Post on 30-Oct-2014
CONDUCCION BIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTABLE
Métodos.
(1) Analítico. Separación de variables.
(2) Gráfico.
a) El modelo de conducción bidimensional.
Considerando una sección de un sólido
Sujeto a dos temperaturas T1 y T2
y
T1 T2 <T1 isoterma
x
Métodos.(1) Analítico. Separación de
variables.
(2) Gráfico.xQ"
yQ"
"
Q
0
"""
2
2
2
2
y
T
x
T
QjQiQ yx
b) MÉTODO ANALÍTICO. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Tomando un elemento rectangular como:
y T2 θ=1 T2 ≠ T1 T1 W T1 L
T1 θ=0 x
Se puede separar si ambas partes son Iguales a la misma constante.
Si θ(0,y) = 0; C1 = 0; Con: θ(x,0) = 0
Indica que se debe eliminar la dependencia
de x no es por ahí la solución2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
11
)().(),(:
11),(0),(
0)0,(0),0(.
0;
dy
Yd
Ydx
Xd
X
yYxXyxasumese
WxyL
xyfronteraCyxTT
TT
)()(
0
0
4321
432
2
2
212
2
2
yy
yy
CCxSenCxCosC
CCYydy
Yd
xSenCxCosCXxdx
Xd
0
0)(
2
43432
Cy
CCCCxSenC
SIGUE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Si θ(L,y) = 0
Combinando Ctes y reconociendo que la nueva Cte depende de los valores de “n”.
:
Si θ(x,W) = 1
Si f(x) puede ser expresada en términos de una
serie infinita de funciones ortogonales.
0)(42 yyLSenCC
)(
,...3,2,1,0
42L
yn
L
yn
L
xnSenCC
nL
nLSen
satisfacenquediscretosvalores
L
ynSenh
L
xnSenCyx
linealessistemaSi
L
ynSenh
L
xnSenCyx
nn
n
1
),(
),(
Lxparasortogonaleson
L
xnCosy
L
xnSen
nmdxxgxg
sibxaensisortogonaleSon
xgxgxg
L
WnSenh
L
xnSenCWx
n
b
a m
n
nn
0
;0)()(
)()...().(
1),(
21
1
1
)()(n
nn xgAxf
SIGUE EL MÉTODO
An en esta serie se puede determinar
Multiplicando cada lado de la ecuación por
gn (x) e integrando de a ; b.
Algunos términos de la derecha pueden ser
Cero.
Θ(x,W) = 1, se puede escoger como: f(x) = 1 y
Entonces:
b
a nn
nn
b
a n dxxgAxgdxxgxf )()()()(1
b
a n
b
a n
n
b
a n
b
a nn
dxxg
dxxgxfA
dxxgAdxxgxf
)(
)()(
)()()(
2
2
)()(L
xnSenxgn
)(
)(1)1(2
),(
,....3,2,1;.
112
)1(21
)(
)1(2
1
1
1
1
1
1
0
2
0
yWn
Senh
yyn
Senh
L
xnSen
nyx
n
LWn
SenhnC
FourierPorL
xnSen
n
tienesexfdey
ndx
Lxn
Sen
dxLxn
SenA
n
n
n
n
n
n
n
L
L
n
Ejemplo 3.1. Calcule la temperatura en el punto medio (1.0, 0.5) de un sólido de L = 2 m y W = 1 m, tomando los primeros cinco no-cero términos y tase el error que se tendría al
tomar solamente los primeros tres términos.
(a) y T2 = 1500C
W = ! T1 (1, 0.5) T1 = 50 0C
T1 L=2 x
Con “n” impar.
,...3,1,...4,2,02
2
42
1)1(2)5.0,1(
2
1,
4
1,
2
1:Re
)5.0,0.1(),(
1)1(2
),(
1
1
1
1
12
1
nconsiderarsolonparan
Sen
nSenh
nSenh
nSen
n
L
W
L
y
L
xqueconociendo
yxpuntoTomandoLWn
Senh
Lyn
Senh
L
xnSen
n
TT
TTyx
n
n
n
n
CTprimerostreslostomanseSi
CT
Senh
SenhSen
Senh
SenhSen
Senh
SenhSen
Senh
SenhSen
Senh
SenhSen
0
0
5.94;
5.9450)50150(445.0;445.0
0001.0008.0063.0755.02
294
9
2
3
9
2
274
7
2
7
7
2
254
5
2
5
5
2
234
3
2
3
3
2
2
42
22
)5.0,1(
c) EL MÉTODO GRÁFICO. Se usa cuando se tienen fronteras adiabáticas e isotermas. Se construye una red de isotermas y líneas de flujo de calor.
(1) Identificar las líneas relevantes de simetría
a Δy b Qi
Δx
ΔTj
c d
T1 T2
(2) Las líneas de simetría son adiabáticas, no hay
flujo de calor a través de ellas.
(3) Líneas isotermas son perpendiculares a las adiabáticas
(4) Se forman cuadrados curvilíneos.
canaldellongitudlTempdesincrementoN
formadeFactorS
N
MlSTSkTk
N
MlQ
TNTT
x
Tlyk
x
TkAQ
asociadaslíneasMQQ
bdacy
cdabx
j
N
jj
jjii
M
ii
;.
).(
;
22
2121
121
1
FACTOR DE FORMA
En general la resistencia térmica es:
Problema. Determinar “S” para: (a) Pared
plana, cáscara cilíndrica y una esfera hueca.
-Pared plana
k Cáscara cilíndrica
L Esfera hueca.
r2 r1
b) Una esfera térmica diam “D” enterrada en un medio infinito.
medio k, T2
T1 D )2(
)2(
1;
1
DtcondDtcond
t
kRS
SkR
R
TTkSQ
L
AS
kA
LRt ;
1
2ln
2;
22
1ln
r
r
LS
Lk
r
r
tR
21
21 11
4;
11
4
1
rr
Srrk
Rt
rQ
DSTTD
kQ
TTD
k
Q
rk
Q
dTr
dr
k
Q
dr
dTrkQ
r
r
D
r
D
T
T
r
r
2;2
4
20
4
1
4
4
)4(
21
12
2
22
2
2
1
Ejemplo 3.2. Un cable de transmisión d = 25 mm, enterrado en una zanja a medio metro de profundidad en arena de K a = 0.03 w/mK. La corriente disipa 1 w/m. La cubierta aislante de 3mm del cable con Kc = 0.01 w/mK. Calcule la temp
en la interfase entre el conductor y el aislamiento cuando la temp de arena es de 200C
Diagrama:
t z = 0.5 m arena r0
d kc
Circuito térmico. Ti Ta
Rc Ra
Para la resistencia de la arena se usa un factor
de forma de un cilindro diámetro “d” enterrado
Con: D= d + 2t para z > 3D/2;
Para la cubierta del conductor
Para el circuito térmico
Observación: La resistencia del aislante es
el 13% del total. La máxima temperatura
Está en el centro del conductor.
rQ'
rg QE ''
W
mKx
kD
z
R
D
zL
Sa
a 11.22)03.0(2
)006.0025.0(
5.04ln
2
4ln
';4
ln
2
W
mK
k
rtr
Rc
c 42.3)01.0(2
0125.0003.00125.0
ln
2
ln
' 0
0
CT
RRQTTRR
TTQ
i
caraica
air
05.45)11.2242.3(120
)''(';''
'