ∈ R[z] íéøáéà ,k ≥ 0 ìëì ,ìá÷ð äéö÷åãðéàá .f0 = f éäé

.fk = gqk + rk + fk+1 ,|qk| ≤|fk||g|

,|rk| ≤ |fk| ,|fk+1| ≤|g − g0||g|

.r =∑∞k=0 rk ∈ R[z]-å q =

∑∞k=0 qk ∈ Rz ïëì .|qk|, |rk| → 0 íâ ïëì ,|fk| → 0-ù òáåð ïàëî

.f = gq + r íâå deg r < d-å f = gq + r íéé÷úîù øåøá

íåðéìåô àåä g ∈ R[z]-å q ∈ Rz× øùàá ,f = gq æà .pdeg f = d ,éøìåâø f ∈ Rz éäé :4.15 äð÷ñî

.|g| = 1 íéé÷î øùà d äìòîî ï÷åúî

zd = fq′ + r′-ù êë d > äìòîî r′ ∈ R[z]-å q′ ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì :äçëåä

éë úåàøäì øúåð .|g| = 1-ù øåøá .g = fq′-å d äìòîî ï÷åúî g æà .g = zd − r′ éäé .|r′| ≤ |zd| = 1-å

.q′ ∈ Rz×

r ∈ R[z]-å q ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì .pdeg g = d ,éøìåâø åðéä g-ù áì íéùð

ìù ÷åìéç èôùîá úåãéçéä éôì .f = f1 + 0 íâ ìáà .f = fq′q + r ïëì .deg r < d-å f = gq + r-ù êë

.f = gq-å q ∈ Rz× ïëì .r = 0-å qq′ = 1 ñàøèùøééå

íéîìù úåãù ìòî íéñðëúî úå÷æç éøåè .5

g ∈ K[z] íà .éøìåâø åðéä 0 = g ∈ Kz ìë æà .éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá

.pdeg g = d æà |g| = 1-å d äìòî ìòá ï÷åúî

.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz éäé (à) :5.1 èôùî

.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz, z−1 éäé (á)

.f = 0 úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

.(R = K øåáò) 4.15 äð÷ñîá äìåìë äðòèä ïëì .éøìåâø åðéä f (à)

ìéôëðù éøçà) −1 = min(n : |an| = |f |) úåéììëä úìáâä éìá .f =∑∞n=−∞ anz

n ∈ A éäé (á)

.(A-á êéôä åðéäù ,z ìù ä÷æçá f úà

.Rw = ∑∞j=0 αjw

j | αj ∈ R, |αj | → 0 âåçá ïðåáúð .ùãç äðúùî w éäéå R = Kz éäé

f =∑∞j=0 αjw

j ∈ Rw æà .j > 0 øåáò αj = a−j ∈ K ⊆ R-å α0 =∑∞n=0 anz

n ∈ R øéãâð

p = w + β-å u ∈ Rw× øùàá ,f = pu ìá÷ð (z íå÷îá w íò) 4.15 äð÷ñî éôì .pdeg f = 1 ,éøìåâø

.β ∈ R äæéà øåáò

éãé ìò äðåúðä θ: Aw → A äáöää ú÷úòä .|z−1| = 1 íéé÷úî .u ∈ Aw× ,èøôá

ïëì .u′ ∈ A× äæéà ìò u úà ä÷éúòî g 7→ g(z−1)

.f = θ(f) = θ(p)θ(u) = (z−1 + β)u′ = (1 + zβ)z−1u′

.1 + zβ = pu′′-ù êë u′′ ∈ Kz× ⊆ A×-å p ∈ K[z] ùé (à) ÷ìç éôì .1 + zβ ∈ R = Kz úòë

.f = p(z−1u′u′′) úù÷åáîä äâöää ïàëî

ìù øáéà éãé ìò øöåð íäá ìàãéà ìë .íééùàø úåîìù éîåçú íä Kz, z−1 , Kz , Kz−1 íéâåçä :5.2 èôùî

.K[z, z−1]

.I ′ = I ∩K[z] éãé ìò øöåð A ìù I ìàãéà ìë ,5.1 èôùî éôì .Kz, z−1 åà Kz âåçä A éäé :äçëåä

ïëì .(éùàø úåîìù íåçú àåä K[z] éë) p ∈ K[z] äæéà øåáò I ′ = pK[z] ïëì ,K[z] ìù ìàãéà àåä I ′ ïàë

.éùàø ìàãéà àåä I = pA

.4.12 äøòä éôì úòáåð äðòèä ,A = Kz−1 íà

.K[z, z−1] + gR = R æà .0 = g ∈ R éäé .R = Kz, z−1 ïîñð :5.3 äðòè

.f − r ∈ gR-ù êë r ∈ K[z, z−1] ùé f ∈ R ìëìù çéëåäì éã :äçëåä

éôì .éøìåâø g ∈ Kz èøôá .g ∈ K[z]-ù çéðäì øùôà 5.1 èôùî éôì .f ∈ Kz-ù íãå÷ çéðð

.f − r = gq ⊆ gR-ù êë q ∈ Kz-å r ∈ K[z] ùé ÷åìéçä èôùî

r1 ∈ K[z] ùé éèøôä äø÷îä éôì .f1 ∈ Kz, f2 ∈ Kz−1 øùàá ,f = f1 + f2 éììëä äø÷îá

.f − (r1 + r2) ∈ gR æà .f2 − r2 ∈ gR-ù êë r2 ∈ K[z−1] ùé 4.12 äøòä éôì .f1 − r1 ∈ gR-ù êë

úúë Q1, Q2 úà äàøð .äîàúäá ,Kz, Kz−1, Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q2, Q åéäé

.Q ìù úåãù

.K(z) àåä Q êåúá Q1, Q2 ìù êåúéçä :5.4 äð÷ñî

.f ∈ Q1∩Q2 éäé ,êôéäì .K(z) ⊆ Q1∩Q2 ïëì ,K[z−1] ⊆ Kz−1-åK[z] ⊆ Kz íéé÷úî :äçëåä

øùàá ,f = f2/p2 ,4.12 äøòä éôì .0 = p1 ∈ K[z]-å f1 ∈ Kz øùàá ,f = f1/p1 ,(à)5.1 èôùî éôì

.g := p2f1 = p1f2 ∈ Kz, z−1 íéìá÷î f ìù úåâöää éúùî .0 = p2 ∈ K[z−1]-å f2 ∈ Kz−1

éë íéìá÷î ìéòì g ìù úåâöää éúùî æà ,g =∑∞n=−∞ anz

n íà .d2 = degz−1 p2 ,d1 = degz p1 åéäé

.f = f1/p1 = g/(p1p2) ∈ K(z) ïëì .g ∈ K[z, z−1] ïàëî .n > d1 øåáòå n < −d2 øåáò an = 0

.R1 = Kz, R2 = Kz−1, R = Kz, z−1 åéäé äúòî

,B1 ∈ GLn(R1) ùé æà .|B − In| < 1-ù êë B ∈ Mn(R) éäú :(Cartan ìù äîìä) 5.5 èôùî

.B = B1B2-ù êëB2 ∈ GLn(R2)

A = A+ + A−-ù êë A− ∈ Mn(R2) ,A+ ∈ Mn(R1) ùé A ∈ Mn(R) ìëì (ä)4.11 äîì éôì :äçëåä

éàðúä .0 ≤ c < 1 æà .c = |A1|-å A1 = B − In åéäé .|A+|, |A−| ≤ |A| íâå

In +Aj+1 = (In −A+j )(In +Aj)(In −A−

:Mn(R) éøáà ìù (Aj)∞j=1 äøãñ áéñøå÷ø ïôåàá øéãâî

.Aj+1 = A+j A

−j −A

+j Aj −AjA

−j +A+

j AjA−j

.Aj → 0 ïëìå ,|Aj | ≤ cj ,äéö÷åãðéàá .|Aj+1| ≤ |Aj |2 òáåð åæ äøãâäî

,ïë åîë

.In +Aj+1 = (In −A+j ) · · · (In −A

+1 ) B (In −A−

1 ) · · · (In −A−j ) (1)

(In − A−1 ) · · · (In − A

−j ) úåìôëîä (ã)4.8 äîì éôì ïëì . |A−

j | → 0-å |A−j | ≤ |Aj | ≤ c < 1 íéé÷úî

äæéàì úåñðëúî (In − A+j ) · · · (In − A+

1 ) úåìôëîä ,äîåã ïôåàá .B′2 ∈ GLn(R2) äæéàì úåñðëúî

.B = (B′1)

−1(B′2)

−1 ïëì .In = B′1BB

′2 ïúåð (1) äàååùîá ìåáâì øáòî .B′

1 ∈ GLn(R1)

.B = B1B2 -ù êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) ùé æà .B ∈ GLn(Q) éäú :5.6 äð÷ñî

æà C ∈ Mn(R)-å g ∈ R íàù áì íéùð .Q0 = Quot(R0) = K(z)-å R0 = K[z, z−1] ïîñð :äçëåä

.|gC| = |g| · |C|

f ∈ R øùàá , fh äøåöäî àåä Q ìù øáéà ìë (à)5.1 èôùî éôì .B ∈ Mn(R) úåéììëä úìáâä éìá :1 äðòè

êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) àöîð íà .hB ∈ Mn(R)-ù êë h ∈ R0 ùé ïëì .0 = h ∈ R0-å

.hB1 ∈ GLn(Q1) øùàá ,B = (hB1)B2 æà ,hB = B1B2-ù

.BB′ = gIn-ù êë 0 = g ∈ R0-åB′ ∈ Mn(R) ùé :2 äðòè

øùàá ,detB = gu ,(à)5.1 èôùî éôì .B adj(B) = (detB)In úîéé÷î adj(B) ∈ Mn(R) ,ïëà

.BB′ = gIn æà ;B′ = u−1 adj(B) ∈ Mn(R) éäú .u ∈ R×-å g ∈ R0

.|In −BA| < 1-åBA ∈ Mn(R)-ù êëA ∈ Mn(Q0) ùé :3 äðòè

êëB0 ∈ Mn(R0) ,C ∈ Mn(R) ùé ïëì .Mn(R) = Mn(R0)+gMn(R)-ù òáåð 5.3 äðòèî ,ïëà

.(∑∞n=−∞ anz

n = limN→∞∑Nn=−N anz

n) R0 éøáà ìù ìåáâ àåä R ìù øáéà ìë .B′ = B0+ gC-ù

æà .A0 = B0 + gC0 ∈ Mn(R0) éäú .|C − C0| < 1|B| -ù êë C0 ∈ Mn(R0) ùé ïëì

BA0 = B(B0 + gC0) = B(B′ − gC + gC0) = gIn − gBC + gBC0 ∈ gMn(R)

-å ,BA ∈ Mn(R) úîéé÷î A := 1gA0 ∈ Mn(Q0) ïëì

|g| · |In −BA| = |gIn − gBA| = |BB′ −BA0| ≤ |B| · |B′ −A0| =

= |B| · |gC − gC0| = |g| · |B| · |C − C0| < |g|

.|In −BA| < 1 ïëì

,i = 1, 2 ,B′i ∈ GLn(Ri) ⊆ GLn(Qi) ùé ïàèø÷ ìù äîìä éôìå BA ∈ Mn(R) æà :äçëåää íåéñ

æà .A ∈ GLn(Q0) ,øîåìë ,detA = 0 èøôá .BA ∈ GLn(R) ,(â)4.8 äîì éôì ,BA = B′1B

′2-ù êë

.B′2A

−1 ∈ GLn(Q2) øùàá ,B = B′1B

:íëñð

G éäú .F2 ⊆ Q1 -å F1 ⊆ Q2 -ù êë Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä Fi/K(z) éäú i = 1, 2 øåáò :5.7 èôùî

æà .G = ⟨H1,H2⟩ ,úéôåñ äøåáç

E = (K(z), F1, F2, Q1, Q2, Q;H1,H2, G)

.F ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ èøôá .ä÷áãä éðåúð íä

àåä (ä) éàðú .5.4 äð÷ñî àåä (â) éàðú .äçðää éôì íéîéé÷úî 3.1 äøãâä ìù (ã) ,(á) ,(à) íéàðú :äçëåä

.3.7 èôùî àéä äðåøçàä äðòèä .5.6 äð÷ñî

íéùåîéùå úéøáâìà ä÷áãäì íéàðú úâùä .6

.éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá

ïîñð

Ω =∑

anzn ∈ K((z))

∣∣ n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé

.K(z) ⊆ Quot(Kz) ⊆ Ω ⊆ K((z)) ;äãù àåä Ω :6.1 äîì

.f−1 ∈ Ω æà f ∈ Ω íàù äàøð ,ìôëäå øåáéçä úçú øåâñ Ω-ù úåàøì ì÷ :äçëåä

f úà óéìçð úøçà ,aN = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá .aN = 0 øùàá ,f =∑n=N anz

n çéðð

b0 = 1 øùàá ,f−1 =∑n bnz

n ∈ K((z)) æà .(aNzn, (aNz

N )−1 ∈ Ω-ù áì íéùð) (aNzN )−1f -á

.r ≥ 1 úåéììëä úìáâä éìá .|an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé äçðää éôì .n ≥ 1 ìëì bn = −∑Ni=1 aibn−i-å

,ïëà .n ≥ 0 ìëì |bn| ≤ rn íâù ìá÷ð n ìò äéö÷åãðéàá

.|bn| = |n∑i=1

aibn−i| ≤ max1≤i≤n

|ai| · |bn−i| ≤ max1≤i≤n

rirn−i = rn

.úåù÷åáîä úåìëää úåòáåð ïàëî ,äãù Ω-ù ïååéë .K[z] ⊆ Kz ⊆ Ω ⊆ K((z))-ù øåøá

.F ⊆ Ω æà F ⊆ K((z)) íà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.2 èôùî

:àáä ïåîéñá ùîúùð :äçëåä

æà .v(0) =∞ íâ éäé ;v(y) = min(n| an = 0) éäé 0 = f =∑n anz

n ∈ K((z)) øåáò

;v(fg) = v(f) + v(g)

.v(f + g) = min(v(f), v(g)) æà v(f) < v(g) íà ,ïë ìò øúé ;v(f + g) ≥ min(v(f), v(g))

.y ∈ Ω-ù äàøð .y =∑n anz

n ∈ F éäé

íéãåîöä ìë y1 = y, . . . , yd åéäé .y /∈ K(z) éë çéðð ïëì .äîìäî úòáåð äðòèä æà y ∈ K(z) íà

.i ìëì yi /∈ K(z)-å d ≥ 2 æà .K(z) ìòî y ìù íéðåùä

íà .N = v(y1) ïîñð ,ïëà .v(y1) > 0 > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä éìá :à äðòè

yi =∑n

ainzn, i = 1, . . . , d

óéìçð .m = maxi≥2mi éäé .aimi= a1mi

-ù êë mi ∈ Z ùé ïëìå yi = y1 íéé÷úî i ≥ 2 ìëì æà

éãå y′ := y′1 ìù íéãåîöä ìë y′1, . . . , y′d ∈ F ïééãò æà) .i ìëì ,y′i = yi −

∑m+1n=N anz

n-á yi úà

,v(y) = N ≥ m + 2 ,úåéììëä úìáâä éìë ,ïëì (.i ìëì y′i − y′ = yi − y ,ïë åîë ;y′ ∈ Ω-ù çéëåäì

y1zN−1 , . . . ,

ydzN−1 ∈ F ,áåù) .zN−1 ∈ Ω-á y1 = y, y2, . . . , yd úà ÷ìçð .i ≥ 2 ìëì v(yi) ≤ mi ≤ m

éìá .2 ≤ i ≤ d ìëì v(yi) ≤ −1-å v(y1) = 1 æà (. y1zN−1 ∈ Ω-ù çéëåäì éãå y

zN−1 ìù íéãåîö ìë íä

.à äðòè äçëåä êëá .v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä

íåðéìåô ùé

0 = h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 ∈ K(z)[Y ]

øáéàá íìåë úà ìéôëð úøçà) p0, . . . , pd ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá .1 ≤ i ≤ d ìëì h(yi) = 0-ù êë

.mini(v(pi)) = 0 æà .(z ìù äîéàúî ä÷æçá íìåë úà ÷ìçð úøçà) z-á íé÷ìçúî íìåë àìå (K[z] ìù íéàúî

ìáà .pdyd2 = −(pd−1y

d−12 + . . . + p0) æà .h-á y2 áéöð ,ïëà .z|p0, p2, . . . , pd ,z ∤ p1 :á äðòè

,v(piyi2) = v(pi) + v(yi2) ≥ iv(y2) íéé÷úî 0 ≤ i ≤ d− 1 øåáò åìéàå v(pdy

d2) = v(pd) + dv(y2)

.v(pd−1yd−12 + . . . + p0) ≥ min(iv(y2)| 0 ≤ i ≤ d − 1) = (d − 1)v(y2) ,éìéìù v(y2)-ù ïååéëå

.z| pd ,øîåìë .v(pd) ≥ −v(y2) > 0-ù òáåð íééìàîùä íéôâàä ïéá ïåéååùäî

ïëì .h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 = pd(Y − y1) · · · (Y − yd) ,úòë

.pi = pd∑

k1<k2<···<kd−i

(−1)d−iyk1yk2 · · · ykd−i, 0 ≤ i ≤ d− 1

,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì ,ïàëî

v(pi) =v(pd) + v( ∑k1<k2<···<kd−i

yk1yk2 · · · ykd−i

≥v(pd) + mink1<k2<···<kd−i

(v(yk1) + v(yk2) + . . .+ v(ykd−i

≥v(pd) + v(yd) + . . .+ v(yi+1)

ìáà .j ìëì sj = y1 · · · yj · · · yd øùàá ,v(p1) = v(pd) + v(∑dj=1 sj) ,èøôá

v(sj) = v(y1) + . . .+ v(yj) + . . .+ v(yd)

ïëì .j = 1 ìëì v(s1) < v(sj)-ù øåøá ïàëî ,v(y1) > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd)-ù ïååéëå

.v(p1) = v(pd) + v(s1) = v(pd) + v(y2) + . . .+ v(yd)

.i = 1 ,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì v(p1) < v(pi) èøôá

.z ∤ p1 ìáà i = 1 øåáò z|pi éë ìá÷ð ,pi úà ÷ìçî zm-ù ìëm øúåéá ìåãâä øôñîä àåä v(pi) -ù ïååéë

.á äðòè äçëåä êëá

íéìá÷î á äðòèî

pk =M∑j=0

bkjzj , bkj ∈ K, k = 0, . . . , d

éë çéðäì øùôà b−110 -á h úìôëä éãé ìò ;b10 = 0 ïë åîë .k = 1 ìëì bk0 = 0 íéé÷úîå ,M äæéà øåáò

ïëì .b10 = 1

0 = h(y) =d∑k=0

( M∑j=0

bkjzj)( ∞∑

anzn)k

=d∑k=0

M∑j=0

∑n1,...,nk≥1

bkjan1· · · ank

zj+n1+...+nk =∞∑n=0

øùàá

0 = cn =∑

0≤k≤d, 0≤j≤M,n1,...,nk≥1j+n1+...+nk=n

bkjan1· · · ank

.n ≥ 0 ìëì

åà bk0 = 0 éë ,j ≥ 0 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj íâ æà .j ≥ 1 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj -ù êë r > 0 ùé

.|an| ≤ rn éë n ìò äéö÷åãðéàá çéëåð .bk0 = 1

.|a0| = 0 < 1 = r0 ïëì ,v(y) > 0 éë ,a0 = 0 íéé÷úî :n = 0

íéé÷î ,an úà ìéëî åðéà øùà ,øáåçî ìë (2) äàååùîá .n-î ïè÷ íìù ìë øåáò úåðåëð çéðð

|bkjan1 · · · ank| ≤ |bkj | · |an1 | · · · |ank

| ≤ rjrn1 · · · rnk = rn

(2) éôì .b10an = an àåä øáåçîä ,øîåìë ,j = 0 ,n1 = n ,k = 1 åøåáòù äæë àåä an úà ìéëîù øáåçîå

.|an| ≤ rn ïëì .íéøáåçîä øúé ìë íåëñ ìù éãâðä àåä

ε > 0 ìëì æà .0 < |c| < 1-ù êë c ∈ K ùé ,øîåìë ,éìàéååéøè åðéà K ìò èìçåîä êøòäù çéðð äúòî

.(÷éôñî ìåãâ n øåáò ,c′ = cn ,ìùîì) 0 < |c′| < ε-ù êë c′ ∈ K ùé

F ′ ⊆ Quot(Kz) äãù ùé æà .F ⊆ K((z)) éë çéðð .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.3 äð÷ñî

.åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà F → F ′ íæéôøåîåæéàå

.Gal(F ′/K(z)) ∼= Gal(F/K(z))-å äàåìâ F ′/K(z) èøôá

.F ⊆ Ω ,6.2 èôùî éôì :äçëåä

åäæ .∑n anz

n 7→∑n anc

nzn éãé ìò µc: K((z)) → K((z)) ä÷úòä øéãâî c ∈ K× ìë

.åîöò ìò K(z) úà ïëìå åîöò ìò K[z] úà ÷éúòî àåä .(µc−1 àåä åìù éëôåää) K((z)) ìù íæéôøåîåèåà

øçáð .n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùéå y =∑n anz

n æà .F = E(z)(y)-ù êë y ∈ F éäé

,|ancn| = |an| · |c|n ≤ rn 1(2r)n = 1

2n → 0 -å µc(y) =∑n anc

nzn æà .|c| < 12r -ù êë c ∈ K×

.F ′ := µc(F ) ⊆ Quot(Kz) ïàëîå .µc(y) ∈ Quot(Kz) èøôá .∑∞n=0 anz

n ∈ Kz ïëì

äàåìâ úøåáç íò ,äàåìâ àéä äðåøçàä íâ ,F ′/K(z) äáçøää ìò F/K(z) äáçøää úà ÷éúòî µc-ù ïååéë

.úéôøåîåæéà

.åîöò ìò K[z] úà ÷éúòîù Kz, z−1 → Kz K -ïåëéù íéé÷ :6.4 äîì

øéãâðå 0 < |a| < 1-ù êë a ∈ K øçáð .íìù R = Kw ,(á)4.11 äîì éôì .äðúùî w éäé :äçëåä

.c ∈ R× ,(â)4.8 äîì éôìå |c| = 1 æà .c := 1− aw ∈ R

íæéôøåîåæéàä íò åúåà áéëøð .Rz, z−1 → R íæéôøåîåîåä úðúåð z 7→ c äáöää (â)4.11 äîì éôì

.Rz, z−1 → Kz íæéôøåîåîåä ìá÷ð êëá .w 7→ z éãé ìò ïåúðä R = Kw → Kz∑∞n=−∞ anz

n 7→ éãé ìò ïåúðä àåä .Kz, z−1-ì åìù íåöîöä φ: Kz, z−1 → Kz éäé

.an ∈ K øùàá ,∑∞n=−∞ an(1− az)n

íæéôøåîåèåà åäæ .z 7→ 1− az éãé ìò äðåúðä K[z]→ K[z] K-ú÷úòä àåä K[z]-ì φ ìù íåöîöä

.z 7→ a−1(1− z) éãé ìò äðåúð äëåôää ä÷úòää :K[z] ìù

úìáâä éìá .Kerφ = pKz, z−1-ù êë p ∈ K[z, z−1] ùé ,5.2 èôùî éôì .éëøò-ãç-ãç φ-ù äàøð

.Kerφ = 0 ïëì .p = 0 ,úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .φ(p) = 0 æà .z ìù ä÷æçá p ìéôëð úøçà ,p ∈ K[z] úåéììëä

úà ÷éúòîù Q→ Q1 K -ïåëéù íéé÷ .äîàúäá ,Kz,Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q åéäé :6.5 äð÷ñî

.åîöò ìò K(z)

úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .(èìçåî êøò éìá) åäùìë éôåñðéà äãù K éäé :6.6 èôùî

.F ⊆ K((z))-ù êë pk äìòîî F/K(z)

.àáä ÷øôá çéëåð :äçëåä

úøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .úéôåñ äøåáç G éäú .èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé :6.7 èôùî

.F ⊆ K((z)) èøôáå F ⊆ Quot(Kz)-ù êë G-ì úéôøåîåæéà äàåìâ

.äøåøá äðòèä G = 1 íà .G ìù øãñä ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä

àåäù øãñî åðéä gi ìë úåéììëä úìáâä éìá .g1, . . . , gn ,íéøöåé n ≥ 1 éãé ìò úøöåð G úøçà

éìá .(íééðåùàø ìù úå÷æç íäù íéøãñî úåéìâòî úåøåáç ìù äøùé äìôëî àéä ⟨gi⟩ éë) éðåùàø ìù ä÷æç

æà .H1 = ⟨g1⟩ éäú .íéøöåéä úøãñäî g1 úà èéîùð úøçà ,G = H2 := ⟨g2, . . . , gn⟩ úåéììëä úìáâä

äàåìâ úøåáç íò F2/K(z) äàåìâ úáçøä ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ïëì .#H2 < #G-å G = ⟨H1,H2⟩

êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′1/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 6.6 èôùî éôì .F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz)-ù êë H2

éôì .F ′′1 ⊆ Q1-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′′

1 /K(z) äàåìâ úáçøä ùé ,6.3 äð÷ñî ðôì .F ′1 ⊆ K((z))-ù

úáçøä ùé ïëì .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà Q1 → Q2 = Quot(Kz−1) íæéôøåîåæéà ùé 4.12 äøòä

.F1 ⊆ Q2-ù êë .F1 ⊆ Q2-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F1/K(z) äàåìâ

úáçøä ùé 6.5 äð÷ñî éôì .F ′ ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F ′/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 5.7 èôùî éôì

.F ⊆ Q1-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ

úåéìâòî úåáçøä ìù ùåîéî .7

.E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé äæ ÷øôá

:àáä èôùîä úà çéëåäì àéä ÷øôä úøèî

êë pk äìòîî F/K(z) úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .éôåñðéà äãù K éäé :7.1 èôùî

.F ⊆ K((z))-ù

.L((z))/K((z)) ìù ñéñá B æà .äìù ñéñá B éäéå úåãù ìù úéôåñ äáçøä L/K éäú :7.2 ìéâøú

íåöîöä ú÷úòäå äàåìâ L((z))/K((z)) íâ æà äàåìâ L/K íàå [L((z)) : K((z))] = [L : K] èøôá

.íæéôøåîåæéà àåä ρ: Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(L/K)

åéäéå ,n ìëì bn ∈ L øùàá ,f =∑n bnz

n ∈ L((z)) éäé .B = (α1, . . . , αd) çéðð :äçëåä

íà ÷øå íà f =∑di=1 fiαi æà .i, n ìëì ,ain ∈ K øùàá i = 1, . . . , d ,fi =

∑n ainz

n ∈ K((z))

.f =∑di=1 fiαi äâöää ìù úåãéçéäå íåé÷ä íéøåøá ïàëî .n ìëì bn =

∑di=1 ainαi

åúåàî äìù çååèäå íåçúäù ïååéë .úéëøò-ãç-ãç ρ ïëìå ,L((z)) = K((z)) · L-ù ïàëî òáåð èøôá

.íæéôøåîåæéà ρ ,øãñä

èøôá .K ìù L úéôåñ äáçøä ìëì E′ ∩ L = K æà .K ⊆ E′ ⊆ K((z)) ,äãù E′ éäé :7.3 äð÷ñî

.E ∩ L = K

åúåà íéìùðå ,1 úà ìéëîù ,K ìòî E′ ∩ L ìù B ñéñá øçáð .E′ = K((z)) úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

ïàëî .B = 1 ïëì ,B ⊆ K((z)) ìáà .E′ ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá B ,7.1 ìéâøú éôì .L/K ìù ñéñáì

.E′ ∩ L = K

êë pk äìòîî F/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ k ≥ 1 ìëì æà .char K = p > 0 ,äãù K éäé :7.4 äîì

.F ∩ K = K -ù

.K((z))-á ùøåù ïéà f -ì æà .f = Xp −X − z−1 ∈ E[X] éäé :äçëåä

æà ,aN = 0 íò 0 = α =∑∞n=N anz

n ∈ E ⊆ K((z)) éäé .f ìù ùøåù åððéà 0 ,ïëà

ïëì ,z−1 /∈ K[[z]] ìáà ,αp − α ∈ K[[z]] æà α ∈ K[[z]] ,øîåìë ,N ≥ 0 íà .αp =∑∞n=pN a

äàø) .f(α) = 0 ïëì ,αp − α = apNzpN + . . . øúåé úåäåáâ úå÷æç = z−1 æà ,N < 0 íà .f(α) = 0

(.1.12 ìéâøú íâ

.Gal(F1/E) ∼= Z/pZ-å ,äàåìâ F1/E øééøù-ïéèøà èôùî éôì .E ìòî f ìù ìåöéôä äãù F1 éäé

.K ìù L úéøáâìà äáçøä ìëì ,L(z) ìòî íâ ÷éøô éà f ïôåà åúåàá .E ìòî ÷éøô éà f èøôá

Gal(F/E) ∼= ,äàåìâ F/E-ù êë F/F1 äáçøä ùé ,(äèî 7.12 èôùî) òåãé èôùî éôì ,k ≥ 1 íà

.Z/pkZ

äáçøä EL æà .K ìù äúåàð äáçøä àåä L = F ∩ K éë äìéìùá çéðð .F ∩ K = K-ù úåàøäì øúåð

,7.2 ìéâøú éôì ;K ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y-ù êë y ∈ L ùé éë ,äúåàð àéä) .F -á úìëåî ,E ìù äúåàð

F/E-ù ïååéë (.y /∈ K(z) = E èøôáå ,y /∈ K((z)) ïëìå ,K((z)) ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y ∈ EL

äøéúñá äæ .F1 ⊆ EL = L(z) ïëì .F1 úà äìéëî F -á úìëåîä E ìù äúåàð äáçøä ìë ,pk äìòîî úéìâòî

.L(z) ìòî ÷éøô éà f -ù êëì

êë a ∈ K éäé .E ìòî ÷éøô éàå ,ãéøô ,ï÷åúî f(z,X) ∈ K[z][X] øùàá ,F = E[X]/(f) éäé :7.5 äîì

.åîöò ìò E úà ÷éúòîù F → L((z)) K -ïåëéù ùé æà .K ìòî åìù ìåöéôä äãù L éäéå ãéøô f(a,X) ∈ K[X]-ù

úåãù ìù íæéôøåîåæéàì äáçøäì ïúéð øùà ,K[z] ìù K-íæéôøåîåèåà àåä z 7→ z + a ä÷úòää :äçëåä

.a = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .F → F ′ := E[X]/(f(z + a,X)

)ìöôúî f(z,X) (1.4 èôùî) ìæðä ìù äîìä éôì ,L ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì ìöôúî f(0, X)-ù ïååéë

.F ⊆ L((z)) ïàëî .L[[z]] ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì

G = Gal(F/E) íà .F ∩ K = K -ù êë úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú .éôåñðéà äãù K éäé :7.6 èôùî

.F ′ ⊆ K((z))-å ,Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ F ′/E ùé æà ,úéìáà

:äçëåä

.F ⊆ L((z))-ù êë L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä ùéù çéðäì øùôà :1 äðòè

éäé .f(z,X) = irr(α,E) ∈ K[z][X] úåéììëä úìáâä éìá .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé ,ïëà

a ∈ K ùé ,éôåñðéà K-ù ïååéë .D = 0 æà .f ìù äèððéîéø÷ñéãä ,n = degX f øùàá ,D = Dnf ∈ K[z]

éôì .ãéøô f(a,X) ïëì .f(a,X) ∈ K[X] ìù äèððéîéø÷ñéãä àåä D(a) ,2.7 äðòè éôì .D(a) = 0-ù êë

.1 äðòè úà úîéé÷îù äàåìâ úøåáç äúåà íò úøçà äáçøäá F úà óéìçäì øùôà 7.5 äîì

.íæéôøåîåæéà àéä π: Gal(FL/F )→ Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä ïëì .F ∩ L = K äçðää éôì

.íæéôøåîåæéà àéä π1: Gal(FL/F )→ Gal(LE/E) íåöîöä ,øîåìë ,F ∩ EL = E :2 äðòè

íéîåöîö ìù éôåìéç íéùøú ùé ,ïëà

Gal(FL/F )π //

''OOOOO

OOOOOO

Gal(L/K)

Gal(EL/E)

77ooooooooooo

π1 íâù ïàëî .íæéôøåîåæéà ïëì ,úéëøò-ãç-ãç π2 ìáà .ìò π2-å úéëøò-ãç-ãç π1 ïëì ,íæéôøåîåæéà π åá

.F ∩ EL = E ïëì .íæéôøåîåæéà

. F ′ ∩ EL = E, F ′(EL) = FL æà .F ′ = K((z)) ∩ (FL) éäé :3 äðòè

àåä Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(L/K) íåöîöä ,7.2 ìéâøú éôì .E ⊆ F ′ ⊆ FL íéé÷úî

àáä íéùøúä éôì .íæéôøåîåæéà

L EL FL L((z))

K((z))

íéîåöîöä ìù äáëøä àéä åæ ä÷úòä

Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(FL/F ′)→ Gal(EL/E)→ Gal(L/K)

.äðòèä úòáåð ïàëî .íæéôøåîåæéà àéä úéòöîàä íâ ïëì .íéîæéôøåîåæéà ïä úåéðåöé÷ä úå÷úòää éúù

.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E :4 äðòè

:úåøåáçì äàåìâ úøåú úøæòá åæ äðòè íâøúð

éôì .∆ = Gal(FL/F ′)-å ,D = Gal(FL/E) ,H = Gal(EL/E) ∼= Gal(L/K) äðééäú

-ì úåìå÷ù 3 äðòè ìù úåàååùîä .∆ ≤ D-å D = G×H íéé÷úî 2 äðòè

.∆ ∩G = 1, ∆ ·G = D (1)

D = G×H éøáà ìë íò óìçúî G ïëì .(úéìáà G éë) G éøáà íò íâåD êåúáH éøáà íò íéôìçúî G éøáà

äæ äàåìâ úøåú éôì .D/∆ ∼= G-å ∆ ◁ D ïàëî .D = ∆×G-ù øîåà äæ (1) íò ãçé .∆ éøáà ìë íò èøôáå

.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E éë ÷åéãá øîåà

.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .char K ∤ n-ù êë n ∈ N éäé :7.7 èôùî

ä÷úòä úîéé÷ æà .H = Gal(L/K) éäúå L = K(ζn) éäé .éáéèéîéøô é-n äãéçé ùøåù ζn ∈ K éäé :äçëåä

-å σ ∈ H ìëì σ(ζn) = ζχ(σ)n -ù êë χ: H → i ∈ N| gcd(i, n) = 1

.χ(στ) ≡ χ(σ)χ(τ) mod n, σ, τ ∈ H (2)

,ìùîì) L/K øåáò c éáéèéîéøô øáéà øçáð .Gal(L((z)/K((z))

)íò H úà úåäæì øùôà 7.2 ìéâøú éôì

éäéå (c = ζn

g(z) =∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)χ(σ−1) ∈ L[z]

ìù äìôëî àåä Xn − 1 =∏n−1i=0 (X − ζin) éë) .xn = 1 + cz-ù êë x ∈ L[[z]] ùé ìæðä ìù äîìä éôì

øéãâð .(L[z]-á íéøæ íééøàðéì íéîøåâ

y =∏σ∈H

σ(x)χ(σ−1) ∈ L[[z]]

.yn =∏σ∈H

σ(xn)χ(σ−1) =

∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)χ(σ−1)= g(z)

.yd ∈ L(z)-å d|n øùàá ,d äìòîî úéìâòî äàåìâ úáçøä àéä F/L(z) øîå÷ èôùî éôì .F = L(z, y) éäé

éôì ãåò .d = n ïëì ,n-ì øæ χ(σ−1) ìáà .σ ∈ H ìëì nd |χ(σ

−1) ïëì .g(z) = (yd)nd ∈

)nd ïëì

.ω(y) = ζny øùàá ,G := Gal(F/L(z)

)= ⟨ω⟩ ,øîå÷ èôùî

æà .χ(τρ) = χ(τ)χ(ρ) + k(τ, ρ)n-ù êë k(τ, ρ) ∈ Z ùé τ, ρ ∈ H ìëì (2) éôì

,τ(y) =∏σ∈H

τσ(x)χ(σ−1) =

∏ρ∈H

ρ(x)χ(ρ−1τ) =

∏ρ∈H

ρ(x)χ(ρ−1)χ(τ)+k(ρ−1,τ)n =

=( ∏σ∈H

σ(x)χ(σ−1)χ(τ)

·∏σ∈H

σ(xn)χ(k(σ−1,τ) = yχ(τ)

∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)k(σ−1,τ)

,øîåìë

,τ(y) = yχ(τ)fτ (z) (3)

.fτ (z) ∈ L(z) øùàá

úúë ïäéúù úà äàøð .F ìò úìòåô G = ⟨ω⟩ íâ .F ìò úìòåô H = Gal(L((z))/K((z))) èøôá

íéé÷úî τ ∈ H ìëì .Aut(F/E) ìù úåøåáç

,τω(y) = τ(ζny) = ζχ(τ)n yχ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)

,ωτ(y) = ω(yχ(τ)fτ (z)) = ω(y)χ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)

.G éøáéà íò íéôìçúî H éøáéà ,øîåìë ,τω = ωτ ïëì

éë ,1 àåä ïëìå ,L(z) = FG ìò úéìàéååéøè ìòåô àåä æà σ ∈ G ∩H íà ,ïëà .G ∩H = 1 ,ïë åîë

.H = Gal(L(z)/K(z)

)àåä D ìù úáùä äãù .D = G×H ,ìéòì øåîàä éôì ,æà .D = ⟨G,H⟩ ≤ Aut(F/E) éäú

FD = (FG)H = L(z)H = K(z)

.Gal(F ′/E) = D/H = Gå äàåìâ F ′/E æà ,F êåúá H ìù úáù äãù F ′ íà ,ïëì

:íëñð

F/E (úéìáà èøôáå) úéìâòî úáçøä ùé 7.4 äîì éôì æà char K = p íà .n = pk éäé :7.1 èôùî úçëåä

.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äáçøä ùé 7.6 èôùî éôì .F ∩ K = K-ù êë n äìòîî

.7.7 èôùîî úòáåð äðòèä ,char K = p íà

:7.4 äîì úçëåä êåúî øñçä úà íéìùð óåñáì

úåéö÷ðåôä ìù éøåè÷åä áçøîá íéøáéàë) íä æà .L ìù íéðåù íéîæéôøåîåèåà σ1, . . . , σn åéäéå äãù L éäé :7.8 èôùî

-å a1, . . . , an ∈ L íà ,øîåìë ,L ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá (L êåúì L-î

a1σ1 + · · ·+ anσn = 0 (= ñôàä úéö÷ðåô) (1)

.a1 = · · · = an = 0 æà

íéîæéôøåîåèåà n−1 øåáò äðåëð äðòèäù çéðð .i ìëì σi = 0 éë ,øåøá äæ n = 1 øåáò .n ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä

:σn(α) ∈ L×-á (1) úà ìéôëð .σ1(α) = σn(α)-ù êë α ∈ L× ùé ,σ1 = σn-ù ïåéë .(1) íéé÷úîùå

.a1σn(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (2)

ïëì ,a1σ1(αβ) + · · ·+ anσn(αβ) = 0 íéé÷úî ,β ∈ L× ìëì ,éðù ãöî

ïàëî .a1σ1(α)σ1(β) + · · ·+ anσn(α)σn(β) = 0

a1σ1(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (3)

:(3)-î (2) úà øéñçð

a1(σ1(α)− σn(α)

)σ1 + · · ·+ an−1

(σn−1(α)− σn(α)

)σn−1 = 0

,äéö÷åãðéàä úçðä éôì .(1)-á úàæ áéöð .a1 = 0 ïëìå ,a1(σ1(α) − σn(α)

)= 0 ,äéö÷åãðéàä úçðä éôì

.a2 = · · · = an = 0

ìò äðåúðä TL/K : L→ K ä÷úòää àéä K êåúì L-î äá÷òä .úéôåñ äàåìâ äáçøä L/K éäú :15.1 äøãâä

TL/K(α) =∑σ∈Gal(L/K) σ(α) éãé

.TL/K(β) = 1-ù êë β ∈ Lùéå ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä L/K éäú :7.9 äîì

c :=-ù êë α ∈ L øçáð .ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K =∑σ∈Gal(L/K) 1σ ,7.8 èôùî éôì :äçëåä

.TL/K(α/c) = c/c = 1 æà .TL/K(α) = 0

σ éäéåG äàåìâ úøåáç úìòá úéôåñ úéìâòî äáçøä L/K éäú :(úéøåáéç äñøâ ,èøáìéä ìù 90 èôùî) 7.10 èôùî

.β = α− σ(α)-ù êë α ∈ L ùé íà ÷øå íà TL/K(β) = 0 æà .β ∈ L éäé .G ìù øöåé

æà .β = α− σ(α) çéðð :äçëåä

.TL/K(β) =∑τ∈G

τ(α− σ(α)

∑τ∈G

τ(α)− τσ(α) =∑τ∈G

τ(α)−∑τ∈G

τσ(α) = 0

éäé .TL/K(z) = 1 -ù êë z ∈ L ùé 15.3 äîì éôì .n = |G| éäé .TL/K(β) = 0 çéðð ,êôéäì

.α = βσ(z) +(β + σ(β)

)σ2(z) + · · ·+

(β + σ(β) + · · ·+ σn−2(β)

)σn−1(z)

σ(α) =

σ(β)σ2(z) +(σ(β) + σ2(β)

)σ3(z) + · · ·+

(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−2(β)

)σn−1(z)+

· · ·+(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−1(β)

)σn(z)

ïëì .(TL/K(β)− β

)z = −βz àåä (äðåøçàä äøåùä) ïåøçàä øáåçîäå

.α− σ(α) = βσ(z) + βσ2(z) + · · ·+ βσn−1(z) + βz = β TL/K(z) = β

.char(K) = p > 0 ,äãùK éäé :(Artin-Schreier) 7.11 èôùî

Xp −X − a ∈ K[X] ìù ùøåù α-å L = K(α)-ù êë α ∈ L ùé æà .p äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú (à)

.a ∈ K äæéà øåáò

ïåùàøä äø÷îá .p åà 1 äìòîî úéìâòîK(α)/K æà .f = Xp −X − a ìù ùøåù α ∈ K éäéå a ∈ K éäé (á)

.÷éøô éà f éðùä äø÷îáå ,K-á f éùøåù ìë

úéìâòî äáçøä ùé æà .pn > 1 äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú .char(K) = p > 0 ,äãù K éäé :7.12 èôùî

.K ⊆ L ⊆ L′ -ù êë pn+1 äìòîî L′/K

α øùàá ,L′ = L(α) øéãâð .G ìù øöåé σ éäéå G = Gal(L/K) éäú .äá÷òä T = TL/K éäú :äçëåä

.íéàúî a ∈ L øåáò ,f = Xp −X − a ìù ùøåù

.T (β) = 1-ù êë β ∈ L ùé 7.9 äîì éôì .a úàéöî :à áìù

ïëì .T (βp) =∑τ∈G τ(β

p) =∑τ∈G

(τ(β)

(∑τ∈G τ(β)

(T (β)

)p= 1 íéé÷úî

-ù êë a ∈ L ùé 7.10 èôùî éôì .T (βp − β) = T (βp)− T (β) = 1− 1 = 0

.σ(a)− a = βp − β (1)

.α ∈ L ,(á)7.10 èôùî éôì .f ìù ùøåù α ∈ L éäé .àìù çéðð .L ìòî ÷éøô éà f = Xp −X − a :á áìù

éë ,åìù ùøåù ,σ(α)− α ,(1) éôì .g(X) = Xp −X − (βp − β) ∈ L[X] éäé

.(σ(α)− α

)p − (σ(α)− α

)− (βp − β) =

(σ(αp)− αp

)−(σ(α)− α

(σ(a)− a

σ(αp − α− a)− (αp − α− a) = σ(0)− 0 = 0

,p äìòîî íåðéìåô ìù íéðåù íéùøåù p äìà .0 ≤ i < p ìëì ,β + i íâ ïëìå ,åìù ùøåù β íâ ìáà

ìáà .T(σ(α) − α

)= T (β + i) ïàëî .σ(α) − α = β + i-ù êë i ùé ïëì .åéùøåù ìë íä ïëì

,T (β+i) = T (β)+pni = 1+0 = 1 åìéàå T(σ(α)−α

(σ(α)

)−T (α) = T (α)−T (α) = 0

.÷éøô éà f ïëì .äøéúñ

.L′ = L(α) øéãâð (.úéìîøåð L′/K-ù íéòãåé åððéà ïééãò äæ áìùáù áì íéùì ùé) .úéìâòî L′/K :â áìù

(1) éôì .äãéøô L′/K ,äàåìâ L/K ,L′/L-ù ïåéë .[L′ : K] = pn+1 ïëì ,[L′ : L] = p æà

,(α+ β)p − (α+ β) = αp − α+ βp − β = a+ βp − β = σ(a)

L′ ìù σ′ íæéôøåîåèåàì σ úà áéçøäì ïúéð ïëì .σ(f) = Xp −X − σ(a) ∈ L[X] ìù ùøåù α + β ïëì

.σ′(α) = α+ β-ù êë

æà .L′′ åäùìë äãù øåáò ,σ: L′ → L′′ úåãù íæéôøåîåæéàì σ úà áéçøð íãå÷ :èåøéô øúéá)

.σ(f) ìù ùøåù α + β íâ .σ(f) ìù ùøåù σ(α) ,f ìù ùøåù α-ù ïåéë .L′′ = σ(L(α)

(σ(α)

)äéö÷åãðéàá (.σ′ = σ2 σ øéãâð .σ2

(σ(α)

)= α+ β-ù êë σ2: L

′′ → L′ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïëì

.(σ′)j(α) = α+ β + σ(β) + · · ·+ σj−1(β)

ïëì ,(σ′)pn |L = σp

= 1 ìáà .(σ′)pn = 1 ïëìå ,(σ′)p

(α) = α + T (β) = α + 1 = α èøôá

ïëì ;ordσ′ ∤ pn êà ,ordσ′|pn+1 ,øîåìë .(σ′)pn+1

=((σ′)p

n)p= 1 ïàëî .(σ′)p

n ∈ Gal(L′/L)

.ordσ′ = pn+1

Gal(L′/E) = ⟨σ′⟩-å äàåìâ L/E ,ïéèøà ìù äîìä éôì .⟨σ′⟩ ìù úáùä äãù K ⊆ E ⊆ L′ éäé

.E = K ïëì ,[L′ : E] = |⟨σ′⟩| = pn+1 = [L′ : K] èøôá .pn+1 øãñî úéìâòî

ïîéø ìù íåé÷ä èôùî .8

øãñ øçáðå ,P = P1C = C ∪· ∞ ïîñð .ζn = exp

2π√

n éäé n ∈ N ìëì ,íéáëåøîä íéøôñîä äãù C éäé

.åæ äöåá÷ ìò áåè

.E = C(z) éäéå ,C ìòî éèðãðöñðøè z éäé

úëøòî àéä (Cp)p∈P-å ,úéôåñ äøåáç G øùàá ,T = (G, (Cp)p∈P) âåæ àåä úåôòúñä ñåôéè (à) :8.1 äøãâä

.p ìë èòîë øåáò Cp = 1-ù êë ,G-á úåãéîö úå÷ìçî ìù

Cp-å G = Gal(F/E) øùàá ,(G, (Cp)p∈P) àåä F/E úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñää ñåôéè (á)

.((à)2.3 äøãâä) F/E-á p ìù ä÷ìçîä

úåøåáç ìù íæéôøåîåæéà àåä (G, (Cp)p∈P) → (G′, (C ′p)p∈P) úåôòúñä éñåôéè ìù íæéôøåîåæéà (â)

.p ∈ P ìëì φ(Cp) = C ′p-ù êë φ: G→ G′

úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñä ñåôéèì éôøåîåæéà àåä íà E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð úåôòúñä ñåôéè (ã)

.E ìù

T -úëîåú (gp)p∈Pù øîàð .gp ∈ Cp éäé p ∈ P ìëì .úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :8.2 äøãâä

.p ∈ P ìëì gp ∈ Cp (à)

;G = ⟨gp| p ∈ P⟩ (á)

.∏p∈P gp = 1 (â)

úúá P úà óéìçäì øùôà äøãâäá (â) ,(á) íéàðúá ïëì .p ìë èòîë øåáò gp = 1 æà gp ∈ Cp íà :8.3 äøòä

.äìù úéôåñ äöåá÷

:äæ øãñá éåìú åðéà T -úëîåú úëøòî ìù íåé÷ä ìáà .P ìò øãñá äéåìú (â) éàðúá äìôëîä

êë g′1, . . . , g′n ∈ G ùé æà .äøåîú σ ∈ Sn éäú .g1, . . . , gn ∈ G åéäéå úéôåñ äøåáç G éäú :8.4 ìéâøú

íéé÷úîù

,i ìëì gσ(i) -ì ãåîö g′i (à)

,⟨g′1, . . . , g′n⟩ = ⟨g1, . . . , gn⟩ (á)

.g′1 · · · g′n = g1 · · · gn (â)

íéôåìéç ìù äáëøä àéä Sn-á äøåîú ìëù ïååéë ,1 ≤ i ≤ n − 1 øùàá ,σ = (i i+1) éë çéðäì éã :äçëåä

,íéé÷úî (à) æà .j = i, i+ 1 ìëì g′j = gj -å ,g′i = gi+1, g

′i+1 = g−1

i+1gigi+1 øéãâð .äìàë

,g′1 · · · g′n = g1 · · · gi−1gi+1(g−1i+1gigi+1)gi+2 · · · gn = g1 · · · gn

.íéé÷úî (â) ïëìå ,⟨g′i, g′i+1⟩ = ⟨gi+1, g−1i+1gigi+1⟩ = ⟨gi, gi+1⟩-ù úåàøì ì÷å

ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî

.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íàE = C(z)

.E ìòî äàåìâ úøåáç àéä G úéôåñ äøåáç ìë :8.6 äð÷ñî

æà .gr = g−1r−1 · · · g

−11 ∈ G øéãâð .G = ⟨g1, . . . , gr−1⟩-ù êë g1, . . . , gr−1 ∈ G øçáð :äçëåä

úåôòúñä ñåôéè øéãâð .úåðåù p1, . . . , pr ∈ P øçáð .∏ri=1 gi = 1-å G = ⟨g1, . . . , gr⟩ íéé÷úî

íà Cp = 1-å .i = 1, . . . , r ìëì gi ìù úåãéîöä ú÷ìçî àéä Cpi :àáä ïôåàá T = (G, (Cp)p∈P)

.E ìòî ùåîéî T -ì ùé èôùîä éôì ïëì .T -úëîåú (gp)p∈P æà .p /∈ p1, . . . , pr

.úåçôì úåãå÷ð éúùá úôòåñî F/E æà .F = E ,úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú :8.7 äð÷ñî

ïååéë .(gp)p∈P úëîåú úëøòî åì ùé èôùîä éôì .F/E ìù úåôòúñää ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :äçëåä

.gq = 1-ù êë q = p ,q ∈ P ùé ,∏p gp = 1-ù ïååéë .gp = 1-ù êë p ∈ P ùé ,1 = G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù

.úåôòåñî p, q ïëìå ,Cp, Cq = 1 æà

(äøé÷ñ) ïîéø ìù íåé÷ä èôùî ìù äçëåä .9

ìù äçëåää úà øå÷ñð äæ ÷øôá .P = P1C = C ∪· ∞ éäé

ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî

.∏p∈P gp = 1-å ,G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù êë ,p ∈ P ìëì ,gp ∈ Cp ùé íà ÷øå íàE = C(z)

:íéàá íéîåçúä úùåìù ïéá íéøù÷ä ìò úññåáî äçëåää

;íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ ééåñéë (à)

;ïîéø éçèùî ìùà äàåìâ ééåñéë (á)

.úåãù ìù äàåìâ úåáçøä (â)

:(êùîäá åúåà øéáñð êà) çéëåð àì åúåà ,àáä èôùîä ìò êîúñð ïë åîë

äðééäúå c1 . . . cn ∈ S åéäé .éè÷ôîå÷ ïîéø çèùî S éäé :(úéèéìðà äñøâ– ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 9.1 èôùî

.i = 1, . . . , n ìëì ,ψ(pi) = ci-ù êë S ìò ψ úéôøåîåøéî äéö÷ðåô úîéé÷ æà .úåðåù p1, . . . , pn ∈ S

.íééâåìåôåè íéáçøî ìù íééåñéë

Ui ìëù êë X =∪i∈I Ui çåúô éåñéë ìòá ,øéù÷ óøåãñåàä áçøî àåä X éâåìåôåè áçøî ìë äæ ÷ìçá

øù÷ èåùÀôå úéúìéñî øéù÷ àåä X-ù çéðäì éã äùòîì) .úéúìéñî øéù÷ X æà .øåùéîá çåúô ìåâéòì éôøåîåàéîåä

.úéôåñ äöåá÷ P øùàá ,X = P∖P :úéñåôéè äîâåã (.éîå÷î ïôåàá

äçåúô äáéáñ ùé p ∈ R ìëìå ìò äðéä f íà éåñéë àéä íééâåìåôåè íéáçøî ìù f : S → R ä÷úòä :9.2 äøãâä

íæéôøåîåàéîåä àåä Ui-ì f ìù íåöîöäå äçåúô Ui ìë øùàá ,f−1(U) =∪· i∈I Ui-ù êë U ⊆ R äøéù÷å

.i ∈ I ìëì ,Ui → U

éùîî r > 0 øùàá ,S0 = z ∈ C| 0 < |z| < r1e ,R0 = z ∈ C| 0 < |z| < r åéäé :9.3 äîâåã

.éåñéë f0 æà .f0(z) = ze ãé ìò äðåúð f0: S0 → R0 éäú .e ∈ N-å

:äàáä äðòèä ìò úåññåáî ,êùîäá äçëåä àìì úåîåùøù ,f : S → R éåñéë ìù úåáø úåðåëú :9.4 äøòä

S ìò äãéçé äìéñîì äîøäì úðúéð R-á p′-ì p-î äìéñî ìë æà .q ∈ f−1(p) ⊆ S éäéå p, p′ ∈ R åéäé

.(q′ ∈ f−1(p′) äæéàá úîééúñîå) q-á äìéçúîù

.íééâåìåôåè íéáçøî ìù éåñéë f : S → R éäé :9.4 äøãâä

äìòîä úàø÷ð àéä .äîöåò äúåà ìòá àåä áéñ ìë .p ∈ R øùàá ,f−1(p) äøåöäî äöåá÷ àåä f ìù áéñ (à)

.deg f ïîåñúå f ìù

.Aut(f) = Aut(S/R) = g: S → S| f g = f, íæéôøåîåàéîåä g äøåáçä àéä f ìù äøåáçä (á)

.g = 1 æà ,S-á äãå÷ð òáå÷ g ∈ Aut(f) íà .f ìù áéñ ìë ìò úìòåô àéä

æà .f ìù (åäùìë ïëìå ,ãçà) áéñ ìò éáéèéæðøè ïôåàá úìòåô Aut(f) íà äàåìâ éåñéë àåä f -ù øîàð (â)

.|Aut(f)| = deg f

,σ éãé ìò úøöåð Aut(f0) ∼= Z/eZ-å ,äàåìâ éåñéë àéä 9.3 äîâåãá f0: S0 → R0 ä÷úòää (à) :9.5 äøòä

.σ(z) = ζez øùàá

.S0-ì éôøåîåàéîåä àåä R0 ìù e äìòîî äàåìâ éåñéë ìëù úåàøäì øùôà (á)

éôåìéç íéùøú íéé÷ æà .N ◁ G éäú .G = Aut(f) éäúå äàåìâ éåñéë f : R→ R éäé :9.6 äðòè

S = R/N

;;wwwwwwwww

.Aut(f) = G/N ,äàåìâ éåñéë àåä f -å íééâåìåôåè íéáçøî ìù äðîä ú÷úòä àéä h åá

,êôéäì .íéðåúð äàåìâ ééåñéëî íéùãç äàåìâ ééåñéë ìá÷ì øùôà äæä ïôåàá

äàåìâ éåñéë ìëù êë ,f : R → R (øù÷ èåùô) éìñøáéðåàä éåñéëä ,ãçà äàåìâ éåñéë íéé÷ R ìëì :9.7 èôùî

.éôåìéç ìéòì íéùúøäù êë h: R→ S éåñéë íéé÷ ,øîåìë ,åìù äðî àåä f : S → R

[ω] äéôåèåîåää úå÷ìçî ,÷åéã øúéá) ω íéìåìñîä ìë óñåà àåä R ,äöåá÷ë .p0 ∈ R øçáð :úé÷ìç äçëåä

æà .éâåìåôåè áçøî àåä R äîéàúî äéâåìåôåèá .ω ìù óåñä úãå÷ð àéä f([ω])-å ,R-á úåãå÷ðì p0-î (íäìù

ìò úìòåô àéäå (R ìù úéãåñéä äøåáçä) p0-ì p0-î íéøåâñä íéìåìñîä ìë úöåá÷ àéä Aut(f) = π1(R, p0)

.γ(ω) = ω γ éãé ìò R

êë p ∈ S øçáð :àáä ïôåàá h: R → S øéãâð .Aut(f) éäú ,äàåìâ éåñéë f : S → R éäé

úãå÷ð úåéäì h(ω) øéãâðå S êåúá p-î ωS ìåìñîì åúåà íéøð .R êåúá p0-î ìåìñî ω ∈ R éäé .f(p) = p0-ù

.f h = f æà .åìù íåéñä

:àáä ïôåàá :θ: π1(R, p0) = Aut(f)→ Aut(f) úåøåáç ìù íæéôøåîéôà äøùî h: R→ S éåñéëä

,h(γ) ∈ f−1(p0) æà .γS ìù íåéñä úãå÷ð h(γ) éäúå ,S êåúá p-î åìù äîøää γS éäú ,γ ∈ π1(R, p0) éäé

ùé íà ÷øå íà h(ω) = h(ω′)-ù úåàøì ì÷ .θ(γ) = τ øéãâð .h(γ) = τ(p)-ù êë ãéçé τ ∈ Aut(f) ùé ïëì

.S = R/Ker(θ) ïëì .θ(γ) = 1-å ω′ = ω γ-ù êë γ ∈ π1(R, p0)

ìëì ,ïåòùä ïååéë ãâð ïååéëá p áéáñ γp úåàìåì éãé ìò úøöåð π1(R, p0) æà R = P∖P íà (à) :9.8 äøòä

|P | − 1 ìò úéùôçä äøåáçä àéä π1(R, p0) ïëì .(íéàúî øãñá)∏p γp = 1 àåä ïäéðéá ãéçéä ñçéäå ,p ∈ P

.äãîöää éãë ãò àéä γp íéøöåéä ìù äøéçáä .íéøöåé

ìù äçëåäá íæéôøåîéôàä θ: π1(R, p0) → G éäé ,G äøåáç íò äàåìâ éåñéë f : S → R íà (á)

.(Cp = 1 éäé p /∈ P øåáò) .p ∈ P ìëì ,áèéä úøãâåî θ(γp) ìù Cp ä÷ìçîä æà .9.7 èôùî

ïè÷ r > 0 øåáò ,9.3 äîâåãá åîë R0 éäé .p = 0 çéðð úåèùô íùì :Cp ìù (äìå÷ù) úôñåð äøãâä

äøåáçä .íéàúî e øåáò S0-ì íééôøåîåàéîåä íìåë ,íéøéù÷ éà íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(R0) æà .÷éôñî

øéù÷ áéëøî øçáð .z 7→ ze éãé ìò äðåúðä f0: S0 → R0 ä÷úòää àéä S0-ì f ìù íåöîöä .íúåà äøéîúî G

øöåéä σ éäé .Aut(f0) àéäå úéìâòî àéä .G ìù äøåáç úú àåä S0 ìù g ∈ G| g(S0) = S0 æà .S0 ãçà

.σ ìù ä÷ìçîä àéä Cp æà .(á)9.5 äøòäá øãâåäù éôë ,äìù ãçåéîä

ãçåéîä øöåéä .g ∈ G øùàá ,g(S0) äøåöäî àåä øçà øéù÷ áéëøî ìë :S0 úøéçáá äéåìú äðéà åæ äøãâä

.σ ìù ãåîö ,gσg−1 àåä åì êééåùîä

.S/R ìù (G, (Cp)p∈P) úåôòúñää ñåôéè åðøãâä äæë ïôåàá ,úéôåñ äìòîî f íà

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë ìù úåôòúñää ñåôéèë ùåîéîì ïúéð (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :9.9 èôùî

.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íà

øéãâð .γp 7→ gp éãé ìò θ: π1(R, p0)→ G íæéôøåîéôà äøéãâî àéä ,(gp)p∈P úëîåú úëøòî ùé íà :äçëåä

.S = R/Ker θ

úåøéãâî G = Aut(f)-á γp ìù úåðåîúäå R → R ìù äðî àåä ,äàåìâ éåñéë f : S → R íà ,êôéäì

.úëîåú úëøòî

,∞ = p ∈ P éäé .éôåñ äàåìâ éåñéë f : S → R éäé .R = P∖P éäéå úéôåñ P ⊆ P éäú

æà ;íéôñåð P éøáà ìéëî åðéà D(p, r)-ù êë r ñåéãøá p áéáñ çåúôä ìåâéòä D(p, r) ⊆ C éäéå

íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(D(p, r)∖p

),9.5 äøòä éôì .V = D(0, r

1e ) éäé .D(p, r)∖p ⊆ R

íâ ïåëð äæ) .z 7→ p+ ze àåä V ∖0-ì f ìù íåöîöäå V ∖0-ì éôøåîåàéîåä åðéä íäî ãçà ìëå íéøéù÷

(.z 7→ 1ze ç÷éð z 7→ p+ ze íå÷îáå D(p, r) = z ∈ P| | 1z | < r íà ,p =∞ øåáò

ìá÷ð æà .íàúäá f úà áéçøðå ,V -á V ∖0 úà ,D(p, r)-á D(p, r)∖p úà óéìçð p ∈ P ìëì

.f : S → R ìù äîìùää ,f : S → P ä÷úòä

äáçøäì ïúéð h ∈ Aut(S/R) ìë .ìòå äôéöø àéä f : S → P ,øéù÷ óøåãñåàä éè÷ôîå÷ àåä S áçøîä :9.10 äðòè

.f h = f -ù êë h: S → S íæéôøåîåàéîåäì ãéçé ïôåàá

.ïîéø éçèùî ìù íééåñéë

,Φ = φi: Vi → Uii∈I äçôùî íò ,X øéù÷å óøåãñåàä éâåìåôåè áçøî àåä ïîéø çèùî :9.10 äøãâä

φi ,äçåúô Ui ⊆ C ,äçåúô Vi ⊆ X ,i, j ∈ I ìëìå X =∪i∈I Vi øùàá (φi úåôî ìù) (ñìèà)

:úéôøåîåìåä àéä φj φ−1i ä÷úòää i, j ∈ I ìëìù êë ,íæéôøåîåàéîåä

Vi ∩ Vj

φiwwoooooo

ooooo φj

''OOOOO

OOOOOO

Ui ⊇ φi(Vi ∩ Vj)φjφ−1

// φj(Vi ∩ Vj) ⊆ Uj

.úéáøî Φ ç÷ð ,ïéôåìçì .úåìé÷ù ú÷ìçîá Φ óéìçäì êéøöå íéìå÷ù (X,Φ), (X,Φ′) æà Φ ⊆ Φ′ íà ,÷åéã øúéá

,φ1 = id: C → C úåôîä íò ,P = C ∪ (C× ∪· ∞) :ïîéø øåãë ,P = P1C = C ∪· ∞ :9.11 äîâåã

.( 1∞ = 0) φ2 = 1

z : C× ∪· ∞ → C

,φi: Vi → Uii∈I ,φj : V ′j → U ′

jj∈J íééáøî íéñìèà íò ,ïîéø éçèùî X,X ′ åäé :9.12 äøãâä

ψ äðåúçúä ä÷úòää æà ,f(Vi) ⊆ V ′j íà :úîéé÷î àéä íà úéèéìðà úàø÷ð f : X → X ′ ä÷úòä .äîàúäá

úéôøåîåìåä àáä íéùøúá

f // V ′j

φ′j

φi(Vi)

ψ // φ′j(V

′j )

.∞ êåúì X úà ä÷éúòî äððéàå úéèéìðà àéä íà úéôøåîåøéî úàø÷ð f : X → P ä÷úòä

,f(Vi) ⊆ V ′j ,p ∈ Vi-ù êë i, j ìëìå p ∈ X ìëì íà ÷øå íà úéôøåîåøéî àéä f : X → P (à) :9.13 äøòä

.x ∈ V ìëì ψ(φi(x)

∑∞n=N an

(φi(x)− φi(p)

)níéé÷úî äá V ⊆ Vi äáéáñ ùé

.∞ êøò úìá÷î àéä ïäá úåãå÷ð ,øîåìë ,íéáè÷ ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé úéôøåîåøéî äéö÷ðåôì (á)

C úà ìéëî àåä .M(X) ïîåñé .äãù àåä X ïîéø çèùî ìò úåéôøåîåøéîä úåéö÷ðåôä ìë óñåà (â)

.(úåòåá÷ä úåéö÷ðåôä=)

.g 7→ gf éãé ìòM(X ′)→M(X) úåãù ïåëéù äøùî ìò äðéäù f : X → X ′ úéèéìðà ä÷úòä (ã)

áì íéù .C(z) ⊆ M(P) ïàëîå ,z ∈ M(P) ïëì .úéôøåîåøéî àéä z: P → P úåäæä ú÷úòä :9.14 äîâåã

.C(z) =M(P) éë äàøð .úéøáâìà øåâñ C-å z /∈ C éë ,C ìòî úéèðãðöñðøè z-ù

p1, . . . , ps åéäé .(f−1-á f úà óéìçð úøçà) f ìù áèå÷ åðéà∞ úåéììëä úìáâä éìá .f ∈M(P) éäú

æà .íééìéìù íéëéøòî íò pi áéáñ f ìù ïTåì çåúéôá íéøáéàä ìù íåëñä fi éäé 1 ≤ i ≤ s ìëì .äéáè÷ ìë

.äòåá÷ g ,ìéáåéì èôùî éôì .íéáè÷ àììå úéôøåîåøéî äðéä g = f −∑i fi-å ,pi-á ÷ø áèå÷ äì ùé ,fi ∈ C(z)

.f = g +∑i fi ∈ C(z) ïëì

éäú .úéôåñ P ⊆ P øùàá ,f : S → R = P ∖ P éôåñ äàåìâ éåñéë ìù äîìùää f : S → P éäú :9.15 èôùî

æà .H = Aut(S/R)

.úéèéìðà ä÷úòä f -å ïîéø çèùî S (à)

äáçøää éãé ìò H ∼= Aut(S/P) æà Aut(S/P) = g: S → S| f g = f , úéèéìðà-éá f ïîñð (á)

.h 7→ h

.φ 7→ φ f éãé ìòM(R)→M(S) úåãù ïåëéù äøùî f (â)

M(S) ìù íæéôøåîåèåà àéä ψ 7→ ψ h−1 ãé ìò úøãâåîä ιh:M(S) →M(S) ä÷úòää h ∈ H ìëì (ã)

.M(R) ìòî

.íæéôøåîåæéà àéä ι: H → Gal(M(S)/M(R))-å äàåìâ úáçøä àéäM(S)/M(R) (ä)

Gal(M(S)/M(R))-á p ìù ä÷ìçîä ìò H -á p ìù ä÷ìçîä úà ä÷éúòî ι ä÷úòää p ∈ P ìëì (å)

.(å) ,(á) ,(à) úà çéëåð àì .íéøåøá (ã) ,(â) :äçëåä

àåä G ìù úáùä äãùù äàøð .åúðåîú G éäú .ι: H → AutM(S)) íæéôøåîåîåä àåä ι-ù øåøá (ä)

éäé .φ ∈ M(R) øùàá ,φ f äøåöäî àåäM(R) ìù øáéà ìù äðåîú åðéäùM(S) ìù øáéà ,ïëà

.ιh(φ f) = φ f h−1 = φ f ïëì ,f h−1 = f æà .h ∈ H

äøåöäî àåä f ìù áéñ ìëù ïååéë .h ∈ H ìëì ψ h = ψ-ù êë ψ ∈ M(S) éäé ,êôéäì

äéö÷ðåô äøéãâî ψ ïëì .p ∈ R øùàá ,h−1(p) áéñ ìë ìò äòåá÷ àéä ψ-ù àöåé ,h(q)| h ∈ H

q ∈ S ìù V äçåúô äáéáñå R-á U äçåúô äáéáñ åì ùé æà p ∈ R íà .ψ = φ f -ù êë φ: R→ P = R

φ ïëì .U ìò úéôøåîåøéî φ íâ ,V ìò úéôøåîåøéî ψ-ù ïååéë .éèéìðà íæéôøåîåàéîåä f : V → U -ù êë p ìòî

.φ ∈M(R) ,ïîéø ìù äáçøää èôùî éôì .R ìò äôéöø φ ïë åîë .R ìò úéôøåîåøéî

àåäù äàøð .íæéôøåîéôà ι ïëì .ι(G) äàåìâ úøåáç íò äàåìâ àéäM(S)/M(R) ïéèøà ìù äîìä éôì

êë ψ ∈ M(S) ùé 9.1 èôùî éôì .h−1(q) = q-ù êë q ∈ S ùé æà .1 = h ∈ H éäé .éëøò-ãç-ãç

.ιh = 1 ,øîåìë ,ψ h−1 = ψ ïëì .ψ(h−1(q)) = ψ(q)-ù

.E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð T æà .T -úëîåú úëøòî ìòá úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :9.16 äð÷ñî

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë íéé÷ 9.9 èôùî éôì .P = p ∈ P| Cp = 1 éäú :äçëåä

.M(S)/C(z) ùåîéîì ïúéð àåä 9.15 èôùî éôì .f : S → R := P∖P

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéëå úéôåñ P ⊆ P ùé æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/C(z) éäú :9.17 èôùî

.M(S) ∼=C(z) F íæéôøåîåæéà íéé÷ù êë f : S → R := P ∖ P

úìáâä éìá .q(α) = 0 ,÷éøô éà íåðéìåô q ∈ C(z)[X] éäéå C(z) ìòî éáéèéîéøô øáéà α ∈ F éäé :äçëåä

ìë úàå ∞ úà úììåëù úéôåñ P ⊆ P éäú .n = degX q éäé .ï÷åúî q = q(z,X) ∈ C[z][X] úåéììëä

íéùøåù n ÷åéãá åì ùé ,øîåìë ,ãéøô q(p,X) íåðéìåôä p ∈ P∖P ìëì æà .Dnq äèððéîéø÷ñéãä ìù íéùøåùä

éäú .C-á íéðåù

S′ = (u, v1, . . . vn) ∈ Cn+1|∏i=j

(vi − vj) = 0 ,i ìëì q(u, vi) = 0 ,u ∈ P∖P

äøåáçä .äôéöø àéä f : S′ → P∖P äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää .Cn+1-î úéøùåîä äéâåìåôåèä íò

úåéôøåîåìåä úåéö÷ðåô n ùé x0 ∈ P∖P ìëì .v1, . . . , vn ìù äøîúä éãé ìò ,S′ ìò úìòåô Sn úéøèîéñä

ìëì .q(x,X) ìù íéðåùä íéùøåùä ìë íä ψ1(x), . . . ψn(x)-ù êë x0 ìù U äáéáñá úåøãâåî ,ψ1, . . . , ψn

f ìù íåöîöäå f−1(U) =∪· σ Vσ æà .Vσ = (x, ψσ(1)(x), . . . , ψσ(n)(x))| x ∈ U éäú σ ∈ Sn

.Vσ → U íæéôøåîåàéîåä àåä Vσ-ì

ìù äàåìâ éåñéë àåä S-ì f ìù íåöîöä æà .S′ ìù øéù÷ áéëøî S éäé .øéù÷ áçøî åðéà S′-ù ïëúé

úåéö÷ðåô ïä úåðåøçàä úåèðéãøåàå÷ä n ìò g1, . . . , gn: S → C úåìèää .f : S → P∖P íééâåìåôåè íéáçøî

.q(z,X) ìù íéùøåù ïäå ,S ìù S äîìùää ìò úåéôøåîåøéî

,(ä)9.15 èôùî éôì ,ïëà .C(z) =M(P) ìòîM(S) úà úåøöåé äìà úåéö÷ðåô

.Gal(M(S)/C(z)) = ιh| h ∈ Aut(f)

íâ ìáà .x ∈ S ìëìå i ìëì gi(x) = gi(h−1(x)) æà .i ìëì ιh(gi) = gi-ù êë h ∈ Aut(f) éäé

ïëìå ,úåäæ S′ éøáàë x, h−1(x) ìù úåèðéãøåàå÷ä n + 1 ìë ,øîåìë .x ∈ S ìëì f(x) = f(h−1(x))

.ιh = 1 ïëì .h = 1 ïàëî .x ∈ S ìëì ,x = h−1(x)

.M(S) ∼=C(z) F ïàëî .C(z) ìòî q(z,X) ìù ìåöéôä äãù àåäM(S) ïëì

úåéôåñåøô úåøåáç .10

áçøî (G, T )-ù êë G äöåá÷ä ìò T äéâåìåôåè íò ãçé G äøåáç àåä (G, T ) .úéâåìåôåè äøåáç :10.1 äøãâä

äðåúðä) g → G éëôåää ú÷úòäå ((g1, g2) 7→ g1g2 éãé ìò äðåúðä)G×G→ G äìôëîä ú÷úòäå óøåãñåàä

.úåôéöø ïä (g 7→ g−1 éãé ìò

.(úåøåâñ) úåçåúô Ug, gU, U−1 æà g ∈ G-å (äøåâñ) äçåúô U ⊆ G íà .úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.2 ìéâøú

.H ≤ G ,úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.3 äîì

.äøåâñ íâ H æà ,äçåúô H íà (à)

.äçåúô íâ H æà (G : H) <∞-å äøåâñ H íà (á)

.(G : H) <∞ æà ,äçåúô H -å úéè÷ôîå÷ G íà (â)

æà .Hgi0 = H-ù êë ãéçé i0 ∈ I ùéå ,|I| = (G : H) øùàá ,G =∪· i∈I Hgi íéé÷úî :äçëåä

.äøåâñ H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äçåúô

∪· i =i0 Hgi (à)

.äçåúô H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äøåâñ

∪· i=i0 Hgi (á)

ìáà .G =∪· i∈J Hgi-ù êë úéôåñ J ⊆ I ùéù G =

∪· i∈I Hgi êåúî òáåð úåéè÷ôîå÷ä ììâá (â)

.I = J ïëì ,úå÷éø àì úåöåá÷ ìù øæ ãåçéà àåä ïåùàøä ãåçéà

äéâåìåôåèì ñéñá åì ùéù óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøî àéä íà ,úéôåñåøô úàø÷ð äéâåìåôåè íò äøåáç :10.4 äøãâä

.ïáåîë ,úåçåúô äìà úåøåáç úú .(úåîééåñî) úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷ä ìë ìù

!÷åãá .äøãâääî òáåð äæ éë ,úåôéöø äðééäú úåìåòôäù úùøåã äðéà äøãâää (à) :10.5 äøòä

íà ÷øå íà äøåáçä ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéååäî úåéìîøåð úåøåáç úú ìù Nii∈I äçôùî ìù íéèñå÷ä (á)

.Nk ≤ Ni ∩Nj -ù êë k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëì

.∩i∈I Ni = 1 íà ÷øå íà óøåãñåàä äðéä (á) ÷ìçá äéâåìåôåèä (â)

.H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.6 äîì

.äçåúô (G ìò äéâåìåôåèä úà øéãâîù ñéñáäî) úéñéñá N äøåáç úú äìéëî àéä íà ÷ø íà äçåúô H (à)

.úåçåúô úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H (á)

.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H :æà H ◁ G íà (â)

N øùàá ,1N = N èñå÷ àéä åæ äáéáñ .H-á úìëåî úéñéñá äáéáñ ùé 1 ∈ H-ì ,äçåúô H íà (à) :äçëåä

.äçåúô ïëìå ,úåçåúô úåöåá÷ ìù ãåçéà H =∪h∈H hN æà ,úéñéñá N äìéëî H íà ,êôéäì .úéñéñá

úåàøäì éã .äøåâñH-ù çéðð ,êôéäì .øåâñ ïëåúéç ïëì ,((à)10.3 äîì) úåøåâñ íâ ïä úåçåúô úåøåáç úú (á)

.g /∈ H ′-å H ≤ H ′-ù êë ,äçåúô H ′ ≤ G ùé g ∈ G∖H ìëìù

H úà äìéëî ,(à) éôì äçåúô HN æà .gN ⊆ G∖H-ù êë úéñéñá N ùé ïëì ,äçåúô G∖H ,ïëàå

.äøéúñ ,h = gn−1 ∈ H ∩ gN æàå ,h ∈ H,n ∈ N øùàá g = hn úøçà ,g /∈ HN ìáà

.HN ◁ G æà H ◁ G íà :(á) ÷ìçá åîë (â)

(.úéèø÷ñéã àéä úéôåñ äøåáç ìë êùîäá) .úéôåñåøô àéä úéèø÷ñéã úéôåñ äøåáç ìë (à) :10.7 úåàîâåã

äàåìâ úåáçøä úçôùî L éäú .G = Gal(N/K) éäúå (úéôåñ çøëäá àì) äàåìâ úáçøäN/K éäú (á)

.σGal(L)| σ ∈ G, L ∈ L :àáä ñéñáä éãé ìò äéâåìåôåè G ìò øéãâð .N -á úåìëåîä K ìù úåéôåñä

.Gal(L) ≤ Gal(L1)∩Gal(L2) æà .L = L1L2 ∈ L éäé ,L1, L2 ∈ L íà :íéé÷úî (á)10.5 éàðú

ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä .äôéöø àéä G → Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä L ∈ L ìëì

àéä äìù äðåîúä .úéëøò-ãç-ãç ä÷úòää ,∪L∈L L = N -ù ïååéë ρ: G →

∏L∈L Gal(L/K) äôéöø

éë ,íæéôøåîåàéîåä àåä ρ: G → Z ,ïë ìò øúé .Z = (σL)L∈L| L ⊆ M ⇒ σM |L = σL

.óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ Z-ù ÷åãáì øàùð ïëì .ρ(σGal(N/L)) =(σ|L×

∏L =M∈L Gal(M/K)

L ⊆ M ùé æà .(σL)L∈L ∈∏L∈L Gal(L/K)∖Z éäé :çåúô äìôëîá Z ìù íéìùîäù äàøð

ïëì ,τM = σM -å τL = σL úåéììëä úìáâä éìá æà ,(σL)L∈L-ì áåø÷ (τL)L∈L íà .σM |L = σL-ù êë

.(τL)L∈L /∈ Z íâ æà .τM |L = τL

úúå ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä íééè÷ôîå÷ óøåãñåàä éáçøî ìù äìôëîäù ïååéë .äìôëîá äøåâñ Z êë éôì

.úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä Z æà ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä éè÷ôîå÷ óøåãñåàä áçøîá äøåâñ äöåá÷

.úéôåñåøô äøåáç àéä Gal(N/K) äæ ïôåàá

àéä Gal(N/K) ìù H äøåáç úú :10.8 äð÷ñî

.N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E øùàá ,H = Gal(N/E) íà ÷øå íà äçåúô (à)

.N -á úìëåî K ìù äãéøô äáçøä F øùàá ,H = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ (á)

π: Gal(N/K) → Gal(L/K) éäú .Gal(N/L) ≤ H-ù êë L ∈ L ùé æà ,äçåúô H íà (à) :äçëåä

H ≤ Gal(L/K) äøåáç úú ùé éùéìùä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Kerπ æà .íåöîöä ú÷úòä

ïëì .H = Gal(L/E)-ù êë K ⊆ E ⊆ L ùé äàåìâ úøåú éôì .H = π−1(H)-ù êë

.H = π−1(Gal(L/E)) = Gal(N/E)

æà .N -á äìù äàåìâ øåâñ L ∈ L éäé .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú ,êôéäì

.äçåúô Gal(N/E) ïëì ,(Gal(N/L) ≤ Gal(N/E)

äãùá ìëåî E íà ÷ø íà H ≤ Gal(N/E) æà .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú (á)

.H =∩E⊆F Gal(N/E) = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ H ïëì .H ìù F úáùä

F 7→ Gal(N/F ) æà .G = Gal(N/K) éäúå äàåìâ úáçøäN/K éäú :(úéôåñðéà äàåìâ úøåú) 10.9 èôùî

éãé ìò äðåúð äëåôää äîàúää .G ìù úåøåâñä úåøáç-úúä ïéáì N/K ìù íééðéáä úåãù ïéá úéëøò-ãç-ãç äîàúä àéä

.G ìùH äøåâñ äøåáçúú ìù úáùä äãùNH øùàá ,H 7→ NH

Ks øùàá ,Gal(Ks/K) úéôåñåøôä äøåáçä àéä K äãù ìù Gal(K) úèìçåîä äàåìâ úåøáç :10.10 äøãâä

.K ìù ãéøôä øåâñä

.úéôåñåøô äøåáç àéä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äøùé äìôëî :10.11 äð÷ñî

.úåéôåñåøô Gi øùàá ,G =∏i∈I Gi çéðð :äçëåä

øùàá ,∏j∈J Vj ×

∏i∈I∖J Gi äøåöäî úåöåá÷ ìù ñéñáä éãé ìò äðåúð G ìò äéâåìåôåèäù øåëæð

.j ∈ J ìëì ,Gj ìù Bj ñéñáá Vj -å úéôåñ äöåá÷ úú J ⊆ I

úéè÷ôîå÷ G íâ ,óøåãñåàä íééè÷ôîå÷ íéáçøî ìù äìôëîë .úåôéöø G-á äìôëîäå ìôëäù úåàøì ì÷

ìù ì"ðä ñéñáä æà .úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî Gi ìù Bi ñéñá ùé i ∈ I ìëì .óøåãñåàä

.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî íâ G

.úéôåñåøô H æà .äøåâñ H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.12 ìéâøú

óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøîá äøåâñ äöåá÷ .H ⊆ G ìò úåôéöø úåìåòô úåøùîG ìò úåôéöøä úåìåòôä (à) :äçëåä

N ◁ G íà .H ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéðúåð G ìù ñéñá éøáà ìù H íò íéëåúéçä .óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ àéä

hN ∩H = h(N ∩H) æàå ,gN = hN ïëìå ,h ∈ gN ∩H ùé æà ,ä÷éø äðéà gN ∩H-å ,g ∈ G-å äçåúô

.H-á N ∩H äçåúô úéìîøåð äøåáç úú ìù èñå÷ àéä

.úéôåñåøô äøåáç àåä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úú :10.13 äð÷ñî

.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úúì úéôøåîåæéà úéôåñåøô äøåáç ìë ,êôéäì

íéååäî ïäìù íéèñå÷äù êë G-á úåéìîøåð úåøåáç ìù äçôùî Nii∈I éäú .úéôåñåøô äøåáç G éäú :äçëåä

.äôéöø àéä G→ G/Ni äðîä ú÷úòäå úéôåñ àéä G→ G/Ni äðîä i ∈ I ìëì æà .G ìò äéâåìåôåèì ñéñá

.G→∏i∈I G/Ni äôéöø ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä

æà äàåìâ úáçøä N/K íàù åðéàø (á)10.7 äîâåãá :10.14 äøòä

.Gal(N/K) ∼=(σL)L∈L ∈

∏L∈L

Gal(L/K)∣∣σM |L = σL

.(äðîä úééâåìåôåèá) úéôåñåøô G/K æà .äøåâñ K ◁ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.15 ìéâøú

U ⊆ G :äðîä úééâåìåôåè àéä G ìò äéâåìåôåèä .äðîä ú÷úòä π: G → G éäúå G = G/K éäú :äçëåä

.úéè÷ôîå÷ G íâ ,ìò π-å úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë .äçåúô π−1(U) ⊆ G íà ÷øå íà äçåúô

,(â)10.6 äîì éôìå íééôåñ íéëåúéç úçú äøåâñ N æà .N = N ◁ G| K ≤ N, äçåúô N ïîñð

èôùî éôì ïëì .G-á äçåúô π−1(π(N)) = N éë ,G-á äçåúô π(N) æà ,N ∈ N íà .∩N∈N N = K

úçú äøåâñ ,G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = π(N)| N ∈ N éùéìùä íæéôøåîåæéàä

éäùåæéàì ñéñá íéååäî N éøáà ìù íéèñå÷ä 10.5 äøòä éôì ïëì .∩N∈N π(N) = 1-å íééôåñ íéëåúéç

.äðîä úééâåìåôåè úàæù äàøð .óøåãñåàä äðéäù G ìò äéâåìåôåè

g ∈ U ùéå ,äçåúô äöåá÷ U = π−1(U) ⊆ G æà .g ∈ U éäéå äçåúô äöåá÷ U ⊆ G éäú ,ïëà

êë äçåúô N ◁ G ùé .UK = U ïëì ,π(UK) = π(U) = U -å U ⊆ UK-ù áì íéùð .π(g) = g-ù êë

.g ∈ gπ(NK) ⊆ U -å π(NK) ∈ N ïëì ,gNK ⊆ UK = U -å ,NK ∈ N úòë .gN ⊆ U -ù

äøåáç àéä Z =(a1, a2, a3, . . .) ∈

∏m∈N(Z/mZ)

∣∣ m|n ⇒ am ≡ an mod m

:10.16 äîâåã

.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëîá äøåâñ äøåáç úú àéä ,ïëà .úéôåñåøô

.Z-ì úéôøåîåæéà äðéä éôåñ äãù ìù úèìçåîä äàåìâ úøåáç :10.17 èôùî

Fs êåúá äãéçé äáçøä Fq-ì ùé n ∈ N ìëì ,òåãéë .íéøáéà q ïá äãù ,Fq ìù Fs éøáâìà øåâñ òá÷ð :äçëåä

θn: Gal(Fqn/Fq)→ Z/nZ íæéôøåîåæéà ùéå ,äàåìâ úáçøä Fqn/Fq ïë ìò øúé .Fqn äãùä àéä ,n äìòîî

éôåìéç àáä íéùøúä æà m|n íà .Frobq 7→ [1] éãé ìò ïåúðä

Gal(Fqn/Fq)θn //

Gal(Fqm/Fq)

θm // Z/mZ

.θ:∏nGal(Fqn/Fq)→

∏n Z/nZ íæéôøåîåæéà úåøéãâî θn æà

.(an)n∈N| am ≡ an mod m ìò (σn)n∈N| σm = σn|Fqm úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåæéà

.äøãâää éôì ,Z-ì éðùäå ,10.14 äøòä éôì ,Gal(F )-ì éôøåîåæéà ïåùàøä

÷øå íà óéöø φ: G → A íæéôøåîåîåä æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A-å úéôåñåøô äøåáç G éäú (à) :10.17 ìéâøú

.G-á äçåúô äøåáç úú Ker(φ) íà

íà óéöø åðéä φ: Gal(N/K)→ A íæéôøåîéôà æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A éäúå äàåìâ úáçøä N/K éäú (á)

éôåìéç íéùøúå L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä úîéé÷ íà ÷øå

Gal(N/K)

xxpppppp

ppppp φ

Gal(L/K)θ

.íæéôøåîåæéà θ -å íåöîöä ú÷úòä res åá

Ker(φ)⇔ G-á íéçåúô Ker(φ) ìù íéèñå÷ä ìë⇔ a ∈ A ìëì ,äçåúô φ−1(a)⇔ óéöø φ (à) :äçëåä

.G-á äçåúô

óéöø φ ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) = Ker(res) = Gal(N/L) æà éôåìéç íéùøúä íà (á)

.(à) éôì

,(à)10.8 äð÷ñî éôì ,ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) ◁ Gal(N/K) æà , óéöø φ íà ,êôéäì

åðéòøâå íæéôøåîéôà res æà .K ìù úéôåñ äàåìâ úáçøä K ⊆ L ⊆ N øåáò ,Ker(φ) = Gal(N/L)

.éôåìéç íéùøúäù êë θ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Ker(φ)

.G ìù äøåáç úú àéä (G-á H ìù éâåìåôåèä øåâñä) H íâ æà .H ≤ G éäúå úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.18 ìéâøú

æà .äìù íééðéá úåãù éðù L1, L2 åéäé äàåìâ úáçøä N/K éäú :10.19 ìéâøú

,Gal(N/L1 ∩ L2) = ⟨Gal(N/L1),Gal(N/L2)⟩

.S1 ∪ S2 úà äìéëîù øúåéá äðè÷ä äøåâñä äøåáç úú úà ïîñî ⟨S1, S2⟩ øùàá

êë G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = Ni| i ∈ I éúä .úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.20 ìéâøú

-ì úéôøåîåæéà G æà .∩i∈I Ni = 1-å Nk ≤ Ni ∩Nj íéé÷îù k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëìù

.Z =(σiNi)i∈I ∈

∏i∈I

G/Ni∣∣Nj ≤ Ni ìëì σiNi = σjNi

äìàä úå÷úòää .σ 7→ σNi éãé ìò πi: G → G/Ni äôéöøä äðîä ú÷úòä úîéé÷ i ∈ I ìëì :äçëåä

ìëù äàøð .Z êåúá åúðåîúù øåøá .σ 7→ (σNi)i∈I éãé ìò π: G→∏i∈I G/Ni óéöø íæéôøåîåîåä úåøéãâî

.π(G) äðåîúá (σiNi)i∈I ∈ Z

.åëåúá äøåâñ π(G) ,óøåãñåàä àåä äìôëîä áçøîù ïååéë .úéè÷ôîå÷ π(G) íâ ,úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë

.(σiNi)i∈I ìù äçåúô äáéáñ ìëá ìëåî øîåìë ,π(G) ìù øåâñá (σiNi)i∈I -ù úåàøäì éã ïëì

øùàá ,U = (τiNi)i∈I | j ∈ J ìëì τj = σj àéä äìôëîá (σiNi)i∈I ìù úéñéñá äçåúô äáéáñ

σNj = σjNj æà .σNk = σkNk-ù êë σ ∈ G ùéå j ∈ J ìëì Nk ≤ Nj -ù êë k ∈ I ùé .úéôåñ J ⊆ I

.π(σ) ∈ U ïëì .j ∈ J ìëì

ïåëéù úåéòá ïåøúô .12

.úøçà øîàð íà àìà ,óéöø àåä úåéôåñåøô úåøåáç ìù íæéôøåîåîåä ìë ïìäì

ìù íéîæéôøåîéôà ìù (φ: G→ A, α: B → A) âåæ àéä G úéôåñåøô äøåáç øåáò ïåëéù úééòá :12.1 äøãâä

éôåìéç àáä íéùøúäù êë γ: G→ B íæéôøåîéôà àåä åæ äéòá ìù ïåøúô .úåéôåñåøô úåøåáç

γ~~~~~~~~

α// A

àéä äéòáä

.úåéôåñ A,B íà ,úéôåñ (à)

.α(B0) = A-ù êë B0 ≨ B ïéà íà ,éðéèøô (á)

.α µ = idA-ù êë µ: A→ B íæéôøåîåîåä ùé íà ,úìöôúî (â)

úåéììëä úìáâä éìá æà (äøéúô ïåëéùä úéòá íàä àéä äìàùäå) G = Gal(K)-å äãù K íà

úåéììëä úìáâä éìá æà γ ïåøúô ùé íà .íåöîöä ú÷úòä àéä φ-å ,äàåìâ úáçøä L/K øùàá ,A = Gal(L/K)

.íéîåöîö ïä úå÷úòää ìëå K ⊆ L ⊆M -ù êë äàåìâ úáçøä M/K øùàá ,B = Gal(M/K)

.úåéôåñ ïåëéù úåéòáá ÷ø ïåãð êùîäá

.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .úéôåñðéà X äöåá÷ ìò úéùôç úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.2 äîì

.G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ, α) éäúå úéùôç äøåáçë G ìù äðáîä ú÷úòä λG: X → G éäú :äçëåä

øçáð (äìàë X éøáéà ìù éôåñ øôñî ÷ø ùéå) φ(λG(x)) = 1-ù êë x ∈ X ìëì :êë λB : X → B øéãâð

øçáð (úéôåñðéà X éë ,äìàë óåñðéà ùéå) X éøáéà øàù êåúî .α(λB(x)) = φ(λG(x))-ù êë λB(x) ∈ B

.1 ∈ B ìò ÷éúòð X éøáà øàù úà .Ker(α) ìò äúåà ÷éúòðå úéôåñ äöåá÷

íéé÷úî .λB = γ λG-ù êë γ: G → B ãéçé íæéôøåîåîåä ùé ïëì ,úéôåñ X ∖α−1B (1) æà

.α γ = φ ,(á)11.2 äøãâäá úåãéçéä éôì .φ λG = α γ λG

.úåøéúô G øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù çéðð .úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.3 äîì

.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà

B0 ≤ B øçáð .C = Kerα éäé .G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G → A, α: B → A) éäú :äçëåä

éäú .cb = b−1cb :(ïéîéî) B-á äãîöää éãé ìò C ìò úìòåô B0-å B = B0C æà .α(B0) = A-ù êë úéøòæî

àáä ìôëä íò ìáà ,B = B0 × C úéæèø÷ä äìôëîä àéä B ,äöåá÷ë :äøùé éöçä äìôëîä B = B0 ⋉ C

.(b1, c1)(b2, c2) = (b1b2, cb21 c2), b1, b2 ∈ B0, c1, c2 ∈ C

íæéôøåîåîåä àéä b 7→ (b, 1) ä÷úòääå íæéôøåîéôà àåä π: B → B0 äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää èøôá

.(b, c) 7→ bc éãé ìò ïåúðä β: B → B íæéôøåîéôà íéé÷ ïë åîë .π λ = idB0íéé÷úîå B0 → B

:éôåìéç àáä íéùøúä

β @@@

@π // B0 α|B0

àéä (ψ, π) æà .α|B0 ψ = φ-ù êë ψ: G → B0 ùé ïëì ,éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá àéä (φ, α|B0

) ,úòë

ïåøúô àåä β ρ: G → B íéùøúä éôì .π ρ = ψ-ù êë ρ: G → B0 ùé ïëì ,úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá

.(φ, α) ïåëéùä úéòá ìù

úåçåúô úåøåáç úú ùéù çéðð .úåéôåñåøô úåøåáçG,H äðééäú :(Iwasawa) 12.4 èôùî

M ′0,M

′1,M

′2, . . . ≤ G, N ′

0, N′1, N

′2, . . . ≤ H

.G ∼= H æà .äøéúôG,H øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëùå ,∩iN

′i = 1 ,

′i = 1-ù êë

úåøãñ äéö÷åãðéàá äðáð .M ′0 = G,N ′

0 = H úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

. . . ≤M2 ≤M1 ≤M0 = G, . . . ≤ N2 ≤ N1 ≤ N0 = H

íéé÷úîù êë ,i ≥ 0 ìëì ,θi: G/Mi → H/Ni íéîæéôøåîåæéàå úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù

,i ìëì ,Ni ≤ N ′i ,Mi ≤M ′

i (à)

éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúä (á)

G/Mi+1

θi+1 //

H/Ni+1

θi // H/Ni

úà ÷éúòîù θ:∏∞i=0G/Mi →

∏∞i=0H/Ni íæéôøåîåæéà úåøéãâî θi∞i=0 æà

(σiMi)

∞i=0 ∈

∏i=0

∣∣ i ≤ j ìëì σiMi = σjMi

ìò(σiNi)

∞i=0 ∈

∞∏i=0

H/Ni∣∣ i ≤ j ìëì σiNi = σjNi

ùé ïëì .H = lim←

H/Ni ïôåà åúåàáå G = lim←i

G/Mi ,10.20 ìéâøú éôì ,ïëì ,∩iMi = 1 ,(à) éôì

.θ: G→ H íæéôøåîåæéà

.(úéìàéååéøèä äøåáçä ìù úåäæä àéä θ0-å) M0 = G,N0 = H ç÷ð i = 0 øåáò

-ù êë äçåúô K ◁ G øçáð .íæéôøåîåæéà θi: G/Mi → H/Ni -ù êë Mi, Ni, θi åðàöîù çéðð

íæéôøåîéôà ùé äçðää éôì .σK 7→ σMi íæéôøåîéôàä β: G/K → G/Mi äðééäú .K ≤ Mi ∩M ′i+1

.úéòáèä äðîä ú÷úòä φ: H → H/Ni øùàá ,(θi β) γ = φ-ù êë γ: H → G/K

(ìù éëôåää äùòîì) íæéôøåîåæéà äøùî γ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .L = Ker γ éäé

éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúäù êë θ′i: G/K → H/L

zzuuuuu

G/Kθ′i //

θi // H/Ni

(.L ≤ N ′i+1-ù çèáåî àì ìáà ,Mi+1 = K,Ni+1 = L, θi+1 = θ′i úç÷ì äéä øùôà úòë)

.H-ì G ïéá óéìçðå θ′i-á θi úà óéìçð ìáà ,úîãå÷ä äéðáä ìò øåæçð

úåøåáç úú ìù äøãñ G-ì ùéù çéðð .äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.5 äð÷ñî

ìò úéùôçä úéôåñåøôä äøåáçä ,Fω -ì úéôøåîåæéà G æà .∩iM

′i = 1-ù êë M ′

0,M′1,M

′2, . . . ≤ G úåçåúô

.X = N

úú ìù N äçôùî äì åðîàúä 11.4 èôùî ìù äçëåäá .X = N ìò úéùôçä úèùôåîä äøåáçä Φ éäú :äçëåä

ìù äçëåäá â äðòè éôì .(|N | = |X| = ℵ0 åìéôàå) |N | ≤ |X| = ℵ0 ,11.5 ìéâøú éôì .úåéìîøåð úåøåáç

äáéáñ ìëá ìëåî ïëåúéçù N = N | N ∈ N úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî Fω-ì ùé 11.4 èôùî

àì øùàë) N = N0, N1, N2, . . . áåúëì øùôà ,|N | ≤ |N | ≤ ℵ0-ù ïååéë .1 àåä ïëìå ,1 ìù äçåúô

.∩∞i=0 Ni = 1-å (úåðåù Ni úåøåáçä ìë çøëäá

.G ∼= Fω íéé÷úî Iwasawa èôùî éôì

úáçøä øöåé β åìù ùøåùù êë ÷éøô éà íåðéìåô g ∈ K(z)[X] éäéå ,åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé :12.6 äîì

.K(z) ìòî ÷éøô éà g æà .F ∩ K = K -ù çéðð .K(z) ìù F = K(z)(β) äàåìâ

.K êåúá K ìù ãéøôä øåâñä L éäé :äçëåä

F FL FK

K(z) L(z) K(z)

.L(z) ìòî ÷éøô éà g-ù äìéçú äàøð

ú÷úòä ,F ∩ L = K-ù ïååéë .L(z)[X]-á g′|g æà .g′ = irr(β, L(z)) ∈ L(z)[X] éäé ,ïëà

Gal(FL/F ) → íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøää àéä .ìò àéä Gal(FL/F ) → Gal(L/K) íåöîöä

íéé÷úî ,ìò äðåùàøäù ïååéë .ìò ïäéúù ïëì ,úåéëøò-ãç-ãç ïðéäù Gal(L(z))/K(z)) → Gal(L/K)

.íæéôøåîåæéà ïëìå ìò àéä Gal(FL/L(z))→ Gal(F/K(z)) íåöîöä ú÷úòäù ïàëî .F ∩L(z) = K(z)

,deg g = deg g′ íéé÷úî ,β éãé ìò L(z) ìòî úøöåð FL-ù ïååéë .[FL : L(z)] = [F : K(z)] èøôá

.L(z) ìòî ÷éøô éà g ïëì .g′ = g ,øîåìë

ïëì ,äãéøô F/K(z) äáçøää .äøåäè äãéøô éà K(z)/L(z) ïëì ,äøåäè äãéøô éà àéä K/L äáçøää

Gal(FK/K(z)) → úéëøò-ãç-ãçä íåöîöä ú÷úòä ïëì .FL ∩ K(z) = L(z) ïàëî .äãéøô FL/L(z)

ä÷ñôá åîë ,ïàëî .[FK : K(z)] = [FL : L(z)] èøôá .íæéôøåîåæéà ïëìå ,ìò äðéä Gal(FL/L(z))

.K(z) ìòî ÷éøô éà øàùð L(z) ìòî ÷éøô éà åðéäù ,g ,úîãå÷ä

øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :12.7 èôùî

.Gal(E) ∼= Fω æà ,äéðî ïá K íà ,èøôá .äøéúô Gal(E)

(.íàåìîá åàáåé àì äçëåääî íé÷ìç) :äçëåä

.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìë øåúôì éã 12.2 äîì éôì

.Tsen èôùî åäæ .ïàë àáåé àì éðéèøô ïåëéù úåéòá ïåøúô

.C = Ker(α) éäé .G = Gal(E) øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G→ A, α: B → A) éäú

ïë åîë .λ(A) ∼= A ïëìå úéëøò-ãç-ãç λ æà .α λ = idA-ù êë λ: A → B íæéôøåîåîåä ùé äçðää éôì

.B = ⟨λ(A), C⟩ ∼= ⟨A,C⟩ ,èøôá .B = λ(A)⋉ C ,øîåìë ,C ∩ λ(A) = 1-å B = λ(A)C

.F1-ì íåöîöä ú÷úòä φ-å äàåìâ úáçøä F1/E øùàá ,A = Gal(F1/E) úåéììëä úìáâä éìá

.F1((t)) êåúá úåãù øéãâð .äðúùî t éäé

.(4.9 úåàîâåã) íìù K æà .F1 = F1K = F1E ,E = EK = K(z) ,K = K((t)) åéäé

K((z))

____ F1((t))

____ E((t))

K K ____ ____ K((t))

äðéä Gal(F1/E) → Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå úéôåñ äàåìâ úáçøä F1/E ,äàåìâ úøåú éôì

àéä .íæéôøåîåæéà äðéä Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòä ,7.2 ìéâøú éôì .úéëøò-ãç-ãç

ïëì ,Gal(F1/E)→ Gal(F1/E)-å Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøä

.íåöîöä éãé ìò Gal(F1/E) ∼= Gal(F1/E) = A :íæéôøåîåæéà àéä ïëì .ìò äðåøçàä

F1/E-ù ïååéë .F1 = E(β) æà .f = irr(β,E) ∈ K[z][X] øùàá ,F1 = E(β)-ù êë β ∈ F1 ùé

ùé ,éôåñðéà äãù K-ù ïååéë .ñôàä íåðéìåô äððéà f ìù D(z) äèððéîéø÷ñéãä ïëìå ,ãéøô íåðéìåô f ,äãéøô

,(úéøáâìà øåâñ K éë) K àåä åìù ìåöéôä äãù .ãéøô f(a,X) ∈ K[X] ,øîåìë ,D(a) = 0-ù êë a ∈ K

.F1 ⊆ K((z)) æà ,(E = K(z) úà äðùî àìù äî) ,z + a-á z úà óéìçð íà ,7.5 äîì éôì .K-á ìëåî èøôá

úà äðùî àìù äî) íéàúî c ∈ K× øåáò ,cz-á z úà óéìçð íà ,(4.12 äøòä éôì íâå) 6.3 äð÷ñî éôì

.F1 ⊆ Q2 := Quot(Kz−1) æà ,(E = K(z)

.Gal(F2/E) = C-ù êë F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz) ùé 6.7 èôùî éôì

ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäéå Q = Quot(Kz, z−1) éäé

.(E, F1, F2, Q1, Q2, Q;A,C,B)

.α äìèää àéä Gal(F /E)→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå F1 ⊆ F íéé÷úî 3.8 äð÷ñî éôì

-å F ⊆ Q-ù ïååéë .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòîù Q → Q1 K-ïåëéù íéé÷ 6.5 äð÷ñî éôì

íéøáéà ìéëî åðéà äæ äãù ,7.3 äð÷ñî éôì .K((z)) ìù äãù úú ìò F úà ÷éúòî äæ ïåëéù ,Q1 ⊆ K((z))

.K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà íéøáéà ìéëî åðéà F ïëì .K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà

éôì æà .K ìù éøáâìàä øåâñä L éäé .g = irr(β′, E) ∈ K[z][X]-å F = E(β′)-ù êë β′ ∈ F ùé

.L(z) ìòî ÷éøô éà íâ g ∈ L[z][X] ,12.6 äîì

-ù êë K éøáéà ìù x = (x1, . . . , xn) äøãñ àåöîì øùôàù úåàøì ì÷

,A äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1/K(x, z) (à)

,B äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1(β′)/K(x, z) (á)

.α: B → A ÷åéãá àéä äìàä úåáçøää éúù ïéá íåöîöä ú÷úòä (â)

.K(x) ìòî ÷éøô éà åðéä g-å g ∈ K[x][z][Y ] (ã)

K(x, z, β)(β′) // F = E(β′)

E(β) =F1 K(x, z, β)

K(x, z)

// K(z)

K K(x) // K

êë K-á a = (a1, . . . , an) íéøáéà úøãñ ùé (ïàë øáñåé àìù Bertini-Noether èôùî) ä÷éâåìá ïåø÷ò éôì

ìù F = E(β′) äáçøä øöåé g(a, X) ∈ K[X] ìù β′ ùøåùå K[x] → K íæéôøåîåîåä øéãâî x 7→ a-ù

.ïåëéùä úéòá úà úøúåôù E

(ïåúð éøáâìà øåâñá) åìù úåéôåñä úåãéøôä úåáçøää úöåá÷ ïëì .äéðî ïá E = K(z) íâ ,äéðî ïá K íà

.Gal(E) ∼= Fω ,12.4 äð÷ñî éôì ïëì .∩iGal(Mi) = 1 æà Mi∞i=0 ,øîàð ,äéðî úá àéä

:øúåé çéëåäì ïúéð úéáâìàä ä÷áãää úøæòá :12.8 äøòä

.úéùôç úéôåñåøô Gal(E) æà E = K(z)-å úéøáâìà øåâñK íà

.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòáì íéðåù úåðåøúô "äáøä" ìù íåé÷ íéçéëåîù êëá úéùòð äììëää

haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...

Documents

Transcript of haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...

Aaron Jarden aaron@jarden Paul Jose Todd Kashdan Ormond Simpson

The benefits of frequent wellbeing assessments: For individuals, coaching, organisation, and schools Dr Aaron Jarden aaron.jarden@workonwellbeing.com.

© 2017 Sunbeam Products, Inc. doing business as Jarden ...

Aaron Jarden aaron.jarden@openpolytechnic.ac.nz 6 th April Ways to Wellbeing.

Epistemic and Ontic Quantum Realities - PhilSci-Archivephilsci-archive.pitt.edu/938/1/cfvw.pdf · Epistemic and Ontic Quantum Realities Harald Atmanspacher Institut fur¨ Grenzgebiete

jarden AR2006

Dr Aaron Jarden Scots College, Wellington 27 th January 2015 FLOURISHING SCHOOLS Or not…

The International Wellbeing Study: Development, Challenges & Initial Findings Aaron Jarden aaron@jarden.co.nz Paul Jose Todd Kashdan.

Aaron Jarden a aron @ jarden Research Goal

Jarden Corporation - library.corporate-ir.netlibrary.corporate-ir.net/.../723/72395/items/207353/JAH_10Q_2Q06.pdf · JARDEN CORPORATION ... Gross profit 232.1 196.5 417.8 317.4 Selling,

Dr . Aaron Jarden Open Polytechnic of New Zealand

Dr Aaron Jarden 30 MINUTES TO WELLBEING AND BETTER ABS Or your money wasted…

Dr. Aaron Jarden aaron.jarden@openpolytechnic.ac.nz 6 th December, 2011

Dr Aaron Jarden HEALTHY LIVING: WELLBEING AT WORK AND IN LIFE Annual Universities Finance Officers' Conference.

Positive Psychological Assessment - Aaron Jarden

Jarden Consumer Solutions, Boca Raton, Florida 33431. · 2020. 10. 9. · Sunbeam Products, Inc. doing business as Jarden Consumer Solutions or if in Canada, Sunbeam Corporation (Canada)

jarden 2004AR

Jarden Corp

SCREENING FIRST YEAR STUDENTS FOR READINESS TO STUDY PSYCHOLOGY John Bathurst, Aaron Jarden & Nancy Weaver.

Positive Psychology & Rehabilitation Dr Aaron Jarden 31 st July 2015.