haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...

TELAVIV UNIVERSITYRAYMOND AND BEVERLY SACKLER FACULTY OF EXACT SCIENCES

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES

âáéáà-ìú úèéñøáéðåàøì÷àñ éìøááå ãðåîééø ù"ò íé÷éåãî íéòãîì äèìå÷ôää÷éèîúîä éòãîì øôñä úéá

äàåìâ úøåúá íéàùåð

øåòù éëøòî

ó"ùú

éãé ìò êøòð

ïøä ïã

27.1.2020 :ïåøçà ïåëãò

úöìîåî úåøôñ

• M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic (3rd edition), Ergebnisse der Mathematik und

ihrer Grenzgebiete 11, Springer 2008

• M. Jarden, Algebraic Patching, Springer Monographs in Mathematics, Springer 2011

•H. Volklein, Groups as Galois groups; an introduction, Cambridge Studies in Advanced

Mathematics 53, Cambridge University Press 1996

• L. Ribes, Introduction to Profinite Groups and Galois Cohomology, Queen’s Univer-

sity, Queen’s papers in pure and applied Mathematics 24, Kingston, 1970

• L. Ribes, P. Zalesskii, Profinite Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Gren-

zgebiete 40, 2nd edition, Springer 2010

1

ïøåì éøåèå úå÷æç éøåè .1

øéãâð .äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé

,R[[t]] = ∞∑i=0

aiti| ai ∈ R

.R((t)) =

∞∑i=N

aiti| N ∈ Z, ai ∈ R

úåàáä úåìåòôì ñçéá , äãéçé íò íééáéèèåîå÷ íéâåç íäéðù .R ìòî ïøåì éøåè âåçå R ìòî úå÷æç éøåè âåç(∑

i

aiti)+(∑

i

biti)=

∑i

(ai + bi)ti

(∑i

aiti)(∑

j

bjtj)=

∑k

cktk

.k ìëì ,ck =∑i+j=k aibj ∈ R øùàá

.äãù àåä K((t)) æà ,äãù K íà :1.1 äðòè

æà .aN = 0 úåéììëä úìáâä éìá .K((t))-á éëôåä ùé 0 = f =∑∞i=N ait

i ìëìù çéëåäì êéøö :äçëåä

f = æà .(aN tN )−1f -á f úà óéìçð úøçà ,a0 = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .êéôä aN t

N

a0b0 = 1 ,øîåìë ,fg = 1-ù êë g =∑∞i=0 bit

i ∈ K[[t]] àåöîì éã úòë .a0 = 1 ,∑∞i=0 ait

i ∈ K[[t]]

.bk = −akb0 − ak−1b1 − . . .− a1bk−1 äéö÷åãðéàáå ,b0 = 1 øéãâð .k > 0 ìëì∑i+j=k aibj = 0-å

.äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé :1.2 äøòä

.R ⊆ R[t] ⊆ R[[t]] ⊆ R((t)) (à)

.K[[t]] ìù úåðîä äãù àåä K((t)) (á)

.K(t) ⊆ K((t)) (â)

åäæ .∑∞i=0 ait

i 7→ a0 éãé ìà äðåúðä R[[t]] → R ä÷úòä àéä f 7→ f(0) ñôà úáöä :1.3 äøãâä

.íéâåç íæéôøåîåîåä

íà :R[[t]][X] → R[X] íéîåðéìåôä éâåç ìù F (X) 7→ F0(X) íæéôøåîåîåäì äúåà áéçøð

.F0(X) =∑nk=0 fk(0)X

k æà ,fk ∈ R[[t]] øùàá F (X) =∑nk=0 fkX

k

g, h ∈ K[X] øùàá ,F0 = gh çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãùK éäé :(Hensel ìù äîìä) 1.4 èôùî

,ïë ìò øúé .G0 = g,H0 = h-å íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá F = GH æà .íéøæå íéð÷åúî

.degH = deg h-å degG = deg g

.r = deg g, s = deg h åéäéå n = degF = degF0 éäé :äçëåä

2

òáåð F = GH êåúî ìáà .degG ≥ r,degH ≥ s æà ,G0 = g,H0 = h-ù êë íéð÷åúîG,H íà

.degG = r,degH = s çøëäá ïëì ,degG+ degH = n = r + s

ìëì ain = 0-å a0n = 1 ,ï÷åúî F -ù ïååéë .aik ∈ K øùàá ,F =∑nk=0(

∑∞i=0 aikt

i)Xk áåúëð

degFi < n-å degF0 = n æà .i ìëì Fi =∑nk=0 aikX

k øùàá ,F =∑∞i=0 Fit

i áåúëì øùôà .i > 0

íéé÷úîù êë ,Gi,Hi ∈ K[X] øùàá ,H =∑∞i=0Hit

i ,G =∑∞i=0Git

i àåöîì éã .i > 0 ìëì

,øîåìë ,F = GH-å (íéð÷åúî G,H ïëìå) i > 0 ìëì degGi < r, degHi < s ,G0 = g,H0 = h

.k ≥ 0 ìëì Fk =∑i+j=kGiHj

.k ìò äéö÷åãðéàá àéä Gk,Hk ìù äéðáä

.F0 = G0H0 íéîéé÷îå úåðåëðä úåìòîäî íä ,íéðåúð øáë G0,H0 :k = 0 øåáò

íéé÷úîù êë ,degGk < r, degHk < s úåìòîî Gk,Hk àåöîì êéøö .k − 1 øåáò úåðåëð çéðð

.gHK + hGk = Fk −k−1∑i=1

GiHk−i =: U

ïàëî .1 = gh + hg-ù êë g, h ∈ K[X] ùé ,íéøæ g, h-ù ïååéë .degU < r + s = n-ù áì íéùð

.Hk = hU ,Gk = gU øùàá ,U = gHk + hGk

,degGk < r ïëì .deg(hGk) = deg(U − gHk) < n ïëìå ,deg gHk < n æà ,degHk < s íà

.åðîééñå

ïúåð úéøàù íò ÷åìéç ,àì íà

Hk = hQ+ Hk, Q, Hk ∈ K[X], deg Hk < deg h < s

æà

,U = ghQ+ gHk + hGk = gHk + h(gQ+Gk) = gHk + hGk

.deg Gk < r ,ìéì øåîàä éôì ,ïëì .deg Hk < s ,øåîàë .Gk = gQ+Gk øùàá

êë α ∈ K ùøåù ùé ,F0 ∈ K[X] ,åìù ñôàá äáöäìù çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãù K éäé :1.5 ìéâøú

.g(0) = α íéé÷îù g(t) ∈ K[[t]] ùøåù ùé F íåðéìåôìù çëåä .F ′0(α) = 0-ù

êë ,degF = n ≥ 2 ,ï÷åúî F (X) ∈ K[[t]][X] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.6 äð÷ñî

,F = GH æà .0 íìåë àì a0, . . . , an−2 ∈ K -å ,n ≥ 2 øùàá ,F0 = Xn + an−2Xn−2 + . . .+ a0 -ù

.0 < degG, degH < n ,íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá

øùàá F0 = gh æà ,íéååù íìåë àì α1, . . . , αn íà .F0 =∏ni=1(X − αi) ïëì ,úéøáâìà øåâñ K :äçëåä

.ù÷åáî ÷åøéô ùé ìæðä úîì éôì .íéð÷åúîå íéøæ g, h ∈ K[X]

3

éôì .F0 = (X − α1)n = Xn − nα1X

n−1 + . . . + (−1)nαn1 ïëìå ,α1 = . . . = αn úøçà

.äøéúñ ,F0 = Xn ïëìå ,α1 = 0 ïëì .nα1 = 0 äçðää

æà .e ∈ N éäé

1

eZ = n

e| n ∈ Z

äöåá÷ä .Z-ì úéôøåîåæéà íâ ìáà ,Z úà äìéëî ,Q ìù úéøåáéç äøåáç úú àéä

Λe := K((t1e )) =

∞∑i=N

aitie | N ∈ Z, ai ∈ K

íéé÷úî .K((t

1e )) ∼= K((t)) íâ ìáà ,K((t)) ⊆ K((t

1e )) ,äãù àåä (úåøåøáä úåìåòôä íò)

.Λ := K((t)) =∑

i

aitie ∈ Λe| e ∤ i ìëì ai = 0

g -ì ùé n ∈ N ìëì æà .g(0) = 0-ù êë g ∈ K[[t]] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.7 ìéâøú

.K[[t]]-á é-n ùøåù

úøåáç .τ = t1e éãé ìò úøöåð ,e äìòîî äàåìâ úáçøä Λe/Λ æà .ζe éáéèéîéøô äãéçé ùøåù ìéëî K -ù çéðð :1.8 äîì

.ωe(τ) = τζe èøôá .∑i ait

ie 7→

∑i aiζ

iet

ie :êë øãâåîù ωe éãé ìò úøöåð ,úéìâòî äìù äàåìâ

.τ = t1e ïîñð :äçëåä

äãéçé äâöä ùé i ∈ Z ìëì .f =∑i aiτ

i ∈ Λe éäé ,ïëà .Λe/Λ ìù ñéñá 1, τ, . . . , τe−1 :äðòè

ïëì .e, j ∈ Z ,0 ≤ k < e øùàá ,i = ej + k

,f =

e−1∑k=0

∑j

aej+kτej+k =

e−1∑k=0

(∑j

aej+ktj)τk

.äãéçé åæ äâöäù úåàøì ì÷ .Λ ìòî 1, τ, . . . , τe−1 ìù éøàðéì óåøéö f ïëì .k ìëì∑j aej+kt

j ∈ Λ øùàá

øîå÷ úøåúî .irr(τ,Λ) = Xe − t ïëì .τe = t ∈ Λ øùàë ,Λe = Λ(τ)-å ,e äìòîî Λe/Λ ,ïë íà

æà ìáà .ωe(τ) = τζe øùàá ,Gal(Λe/Λ) = ⟨ωe⟩ ,úéìâòî äàåìâ Λe/Λ-ù òåãé

ωe

(∑i

aiτi)= ωe

( e−1∑k=0

(∑j

aej+ktj)τk

)=

e−1∑k=0

(∑j

aej+ktj)(τζe)

k =

=e−1∑k=0

(∑j

aej+kζeje τ

ej)(ζke τ

k) =∑i

aiζieτi

íà .e ∈ N ìëì ,éáéèéîéøô é-e äãéçé ùøåù ùé K-á æà .úéøáâìà øåâñ K-å charK = 0 çéðð

êë e ùé e1, e2 ìëì éë ,äãù åäæ ,ïë ìò øúé .øãâåî Λ :=∪e∈N Λe ïëì .éòáè ïôåàá Λd ⊆ Λe æà d|e

.Λe1 ,Λe2 ⊆ Λe-ù

4

.∆ = Λe æà .e äìòîî Λ ìù äáçøä ∆ ⊆ Λ éäú :1.9 äð÷ñî

ìáà .Λe ⊆ Λf ïëì ,e = [∆ : Λ]|[Λf : Λ] = f æà .∆ ⊆ Λf -ù êë f ∈ N ùé Λ ìù äøãâää éôì :äçëåä

.∆ = Λe ïàëî .Λ ìòî e äìòîî ãéçé íééðéá äãù äì ùé ïëìå f äìòîî úéìâòî äáçøä Λf/Λ

.Λ ìù éøáâìà øÛâñ àåä Λ æà .úéøáâìà øåâñ K -å charK = 0 çéðð :1.10 èôùî

çéëåäì éã ,èôùîä úà çéëåäì éãë :äçëåä

.Λ-á ùøåù ùé 1 ≤ äìòîî F ∈ Λ[X] ìëì :äðòè

éäé .Λ ìòî éøáâìà α æà .α ∈ Ω éäé ,êôéäì .Λ ⊆ Ω æà Λ ìù éøáâìà øÛâñ Ω éäé .úéøáâìà Λ/Λ ,ïëà

.Λ = Ω ïëì .α ∈ Λ íâ ïëì ,úéìîøåð Λ/Λ ìáà .Λ-á ùøåù åì ùé äðòèä éôì F = irr(α,Λ)

.äøåøá äðòèä n = 1 øåáò .n = degF ìò äéö÷åãðéàá :äðòè úçëåä

úìáâä éìá .λn = 0-å λi ∈ Λ øùàá ,F (X) = λnXn + λn−1X

n−1 + . . .+ λ0 æà .n > 1 çéðð

.÷éôñî ìåãâ N ∈ N øùàá tN -á F úà ìéôëð úøçà ,i ìëì λi ∈ K[[t]] úåéììëä

,ïëà .λn = 1 úåéììëä úìáâä éìá

,λn−1n F (X) = (λnX)n + λn−1(λnX)n−1 + . . .+ λn−2

n λ1(λnX) + λn−1n λ0 = G(λnX)

G(X)-ì íà .ï÷åúî G(X) = Xn + λn−1Xn−1 + . . .+ λn−2

n λ1X + λn−1n λ0 ∈ K[[t]][X] øùàá

. αλn∈ Λ ùøåù ùé F (X)-ì æà α ∈ Λ ùøåù ùé

,ï÷åúî G ∈ K[[t]][X] æà .G(X) = F (X − λn−1

n ) éäé ,ïëà .λn−1 = 0 úåéììëä úìáâä éìá

(n− 1 > äìòîî íéîåðåî úèîùäá) ìáà .Λ-á ùøåù ùé F -ì íà ÷øå íà Λ-á ùøåù åì ùéå ,n äìòîî

G(X) = (X − λn−1

n)n + λn−1(X −

λn−1

n)n−1 + . . . =

= (Xn − nλn−1

nXn−1 + . . .) + λn−1(X

n−1 + . . .) + . . . = Xn + 0Xn−1 + . . .

ùøåù åì ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ,ïëìå ,Λ ìòî ÷øôúî F (X) ,1.6 äð÷ñî éôì æà , F0(X) = Xn íà

.F0(X) = Xn éë çéðð ïëì .Λ-á

aNj j = 0 øùàá ,λj =∑∞i=Nj

aijti ,j ∈ J ìëì æà .J = 0 ≤ j ≤ n − 2| λj = 0 éäú

êë ùøåôî ïôåàá áåúëì øùôà F úà .Nj > 0-å

.F (X) =∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijti)Xj +Xn

.Λ-á 0 ùøåù åì ùéå F (X) = Xn æà J = ∅ íà

æà .d, e ∈ N øùàá de = minj∈J

Nj

n−j > 0 éäé .J = ∅ çéðð

5

.j′ åúåà ïîñð ;ïåéååù ùé åøåáò j ∈ J ùéå j ∈ J ìëì d(n− j) ≤ eNj (à)

øéãâð .τ = t1e ∈ Λ éäé

.F ∗(X) = τ−dnF (τdX) =∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijτ−dn(τe)i

)τdjXj + τ−dnτdnXn =

=∑j∈J

( ∞∑i=Nj

aijτei−d(n−j))Xj +Xn

.aNj′ j′ = 0 àåä F ∗

0 -á Xj′ ìù íã÷îä éë ,F ∗0 (X) = Xn-å F ∗(X) ∈ K[[τ ]][X] ,(à) éôì

ùéù ììâá) äéö÷åãðéàä úçðä éôì .F ∗ = G∗ · H∗ ,øîàð ,K[[τ ]] ìòî ÷øôúî F ∗ ,1.6 äð÷ñî éôì

äáçøä éäùåæéàá øîåìë ,K((τ)) ìù éøáâìà øåâñá ùøåù H∗-ì ùé (K[[τ ]] ∼= K[[t]] íæéôøåîåæéà

ùøåù ùé F -ì íâù ïàëî .Λ-á ùøåù ùé F ∗-ì íâ ïëì .K((τ)) ìù K((τ1f )) = K((t

1ef )) ⊆ Λ

.Λ-á

.e ìëì ω|Λe= ωe -ù êë ω ∈ Gal(Λ/Λ) ùé ,øîåìë ,Gal(Λ/Λ) ∼= Z-å ,äàåìâ úáçøä Λ/Λ :1.11 èôùî

.Λ ìù äàåìâ úáçøä àéä íâ ,Λ ìù äàåìâ úåáçøä ìù óåøéö àéä Λ-ù ïååéë :äçëåä

íà ,ìùîì) .e1, e2 ∈ N ìëì ζe1e1e2 = ζe2 -ù óë ζee∈N íééáéèéîéøô äãéçé éùøåù úëøòî øçáð

(.e ìëì ζe = exp( 2π√−1e ) ç÷ð ,K = C

ïàëîå ,e = [Λe : Λ]|[Λf : Λ] = f ,ïëà .ωf |Λe= ωe æà Λe ⊆ Λf íà ,åæ äøéçáá

.ωf (t1e ) = ωf

((t

1f )

fe

)=

(ωf (t

1f )) f

e = (ζf t1f )

fe = (ζf )

fe t(

1f )

fe = ζet

1e = ω(t

1e )

x ∈ Λe′ íâå x ∈ Λe íà :äáåè äøãâä éäåæ .x ∈ Λe íà ,ω(x) = ωe(x) éãé ìò ω: Λ → Λ øéãâð

.ωe(x) = ωf (x) = ωe′(x) úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .f = ee′ øùàá ,x ∈ Λf æà

.ìòå éëøò-ãç-ãç ,íæéôøåîåîåä ω-ù úåàøì ì÷

-á ùøåù ïéà F (X) = Xp − X − t−1 ∈ Λ[X] íåðéìåôì æà ,charK = p > 0 íà :1.12 ìéâøú

.Λ ìù éøáâìàä åà ãéøôä øåâñä åðéà Λ ,èøôá .Λ =∪eK((t

1e ))

úéìâòî (äãéøô èøôáå) äàåìâ úáçøä øöåéù åà Λ ìòî ìöôúîù åà äæë íåðéìåô ,øééøù-ïéèøà úøåú éôì :äçëåä

.Λ-á ùøåù ïéà F -ìù çéëåäì éã ïëì .p äìòîî

àåä F ìù ùøåù æà .äæë øúåéá ïè÷ e ç÷éð .τ = t1e øùàá ,Λe = K((τ))-á ùøåù åì ùé æà .ùéù çéðð

äøåöäî

.f(τ) =∞∑i=N

aiτi, aN = 0

6

ïëìå ,(f(τ))p =∑∞i=N a

pi τpi ,(charK = p-ù ïååéë) ïàëîå

.

∞∑i=N

api τpi −

∞∑i=N

aiτi = τ−e

íã÷îä ìàîù óâàá æà ,p ∤ i íà .p|e èøôá .pN = −e-å N < 0-ù íéàåø íéôâàä éðùá íéîã÷îä úàååùäî

ïàëî .p|N ,aN = 0-ù ïååéë ,èøôá .ai = 0 ïëì .0 àåä (p|e-ù ììâá) ïéîé óâàáå −ai àåä τ i ìù

,f(τ) =

∞∑i=N

aiτi =

∞∑j=N

p

apjτpj ∈ K((τp)) = K((t

1ep ))

.e ìù úåéøòæîì äøéúñá

7

óåòéñ .2

úáçøä F/E éäú .E = K(z) éäéå ,K ìòî éèðãðöñðøè z éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé

.n äìòîî úéôåñ äàåìâ

.E = K(tp) æà .tp =

z − p p ∈ K1z p =∞ øéãâð p ∈ P1

K ìëì .P1K = K ∪· ∞ ïîñð :2.1 äøãâä

éäé .åìù éøáâìàä øåâñä Λ =∪e Λe éäéå Λ = K((t)) ⊇ E éäé .t = tp éäéå p ∈ P1

K éäé

.e ìëì ω|Λe = ωe íéé÷îù íæéôøåîåèåàä ω ∈ Gal(Λ/Λ)

.äàåìâ úáçøä àéä θ(F )/E åøåáò .θ: F → Λ E -ïåëéù íéé÷ (à) :2.2 äîì

.θ(F ) = θ′(F ) èøôá .σ ∈ Gal(F/E) øùàá ,θ′ = θ σ íà ÷øå íà E -ïåëéù àéä θ′: F → Λ ä÷úòä (á)

f -ì ùé ,úéøáâìà øåâñ Λ-ù ïååéë .f = irr(α,E) ∈ E[X] éäé .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé (à) :äçëåä

.θ(F ) = E(β) æà .θ(α) = β-ù êë θ: E(α)→ E(β) E-íæéôøåîåæéà íéé÷ ,òåãéë .β ∈ Λ ùøåù

.êë éðùä íâ ,E ìòî ãéøôå éìîøåð àåä ïåùàøäå E ìòî íééôøåîåæéà E(α), E(β)-ù ïååéë

.θ(F ) = θ′(F ) ïëìå ,Λ-á f ìù ìåöéô úåãù íäéðù θ(F ), θ′(F ) æà ,E-ïåëéù θ′: F → Λ íà (á)

θ′ = θ σ æà ,σ ∈ Gal(F/E) íà ,êôéäì .θ′ = θ σ íéé÷úîå σ ∈ Gal(F/E) æà .σ = θ−1 θ′ éäé

.E-ïåëéù àåä

.Cp = θ−1 ω θ| θ: F −→E

Λ ⊆ Gal(F/E) äöåá÷ä àéä F/E-á p ìù ä÷ìçîä (à) :2.3 äøãâä

.θ ìù äøéçáá äéåìú äðéà àéä .θ: F −→E

Λ øùàá ,θ−1 ω θ ìù úåãéîöä ú÷ìçî éäåæ ,äîìä éôì

ñ÷ãðéà àø÷éé äæ øôñî ;e = ep(F/E) ∈ N äæéà øåáò ,Λθ(F ) = Λe æà θ: F −→E

Λ íà (á)

.F/E-á p ìù óåòéñä

.ep(F/E)|[F : E] èøôá .ord g = ep(F/E) æà .g ∈ Cp éäé (à) :2.4 äîì

p ìù Cp ä÷ìçîä ìù íåöîöä àéä F ′/E -á p ìù C ′p ä÷ìçîä æà .F ′ ⊆ F , äàåìâ úáçøä F ′/E éäú (á)

.ep(F′/E)|ep(F/E)-å F/E -á

Gal(Λe/Λ) → Gal(θ(F )/E) íåöîöä ú÷úòä ,Λθ(F ) = Λe-ù ïååéë .e = ep(F/E) éäé (à) :äçëåä

.ord g = ord (ω|Λe) = ordωe = e ïëì .úéëøò-ãç-ãç àéä

.#Gal(θ(F )/E) = #Gal(F/E) = [F : E] úà ÷ìçî äæ øôñî èøôá

ìù íåöîöä àåä (θ′)−1 ω θ′ æà .F ′-ì åîåöîö θ′: F ′−→E

Λ éäéå θ: F −→E

Λ øçáð (á)

.äîàúäá ,äìà íéøáà ìù úåãéîöä úå÷ìçî ïä Cp, C′p-å ,θ

−1 ω θ

.p ∈ P1K ìëì ep(F/E) úà àöîð .F = E( n

√f) éäéå ,f ∈ E = K(z) éäé :2.5 äîâåã

8

,ï÷åúî ,f ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá ïëì .c ∈ E× ìëì E( n√f) = E( n

√cnf)-ù áì íéùð

.j ìëì 1 ≤ mj < n ,íéðåù p1, . . . , pr ∈ K øùàá ,f =∏rj=1(z − pj)mj

θ(F ) úà øöåé äæë íøåâ ìù ùøåù .Λ ìòî íé÷éøô éà íéîøåâì Xn − f ∈ Λ[X] úà ÷øôð .t = tp éäé

:Λ ìòî Λe úà ïëìå ,E ìòî

æà .1 ≤ i ≤ r äæéà øåáò p = pi çéðð (à)

f = f(z) = f(t+ pi) = tmi

∏j =i

(t+ pi − pj)mj = tmig(t)n

ïëì .1.7 ìéâøú éôì ,g ∈ K[[t]] äæéà øåáò

Λ(f1/n) = Λ(tmin ) = Λ(t

mi/gcd(mi,n)

n/gcd(mi,n) ) = Λ(t1

n/gcd(mi,n) )

a, b ∈ Z ùé ïëì ,íéøæ e, d æà .e = n/gcd(mi, n), d = mi/gcd(mi, n) ïîñð :ïåøçàä ïåéååùä úà øéáñð)

ïëì .tde = (t

1e )d ∈ Λ(t

1e ) ,éðù ãöî .t

1e = ta(t

de )b ∈ Λ(t

de ) ïëìå , 1e = a+ bde æà .1 = ae+ bd-ù êë

.epi(F/E) = ngcd(mi,n)

ïàëî (.Λ(tde ) = Λ(t

1e )

æà .p = p1, . . . , pr ,p ∈ K éäé (á)

f = f(z) = f(t+ p) =∏j

(t+ p− pj)mj ∈ K[[t]]n

.ep(F/E) = 1 ïàëî .Λ(f1/n) = Λ ïëì

æà .am = 1 øùàá ,f(z) = amzm + . . .+ a0 éë çéðð .p =∞ éäé (â)

f = f(z) = f(1

t) =

1

tm(am + . . .+ a0t

m) = t−mgn

ïëì .g ∈ K[[t]] äæéà øåáò

Λ(f1/n) = Λ(t−m/n) = Λ(tm/n) = Λ(t1

n/gcd(m,n) )

.e∞(F/E) = ngcd(m,n) ïàëîå

.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá

h = (X−α1) · · · (X−αn) éäé .h = Xn+a1Xn−1+ . . .+an ∈ L[X] éäéå äãù L éäé :2.6 äøãâä

æà .L ìù L éøáâìà øåâñ ìòî å÷åøéô

Dnh :=∏i<j

(αi − αj)2 ∈ L

9

.h ìù äèððéîéø÷ñéãä àø÷ð

.(éøáâìà øåâñá) íéáåøî íéùøåù ïéà h-ì íà ÷øå íà Dnh = 0 :úîéé÷î àéä

éäé .Q ìòî íééåìú éúìá íéðúùî t1, . . . , tn åéäé .äèððéîéø÷ñéãä âùåîá èåøéô øúéá ïåãð

H = (X − t1) · · · (X − tn) = Xn +A1Xn−1 +A2X

n−2 + . . .+An ∈ Z[A1, . . . , An][X]

øùàá

−A1 = s1(t1, . . . , tn) =∑i

ti

A2 = s2(t1, . . . , tn) =∑i<j

titj

−A3 = s3(t1, . . . , tn) =∑i<j<k

titjtk

...

(−1)nAn = sn(t1, . . . , tn) = t1 · · · tn

íééåìú éúìá íä A1, . . . , An íâ ïëìå s1, . . . , sn ,òåãéë .t1, . . . , tn-á íééãåñéä íééøèîéñä íéîåðéìåôä íä

.Q ìòî úéøáâìà

g′(Y1, . . . , Yn) ∈ Z[Y1, . . . , Yn] ãéçé íåðéìåô íéé÷ ïëì .éøèîéñ íåðéìåô àåä∏i<j(ti− tj)2 ,úòë∏

i<j(ti − tj)2 =-ù êë ãéçé g ∈ Z[Y1, . . . , Yn] íéé÷ ïëì .∏i<j(ti − tj)2 = g′(s1, . . . , sn)-ù êë

.g(A1, . . . , An)

;DnH = g(A1, . . . , An) (à) :2.7 äðòè

.Dnh = g(a1, . . . , an) ∈ L (á)

.DnH =∏i<j(ti − tj)2 = g(A1, . . . , An) (à) :äçëåä

íæéôøåîåîåäì åúåà áéçøðå ,ti 7→ αi éãé ìò φ: Z[t1, . . . , tn] → L íæéôøåîåîåä øéãâð (á)

ïëì .i ìëì φ(Ai) = ai-å φ(H) = h æà .φ: Z[t1, . . . , tn][X]→ L[X]

Dnh =∏i<j

(αi − αj)2 =∏i<j

(φ(ti)− φ(tj)

)2= φ

(∏i<j

(ti − tj)2))=

= φ(g(A1, . . . , An)

)= g

(φ(A1), . . . , φ(An)

)= g(a1, . . . , an)

æà .n = 2 éäé :2.8 äîâåã

D2(X2 + a1X + a2) = (α1 − α2)

2 = (α1 + α2)2 − 4α1α2 = s1(α1, α2)

2 − s2(α1, α2) =

= A1(α1, α2)2 −A2(α1, α2) = a21 − 4a2

10

.ñôàî äðåù D := Dnf ∈ K[z] æà .n äìòîî f = irr(α,E) ∈ K[z][X]-ù êë F = E(α) éäé :2.9 äîì

.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá .ep(F/E) = 1 æà D(p) = 0-å p ∈ K íà

.f = f(z,X) ∈ K[z][X] ,íéðúùî éðùá íåðéìåôë f úà úåàøì øùôà ,K ìòî éèðãðöñðøè z-ù ïååéë :äçëåä

,÷éøô éà f -ù ïååéë .f(p,X) ìù äèððéîéø÷ñéãä àéä D(p) ∈ K-å ,D = Dnf ∈ K[z] ,(á) 2.7 äðòè éôì

.íéáåøî íéùøåù ïéà f(p,X)-ì æà ,D(p) = 0 íà .D = 0 ïëì ,íéáåøî íéùøåù f -ì ïéà ,äãéøô F/E-å

øùàá ,f(X) = H(X) ∈ K[[t]][X] æà .t = tp = z − p éäé .D(p) = 0-ù êë p ∈ K éäé

ïååéë .íéáåøî íéùøåù àìì H0(X) = f(0 + p,X) ∈ K[X] ïëì .H(X) = f(t+ p,X) ∈ K[[t]][X]

ìù äìôëî àåä H ,ìæðä ìù äîìä éôì .K ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ ìù äìôëî àåä H0 ,úéøáâìà øåâñ K-ù

.1 äìòîî àéä θ(F )Λ/Λ äáçøää ïëì .K[[t]] ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ

ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé F/E äáçøäì äîìä éôì .ep(F/E) > 1 íà F/E ìù úåôòúñä úãå÷ð àéä p

.úåôòúñä úåãå÷ð

.äîìá åîë f íåðéìåô íéé÷ù äàøä :2.10 ìéâøú

,ep(F2/E) = 1 éë çéðð .E = K(z) ìù äàåìâ úåáçøä éúù F1, F2 äðééäúå p ∈ P1K éäú :2.11 ìéâøú

.ep(F1F2/E) = 1 éë çëåä .ep(F1/E) = 1

11

úéøáâìà ä÷áãä .3

úëøòî íä ä÷áãä éðåúð :3.1 äøãâä

,E = (E,Fi, Qi, Q;Hi, G)i∈I (1)

-ù êë ,i ∈ I ìëì ,úåéôåñ úåøåáç ïä Hi ≤ G ,úåãù íä E ⊆ Fi, Qi ⊆ Q ,úéôåñ íéñ÷ãðéà úöåá÷ I äá

;i ∈ I ìëì ,Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Fi/E (à)

;i ∈ I ìëì ,Fi ⊆ Q′i :=

∩j =iQj (á)

;∩i∈I Qi = E (â)

;G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ (ã)

B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ùéB ∈ GLn(Q) ìëìå i ∈ I ìëì .n = |G| éäé (Cartan ÷åøéô) (ä)

.B = B1B2-ù êë

.(1) ä÷áãä éðåúð íéðåúðù çéðð äúòî

.E ⊆ Qi ∩ Fi ⊆ Qi ∩ Q′i = E éë ,Qi ∩ Fi = E íéé÷úî .Pi = QiFi ⊆ Q éäé i ∈ I ìëì

ääæð .Fi-ì íåöîöä éãé ìò ,Hi = Gal(Fi/E)-ì úéôøåîåæéà äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Pi/Qi ïëì

.PHii = Qi èøôá .Hi íò Gal(Pi/Qi)

úîéé÷îä f : G→∩i∈I Pi äéö÷ðåô àéä a ìù çåúéô .a ∈

∩i∈I Pi éäé :3.2 äøãâä

;a = f(1); (à)

.g ∈ G, h ∈ Hi = Gal(Pi/Qi) ,i ∈ I ìëì f(hg) = h(f(g)) (á)

.çåúéô ùé íäì a ∈∩i∈I Pi ìë úöåá÷ àåä E ä÷áãä éðåúð ìù ãéëìúä

,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ïëì ,G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ ,ïëà .ãéçé àåä ,a ìù çåúéô íéé÷ íà

äéö÷åãðéàáå ,f(h2h1) = h2(h1(a)) ,f(h1) = h1(a) ,f(1) = a æà .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá

.fa-á (íéé÷ àåä íà) a ìù çåúéôä úà ïîñð .f(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)

æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.3 äîì

.E ⊆ F ïëì .g 7→ a äòåá÷ä äéö÷ðåôä – çåúéô ùé a ∈ E ìëì (à)

.fab = fafb ,fa+b = fa + fb ,÷åéã øúéá .a+ b, ab ∈ F æà a, b ∈ F åéäé (á)

,fa−1(g) = (fa(g))−1 ,÷åéã øúéá .a−1 ∈ F æà .0 = a ∈ F éäé (â)

.fc(g) = fa(gσ) ,÷åéã øúéá .c := fa(σ) ∈ F æà .σ ∈ G-å a ∈ F åéäé (ã)

.h ∈∪Hi ìëì h(a) = a ïëìå i ∈ I ìëì E ⊆ Qi éë ,øåøá (à) :äçëåä

.øåøá (á)

12

fc(hg) = fa(hgσ) = h(fa(gσ)) = h(fc(g))-å ,fc(1) = fa(σ) = c æà .ìéòì åîë fc øéãâð (ã)

.c ∈ F èøôáå c ìù çåúéôä fc ïëì .h ∈∪i∈I Hi ìëì

(à) éôìå (ã) éôì úøçà ,fa(g) = 0 íéé÷úî g ∈ G ìëì (â)

,a = fa(1) = fa(g−1g) = ffa(g)(g

−1) = f0(g−1) = 0

.a−1 ìù çåúéô àéäù øåøá .äáåè ìéòì fa−1 äéö÷ðåôä ìù äøãâää ïëì .äøéúñ

ìëìù êë F ìò úìòåô G äøåáçä .E ìù äàåìâ úáçøä ,äãù àåä F æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.4 äîì

.E = FG íéé÷úî .F ⊆ Pi ìò Hi = Gal(Pi/Qi) ìù äìåòôä íò ääãæî Hi ≤ G ìù äìåòôä i ∈ I

.E úà ìéëî ,äãù àåä F ,3.3 äîì éôì :äçëåä

éãé ìò åéìò G ìù äìåòô øéãâð

.g∗(a) = fa(g) (2)

(.úåìåòôä éúù ïéá ìéãáð òâøë ìáà ,g∗(a) íå÷îá g(a) áåúëð ,äîìä úà çéëåðù éøçà)

íéé÷úéù êë äìåòô øéãâäì äãéçéä úåøùôàä éäåæ

.h ∈∪i∈I

Hi ìëì ,h∗(a) = h(a) (3)

íéé÷úî æà ,åðéàøù éôë .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá ,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ,ïëà

.fa(g) = h∗m(· · · (h∗2(h∗1(a)))···) = g∗(a) æà íéé÷úî (3) íà ,ïëì .fa(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)

(ã)3.3 äîì éôì .g∗(a1a2) = g∗(a1)g∗(a2) ,g∗(a1 + a2) = g∗(a1) + g∗(a2) ,(á)3.3 äîì éôì

(gσ)∗(a) = fa(gσ) = ffa(σ)(g) = fσ∗(a)(g) = g∗(σ∗(a)),

1∗(a) = fa(1) = a

.h∗(a) = fa(h) = h(fa(1)) = h(a) æà h ∈ Hi íà .äìåòô éäåæ ïëì

æà a ∈ FG íà ,êôéäì .E ⊆ FG ïëì ,g ∈ G ìëì g∗(a) = fa(g) = a æà a ∈ E íà

.E = FG ïëì .a ∈∩i∈I Qi = E ïàëîå ,i ∈ I ìëì a ∈ PHi

i = Qi

.Gal(F/E) = G-å äàåìâ F/E ïéèøà ìù äîìä éôì .Aut(F )-á G ìù äðåîúä G éäú

.íæéøôåîåæéà àåä G→ G øîåìë ,Gal(F/E) = G éë çéëåðå äîìä úà øôùð

øéãâð i ∈ I ìëì .|G| ãîéî ìòá Q ìòî éøåè÷å áçøî åäæ .Q êåúì G-î úåéö÷ðåôä ìë úöåá÷ N éäú

.Ni =f ∈ N | g ∈ G, h ∈ Hi ìëì f(hg) = h(f(g)), f(g) ∈ Pi

(4)

.Qi ìòî éøåè÷å áçøî åäæ

13

.Nk -á ìëåîù Q ìòî N ìù ñéñá ùé k ∈ I ìëì :3.5 ìéâøú

åìåãåî G ìù íéâöééî úëøòî Ω éäú .Hk éøáéà ìë h1, . . . , hm åéäéå ,m = |Hk| = [Pk : Qk] éäé :äçëåä

.Pk/Qk øåáò éáéèéîéøô øáéà z éäé .G = (hiω| ω ∈ Ω, i = 1, . . . ,m) æà .G =∪· ω∈ΩHω ,øîåìë ,H

.g ∈ Ω ,i = 1, . . . ,m ìëì fωj(hig) = δωghi(zj−1) éãé ìò fωj ∈ N øéãâð 1 ≤ j ≤ m, ω ∈ Ω ìëì

-å fωj(hig) ∈ Pk ïëà :fωj ∈ Nk-ù áì íéùð

.fωj(hhig) = δωg(hhi)(zj−1) = h

(δωghi(z

j−1))= h

(fωj(hig)

), h, hi ∈ Hi, g ∈ Ω

:ñéñá àéä ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá àéäù äàøð .íéøáéàm · |Ω| = |G| úá äöåá÷ fωjω,j æà

æà .g ∈ Ω-å 1 ≤ i ≤ m øùàá ,hig áéöð .∑mj=1

∑ω∈Ω aωjfωj = 0-ù êë aωj ∈ Q åéäé

úåàååùî úëøòî ìù ïåøúô àéä (ag1, . . . , agm) äé-m-ä ,g ∈ Ω ìëì ,ïëì .∑mj=1 agjhi(z

j−1) = 0

úöéøèî éäåæ .(A)ij = hi(zj−1) =

(hi(z)

)j−1éãé ìò äðåúð A ∈ Mm(Pk) øùàá ,AX = 0 úåéøàðéì

ìëìå 1 ≤ j ≤ m ìëìå agj = 0 ïëì .(detA =∏i<j

(hj(z)− hi(z)

)= 0) äëéôä äðéäù ,äãðåî-øã-ïå

.g ∈ Ω

.∩i∈I Ni -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá ùé :3.6 äîì

.|J | ìò äéö÷åãðéàá – äçëåää .∩j∈J Nj -á ìëåî øùà N ìù ñéñá ùéù ∅ = J ⊆ I ìë øåáò çéëåð :äçëåä

úçðä éôì .J ′ = J ∖i éäéå i ∈ J éäé ,|J | > 1 çéðð .3.5 ìéâøú ìù äðòèä éäåæ ,|J | = 1 íà

B ∈ GLn(Q) øáòîä úöéøèî .vi ⊆ Ni ñéñá ùé 3.5 ìéâøú éôì .u ⊆∩j∈J′ Nj ñéñá ùé äéö÷åãðéàä

.u = viB úîéé÷î u-ì vi-î

êë B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ⊆

∩j∈J′ GLn(Qj) úåîéé÷ 3.1 äøãâäá (ä) éàðú éôì

æà .B = B1B2-ù

uB−12 = viB1

àåä ïëì .(ïéîé ãö ììâá) Ni-á íâå (ìàîù ãö ììâá) j ∈ J ′ ìë øåáò ,Nj -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá àåä

.j ∈ J ìëì Nj -á ìëåî

.Pi = QiF íéé÷úî i ∈ I ìëìå Gal(F/E) = G æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.7 èôùî

.i ìëì Pi = QiF -å [F : E] ≥ |G| éë çéëåäì øúåð .3.4 äîìá äìåë èòîë äçëåä äðåùàøä äðòèä :äçëåä

3.6 äîì éôì .∩iNi àéä F ′ äúðåîú .E ìòî úéøàðéì äðéä a 7→ fa éãé ìò äðåúðä F → N ä÷úòää

.[F : E] = dimE F′ ≥ |G| ïëì .E ìòî íâ ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá íéøáéà |G| úá äøãñ F ′-á ùé

àéä ïëìå ,Hi → G äìëää àéä Gal(Pi/Qi) → Gal(F/E) íåöîöä ú÷úòä ,3.4 äîì éôì

. Pi = QiF ïàëî .úéëøò-ãç-ãç

ìáà .F1, F2 ⊆ F ììë êøãá

14

res: Gal(F/E) → íåöîöä ú÷úòäå F1 = FH2 æà .G = H1 ⋉ H2 -å I = 1, 2 çéðð :3.8 äð÷ñî

.G→ H1 äìèää àéä Gal(F1/E)

:äøùé éöç äìôëî ìù äøãâää úà íãå÷ øéëæð :äçëåä

.G = H1H2, H1 ∩H2 = 1, H2 ◁ G, H1 ≤ G ⇔ G = H1 ⋉H2

àéä h1h2 7→ h1 ä÷úòää .h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 øùàá ,g = h1h2 äãéçé äâöä ùé g ∈ G ìëì æà

.äìèää úàø÷ð àéä .H2 àåä åðéòøâù G→ H1 íæéôøåîéôà

.F1 ⊆ P1 ∩ P2 ïëì ,F1 ⊆ F1Q1 = P1 ,F1 ⊆ Q′1 = Q2 ⊆ P2 íéé÷úî

.h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 ìëì ,f(h1h2) = h1(a) éãé ìò f : G→ F1 ⊆ P1 ∩ P2 øéãâð .a ∈ F1 éäé

,ïëà .a ∈ F ïëìå ,a ìù çåúéô f æà

.f(1) = a (à)

.f(h(h1h2)) = f((hh1)h2) = (hh1)(a) = h(h1(a)) = h(f(h1h2)) æà h ∈ H1 íà (á)

åìéàå .f(h(h1h2)) = f(h1(hh1h2)) = h1(a) ïëì ,hh1 ⊂ H2 æà h ∈ H2 íà (â)

H2 = ìù úáùä äãù ,Q2-á ìëåî h1(a) ∈ F1 éë ,h(f(h1h2)) = h(h1(a)) = h1(a)

.f(h(h1h2)) = h(f(h1h2)) ïëì .Gal(P2/Q2)

.a ìù çåúéôä f = fa ïëì

íà ,(h1h2)(a) = fa(h1h2) = h1(a) ,F ìò G ìù äìåòôä ìù äøãâää éôì .F1 ⊆ F -ù åðçëåä

.G→ H1 äìèää àéä res ïëì .res(h1h2) = h1 ïëì .a ∈ F1

15

íéñðëúî úå÷æç éøåè .4

:a, b ∈ R ìëì úîéé÷îù | |: R→ R äéö÷ðåô àéä R ìò äîøåð .äãéçé íò âåç R éäé :4.1 äøãâä

.a = 0 íà ÷øå íà |a| = 0-å ,|a| ≥ 0 (à)

.|a+ b| ≤ max(|a|, |b|) (á)

.|ab| ≤ |a| · |b| (â)

.|1| = | − 1| = 1 (ã)

(.úéèîåèåà íéé÷úî (ã) æà) .(éøèî äøèìåà) èìçåî êøò àø÷ð | | ,ïåéååù ùé (â) éàðúáå éáéèèåîå÷ R íà

a, b-å ab, r ∈ Z øùàá ,x = ab pr íà |x|p = p−r :éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Z åà Q (à) :4.2 úåàîâåã

.|0| = 0 ,óñåðá ;p-ì íéøæ

èìçåîä êøòä íò K0((t)) äãùä åà K0[[t]] âåçä .éùîî 0 < c < 1 éäé .åäùìë äãù K0 éäé (á)

.r = min(n| an = 0) øùàá , |∑∞n=N ant

n| = c−r

.||A|| = maxi,j(|(A)ij |) éãé ìò Mn(R) ìò äîøåð øéãâð .äîøåð íò âåç R éäé (â)

an ∈ Z/pnZ øùàë a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp éäé .íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ,Zp = lim←n

Z/pnZ (ã)

êë øúåéá ìåãâä r éäéå am = 0-ù êë m éäé úøçà .|a| = 0 æà n ìëì an = 0 íà .an+1 ≡ an mod pn-å

.èìçåî êøò | · | ïàë íâ .|a| = p−r øéãâð .n ≤ m ìëì pr|an-ù êë øúåéá ìåãâä r æà .pr|am-ù

.0 ≤ an < pn ãéçé íìù øôñî íò an ∈ Z/pnZ ìë úåäæì øùôà :àáä ïôåàá Zp éøáà úà íåùøì âåäð

íò ääåæî an íà .íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑n−1i=0 cip

i (éãà-p çåúéô) äãéçé äâöä ùé äæ øôñîì

éôåñðéà øåèë a = (a1, a2, . . .) úà íåùøì øùôà ïëì .∑n−2i=0 cip

i íò ääåæî an−1 æà ,∑n−1i=0 cip

i

.n− 1 ãò åìù éôåñä øåè-úúä àåä an áéëø ìë øùàë ,íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑∞i=0 cip

i

Z-á íéøôñîë íééôåñ íéøåè ïéá úåìåòôì úåîåã ïä äìàä íééôåñðéàä íéøåèä ïéá ìôëäå øåáéçä úåìåòô

.i ìëì ci = 0 íà ÷øå íà∑∞i=0 cip

i = 0-ù áì íéù .("íéëåøà" ìôëå øåáéç)

:íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ìò úö÷ áéçøð

.(p ∤ a1 ,øîåìë) .Z/pZp -á a1 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp :4.3 äðòè

ïëì ,a1b1 ≡ 1 (mod p) æà .åìù éëôåää b = (b1, b2, . . .) ∈ Zp éäéå êéôä a-ù çéðð :äçëåä

.a1 ≡ 0 (mod p)

.1 = anbn+ pnkn-ù êë bn, kn ∈ Z ùé ïëì .pn-ì íâ ïëìå p-ì øæ an ìë æà .p-ì øæ a1-ù çéðð ,êôéäì

äéöðàåøâðå÷ íéé÷îù Z/pnZ-á ãéçé bn ,Z/pnZ-á an ìù éëôåää úåãéçé ììâá .anbn ≡ 1 (mod pn) æà

ì"ðä úåãéçéä ììâáå ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn) íâ æà ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn+1) íà ,úòë .åæ

.ab = 1 íéé÷úîå Zp ìù øáéà b = (b1, b2, . . .) ïëì .bn+1 ≡ bn (mod pn) íéé÷úî

16

.c0 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä∑∞i=0 cip

i :4.4 äð÷ñî

.|c| = p−r æà .b ∈ Z×p -å íìù r ≥ 0 øùàá ,prb äøåöäî àåä 0 = c ∈ Zp ìë :4.5 äð÷ñî

,c =∑∞i=r cip

i = prb -å |c| = p−r æà .cr = 0-ù êë øúåéá ïè÷ä r éäéå ,c =∑∞i=0 cip

i áåúëð :äçëåä

.b = cr + cr+1p+ cr+2p2 + . . . ∈ Z×

p øùàá

.a, b ∈ R åéäé .| | äîøåð íò âåç R éäé :4.6 äîì

.| − a| = |a| (à)

.|a+ b| = |b| æà |a| < |b| íà (á)

.åìù úåðîä äãù ìò èìçåî êøòì | | úà áéçøäì ïúéðå úåîìù íåçú R æà ,èìçåî êøò | | íà (â)

.|a| ≤ | − a| éøèîéñ ïôåàá .| − a| = |(−1)a| ≤ | − 1| · |a| = |a| (à) :äçëåä

æà .|a+ b| < b éë äìéìùá çéðð .|a+ b| ≤ b ,(á)4.1 äøãâä éôì (á)

.äøéúñ ,|b| = |(−a) + (a+ b)| ≤ max(| − a|, |a+ b|) = max(|a|, |a+ b|) < |b|

.|ab | =|a||b| éãé ìò äðåúð äáçøää .ab = 0 ïëì ,|ab| = |a| · |b| = 0 æà a, b = 0 íà (â)

.èìçåî êøò íò äãù àåä Qp íééãà-p-ä íéøôñîä äãù ,Zp ìù úåðîä äãù :4.7 äîâåã

íìù t øùàá ,ptc äøåöäî ïëìå ,a, b ∈ Z×p -å íéîìù r, s ≥ 0 øùàá ,p

rapsb äøåöäî àåä äæ äãùá øáéà

.ptc =∑∞i=0 cip

t+i æà c =∑∞i=0 cip

i íà .|ptc| = p−t æà .c ∈ Z×p -å

,øîåìë ,éøèî áçøîë íìù àåä íà íìù R-ù íéøîåà .d(a, b) = |b− a| :R ìò ä÷éøèî äøéãâî äîøåð

.úñðëúî R-á éùå÷ úøãñ ìë

.| | äîøåðì íò âåç R éäé :4.8 äîì

.limn→∞ an = 0 íà ÷øå íà éùå÷ øåè àåä R éøáà ìù∑∞n=0 an øåè (à)

.äôéöø äðéä R êåúì R-î x 7→ |x| ä÷úòää (á)

.1− a ∈ R× æà |a| < 1-å a ∈ R íà .íìù R éë çéðð (â)

.limn→∞ an = 0-å n ìëì |an| < ε-ù êë a1, a2, . . . ∈ R åéäé .éùîî 0 < ε < 1 éäé .íìù R éë çéðð (ã)

.êéôä øáéàì R-á úñðëúî pn∞n=1 äøãñä æà .n ∈ N ìëì ,pn = (1− a1)(1− a2) · · · (1− an) øéãâð

,øîåìë ,éùå÷ äøãñ sn íà ÷øå íà éùå÷ øåè∑∞n=0 an ,äøãâää éôì .sn =

∑nk=0 an ïîñð (à) :äçëåä

.|∑nk=m+1 an| = |sn − sm| < ε æà n ≥ m ≥ N íàù êë N ùé ε > 0 ìëì ('à)

íà ÷øå íà limn→∞ an = 0 åìéàå

.|an| < ε æà n ≥ N ′ íàù êë N ′ ùé ε > 0 ìëì (''à)

.N = N ′ øåáò ,(á)4.1 äøãâä éôì :('à)⇐ (''à) .m = n− 1 ç÷éðå N ′ = N + 1 éäé :(''à)⇐ ('à)

17

äøåöäî úåöåá÷ éãé ìò ïåúð a ∈ R ìù úåáéáñì ñéñá :äîøåðä ãé ìò äðåúð R ìò äéâåìåôåèä (á)

éìá .∣∣ |a| − |b| ∣∣ ≤ |a− b| æà a, b ∈ R íà :çéëåäì éã ïëì .éùîî r > 0 øùàá ,x ∈ R| |x− a| < r

.(á)4.1 äøãâäî úòáåð äðòèä æà .|a| ≥ |b| úåéììëä úìáâä

íéé÷úî .ñðëúî∑∞n=0 a

n ïëì .limn→∞ an = 0 (â)

(1− a)n∑k=0

ak = 1− an+1 =n∑k=0

ak(1− a)

.1− a ìù ìàîùî íâå ïéîéî éëôåä àåä∑∞n=0 a

n-ù ïàëîå

.|pn| ≤ |1− a1| · · · |1− an| = 1 æà .p0 = 1 éäé .n ∈ N ìëì |1− an| = 1 ,(á)4.6 äîì éôì (ã)

úøãñ àéä pn∞n=1 ïëì |pn − pn−1| ≤ |pn−1| · |an| ≤ |an| → 0 ïëì .pn = pn−1(1 − an) ïë åîë

íéé÷úî .p ∈ R äæéàì úñðëúî ïëìå R-á éùå÷

.|pk − 1| = |pk − p0| = |k∑

n=1

(pn − pn−1)| ≤ max(|an|) ≤ ε

.p ∈ R× ,(â) éôì .|p− 1| ≤ ε < 1 ,(á) éôì ,ïëì

K0[[t]],K0((t)) ïë åîë .íéîìù Zp,Qp êà ,íéîìù íðéà éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Q åà Z :4.9 úåàîâåã

.íìù Mn(R) íâ æà íìù R íà .íäìù èìçåîä êøòì ñçéá íéîìù

.| | èìçåî êøòì ñçéá íìù éáéèèåîå÷ âåç R éäé äúòî

øéãâð .äðúùî z éäé

,Rz = ∞∑n=0

anzn| an ∈ R, lim

n→∞an = 0

⊆ R[[z]],

Rz−1 = ∞∑n=0

anz−n| an ∈ R, lim

n→∞a−n = 0

.Rz, z−1 =

∞∑n=−∞

anzn| an ∈ R, lim

n→∞an = 0, lim

n→∞a−n = 0

.|f | = max(|an|) øéãâð äìàä úåöåá÷äî úçàá f =

∑n anz

n øåáòå

:äìà úåöåá÷ ìò ìôëå øåáéç øéãâð .Rz−1, Rz ⊆ Rz, z−1 æà

.(∑

i

aizi)(∑

j

bjzj)=

∑n

( ∑i+j=n

aibj)zn ,

∑n

anzn +

∑n

bnzn =

∑n

(an + bn)zn

n ∈ Z ìëì æà ,∑i aiz

i,∑j bjz

j ∈ Rz, z−1 íà :úåáåè úåøãâää

∑i+j=n

aibj =∞∑i=0

aibn−i +∞∑i=1

a−ibn+i

18

,ïëà) .n→∞ øùàë c±n → 0-å ,cn ∈ R äæéàì (limi→∞ aibn−i = limi→∞ a−ibn+i = 0 éë) ñðëúî

|ai|, |bj | < εM -ù êë éòáè N ùé éùîî ε > 0 ìëì .i, j ìëì |ai|, |bj | < M -ù êë éùîî M > 0 éäé

ïëìå ,j > N åà i > N æà i + j = n-å n > 2N íà .i, j ≤ −N ìëìå i, j ≥ N ìëì

íà ,äîåã ïôåàá .|∑i+j=n aibj | ≤ max |aibj | ≤ ε ïàëîå ,|aibj | ≤ |ai| · |bj | < M · εM = ε

( .n < −2N

.Rz−1-å Rz éáâì äîåã ïôåàá .∑i aiz

i ·∑j bjz

j =∑n cnz

n ∈ Rz, z−1 ïëì

.ì"ðä ìôëäå øåáéçì ñçéá íééáéèèåîå÷ íéâåç ïðéä äìà úåöåá÷ :4.10 ìéâøú

.R ìù èìçåîä êøòä úà áéçøîù Rz, z−1 ìò èìçåî êøò àåä | | (à) :4.11 äîì

.äæ èìçåî êøòì ñçéá íéîìù Rz ,Rz, z−1 (á)

éãé ìò ïåúðä Rz, z−1 → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| = 1 íéé÷î øùà c ∈ R× ìë (â)

.f =∑n anz

n 7→ f(c) =∑n anc

n

éãé ìò ïåúðä Rz → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| ≤ 1 íéé÷î øùà c ∈ R ìë (ã)

.f =∑n anz

n 7→ f(c) =∑n anc

n

.|f+|, |f−| ≤ |f |-å f = f+ + f− -ù êë f− ∈ Rz−1-å f+ ∈ Rz ùé f ∈ Rz, z−1 ìëì (ä)

éìá .|fg| = |f | · |g|-ù f =∑∞i=−∞ aiz

i, g =∑∞j=−∞ bjz

j ∈ Rz, z−1 øåáò ,÷åãáð (à) :äçëåä

æà ,fg =∑∞n=−∞ cnz

n íà .f = 0 ,g = 0 úåéììëä úìáâä

.|cn| =∣∣∣ ∑i+j=n

aibj

∣∣∣ ≤ supi+j=n

|ai| · |bj | ≤ | supi+j=n

|f | · |g| = |f | · |g|

.|fg| ≤ |f | · |g| ïëì

ïðåáúðå ,ℓ = n +m éäé ,|an| = |f | ,|bm| = |g|-ù êë øúåéá íéìåãâä íéñ÷ãðéàä n,m åéäé ,êôéäì

|ai| < |f | ïëì .j > m åà i > n æà ,(i, j) = (n,m) -å i + j = ℓ íà .fg-á zℓ ìù cℓ íã÷îá

,maxi+j=ℓ(|aibj |) = |an| · |bm| = |f | · |g| ïàëî .|ai| · |bj | < |f | · |g| ïëìå ,|bj | < |g| åà

ïàëîå |cℓ| = |∑i+j=ℓ aibj | = |f | · |g| ,(á)4.6 äîì éôì .(i, j) = (n,m) íà ÷øå íà ìá÷úî íåîéñ÷îäå

.|fg| ≥ |f | · |g|

.éìàéååéøè ïôåàá úåîéé÷úî èìçåî êøò ìù 4.1 äøãâäá (á) ,(à) úåîåéñ÷àä

,n ìëì ,|akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| æà .Rz, z−1-á éùå÷ úøãñ (fk =∑n aknz

n)∞k=1 éäú (á)

íåëñä f =∑n anz

n éäé .an = limk→∞ akn ∈ R ìåáâ äì ùé ïëì ,R-á éùå÷ úøãñ akn∞k=1 ïëì

:|f − fk| → 0-å f ∈ Rz, z−1-ù úåàøì ì÷ .éìîøåôä

ïååéë ,ïàëî .n ìëì |akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| ≤ ϵ æà k, ℓ ≥ K íàù êë éòáè K ùé .ϵ > 0 éäé

n ≥ N íàù êë éòáè N ùé ïëì ,fK ∈ Rz, z−1 ìáà .n ìëì |akn − an| ≤ ϵ ,óéöø àåä èìçåî êøòù

19

êåúî ïë åîë .äæë n ìëì |an| ≤ max(|an − aKn|, |aKn| ≤ ϵ ïàëî .|aKn| ≤ ϵ æà n ≤ −N åà

.|f − fk| → 0 -ù ÷éñð n ìëì ||akn − an| ≤ ϵ

.f ∈ Rz æà k ìëì fk ∈ Rz íà

.íéøåøá (ã) ,(â)

.f− =∑−1n=−∞ anz

n-å f+ =∑∞n=0 anz

n åéäé ,f =∑∞n=−∞ anz

n íà (ä)

úà ÷éúòî àåä .2 øãñî Rz, z−1 ìù äîøåð øîåù R-íæéôøåîåèåà äøéãâî z 7→ z−1 ä÷úòää :4.12 äøòä

úàå R[z−1] ìò R[z] úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåèåà ,ïë ìò øúé .Rz ∼= Rz−1 ïëì .Rz−1 ìò Rz

.åîöò ìò R[z, z−1]

íìùä øôñîä úåéäì f ìù pdeg f äìòî-ïéòî øéãâð 0 = f =∑∞n=0 anz

n ∈ Rz øåáò :4.13 äøãâä

.ad ∈ R× íà éøìåâø f éë øîàð .d = max(n : |an| = |f |)

ùé æà .pdeg g = d ,éøìåâø g ∈ Rz éäéå f ∈ Rz éäé :(Weierstrass ìù ÷åìéçä èôùî) 4.14 èôùî

,ïë ìò øúé .deg r < d-å f = gq + r-ù êë íéãéçé r ∈ R[z]-å q ∈ Rz

|q| · |g| ≤ |f |, |r| ≤ |f |. (1)

:äçëåä

.øåøá (1)-å r = f æà q = 0 íà .deg r < d øùàá ,f = gq + r çéðð .(1) íéîñçä :à ÷ìç

;gq-á zd+ℓ ìù íã÷îä ìù èìçåîä êøòä àåä |gq| = |g| · |q| æà .ℓ = pdeg q éäéå q = 0 çéðð

ïàëî .|g| · |q| ≤ |f | ïëì .deg r < d + ℓ éë ,f = gq + r-á zd+ℓ ìù íã÷îä íâ àåä äæä íã÷îä

.|r| = |f − gq| ≤ max(|f |, |gq|) ≤ |f |

.0 = g(q− q′)+(r−r′) æà .deg r,deg r′ < d øùàá ,f = gq+r = gq′+r′ çéðð .úåãéçéä :á ÷ìç

.r = r′-å q = q′ ïëì .|q − q′| = |r − r′| = 0 ,à ÷ìç éôì

.fm =∑mn=0 bnz

n ∈ R[z] éäém ≥ 0 ìëì .f =∑∞n=0 bnz

n çéðð .däìòîîíåðéìåôg íà ,íåé÷ä :â ÷ìç

øåáò ñãéì÷åà ìù íúéøåâìàä .êéôä g ìù ïåéìòä íã÷îä ,pdeg g = d = deg g-å éøìåâø åðéä g-ù ïååéë

k,m ìëì ïëì .deg rm < deg g-å fm = gqm + rm-ù êë qm, rm ∈ R[z] ïúåð R ìòî íéîåðéìåô

.|g| · |qm − qk|, |rm − rk| ≤ |fm − fk| ,à ÷ìç éôì .fm − fk = g(qm − qk) + (rm − rk) íéé÷úî

øåøá .r ∈ R[z]-å q ∈ Rz-ì úåñðëúî ïä ïëìå Rz-á éùå÷ úåøãñ ïä rm∞m=0-å qm∞m=0 ïëì

.deg r < d-å f = gq + r-ù

,|g−g0| < |g| æà .g0 =∑dn=0 anz

n ∈ R[z] ç÷éð ,g =∑∞n=0 anz

n íà .åäùìë g øåáò ,íåé÷ä :ã ÷ìç

.deg r0 < d-å f = g0q0 + r0-ù êë r0 ∈ R[z]-å q0 ∈ Rz ùé f -å g0 íò â ÷ìç éôì .|g0| = |g| ïëìå

.|f1| ≤ |g−g0||g| · |f |-å ,f1 = (g0− g)q0 øùàá ,f = gq0+ r0+ f1 ïëì .|g| · |q0|, |r0| ≤ |f | ,à ÷ìç éôì

20

,deg rk < d-ù êë ,fk, qk ∈ Rz-å rk ∈ R[z] íéøáéà ,k ≥ 0 ìëì ,ìá÷ð äéö÷åãðéàá .f0 = f éäé

.fk = gqk + rk + fk+1 ,|qk| ≤|fk||g|

,|rk| ≤ |fk| ,|fk+1| ≤|g − g0||g|

|fk|

.r =∑∞k=0 rk ∈ R[z]-å q =

∑∞k=0 qk ∈ Rz ïëì .|qk|, |rk| → 0 íâ ïëì ,|fk| → 0-ù òáåð ïàëî

.f = gq + r íâå deg r < d-å f = gq + r íéé÷úîù øåøá

íåðéìåô àåä g ∈ R[z]-å q ∈ Rz× øùàá ,f = gq æà .pdeg f = d ,éøìåâø f ∈ Rz éäé :4.15 äð÷ñî

.|g| = 1 íéé÷î øùà d äìòîî ï÷åúî

zd = fq′ + r′-ù êë d > äìòîî r′ ∈ R[z]-å q′ ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì :äçëåä

éë úåàøäì øúåð .|g| = 1-ù øåøá .g = fq′-å d äìòîî ï÷åúî g æà .g = zd − r′ éäé .|r′| ≤ |zd| = 1-å

.q′ ∈ Rz×

r ∈ R[z]-å q ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì .pdeg g = d ,éøìåâø åðéä g-ù áì íéùð

ìù ÷åìéç èôùîá úåãéçéä éôì .f = f1 + 0 íâ ìáà .f = fq′q + r ïëì .deg r < d-å f = gq + r-ù êë

.f = gq-å q ∈ Rz× ïëì .r = 0-å qq′ = 1 ñàøèùøééå

21

íéîìù úåãù ìòî íéñðëúî úå÷æç éøåè .5

g ∈ K[z] íà .éøìåâø åðéä 0 = g ∈ Kz ìë æà .éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá

.pdeg g = d æà |g| = 1-å d äìòî ìòá ï÷åúî

.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz éäé (à) :5.1 èôùî

.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz, z−1 éäé (á)

.f = 0 úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

.(R = K øåáò) 4.15 äð÷ñîá äìåìë äðòèä ïëì .éøìåâø åðéä f (à)

ìéôëðù éøçà) −1 = min(n : |an| = |f |) úåéììëä úìáâä éìá .f =∑∞n=−∞ anz

n ∈ A éäé (á)

.(A-á êéôä åðéäù ,z ìù ä÷æçá f úà

.Rw = ∑∞j=0 αjw

j | αj ∈ R, |αj | → 0 âåçá ïðåáúð .ùãç äðúùî w éäéå R = Kz éäé

f =∑∞j=0 αjw

j ∈ Rw æà .j > 0 øåáò αj = a−j ∈ K ⊆ R-å α0 =∑∞n=0 anz

n ∈ R øéãâð

p = w + β-å u ∈ Rw× øùàá ,f = pu ìá÷ð (z íå÷îá w íò) 4.15 äð÷ñî éôì .pdeg f = 1 ,éøìåâø

.β ∈ R äæéà øåáò

éãé ìò äðåúðä θ: Aw → A äáöää ú÷úòä .|z−1| = 1 íéé÷úî .u ∈ Aw× ,èøôá

ïëì .u′ ∈ A× äæéà ìò u úà ä÷éúòî g 7→ g(z−1)

.f = θ(f) = θ(p)θ(u) = (z−1 + β)u′ = (1 + zβ)z−1u′

.1 + zβ = pu′′-ù êë u′′ ∈ Kz× ⊆ A×-å p ∈ K[z] ùé (à) ÷ìç éôì .1 + zβ ∈ R = Kz úòë

.f = p(z−1u′u′′) úù÷åáîä äâöää ïàëî

ìù øáéà éãé ìò øöåð íäá ìàãéà ìë .íééùàø úåîìù éîåçú íä Kz, z−1 , Kz , Kz−1 íéâåçä :5.2 èôùî

.K[z, z−1]

.I ′ = I ∩K[z] éãé ìò øöåð A ìù I ìàãéà ìë ,5.1 èôùî éôì .Kz, z−1 åà Kz âåçä A éäé :äçëåä

ïëì .(éùàø úåîìù íåçú àåä K[z] éë) p ∈ K[z] äæéà øåáò I ′ = pK[z] ïëì ,K[z] ìù ìàãéà àåä I ′ ïàë

.éùàø ìàãéà àåä I = pA

.4.12 äøòä éôì úòáåð äðòèä ,A = Kz−1 íà

.K[z, z−1] + gR = R æà .0 = g ∈ R éäé .R = Kz, z−1 ïîñð :5.3 äðòè

.f − r ∈ gR-ù êë r ∈ K[z, z−1] ùé f ∈ R ìëìù çéëåäì éã :äçëåä

éôì .éøìåâø g ∈ Kz èøôá .g ∈ K[z]-ù çéðäì øùôà 5.1 èôùî éôì .f ∈ Kz-ù íãå÷ çéðð

.f − r = gq ⊆ gR-ù êë q ∈ Kz-å r ∈ K[z] ùé ÷åìéçä èôùî

22

r1 ∈ K[z] ùé éèøôä äø÷îä éôì .f1 ∈ Kz, f2 ∈ Kz−1 øùàá ,f = f1 + f2 éììëä äø÷îá

.f − (r1 + r2) ∈ gR æà .f2 − r2 ∈ gR-ù êë r2 ∈ K[z−1] ùé 4.12 äøòä éôì .f1 − r1 ∈ gR-ù êë

úúë Q1, Q2 úà äàøð .äîàúäá ,Kz, Kz−1, Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q2, Q åéäé

.Q ìù úåãù

.K(z) àåä Q êåúá Q1, Q2 ìù êåúéçä :5.4 äð÷ñî

.f ∈ Q1∩Q2 éäé ,êôéäì .K(z) ⊆ Q1∩Q2 ïëì ,K[z−1] ⊆ Kz−1-åK[z] ⊆ Kz íéé÷úî :äçëåä

øùàá ,f = f2/p2 ,4.12 äøòä éôì .0 = p1 ∈ K[z]-å f1 ∈ Kz øùàá ,f = f1/p1 ,(à)5.1 èôùî éôì

.g := p2f1 = p1f2 ∈ Kz, z−1 íéìá÷î f ìù úåâöää éúùî .0 = p2 ∈ K[z−1]-å f2 ∈ Kz−1

éë íéìá÷î ìéòì g ìù úåâöää éúùî æà ,g =∑∞n=−∞ anz

n íà .d2 = degz−1 p2 ,d1 = degz p1 åéäé

.f = f1/p1 = g/(p1p2) ∈ K(z) ïëì .g ∈ K[z, z−1] ïàëî .n > d1 øåáòå n < −d2 øåáò an = 0

.R1 = Kz, R2 = Kz−1, R = Kz, z−1 åéäé äúòî

,B1 ∈ GLn(R1) ùé æà .|B − In| < 1-ù êë B ∈ Mn(R) éäú :(Cartan ìù äîìä) 5.5 èôùî

.B = B1B2-ù êëB2 ∈ GLn(R2)

A = A+ + A−-ù êë A− ∈ Mn(R2) ,A+ ∈ Mn(R1) ùé A ∈ Mn(R) ìëì (ä)4.11 äîì éôì :äçëåä

éàðúä .0 ≤ c < 1 æà .c = |A1|-å A1 = B − In åéäé .|A+|, |A−| ≤ |A| íâå

In +Aj+1 = (In −A+j )(In +Aj)(In −A−

j )

:Mn(R) éøáà ìù (Aj)∞j=1 äøãñ áéñøå÷ø ïôåàá øéãâî

.Aj+1 = A+j A

−j −A

+j Aj −AjA

−j +A+

j AjA−j

.Aj → 0 ïëìå ,|Aj | ≤ cj ,äéö÷åãðéàá .|Aj+1| ≤ |Aj |2 òáåð åæ äøãâäî

,ïë åîë

.In +Aj+1 = (In −A+j ) · · · (In −A

+1 ) B (In −A−

1 ) · · · (In −A−j ) (1)

(In − A−1 ) · · · (In − A

−j ) úåìôëîä (ã)4.8 äîì éôì ïëì . |A−

j | → 0-å |A−j | ≤ |Aj | ≤ c < 1 íéé÷úî

äæéàì úåñðëúî (In − A+j ) · · · (In − A+

1 ) úåìôëîä ,äîåã ïôåàá .B′2 ∈ GLn(R2) äæéàì úåñðëúî

.B = (B′1)

−1(B′2)

−1 ïëì .In = B′1BB

′2 ïúåð (1) äàååùîá ìåáâì øáòî .B′

1 ∈ GLn(R1)

23

.B = B1B2 -ù êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) ùé æà .B ∈ GLn(Q) éäú :5.6 äð÷ñî

æà C ∈ Mn(R)-å g ∈ R íàù áì íéùð .Q0 = Quot(R0) = K(z)-å R0 = K[z, z−1] ïîñð :äçëåä

.|gC| = |g| · |C|

f ∈ R øùàá , fh äøåöäî àåä Q ìù øáéà ìë (à)5.1 èôùî éôì .B ∈ Mn(R) úåéììëä úìáâä éìá :1 äðòè

êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) àöîð íà .hB ∈ Mn(R)-ù êë h ∈ R0 ùé ïëì .0 = h ∈ R0-å

.hB1 ∈ GLn(Q1) øùàá ,B = (hB1)B2 æà ,hB = B1B2-ù

.BB′ = gIn-ù êë 0 = g ∈ R0-åB′ ∈ Mn(R) ùé :2 äðòè

øùàá ,detB = gu ,(à)5.1 èôùî éôì .B adj(B) = (detB)In úîéé÷î adj(B) ∈ Mn(R) ,ïëà

.BB′ = gIn æà ;B′ = u−1 adj(B) ∈ Mn(R) éäú .u ∈ R×-å g ∈ R0

.|In −BA| < 1-åBA ∈ Mn(R)-ù êëA ∈ Mn(Q0) ùé :3 äðòè

êëB0 ∈ Mn(R0) ,C ∈ Mn(R) ùé ïëì .Mn(R) = Mn(R0)+gMn(R)-ù òáåð 5.3 äðòèî ,ïëà

.(∑∞n=−∞ anz

n = limN→∞∑Nn=−N anz

n) R0 éøáà ìù ìåáâ àåä R ìù øáéà ìë .B′ = B0+ gC-ù

æà .A0 = B0 + gC0 ∈ Mn(R0) éäú .|C − C0| < 1|B| -ù êë C0 ∈ Mn(R0) ùé ïëì

BA0 = B(B0 + gC0) = B(B′ − gC + gC0) = gIn − gBC + gBC0 ∈ gMn(R)

-å ,BA ∈ Mn(R) úîéé÷î A := 1gA0 ∈ Mn(Q0) ïëì

|g| · |In −BA| = |gIn − gBA| = |BB′ −BA0| ≤ |B| · |B′ −A0| =

= |B| · |gC − gC0| = |g| · |B| · |C − C0| < |g|

.|In −BA| < 1 ïëì

,i = 1, 2 ,B′i ∈ GLn(Ri) ⊆ GLn(Qi) ùé ïàèø÷ ìù äîìä éôìå BA ∈ Mn(R) æà :äçëåää íåéñ

æà .A ∈ GLn(Q0) ,øîåìë ,detA = 0 èøôá .BA ∈ GLn(R) ,(â)4.8 äîì éôì ,BA = B′1B

′2-ù êë

.B′2A

−1 ∈ GLn(Q2) øùàá ,B = B′1B

′2A

−1

:íëñð

G éäú .F2 ⊆ Q1 -å F1 ⊆ Q2 -ù êë Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä Fi/K(z) éäú i = 1, 2 øåáò :5.7 èôùî

æà .G = ⟨H1,H2⟩ ,úéôåñ äøåáç

E = (K(z), F1, F2, Q1, Q2, Q;H1,H2, G)

.F ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ èøôá .ä÷áãä éðåúð íä

àåä (ä) éàðú .5.4 äð÷ñî àåä (â) éàðú .äçðää éôì íéîéé÷úî 3.1 äøãâä ìù (ã) ,(á) ,(à) íéàðú :äçëåä

.3.7 èôùî àéä äðåøçàä äðòèä .5.6 äð÷ñî

24

íéùåîéùå úéøáâìà ä÷áãäì íéàðú úâùä .6

.éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá

ïîñð

Ω =∑

n

anzn ∈ K((z))

∣∣ n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé

.K(z) ⊆ Quot(Kz) ⊆ Ω ⊆ K((z)) ;äãù àåä Ω :6.1 äîì

.f−1 ∈ Ω æà f ∈ Ω íàù äàøð ,ìôëäå øåáéçä úçú øåâñ Ω-ù úåàøì ì÷ :äçëåä

f úà óéìçð úøçà ,aN = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá .aN = 0 øùàá ,f =∑n=N anz

n çéðð

b0 = 1 øùàá ,f−1 =∑n bnz

n ∈ K((z)) æà .(aNzn, (aNz

N )−1 ∈ Ω-ù áì íéùð) (aNzN )−1f -á

.r ≥ 1 úåéììëä úìáâä éìá .|an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé äçðää éôì .n ≥ 1 ìëì bn = −∑Ni=1 aibn−i-å

,ïëà .n ≥ 0 ìëì |bn| ≤ rn íâù ìá÷ð n ìò äéö÷åãðéàá

.|bn| = |n∑i=1

aibn−i| ≤ max1≤i≤n

|ai| · |bn−i| ≤ max1≤i≤n

rirn−i = rn

.úåù÷åáîä úåìëää úåòáåð ïàëî ,äãù Ω-ù ïååéë .K[z] ⊆ Kz ⊆ Ω ⊆ K((z))-ù øåøá

.F ⊆ Ω æà F ⊆ K((z)) íà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.2 èôùî

:àáä ïåîéñá ùîúùð :äçëåä

æà .v(0) =∞ íâ éäé ;v(y) = min(n| an = 0) éäé 0 = f =∑n anz

n ∈ K((z)) øåáò

;v(fg) = v(f) + v(g)

.v(f + g) = min(v(f), v(g)) æà v(f) < v(g) íà ,ïë ìò øúé ;v(f + g) ≥ min(v(f), v(g))

.y ∈ Ω-ù äàøð .y =∑n anz

n ∈ F éäé

íéãåîöä ìë y1 = y, . . . , yd åéäé .y /∈ K(z) éë çéðð ïëì .äîìäî úòáåð äðòèä æà y ∈ K(z) íà

.i ìëì yi /∈ K(z)-å d ≥ 2 æà .K(z) ìòî y ìù íéðåùä

íà .N = v(y1) ïîñð ,ïëà .v(y1) > 0 > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä éìá :à äðòè

yi =∑n

ainzn, i = 1, . . . , d

óéìçð .m = maxi≥2mi éäé .aimi= a1mi

-ù êë mi ∈ Z ùé ïëìå yi = y1 íéé÷úî i ≥ 2 ìëì æà

éãå y′ := y′1 ìù íéãåîöä ìë y′1, . . . , y′d ∈ F ïééãò æà) .i ìëì ,y′i = yi −

∑m+1n=N anz

n-á yi úà

,v(y) = N ≥ m + 2 ,úåéììëä úìáâä éìë ,ïëì (.i ìëì y′i − y′ = yi − y ,ïë åîë ;y′ ∈ Ω-ù çéëåäì

y1zN−1 , . . . ,

ydzN−1 ∈ F ,áåù) .zN−1 ∈ Ω-á y1 = y, y2, . . . , yd úà ÷ìçð .i ≥ 2 ìëì v(yi) ≤ mi ≤ m

25

éìá .2 ≤ i ≤ d ìëì v(yi) ≤ −1-å v(y1) = 1 æà (. y1zN−1 ∈ Ω-ù çéëåäì éãå y

zN−1 ìù íéãåîö ìë íä

.à äðòè äçëåä êëá .v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä

íåðéìåô ùé

0 = h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 ∈ K(z)[Y ]

øáéàá íìåë úà ìéôëð úøçà) p0, . . . , pd ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá .1 ≤ i ≤ d ìëì h(yi) = 0-ù êë

.mini(v(pi)) = 0 æà .(z ìù äîéàúî ä÷æçá íìåë úà ÷ìçð úøçà) z-á íé÷ìçúî íìåë àìå (K[z] ìù íéàúî

ìáà .pdyd2 = −(pd−1y

d−12 + . . . + p0) æà .h-á y2 áéöð ,ïëà .z|p0, p2, . . . , pd ,z ∤ p1 :á äðòè

,v(piyi2) = v(pi) + v(yi2) ≥ iv(y2) íéé÷úî 0 ≤ i ≤ d− 1 øåáò åìéàå v(pdy

d2) = v(pd) + dv(y2)

.v(pd−1yd−12 + . . . + p0) ≥ min(iv(y2)| 0 ≤ i ≤ d − 1) = (d − 1)v(y2) ,éìéìù v(y2)-ù ïååéëå

.z| pd ,øîåìë .v(pd) ≥ −v(y2) > 0-ù òáåð íééìàîùä íéôâàä ïéá ïåéååùäî

ïëì .h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 = pd(Y − y1) · · · (Y − yd) ,úòë

.pi = pd∑

k1<k2<···<kd−i

(−1)d−iyk1yk2 · · · ykd−i, 0 ≤ i ≤ d− 1

,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì ,ïàëî

v(pi) =v(pd) + v( ∑k1<k2<···<kd−i

yk1yk2 · · · ykd−i

)≥

≥v(pd) + mink1<k2<···<kd−i

(v(yk1) + v(yk2) + . . .+ v(ykd−i

))

≥v(pd) + v(yd) + . . .+ v(yi+1)

ìáà .j ìëì sj = y1 · · · yj · · · yd øùàá ,v(p1) = v(pd) + v(∑dj=1 sj) ,èøôá

v(sj) = v(y1) + . . .+ v(yj) + . . .+ v(yd)

ïëì .j = 1 ìëì v(s1) < v(sj)-ù øåøá ïàëî ,v(y1) > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd)-ù ïååéëå

.v(p1) = v(pd) + v(s1) = v(pd) + v(y2) + . . .+ v(yd)

.i = 1 ,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì v(p1) < v(pi) èøôá

.z ∤ p1 ìáà i = 1 øåáò z|pi éë ìá÷ð ,pi úà ÷ìçî zm-ù ìëm øúåéá ìåãâä øôñîä àåä v(pi) -ù ïååéë

.á äðòè äçëåä êëá

íéìá÷î á äðòèî

pk =M∑j=0

bkjzj , bkj ∈ K, k = 0, . . . , d

26

éë çéðäì øùôà b−110 -á h úìôëä éãé ìò ;b10 = 0 ïë åîë .k = 1 ìëì bk0 = 0 íéé÷úîå ,M äæéà øåáò

ïëì .b10 = 1

0 = h(y) =d∑k=0

( M∑j=0

bkjzj)( ∞∑

n=1

anzn)k

=

=d∑k=0

M∑j=0

∑n1,...,nk≥1

bkjan1· · · ank

zj+n1+...+nk =∞∑n=0

cnzn

øùàá

0 = cn =∑

0≤k≤d, 0≤j≤M,n1,...,nk≥1j+n1+...+nk=n

bkjan1· · · ank

(2)

.n ≥ 0 ìëì

åà bk0 = 0 éë ,j ≥ 0 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj íâ æà .j ≥ 1 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj -ù êë r > 0 ùé

.|an| ≤ rn éë n ìò äéö÷åãðéàá çéëåð .bk0 = 1

.|a0| = 0 < 1 = r0 ïëì ,v(y) > 0 éë ,a0 = 0 íéé÷úî :n = 0

íéé÷î ,an úà ìéëî åðéà øùà ,øáåçî ìë (2) äàååùîá .n-î ïè÷ íìù ìë øåáò úåðåëð çéðð

|bkjan1 · · · ank| ≤ |bkj | · |an1 | · · · |ank

| ≤ rjrn1 · · · rnk = rn

(2) éôì .b10an = an àåä øáåçîä ,øîåìë ,j = 0 ,n1 = n ,k = 1 åøåáòù äæë àåä an úà ìéëîù øáåçîå

.|an| ≤ rn ïëì .íéøáåçîä øúé ìë íåëñ ìù éãâðä àåä

ε > 0 ìëì æà .0 < |c| < 1-ù êë c ∈ K ùé ,øîåìë ,éìàéååéøè åðéà K ìò èìçåîä êøòäù çéðð äúòî

.(÷éôñî ìåãâ n øåáò ,c′ = cn ,ìùîì) 0 < |c′| < ε-ù êë c′ ∈ K ùé

F ′ ⊆ Quot(Kz) äãù ùé æà .F ⊆ K((z)) éë çéðð .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.3 äð÷ñî

.åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà F → F ′ íæéôøåîåæéàå

.Gal(F ′/K(z)) ∼= Gal(F/K(z))-å äàåìâ F ′/K(z) èøôá

.F ⊆ Ω ,6.2 èôùî éôì :äçëåä

åäæ .∑n anz

n 7→∑n anc

nzn éãé ìò µc: K((z)) → K((z)) ä÷úòä øéãâî c ∈ K× ìë

.åîöò ìò K(z) úà ïëìå åîöò ìò K[z] úà ÷éúòî àåä .(µc−1 àåä åìù éëôåää) K((z)) ìù íæéôøåîåèåà

øçáð .n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùéå y =∑n anz

n æà .F = E(z)(y)-ù êë y ∈ F éäé

,|ancn| = |an| · |c|n ≤ rn 1(2r)n = 1

2n → 0 -å µc(y) =∑n anc

nzn æà .|c| < 12r -ù êë c ∈ K×

.F ′ := µc(F ) ⊆ Quot(Kz) ïàëîå .µc(y) ∈ Quot(Kz) èøôá .∑∞n=0 anz

n ∈ Kz ïëì

äàåìâ úøåáç íò ,äàåìâ àéä äðåøçàä íâ ,F ′/K(z) äáçøää ìò F/K(z) äáçøää úà ÷éúòî µc-ù ïååéë

.úéôøåîåæéà

27

.åîöò ìò K[z] úà ÷éúòîù Kz, z−1 → Kz K -ïåëéù íéé÷ :6.4 äîì

øéãâðå 0 < |a| < 1-ù êë a ∈ K øçáð .íìù R = Kw ,(á)4.11 äîì éôì .äðúùî w éäé :äçëåä

.c ∈ R× ,(â)4.8 äîì éôìå |c| = 1 æà .c := 1− aw ∈ R

íæéôøåîåæéàä íò åúåà áéëøð .Rz, z−1 → R íæéôøåîåîåä úðúåð z 7→ c äáöää (â)4.11 äîì éôì

.Rz, z−1 → Kz íæéôøåîåîåä ìá÷ð êëá .w 7→ z éãé ìò ïåúðä R = Kw → Kz∑∞n=−∞ anz

n 7→ éãé ìò ïåúðä àåä .Kz, z−1-ì åìù íåöîöä φ: Kz, z−1 → Kz éäé

.an ∈ K øùàá ,∑∞n=−∞ an(1− az)n

íæéôøåîåèåà åäæ .z 7→ 1− az éãé ìò äðåúðä K[z]→ K[z] K-ú÷úòä àåä K[z]-ì φ ìù íåöîöä

.z 7→ a−1(1− z) éãé ìò äðåúð äëåôää ä÷úòää :K[z] ìù

úìáâä éìá .Kerφ = pKz, z−1-ù êë p ∈ K[z, z−1] ùé ,5.2 èôùî éôì .éëøò-ãç-ãç φ-ù äàøð

.Kerφ = 0 ïëì .p = 0 ,úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .φ(p) = 0 æà .z ìù ä÷æçá p ìéôëð úøçà ,p ∈ K[z] úåéììëä

úà ÷éúòîù Q→ Q1 K -ïåëéù íéé÷ .äîàúäá ,Kz,Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q åéäé :6.5 äð÷ñî

.åîöò ìò K(z)

úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .(èìçåî êøò éìá) åäùìë éôåñðéà äãù K éäé :6.6 èôùî

.F ⊆ K((z))-ù êë pk äìòîî F/K(z)

.àáä ÷øôá çéëåð :äçëåä

úøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .úéôåñ äøåáç G éäú .èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé :6.7 èôùî

.F ⊆ K((z)) èøôáå F ⊆ Quot(Kz)-ù êë G-ì úéôøåîåæéà äàåìâ

.äøåøá äðòèä G = 1 íà .G ìù øãñä ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä

àåäù øãñî åðéä gi ìë úåéììëä úìáâä éìá .g1, . . . , gn ,íéøöåé n ≥ 1 éãé ìò úøöåð G úøçà

éìá .(íééðåùàø ìù úå÷æç íäù íéøãñî úåéìâòî úåøåáç ìù äøùé äìôëî àéä ⟨gi⟩ éë) éðåùàø ìù ä÷æç

æà .H1 = ⟨g1⟩ éäú .íéøöåéä úøãñäî g1 úà èéîùð úøçà ,G = H2 := ⟨g2, . . . , gn⟩ úåéììëä úìáâä

äàåìâ úøåáç íò F2/K(z) äàåìâ úáçøä ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ïëì .#H2 < #G-å G = ⟨H1,H2⟩

êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′1/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 6.6 èôùî éôì .F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz)-ù êë H2

éôì .F ′′1 ⊆ Q1-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′′

1 /K(z) äàåìâ úáçøä ùé ,6.3 äð÷ñî ðôì .F ′1 ⊆ K((z))-ù

úáçøä ùé ïëì .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà Q1 → Q2 = Quot(Kz−1) íæéôøåîåæéà ùé 4.12 äøòä

.F1 ⊆ Q2-ù êë .F1 ⊆ Q2-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F1/K(z) äàåìâ

úáçøä ùé 6.5 äð÷ñî éôì .F ′ ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F ′/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 5.7 èôùî éôì

.F ⊆ Q1-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ

28

úåéìâòî úåáçøä ìù ùåîéî .7

.E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé äæ ÷øôá

:àáä èôùîä úà çéëåäì àéä ÷øôä úøèî

êë pk äìòîî F/K(z) úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .éôåñðéà äãù K éäé :7.1 èôùî

.F ⊆ K((z))-ù

.L((z))/K((z)) ìù ñéñá B æà .äìù ñéñá B éäéå úåãù ìù úéôåñ äáçøä L/K éäú :7.2 ìéâøú

íåöîöä ú÷úòäå äàåìâ L((z))/K((z)) íâ æà äàåìâ L/K íàå [L((z)) : K((z))] = [L : K] èøôá

.íæéôøåîåæéà àåä ρ: Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(L/K)

åéäéå ,n ìëì bn ∈ L øùàá ,f =∑n bnz

n ∈ L((z)) éäé .B = (α1, . . . , αd) çéðð :äçëåä

íà ÷øå íà f =∑di=1 fiαi æà .i, n ìëì ,ain ∈ K øùàá i = 1, . . . , d ,fi =

∑n ainz

n ∈ K((z))

.f =∑di=1 fiαi äâöää ìù úåãéçéäå íåé÷ä íéøåøá ïàëî .n ìëì bn =

∑di=1 ainαi

åúåàî äìù çååèäå íåçúäù ïååéë .úéëøò-ãç-ãç ρ ïëìå ,L((z)) = K((z)) · L-ù ïàëî òáåð èøôá

.íæéôøåîåæéà ρ ,øãñä

èøôá .K ìù L úéôåñ äáçøä ìëì E′ ∩ L = K æà .K ⊆ E′ ⊆ K((z)) ,äãù E′ éäé :7.3 äð÷ñî

.E ∩ L = K

åúåà íéìùðå ,1 úà ìéëîù ,K ìòî E′ ∩ L ìù B ñéñá øçáð .E′ = K((z)) úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

ïàëî .B = 1 ïëì ,B ⊆ K((z)) ìáà .E′ ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá B ,7.1 ìéâøú éôì .L/K ìù ñéñáì

.E′ ∩ L = K

êë pk äìòîî F/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ k ≥ 1 ìëì æà .char K = p > 0 ,äãù K éäé :7.4 äîì

.F ∩ K = K -ù

.K((z))-á ùøåù ïéà f -ì æà .f = Xp −X − z−1 ∈ E[X] éäé :äçëåä

æà ,aN = 0 íò 0 = α =∑∞n=N anz

n ∈ E ⊆ K((z)) éäé .f ìù ùøåù åððéà 0 ,ïëà

ïëì ,z−1 /∈ K[[z]] ìáà ,αp − α ∈ K[[z]] æà α ∈ K[[z]] ,øîåìë ,N ≥ 0 íà .αp =∑∞n=pN a

pnzpn

äàø) .f(α) = 0 ïëì ,αp − α = apNzpN + . . . øúåé úåäåáâ úå÷æç = z−1 æà ,N < 0 íà .f(α) = 0

(.1.12 ìéâøú íâ

.Gal(F1/E) ∼= Z/pZ-å ,äàåìâ F1/E øééøù-ïéèøà èôùî éôì .E ìòî f ìù ìåöéôä äãù F1 éäé

.K ìù L úéøáâìà äáçøä ìëì ,L(z) ìòî íâ ÷éøô éà f ïôåà åúåàá .E ìòî ÷éøô éà f èøôá

Gal(F/E) ∼= ,äàåìâ F/E-ù êë F/F1 äáçøä ùé ,(äèî 7.12 èôùî) òåãé èôùî éôì ,k ≥ 1 íà

.Z/pkZ

29

äáçøä EL æà .K ìù äúåàð äáçøä àåä L = F ∩ K éë äìéìùá çéðð .F ∩ K = K-ù úåàøäì øúåð

,7.2 ìéâøú éôì ;K ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y-ù êë y ∈ L ùé éë ,äúåàð àéä) .F -á úìëåî ,E ìù äúåàð

F/E-ù ïååéë (.y /∈ K(z) = E èøôáå ,y /∈ K((z)) ïëìå ,K((z)) ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y ∈ EL

äøéúñá äæ .F1 ⊆ EL = L(z) ïëì .F1 úà äìéëî F -á úìëåîä E ìù äúåàð äáçøä ìë ,pk äìòîî úéìâòî

.L(z) ìòî ÷éøô éà f -ù êëì

êë a ∈ K éäé .E ìòî ÷éøô éàå ,ãéøô ,ï÷åúî f(z,X) ∈ K[z][X] øùàá ,F = E[X]/(f) éäé :7.5 äîì

.åîöò ìò E úà ÷éúòîù F → L((z)) K -ïåëéù ùé æà .K ìòî åìù ìåöéôä äãù L éäéå ãéøô f(a,X) ∈ K[X]-ù

úåãù ìù íæéôøåîåæéàì äáçøäì ïúéð øùà ,K[z] ìù K-íæéôøåîåèåà àåä z 7→ z + a ä÷úòää :äçëåä

.a = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .F → F ′ := E[X]/(f(z + a,X)

)ìöôúî f(z,X) (1.4 èôùî) ìæðä ìù äîìä éôì ,L ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì ìöôúî f(0, X)-ù ïååéë

.F ⊆ L((z)) ïàëî .L[[z]] ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì

G = Gal(F/E) íà .F ∩ K = K -ù êë úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú .éôåñðéà äãù K éäé :7.6 èôùî

.F ′ ⊆ K((z))-å ,Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ F ′/E ùé æà ,úéìáà

:äçëåä

.F ⊆ L((z))-ù êë L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä ùéù çéðäì øùôà :1 äðòè

éäé .f(z,X) = irr(α,E) ∈ K[z][X] úåéììëä úìáâä éìá .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé ,ïëà

a ∈ K ùé ,éôåñðéà K-ù ïååéë .D = 0 æà .f ìù äèððéîéø÷ñéãä ,n = degX f øùàá ,D = Dnf ∈ K[z]

éôì .ãéøô f(a,X) ïëì .f(a,X) ∈ K[X] ìù äèððéîéø÷ñéãä àåä D(a) ,2.7 äðòè éôì .D(a) = 0-ù êë

.1 äðòè úà úîéé÷îù äàåìâ úøåáç äúåà íò úøçà äáçøäá F úà óéìçäì øùôà 7.5 äîì

.íæéôøåîåæéà àéä π: Gal(FL/F )→ Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä ïëì .F ∩ L = K äçðää éôì

.íæéôøåîåæéà àéä π1: Gal(FL/F )→ Gal(LE/E) íåöîöä ,øîåìë ,F ∩ EL = E :2 äðòè

íéîåöîö ìù éôåìéç íéùøú ùé ,ïëà

Gal(FL/F )π //

π1

''OOOOO

OOOOOO

Gal(L/K)

Gal(EL/E)

π2

77ooooooooooo

π1 íâù ïàëî .íæéôøåîåæéà ïëì ,úéëøò-ãç-ãç π2 ìáà .ìò π2-å úéëøò-ãç-ãç π1 ïëì ,íæéôøåîåæéà π åá

.F ∩ EL = E ïëì .íæéôøåîåæéà

30

. F ′ ∩ EL = E, F ′(EL) = FL æà .F ′ = K((z)) ∩ (FL) éäé :3 äðòè

àåä Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(L/K) íåöîöä ,7.2 ìéâøú éôì .E ⊆ F ′ ⊆ FL íéé÷úî

àáä íéùøúä éôì .íæéôøåîåæéà

L EL FL L((z))

K

H

E

H

F ′

∆

K((z))

H

íéîåöîöä ìù äáëøä àéä åæ ä÷úòä

Gal(L((z))/K((z))

)→ Gal(FL/F ′)→ Gal(EL/E)→ Gal(L/K)

.äðòèä úòáåð ïàëî .íæéôøåîåæéà àéä úéòöîàä íâ ïëì .íéîæéôøåîåæéà ïä úåéðåöé÷ä úå÷úòää éúù

.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E :4 äðòè

:úåøåáçì äàåìâ úøåú úøæòá åæ äðòè íâøúð

éôì .∆ = Gal(FL/F ′)-å ,D = Gal(FL/E) ,H = Gal(EL/E) ∼= Gal(L/K) äðééäú

-ì úåìå÷ù 3 äðòè ìù úåàååùîä .∆ ≤ D-å D = G×H íéé÷úî 2 äðòè

.∆ ∩G = 1, ∆ ·G = D (1)

D = G×H éøáà ìë íò óìçúî G ïëì .(úéìáà G éë) G éøáà íò íâåD êåúáH éøáà íò íéôìçúî G éøáà

äæ äàåìâ úøåú éôì .D/∆ ∼= G-å ∆ ◁ D ïàëî .D = ∆×G-ù øîåà äæ (1) íò ãçé .∆ éøáà ìë íò èøôáå

.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E éë ÷åéãá øîåà

.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .char K ∤ n-ù êë n ∈ N éäé :7.7 èôùî

ä÷úòä úîéé÷ æà .H = Gal(L/K) éäúå L = K(ζn) éäé .éáéèéîéøô é-n äãéçé ùøåù ζn ∈ K éäé :äçëåä

-å σ ∈ H ìëì σ(ζn) = ζχ(σ)n -ù êë χ: H → i ∈ N| gcd(i, n) = 1

.χ(στ) ≡ χ(σ)χ(τ) mod n, σ, τ ∈ H (2)

,ìùîì) L/K øåáò c éáéèéîéøô øáéà øçáð .Gal(L((z)/K((z))

)íò H úà úåäæì øùôà 7.2 ìéâøú éôì

éäéå (c = ζn

g(z) =∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)χ(σ−1) ∈ L[z]

31

ìù äìôëî àåä Xn − 1 =∏n−1i=0 (X − ζin) éë) .xn = 1 + cz-ù êë x ∈ L[[z]] ùé ìæðä ìù äîìä éôì

øéãâð .(L[z]-á íéøæ íééøàðéì íéîøåâ

y =∏σ∈H

σ(x)χ(σ−1) ∈ L[[z]]

æà

.yn =∏σ∈H

σ(xn)χ(σ−1) =

∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)χ(σ−1)= g(z)

.yd ∈ L(z)-å d|n øùàá ,d äìòîî úéìâòî äàåìâ úáçøä àéä F/L(z) øîå÷ èôùî éôì .F = L(z, y) éäé

éôì ãåò .d = n ïëì ,n-ì øæ χ(σ−1) ìáà .σ ∈ H ìëì nd |χ(σ

−1) ïëì .g(z) = (yd)nd ∈

(L(z)

)nd ïëì

.ω(y) = ζny øùàá ,G := Gal(F/L(z)

)= ⟨ω⟩ ,øîå÷ èôùî

æà .χ(τρ) = χ(τ)χ(ρ) + k(τ, ρ)n-ù êë k(τ, ρ) ∈ Z ùé τ, ρ ∈ H ìëì (2) éôì

,τ(y) =∏σ∈H

τσ(x)χ(σ−1) =

∏ρ∈H

ρ(x)χ(ρ−1τ) =

∏ρ∈H

ρ(x)χ(ρ−1)χ(τ)+k(ρ−1,τ)n =

=( ∏σ∈H

σ(x)χ(σ−1)χ(τ)

·∏σ∈H

σ(xn)χ(k(σ−1,τ) = yχ(τ)

∏σ∈H

(1 + σ(c)z

)k(σ−1,τ)

,øîåìë

,τ(y) = yχ(τ)fτ (z) (3)

.fτ (z) ∈ L(z) øùàá

úúë ïäéúù úà äàøð .F ìò úìòåô G = ⟨ω⟩ íâ .F ìò úìòåô H = Gal(L((z))/K((z))) èøôá

íéé÷úî τ ∈ H ìëì .Aut(F/E) ìù úåøåáç

,τω(y) = τ(ζny) = ζχ(τ)n yχ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)

,ωτ(y) = ω(yχ(τ)fτ (z)) = ω(y)χ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)

.G éøáéà íò íéôìçúî H éøáéà ,øîåìë ,τω = ωτ ïëì

éë ,1 àåä ïëìå ,L(z) = FG ìò úéìàéååéøè ìòåô àåä æà σ ∈ G ∩H íà ,ïëà .G ∩H = 1 ,ïë åîë

.H = Gal(L(z)/K(z)

)àåä D ìù úáùä äãù .D = G×H ,ìéòì øåîàä éôì ,æà .D = ⟨G,H⟩ ≤ Aut(F/E) éäú

FD = (FG)H = L(z)H = K(z)

.Gal(F ′/E) = D/H = Gå äàåìâ F ′/E æà ,F êåúá H ìù úáù äãù F ′ íà ,ïëì

32

:íëñð

F/E (úéìáà èøôáå) úéìâòî úáçøä ùé 7.4 äîì éôì æà char K = p íà .n = pk éäé :7.1 èôùî úçëåä

.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äáçøä ùé 7.6 èôùî éôì .F ∩ K = K-ù êë n äìòîî

.7.7 èôùîî úòáåð äðòèä ,char K = p íà

:7.4 äîì úçëåä êåúî øñçä úà íéìùð óåñáì

úåéö÷ðåôä ìù éøåè÷åä áçøîá íéøáéàë) íä æà .L ìù íéðåù íéîæéôøåîåèåà σ1, . . . , σn åéäéå äãù L éäé :7.8 èôùî

-å a1, . . . , an ∈ L íà ,øîåìë ,L ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá (L êåúì L-î

a1σ1 + · · ·+ anσn = 0 (= ñôàä úéö÷ðåô) (1)

.a1 = · · · = an = 0 æà

íéîæéôøåîåèåà n−1 øåáò äðåëð äðòèäù çéðð .i ìëì σi = 0 éë ,øåøá äæ n = 1 øåáò .n ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä

:σn(α) ∈ L×-á (1) úà ìéôëð .σ1(α) = σn(α)-ù êë α ∈ L× ùé ,σ1 = σn-ù ïåéë .(1) íéé÷úîùå

.a1σn(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (2)

ïëì ,a1σ1(αβ) + · · ·+ anσn(αβ) = 0 íéé÷úî ,β ∈ L× ìëì ,éðù ãöî

ïàëî .a1σ1(α)σ1(β) + · · ·+ anσn(α)σn(β) = 0

a1σ1(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (3)

:(3)-î (2) úà øéñçð

a1(σ1(α)− σn(α)

)σ1 + · · ·+ an−1

(σn−1(α)− σn(α)

)σn−1 = 0

,äéö÷åãðéàä úçðä éôì .(1)-á úàæ áéöð .a1 = 0 ïëìå ,a1(σ1(α) − σn(α)

)= 0 ,äéö÷åãðéàä úçðä éôì

.a2 = · · · = an = 0

ìò äðåúðä TL/K : L→ K ä÷úòää àéä K êåúì L-î äá÷òä .úéôåñ äàåìâ äáçøä L/K éäú :15.1 äøãâä

TL/K(α) =∑σ∈Gal(L/K) σ(α) éãé

.TL/K(β) = 1-ù êë β ∈ Lùéå ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä L/K éäú :7.9 äîì

c :=-ù êë α ∈ L øçáð .ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K =∑σ∈Gal(L/K) 1σ ,7.8 èôùî éôì :äçëåä

.TL/K(α/c) = c/c = 1 æà .TL/K(α) = 0

33

σ éäéåG äàåìâ úøåáç úìòá úéôåñ úéìâòî äáçøä L/K éäú :(úéøåáéç äñøâ ,èøáìéä ìù 90 èôùî) 7.10 èôùî

.β = α− σ(α)-ù êë α ∈ L ùé íà ÷øå íà TL/K(β) = 0 æà .β ∈ L éäé .G ìù øöåé

æà .β = α− σ(α) çéðð :äçëåä

.TL/K(β) =∑τ∈G

τ(α− σ(α)

)=

∑τ∈G

τ(α)− τσ(α) =∑τ∈G

τ(α)−∑τ∈G

τσ(α) = 0

éäé .TL/K(z) = 1 -ù êë z ∈ L ùé 15.3 äîì éôì .n = |G| éäé .TL/K(β) = 0 çéðð ,êôéäì

.α = βσ(z) +(β + σ(β)

)σ2(z) + · · ·+

(β + σ(β) + · · ·+ σn−2(β)

)σn−1(z)

æà

σ(α) =

σ(β)σ2(z) +(σ(β) + σ2(β)

)σ3(z) + · · ·+

(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−2(β)

)σn−1(z)+

· · ·+(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−1(β)

)σn(z)

ïëì .(TL/K(β)− β

)z = −βz àåä (äðåøçàä äøåùä) ïåøçàä øáåçîäå

.α− σ(α) = βσ(z) + βσ2(z) + · · ·+ βσn−1(z) + βz = β TL/K(z) = β

.char(K) = p > 0 ,äãùK éäé :(Artin-Schreier) 7.11 èôùî

Xp −X − a ∈ K[X] ìù ùøåù α-å L = K(α)-ù êë α ∈ L ùé æà .p äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú (à)

.a ∈ K äæéà øåáò

ïåùàøä äø÷îá .p åà 1 äìòîî úéìâòîK(α)/K æà .f = Xp −X − a ìù ùøåù α ∈ K éäéå a ∈ K éäé (á)

.÷éøô éà f éðùä äø÷îáå ,K-á f éùøåù ìë

úéìâòî äáçøä ùé æà .pn > 1 äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú .char(K) = p > 0 ,äãù K éäé :7.12 èôùî

.K ⊆ L ⊆ L′ -ù êë pn+1 äìòîî L′/K

α øùàá ,L′ = L(α) øéãâð .G ìù øöåé σ éäéå G = Gal(L/K) éäú .äá÷òä T = TL/K éäú :äçëåä

.íéàúî a ∈ L øåáò ,f = Xp −X − a ìù ùøåù

.T (β) = 1-ù êë β ∈ L ùé 7.9 äîì éôì .a úàéöî :à áìù

ïëì .T (βp) =∑τ∈G τ(β

p) =∑τ∈G

(τ(β)

)p=

(∑τ∈G τ(β)

)p=

(T (β)

)p= 1 íéé÷úî

-ù êë a ∈ L ùé 7.10 èôùî éôì .T (βp − β) = T (βp)− T (β) = 1− 1 = 0

.σ(a)− a = βp − β (1)

34

.α ∈ L ,(á)7.10 èôùî éôì .f ìù ùøåù α ∈ L éäé .àìù çéðð .L ìòî ÷éøô éà f = Xp −X − a :á áìù

éë ,åìù ùøåù ,σ(α)− α ,(1) éôì .g(X) = Xp −X − (βp − β) ∈ L[X] éäé

.(σ(α)− α

)p − (σ(α)− α

)− (βp − β) =

(σ(αp)− αp

)−(σ(α)− α

)−

(σ(a)− a

)=

σ(αp − α− a)− (αp − α− a) = σ(0)− 0 = 0

,p äìòîî íåðéìåô ìù íéðåù íéùøåù p äìà .0 ≤ i < p ìëì ,β + i íâ ïëìå ,åìù ùøåù β íâ ìáà

ìáà .T(σ(α) − α

)= T (β + i) ïàëî .σ(α) − α = β + i-ù êë i ùé ïëì .åéùøåù ìë íä ïëì

,T (β+i) = T (β)+pni = 1+0 = 1 åìéàå T(σ(α)−α

)= T

(σ(α)

)−T (α) = T (α)−T (α) = 0

.÷éøô éà f ïëì .äøéúñ

.L′ = L(α) øéãâð (.úéìîøåð L′/K-ù íéòãåé åððéà ïééãò äæ áìùáù áì íéùì ùé) .úéìâòî L′/K :â áìù

(1) éôì .äãéøô L′/K ,äàåìâ L/K ,L′/L-ù ïåéë .[L′ : K] = pn+1 ïëì ,[L′ : L] = p æà

,(α+ β)p − (α+ β) = αp − α+ βp − β = a+ βp − β = σ(a)

L′ ìù σ′ íæéôøåîåèåàì σ úà áéçøäì ïúéð ïëì .σ(f) = Xp −X − σ(a) ∈ L[X] ìù ùøåù α + β ïëì

.σ′(α) = α+ β-ù êë

æà .L′′ åäùìë äãù øåáò ,σ: L′ → L′′ úåãù íæéôøåîåæéàì σ úà áéçøð íãå÷ :èåøéô øúéá)

.σ(f) ìù ùøåù α + β íâ .σ(f) ìù ùøåù σ(α) ,f ìù ùøåù α-ù ïåéë .L′′ = σ(L(α)

)= L

(σ(α)

)äéö÷åãðéàá (.σ′ = σ2 σ øéãâð .σ2

(σ(α)

)= α+ β-ù êë σ2: L

′′ → L′ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïëì

.(σ′)j(α) = α+ β + σ(β) + · · ·+ σj−1(β)

ïëì ,(σ′)pn |L = σp

n

= 1 ìáà .(σ′)pn = 1 ïëìå ,(σ′)p

n

(α) = α + T (β) = α + 1 = α èøôá

ïëì ;ordσ′ ∤ pn êà ,ordσ′|pn+1 ,øîåìë .(σ′)pn+1

=((σ′)p

n)p= 1 ïàëî .(σ′)p

n ∈ Gal(L′/L)

.ordσ′ = pn+1

Gal(L′/E) = ⟨σ′⟩-å äàåìâ L/E ,ïéèøà ìù äîìä éôì .⟨σ′⟩ ìù úáùä äãù K ⊆ E ⊆ L′ éäé

.E = K ïëì ,[L′ : E] = |⟨σ′⟩| = pn+1 = [L′ : K] èøôá .pn+1 øãñî úéìâòî

35

ïîéø ìù íåé÷ä èôùî .8

øãñ øçáðå ,P = P1C = C ∪· ∞ ïîñð .ζn = exp

2π√

−1

n éäé n ∈ N ìëì ,íéáëåøîä íéøôñîä äãù C éäé

.åæ äöåá÷ ìò áåè

.E = C(z) éäéå ,C ìòî éèðãðöñðøè z éäé

úëøòî àéä (Cp)p∈P-å ,úéôåñ äøåáç G øùàá ,T = (G, (Cp)p∈P) âåæ àåä úåôòúñä ñåôéè (à) :8.1 äøãâä

.p ìë èòîë øåáò Cp = 1-ù êë ,G-á úåãéîö úå÷ìçî ìù

Cp-å G = Gal(F/E) øùàá ,(G, (Cp)p∈P) àåä F/E úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñää ñåôéè (á)

.((à)2.3 äøãâä) F/E-á p ìù ä÷ìçîä

úåøåáç ìù íæéôøåîåæéà àåä (G, (Cp)p∈P) → (G′, (C ′p)p∈P) úåôòúñä éñåôéè ìù íæéôøåîåæéà (â)

.p ∈ P ìëì φ(Cp) = C ′p-ù êë φ: G→ G′

úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñä ñåôéèì éôøåîåæéà àåä íà E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð úåôòúñä ñåôéè (ã)

.E ìù

T -úëîåú (gp)p∈Pù øîàð .gp ∈ Cp éäé p ∈ P ìëì .úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :8.2 äøãâä

íà

.p ∈ P ìëì gp ∈ Cp (à)

;G = ⟨gp| p ∈ P⟩ (á)

.∏p∈P gp = 1 (â)

úúá P úà óéìçäì øùôà äøãâäá (â) ,(á) íéàðúá ïëì .p ìë èòîë øåáò gp = 1 æà gp ∈ Cp íà :8.3 äøòä

.äìù úéôåñ äöåá÷

:äæ øãñá éåìú åðéà T -úëîåú úëøòî ìù íåé÷ä ìáà .P ìò øãñá äéåìú (â) éàðúá äìôëîä

êë g′1, . . . , g′n ∈ G ùé æà .äøåîú σ ∈ Sn éäú .g1, . . . , gn ∈ G åéäéå úéôåñ äøåáç G éäú :8.4 ìéâøú

íéé÷úîù

,i ìëì gσ(i) -ì ãåîö g′i (à)

,⟨g′1, . . . , g′n⟩ = ⟨g1, . . . , gn⟩ (á)

.g′1 · · · g′n = g1 · · · gn (â)

íéôåìéç ìù äáëøä àéä Sn-á äøåîú ìëù ïååéë ,1 ≤ i ≤ n − 1 øùàá ,σ = (i i+1) éë çéðäì éã :äçëåä

,íéé÷úî (à) æà .j = i, i+ 1 ìëì g′j = gj -å ,g′i = gi+1, g

′i+1 = g−1

i+1gigi+1 øéãâð .äìàë

,g′1 · · · g′n = g1 · · · gi−1gi+1(g−1i+1gigi+1)gi+2 · · · gn = g1 · · · gn

.íéé÷úî (â) ïëìå ,⟨g′i, g′i+1⟩ = ⟨gi+1, g−1i+1gigi+1⟩ = ⟨gi, gi+1⟩-ù úåàøì ì÷å

36

ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî

.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íàE = C(z)

.E ìòî äàåìâ úøåáç àéä G úéôåñ äøåáç ìë :8.6 äð÷ñî

æà .gr = g−1r−1 · · · g

−11 ∈ G øéãâð .G = ⟨g1, . . . , gr−1⟩-ù êë g1, . . . , gr−1 ∈ G øçáð :äçëåä

úåôòúñä ñåôéè øéãâð .úåðåù p1, . . . , pr ∈ P øçáð .∏ri=1 gi = 1-å G = ⟨g1, . . . , gr⟩ íéé÷úî

íà Cp = 1-å .i = 1, . . . , r ìëì gi ìù úåãéîöä ú÷ìçî àéä Cpi :àáä ïôåàá T = (G, (Cp)p∈P)

.E ìòî ùåîéî T -ì ùé èôùîä éôì ïëì .T -úëîåú (gp)p∈P æà .p /∈ p1, . . . , pr

.úåçôì úåãå÷ð éúùá úôòåñî F/E æà .F = E ,úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú :8.7 äð÷ñî

ïååéë .(gp)p∈P úëîåú úëøòî åì ùé èôùîä éôì .F/E ìù úåôòúñää ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :äçëåä

.gq = 1-ù êë q = p ,q ∈ P ùé ,∏p gp = 1-ù ïååéë .gp = 1-ù êë p ∈ P ùé ,1 = G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù

.úåôòåñî p, q ïëìå ,Cp, Cq = 1 æà

37

(äøé÷ñ) ïîéø ìù íåé÷ä èôùî ìù äçëåä .9

ìù äçëåää úà øå÷ñð äæ ÷øôá .P = P1C = C ∪· ∞ éäé

ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî

.∏p∈P gp = 1-å ,G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù êë ,p ∈ P ìëì ,gp ∈ Cp ùé íà ÷øå íàE = C(z)

:íéàá íéîåçúä úùåìù ïéá íéøù÷ä ìò úññåáî äçëåää

;íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ ééåñéë (à)

;ïîéø éçèùî ìùà äàåìâ ééåñéë (á)

.úåãù ìù äàåìâ úåáçøä (â)

:(êùîäá åúåà øéáñð êà) çéëåð àì åúåà ,àáä èôùîä ìò êîúñð ïë åîë

äðééäúå c1 . . . cn ∈ S åéäé .éè÷ôîå÷ ïîéø çèùî S éäé :(úéèéìðà äñøâ– ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 9.1 èôùî

.i = 1, . . . , n ìëì ,ψ(pi) = ci-ù êë S ìò ψ úéôøåîåøéî äéö÷ðåô úîéé÷ æà .úåðåù p1, . . . , pn ∈ S

.íééâåìåôåè íéáçøî ìù íééåñéë

Ui ìëù êë X =∪i∈I Ui çåúô éåñéë ìòá ,øéù÷ óøåãñåàä áçøî àåä X éâåìåôåè áçøî ìë äæ ÷ìçá

øù÷ èåùÀôå úéúìéñî øéù÷ àåä X-ù çéðäì éã äùòîì) .úéúìéñî øéù÷ X æà .øåùéîá çåúô ìåâéòì éôøåîåàéîåä

.úéôåñ äöåá÷ P øùàá ,X = P∖P :úéñåôéè äîâåã (.éîå÷î ïôåàá

äçåúô äáéáñ ùé p ∈ R ìëìå ìò äðéä f íà éåñéë àéä íééâåìåôåè íéáçøî ìù f : S → R ä÷úòä :9.2 äøãâä

íæéôøåîåàéîåä àåä Ui-ì f ìù íåöîöäå äçåúô Ui ìë øùàá ,f−1(U) =∪· i∈I Ui-ù êë U ⊆ R äøéù÷å

.i ∈ I ìëì ,Ui → U

éùîî r > 0 øùàá ,S0 = z ∈ C| 0 < |z| < r1e ,R0 = z ∈ C| 0 < |z| < r åéäé :9.3 äîâåã

.éåñéë f0 æà .f0(z) = ze ãé ìò äðåúð f0: S0 → R0 éäú .e ∈ N-å

:äàáä äðòèä ìò úåññåáî ,êùîäá äçëåä àìì úåîåùøù ,f : S → R éåñéë ìù úåáø úåðåëú :9.4 äøòä

S ìò äãéçé äìéñîì äîøäì úðúéð R-á p′-ì p-î äìéñî ìë æà .q ∈ f−1(p) ⊆ S éäéå p, p′ ∈ R åéäé

.(q′ ∈ f−1(p′) äæéàá úîééúñîå) q-á äìéçúîù

.íééâåìåôåè íéáçøî ìù éåñéë f : S → R éäé :9.4 äøãâä

äìòîä úàø÷ð àéä .äîöåò äúåà ìòá àåä áéñ ìë .p ∈ R øùàá ,f−1(p) äøåöäî äöåá÷ àåä f ìù áéñ (à)

.deg f ïîåñúå f ìù

.Aut(f) = Aut(S/R) = g: S → S| f g = f, íæéôøåîåàéîåä g äøåáçä àéä f ìù äøåáçä (á)

.g = 1 æà ,S-á äãå÷ð òáå÷ g ∈ Aut(f) íà .f ìù áéñ ìë ìò úìòåô àéä

38

æà .f ìù (åäùìë ïëìå ,ãçà) áéñ ìò éáéèéæðøè ïôåàá úìòåô Aut(f) íà äàåìâ éåñéë àåä f -ù øîàð (â)

.|Aut(f)| = deg f

,σ éãé ìò úøöåð Aut(f0) ∼= Z/eZ-å ,äàåìâ éåñéë àéä 9.3 äîâåãá f0: S0 → R0 ä÷úòää (à) :9.5 äøòä

.σ(z) = ζez øùàá

.S0-ì éôøåîåàéîåä àåä R0 ìù e äìòîî äàåìâ éåñéë ìëù úåàøäì øùôà (á)

éôåìéç íéùøú íéé÷ æà .N ◁ G éäú .G = Aut(f) éäúå äàåìâ éåñéë f : R→ R éäé :9.6 äðòè

Rf //

h

##GGG

GGGG

GGR

S = R/N

f

;;wwwwwwwww

.Aut(f) = G/N ,äàåìâ éåñéë àåä f -å íééâåìåôåè íéáçøî ìù äðîä ú÷úòä àéä h åá

,êôéäì .íéðåúð äàåìâ ééåñéëî íéùãç äàåìâ ééåñéë ìá÷ì øùôà äæä ïôåàá

äàåìâ éåñéë ìëù êë ,f : R → R (øù÷ èåùô) éìñøáéðåàä éåñéëä ,ãçà äàåìâ éåñéë íéé÷ R ìëì :9.7 èôùî

.éôåìéç ìéòì íéùúøäù êë h: R→ S éåñéë íéé÷ ,øîåìë ,åìù äðî àåä f : S → R

[ω] äéôåèåîåää úå÷ìçî ,÷åéã øúéá) ω íéìåìñîä ìë óñåà àåä R ,äöåá÷ë .p0 ∈ R øçáð :úé÷ìç äçëåä

æà .éâåìåôåè áçøî àåä R äîéàúî äéâåìåôåèá .ω ìù óåñä úãå÷ð àéä f([ω])-å ,R-á úåãå÷ðì p0-î (íäìù

ìò úìòåô àéäå (R ìù úéãåñéä äøåáçä) p0-ì p0-î íéøåâñä íéìåìñîä ìë úöåá÷ àéä Aut(f) = π1(R, p0)

.γ(ω) = ω γ éãé ìò R

êë p ∈ S øçáð :àáä ïôåàá h: R → S øéãâð .Aut(f) éäú ,äàåìâ éåñéë f : S → R éäé

úãå÷ð úåéäì h(ω) øéãâðå S êåúá p-î ωS ìåìñîì åúåà íéøð .R êåúá p0-î ìåìñî ω ∈ R éäé .f(p) = p0-ù

.f h = f æà .åìù íåéñä

:àáä ïôåàá :θ: π1(R, p0) = Aut(f)→ Aut(f) úåøåáç ìù íæéôøåîéôà äøùî h: R→ S éåñéëä

,h(γ) ∈ f−1(p0) æà .γS ìù íåéñä úãå÷ð h(γ) éäúå ,S êåúá p-î åìù äîøää γS éäú ,γ ∈ π1(R, p0) éäé

ùé íà ÷øå íà h(ω) = h(ω′)-ù úåàøì ì÷ .θ(γ) = τ øéãâð .h(γ) = τ(p)-ù êë ãéçé τ ∈ Aut(f) ùé ïëì

.S = R/Ker(θ) ïëì .θ(γ) = 1-å ω′ = ω γ-ù êë γ ∈ π1(R, p0)

ìëì ,ïåòùä ïååéë ãâð ïååéëá p áéáñ γp úåàìåì éãé ìò úøöåð π1(R, p0) æà R = P∖P íà (à) :9.8 äøòä

|P | − 1 ìò úéùôçä äøåáçä àéä π1(R, p0) ïëì .(íéàúî øãñá)∏p γp = 1 àåä ïäéðéá ãéçéä ñçéäå ,p ∈ P

.äãîöää éãë ãò àéä γp íéøöåéä ìù äøéçáä .íéøöåé

ìù äçëåäá íæéôøåîéôàä θ: π1(R, p0) → G éäé ,G äøåáç íò äàåìâ éåñéë f : S → R íà (á)

.(Cp = 1 éäé p /∈ P øåáò) .p ∈ P ìëì ,áèéä úøãâåî θ(γp) ìù Cp ä÷ìçîä æà .9.7 èôùî

39

ïè÷ r > 0 øåáò ,9.3 äîâåãá åîë R0 éäé .p = 0 çéðð úåèùô íùì :Cp ìù (äìå÷ù) úôñåð äøãâä

äøåáçä .íéàúî e øåáò S0-ì íééôøåîåàéîåä íìåë ,íéøéù÷ éà íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(R0) æà .÷éôñî

øéù÷ áéëøî øçáð .z 7→ ze éãé ìò äðåúðä f0: S0 → R0 ä÷úòää àéä S0-ì f ìù íåöîöä .íúåà äøéîúî G

øöåéä σ éäé .Aut(f0) àéäå úéìâòî àéä .G ìù äøåáç úú àåä S0 ìù g ∈ G| g(S0) = S0 æà .S0 ãçà

.σ ìù ä÷ìçîä àéä Cp æà .(á)9.5 äøòäá øãâåäù éôë ,äìù ãçåéîä

ãçåéîä øöåéä .g ∈ G øùàá ,g(S0) äøåöäî àåä øçà øéù÷ áéëøî ìë :S0 úøéçáá äéåìú äðéà åæ äøãâä

.σ ìù ãåîö ,gσg−1 àåä åì êééåùîä

.S/R ìù (G, (Cp)p∈P) úåôòúñää ñåôéè åðøãâä äæë ïôåàá ,úéôåñ äìòîî f íà

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë ìù úåôòúñää ñåôéèë ùåîéîì ïúéð (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :9.9 èôùî

.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íà

øéãâð .γp 7→ gp éãé ìò θ: π1(R, p0)→ G íæéôøåîéôà äøéãâî àéä ,(gp)p∈P úëîåú úëøòî ùé íà :äçëåä

.S = R/Ker θ

úåøéãâî G = Aut(f)-á γp ìù úåðåîúäå R → R ìù äðî àåä ,äàåìâ éåñéë f : S → R íà ,êôéäì

.úëîåú úëøòî

,∞ = p ∈ P éäé .éôåñ äàåìâ éåñéë f : S → R éäé .R = P∖P éäéå úéôåñ P ⊆ P éäú

æà ;íéôñåð P éøáà ìéëî åðéà D(p, r)-ù êë r ñåéãøá p áéáñ çåúôä ìåâéòä D(p, r) ⊆ C éäéå

íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(D(p, r)∖p

),9.5 äøòä éôì .V = D(0, r

1e ) éäé .D(p, r)∖p ⊆ R

íâ ïåëð äæ) .z 7→ p+ ze àåä V ∖0-ì f ìù íåöîöäå V ∖0-ì éôøåîåàéîåä åðéä íäî ãçà ìëå íéøéù÷

(.z 7→ 1ze ç÷éð z 7→ p+ ze íå÷îáå D(p, r) = z ∈ P| | 1z | < r íà ,p =∞ øåáò

ìá÷ð æà .íàúäá f úà áéçøðå ,V -á V ∖0 úà ,D(p, r)-á D(p, r)∖p úà óéìçð p ∈ P ìëì

.f : S → R ìù äîìùää ,f : S → P ä÷úòä

äáçøäì ïúéð h ∈ Aut(S/R) ìë .ìòå äôéöø àéä f : S → P ,øéù÷ óøåãñåàä éè÷ôîå÷ àåä S áçøîä :9.10 äðòè

.f h = f -ù êë h: S → S íæéôøåîåàéîåäì ãéçé ïôåàá

.ïîéø éçèùî ìù íééåñéë

,Φ = φi: Vi → Uii∈I äçôùî íò ,X øéù÷å óøåãñåàä éâåìåôåè áçøî àåä ïîéø çèùî :9.10 äøãâä

φi ,äçåúô Ui ⊆ C ,äçåúô Vi ⊆ X ,i, j ∈ I ìëìå X =∪i∈I Vi øùàá (φi úåôî ìù) (ñìèà)

40

:úéôøåîåìåä àéä φj φ−1i ä÷úòää i, j ∈ I ìëìù êë ,íæéôøåîåàéîåä

Vi ∩ Vj

φiwwoooooo

ooooo φj

''OOOOO

OOOOOO

Ui ⊇ φi(Vi ∩ Vj)φjφ−1

i

// φj(Vi ∩ Vj) ⊆ Uj

.úéáøî Φ ç÷ð ,ïéôåìçì .úåìé÷ù ú÷ìçîá Φ óéìçäì êéøöå íéìå÷ù (X,Φ), (X,Φ′) æà Φ ⊆ Φ′ íà ,÷åéã øúéá

,φ1 = id: C → C úåôîä íò ,P = C ∪ (C× ∪· ∞) :ïîéø øåãë ,P = P1C = C ∪· ∞ :9.11 äîâåã

.( 1∞ = 0) φ2 = 1

z : C× ∪· ∞ → C

,φi: Vi → Uii∈I ,φj : V ′j → U ′

jj∈J íééáøî íéñìèà íò ,ïîéø éçèùî X,X ′ åäé :9.12 äøãâä

ψ äðåúçúä ä÷úòää æà ,f(Vi) ⊆ V ′j íà :úîéé÷î àéä íà úéèéìðà úàø÷ð f : X → X ′ ä÷úòä .äîàúäá

úéôøåîåìåä àáä íéùøúá

Vi

φi

f // V ′j

φ′j

φi(Vi)

ψ // φ′j(V

′j )

.∞ êåúì X úà ä÷éúòî äððéàå úéèéìðà àéä íà úéôøåîåøéî úàø÷ð f : X → P ä÷úòä

,f(Vi) ⊆ V ′j ,p ∈ Vi-ù êë i, j ìëìå p ∈ X ìëì íà ÷øå íà úéôøåîåøéî àéä f : X → P (à) :9.13 äøòä

.x ∈ V ìëì ψ(φi(x)

)=

∑∞n=N an

(φi(x)− φi(p)

)níéé÷úî äá V ⊆ Vi äáéáñ ùé

.∞ êøò úìá÷î àéä ïäá úåãå÷ð ,øîåìë ,íéáè÷ ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé úéôøåîåøéî äéö÷ðåôì (á)

C úà ìéëî àåä .M(X) ïîåñé .äãù àåä X ïîéø çèùî ìò úåéôøåîåøéîä úåéö÷ðåôä ìë óñåà (â)

.(úåòåá÷ä úåéö÷ðåôä=)

.g 7→ gf éãé ìòM(X ′)→M(X) úåãù ïåëéù äøùî ìò äðéäù f : X → X ′ úéèéìðà ä÷úòä (ã)

áì íéù .C(z) ⊆ M(P) ïàëîå ,z ∈ M(P) ïëì .úéôøåîåøéî àéä z: P → P úåäæä ú÷úòä :9.14 äîâåã

.C(z) =M(P) éë äàøð .úéøáâìà øåâñ C-å z /∈ C éë ,C ìòî úéèðãðöñðøè z-ù

p1, . . . , ps åéäé .(f−1-á f úà óéìçð úøçà) f ìù áèå÷ åðéà∞ úåéììëä úìáâä éìá .f ∈M(P) éäú

æà .íééìéìù íéëéøòî íò pi áéáñ f ìù ïTåì çåúéôá íéøáéàä ìù íåëñä fi éäé 1 ≤ i ≤ s ìëì .äéáè÷ ìë

.äòåá÷ g ,ìéáåéì èôùî éôì .íéáè÷ àììå úéôøåîåøéî äðéä g = f −∑i fi-å ,pi-á ÷ø áèå÷ äì ùé ,fi ∈ C(z)

.f = g +∑i fi ∈ C(z) ïëì

41

éäú .úéôåñ P ⊆ P øùàá ,f : S → R = P ∖ P éôåñ äàåìâ éåñéë ìù äîìùää f : S → P éäú :9.15 èôùî

æà .H = Aut(S/R)

.úéèéìðà ä÷úòä f -å ïîéø çèùî S (à)

äáçøää éãé ìò H ∼= Aut(S/P) æà Aut(S/P) = g: S → S| f g = f , úéèéìðà-éá f ïîñð (á)

.h 7→ h

.φ 7→ φ f éãé ìòM(R)→M(S) úåãù ïåëéù äøùî f (â)

M(S) ìù íæéôøåîåèåà àéä ψ 7→ ψ h−1 ãé ìò úøãâåîä ιh:M(S) →M(S) ä÷úòää h ∈ H ìëì (ã)

.M(R) ìòî

.íæéôøåîåæéà àéä ι: H → Gal(M(S)/M(R))-å äàåìâ úáçøä àéäM(S)/M(R) (ä)

Gal(M(S)/M(R))-á p ìù ä÷ìçîä ìò H -á p ìù ä÷ìçîä úà ä÷éúòî ι ä÷úòää p ∈ P ìëì (å)

.(å) ,(á) ,(à) úà çéëåð àì .íéøåøá (ã) ,(â) :äçëåä

àåä G ìù úáùä äãùù äàøð .åúðåîú G éäú .ι: H → AutM(S)) íæéôøåîåîåä àåä ι-ù øåøá (ä)

.M(R)

éäé .φ ∈ M(R) øùàá ,φ f äøåöäî àåäM(R) ìù øáéà ìù äðåîú åðéäùM(S) ìù øáéà ,ïëà

.ιh(φ f) = φ f h−1 = φ f ïëì ,f h−1 = f æà .h ∈ H

äøåöäî àåä f ìù áéñ ìëù ïååéë .h ∈ H ìëì ψ h = ψ-ù êë ψ ∈ M(S) éäé ,êôéäì

äéö÷ðåô äøéãâî ψ ïëì .p ∈ R øùàá ,h−1(p) áéñ ìë ìò äòåá÷ àéä ψ-ù àöåé ,h(q)| h ∈ H

q ∈ S ìù V äçåúô äáéáñå R-á U äçåúô äáéáñ åì ùé æà p ∈ R íà .ψ = φ f -ù êë φ: R→ P = R

φ ïëì .U ìò úéôøåîåøéî φ íâ ,V ìò úéôøåîåøéî ψ-ù ïååéë .éèéìðà íæéôøåîåàéîåä f : V → U -ù êë p ìòî

.φ ∈M(R) ,ïîéø ìù äáçøää èôùî éôì .R ìò äôéöø φ ïë åîë .R ìò úéôøåîåøéî

àåäù äàøð .íæéôøåîéôà ι ïëì .ι(G) äàåìâ úøåáç íò äàåìâ àéäM(S)/M(R) ïéèøà ìù äîìä éôì

êë ψ ∈ M(S) ùé 9.1 èôùî éôì .h−1(q) = q-ù êë q ∈ S ùé æà .1 = h ∈ H éäé .éëøò-ãç-ãç

.ιh = 1 ,øîåìë ,ψ h−1 = ψ ïëì .ψ(h−1(q)) = ψ(q)-ù

.E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð T æà .T -úëîåú úëøòî ìòá úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :9.16 äð÷ñî

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë íéé÷ 9.9 èôùî éôì .P = p ∈ P| Cp = 1 éäú :äçëåä

.M(S)/C(z) ùåîéîì ïúéð àåä 9.15 èôùî éôì .f : S → R := P∖P

íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéëå úéôåñ P ⊆ P ùé æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/C(z) éäú :9.17 èôùî

.M(S) ∼=C(z) F íæéôøåîåæéà íéé÷ù êë f : S → R := P ∖ P

úìáâä éìá .q(α) = 0 ,÷éøô éà íåðéìåô q ∈ C(z)[X] éäéå C(z) ìòî éáéèéîéøô øáéà α ∈ F éäé :äçëåä

ìë úàå ∞ úà úììåëù úéôåñ P ⊆ P éäú .n = degX q éäé .ï÷åúî q = q(z,X) ∈ C[z][X] úåéììëä

42

íéùøåù n ÷åéãá åì ùé ,øîåìë ,ãéøô q(p,X) íåðéìåôä p ∈ P∖P ìëì æà .Dnq äèððéîéø÷ñéãä ìù íéùøåùä

éäú .C-á íéðåù

S′ = (u, v1, . . . vn) ∈ Cn+1|∏i=j

(vi − vj) = 0 ,i ìëì q(u, vi) = 0 ,u ∈ P∖P

äøåáçä .äôéöø àéä f : S′ → P∖P äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää .Cn+1-î úéøùåîä äéâåìåôåèä íò

úåéôøåîåìåä úåéö÷ðåô n ùé x0 ∈ P∖P ìëì .v1, . . . , vn ìù äøîúä éãé ìò ,S′ ìò úìòåô Sn úéøèîéñä

ìëì .q(x,X) ìù íéðåùä íéùøåùä ìë íä ψ1(x), . . . ψn(x)-ù êë x0 ìù U äáéáñá úåøãâåî ,ψ1, . . . , ψn

f ìù íåöîöäå f−1(U) =∪· σ Vσ æà .Vσ = (x, ψσ(1)(x), . . . , ψσ(n)(x))| x ∈ U éäú σ ∈ Sn

.Vσ → U íæéôøåîåàéîåä àåä Vσ-ì

ìù äàåìâ éåñéë àåä S-ì f ìù íåöîöä æà .S′ ìù øéù÷ áéëøî S éäé .øéù÷ áçøî åðéà S′-ù ïëúé

úåéö÷ðåô ïä úåðåøçàä úåèðéãøåàå÷ä n ìò g1, . . . , gn: S → C úåìèää .f : S → P∖P íééâåìåôåè íéáçøî

.q(z,X) ìù íéùøåù ïäå ,S ìù S äîìùää ìò úåéôøåîåøéî

,(ä)9.15 èôùî éôì ,ïëà .C(z) =M(P) ìòîM(S) úà úåøöåé äìà úåéö÷ðåô

.Gal(M(S)/C(z)) = ιh| h ∈ Aut(f)

íâ ìáà .x ∈ S ìëìå i ìëì gi(x) = gi(h−1(x)) æà .i ìëì ιh(gi) = gi-ù êë h ∈ Aut(f) éäé

ïëìå ,úåäæ S′ éøáàë x, h−1(x) ìù úåèðéãøåàå÷ä n + 1 ìë ,øîåìë .x ∈ S ìëì f(x) = f(h−1(x))

.ιh = 1 ïëì .h = 1 ïàëî .x ∈ S ìëì ,x = h−1(x)

.M(S) ∼=C(z) F ïàëî .C(z) ìòî q(z,X) ìù ìåöéôä äãù àåäM(S) ïëì

43

úåéôåñåøô úåøåáç .10

áçøî (G, T )-ù êë G äöåá÷ä ìò T äéâåìåôåè íò ãçé G äøåáç àåä (G, T ) .úéâåìåôåè äøåáç :10.1 äøãâä

äðåúðä) g → G éëôåää ú÷úòäå ((g1, g2) 7→ g1g2 éãé ìò äðåúðä)G×G→ G äìôëîä ú÷úòäå óøåãñåàä

.úåôéöø ïä (g 7→ g−1 éãé ìò

.(úåøåâñ) úåçåúô Ug, gU, U−1 æà g ∈ G-å (äøåâñ) äçåúô U ⊆ G íà .úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.2 ìéâøú

.H ≤ G ,úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.3 äîì

.äøåâñ íâ H æà ,äçåúô H íà (à)

.äçåúô íâ H æà (G : H) <∞-å äøåâñ H íà (á)

.(G : H) <∞ æà ,äçåúô H -å úéè÷ôîå÷ G íà (â)

æà .Hgi0 = H-ù êë ãéçé i0 ∈ I ùéå ,|I| = (G : H) øùàá ,G =∪· i∈I Hgi íéé÷úî :äçëåä

.äøåâñ H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äçåúô

∪· i =i0 Hgi (à)

.äçåúô H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äøåâñ

∪· i=i0 Hgi (á)

ìáà .G =∪· i∈J Hgi-ù êë úéôåñ J ⊆ I ùéù G =

∪· i∈I Hgi êåúî òáåð úåéè÷ôîå÷ä ììâá (â)

.I = J ïëì ,úå÷éø àì úåöåá÷ ìù øæ ãåçéà àåä ïåùàøä ãåçéà

äéâåìåôåèì ñéñá åì ùéù óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøî àéä íà ,úéôåñåøô úàø÷ð äéâåìåôåè íò äøåáç :10.4 äøãâä

.ïáåîë ,úåçåúô äìà úåøåáç úú .(úåîééåñî) úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷ä ìë ìù

!÷åãá .äøãâääî òáåð äæ éë ,úåôéöø äðééäú úåìåòôäù úùøåã äðéà äøãâää (à) :10.5 äøòä

íà ÷øå íà äøåáçä ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéååäî úåéìîøåð úåøåáç úú ìù Nii∈I äçôùî ìù íéèñå÷ä (á)

.Nk ≤ Ni ∩Nj -ù êë k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëì

.∩i∈I Ni = 1 íà ÷øå íà óøåãñåàä äðéä (á) ÷ìçá äéâåìåôåèä (â)

.H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.6 äîì

.äçåúô (G ìò äéâåìåôåèä úà øéãâîù ñéñáäî) úéñéñá N äøåáç úú äìéëî àéä íà ÷ø íà äçåúô H (à)

.úåçåúô úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H (á)

.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H :æà H ◁ G íà (â)

N øùàá ,1N = N èñå÷ àéä åæ äáéáñ .H-á úìëåî úéñéñá äáéáñ ùé 1 ∈ H-ì ,äçåúô H íà (à) :äçëåä

.äçåúô ïëìå ,úåçåúô úåöåá÷ ìù ãåçéà H =∪h∈H hN æà ,úéñéñá N äìéëî H íà ,êôéäì .úéñéñá

úåàøäì éã .äøåâñH-ù çéðð ,êôéäì .øåâñ ïëåúéç ïëì ,((à)10.3 äîì) úåøåâñ íâ ïä úåçåúô úåøåáç úú (á)

.g /∈ H ′-å H ≤ H ′-ù êë ,äçåúô H ′ ≤ G ùé g ∈ G∖H ìëìù

44

H úà äìéëî ,(à) éôì äçåúô HN æà .gN ⊆ G∖H-ù êë úéñéñá N ùé ïëì ,äçåúô G∖H ,ïëàå

.äøéúñ ,h = gn−1 ∈ H ∩ gN æàå ,h ∈ H,n ∈ N øùàá g = hn úøçà ,g /∈ HN ìáà

.HN ◁ G æà H ◁ G íà :(á) ÷ìçá åîë (â)

(.úéèø÷ñéã àéä úéôåñ äøåáç ìë êùîäá) .úéôåñåøô àéä úéèø÷ñéã úéôåñ äøåáç ìë (à) :10.7 úåàîâåã

äàåìâ úåáçøä úçôùî L éäú .G = Gal(N/K) éäúå (úéôåñ çøëäá àì) äàåìâ úáçøäN/K éäú (á)

.σGal(L)| σ ∈ G, L ∈ L :àáä ñéñáä éãé ìò äéâåìåôåè G ìò øéãâð .N -á úåìëåîä K ìù úåéôåñä

.Gal(L) ≤ Gal(L1)∩Gal(L2) æà .L = L1L2 ∈ L éäé ,L1, L2 ∈ L íà :íéé÷úî (á)10.5 éàðú

ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä .äôéöø àéä G → Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä L ∈ L ìëì

àéä äìù äðåîúä .úéëøò-ãç-ãç ä÷úòää ,∪L∈L L = N -ù ïååéë ρ: G →

∏L∈L Gal(L/K) äôéöø

éë ,íæéôøåîåàéîåä àåä ρ: G → Z ,ïë ìò øúé .Z = (σL)L∈L| L ⊆ M ⇒ σM |L = σL

.óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ Z-ù ÷åãáì øàùð ïëì .ρ(σGal(N/L)) =(σ|L×

∏L =M∈L Gal(M/K)

)∩Z

L ⊆ M ùé æà .(σL)L∈L ∈∏L∈L Gal(L/K)∖Z éäé :çåúô äìôëîá Z ìù íéìùîäù äàøð

ïëì ,τM = σM -å τL = σL úåéììëä úìáâä éìá æà ,(σL)L∈L-ì áåø÷ (τL)L∈L íà .σM |L = σL-ù êë

.(τL)L∈L /∈ Z íâ æà .τM |L = τL

úúå ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä íééè÷ôîå÷ óøåãñåàä éáçøî ìù äìôëîäù ïååéë .äìôëîá äøåâñ Z êë éôì

.úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä Z æà ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä éè÷ôîå÷ óøåãñåàä áçøîá äøåâñ äöåá÷

.úéôåñåøô äøåáç àéä Gal(N/K) äæ ïôåàá

àéä Gal(N/K) ìù H äøåáç úú :10.8 äð÷ñî

.N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E øùàá ,H = Gal(N/E) íà ÷øå íà äçåúô (à)

.N -á úìëåî K ìù äãéøô äáçøä F øùàá ,H = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ (á)

π: Gal(N/K) → Gal(L/K) éäú .Gal(N/L) ≤ H-ù êë L ∈ L ùé æà ,äçåúô H íà (à) :äçëåä

H ≤ Gal(L/K) äøåáç úú ùé éùéìùä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Kerπ æà .íåöîöä ú÷úòä

ïëì .H = Gal(L/E)-ù êë K ⊆ E ⊆ L ùé äàåìâ úøåú éôì .H = π−1(H)-ù êë

.H = π−1(Gal(L/E)) = Gal(N/E)

æà .N -á äìù äàåìâ øåâñ L ∈ L éäé .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú ,êôéäì

.äçåúô Gal(N/E) ïëì ,(Gal(N/L) ≤ Gal(N/E)

äãùá ìëåî E íà ÷ø íà H ≤ Gal(N/E) æà .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú (á)

.H =∩E⊆F Gal(N/E) = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ H ïëì .H ìù F úáùä

F 7→ Gal(N/F ) æà .G = Gal(N/K) éäúå äàåìâ úáçøäN/K éäú :(úéôåñðéà äàåìâ úøåú) 10.9 èôùî

éãé ìò äðåúð äëåôää äîàúää .G ìù úåøåâñä úåøáç-úúä ïéáì N/K ìù íééðéáä úåãù ïéá úéëøò-ãç-ãç äîàúä àéä

.G ìùH äøåâñ äøåáçúú ìù úáùä äãùNH øùàá ,H 7→ NH

45

Ks øùàá ,Gal(Ks/K) úéôåñåøôä äøåáçä àéä K äãù ìù Gal(K) úèìçåîä äàåìâ úåøáç :10.10 äøãâä

.K ìù ãéøôä øåâñä

.úéôåñåøô äøåáç àéä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äøùé äìôëî :10.11 äð÷ñî

.úåéôåñåøô Gi øùàá ,G =∏i∈I Gi çéðð :äçëåä

øùàá ,∏j∈J Vj ×

∏i∈I∖J Gi äøåöäî úåöåá÷ ìù ñéñáä éãé ìò äðåúð G ìò äéâåìåôåèäù øåëæð

.j ∈ J ìëì ,Gj ìù Bj ñéñáá Vj -å úéôåñ äöåá÷ úú J ⊆ I

úéè÷ôîå÷ G íâ ,óøåãñåàä íééè÷ôîå÷ íéáçøî ìù äìôëîë .úåôéöø G-á äìôëîäå ìôëäù úåàøì ì÷

ìù ì"ðä ñéñáä æà .úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî Gi ìù Bi ñéñá ùé i ∈ I ìëì .óøåãñåàä

.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî íâ G

.úéôåñåøô H æà .äøåâñ H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.12 ìéâøú

óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøîá äøåâñ äöåá÷ .H ⊆ G ìò úåôéöø úåìåòô úåøùîG ìò úåôéöøä úåìåòôä (à) :äçëåä

N ◁ G íà .H ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéðúåð G ìù ñéñá éøáà ìù H íò íéëåúéçä .óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ àéä

hN ∩H = h(N ∩H) æàå ,gN = hN ïëìå ,h ∈ gN ∩H ùé æà ,ä÷éø äðéà gN ∩H-å ,g ∈ G-å äçåúô

.H-á N ∩H äçåúô úéìîøåð äøåáç úú ìù èñå÷ àéä

.úéôåñåøô äøåáç àåä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úú :10.13 äð÷ñî

.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úúì úéôøåîåæéà úéôåñåøô äøåáç ìë ,êôéäì

íéååäî ïäìù íéèñå÷äù êë G-á úåéìîøåð úåøåáç ìù äçôùî Nii∈I éäú .úéôåñåøô äøåáç G éäú :äçëåä

.äôéöø àéä G→ G/Ni äðîä ú÷úòäå úéôåñ àéä G→ G/Ni äðîä i ∈ I ìëì æà .G ìò äéâåìåôåèì ñéñá

.G→∏i∈I G/Ni äôéöø ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä

æà äàåìâ úáçøä N/K íàù åðéàø (á)10.7 äîâåãá :10.14 äøòä

.Gal(N/K) ∼=(σL)L∈L ∈

∏L∈L

Gal(L/K)∣∣σM |L = σL

(= Z)

.(äðîä úééâåìåôåèá) úéôåñåøô G/K æà .äøåâñ K ◁ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.15 ìéâøú

U ⊆ G :äðîä úééâåìåôåè àéä G ìò äéâåìåôåèä .äðîä ú÷úòä π: G → G éäúå G = G/K éäú :äçëåä

.úéè÷ôîå÷ G íâ ,ìò π-å úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë .äçåúô π−1(U) ⊆ G íà ÷øå íà äçåúô

,(â)10.6 äîì éôìå íééôåñ íéëåúéç úçú äøåâñ N æà .N = N ◁ G| K ≤ N, äçåúô N ïîñð

èôùî éôì ïëì .G-á äçåúô π−1(π(N)) = N éë ,G-á äçåúô π(N) æà ,N ∈ N íà .∩N∈N N = K

úçú äøåâñ ,G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = π(N)| N ∈ N éùéìùä íæéôøåîåæéàä

46

éäùåæéàì ñéñá íéååäî N éøáà ìù íéèñå÷ä 10.5 äøòä éôì ïëì .∩N∈N π(N) = 1-å íééôåñ íéëåúéç

.äðîä úééâåìåôåè úàæù äàøð .óøåãñåàä äðéäù G ìò äéâåìåôåè

g ∈ U ùéå ,äçåúô äöåá÷ U = π−1(U) ⊆ G æà .g ∈ U éäéå äçåúô äöåá÷ U ⊆ G éäú ,ïëà

êë äçåúô N ◁ G ùé .UK = U ïëì ,π(UK) = π(U) = U -å U ⊆ UK-ù áì íéùð .π(g) = g-ù êë

.g ∈ gπ(NK) ⊆ U -å π(NK) ∈ N ïëì ,gNK ⊆ UK = U -å ,NK ∈ N úòë .gN ⊆ U -ù

äøåáç àéä Z =(a1, a2, a3, . . .) ∈

∏m∈N(Z/mZ)

∣∣ m|n ⇒ am ≡ an mod m

:10.16 äîâåã

.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëîá äøåâñ äøåáç úú àéä ,ïëà .úéôåñåøô

.Z-ì úéôøåîåæéà äðéä éôåñ äãù ìù úèìçåîä äàåìâ úøåáç :10.17 èôùî

Fs êåúá äãéçé äáçøä Fq-ì ùé n ∈ N ìëì ,òåãéë .íéøáéà q ïá äãù ,Fq ìù Fs éøáâìà øåâñ òá÷ð :äçëåä

θn: Gal(Fqn/Fq)→ Z/nZ íæéôøåîåæéà ùéå ,äàåìâ úáçøä Fqn/Fq ïë ìò øúé .Fqn äãùä àéä ,n äìòîî

éôåìéç àáä íéùøúä æà m|n íà .Frobq 7→ [1] éãé ìò ïåúðä

Gal(Fqn/Fq)θn //

Z/nZ

Gal(Fqm/Fq)

θm // Z/mZ

.θ:∏nGal(Fqn/Fq)→

∏n Z/nZ íæéôøåîåæéà úåøéãâî θn æà

.(an)n∈N| am ≡ an mod m ìò (σn)n∈N| σm = σn|Fqm úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåæéà

.äøãâää éôì ,Z-ì éðùäå ,10.14 äøòä éôì ,Gal(F )-ì éôøåîåæéà ïåùàøä

÷øå íà óéöø φ: G → A íæéôøåîåîåä æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A-å úéôåñåøô äøåáç G éäú (à) :10.17 ìéâøú

.G-á äçåúô äøåáç úú Ker(φ) íà

íà óéöø åðéä φ: Gal(N/K)→ A íæéôøåîéôà æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A éäúå äàåìâ úáçøä N/K éäú (á)

éôåìéç íéùøúå L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä úîéé÷ íà ÷øå

Gal(N/K)

res

xxpppppp

ppppp φ

$$HHH

HHHH

HHH

Gal(L/K)θ

// A

.íæéôøåîåæéà θ -å íåöîöä ú÷úòä res åá

Ker(φ)⇔ G-á íéçåúô Ker(φ) ìù íéèñå÷ä ìë⇔ a ∈ A ìëì ,äçåúô φ−1(a)⇔ óéöø φ (à) :äçëåä

.G-á äçåúô

47

óéöø φ ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) = Ker(res) = Gal(N/L) æà éôåìéç íéùøúä íà (á)

.(à) éôì

,(à)10.8 äð÷ñî éôì ,ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) ◁ Gal(N/K) æà , óéöø φ íà ,êôéäì

åðéòøâå íæéôøåîéôà res æà .K ìù úéôåñ äàåìâ úáçøä K ⊆ L ⊆ N øåáò ,Ker(φ) = Gal(N/L)

.éôåìéç íéùøúäù êë θ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Ker(φ)

.G ìù äøåáç úú àéä (G-á H ìù éâåìåôåèä øåâñä) H íâ æà .H ≤ G éäúå úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.18 ìéâøú

æà .äìù íééðéá úåãù éðù L1, L2 åéäé äàåìâ úáçøä N/K éäú :10.19 ìéâøú

,Gal(N/L1 ∩ L2) = ⟨Gal(N/L1),Gal(N/L2)⟩

.S1 ∪ S2 úà äìéëîù øúåéá äðè÷ä äøåâñä äøåáç úú úà ïîñî ⟨S1, S2⟩ øùàá

êë G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = Ni| i ∈ I éúä .úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.20 ìéâøú

-ì úéôøåîåæéà G æà .∩i∈I Ni = 1-å Nk ≤ Ni ∩Nj íéé÷îù k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëìù

.Z =(σiNi)i∈I ∈

∏i∈I

G/Ni∣∣Nj ≤ Ni ìëì σiNi = σjNi

äìàä úå÷úòää .σ 7→ σNi éãé ìò πi: G → G/Ni äôéöøä äðîä ú÷úòä úîéé÷ i ∈ I ìëì :äçëåä

ìëù äàøð .Z êåúá åúðåîúù øåøá .σ 7→ (σNi)i∈I éãé ìò π: G→∏i∈I G/Ni óéöø íæéôøåîåîåä úåøéãâî

.π(G) äðåîúá (σiNi)i∈I ∈ Z

.åëåúá äøåâñ π(G) ,óøåãñåàä àåä äìôëîä áçøîù ïååéë .úéè÷ôîå÷ π(G) íâ ,úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë

.(σiNi)i∈I ìù äçåúô äáéáñ ìëá ìëåî øîåìë ,π(G) ìù øåâñá (σiNi)i∈I -ù úåàøäì éã ïëì

øùàá ,U = (τiNi)i∈I | j ∈ J ìëì τj = σj àéä äìôëîá (σiNi)i∈I ìù úéñéñá äçåúô äáéáñ

σNj = σjNj æà .σNk = σkNk-ù êë σ ∈ G ùéå j ∈ J ìëì Nk ≤ Nj -ù êë k ∈ I ùé .úéôåñ J ⊆ I

.π(σ) ∈ U ïëì .j ∈ J ìëì

48

ïåëéù úåéòá ïåøúô .12

.úøçà øîàð íà àìà ,óéöø àåä úåéôåñåøô úåøåáç ìù íæéôøåîåîåä ìë ïìäì

ìù íéîæéôøåîéôà ìù (φ: G→ A, α: B → A) âåæ àéä G úéôåñåøô äøåáç øåáò ïåëéù úééòá :12.1 äøãâä

éôåìéç àáä íéùøúäù êë γ: G→ B íæéôøåîéôà àåä åæ äéòá ìù ïåøúô .úåéôåñåøô úåøåáç

G

γ~~~~~~~~

φ

B

α// A

(1)

àéä äéòáä

.úåéôåñ A,B íà ,úéôåñ (à)

.α(B0) = A-ù êë B0 ≨ B ïéà íà ,éðéèøô (á)

.α µ = idA-ù êë µ: A→ B íæéôøåîåîåä ùé íà ,úìöôúî (â)

úåéììëä úìáâä éìá æà (äøéúô ïåëéùä úéòá íàä àéä äìàùäå) G = Gal(K)-å äãù K íà

úåéììëä úìáâä éìá æà γ ïåøúô ùé íà .íåöîöä ú÷úòä àéä φ-å ,äàåìâ úáçøä L/K øùàá ,A = Gal(L/K)

.íéîåöîö ïä úå÷úòää ìëå K ⊆ L ⊆M -ù êë äàåìâ úáçøä M/K øùàá ,B = Gal(M/K)

.úåéôåñ ïåëéù úåéòáá ÷ø ïåãð êùîäá

.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .úéôåñðéà X äöåá÷ ìò úéùôç úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.2 äîì

.G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ, α) éäúå úéùôç äøåáçë G ìù äðáîä ú÷úòä λG: X → G éäú :äçëåä

øçáð (äìàë X éøáéà ìù éôåñ øôñî ÷ø ùéå) φ(λG(x)) = 1-ù êë x ∈ X ìëì :êë λB : X → B øéãâð

øçáð (úéôåñðéà X éë ,äìàë óåñðéà ùéå) X éøáéà øàù êåúî .α(λB(x)) = φ(λG(x))-ù êë λB(x) ∈ B

.1 ∈ B ìò ÷éúòð X éøáà øàù úà .Ker(α) ìò äúåà ÷éúòðå úéôåñ äöåá÷

íéé÷úî .λB = γ λG-ù êë γ: G → B ãéçé íæéôøåîåîåä ùé ïëì ,úéôåñ X ∖α−1B (1) æà

.α γ = φ ,(á)11.2 äøãâäá úåãéçéä éôì .φ λG = α γ λG

.úåøéúô G øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù çéðð .úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.3 äîì

.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà

B0 ≤ B øçáð .C = Kerα éäé .G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G → A, α: B → A) éäú :äçëåä

éäú .cb = b−1cb :(ïéîéî) B-á äãîöää éãé ìò C ìò úìòåô B0-å B = B0C æà .α(B0) = A-ù êë úéøòæî

àáä ìôëä íò ìáà ,B = B0 × C úéæèø÷ä äìôëîä àéä B ,äöåá÷ë :äøùé éöçä äìôëîä B = B0 ⋉ C

.(b1, c1)(b2, c2) = (b1b2, cb21 c2), b1, b2 ∈ B0, c1, c2 ∈ C

49

íæéôøåîåîåä àéä b 7→ (b, 1) ä÷úòääå íæéôøåîéôà àåä π: B → B0 äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää èøôá

.(b, c) 7→ bc éãé ìò ïåúðä β: B → B íæéôøåîéôà íéé÷ ïë åîë .π λ = idB0íéé÷úîå B0 → B

:éôåìéç àáä íéùøúä

G

φ

B

β @@@

@@@@

@π // B0 α|B0

@@@

@@@@

@

Bα

// A

àéä (ψ, π) æà .α|B0 ψ = φ-ù êë ψ: G → B0 ùé ïëì ,éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá àéä (φ, α|B0

) ,úòë

ïåøúô àåä β ρ: G → B íéùøúä éôì .π ρ = ψ-ù êë ρ: G → B0 ùé ïëì ,úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá

.(φ, α) ïåëéùä úéòá ìù

úåçåúô úåøåáç úú ùéù çéðð .úåéôåñåøô úåøåáçG,H äðééäú :(Iwasawa) 12.4 èôùî

M ′0,M

′1,M

′2, . . . ≤ G, N ′

0, N′1, N

′2, . . . ≤ H

.G ∼= H æà .äøéúôG,H øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëùå ,∩iN

′i = 1 ,

∩iM

′i = 1-ù êë

úåøãñ äéö÷åãðéàá äðáð .M ′0 = G,N ′

0 = H úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä

. . . ≤M2 ≤M1 ≤M0 = G, . . . ≤ N2 ≤ N1 ≤ N0 = H

íéé÷úîù êë ,i ≥ 0 ìëì ,θi: G/Mi → H/Ni íéîæéôøåîåæéàå úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù

,i ìëì ,Ni ≤ N ′i ,Mi ≤M ′

i (à)

éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúä (á)

G/Mi+1

θi+1 //

πi

H/Ni+1

ρi

G/Mi

θi // H/Ni

úà ÷éúòîù θ:∏∞i=0G/Mi →

∏∞i=0H/Ni íæéôøåîåæéà úåøéãâî θi∞i=0 æà

(σiMi)

∞i=0 ∈

∏i=0

G/Mi

∣∣ i ≤ j ìëì σiMi = σjMi

50

ìò(σiNi)

∞i=0 ∈

∞∏i=0

H/Ni∣∣ i ≤ j ìëì σiNi = σjNi

ùé ïëì .H = lim←

i

H/Ni ïôåà åúåàáå G = lim←i

G/Mi ,10.20 ìéâøú éôì ,ïëì ,∩iMi = 1 ,(à) éôì

.θ: G→ H íæéôøåîåæéà

.(úéìàéååéøèä äøåáçä ìù úåäæä àéä θ0-å) M0 = G,N0 = H ç÷ð i = 0 øåáò

-ù êë äçåúô K ◁ G øçáð .íæéôøåîåæéà θi: G/Mi → H/Ni -ù êë Mi, Ni, θi åðàöîù çéðð

íæéôøåîéôà ùé äçðää éôì .σK 7→ σMi íæéôøåîéôàä β: G/K → G/Mi äðééäú .K ≤ Mi ∩M ′i+1

.úéòáèä äðîä ú÷úòä φ: H → H/Ni øùàá ,(θi β) γ = φ-ù êë γ: H → G/K

(ìù éëôåää äùòîì) íæéôøåîåæéà äøùî γ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .L = Ker γ éäé

éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúäù êë θ′i: G/K → H/L

G

π

H

γ

zzuuuuu

φ

G/Kθ′i //

β

H/L

G/Mi

θi // H/Ni

(.L ≤ N ′i+1-ù çèáåî àì ìáà ,Mi+1 = K,Ni+1 = L, θi+1 = θ′i úç÷ì äéä øùôà úòë)

.H-ì G ïéá óéìçðå θ′i-á θi úà óéìçð ìáà ,úîãå÷ä äéðáä ìò øåæçð

úåøåáç úú ìù äøãñ G-ì ùéù çéðð .äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.5 äð÷ñî

ìò úéùôçä úéôåñåøôä äøåáçä ,Fω -ì úéôøåîåæéà G æà .∩iM

′i = 1-ù êë M ′

0,M′1,M

′2, . . . ≤ G úåçåúô

.X = N

úú ìù N äçôùî äì åðîàúä 11.4 èôùî ìù äçëåäá .X = N ìò úéùôçä úèùôåîä äøåáçä Φ éäú :äçëåä

ìù äçëåäá â äðòè éôì .(|N | = |X| = ℵ0 åìéôàå) |N | ≤ |X| = ℵ0 ,11.5 ìéâøú éôì .úåéìîøåð úåøåáç

äáéáñ ìëá ìëåî ïëåúéçù N = N | N ∈ N úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî Fω-ì ùé 11.4 èôùî

àì øùàë) N = N0, N1, N2, . . . áåúëì øùôà ,|N | ≤ |N | ≤ ℵ0-ù ïååéë .1 àåä ïëìå ,1 ìù äçåúô

.∩∞i=0 Ni = 1-å (úåðåù Ni úåøåáçä ìë çøëäá

.G ∼= Fω íéé÷úî Iwasawa èôùî éôì

úáçøä øöåé β åìù ùøåùù êë ÷éøô éà íåðéìåô g ∈ K(z)[X] éäéå ,åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé :12.6 äîì

.K(z) ìòî ÷éøô éà g æà .F ∩ K = K -ù çéðð .K(z) ìù F = K(z)(β) äàåìâ

51

.K êåúá K ìù ãéøôä øåâñä L éäé :äçëåä

F FL FK

K(z) L(z) K(z)

K L K

.L(z) ìòî ÷éøô éà g-ù äìéçú äàøð

ú÷úòä ,F ∩ L = K-ù ïååéë .L(z)[X]-á g′|g æà .g′ = irr(β, L(z)) ∈ L(z)[X] éäé ,ïëà

Gal(FL/F ) → íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøää àéä .ìò àéä Gal(FL/F ) → Gal(L/K) íåöîöä

íéé÷úî ,ìò äðåùàøäù ïååéë .ìò ïäéúù ïëì ,úåéëøò-ãç-ãç ïðéäù Gal(L(z))/K(z)) → Gal(L/K)

.íæéôøåîåæéà ïëìå ìò àéä Gal(FL/L(z))→ Gal(F/K(z)) íåöîöä ú÷úòäù ïàëî .F ∩L(z) = K(z)

,deg g = deg g′ íéé÷úî ,β éãé ìò L(z) ìòî úøöåð FL-ù ïååéë .[FL : L(z)] = [F : K(z)] èøôá

.L(z) ìòî ÷éøô éà g ïëì .g′ = g ,øîåìë

ïëì ,äãéøô F/K(z) äáçøää .äøåäè äãéøô éà K(z)/L(z) ïëì ,äøåäè äãéøô éà àéä K/L äáçøää

Gal(FK/K(z)) → úéëøò-ãç-ãçä íåöîöä ú÷úòä ïëì .FL ∩ K(z) = L(z) ïàëî .äãéøô FL/L(z)

ä÷ñôá åîë ,ïàëî .[FK : K(z)] = [FL : L(z)] èøôá .íæéôøåîåæéà ïëìå ,ìò äðéä Gal(FL/L(z))

.K(z) ìòî ÷éøô éà øàùð L(z) ìòî ÷éøô éà åðéäù ,g ,úîãå÷ä

øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :12.7 èôùî

.Gal(E) ∼= Fω æà ,äéðî ïá K íà ,èøôá .äøéúô Gal(E)

(.íàåìîá åàáåé àì äçëåääî íé÷ìç) :äçëåä

.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìë øåúôì éã 12.2 äîì éôì

.Tsen èôùî åäæ .ïàë àáåé àì éðéèøô ïåëéù úåéòá ïåøúô

.C = Ker(α) éäé .G = Gal(E) øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G→ A, α: B → A) éäú

ïë åîë .λ(A) ∼= A ïëìå úéëøò-ãç-ãç λ æà .α λ = idA-ù êë λ: A → B íæéôøåîåîåä ùé äçðää éôì

.B = ⟨λ(A), C⟩ ∼= ⟨A,C⟩ ,èøôá .B = λ(A)⋉ C ,øîåìë ,C ∩ λ(A) = 1-å B = λ(A)C

.F1-ì íåöîöä ú÷úòä φ-å äàåìâ úáçøä F1/E øùàá ,A = Gal(F1/E) úåéììëä úìáâä éìá

.F1((t)) êåúá úåãù øéãâð .äðúùî t éäé

.(4.9 úåàîâåã) íìù K æà .F1 = F1K = F1E ,E = EK = K(z) ,K = K((t)) åéäé

52

K((z))

F1 F1

____ F1((t))

E

A

E

A

____ E((t))

A

K K ____ ____ K((t))

äðéä Gal(F1/E) → Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå úéôåñ äàåìâ úáçøä F1/E ,äàåìâ úøåú éôì

àéä .íæéôøåîåæéà äðéä Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòä ,7.2 ìéâøú éôì .úéëøò-ãç-ãç

ïëì ,Gal(F1/E)→ Gal(F1/E)-å Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøä

.íåöîöä éãé ìò Gal(F1/E) ∼= Gal(F1/E) = A :íæéôøåîåæéà àéä ïëì .ìò äðåøçàä

F1/E-ù ïååéë .F1 = E(β) æà .f = irr(β,E) ∈ K[z][X] øùàá ,F1 = E(β)-ù êë β ∈ F1 ùé

ùé ,éôåñðéà äãù K-ù ïååéë .ñôàä íåðéìåô äððéà f ìù D(z) äèððéîéø÷ñéãä ïëìå ,ãéøô íåðéìåô f ,äãéøô

,(úéøáâìà øåâñ K éë) K àåä åìù ìåöéôä äãù .ãéøô f(a,X) ∈ K[X] ,øîåìë ,D(a) = 0-ù êë a ∈ K

.F1 ⊆ K((z)) æà ,(E = K(z) úà äðùî àìù äî) ,z + a-á z úà óéìçð íà ,7.5 äîì éôì .K-á ìëåî èøôá

úà äðùî àìù äî) íéàúî c ∈ K× øåáò ,cz-á z úà óéìçð íà ,(4.12 äøòä éôì íâå) 6.3 äð÷ñî éôì

.F1 ⊆ Q2 := Quot(Kz−1) æà ,(E = K(z)

.Gal(F2/E) = C-ù êë F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz) ùé 6.7 èôùî éôì

ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäéå Q = Quot(Kz, z−1) éäé

.(E, F1, F2, Q1, Q2, Q;A,C,B)

.α äìèää àéä Gal(F /E)→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå F1 ⊆ F íéé÷úî 3.8 äð÷ñî éôì

-å F ⊆ Q-ù ïååéë .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòîù Q → Q1 K-ïåëéù íéé÷ 6.5 äð÷ñî éôì

íéøáéà ìéëî åðéà äæ äãù ,7.3 äð÷ñî éôì .K((z)) ìù äãù úú ìò F úà ÷éúòî äæ ïåëéù ,Q1 ⊆ K((z))

.K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà íéøáéà ìéëî åðéà F ïëì .K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà

éôì æà .K ìù éøáâìàä øåâñä L éäé .g = irr(β′, E) ∈ K[z][X]-å F = E(β′)-ù êë β′ ∈ F ùé

.L(z) ìòî ÷éøô éà íâ g ∈ L[z][X] ,12.6 äîì

-ù êë K éøáéà ìù x = (x1, . . . , xn) äøãñ àåöîì øùôàù úåàøì ì÷

,A äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1/K(x, z) (à)

53

,B äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1(β′)/K(x, z) (á)

.α: B → A ÷åéãá àéä äìàä úåáçøää éúù ïéá íåöîöä ú÷úòä (â)

.K(x) ìòî ÷éøô éà åðéä g-å g ∈ K[x][z][Y ] (ã)

K(x, z, β)(β′) // F = E(β′)

E(β) =F1 K(x, z, β)

C

// F1

C

E

A

K(x, z)

A

// K(z)

A

B

K K(x) // K

êë K-á a = (a1, . . . , an) íéøáéà úøãñ ùé (ïàë øáñåé àìù Bertini-Noether èôùî) ä÷éâåìá ïåø÷ò éôì

ìù F = E(β′) äáçøä øöåé g(a, X) ∈ K[X] ìù β′ ùøåùå K[x] → K íæéôøåîåîåä øéãâî x 7→ a-ù

.ïåëéùä úéòá úà úøúåôù E

(ïåúð éøáâìà øåâñá) åìù úåéôåñä úåãéøôä úåáçøää úöåá÷ ïëì .äéðî ïá E = K(z) íâ ,äéðî ïá K íà

.Gal(E) ∼= Fω ,12.4 äð÷ñî éôì ïëì .∩iGal(Mi) = 1 æà Mi∞i=0 ,øîàð ,äéðî úá àéä

:øúåé çéëåäì ïúéð úéáâìàä ä÷áãää úøæòá :12.8 äøòä

.úéùôç úéôåñåøô Gal(E) æà E = K(z)-å úéøáâìà øåâñK íà

.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòáì íéðåù úåðåøúô "äáøä" ìù íåé÷ íéçéëåîù êëá úéùòð äììëää

54

haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...

Documents

Transcript of haran/Teaching/Topics/topics... · úöìîåî úåøôñ M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic...