Post on 01-Mar-2018
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
1/91
CCUULLEEGGEERREEOONNLLIINNEE
BBAACCAALLAAUURREEAATTLLAAMMAATTEEMMAATTIICC22001122
MMooddeelleeddeessuubbiieecctteeccuubbaarreemmeerreeaalliizzaatteedduu!!mmooddeelluulluuiioo""iicciiaallwww.mateinfo.ro &www.bacmatematica.ro
A#drei Octa%ia# Dobre&coordo#ator'
(loie)ti 2012
Ele#aA#do#eEma#uelA#do#eLe#u*aA#drei+a#ielaBadea
Io#BadeaCor#eliaB!)c!u
,il%iaBrabecea#u-ioricaCioc!#aruIo#+o.aruLo./i#Ga.a
MariaIo#escuC!t!li#a A#caIso"ac/e
Glia Lilia#aI%!#escuIoa#aLe"teriuRoa#aLica
-ioricaLu#.a#ate"a# lori#MarcuGabrielaNecula
Ele#aOri*!NicolaeNicolaescuCsabaOl3/Cor#el Cosmi#(!curar
+a#iela(odumea#caIlea#a Co#sta#*aR4cuCo#sta#ti#,oareA#a,z5cs
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
2/91
IISS
TTooaatteeddrreettuurriill
CCuullee..eerreeaaeesstteeoo""eerriitt!!GGRRAATTUUIITaarrtteeaaaacceesstteeiieeddii**iiii##uu
66666677bb
++aacc!!oobbsseerr%%aa**iiaaaarrii**iiaaaacceesstteeiiccuullee
##eeaa##uu##**aattiieeddoobbrree77aa##ddrreeii8899aa
Fiecare autor al
Culegerea a fostverifi
bacm2@mateinfo.rope
SOLUIILE I B
Cele mai compl
ar !i preg"tiri
pro .
BBNN997788--997733--00--1122440011--99
rreezzee##tteeiieeddii**iiiiaaaarr**ii##ssiittee::uulluuii66666677mmaatteeii##""oo77rroo
ddooaarreessiittee::uull66666677mmaatteeii##""oo77rroo))ii66666677bbaaccmmaatteeooaattee""iirreerroodduuss!!""aarr!!aaccoorrdduullssccrriissaall66666677mmaatteeii##aaccmmaatteemmaattiiccaa77rroo&&AA##ddrreeiiOOccttaa%%iiaa##++oobbrree''
eerriissaauu!!rr**iiddii##aacceeaassttaaccuullee..eerreeeeaallttssiittee&&ssaauuccuull
/oooo77ccoommssaauuoo""""iiccee88mmaatteeii##""oo77rroo ee##ttrruuaa""aacceeddeemm
cestei culegeri r"spune e corectituinea #ariantelor p
at$ ar ac" totu%i gasi&i #reo gre%eal" #" rugam s" n
tru a face corecturile necesare. Ultima moificare '.().
*+E,ELE -E O/*+E LE 0*SII 1E.,*/EI
3e site4uri eicate e3amenelo
ele#ilor pentru concursurile !c
la matematic"5
666.mateinfo.ro
666.bacmatematica.ro
*nrei Octa#ian -obre$ 1loie%ti
obre.anrei@7a8oo.com
aattiiccaa77rroo;;ii##iicciioooo77rroo;;ii
ee..eerrii''%%!!rruu..!!mmss!!
eerrssuurriilleellee..aallee77
ropuse.
e anunta&i pe
(92.
FO.+O
na:ionale
olare
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
3/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 1Prof: Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai a 2012-a zecimal a numrului 1
63
.
funcia1
: , ( ) 42
f f x x . Calculai ( )(2)f f .
mulimea numerelor reale ecuaia 5 9 2 3 3x x =0(5p) uri pot fi aranjate 6 cri pe un raft?(5p) i care trece prin punctele A(2,4) i B(-1,0)(5p) i circumcri unui triunghi dreptunghic ce are catetele 8 cm respectiv 6 cm.
SUBIECTU 0 d te)
1. !e coni"er m2
2 1
(5p) a) Artai c 2A (5p) b) #erificai "ac matricea a$il i, %n caz afirmati&, aflai in&era matricei A'(5p) c) Calculai 22( )A I .
2. e mulimea numerelor reale e "efin lee "e compoziie* 7x y xy x y
(5p) a) ! se arate c ( 1)( 1) 6x y x y e x,y (5p) b) #erificai "ac ealitatea ( )x y z "e&rat pentru oricare , ,x y z numerelereale
(5p) c) ! e rezol&e, %n mul+imea numerelor reale, ecua+ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie2
: {1} , ( )1
xf f x
x
(5p) a) !tu"iai eitena aimptotelor la la raficul funciei f-(5p) b) !tu"iai monotonia funciei f-(5p) c) Artai c funcia f ete conca& pe inter&alul ( ,1)
2. Fie 2, 0
: , ( ) 1
1, 0x
xx
f f x x
e x
(5p) a) Artai c funcia f a"mite primiti&e pe mulimea numerelor reale'(5p) b) Determinai primiti&a funciei f, al crei rafic treceprin punctul de coordonate (1,
(5p) c) Calculai3
2
( )f x dx
3
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
4/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 2Prof: Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
ai partea ntreag a numrului 2012log 2011.
imaginea funciei2: , ( ) 4 5f f x x x
(5p) 2 sunt rdcinile ecuaiei 2 3 8 0x x , calculai 2 21 2x x
(5p) ulimile cu 3 elemente, ale mulimii {a,b,c,d}(5p) ptei care trece prin punctele A(5,1) i B(,!)"
(5p) 6. Fie x, stfel nct cosx= 23
" #alculai c$s(1%!0-x).
SUBIECTUL al II-le e)
1.&e c$nsider punctel .(5p) a) &criei ecuaia prin punctele A2A3.(5p) b) #alculai aria triung'iulu(5p) c) em$nstrai c punctele nu sunt coliniare, oricare ar fi n
2. e mulimea numerel$r reale se defin mp$*iie 2 4 4 3x y xy x y (5p) a) Artai c ( )( ) 5 +, x y x y
(5p) b) -erificai dac legea admite elemen(5p) c) S se re*$l.e n mul/imea numerelor 7x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie 2: (0, ) , ( ) lnf f x x x (5p) a) #alculai
0
( )limx
f x
.
(5p) b) #alculai deri.ata funciei f(5p) c) reci*ai inter.alele de m$n$t$nie ale funciei f"
2. &e c$nsider funcia 1
: 0, ) , ( )2
f f xx
(5p) a) & se calcule*e1
0
( )f x dx (5p) b) & se calcule*e .$lumul c$rpului $binut prin r$taia n 0urul a+ei +, a graficului fu
: 0,2 , ( ) ( )g g x f x
(5p) c) & se arate c $rice primiti. a funciei f este strict cresct$are pe inter.alul 0, ) .
4
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
5/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 3Prof: Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
donai cresctor numerele:
3
312
27 1
log 8, ,64 2
.erminai inversa funciei :f , f(x)= - 2x+3
cuaia 1log ( 2) 2x x
(5p) 3 2 4C P .
(5p) diatoarei segmentului AB tiind c, A(1,2) i B(-1,0).
(5p) 6. Fie x, astfel nct sinx= 13
. Calculai tg!
SUBIECTUL al II-le e)
1. Fie matricele A0 4
1 3
0
(5p) a) Calculai det(A"B)(5p) b) #ta$ilii dac matricea A este i, %n ca& afirmativ, aflai inversa sa!(5p) c) # se re&olve ecuaia A X=B, u2. Fie polinomul 3 2 2, ,f X aX bX a b le(5p) a) 'eterminai a i $ tiind c 2 este rd p l i f i, restul %mpririi polinomului f laX-1 este egal cu 2.
(5p) b) Calculai1 2 2 3 1 3
1 1 1x x x x x x
(5p) c) entru a i $ determinai la punctul (a) demonstrai c p f e toate rdcinile reale!
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie 1: (0, ) , ( ) lnf f x xx
(5p) a) Calculai0
( )limx
f x
i ( )limx
f x
(5p) b) #criei ecuaia tangentei la graficul funciei f, %n punctul de a$scis 1
(5p) c) 'eterminai punctele de etrem ale funciei f!2. Fie 2: , ( ) 64f f x x
(5p) a) Calculai ( )f x dx (5p) b) Calculai ( )xf x dx (5p) c) 'eterminai volumul corpului o$inut prin rotaia graficului funciei : 0,1g , g(x)=f(x) njurul axei Ox.
5
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
6/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 4Prof: Andone Emanuel
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1 ntr-o progresie aritmetic an n1 se cunosc a1 7 i r 3 . Calculaisuma primilor 10 termeni
rogresiei.monstrai c ecuaia x
2-(2m-1)x-m=0 are rdcini reale distincte,oricare ar fi m numr real.punctele de intersecie ale graficului funciei :f , 2( ) 5 1xf x cu axele Ox i Oy
(5p) 24 33A P
(5p) rii 1 2v i a j
i 2 (5 ) 2v a i j
, unde a. Determinai numrul a pentru
ca e v2 sunt perpendiculari.
(5p) 6. Aria t ABC este egal cu 32 3 . Dac AB=! i AC=", calculai cosA .
SUBIECTUL al II-le e)
1. Fie matricea A
a a
(5p) a# Determinai pentru car A este in$ersa%il(5p) b) &entru a=', calculai transpusa A2
(5p) c) Determinai pentru care a 3A+2I3=03
2. Definim pe mulimea numerelor real a lege de compo(iie)x y xy ax by , a i bb numere rea
(5p) a) Demonstrai c numrul ( )a b ab este un ricare ar fi numerele a i b
(5p) b) Determnai a i bnumere reale astfel nct ( , oid(5p) c) &entru fiecare din monoi(ii astfel o%inui s se deter ntele in$ersa%ile.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. *e consider funcia :f , 1( )x
xf x
e
(5p) a) +e(ol$ai ecuaia ( ) '( ) 1f x f x (5p) b) &reci(ai inter$alele de monotonie ale funciei(5p) c) *criei ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul de a%scis 0.
2. -ie funcia :f ,3
2
( 1)( )
1
xf x
x x
(5p) a) Determinai primiti$ele funciei :g , 2( ) ( 1) ( )g x x x f x
(5p) b) *criei funcia f su% forma x a +2 1
bx c
x x
, , ,a b c
(5p) c) Calculai2
3(2 1)[ 4 ]
1
xx dx
x x
6
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
7/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 5Prof: ANDONE EMANUEL.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
ai c numrul log57 log725 este natural.erminai valorile reale ale lui m pentru care x
2+x+m 4 ( )x R
uaia 21
255x
(5p) ul natural n 3 soluie a ecuaiei 2nA =56
(5p) ul triunghiului ABC tiind c A(1,1), B(1,2), C(2,1)
(5p) 6. Aflai i circumscris triunghiului ABC dac BC! i cos A 12
SUBIECTUL al II-le e)
1. "e consider matric
i 2
1 0
0 1I
a) " se verifice c 2 22A I und
#)" se determine x real astfel $nc%t det ) 0
c)" se demonstre&e c4 4A X X A , pen 2( )M
2. Fie polinomul 4 3 23 2 2f x x x ax
(5p) a) 'eterminai valoarea lui a dac 2 este rd ui f
(5p) b) Calculai1 2 3 4
1 1 1 1x x x x
(5p) c) 'eterminai restul $mpririi polinomului f la (x-1)2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ie funcia : (0, )f , 2( ) ( 1) lnf x x x x (5p) a) 'eterminai asimptotele la graficul funciei f
(5p) b) Calculai3
( )limx
f x
x
(5p) c) "criei ecuaia tangentei la graficul funciei $n punctul de a#scis 1
2. ie funcia :f , f(x)= 2 xx e
(5p) a) " se arate ca funcia f admite primitive(5p) b) " se determine primitiva al crei grafic trece prin origine
(5p) c) Artai c5
4
( ) 32f x dx
7
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
8/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 6Prof: ANDONE EMANUEL
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.'eterminai partea $ntreag a numrului 10 3 (5p) 2 "ta#ilii domeniul de definiie al funciei f(x) 21
2
log ( 3 2)x x
&olvain ecuaia 1x =x+1numrul su#mulimilor ordonate cu 2 elemente, ale mulimii 2,*,+,!
( p) ecuaia dreptei de pant -, care trece prin punctul A(2,1)(5p) l ABC se cunosc laturile AB+, AC1*, BC1./Calculai cosinusul unghiului celmai mSUBIECTU 0 de puncte)
1.Considerm sistemu
1
2 ,a
(5p) a) Calculai determinantul m mului(5p) b) 'eterminai a, numr $nt g i temul admite soluia (2,1,.)(5p) c) 0e&olvai sistemul a*
2. Se dau polinoamele 4 2( ) ( 1)( 1) 10P x x x i ( ) ( 1)( 1) 10Q x x x (5p) a) Artai c (2) ( 2)P P i | ( ) |Q a e ar fi a numr real
(5p) b) Aflai c%tul i restul $mpririi polino l Q (5p) c) 'escompunei polinomul Q n [ ]X
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. "e consider funcia :f ,2 2 1, 1
( )1 , 1
a x ax xf x
x a x x
(5p) a) 'eterminai valorile lui a pentru care f este continu $n punctul x0=1(5p) b) "tudiai deriva#ilitatea funciei f $n punctul x0=1
(5p) c) Pentru a=-1 calculai( )
2limxf x
x
2. "e consider funcia :f ,2
1( )6 10
f xx x
(5p) a) Calculai1
0
( 3) ( )x f x dx
(5p) b) Calculai1
0
'( ) ''( )f x f x dx (5p) c) Calculai aria suprafeei mrginite de graficul funciei f, axa x i dreptele x1, x2
8
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
9/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 7Prof: Andrei Lenua.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.Determinai numrul real x, astfel nct numerele x-3, 8, x+3 s fie termenii consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.
onsider funcia :f , 2012f x x . S se calculeze numrul p= 1 .. 2012f f .
e n mulimea numerelor reale ecuaia 19 27x x .
(5p) eze probabilitatea ca un element 1,2,3,4,5x s verifice inealitatea 3 60x .
(5p) a triun!iului "#$ cu vrfurile 0, 2A , 1,1B %i 2,0C .
(5p) 6. $alcu 2 0sin 20 .
SUBIECTUL al II-le e)
1.Se consider determ2 3
3 1
2
x x
x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt soluiile ecuaiei3 4 3 0x x .
(5p) a) S se calculeze 1 2x x
(5p) b) S se demonstreze c 31 2x x
(5p) c) S se calculeze valoarea determi
2. Se consider mulimea2012
0xM A
%i funcia : , xf M f x A .
(5p) a) S se arate c , ,x y x y x yA A A A A M
(5p) b) S se demonstreze c mulimea & mpreun cu op mulire a matricelor formeaz rupabelian.
(5p) c) S se demonstreze c f x y f x f y , ,x y SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia : 1f dat prin 11
f x xx
.
(5p) a) S se calculeze ' , 1f x x .(5p) b) S se studieze monotonia funciei f .(5p) c) S se determine ecuaia asimptotei verticale.
2. 'ie funcia :f , 2
5f x x .
(5p) a) $alculai
2
0
xdx
f x .(5p) b) S se determine volumul corpului de rotaie obinut prin rotirea raficului funciei f n jurul
axei (x %i dreptele de ecuaii 2x %i 4x .
(5p) c) Demonstrai c 2
2
0xf x dx
9
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
10/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 8Prof: Andrei Lenua
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se calculeze 35 10C .
(5 ) 2 S se determine soluia real a ecuaiei 6
log 5 6 2x .
erminai numerele reale mpentru care ecuaia 2 3 2 1 0x m x are rdcini reale egale.ucere cu 5% un produs cost 190 lei. S se determine preul produsului nainte de
(5p) d donatexOy se consider punctele 5,4A i 0,2B .Scriei ecuaia dreptei AB.
(5p) ghiului !"# tiind c !$1# "$& i 060m EDF .
SUBIECTU e)
1.Se consider matrice 2 1 00 1I
i mulimea 2 ,G X a X a aA I a
(5p) a) S se arate c 4A A .(5p) b) S se demonstreze c 4X X a b ab , oricare ar fi ,a b .
(5p) c) Artai c este matrice X a in i ar 'i a .
2.Polinomul 3 24 10f x x x m , cu m inile 1 2 3, ,x x x .(5p) a) Artai c 2 2 21 2 3x x x este constant i m .(5p) b) eterminai m astfel nct 31 2 3x x x
(5p) c) Artai c determinantul1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x xd x x x
x x x
este numr icare ar 'i m .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider 'uncia 2: , 2f f x x .
(5p) a) S se calculeze ' ,f x x
(5p) b) S se determine ecuaia asimptotei spre la gra'icul 'unciei(5p) c) S se arate c ' este con(e) oricare ar 'i x .
2. Pentru orice *n se consider 'unciile 1: 0,1 ,9n n n
f f xx
.
(5p) a) S se calculeze 2
19x f x dx , unde 0,1x .
(5p) b) S se calculeze 1
2
0
xf x dx .
(5p) c) S se demonstreze c aria supra'eei plane cuprinse ntre gra'icul 'unciei f , axa Ox i dreptele
0, 1x x este un numr din inter(alul1 1
,10 9
! "# $
.
10
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
11/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 9Prof: Andrei Lenua
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Comparai numerele 3log 27a i3 64b .
zolvai n mulimea numerelor ntregi inecuaia 22 3 1 0x x .ul unui produs este de 150 lei, el sescumpete cu 10%. Calculai preul produsului dup
mine numrul numerelor naturale de trei cifre dictincte ce se pot forma cu elemente
1 2 3,4,5 .
(5p) ul real m, pentru care punctul 2 , 4 1A m m se afl pe dreapta d: !"!#$0.
(5p) 6. se x tiind c 1sin5
x , undexeste msura unui ung&i ascuit.
SUBIECTUL al II-le e)
1. 'n mulimea 3M i2 0 2
0 2 0
0 0 2
A
.
(5p) a) Calculai determinantul matr
(5p) b) (erifici dac 1
1 10
2 21
0 02
1
0 0 2
A
, u rsa matricei A.
(5p) c) )ezolvai ecuaia 3
2 2 2
4 4 4 ,
6 6 6
AX X M
2. *e mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie2012 2012 2012 2012x y xy x y .
(5p) a) Calculai 2012 2012 .
(5p) b) +emonstrai c 2012 2012 2012x y x y , oricare ar fi x
(5p) c) +eterminai numrul real a pentru care x a a , oricare ar fi x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. e consider funcia :f , 2
2 1, 1
2, 1
1
x x
f xx
x
%
(5p) a) +emonstrai c funcia f este continu n punctul 0 1x .
11
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
12/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) Calculai 21
2
lim4 1x
f x
x .
(5p) c) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei fn punctul A(2, 25
).
2 Se consider funciile :mf , 2 2( 4) 4 2012
mf x m x mx , unde m .
erminai mulimea primitivelor funciei 1f .
ia suprafeei cuprinse ntre graficul funciei 2f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i
(5p) 2012
lnf
xdxx
.
Varianta 10Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 d
(5p) ! "rtai c numrul 2
1 2 1 3N este natural
(5p) 2. Fie 2: ,f f x x mx minai valorile parametrului real m astfel nc#t
.fG Ox& '
(5p) $! "flai valorile reale ale luixastfel n e 13 ,9 ,5 3 6x x x sunt termenii consecutivi aiunei progresii aritmetice.
(5p) %! Determinai pro&a&ilitatea ca aleg#nd un num
11| , 0 11kC k k acesta s
fie divizibil cu 11.(5p) 5! Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris ui "'C unde "($,), '(,) i
C(-1,-2)?
(5p) 6. Fie vectorii 2 1 2 i * !u m i j v mi j m
"flai val ametrului real mastfel nct
vectorii iu v
sunt coliniari.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
! +n mulimea 2 M se consider matricele 21 2 1 0
i !1 3 0 1
A I
(5p) a) Calculai detA, 2 3iA A ;
(5p) &) -erificai egalitatea 2 24 5A A I i demonstrai c 1 14 5 , ,n n nA A A n
(5p) c) "rtai c 2,nA I n
& .
! Se consider polinoamele 8 4 21 i g . f X X X , iar 1 2ix x rdcinilepolinomului g.(5p) a) "flai restul mpririi luif la 2` ;g X g (5p) &) Calculai 2 2 3 31 2 1 2+ i / *x x x x
12
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
13/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) Artai c 2 21 2f x f x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 3 2
: 3, \ 1 ,1
xf f x
x
.
culai 1lim i limx xf x f x ;
t i relaia 2 '2 3 3, \ 1f x f x x x i stabilii monotonia funcieif;
ecuaia tangentei la graficul funcieif n punctul de abscis 0 2x .
2 f iile cos cos, : , cos sin 1 i sin 1x xf F f x x x e F x e x x .(5p) ia Feste o primitiv a funcieif;
(5p) b) se
(5p) c) se calcule!e plane mrginite de graficul funciei : 0, ,4g
! "# $
2 coscos
gsin 1 x
f x xx
x e
" a#a $ de ecuaii 0 i
4x x
.
Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. %alculai2 3 2011 2012
1 1 1 1 11 .... : 1 .
3 3 3 3 3
(5p) 2. Aflai numerele reale ai bcare au suma 1 i produsul 12.
(5p) 3. Fie : , 2 1.f f x x Aflai numerele x astfel nct f(5p) &. 'up o ieftinire cu 2 i apoi o scumpire cu 1 un produs cost te preul
iniial al produsului*(5p) 5. criei ecuaia mediatoarei segmentului (A+ ) unde A(-1"1) i +(,",).
(5p) -. %alculai suma2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 0 sin 15 sin 30 sin 45 sin 60 sin 75 sS
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
13
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
14/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1. e consider sistemul de ecuaii
2
2
2 2 , unde m
2 2
x my z m
x y z
mx m y z
i matricea sistemului
2
1 1
2 12
m
m
.
2et 4A m valorile lui mpentru care sistemul este compatibil determinat
(5p) stemul pentru m=0;
2. Fie p 2 3 2 2,, 2 2 2 1a bX f a X abX b X a
(5p) a) 'eter i bpentru care , 1a bf X ;
(5p) b) 'ac 1 2 3, ,x x x polinomului 1,1f " calculai3 3 3
1 2 3+ ;x x x
(5p) c) e!olvai n 2 1
2 2 1 0x x
.
SUBIECTUL al III-l (
1. e d funcia
4
3 2: 2,2 ,
4 3
xf
.
(5p) a) se studie!e monotonia funcie f
(5p) b) se demonstre!e c tangentele la g n punctele3 3
,3 3
A f
i + ," ,f sunt perpendiculare.(5p) c) se calcule!e
1' 3
3lim x
xf x
.
2. /entru orice numr natural nenul nse consider funciile 1
:2
n
n
xf
x
i
integralele 1
1
.n nI f x dx
(5p) a) se calcule!e 1
1
1
2 .x f x dx
;
(5p) b) se calcule!e 1I ;
(5p) c) se arate c
2
1
23 ,
1
n
n nI I nn
14
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
15/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 12Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de puncte)
progresia aritmetic 2 3cu 12, 9.n na a a Determinai n astfel nct sumailor ntermeni s fie zero.
elementele mulimii
2 7| 1 .
1
xA x
x
(
)
(5p) uaia
1 12 2 13
3 3 9
x x
.
(5p) 4. Cte fre distincte se pot forma cu cifrele 0,1,2,3,4?(5p) 5. Fie punctele A( C(2,2). Scriei ecuaia dreptei determinat de mijloacele laturilor
(CA) i (C!).
(5p) ". Aflai raza cerc riung#iul A!C, de laturi 5, " i $.
SUBIECTUL al II-lea (30 de p
1. Fie , ,a b c distincte %ntre mul
2 3
2 3
2 3
a x ay z a
S b x by z b
c x cy z c
(5p) a) Calculai determinantul matriceiAat ului (S)&(5p) ') ezolai sistemul (S)*
(5p) c) Dac , ,x y z este soluia sistemului aflai sol 3 2 0.t xt yt z
2. Fie polinoamele 20 2, , 2 5 + 5 "f g X f X X .(5p) a) Artai c suma coeficienilor polinomuluifeste un n g diizi'il cu $*(5p) b) Determinai restul %mpririi luifla g;
(5p) c) Calculai suma
1 1 1 1....
0 1 2 2013S
g g g g .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
. Se consider funcia 2 2: 0,1 , 2.xf f x e x
(5p) a) S se studieze monotonia funcieif ;(5p) ') S se demonstreze c funciaf are o singur rdcin %n interalul (-, )*
(5p) c) S se demonstreze prin inducie matematic 2 2 , , 3n n xf x e n n .
2. ie funcia 2
: 0, , 1f f x x .
(5p) a) Calculai
0
3lim
x
x
f t dt
x
;
15
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
16/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) Dac
: 0, ,x
h h xf x
, determinai primitiva : 0,H a funciei hastfel nct
0 1H ;(5p) c) Calculai volumul corpului obinut prin rotaia, n jurul axei Ox, a graficului funciei f pentru
0,1 .
Varianta 13Prof: Badea Ion
SUBIECTU uncte)
(5p) 1 !flai cardinalu | 2 1 3 .x x
(5p) " Determinai fun al doilea 2: ,f f x x ax b #tiind c punctul
0,3 fA G #i a dreapta : 1 0d x .
(5p) $ % &e re'olve ecuaia log 1
(5p) 4. n cte moduri, din 10 elevi p un comitet format din 3 elevi?
(5p) 5 !flai valorile reale ale lui mpen #i "u mi j v m i j
suntperpendiculari.
(5p) Calculai0 0 0 0cos0 cos10 cos2 cos180 .S
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie matricele 20 2 1 0
,1 0 0 1
A I
#i mulimea M | .A XA AX
(5p) a) % &e arate c 2012 1006 2A 2 ;I
(5p) b) % &e arate c, dac MX A , atunci exi&t ,a b astfel nct X
(5p) c) Demon&trai c 3 5 2011 1006A+A +A +....+A 2 1 #iA 2 4 6 2 2A +A +A +....+A .I
2. Fie : , 4 4 20, , .x y xy x y x y* (5p) a) Determinai elementul neutru al legii ;(5p) b) !flai &imetricul lui $ n raport cu legea ;(5p) c) tiind c legea e&te a&ociativ calculai 1 2 3 .... 2012.S
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1 *ie funcia : \ 1 , .1
xe
f f xx
(5p) a) %criei ecuaia tangentei la graficul funcieif n punctul de ab&ci& 0 1;x 16
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
17/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) Calculai 1
1
lim i lim ;x x
x
f x f x
(5p) c) Demonstrai c 1, 1.f x x
2. Fie funcia 2: , 3 1.f f x x (5p) a) Artai c orice primitiv a luifeste strict cresctoare.
lai o primitiv a funcieifal crei grafic conine punctul 1,3 ;A
ia suprafeei cuprinse ntre axa absciselor, graficul funciei : 0,1 ,g
2 xg x e ! i "reptele "e ecuaii 0 i #;x x
Varianta 14Prof: Badea Ion
SUBIECTUL I (30 d
(5p) 1. Aflai x astfel nct 155x .(5p) 2. Dac 1 2,x x sunt soluiile ecua 0,m m aflai mtiin" c 1 2 1.x x
(5p) 3. $e%olvai n ecuaia 1x (5p) 4. Artai c numrul 2 210 10N 3A C P il cu 17.
(5p) 5. Determinai valorile reale ale luix"a BO ste & tiin" c A x,1 ,B 2 , 1 ,O 0,0 .x
(5p) 6. Fie ABC+ i punctele '! astfel nct 2MB N 2NC.
Demonstrai c
1 2MN= AB AC.3 3
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie , | ,0
a bM A a b a b
a
(
) .
(5p) a) Artai c , , , , , , ,A a b A x y A ax ay bx A a b A x y M ;
(5p) b) Calculai , ,nA a b n ;
(5p) c) Determinai matricele 2012
, astfel nct , 1,2012A a b M A a b A .2. Fie polinomul 3 2 1 2 31 X cu r"cinile ! ! .f X aX bX x x x
(5p) a) Determinai , astfel nct 1a b f X i restul mpririi luifla 1X este 4 .
(5p) b) Pentru 1b aflai valorile lui a astfel nct 2 2 21 2 3
1 2 3
1 1 1+ + ;x x x
x x x
17
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
18/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) Dac 1, 1a b aflai valoarea determinantului1 2 3
2 3 1
3 1 2
.
x x x
x x x
x x x
+
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
funcia 2: , 2f f x x x .
ivabilitatea funcieif;(5p) notonia funcieif;(5p) ptotei spre la graficul funciei : , .h h x f x
2. Fie
ln ; 0,
1; ,
x x ef f x
e x e
.
(5p) a) Artai c f a"m e 0, ;
(5p) b) Aflai aria "om prins ntre graficul funciei 1: ,1 , ,h e h x x f x # $ axaabsciselor i "r
1, 1e x ;
(5p) c) Demonstrai c 2
2012
1
f x dx
Prof: Badea IonSUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. * se arate c 2 2 2log 5 3 log 5 3 log 11 (5p) 2. Fie funcia : , 2 1.f f x x Calculai suma 3 ... 2012 .S f f
(5p) 3. $e%olvai n ecuaia2 0,52 4 2 0x x .
(5p) 4. Determinai valorile naturale ale luixastfel nct 210 10x xC C
.
(5p) 5. Dac ' 'A 1, 1 ,B 3,1 i + ,!, sunt mi-loacele laturilor C! AC le ABC+ ,"eterminai coor"onatele punctelor A! ! C.
(5p) 6. Calculai cos tiin" c 12, i sin .2 13
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele
1 1
1 1 ;
1 1
x
A x x x
x
.
(5p) a) Determinaixastfel nct A x inversabil;
18
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
19/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) Aflai 1 1A ;
(5p) c) $e%olvai ecuaia
1
1 1
1
x
A y
z
.
inelul claselor de resturi modulo 6, 6 , , . culai suma elementelor neinversabile "in 6 ;
(5p) valorile lui 6x astfel nct determinantul matricei 1
2 3
xA
s fie element
(5p) c) $e%o
2 4
3 2 1
x y
x y
.
SUBIECTUL al III-l
1. Fie funcia : , 5 7f f x .(5p) a) *criei ecuaia asimptotei spre(5p) b) Aflai punctele "e e/trem ale fun
(5p) c) Demonstrai c 7 3 ,f x e x
2. Fie sin ; 0
: ,; 0
2
x x
f f x xx
x
%
.
(5p) a) Calculai 1
1
f x dx ;
(5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotaia n -urul a/ei absc graficului funciei
: ,0 ,g g x f x ;
(5p) c) Calculai 0
1lim
x
xf t dt
x .
19
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
20/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 16Prof: Bcu Cornelia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
se arate c2
33
1 1 log 34 8
.
mine astfel nct numerele a,a+2,a+8 s fie termenii consecutivi ai uneiprogr e.
(5p) , ( ) 3 2f x x . S se rezolve ecuaia ( ) ( ) 0f f x f x .(5p) mrul de drepte care trec prin 10 puncte distincte, necoliniare.(5p) 5. Aflai e punctului de intersecie al dreptelor d: 3x-2y=0 i g: 2x-3y-5=0.(5p) 6. Calcu s120 .
SUBIECTUL al II-le e)
1.Se consider punctel n), n .(5p) a) S se determine ecuaia d(5p)b) S se afle aria triungiul(5p) c) S se verifice dac punctele ! 12sunt coliniare.
2. Pe se definete legea de compoziiex .(5p) a) S se calculeze 2012 ( 2012) .
(5p)b) S se rezolve "n ecuaia 2 22012
x x
(5p) c) S se arate c dac2012
2012z
x y z
, atunSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 22 1
: \ 1 , ( )2 1
xf f x
x x
.
(5p) a) S se verifice c
3
2( ) , 1
1
xf x x
x
, &
(5p)b) S se arate c ( ) 1, \ 1f x x .(5p) c) S se determine asimptotele funcieif.
2. Se consider funcia2
3 2 1, 0: , ( )2 1, 0x x xf f xx x
%
.
(5p) a) S se arate c funciafadmite primitive pe .
(5p) b) S se calculeze1
1( )f x dx
.
(5p) c) #fla$i 1 , 23
a
! "# $astfel "nc%t aria suprafe$ei plane cuprins "ntre graficul func$iei f, a&a '& i
dreptele de ecua$ii &' i &'a s fie egal cu *
20
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
21/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 17Prof: Bcu Cornelia
UL I (30 de puncte)
se rezolve "n ecuaia+2 1 2
45 3 3
x .
( p) : , ( ) 3f f x ax .S se determineaastfel nct ( 1) 1f f .
(5p) merele 32 2 21 1 1
log , log , , log 12 272
a b c d .
(5p) . S se obabilitatea ca aleg%nd un numar natural de doua cifre acesta sa fie ptrat
perfect.(5p) 5. S se determine rii - i raza cercului circumscris triungiului /-, dac
3, ( ) 30 ,MN m P
(5p) . S se arate c t f ile /(1,), -(-1,0) i (5,-2) este isoscel.
SUBIECTUL al II-lea (30 de p
1. Se consider sistemul de ecuaii+
6
ax
x ay
(5p) a) S se calculeze det#, unde # este ma at sistemului.(5p) b) Pentru a=- s se rezolve sistemul de(5p) c) S se arate c sistemul are soluie unic, orica
2. Pe definim legea de compoziie 2012 2012 2013x y xy x a .(5p) a) S se arate c ( 2012)( 2012) 2012x y x y .(5p) b)Aflai elementul neutru al legii de compoziie.(5p) c) Calculai 1 2 ... 2013 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1. Se consider funcia2012: , ( ) 2012 2012xf f x x .
(5p) a) S se calculeze ( ),f x x, .(5p)b) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei "n punctul de abcis 1.
(5p) c) S se arate c funciaf este conve& pe .2. Se consider funcia
1 1: 1, , ( )
2f f x
x x
(5p) a) S se calculeze4
2
1( )f x dx
x
(5p) b) S se arate c orice primitiv a funcieif este concav pe 1, .(5p) c) S se determine aria suprafeei plane mrginit de graficul funcieif, axa Oxsi dreptele deecuaiex=1 ix=2.
21
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
22/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 18Prof: Bcu Cornelia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1 S se arate c 2,5 2,5 2,5 0 .se determine a astfel nct numerele 1,1 ,5 3a a a s fie termenii consecutivi ai uneiritmetice.
(5p) e sistemul de ecuaii
13
1210
x y
xy
.
(5p) . S se ia 2 2log ( 1) log 1x x .
(5p) 5. Fie tr C i t ii 2 , 4 2 , 6 4OA i OB i j OC i j
S se determine cordonatele
centrului de greutate a
(5p) . S se determine "nc%t lungimea segmentului #2 s fie 13 , unde A(a, 4) i B(-
2, 1-a).
SUBIECTUL al II-lea (30 de p
1. Se consider funcia 20
: (0
xf M
x
(5p) a) S se arate cf(-1) +f(1) = 02.(5p)b) S se rezolve ecuaiaf(2x) = I2.
(5p) c) Sa se calculeze 2
(2) (2) ...f f
2. Fie polinoamele 45 5, , ( ) , ( )f g x f x x a g x .
(5p) a) Aflai rdcinile polinomuluig.(5p) b) Determinai 5a astfel nct polinomul gs divid f.
(5p) c) Pentru 1a , artai c polinomulf nu are rdcini.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.Fie funcia : , ( ) 2012 2012x xf f x
(5p) a) S se calculeze0
( ) (0)limx
f x f
x
.
(5p)b) #rtai c funcia f este cresctoare pe .(5p) c) S se arate c funciafnu admite asimptote.
.Se consider funciile 1: \ 1 , ( ) ,( 1)n n n
f f x nx
(5p) a) S se calculeze1
21 ( )
e
ef x dx
.
(5p) b) S se calculeze primitivele funciei 2
1: \ 1 , ( )
( )g g x
f x
(5p) c) S se calculeze3 2
22 ( ) , , 2nx f x dx n n .
22
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
23/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 19Prof: Brabeceanu Silvia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
erminai x pentru care 3 12
x .
funcia de gradul al doilea al crei grafic conine punctul 0, 0A iar vrful
parab t l 2, 4V .
(5p) mea numerelor reale ecuaia 2 5 3x x .
(5p) 4. Calcu 25 .
(5p) 5. Se co j
i 2 1 2v a i j
, unde a . Determinai numrul 0a
pentru care vectorii 1v
iari.
(5p) 6. Calculai cosin B al triunghiului BC! tiind c 8AB , 12BC , 10AC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de p
1. Se consider matricea A132
411
321
(5p) a) S se afle numrul 32det IA .
(5p) ") S se determine rangul matricei A .
(5p) c) #e$ol%ai ecuaia 3 3,A X I X - .2. Se consider legea de compo$iie & definit prin x y y .(5p) a) S se arate c 6e este elementul neutru al legii de compo mulimea .
(5p) b) S se re$ol%e 'n inecuaia 2 23 1 2 6 0x x x x
(5p) c) S se demonstre$e c 2 71 1 1
02 2 2
% .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considerfuncia : ,f
2, 0
32
, 03
xx
xf xx
xx
(5p) a) erificai dac funcia este continu 'n punctul 00 x .
(5p) b) Determinai inter%alele de monotonie ale funciei f .
(5p) c) rtai c
!#
1,3
2xf , oricare ar fi x .
. Se consider funciile! 2 2: , ( ) 4 8 16, unden nf f x n x nx n
23
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
24/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) a) Determinai mulimea primiti%elor funciei 1f .
(5p) ") Calculai aria suprafeei cuprinse 'ntre graficul funciei 1f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i1x .
(5p) c) Calculai 2 2
1
16xf x
e dxx
.
Varianta 20Prof: Brabeceanu Silvia
SUB 0 de puncte)
(5p) ometric 1n na cu ra*ia po$iti% se cunosc 3 18a i 5 162a . Calculaisuma primilo i progresiei.
(5p) . Deter ul real mpentru care ecuaia 2 1 0mx m x m are soluii reale egale.
(5p) +. #e$ol%ai 'n mu lor reale ecuaia 2 23 2 1 2log logx x .
(5p) 4. Se consider to aturale de c,te trei cifre scrise cu elementele din mulimea 1,2 .S se calcule$e pro"a" d un astfel de numr! acesta s fie di%i$i"il cu 4.
(5p) 5. S se gseasc ecuaia m gmentului determinat de punctele 2, 4A i 1,5B
(5p) 6. S se calcule$e aria triunghiu ind c 6, 7, 11AB BC AC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele 21 0
0 1I
, A 2X a I aA , unde a .
(5p) a) Calculai2 2A A .
(5p) ") Demonstrai c 4 ,X a X b X a b ab (5p) c) rtai c X a este matrice in%ersa"il! a .
. Se consider polinomul 3 22 15 1f X m X X m
(5p) a) Pentru 3m determinai c,tul i restul 'mpririi polinomul(5p) ") Determinai mpentru care polinomul este divizibil cu 4X .(5p) c) Pentru 1m calculai 3 3 31 2 3x x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt rdcinile pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
-. Se consider funcia : , 2 ln 2xf f x x .
(5p) a) S se calcule$e ,f x x, .
(5p) ") S se calcule$e
1
1lim
1x
f x f
x
.
(5p) c) S se re$ol%e ecuaia 0f x,
. Se consider irul1
0
1 ,nnI x xdx n .
24
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
25/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) a) S se calcule$e 0I i 1I .
(5p) ") S se arate c 12
, 12 3n n
nI I n
n
.
(5p) c) S se studie$e monotonia irului 0n nI .
Varianta 21Prof: Brabeceanu Silvia
SUBIECTU uncte)
(5p) -. S se3
3este numr natural.
(5p) . S se determine s eiste inter%alul
2
1 3 4,2 4
x xI ! "# $
.
(5p) +. /ie funcia
2 , 0: ,
, 0
b xf f
b x
%
.S se determine ,a b tiind c 1,1A
i1 1
,3 2
B
sunt pe graficul funciei.
(5p) 4. Dup o reducere a preului cu 18% u t 01 lei. S se calcule$e preul iniial alprodusului.(5p) 5. Se consider %ectorii AB u
i AC v
. S o form mai simpl epresia
2 2 3BC BA u v
.(5p) 6. n triunghiul ABC, 090m A , 030m C i AB se calcule$e lungimea 'nlimii
,AD D BC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.n reperul cartezian xOy se consider punctele 2, 1 ,nA n n n .
(5p) a) Determinai ecuaia dreptei 1 2AA .
(5p) b) S se determine n astfel nct punctele 1 2, , nA A A s fie coliniare.
(5p) c) S se calcule$e aria triunghiului 1 2 3, ,A A A .
2. 2e mulimea numerelor reale seconsider legea de compo$iie 1
32
x y xy x y.
(5p) a) S se demonstre$e c 1
1 1 1, ,2
x y x y x y. .
(5p) b) S se re$ol%e 'n ecuaia 35 3 1x x. .(5p) c) S se calcule$e ,x x x x x x. . . . .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
25
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
26/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1. Se consider funcia :f \ 2 4 4
3 ,3
x xf x
x
.
(5p) a) S se scrie ecuaia asimptotei oblice spre a graficului funciei f .
(5p) b) S se determine punctele de extrem pentru funcia f .
se calculeze
lim
x
x
f x
x
.
cia 26
: ,9
f f xx
.
(5p) 1
, 0,f xx
.
(5p) b) S se f x dx .
(5p) c) S se arate c1
3a tg .
Varianta 22Prof: Ciocnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. ntr-o progresie aritmetic se cunosc Calculai a11.(5p) 2. Calculai log 33 + 3 log 32 - 2 log 34.(5p) 3. Se considerfunciaf: RR, f(x)=x2- 5x+ coordonatele punctelor deintersecie ale graficului funcieifcu axa Ox.(5p) 4. Calculai 2 25C
25A + 3P .
(5p) 5. Se considervectorii
v 2
i 3
j i
u 3
i 2 j . D ai vectorul 2
v - 3
u .
(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8 AC = !" i m() = 300# Calculai aria t .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul de ecuaii
19
13
1
2
zyxa
zyax
zyx
.
(5p) a) Determinai aR pentru care matricea sistemului este inversabil.(5p) b) Transpunei matricea sistemului i calculai determinantul acesteia pentru a = 2.(5p) c) Rezolvai sistemul pentru a = 4.2. Se consider polinomulf= X4 8X2$ !% cu rdcinilex1,x2,x3,x4reale.(5p) a) &ac S =x1+x2 +x3+x4 i ' =x1x2x3x4 calculaif(S)+ P.(5p) b) Artai c polinomulf este divizibil cu g = X 2.(5p) c) Calculaix1
4+x24
+x34+x4
4.
26
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
27/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considerfunciaf: RR, f(x)=3
22 x
x .
(5p) a) Calculaif (x),f (0),xR.(5p) b) Determinai punctele de extrem ale funcieif.(5p) c) Calculai ))((lim xxf
x
.
d f ciaf , f: RR, f(x)=xx
xx
ln)3(
232
1
1
%
x
x
(5p) iaf admite primitive peR.
(5p) b) S se dxxf )( .
(5p) c) S se calculeze
Varianta 23Prof: Ciocnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. ntr-o progresie aritmetic se cunosc -(# Calculai S25.
(5p) 2. Determinai numrul real m pentru ca 2 m 1x 2m 0 are soluii reale egale.(5p) 3. Se considerfunciaf: RR, f(x)= 3 -1 i coordonatele punctelor de intersecie
ale graficului funcieifcu axele Oxi Oy.
(5p) 4. )ezol*ai ecuaia 2nC = 3P .
(5p) 5. Se considervectorii
v (a+ 2)
i (a 3)
j i
u
cu aR. Determinai a
astfel nct vectorii
v i
u sfie coliniari.
(5p) 6. Calculai sin750folosind sin (a+ b).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. n reperul cartezianxOy se consider puncteleA(3, a),B(a, 2+ i C(- 3, -2) unde aR(5p) a). Pentru a= 1s se determine ecuaia drepteiBC.(5p) b) Pentru a= -2s se calculeze aria triunghiuluiABC.(5p) c) &eterminai apozitiv astfel nct puncteleA, B, Cs fie coliniare#
2. Se consider inelul ,Z5, +, ) unde Z5 = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 }.(5p) a) )ezol*ai ecuaia 2x+ 3= 1 n Z5.
(5p) b) Calculai determinantul
213
132
321
n Z5.
27
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
28/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) )ezol*ain Z5 sistemul 2x+y= 1
x+ 4y= 3
UL al III-lea (30 de puncte)
ciilef: (0, )R, f(x)= ln x+2
2x
i g: RR, g(x)= x2 3x.
(5p) (x) g(x)) pentrux(0, ).(5p) alele de conca*itate i con*exitate pentru funciaf.
(5p) c) Calcu)
).
2. Se conside R, f(x)= x2+x +x
2i g:[1, 2] Rg(x) =f(x)x.
(5p) a) &eterminai mu elor funcieif.
(5p) b) Calculai f((3
1
(5p) c) Calculai *olumul corpu n rotaia -n .urul axei Oxa graficului funciei g.
Prof: Ciocnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. ntr-o progresie geometric cu termeni poziti*i b1- b4= / i b 4. Determinai b12.
(5p) 2. )ezol*ai ecuaia 12
5
x
x
= 125.(5p) 3. )ezol*ai ecuaia log 3x+ log 3(2x - 1) = 2 log 3(x+ 1).(5p) 4. Se considerfunciaf: RR, f(x)=x2- 3x+ 4. Determinai coordo fului paraboleiassociate funciei i intersecia parabolei cu axa Oy.
(5p) 5. Se considervectorii
v (5a+ 1)
i (2b 3)
j i
u 3,5
i 2,4 j
Determinai ai bastfel nct vectorii
v i
u sfie egali.(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8 AC = !" i m() = 600# Calculai lungimea laturii BC#
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
28
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
29/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1. Se consider matriceleA =
1 3 2
2 1 0
3 2 1
B =
0 2 3
4 1 0
3 0 2
(5p) a) Calculai det (A B) i Tr (A -B).(5p) b) Verificai dac A este inversabil i calculai inversa ei.
culai A B.dac A este inversabil i calculai inversa ei.
merelor reale se definete legea 1233 yxxyyx .(5p) ac legea de compoziie este asociativ.(5p) i x 5 = 1.(5p) a 2 2
nC > 1 unde nN,n2.
SUBIECTUL al III l e)
1. Se considerfuncia =,
4
3,4
3
xx
x
00
x
x
(5p) a) Verificai dac funciaf n punctulx0= 0.(5p) b) Calculaif (2).(5p) c) Cercetaiexistena asimptotelor lice ale funcieif.
2. Se considerfunciilef: RR, fn(x) =x
neste numr natural.
(5p) a) Calculai dxxf2
1
0 )( .
(5p) b) Dac n= dxxfn1
0
)( , calculai I2010+ I2012.
(5p) c) Calculaiaria suprafeei plane mrginite de graficul fun xi dreptele de ecuaii
x= 0ix=1.
29
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
30/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 25Prof: Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de puncte)
!"p# $.Soluia ecuaiei !%&$#&!%&'#&!%&(#&...&!%&)*#+$""
e determine mul,imea tuturor parametrilor reali m pentru care2
( 1) 1 0m x mx m fi x
en multimea numerelor reale ecua,ia ln( 1) ln( 1) 1x xe e ( p) evi ai unei clase au fcut sc-imb reciproc de fotografii. Afla,i numarul de fotografiide ca e
(5p) !'/0#/ 1!2/*# . Dacpunctul M este mijlocul segmentului [AB], afla,i ariatriung
(5p) 6.Calcula riung-iului 3456tiind c 34+) cm/ 35+7cm 6i 0( ) 120m NMP
SUBIECTUL al II-le e)
1. Fie5 2
10 4A
0
2{ ( ) / , ( ) }M X a a X a I a A
(5p) 1. Calcula,i 2A A .!"p# ). S se arate c ( ) ( ) ).X a X b X b !"p# 7. S se calculeze (0) (1) (2X X X 2. Definim pe legea de compozitie * p og (2012 2012 ) ( , )x y x y
!"p# a# Arta,i ca legea * este asociativa, da u ad t neutru.(5p) b) Demonstra,i c 2012 ( ) (2012 ) (y z y e ar fi ,y z
(5p)c ) Rezolva,i n ecua,ia 2012log 6036x x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
$. Se consider func,ia2: ( , 1] [0, ) , ( )f f x x x /
(5p) a) Calcula,i '( )f x !"p# b# S se determine intervalele de monotonie ale func,iei f(5p) b) Sse determine ecua,iile asimptotelor ctre 6i la graficul func,iei
2. Pentru fiecare n se consider
1
20
1( 1)n nI dx
x .
!"p# a# S se arate c 0 14
4I I
!"p# b# S se arate c 22
8I
!"p# c# S se demonstreze c 2nI I% , oricare ar fi , 3n n
30
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
31/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 26Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
olvai n mulimea numerelor reale inecuaia2
7x 15x 2 0 e determine numrul submulimilor cu trei elemente ale mulimii A = { 1,2,3,,10}, caret l 5.
ine probabilitatea ca alegnd un numr ab din mulimea numerelor naturale de doucifre b5p 4 mea numerelor reale ecuaia lg(x 1) lg(6x 5) 2 .
5p 5. S se d astel nc!t distana dintre "unctele A#m,-$% &i '#-5,m) s ie 10.5p 6.S se c dulul vectorului u v
&tiind c u 11i 7 j,
v 5i 4 j
.
SUBIECTUL al II-le e)
1. Pentru xR, se ele(1 1
1 1
1 1
xA x
x
&i1
B 1
1
.
5p a) S se determine xR pentru A = 2.5p b) Pentru x = - 2 determinai detA * este adjuncta matricei A.
5p c) Pentru x = - 1 s se re)olve ecua * 1,3 ( ) - .
2. Se consider "olinomulf = X3 9X2 are toate rdcinile x1, x2, x3,reale.5p a) S se determine c!tul &i restul m"ri l if la X2- 1.5p b)Artai c 3 3 3 2 21 2 3 1 2 3x x x 9(x x x ) 18 .
5p c) +e)olvai ecuaia
x
f (3 ) 0 .
SUBIECTUL al III-lea ( 30 de puncte)
1. Se consider unciaf: R R, 3 3 2( ) 3 4,f x x x x 5p a) S se determine asim"totele raicului unciei f.5p b) S se arate c 2 2( ) ( ) 2 ,f x f x x x x, R\{-2,1}5p c) S se determine derivatele laterale ale graficului uncieif n punctu 2. Se consider unciaf: R - R,f(x) = x3 3x + 2.5p a) S se determinevalorile de etrem local ale uncieif;
5p b) S se calcule)e3
2
( )
1
f xdx
x;
5p c) S se calcule)e
20
1
13
( )
xdx
f x
.
31
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
32/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 27Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
ulai 2012
20121 (1 )i i .olvai n mulimea numerelor reale ecuaia 11 4 2 x x
o progresie aritmetic. tiind c a6+ a16= 2012, calculai a3+ a19 .
5p 4 ecuaia #2 1)(x + 2) 0.5p 5 n de coordonatexOyse consider "unctele A#3,-2), B(-5,6). S se determineecua entului [AB].5p 6. /n mul , re)olvai ecuaia 2 2sin cos cosx x x .
SUBIECTUL II ( 30
1.Pentru mR se c ea =2 1
2 1 3 1
3 1
m
m
m m
&i "unctele A#m,2), B(2m-1,3),
C(m,m-3).5p a)eterminai mR pentrucar .5p b) eterminai mR pentrucare p nt necoliniare.5p c) Pentru m[1,5] determinai valoarea riei triuniului A'.
2. 4e mulimeaZse deine&te leea de com xy 6x 6y 6 .5p a) Artai cleea de com"o)iie este asociativ
5p b) eterminai elementele din Zsimetri)abile n a ;5p c) +e)olvai n Z ecuaia
de2012ori
x x ... x 1 .
SUBIECTUL III ( 30 de puncte)
1. Se consider unciaf: R-R,f(x)= (x + 1)ex.5p a)eterminaiintervalele de monotonie ale uncieif.5p b)eterminaiintervalele de concavitate &i de conveitate ale uncieif5p c)eterminai ecuaia asim"totei ori)ontale ctre la graficul uncieif.
2. Se consider uncia ([1, ) R,dat "rin #% = 62
x .5p a)eterminai o "rimitiv 7 a unciei care are "ro"rietatea 7#1% = 201285p b)S se calcule)e volumul cor"ului de rotaie determinat de subraicul lui &i drea"ta = 285p c)alculai asim"tota oblic ctre a graficului unciei .
32
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
33/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 28Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
ulai 2012 20121 (1 )i i .
mulimea numerelorreale ecuaia x x 19 10 3 1 0 .p o progresie aritmetic. tiind c a6+ a16= 2012, calculai a3+ a19 .
5p 4 orile naturale ale numrului nastfel nct 1 2n 1 n 1C C 36 .5p 5 n de coordonatexOyse consider punctele A(3,-2), B(-5,4). S se determineecuaia medi entului [AB].5p 6. n mul uaia 2 2sin cos cosx x x .
SUBIECTUL II ( 30
1.Pentru fiecare t ( r matricea H(t) =1 ln t 00 1 0
0 0 t
.
5p a)S se calculeze,n raport cu t matricei ad!uncte H*(t);5p b) Artai c H(x) H(y) = H(xy); 5p c) "alculaideterminantul matricei H(1) +.+H(10).
2. Se consideroperaia x y xy 2(x #i mulimea $ = ( %, ) .
5p a) Artai c $ este parte sta&il 'a de iie .5p b) S se determine elementele simetriza&ile ale m raport cu leea de compoziie ;
5p c) tiind c leea de compoziie este asociativ, s 1 2 82 3 9
SUBIECTUL III ( 30 de puncte)
1. Se consider 'unciaf: RR, f(x) = x2012+ 2012(x 1) 1.5p a) S se calculeze f (1) f (0), ;5p b)S se determine ecuaia tanentei la ra'icul 'unciei ', n punctul de a&scis *0=
5p c)Artai c 'unciafeste convexpe R.2. Se consider'unciaf: RR, f(x) = (x + 1)3 3x2 1 .
5p a) S se calculeze1
0f(x)dx;
5p b)S se calculeze1 5
1f (x)dx
;
5p c)S se calculeze
x
0
4x
f (t 1)dtlim
x
;
33
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
34/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 29Prof: Gaga Loghin.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calcula+i suma 1 5 9 61
func+ia :f care eri'ic- rela+ia 22 3 2 3 5f x x x . - se calculeze 4f tru 3x , rezolva+i ecua+ia 2 2log 2 log 8 4x x .
mea 1,2,3, ,10M . Cte submul+imi care l con+in pe / are mul+imea 01
(5p) - t rii 1 2 3v m i j 2i 2 4 1v i m j . - se determine m astfelnct ndiculari(5p) 6. Latur ghi ABC sunt 4, 8, 6AB BC AC . - se determine m-sura sinusuluiunghiului B.SUBIECTUL al II-le e)
1. e consider- matric 2M
(4p) a) - se calculeze nM , n(4p) &) - se rezole ecua+ia 7 det 729 (4p) c) - se calculeze 2S M M
%. e consider- polinomul 32 ; ,f X X m n m n , cu r-d-cinile 1 2 3, ,x x x
(4p) a) - se determine parametri m,n 2tiind mite r-d-cinile 1 21, 2x x
(4p) &) - se determine m , 2tiind c- 2 21 2x x
(5p) c) Pentru 5, 4m n , s- se rezole n ecua+ia 2 1 25 2 0x n
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie func+ia
2
2: \ 1 ,
1
xxef f x
x
(5p) a) - se calculeze f x,
(5p) b) - se calculeze
limx
f x
f x ,
(5p) c) - se determine ecua+ia tanentei la ra'icul 'unc+iei n 0 2x .2. Fie func+ia : 2, , ln 2 2f f x x x
(4p) a) - se calculeze 1
2
1
ln 2x f x x dx
(4p) &) - se studieze concaitatea 'unc+iei '
(4p) c) - se calculeze aria supra'e+ei cuprinse ntre ra'icul 'unc+iei : 1, , 2g e g x f x x ,axa Ox 2i dreptele de ecua+ii 1x 2i x e
34
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
35/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 30Prof: Gaga Loghin.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
a+i partea imainar- a num-rului 3
1 3z i
id - ecua+ia 2 2 3 0x m x m . - se determine m , astfel ca 2 21 2 16x x .7 20052012 2012C
(5p) babilitatea ca, alegnd un element din mulimeaA 1,2,3,...,2013, acesta s- fiemulti
(5p) 5. Se con e 3,A m #i , 3B m . S- se determine m astfel nct 6 2AB .(5p) 6. n triu 3, AC=4, BC=5. Determina+i lungimea medianei corespunz-toarelaturii BC a triunghiulSUBIECTUL al II-le e)
1. e consider- matricea A x
(5p) a)- se determine x dac-(5p) b) - se calculeze 2 22 10A x A (5p) c) Pentru 1x , s- se calculeze nA , n2. Fie, n inelul 5 X , polinoamele 2f X X 2i 4g X X (5p) a) - se determine 5a ast'el nct ' s- 'ie di
(5p) b) Pentru 1a , s- se descompun- n 'actori primi po(5p) c) Pentru 1a , s- se calculeze suma 0 1f f
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
/. e consider- 'unc+ia 2
2
1 ln: 0, ,
1 ln
xf f x
x
(4p) a) - se calculeze 1
limx
f x
(4p) &) - se determine deriata 5 a 'unc+iei '(5p) c) Determina+i asimptotele 'unc+iei '(*)
2. "onsider-m interalele1
20
1,
1
n
n
xI dx n
x
(5p) a) - se calculeze 1I
(5p) b) - se arate c- 1 3I I
(5p) c) - se calculeze 1n nI I
35
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
36/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 31Prof: Ionescu Maria.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(4p) /. - se calculeze6 2 2 2log 6 log 10 log 15 .
se rezole n mulimea numerelorntregi inecuaia6 29 16 0x .se determine al #aptelea termen al unei proresii aritmetice #tiind c- primul termen este 7, iar
ermeni este 17.mine cte numere de 3 ci're distincte se pot 'orma 'olosind ci're din mulimea
{3,4,(5p) nXOYse consider- puncteleA(2,3),B(-/,%) #i C(3,-4). "alculai lunimeamedi uluiABC.
(5p) 6. - se a triun8iuluiABCn careAB=6,AC=8#i 0120m BAC .
SUBIECTUL al II-le e)
1. e consider- sistem2
2 1
2 3
x y zy z
z
(5p) a) - se determine m R ast e ) s- 'ie o soluie a sistemului de ecuaii de mai sus.
(5p) b) 9ezolai ecuaia61 1 1
2 1 1
3 2m
R .
(5p) c) - se rezole sistemul de ecuaii pen
2. Fie polinoamele ^ ^ ^ ^ ^ ^
5 452 4 3 1, 2 3, ,f X X X g f g Z X .
(5p) a) "alculai^ ^
1 0f g
.
(5p) b) - se rezole n 5Z ecuaia ^
0f x
(5p) c) - se determine ctul #i restul mp-ririi polinomuluif la poSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. :ie 'uncia 2012: , 2012 2012 2012xf R R f x x x .
(5p) a) "alculai ' ,f x x R .
(5p) b) - se scrie ecuaia tanentei la ra'icul 'unciei f n punctul cu a&scisa nul-.(5p) c) - se demonstreze c- f este cone*- peR.
2. :ie 'uncia 1
: 0, , 20122012
f R f x xx
.
(4p) a) - se determine mulimea primitielor 'uncieif.(5p) b) - se calculezeolumul corpului o&inut prin rotaia, n !urul a*ei OX, a ra'icului 'unciei
1
: 1, 2 ,2012
g R g x f xx
.
36
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
37/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) Calculai 2
2
1
f x dx .Varianta 32
Prof: : Ionescu Maria
UL I (30 de puncte)
mine elementele mulimii .
(4p) ulimea numerelor reale ecuaia6 5 2 7x x .
(4p) ia 2: , 7 12f R R f x x x . - se calculeze 1 2 ... 10f f f .
(5p) 4. S- se ia 25 6 5 5 0x x .(5p) 5. - se 8iului A, al triun8iuluiABC, #tiind c-AB=5,AC=7#iBC=8.(5p) 6. - se determine i ce trece prin punctele 0(%,3) #i ;(-3,-2).
SUBIECTUL al II-le e)
1. Fie matricele 2 1 1
3 1 2
A
1 0 0
1 0
0 1
.
(5p) a) - se calculeze 2A .
(5p) b) "alculai 3det I A .(5p) c) - se determine inersa matricei A.
2.
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
38/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) Utiliznd, eventual, inegalitatea *1 1 1
, 0,1 ,3 2 2
x n Nx
s- se demonstreze c-
2011
1 12012
3 2I .
Varianta 33Prof: Ionescu Maria.
UL I (30 de puncte)
mine coordonatele r'ului para&olei asociate 'unciei2: 8 12f R x x .
(5p) R astfel nct soluiile ecuaiei 2 1 2 0x m x m s- eri'ice relaia
2 21 23 x x (5p) 3. - se dup- un an de zile , dac- s-au depus 7@@ de lei la o &anc- cu o rat-a dobnzii de 5,5% pe
(4p) . - se calculeze(5p) 5. - se determine dreptele 1 : 2 3 7 0d mx y #i 2 : 3 8 2 0d x y s- 'ieperpendiculare.
(5p) 6. - se calculeze 5co s6
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. n reperul cartezianXOYse consider- pun *5,2 3 ,n n n n N .
(5p) a) - se determine ecuaia dreptei 1 3A A .
(5p) b) - se calculezearia triunghiului 1 2OA A .
(5p) c) - se arate c- punctele *5,2 3 ,nA n n n N sunt .
2. e consider- polinomul 3 23 13 15f X X X care are r- 2 3,x R .
(5p) a) "alculai 2 2 21 2 3x x x .
(5p) b) Ar-tai c- r-d-cinile polinomului fsunt termeni consecutivi ai unei ritmetice.(5p) c) - se rezole n mulimea numerelor reale ecuaia 25 3 5 13x x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. e consider- 'uncia
2
2
4
: , 4
x
f R R f x x
.(5p) a) "alculai ' ,f x x R .(5p) b) - se determine ecuaia asimptotei orizontale catre la ra'icul 'uncieif .
(5p) c) - se determine ' '
0
0limx
f x f
x
.
%. e consider- 'uncia 2 1, 0
: ,, 0x
x x xf R R f x
e x x
.
(4p) a) - se arate c- 'unciaf admite primitive peR.
38
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
39/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) - se calculeze 1
2
f x dx
(5p) c) "alculai 1
lne
f x dx
Varianta 34 Prof:Isofache Ctlina Anca
0 de puncte)
(5p) 2 12108642 22222 .(5p) 2. Deter ele de intersecie dintre reprezentarea grafic- a funciei f: RR , f(x)=x 2
+6x-7 #i axe nate(5p) 3. Rezol ia lg(x+7)-lg(x-2)=1(5p) 4. Determinai pr alegnd un element din mulimea A={2 ;4 ;6 ;... ;2012}acesta s-
fie divizibil cu 6,dar s- l cu 4.(5p) 5. Triunghiul AB B=10 ;AC=24 #i BC=26.Calculai cosB(5p) 6. Calculai sin1 0 n4 0 .+sin360 0 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de punc
1. In mulimea )(2 RM se consider-ma
0
10#i
00
002O .
(5p) a) Calculai A 2 #i detA.
(5p) b) Ar-tai c-,dac-X )(2 RM #i XA=AX,atun R astfelnct X=
a
ba
0.
(5p) c) Demonstrai c-ecuaia Y 2 =A nu are soluien )(2M2. Pe mulimea numerelor reale se consider-legea de compozitie - prin: x y=2xy+2x+2y+1, x;yR.(5p) a) Ar-tai c-x y=2(x+1)(y+1)-1, x;yR.(5p) b) Demonstrai c-(x y) z =x (y z), x;y ;zR.(5p) c) Verificai dac-(-2012) (-2011) 0 1 2012
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
40/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) a) CalculaiI0 #iI1 .
(5p) b) Demonstrai c-4I 1n +3In =1
1
n, nN*.
(5p) c) Calculain
lim nIn .
Varianta 35
Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA.
0 de puncte)
(5p) alorile reale ale lui * pentru care 3x x .
(5p) , f x = x2+ x 6. Sse calculeze suma cu&urilor soluiilor ecuaiei f x= 0.
(5p) 3. Sse calculeze5 46 64 35 5
A
A
.
(5p) 4. "are este pro&a nd un element din mulimea 5 acesta sa 'ie soluie a ecuaiei *2
= 2?
(5p) 5. Fie punctele A(-5, 0), B( mi!locul sementului AB n reperul (, i, j
). S se
determine coordonatele vectori B
, OM
.
(5p) 6. S se determine aria triun8iului /% #i 30m B m C .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =2 1
3 m
, m .
(5p) a) S se calculeze suma = 12 21 11 22a a a a .(5p) b) S se seasc aloarea parametrului real m ast'el nct A*(5p) c) Pentru m = 1 s se calculeze A 1.
2. Fie polinomul f = X4 6X2+ 8, f [X].(5p) a) S se arate c polinomul f este divizibil cu X + 2.(5p) b) S se descompun fn polinoame ireductibile n [X].(5p) c) S se determine rdcinile reale ale polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. :ie 'uncia :f , x
f x x e .(5p) a) S se determine numrul real f, (0).(5p) b) S se determine lim
xf x
.
(5p) c) S se determine numrul punctelor de in'le*iune ale 'unciei f .
2. :ie 'uncia :f , 22x xf x x e .(5p) a) S se determine o primiti :1a functiei f care verific relaia :1(0) = 1.
40
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
41/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) S se calculeze 1
0
f x dx .
(5p) c) S se determine aria supra'eei plane cuprinse ntre ra'icul 'unciei 6 , g(x) = = f (x) (2x+ ex), a*a * #i dreptele de ecuaii * = / #i * = %.
Varianta 36Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA.
SUB uncte)
(5p) 1. Se d tmetic 1n na cu a1 = / #i r = 3. ;umrul %@/% aparine proresiei1
(5p) 2. S se 1 .(5p) 3. S se rezole e ... 64nnC , , 1n n .
(5p) 4. Care este proba nem un element iraional alend un element din mulimea 0 = 2, 3, 5, 6,
(5p) 5. S se scrie ecuaia cartez a dreptei ce trece prin punctul A(/, /) #i are direciavectorului director u
(1, 1).
(5p) 6. :ie punctele A(, @), B(@, 3) #i se calculeze aria patrulaterului O AO,B, unde O,este simetricul lui 'a de AB.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea A =3 0
1 1
.
(5p) a) S se calculeze det (tA).(5p) b) S se seasc elementul &22al matricei B = 2A
tA(5p) c) S se calculeze , suma elementelor de pe diagonala pri ricei A3.
2. Fie polinomul f = (X3+ X2 1)5= 0a + 1a X + ... + 15a X , f X]
(5p) a) S se determine coe'icientul 0a .
(5p) b) S se calculeze 0a + 1a + ... + 15a .
(5p) c) S se arate c polinomul f nu e divizibil cu X2 1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. :ie 'uncia :f , 22 1xf x
x
.
(5p) a) S se determine numrul f (1) + f, (1).(5p) b) S se determine ecuaia asimptotei orizontale la ra'icul 'unciei f .(5p) c) S se determine numrul punctelor de e*trem ale 'unciei f .
2. :ie 'uncia :f ,
, ,0
1 , 0,
xe x
f xx x
#.
(5p) a) S se arate c 'uncia f admite primitive pe .
41
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
42/91
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
43/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) S se determine rdcinile reale ale ecuaiei 30f x f x f x, ,, .
2. :ie 'uncia : 0,f , 2 lnf x x x .
(5p) a) S se calculeze
2
f xdx
x , x > 0.
se arate c 31
0e
f x dxx
.
ce c 24
2
5
ln
f xdx
x = 26(25 1).
Varianta 38Prof: LEFTERIU IOANA.
SUBIECTUL I (30 d
(5p) 1. Eeri'icai daca num-rul 2
( 2 3 este natural.
(5p) 2. "alculai &-a, #tiind c- numer sunt termenii consecutii ai unei proresii aritmetice.
(5p) 3. 9ezolai ecuaia6 2 13 1
22xx
(5p) 4. "alculai pro&a&ilitatea ca num-rul l 1,3,5,7,9 .
(5p) 5. Fie punctele 1,1 , 3, 2 , 5,A B C ne ecuaia dreptei A0,unde 0 estemijlocul segmentului BC.(5p) 6. tiind c- 0 0sin 70 cos70 ,x s- se calculeze 0sin 10 x
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se considera matricele: 3
2 1 1 0 0
3 , 2 , 0 1 0 .
4 3 0 0 1
A B I
Definim matr i
3( ) ,D x xC I x ,undetB este transpusa matricei B.
(5p) a) - se arate c-2 4 63 6 9 .
4 8 12
C
(5p) b) - se calculeze determinantul matricei C.
(5p) c) - se arate c- matricea D x este inersa&il-, 1 .8
x (
)
2.
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
44/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) a) - se demonstreze c-6 7 7 7, ,x y x y x y
(5p) b) tiind c- >? este asociati-,s- se rezole n ecuaia6x x x x .(5p) c) - se determine a ,care are proprietatea: ,x a a x a x #i apoi s- se calculeze
10 9 9 10.E
UL al III-lea (30 de puncte)
cia2
2: , ( )
4
x af f x
x
, a .
(5p) ecuaia asimptotei la a ra'icului 'unciei '.(5p) ai
0
( ) (0)limx
f x f
x
.
(5p) c)
7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
45/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) a) S se determine numerele ntregi a,b,c,x,z,y,u,v,w, astfel nct 3 33 0 .A I
(5p) b) S se calculeze determinantul matricei tB A A ,unde tA este transpusa matricei A.(5p) c) Pentru a = y =w = 0 i b = c = x = z = u = v =1,s se calculeze 2 .A 2. Se consider olinomul! 4 3 2 1 2 3 45 4, , , , ,f x ax bx x a R x x x x , fiind rdcinile eua"iei f#x$=0
(5p) a) Pentru a = 3,b = -1,s se determine c%tul i restul mr"irii olinomului f la g = x-2.
se determine a,b R ,astfel nct 1 21, 1x x s fie radacini ale olinomului f&tru a = 3,b= -1,calcula"i! 1 2 3 41 1 1 1P x x x x .
SUB I-lea (30 de puncte)
1. Fie2 6
( )1
x xx
x
.
(5p) a) S se mitele laterale n 0 1x i s se rec'zeze daca f are limit n acest unct(5p) b) Sse c la a graficului func"iei f .(5p) c) Sse determin unc"iei f .
2. Se consider func"ia 2) 25xx e x .
(5p) a) S se calculeze0
xd
e(5p) b) S se calculeze volumul cor rin rota"ia n (urul axei )x a graficului func"iei
( )
: 0,1 , ( )x
f xg g x
e
(5p) c) *erifica"i dac1
2
0
25 ( ) 2x f x dx
Varianta 40P f:LEFTERIU IOANA.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se rezolve n sistemul:4
,32
x yx y
x y
(5p) 2. +ie mul"imea! 3,8,13,18, ,98A &fla"i numrul elementelor mul"imii &
(5p) 3. S se calculeze! 2 3 2 3
5 5log log
(5p) 4. -ezolva"i ecu"ia 3 6nA n ,unde , 3.n N n
(5p) 5. Se consider rombul ./,iar ) este unctul de intersec"ie al diagonalelor sale&S se calculeze!
OA OB OC OD
.(5p) 6. S se calculeze!S= 2 2sin 60 cos 120 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
45
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
46/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1.Se consider sistemul!
2 1
2 5 ,
1 3 1
x my z
S x y z m R
m x y z
&otm cu ,matricea sistemului#S$
(5p) a) S se determine m R ,astfel nct det(A) = 1.(5 ) b) S se determine m R ,entru ca sistemul s admit solu"ie unic&
tru m = 1,s se rezolve sistemul #S$&
inomul!3 2 15 2f x mx x m ,cu 1 2 3, , ,x x x rdcinile olinomului f&
(5p) mine m R ,astfel nct polinomul f sa fie divizibil prin g = x-2.(5p) R , astfel nct 3 0f .(5p) c) Pentr la"i! 2 2 21 2 3S x x x .
SUBIECTU a e)
1. Se d func"ia3 25 7 1 , 0:
2 2 , 0x xx x a xf
e x e x
.
(5p) a) S se determine a , nc"ia este continua n 0 0x .(5p) b) Pentru a = -2,s se scrie ecua i n unctul de abscis 0 2x ,situat e graficul func"ieif.
(5p) c) S se determine monotonia func"iei f 0, .
2. se consider func"iile 2 2: 0,1 , 2 3 4,m mf f x m m x unde m
(5p) a) S se calculeze 1( )f x dx .(5p) b) S se calculeze
1
0
0
xe f x dx .
(5p) c) S se determine m ,astfel nct 1
0
35
6mf x dx .
46
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
47/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
Varianta 41Prof: LICA ROXANA
SUB uncte)
(5p) . Sa se tea intreaga a numarului1
5 2.
(5p) 2. Daca a 1 5 8a a , sa se calculeze 3a .
(5p) 3. Sa se determine i ale inecuatiei 2 2 0x x
(5p) 4. Sa se determine ca solutiile 1 2,x x ale ecuatiei2
(2 1) 3 0x m x m verificarelatia 1 2 1 2x x x x
(5p) 5. Sa se rezolve in multime naturale ecuatia 2 13 3n nC C .
(5p) 6. Sa se determine raza cercului s unui triunghi cu laturile de lungime7, 5 si 2 6 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera sistemul
2 0
2 4
3 1
x y z
x y z
x y z
2 1 1
1 1
1 1
m
cu m .
(5p) a) Sa se calculeze determinantul matricei A pentru m(5p) b) Sa se determine valorile lui m pentru care determina i A este nul.(5p) c) Sa se rezolve sistemul.
2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de c p 23 3 9
x yy xy .
(5p) a) Sa se arate ca legea se poate scrie 1 1 13 3 3
x y x y
, ,x
(5p) b) Sa se determine aastfel incat a x a , pentru x .(5p) c) Sa se calculeze 2012 2011 2010 1...
3 3 3 3
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia : 0,f , ( ) lnf x x x x .(5p) a) Sa se calculeze (1)f, .
(5p) b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul luif in punctul de abscisa 0x e .(5p) c) Determina punctele de extrem local ale functiei f .
2. Se considera1
0cosn
nI x xdx , n .(5p) a) Sa se calculeze 0I .
47
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
48/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) b) Sa se calculeze 1I .
(5p) c) Sa se demonstreze ca 20121
2013I .
Varianta 42Prof: LICA ROXANA
SUB uncte)
(5p) 1. Sa se tea fractionara a numarului lg100 10 .
(5p) 2. Se considera fu , 1f x x . Sa se calculeze
1 2 3 .f f f
(5p) 3. Daca 1x si 2x s uatiei2 7 6 0x x , atunci sa se determine 3 31 2E x x .
(5p) 4. Sa se rezolve ecuatia log , x .
(5p) 5. Sa se calculeze sin151 .(5p) 6. Sa se calculeze aria triunghiului ABC cu AB=AC=18 si 30m B 1 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera matricele 3
1 0
0 1 0
0 0 1
I
,
0
0
A
i 3,M a b aI bA , unde ,a b .
(5p) a) Sa se calculeze 2
1,1M .
(5p) b) Sa se determine inversa matricei 2,3M .
(5p) c) Sa se determine asi b reale astfel incat matricea ,M a b s
2. Se considera polinomul 3 2 1f X X X , f X .
(5p) a) Sa se calculeze 1f .
(5p) b) Sa se descompuna f in produs de factori ireductibili peste X .
(5p) c) Sa se calculeze4 4 41 2 3x x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt radacinile luif.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia :f ,2
2( )
2012
xf x
x
.
(5p) a) Sa se determine asimptotele functiei f .
(5p) b) Sa se calculeze f x, , x .(5p) c) Sa se scrie ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa 1.
48
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
49/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
2. Se considera :nf , 1n
nf x x .
(5p) a) Sa se calculeze 1
20.f x dx
(5p) b) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei 2012f , axa Ox si dreptele 0,x
1x .
se calculeze 1
0 nxf x dx .
Varianta 43Prof:Viorica Lungana
SUBIECTU uncte)
(5p) 1. Deter r pentru predicatulp(x): 2, 5 6 0x x x (5p) 2. S se gseasc al unei progresii aritmetice 1nna , dac 13110 a i
12r .(5p) 3. tiind c 2lg xprimai, n funcie deAiB, numrul 288lg .
(5p) 4. Rezolvai, n , ecuaia
(5p) 5. Fie punctele 4,3A , 1,0B i Aflai coordonatele vectorului 2AC AB
.
(5p) 6. Fie xxxf cossin . Artai c
f .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele YXBA ,,, M3( ), unde
1
2
1
,
121
212
121
B .
Fie sistemul
BYX
AYX
2
32.
(5p) a) Determinai soluiile YX, ale sistemului.(5p) b) Artai c BAYX .(5p) c) Artai c YXdet este un numr natural.2. Fie mulimea ,5G i legea 3055* yxxyyx .
(5p) a) Artai c legea este asociativ.(5p) b) Determinai elementul neutru al legii i elementele inversabile din G.(5p) c) Rezolvai ecuaia 6** xxx .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie :f D , x
xxf
1
1 , undeDeste domeniul maxim de definiie al funciei.
(5p) a) Calculai domeniul maxim de definiieD.(5p) b) Determinai punctele de extrem i de inflexiune ale funciei.
49
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
50/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
(5p) c) Aflai ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul 3,2A
2. Se consider 1
02 1
dxx
xI
n
n , *n .
!p" a" S se calcule#e 1I .
se demonstre#e c 12 II .se demonstre#e c
1
12
n
II nn , *
n .
Varianta 44Prof: Viorica Lungana
SUBIECTU uncte)
(5p) 1. Artai c
2
3a oluiile ecuaiei 21212 aaaa .
(5p) 2. Rezolvai ecua 2
(5p) 3. Calculai suma rdcinilo 23
511
xx
.
(5p) 4. Calculai numrul elementelor m 1000!;* % yxCCNyM xyy
x.
(5p) 5. n reperul cartezianxOyse consider 2,3,3,3,2,3 CB . S se determineperimetrul triunghiuluiABC.
(5p) 6. Calculai valoarea expresiei x
xE4 csin
s
2tgx .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea
211
22
21232
32
x
axxx
axxx
A M3( ).
(5p) a) Calculai determinantul matriceiA.(5p) b) Rezolvai ecuaia 0det A pentru 0a .(5p) c) Determinai valorile parametrului real apentru care ecuaia admite o rd calculai suma acestor valori.2. Pe mulimea a numerelor ntregi se definesc legile de compoziie
3* yxyx , 633 yxxyyx .
(5p) a) Cercetai dac inelul ,*, este inel comutativ i fr divi#ori ai lui #ero.
(5p) b) Determinai elementele inversabile ale inelului ,*, .
(5p) c) Este ,*, un corp? Justificai.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
50
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
51/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1. Fie funcia :f 2 , 372 xxxf .
(5p) a) Rezolvai ecuaia , 0f x .(5p) b) S se determine punctul n care tangenta la graficul funciei f este paralel cu dreapta
35 xy .(5p) c) S se scrie ecuaia tangentei n acest punct.
der irul 0nnI , dxx
xI
n
n
1
021
.
i 1I .
(5p) faptul c 0 1nx oricare ar fi [0,1]x , s se demonstre#e c 04n
I
(5p) c) Deter mul de recuren pentru 0, nIn .
Varianta 45
Prof: Viorica Lungana.
SUBIECTUL I (30 d
(5p) 1. Rezolvai ecuaia 32x , te partea ntreag a numrului reala.!p" 2. S se determine imaginea funci 22 xxxf .!p" $. Artai c l...5log4log3log 432
(5p) 4. Calculai 1!99...!33!22!11 (5p) 5. Fie vectorii ,a b
care verific relaiil i 4a b
. Calculai
2 2v a b a b
.(5p) 6. S se calcule#e 15sin75sin .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matrices
001
100
010
A
(5p) a) S se calcule#e 2A i 3A .
(5p) b) Calculain
A .(5p) c) Calculai suma elementelor matricei 2012A .2. Se definete legea ,0,,* ln yxxyx y .(5p) a) Cercetai dac legea este comutativ.(5p) b) Determinai elementul neutru i elementele simetri#abile din intervalul ,0 .
(5p) c) Calculai simetricele numerelor eie
1 n raport cu legea *.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
51
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
52/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
1. Se consider funcia :f , 3 23 xxxf .
(5p) a) Rezolvai ecuaia 0, xf .(5p) b) Determinai mi nastfel nct dreapta nmxy s fie asimptot oblic spre .
culai 2
2
2
nmn
m
.
ciile , : 0,1f g , xxf ,
"$
!#
!#
1,4
1,12
4
1,0,
xx
xx
xg .
(5p) xgxf pe intervalul 1,0 .(5p) b) Calcu afeei plane cuprins ntre graficele funciilorf i g.
(5p) c) Calcu
0 2
dx .
Varianta 46Prof: Viorica Lungana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
!p" %. S se determine mreal astfel nc&t n e 21,xx ale ecuaiei 0422 xmx s
existe relaia 02122
21 xxxx .
(5p) 2. S se arate cfuncia
: 5,f #
, xf ict cresctoare pe intervalul
5 , # .(5p) 3. 'ac mulimeaAare 10 elemente, mulimeaBare 7 ele limea BA are 3elemente, cte elemente are mulimea BA ?(5p) 4. S se re#olve ecuaia 153log 23 xx .(5p) 5. Determinai soluiile ecuaiei xx 3sin6sin din intervalul ,0 .(5p) 6. n reperul cartezian xOy se consider punctele 1,1A , 1,1B , ,C ule#e ariatriunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea
121
410
121
A M3( ).
(5p) a) S se calcule#e Af , dac 32 3 IXXXf .
(5p) b) S se calcule#e rangul matriceiA.(5p) c) Calculai determinantul asociat matricei Af .
52
DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf
53/91
Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro
2. Pe mulimea se definete legea astfel: 24224
yxxy
yx .
(5p) a) Studiai comutativitatea legii.(5p) b) Studiai asociativitatea legii.(5p) c) Rezolvai ecuaia 12** xxx .
UL al III-lea (30 de puncte)
1,1 , 235 xxxxf .(5p) a funciei.(5p) de extrem ale funciei.(5p) c) Calcu dintre cea mai mare i cea mai mic valoare a funciei date.
2. Se conside g1
0
1
1
nxdx
x
, pentru orice *n