Expresiones Regulares

Preparado por

Manuel E. Bermúdez, Ph.D.Associate ProfessorUniversity of Florida

Curso de Compiladores

Expresiones Regulares

• Una descripción compacta y fácil de leer de un lenguaje regular.

• Usamos operadores para denotar constructores de lenguajes, y construir lenguajes complejos a partir de lenguajes “atómicos” sencillos.

Expresiones RegularesDefinición: Una expresión regular sobre un alfabeto Σ se

define recursivamente:

1. ø denota el lenguaje ø 2. ε denota el lenguaje {ε}3. a denota el lenguaje {a}, para todo a Σ.4. (P + Q) denota L(P) U L(Q), donde P, Q son e.r.’s.5. (PQ) denota L(P)·L(Q), donde P, Q son e.r.’s.6. P* denota L(P)*, donde P is una e.r.

Para evitar paréntesis excesivos, asumimos asociatividad izquierda, con la siguiente precedencia (de mayor prioridad a menor prioridad): *, ·, +

Expresiones Regulares

Ejemplos:(O + 1)*: una hilera de O’s y 1’s.(O + 1)*1: una hilera de O’s y 1’s, que termina en 1.1*O1*: una hilera de 1’s con un O insertado.Letter (Letter + Digit)*: un identificador.Digit Digit*: un entero.Quote Char* Quote: una hilera. †# Char* Eoln: un comentario. †{Char*}: otro comentario. †

† Assumiendo que Char no contiene ‘Quote’, eoln, o ‘}’ .

Expresiones Regulares

Conversión de gramática lineal derecha a expresión regular

Ejemplo:S → aS R → aS → bR → ε

¿ Qué significa S → aS ? L(S) {a}·L(S)

S → bR significa L(S) {b}·L(R)S → ε significa L(S) {ε}

Expresiones Regulares

Juntas (las tres opciones de S) significan que L(S) = {a}·L(S) + {b}·L(R) + {ε}o bien, S = aS + bR + ε

Similarmente, R → aS significa que R = aS.

Entonces, S = aS + bR + ε R = aS

Sistema de ecuaciones simultáneas, en la cual las variables son los no-terminals.

Expresiones Regulares

Solución del sistema de ecuaciones simultáneas.S = aS + bR + εR = aS

Sustituimos R = aS:S = aS + baS + ε

= (a + ba) S + ε

Pregunta: ¿ Qué hacemos con ecuaciones de la forma X = X + β ?

Expresiones Regulares

Respuesta: β L(x), así que αβ L(x),

ααβ L(x), αααβ L(x), …

y entonces, α*β = L(x).

En nuestro caso,S = (a + ba) S + ε = (a + ba)* ε = (a + ba)*

Expresiones Regulares

Algoritmo 5:Gramática Lineal Derecha → Expresión Regular

1. A = α1 + α2 + … + αn si A → α1

→ α2

. . . → αn

Expresiones Regulares

2. Si la ecuación es de la forma X = α, donde X no aparece in α, se reemplaza toda ocurrencia de X con α en todas las demás ecuaciones, y se elimina la ecuación X = α.

Si la ecuación es de la forma X = αX + β, donde X no occurre en α o en β, se reemplaza la ecuación con X = α*β.

Nota: Se puede necesitar manipulación algebraica para obtener la forma X = αX + β.

Importante: La concatenación no es conmutativa!!

Expresiones Regulares

Ejemplo: S → a R → abaU U → aS → bU → U → b → bR

S = a + bU + bRR = abaU + U = (aba + ε) UU = aS + b

Sustituimos R:S = a + bU + b(aba + ε) UU = aS + b

Expresiones Regulares

Sustituimos U:S = a + b(aS + b) + b(aba + ε)(aS + b) = a + baS + bb + babaaS + babab + baS + bb

= (ba + babaa)S + (a + bb + babab)

Y entonces, S = (ba + babaa)*(a + bb + babab)

repetidas

Lenguajes Regulares

Resumiendo:

RGR RGL DFA

Mínimo

RE NFA DFA

Listo

ProntoAlgoritmos 1,2 Algoritmos 3,4

Algoritmo 5

Expresiones Regulares

Algoritmo 6 (Versión 1):Expresión Regular → FSA (Autómata Finito no-determinístico)

Se construye el FSA recursivamente, según la estructura de la expresión regular. Cada FSA

tiene un estado inicial, y uno final.

Conversiones:

para ø21

Expresiones Regulares

• para ε

• para a

• para P + Q

•

ó para P· Q

1

1 2a

1 2

ε

Q

P

ε ε

ε

P Qε

1 Pε

Q 2ε ε

Expresiones Regulares para P*

Ejemplo: (b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

1 Pε

2

ε

ε

ε

1 2

3 4

5 6

b

a

b

Expresiones Regulares

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

7 8

9

10 11

a

a

3 4 5 6

78

a b

a

εε

Expresiones Regulares

(b (aba + ε) a)*

(b (aba + ε) a)*

3 4 5 6

78

a b

a

εε

13912

εεε

ε

3 4 5 6

78

a b

a

εε

13912

εεε

ε

2 1b

ε

Expresiones Regulares

(b (aba + ε) a) *

3 4 5 6

78

a b

a

εε

13912

εεε

ε

2 1b

ε

1011

εa

Expresiones Regulares

(b (aba + ε) a)*

2 12 3 4

67

ε a

ε

ε

813 aε

14 1ε b

10 ε ε

59ε

ε

11ε

a15

ε

ε

Expresiones Regulares

Algoritmo 6 (Versión 2):Expresión Regular → FSA (Autómata Finito no-determinístico)

Punto de inicio:

E

Expresiones RegularesReglas de conversión:

a*

a + b

ab

ε εa

a b

a

b

Expresiones Regulares

Algoritmo 6 versión 1:• Construye FSA de abajo hacia arriba• Bueno para máquinas• Malo para seres humanos

Algoritmo 6 versión 2:• Construye FSA de arriba hacia abajo• Malo para máquinas• Bueno para seres humanos

Expresiones Regulares

Ejemplo (Versión 2):

(a + b)* (aa + bb)

(a + b)* aa + bb

ε εaa

bba + b

ε ε

a

b

a a

b b

Expresiones Regulares

Ejemplo (Versión 2):

ba(a + b)* ab

b a ε ε a b

a

b

Lenguajes Regulares

Resumiendo:

RGR RGL DFA

Mínimo

RE NFA DFA

Listo

ProntoAlgoritmos 1,2 Algoritmos 3,4

Algoritmo 5

Algoritmo 6

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

Definición: Un FSA determinístico se define igual que uno no-determinístico, excepto que

δ: Q x Σ → Q, en lugar deδ: Q x Σ U {ε} → 2Q

Así,

y

son impossibles.

ε a

a

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

Cada transición de un DFA consume un símbolo. Afortunadamente, los DFA’s tiene el mismo poder (de reconocimiento) que los NFA’s.

Teorema: Para cada NFA existe un DFA equivalente (i.e. que acepta el mismo lenguaje).

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

Algoritmo 7: Conversión de NFA a DFA:

• Se “simulan” las transiciones del NFA, con el DFA.• El estado inicial del DFA es el estado inicial del NFA

(digamos, S), junto con todos los estados alcanzables (con ε) desde S.

• Cada estado del DFA es un subconjunto de los estados del NFA.

• Estados nuevos en el DFA se construyen calculando el conjunto de estados alcanzables desde estados del NFA, para cada símbolo.

• Los estados finales del DFA son los que contienen al menos un estado final del NFA.

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

Ejemplo: a*b + ba*

NFA

ε

b

b

ε ε

ε

1

3

4

2

5

6

a

a

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

EntradaEstado a b123 23 456 23 23 6456 56 --- 6 --- --- 56 56 ---

DFA:

a

a

b123

23

456 56

6b

a a

ε

b

b

ε ε

ε

1

3

4

2

5

6

a

a

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

En general, si el NFA tiene N estados, el DFA puede tener hasta 2N estados.

Ejemplo: ba (a + b)* ab

ε

a

ε ε

ε

3

5

6

4

7

8b a ε0 1 2

b

ε

ε

11 10 9

NFAε

ab

Estado a b 0 --- 1 1 234689 --- 234689 34568910 34678934568910 34568910 34678911 346789 34568910 34678934678911 34568910 346789

εa

ε ε

ε

3

5

6

4

78

b a ε0 1 2

b

ε

ε

11 10 9

NFA ε

ab

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s)

a

b

a

b

234689

346789

b

34568910

34678911a

b

a0 1 ab

DFA

Lenguajes Regulares

Resumiendo:

RGR RGL DFA

Mínimo

RE NFA DFA

Listo

ProntoAlgoritmos 1,2 Algoritmos 3,4

Algoritmo 5

Algoritmo 6 Algoritmo 7

Minimización de Estados

Teorema: Dado un DFA M, existe un DFA M’ equivalente que es mínimo, i.e. no existe ningún otro DFA equivalente con menos estados que M’.

Definición: Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos de S, tal que cada elemento de S aparece en uno (y solo uno) de esos subconjuntos.

Minimización de Estados

Ejemplo: S = {1, 2, 3, 4, 5}

Π1 = { {1, 2, 3, 4}, {5} }

Π2 = { {1, 2, 3,}, {4}, {5} }

Π3 = { {1, 3}, {2}, {4}, {5} }

Nota: Π2 es un refinamiento de Π1 , y Π3 es un refinamiento de Π2.

Minimización de Estados

Algorithmo 8 (Minimización de un DFA):

1. Eliminar las transiciones indefinidas introduciendo el estado TRAMPA, desde el cual no se llega un estado final.

2. Particionar los estados en dos grupos (finales y no-finales).

3. Completar la tabla de estados, especificando las transiciones de cada grupo a otros.Refinar la partición: se desprenden los grupos con transiciones distintas.

4. Repetir el paso 3 hasta no haber más refinamientos.

5. Determinar los estados finales.

Minimización de EstadosEjemplo:

Π0 = { {1, 2, 3, 4}, {5} }

Estado a b1 1234 12342 1234 12343 1234 12344 1234 55 1234 1234

b

a

b

1

2

3 5

4

b

b aa

a

b

a

Se desprende {4} de la partición {1,2,3,4}

Minimización de Estados

Π1 = { {1, 2, 3}, {4}, {5} }

Estado a b1 123 1232 123 43 123 1234 123 55 123 123

Se desprende {2} de la partición {1,2,3}

a

b

1

2

3 5

4

b

b aa

a

ba

Minimización de Estados

Π2 = { {1, 3}, {2}, {4}, {5} }

Estado a b1 2 133 2 132 2 44 2 55 2 13

No más refinamientos DFA Mínimo

5

13

4

2a

a

aa

b

b

b

a

b

1

2

3 5

4

b

b aa

a

ba

b

Lenguajes Regulares

Resumiendo:

RGR RGL DFA

Mínimo

RE NFA DFA

Listo !

Algoritmos 1,2 Algoritmos 3,4

Algoritmo 5

Algoritmo 6 Algoritmo 7

Algoritmo 8

Resumen de Lenguajes Regulares• La clase más pequeña de la jerarquía de

Chomsky.• Apropiada para el análisis léxico.

• Cuatro representaciones: RGR, RGL, ER y FSA.

• Las cuatro son equivalentes (algoritmos de transformación).

• Diversas ventajas y desventajas entre las cuatro representaciones, para el diseñador, el implementador, y el usuario de un lenguaje.

• Los FSA se pueden hacer determinísticos y mínimos.