FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT

1HOUPERTN.

Problématiquespédagogiques:

Ø Commentidentifierunpolynômededegré2?Ø Commentrésoudredeséquationsdutype𝑥! = 𝑎?Ø Commentrésoudredesinéquationsdutype𝑥! ≥ 𝑎, 𝑥! ≤ 𝑎?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréaveclasymétrie?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréaveclaformecanonique?Ø Commentdéterminerlesvariationsd’unefonctionduseconddegréàl’aidedelaformecanonique?Ø Commentrésoudreuneinéquationproduit?

Algorithmique:

Ø FormecanoniqueetXcas:math’x9p115Ø Réalisationd’unalgorithmedonnantlesnombrestriangulaires:math’x3p117

Histoire:

Ø Fibonacci,XIIèmesiècle

Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.

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2HOUPERTN.

Fibonacci,XIIè

Trèsjeune,ilaccompagnesonpèreenAlgériedanslacoloniedeBougie(Bujania)pourêtreinitiéàl’arithmétiqueutileàunfuturmarchand.Maissondestinenvoudraautrementetseraliéàceluidetouteslesmathématiquesoccidentalesàvenir.Acetteépoque,l’Italieutiliseencoreleschiffres

romains.IldécouvreenAfriquedeNord,lanumérationdepositionetlecalculindo-arabequ’iljugeplusavancé.Sesvoyagess’étendentparlasuitesurtoutelaméditerranée,enSyrie,enGrèce,en

Egypte...Ilrencontresavantsetscientifiquesquiluienseignentlessavoirsdupasséencoreinconnusdumondeoccidental.Ilyétudielestravauxd’Euclided'Alexandrie(-320?;-260?),deHéron

d'Alexandrie(1ersiècledenotreère),deMohammedalKhwarizmi(780;850),…

AsonretourenItalie,vers1200,ilseconsacrepleinementauxmathématiquesparl’écrituredeplusieursouvrages.Lepremieretlepluscélèbre,leLiberabaci,datantde1202,noustransmetlanumérationdepositionindo-arabe.Ilrassembledesméthodesdecalculdesopérationsélémentaires,desrésultatsd’algèbresurlesracinescarréesetcubiques,surcertaineséquationsdu1eret2edegrémaisaussidescritèresdedivisibilité,ladécompositiond’unnombreenproduitsdefacteurspremiers,etc.OnytrouveencoredenombreuxproblèmescommeceluiexprimantlareproductiondeslapinsetmenantàlasuiteditedeFibonacci:

«Combiendecouplesdelapinsobtiendrons-nousàlafindel'annéesi,commençantavecuncouple,chacundescouplesproduisaitchaquemoisunnouveaucouplelequeldeviendraitproductifausecondmoisdesonexistence?»

Sontnotésenrouge,lescouplesproductifs.

Enjanvier:1coupleEnfévrier:1coupleEnmars:1+1=2couplesEnavril:1+2=3couplesEnmai:2+3=5couplesEnjuin:3+5=8couplesEnjuillet:5+8=13couplesEnaoût:8+13=21couples

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3HOUPERTN.

Enseptembre:13+21=34couplesEnoctobre:21+34=55couplesEnnovembre:34+55=89couplesEndécembre:55+89=144coupleS

LesréponsesconstituentlesnombresdelasuitedeFibonacci:1-1-2-3-5-8-13-21-...,dontchaquetermeàpartirdu3èmeestlasommedesdeuxprécédents.

EncalculantlesvaleursapprochéesdesquotientsdedeuxnombressuccessifsdelasuitedeFibonacci,ontrouve:1/1=1;2/1=2;3/2=1,5;5/3=1,666...;8/5=1,6;13/8=1,625;21/13=1,615...;34/21=1,619...;55/34=1,617...;89/55=1,618...(valeurapprochéebienconnue!!!)...Eneffet,enprenantlequotientdedeuxnombressuccessifsdeplusenplus«éloignés»danslasuitedeFibonacci,ontendàserapprocherdunombred’or:

=1,618...

LasuitedeFibonaccis’estrenduecélèbreparsesreprésentationsmultiplesenrelationaveccenombremythique.Onlatrouvedanslafleurdetournesol,danslaformationdecertainscoquillages,surl’ananas,lechouromain(ci-dessous)ousurlapommedepinquiprésententtousunespiraled’or.UnautreLéonard,deVinci,laverradanslesproportionsducorpshumainavecl'hommedeVitruve.

APise,ilrencontrel’empereurdel'EmpiregermaniqueFrédéricII,intellectuelpassionnéparlessciencesetlaphilosophie,quiorganiseuntournoidemathématiquesoùphilosophesetsavantss’affrontentpourrésoudredesénigmes.Fibonacciremporteletournoienrésolvant3problèmes(voirci-dessous).C’estd’ailleursleseulcarlesautrescompétiteursn’ontpasmêmetrouvélasolutiond’unseul.

1erproblème:Trouverunnombrerationneltelquesionajouteouretranche5àsoncarréonobtienneaussiuncarré.2eproblème:Résoudrel’équationx3+2x2+10x=20.3eproblème:Troishommesontmisencommununesommed’argent.Leurspartsrespectivessontde1/2,1/3et1/6.Chaquehommeretiresuccessivementunepartdesortequ’ilneresteplusriendelasommeinitiale.Lepremierhommeremetaupotcommunlamoitiédecequ’ilaemprunté,ledeuxièmeuntiersetletroisièmeunsixième.Lorsqu’àlafinlestroishommessepartagentéquitablementlenouveaupotcommun,chacunestenpossessiondesonbieninitial.

Quelétaitlemontantdupremierpotcommun.Fibonaccitrouve41/12poursolutiondu1erproblème,1,3688081075pourle2eet47pourle3e.Lamêmeannée,en1225,FibonacciécritleLiberquadratorumquiprésentelarésolutiondediversproblèmesd’arithmétique.Onytrouveaussilanotiondecongruence,unelistedetripletspythagoriciensainsiqu’uneapproximationaumillièmedunombrePi:864/275.

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4HOUPERTN.

Carted’identitédesfonctionscarréesetpolynômesduseconddegré

Fonction Carrée Polynômededegré2

Equation 𝑓 𝑥 = 𝑥²

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

Avec

Domainededéfinition 𝐷 = 𝐷 =

Courbereprésentative

Elémentsdesymétriedelacourbe

Formecanonique:𝑎 𝑥 − 𝑥! ! + 𝑦!

Sommet:(𝑥!, 𝑦!)

Sensdevariationdelafonction

• Si𝑎 > 0,

• Si𝑎 < 0,

Résoudredeséquations

Lessolutionsde𝑥² = 𝑎sont:

𝑎 𝑒𝑡 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 > 00 𝑠𝑖 𝑎 = 0

𝑖𝑛𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑎 < 0

Résoudredesinéquations

𝑥² ≥ 𝑎et𝑥² ≤ 𝑎serésolventgraphiquement:

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5HOUPERTN.

𝑆 =

Comparerdesexpressions

• Sur −∞, 0 , 𝑎 ≤ 𝑏 implique𝑎!……… 𝑏!

• Sur 0,+∞ , 𝑎 ≤ 𝑏 implique𝑎²……… 𝑏²

Développerlesexpressionssuivantespuisciblerlesfonctionsquisontdespolynômesdedegré2.𝑓 𝑥 = −𝑥! + 9 − 3𝑥 + 2𝑥! + 4𝑥 − 𝑥! 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 ! + 4𝑥 − 2 ℎ 𝑥 = −𝑥 + 1 ! − 𝑥² + 2 𝑖 𝑥 = 2 𝑥 − 3 ! + 1.

Commentidentifierunpolynômededegré2?

Niveaudecompétences

Commentrésoudredeséquationsdutype 𝒙² = 𝒂?

Niveaude

compétences

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6HOUPERTN.

Résoudreleséquationssuivantes:

𝑥! = 9

−𝑥! + 25 = 0

4𝑥! − 16 = 0

949𝑥² − 1 = 0

−𝑥! = −50

−𝑥! + 98 = 0

4𝑥! − 32 = 0

27120

𝑥² − 1 = 0

Résoudrelesinéquationssuivantesdansℝ:

𝑥! ≥ 4

𝑥² ≤ 9

4𝑥! ≥ 4

16𝑥² ≤ 9

2𝑥! − 14 ≥ 4

−6𝑥! ≤ −36

−100𝑥! ≥ 25

4𝑥² ≤ !!

2𝑥! ≥ −4

9𝑥² ≤ −9

Commentrésoudredesinéquationsdutype 𝒙² ≤ 𝒂 𝒙² ≥ 𝒂?

Niveaudecompétences

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7HOUPERTN.

Enutilisantlespointsàcoordonnéesentièressituéssurlescourbes,déterminerleséquationsdesparabolesenutilisantlaforme𝒂 𝒙 − 𝒖 𝟐 + 𝒗

Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréàl’aidedela

symétrie?

Niveaudecompétences

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8HOUPERTN.

1. Enutilisantlacalculatrice,localiser,enprécisantsescoordonnées,l’extremumdesfonctionspolynômessuivantes:𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥² − 𝑥ℎ 𝑥 = 2𝑥² − 𝑥 − 1𝑖 𝑥 = −𝑥² − 𝑥 − 1

2. Donnerlaformecanoniquedesfonctionssuivantespuisdansconstruirel’alluredesdifférentescourbesdansunrepèreorthonormé,enymentionnantl’extremum:𝑓 𝑥 = 𝑥² − 2𝑥 + 4𝑔 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 1ℎ 𝑥 = −2𝑥² − 4𝑥 + 2𝑖 𝑥 = −𝑥² − 6𝑥 − 3

1. Dresserletableaudevariationsdesfonctionssuivantessansutiliserlacalculatrice:

Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréàl’aidedela

formecanonique?

Niveaudecompétences

Commentdéterminerlesvariationsd’unefonctionduseconddegréàl’aidedela

formecanonique?

Niveaudecompétences

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9HOUPERTN.

𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 ! + 2 ℎ 𝑥 = 2 𝑥 − 3 ! + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 − 5𝑖 𝑥 = 3𝑥² − 18𝑥 − 2

2. Résoudrel’équation𝑓 𝑥 = 0graphiquementdanschacundescas.3. Endéduirelesignedesdifférentesfonctions.

Résoudrelesinéquationssuivantes:

𝑎) 𝑥² – 9 < 0 𝑏) (4𝑥 – 1)(−2𝑥 – 3) > 0

𝑐) 𝑡 − 𝑡! > 0 𝑑) − 𝑦 5 + 𝑦 ≥ 0

𝑒) 𝑦² + 1 ≤ 0 𝑓) 3𝑥² < 6𝑥 – 3

𝑔) 𝑎 + 3 ! ≥ (2𝑎 – 5)²

ℎ) 𝑦 – 5 2𝑦 – 14 > 4(3𝑦 – 21)

Englishcorner

1. Usinggraphstosolvequadraticequations.Explainwhythefollowinggraphgivesthesolutionoftheequation𝑥² − 𝑥 − 2 = 0.

2. Tryagainwiththeequation𝑥² − 3𝑥 + 1 = 0.

3. Letthequadraticfunction𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4,1𝑥 + 4,2be.Thegraphof𝑓is

Commentrésoudreuneinéquationproduit?

Niveaudecompétences

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10HOUPERTN.

givenbelow.

a. UsingthegraphWritedownthetableofvariationsofthefunction𝑓.

b. Drawonyourcalculatorthegraphofyourfunction𝑓onthedomain 1,9; 2,2 .Whatdoyounoticeaboutthevariationsof𝑓?