Ecole Joliot-Curie 2007

  

  “One  has  to  realize  that  the  experimental  and  theoretical understanding  of  nuclear  reactions  is  one  of  the  major   achievements  of  Nuclear    Physics  of  the  last  half  century,  largely unrecognized or celebrated, even by nuclear physicists themselves” (H. Feshbach)

Nuclear reactions:­ development of collision theory­ conservation of mass

(http://www.theo.phys.ulg.ac.be)

 Nuclear Reactions. A short digest.●  Generalities●  Typical variations & first classification●  Coherent reactions●  Incoherent (high energy) reactions●  Reactions involving coherent & incoherent effects●  Specific features linked to particular projectiles●  Outlook 

Ecole Joliot-Curie 2007

J. CUGNON, ULg

1. Introduction● Experiment 

● Control parameters: a, A, Einc, (E, polarisations, ...)

● Detection  asymptotic states only

+ a A b1+b2*+...+[,..]

- if only b 1 : is detected inclusive + reactions a A b1+X- : if all are detected exclusive reactions- : intermediate -semi inclusive reactions

● Information is encoded in (differential) cross­sections 

●  Standard theoretical description

c=pt ei k c . r c c '= f 1

f 2...ei k c ' . r c ' ...

T=VV 1E−Hi

V

E=ℏ2 k c

2

2 mE i=

ℏ2 k c '2

2 mE f=

ℏ2 k c '2

2 mE i−Q

d c c '=24

ℏ vc

ℏ2 k c

2

2 mE i−

ℏ2 k c '2

2 m−E f ∣⟨ f k c '∣T∣i k c ⟩∣

2d

H=H 0V

interaction structure

● calculation of cross­sections = formidable task● connection with structure is not obvious● reaction mechanism

hypotheses

approximationsd.o.f reaction model

(mechanism)structure

● there exist time­dependent approaches

∂

∂ t=−

iℏ

[H , ]

[∂∂ tp

m. ∇− ∇U . ∇ p] f r ,p , t =I coll [ f ]

macroscopic properties

INC, BUU, LV, QMD...

symmetries:

⟨ i−k c∣T∣ f − k c ' ⟩=⟨ f k c '∣T∣i k c ⟩

(a) time­reversal invariance   ⇒ detailed balance

k c2 dcc '

d=k c '

2 d c ' c

d−

simplifies if angular momentum is disregarded:

S c ' c=c ' c−2 i m2 k c k c '

2 1/2

⟨ f k c '∣T∣i k c ⟩ does not depend upon angle

cc '=ƛc2∣Sc ' c−c ' c∣

2S c c '=S c ' c

∗

 (b) conservation of norm

S S=1 ∑c '∣Sc ' c∣

2=1 c

T=2ƛc21−ℜScc c

T=−4k c

ℑ f cc

(c) conservation of angular momentum, isospin, etc   specificity of typical reactions

2. Variation of cross­sections with control parameters 

Behaviour close to threshold:1. channel without Coulomb interaction (incident neutrons)

elastic scattering cc≈C

endothermic reaction Q<0

exothermic reaction Q>0

cc '≈C E−E th

cc '≈C /k c '

2. reactions with Coulomb interaction 

multiplication with Gamow factor Gc=exp −Z 1 Z 2 e2

ℏ vc

elastic scattering may be dominated by Coulomb scattering

reaction:

3. total reaction cross­section≈R2≈ 1b   @ high energy

A. Characteristic variations

n­induced exothermic reactionTypical energy dependences

Typical target dependences

() 104 MeV

B. Comparison of control parameters with typical lengths and energies

: mixing of regimes due to the impact (“uncontrolled”) parameter 

First “rough” classification 

1. Quantum treatment is needed­ elastic &slightly inelastic collisions­ resonant reactions­ pick­up & transfert reactions

2. Quasi­classical treatment is (perhaps) sufficient­ (moderately) inelastic collisions­ fragmentation (spallation) collisions

wave functionrelated information

more global properties

C. Comparison nucleon­nucleus ⇔nucleus­nucleus

1. Differences linked with the shape of the colliding system­ deep inelastic collisions­ fusion reactions & partial fusion reactions

2. Differences linked with the number of particles­ thermodynamic properties of nuclear matter­ possible phase transition (multifragmentation)

3. Coherent, quasi­coherent & resonant reactionsA. Resonant reactions. The compound nucleus.

resonance ⇒”definite” energy with lifetime =ℏ/∆E >>  tpass=R/v 

:Bohr' hypothesis   formation of a complex

,CN statefollowed by a statistical     decay in open channels 

formation & decay are independent, except for conservation laws

⇒ symmetric angular distributions (around 90°)

 The Breit­Wigner formula

S­matrix form 

Scc '=eicc 'cc '−i∑

E−Ei

/2

Bohr Hypothesis =

c1 /2

c '1 /2 , ∑

c

c=,

c1/2=real

cc '=cCN Pc '

withc

CN=ƛc2

c

E−E2

2 /4

, Pc '=

c '

cc '=ƛc2∣Scc '−cc '∣

2

Structure Information (SI): E, (J), , c

 The shell­model approach

H=H 0V=∑i

h0i V H 0i=E ii , H 0c E =EcE

c =∑

ibiE i∑

c 'ac

c ' E c ' E

PQ

in absence of direct coupling <c|V|c'>=0:

Sc c '=ei cc '[c c '−i 2∑j

⟨c∣V∣ j ⟩ ⟨ j∣V∣c ' ⟩E−E j−i∑

c∣⟨ j∣V∣c ⟩∣

2 ]Note that j are (complicated) eigenstates of [PHP + PVQ (E­H0)­1 QVP]j  = Ej j 

They are bound states in the continuum (E>0)Also:  continuum component in loosely bound states

c=∣⟨c∣V∣⟩∣

2represents the coupling of the resonant states to channel c

Hauser­Feshbach formula:

 Average cross­sections and the overlapping resonance regionNB: no average for overlapping resonances

⟨c c ' ⟩=1I∫

E−I /2

EI /2

ƛc2∣∑

c1/2

c '1/2

E−Ei

/2∣

2

dE

≈1I∫

E−I /2

EI /2

ƛc2∑

cc '

E−E2

2 /4

dE

=ƛc2 2

D c c '

⟨c c ' ⟩=ƛc2 2

D

c 2D

c '

2D

F c c '=ƛc2 T c T c '

∑c

T c

F c c '

F accounts for  width correlations 

Two theories:1. elimination of the inelastic components

2. mass operator

They predict Vopt to be energy­dependent and non­local

B. Elastic scattering. The optical model

The optical model: elastic scattering can be reduced to potential scattering

V opt r ≈−V 0

r 0

V LS−i W r =V CV LS

W>0 accounts for the loss of flux (above the 1st inelastic channel)

E−PHPP=PHQQ , E−QHQQ=QHP PE−PHP−PHQEi −QHQ−1QHP P=0

V C E ,r =∫d 3r ' G E ' ,r ' f r−r '

JLM microscopic potential

Phenomenological potentials

G is the Brueckner G­matrix

­ Parameters are smoothly dependent upon the target­ The crucial “parameter” is the volume integral of the central part

­ Largely diffractive scattering

­ Structure Information (SI): geometry, deformation ­ relativistic formulation is better for spin­orbit part­ OM ­>  <Scc>=ei2c(1­c/D)

J=∫V C r d3r

maxima @ 2kRsin /2=n

OMP ⇒ Tc⇒ ( ) -HF average cross sections

C. Inelastic scattering. (p,p')

SI: Energy levels

Direct interactions: only one NN interactionDistorted wave Born approximation (DWBA)

dd

∝∣⟨c ' r c '∣∑iv r−r i∣c r c⟩∣

2

∝∣⟨c '∣∑ie−iq . r i∣c⟩∣

2

=∣e−iq .r cc ' r ∣2

SI: transition form factors ­>w.f.

Born: T=”V”

cc ' r =⟨c '∣∑ir−r i∣c⟩

Selectivity:

l≈k R , l '≈ k ' R , l≈q R

dd

∝∣ jqR∣2

SI: J & parity

Special cases: Coulex, (e,e')

=∣l−l '∣

@ higher energy transfer:excitation of giant resonances

SI: giant resonances structure, sum rules, exchange forces

selectivity of probes

(') (p,p') (3He,t)

D. Transfert reactions. Stripping, Pick­up, etc

Stripping: (d,p)

T ∝d , pnq1

−ℏ2 q2 /2 mn

B , Anq

­ q should not be too large­ angular momentum selection rule

SI: Spectroscopic factorsA1=∑

S1 /2

r A =nlj

dd

=C D02 S

∣∫d3r d∗ r u

r pr ∣2

S=∣⟨

r A∣A1 ⟩∣2

∑ S=1−N

90Zr(d,p)

E=12 MeV

Knock­out: (p,2p)

T ∝T ppq A ,A−1 p pR , pR= p2−q , p1=pi−q

d5

d E1 d1 d2

=C S∣

pR∣2 d pp

dq

SI: momentum distribution of sp w.f. + spectroscopic factors

NB: (e, e' p) is  simpler

q

4. Incoherent  high­energy reactionsA. Introduction

­ above ~ 250 MeV: dominance of NN collisions­ elastic scattering is limited to extreme forward angles, even though the

cross section remains important (see later)­ angular momentum ­> impact parameter as the relevant parameter­ coherent inelastic scattering is limited to very peripheral collisions (and

to very forward angles)­ opening of huge number of channels: many ejected particles 

­> fragmentation   

B. Glauber models

R=∫0

R

2b db∫−z0

z0

PsurvzNNtot dz=R2[1−2

X 21−e−X

2X

e−X ]

Psurvz=exp −NNtot zz0

X=2NNtot R≈R R≈0.8−0.9R2≈E

 A simplified quantum model: Glauber formalism + eikonal

basic assumptions: ­ small momentum transfer at each interaction   ­ scattering introduces a phase shift only:   ­ frozen nucleus approximation (no Fermi motion)

eik .r eir

f fiq=ik

2∫d2b eiq .b ⟨ f∣1−∏j=1

A 1− 12 i k

∫d 2 q ' eiq ' .b−s j f j q ' ∣i⟩fj is the individual amplitude, sj is the tranverse position of nucleon j

Expanding the product multiple scattering expansion

f ij1q= f qij q , ij q=∫d2s eiq .s ⟨ f∣∑k

s−sk∣ f ⟩f ij2q=∫d 2q ' f q f q−q ' ij

2q , ij2q=∫d 2s d 2s ' eiq .s ei q−q ' .s ' ⟨ f∣∑k≠l

s−sks−sl∣ f ⟩SI: correlations

f ij q= f ij1q f ij

1q...

SI: transition prob.

C. Models for collision regime

For many particle emission and deep inelastic collisions,Glauber and quantum multiple scattering theories (KMT,..)are unpracticableExcept for very peripheral and slightly inelastic collisions,no evidence for quantum effects

Quasi­classical tools have been devised, where quantum effectsis restricted to small binary collision regions and translated in using cross sections. 

INC, QMD, BUU, LV,...

They are based on simulations and/or transport equations

INC

brief description of INCL:

­ ordered & separated NN collisions­ elastic or inelastic ­ subject to Pauli blocking­ potential well­ transmission, reflection, (refraction)­ stochasticity­ relativistic kinematics­ isospin degree of freedom­ accomodates p, n, d, t, He3 & He4 as projectiles

­ must be supplemented by an evaporation model­ stopping time is determined self­consistently

“parameter­free” SI: geometry & momentum distribution

D. Spallation and fragmentation  collisions 

5. Reactions involving statistical coherent  and incoherent featuresA. Similarity between resonant reactions in the “overlapping regime” and the ultimate stage of spallation/fragmentation  collisions 

In the former, the reaction can be described  by the formation of CN followed by an “independent” decay governed by average decay widths (Hauser­Feshbach)

Note that the formation of CN involves average over many different states, i.e. many degrees of freedom ⇒ equilibrated system

At the end of “hard collision” stage of spallation reactions, the system is also expected to be in equilibrium 

HF for many exit channels

dHF Ec '∗ =ƛc

2 T c T c 'c ' Ec '∗ dE c '

∗

∑c ' '∫0

EQ

T c ' 'c ' Ec ' '∗ dE c ' '

∗

NB: HF is limited to low energy, but includes angular momentum

The Weisskopf­Ewing evaporation modelLet us assume A*→B*+b in a volume V; E*=EB*+S+Probability of emission per unit time:

d b=2ℏ

∣⟨ A∣T∣B b ⟩∣2E B∗

V k2 dk23

CN b B ∗ A ∗ =2ℏ

∣⟨b B∣T∣A ⟩∣2E A∗

ℏ k /mV

d b=CN b B ∗ A ∗ 2 m

23ℏ2

E B∗

E A∗

d

can be used for calculating X­sections d=cCN d b

∑b∫0

E−S

d bFor (E*)= p exp(2aE*) and E*=aT2

b=CN b B ∗ A ∗ 2 mT 2

23ℏ2e−S /T

B. Evaporation­fission and other de­excitation models

d b∝e−/T d

fission

everything is determined byphase space at the barrier

d f

ℏ=BE B

∗ dE B∗ dp dq /2ℏ/dt

AE A∗ dE A

∗and  dq /dt=p /M , Mpdp=d

d f=1

2

BE B∗

AE A∗

d ⇨ f=T

2e−B /T

must be supplemented by a fission partition model

SI:  level density & barriers

Other “after­burning” models

1. evaporation: simulation of successive  separated emissionstime scales  b=ℏ/b≫temiss b

3. above some “temperature” ►► copious simultaneous emission multifragmentation 

   ­ usual models include any partition of the system   ­ final states = partitions of an equilibrated system (SMM, ...)  

2. for increasing temperature n may become smaller than temiss (fission)neutrons may be emitted from the system on its way to fission=fission delayed or friction in fissioning motion 

SI: thermodynamics of nuclear matter / possible phase transition

C. Pre­equilibrium reactions

For  resonant reactions in the “continuum”, if energy increases (above ~  20 MeV), the spectra are no longer thermal &emission no longer isotropic

Idea = addition of fast +/­ coherent emission and slow evaporation

Many special tools:­ HF+DR­ Harp­Miller­Berne sp model­ exciton model­ hybrid model­ GDH model­ FKK theory­ ... 

1. Harp­Miller­Berne approach

­initial state: ni=1 for ki < kF and  ki = kc , ki =0 otherwise­evolution:  

d ni

dt=∑

j∑

k∑

lijkl {nk nl 1−ni1−n j−ni n j 1−nk1−nl}−esc ni

≈NN ⟨v ⟩

­prediction of spectradP

d =∫

0

T

dt∑ini t −i

­ abandoned, due to the numerical task

2. The exciton model (J. Griffin)

 ­whole distribution exciton states 1p, 2p­1h, 3p­2h,...(n=1,3,5,7...) ­density of (n=p+h) exciton states  of given energy E (Ericson)

nE =gn E n−1

p ! h !n−1!

­probability of emission from a n­exciton state per unit time

Pnd =m

2ℏ3

n−1U

n E d U=E−S−

­spectrum

P d =∑n=n0

n

n Pnd =m

2ℏ3 ∑n=n0

n n−1U

nE n d

­exciton hybrid model (M. Blann)dd

=R ∑n=n0

n [ m

2ℏ3

n−1U

n E d ][ Pn E

Pn E n2E ]Dn=R ∑

n=n0

n

Pnd

Dn=∏n '=n0

n−2

{1−∫Pn ' d } , Dn0=1

M. Blann

n2=

2ℏ∣M∣2E ∗ or 

n2=

v=1/NN v=2 W

ℏ

OMP

∣M∣2=KA−3 E−1

SI: density of exciton states, mfp

further developments:

­ cross­sections (GDH):

­ angular distributions:

dd

=∫2b db Pb

dd d

=R ∑nn0

n

Pn∑L

2 L14

f L nPL cos

with fL= parameters (Kalbach)

­ emission of clusters, through phenomenological probabilities attached to every n­exciton state

3. The Feshbach­Kerman­Koonin (FKK) theory

P­chain=MSD=at least one particle is unboundQ­chain=MSC=all particles are bound

FKK:­no communication between P and Q­chains­chaining only between n and n±1 states­never­come­back hypothesis (n ­> n+1)

MSC:

MSC=ƛc2 21

D1

∑n=1

r ∏k=1

n−1

k

k n

n

n=

2ℏ

∣⟨n∣V∣n1 ⟩∣2nU n=

2ℏ

∣⟨n∣V∣n1 ⟩∣2n1E

⟨n∣V∣n1 ⟩≈V 0∫u1r u2r u3r {uscatt r ,u4r }dr

r2

MSD: d 2MSD

ddU=

d 21

ddU

d 2M

ddUd21

ddU=r U ⟨ d

d ⟩d 2M

dN dU N

=∑N∫

d3 k N−1

23⋯∫

d3 k2

23d 2 W N , N−1k N ,k N−1

d N dU N

d 2 W N 1, N−2 k N−1 ,k N−2

dN−1 dU N−1

⋯d2 W 2,1 k2,

k1

d 2 dU 2

d 21

d1 dU 1

d 2 W N , N−1k N ,k N−1

dN dU N

=2ℏ ∣∫d3r k N

− k N−1 ⟨N∣V∣N−1⟩∣2 mk N

23ℏ2r U N

C. Comparison INC­preequilibrium models­ All have to be supplemented by evaporation

­ Phase space is classical in INC, discrete in PE models

­ Pauli blocking is more naturel in INC

­ same common physics in all models: interaction in a Fermi gas 

mediated by binary collisions

­ INC is a more consistent model (only the  stopping is “by hand”)

­ more or less equivalent results below 200 MeV (where INC

shouldn't work!!)

INC+evaporation= a theory from 40 MeV to 10 GeV?

6. Specific features linked to particular projectiles

A. Slightly bound nuclei

easy fragmentation

p1=m vincpinternal

dd3 p1

∝ f p1

SI: momentum distribution

surrogate reactions

dd3p

=dd3 p

3 HeA−1 pA1 ∗ DWBA

f

tot

nA f =NC nAA1 ∗ f

tot

B. Proton or neutron rich  nuclei

study of isospin degree of freedom by inverse kinematics

IAS 

seen by resonant scattering 207Pb(p,p) or by production 208Pb(p,n)

ordinary spectroscopy by p(A,A*)p with recoil measurements

C. Photons 

Real photons probe the nucleus with an elm field:­ very good for electric giant resonances (T=1)­ photodesintegration (,n)

Virtual photon (e,e) (e,e')­ charge density­ transition densities­ parton structure

D. Mesons, antiprotons, etc 

pions

SI: surface densities, S=1, transitions, pair correlations

elastic                inelastic                     absorption

antiprotons

annihilation: ~2 GeV without p,ℓ transfer

good for study of hot nuclei

7. Summary & outlook

D. The shell­model approach

H=H 0V=∑i

h0i V H 0i=E ii , H 0c E =EcE

c =∑

ibiE i∑

c 'ac

c ' E c ' E

EcEcEc iE

c '

PQ

A.Volya &V. ZelevinskyPRL94(2005)052501 

M.G. Mustafa et alPRC 88

special features:

­quantum effects are simulated (stochasticity, Pauli blocking, mean field, transmission and reflection)

­predictive power for (almost) all channels

­substantiated by nuclear transport theory

D. TALYS= a code system for E<150 MeV

3. Heavy ion reactions

Danielewicz