Lenguajes Regulares

Preparado por

Manuel E. Bermúdez, Ph.D.Profesor Asociado

University of Florida

Curso de Compiladores

Lenguajes Regulares

Estudiaremos:

• Gramáticas Regulares• Relación con autómatas de estado finito• Expresiones Regulares• Equivalencia entre representaciones• Eliminación del no-determinismo• Minimización de estados

Lenguajes Regulares

Definición: Una gramática G = (Φ, Σ, P, S) es regular sii una condición (pero no ambas):

1) Cada producción es de la forma A →

ó A → B (lineal derecha)2) Cada producción es de la forma

A → or A → B (lineal izquierda)

donde Σ*, y A, B Φ.

Lenguajes Regulares Ejemplos:

G1: S → a R → abaU → bU → U ¿Regular?

→ bR U → b ¿ Por qué ? → S

G2: S → a R → Uaba → Ub U → b ¿ Regular?

→ Rb → aS ¿ Por qué ?

Lenguajes Regulares

Diseñemos una máquina que acepte L(G1).Observemos que

S => a bU => bb …bR bS … babaU

1. Toda forma sentencial (excepto las sentencias) tienen exactamente UN símbolo no-terminal.

2. El no-terminal ocurre en la posición derecha.3. Producciones aplicables (derivaciones) dependen

SOLO de ese no-terminal.

=> =>

=>=>

G1: S → a R → abaU → bU → U → bR U → b

→ S

=>

Lenguajes Regulares

Estrategia: Representar todas la secuencias de derivación con la relación ”⊢” , sobre pares ordenados de la forma (q, ), donde

q – el estado actual – la hilera que falta de aceptar

Así, S → bU implica (S, bβ) ⊢ (U, β)

El estado “forma sentencial terminaen S”

“se transforma

en”

El estado “forma sentencial termina en U”

Lenguajes Regulares

Así,

(S, babab) ⊢ (R, abab) (porque S → bR) ⊢ (U, b) (porque R → abaU) ⊢ (ε, ε) (porque U → b)

Criterio de aceptación de :

(S, ) ⊢* (ε, ε)

Transformación de gramática regular a diagrama de transiciones:

bS U

R U

S F

a

Definimos un grafo, con un nodo por cada no-terminal, que describe las posibles acciones sobre cada forma sentencial. Así,

S → bU implica ,

R → U implica , y

S → a implica .

Transformación de gramática regular a diagrama de transiciones:

Ejemplo: S → a R → abaU U → b → bU → U →aS

→ bR

S

U

R

F

aba

ε

b

b

a

b

a

Transformación de gramática regular a diagrama de transiciones:

Algoritmo 1: Gramática Lineal Derecha → Diagrama de Transición:

1. Nodos: Φ {F}, F Φ

2. si A → B

3. si A →

4.

A B

S

A Fα

α

Transformación de gramática regular a diagrama de transiciones:

Ejemplo: “babaa” L(G)?

Nodo Entrada DerivaciónS babaa S =>U abaa bU =>S baa baS =>U aa babU =>S a babaS =>F babaa

Sí, pero en forma no-determinística.

S

U

RF

aba

ε

b

b

a

b

a

S → a R → abaU U → b → bU → U →aS

→ bR

Autómatas de Estado Finito

Definición: Un autómata de estado finito (no-determinístico) es una tupla M = (Q, Σ, δ, s, F), donde

Q es un conjunto finito de estados,Σ es un conjunto finito de símbolos de transición,δ: Q x Σ U {ε} → 2Q es una función parcial

llamada la función de transición,s Q se llama el estado inicial, yF Q es el conjunto de estados finales.

Un FSA es el mecanismo formal de aceptación de un lenguaje regular. Requiere que cada transición tenga una etiqueta (hilera) de longitud < 1.

Autómatas de Estado FinitoEl diagrama de estados (grafo)

corresponde al FSA

S

U

RF

aba

ε

b

b

a

b

a

({S, R, U, F, X, Y}, {a, b}, δ, S, {F}), dondeδ (S, a) = {F}δ (S, b) = {U, R} δ (R, ε) = {U}δ (R, a) = {X}δ (U, a) = {S}δ (U, b) = {F}δ (X, b) = {Y}δ (Y, a) = {U}

aR X

X Y

Y U

b

a

Autómatas de Estado Finito

DOS “SÍNTOMAS” DEL NO-DETERMINISMO:

Nota: No es problema

Fa

X

a

a X

ε

a1. 2.

Autómatas de Estado FinitoVentajas de los FSA’s:

Pregunta: ¿ Qué lenguaje genera la siguiente gramática?

S → aA A → aB B → aC → ε → E → DC → bD D → bE E → bS

Difícil de visualizar. Intentemos el FSA.

Autómatas de Estado Finito

Respuesta: L*, donde L = {ab, aabb, aaabbb}

Resumen: FSA’s son tan poderosas (en capacidad de reconocimiento) que las gramáticas lineales derechas.

¿ Son más poderosas ? No. Podemos transformar FSA → RGR.

Fε

S A

E D C

B

b

εb

aa

ε

ba

Transformación de diagrama de transiciones a gramática regular

Algoritmo 2: Diagrama de Transición → Gramática Lineal Derecha:

1. Φ = Q2. A → aB si B δ (A, a)3. A → a si f δ (A, a), y f F4. Símbolo de inicio = Estado inicial

Transformación de diagrama de transiciones a gramática regular

Ejemplo:

FSA:

RGR: A → aBB → bBD → cE

→ a → bD → c → b

E → F F → dGG → H → ε

H → A

Conclusión: Gramáticas lineales derechas, y automátas de estado finito, son equivalentes.

A

G Fε

ε

ba

dH

B D E

bc

ε

Gramática Lineal Izquierda

Relación entre gramática lineal izquierda y FSA:

Ejemplo: F → Sa U → Sb R → Sb → Ub → R S → Ua → Raba →

Derivaciones: Sbb ...F => Ub => Rb ... Rabab ... Sa => Uaa ... a

=>

=>

=>

=>

Gramática Lineal Izquierda

Similaridades con gramáticas lineales derechas:

1. Formas sentenciales tienen a lo sumo un no-terminal.

2. Sentencias no tienen no-terminales.

3. Producciones aplicables dependen solo del no-terminal.

Diferencias con gramáticas lineales derechas:

1. No-terminales aparecen a la izquierda.

2. La hilera se genera de derecha a izquierda, vs.

de izquierda a derecha para gramáticas lineales derechas.

Gramática Lineal Izquierda

Algoritmo 3:Gramática Lineal Izquierda → Diagrama de Transición

1. si A → B.

2. si A → , S’ es un nuevo estado de inicio.

3. F = {S}, S es el símbolo de inicio.

B A

S’ Aα

α

Gramática Lineal Izquierda

Ejemplo: F → Sa U → Sb S → Ua

→ Ub → R → εR → Sb → Raba

S

U

RF

aba

ε

b

b

a

b

a

S’ε

Gramática Lineal Izquierda

Nodo Entrada Derivación (¡ inversa!)

S’ babaaa babaaaS babaaa Sbabaaa <=R abaaa Rabaaa <=U aa Uaa <=S a Sa <=F F S

U

RF

aba

ε

b

b

a

b

a

S’ε

F → Sa U → Sb S → Ua → Ub → R → ε

R → Sb → Raba

Gramática Lineal Izquierda

Algoritmo 4:Diagrama de Transición → Gramática Lineal Izquierda:

1. A → B si

2. A → si

3. S’ → F si

B A

S Aα

α

F

Nuevo símbolo de inicio

Resumen: Lenguajes Regulares y Autómatas

Resumiendo:

RGR RGL

RE FSA

Nota: Cuidado con intentos de conversión directa entre gramáticas regulares izquierdas y derechas.

Listo

ProntoAlgoritmos 1,2 Algoritmos 3,4