Conduccion en Estado Estable Unidimensional Con Generacion
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8/18/2019 Conduccion en Estado Estable Unidimensional Con Generacion
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Conducción en estadoestable unidimensional con
eneraciónDavid Fuentes Díaz
Escuela de Ingeniería MecánicaUniversidad Industrial de Santander
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Conducción con generación
Contenido
• Introducción
• Cálculo de la distribución de temperatura – Sistemas Cartesianos – Sistemas Cilíndricos
• Cálculo del flujo de calor – Sistemas Cartesianos
– Sistemas Cilíndricos
Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS Transferencia de calor en estado estable con generación 2
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Conducción con generación
Introducción• En algunas circunstancias, el comportamiento térmico se ve afectado por la
producción o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Las resistencias decalentadores, los embobinados eléctricos, los reactores nucleares y la combustión
del combustible en el hogar de una caldera. La disipación del calor, procedente defuentes internas, constituye otro aspecto importante para juzgar la potencia derégimen de motores eléctricos, generadores y transformadores.
La generación de calor se da dentro del sólido y se da como producto de:
1. Reacción Química.A + B reacciona y produce una elevación de temperatura.
• 2. Corriente Eléctrica.circulando a través del cuerpo.P = I2*R P = V*I
3. Reacción Nuclear.Se produce una generación de energía.
Todas estas formas de generación producen una elevación de la temperatura del cuerpo
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Conducción con generación
Introducción
Lr
R I q g 2
2''' =
Característica de la generación:
Por lo general, la generación se trabaja en términos de generación de calorpor unidad de volumen.
Corriente eléctrica
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q g’’’ es uniforme y constante en todo el volumen
Por lo general, los procesos de generación de calor presentan unperiodo transitorio. Existe un compromiso entre el calor generado ycalor intercambiado al ambiente hasta que se establece un equilibrio.
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Conducción con generación
Introducción
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Conducción con generación
Cálculo de la distribución de temperatura
t
T
k
qT g
∂
∂=+∇ *
1'''
2
Ecuación General de Generación de Calor
Como el proceso es en condiciones de estado estable y no transitorio, 0=∂
∂
t T
'''q
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Para condiciones unidimensionales
=+
k
=∇
esfericasscoordenadaen
scilindricascoordenadaen
dr dT
r dr d
r
scartesianascoordenadaendxT d
T 1
2
2
2
-
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Conducción con generación
Cálculo de la distribución de temperatura
Balance de Energía
t E E E E generadasaleentra ∆
∆=+−
Como al sistema no entra energía y la
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( )
sup
'''
sup
supsup'''
Ah
V qT T
T T AhV q
E E
g
g
salegen
+=
−=
=
α
α
-
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Conducción con generación
Sistemas cartesianos
0'''
2 =+∇k
qT g
Pared Plana Con Generación
Para una pared plana tenemos que 2
22
dxT d
T =∇
De la ecuación general de generación de calor tenemos,
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Por lo tanto tenemos: 0'''
2
2=+
k q
dxT d g
Integrando una vez:1
'''
C xk
q
dx
dT g =+
Integrando por 2ª vez: 212
'''
2C xC x
k
qT g +=+
-
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Conducción con generación
Sistemas cartesianos
212
'''
2C xC x
k
qT g +=+
Condiciones de frontera x=0 T=T 1 x=e T=T 2
Aplicando estas condiciones de frontera en
obtenemos: T 1 = C 2
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1
'''12
11
2'''
2
2
2
C k
eq
eT T
T eC k eqT
g
g
=+−
+=+
Así tenemos la ecuación general parala pared plana:
( )1
'''122
'''
22T x
k
eq
e
T T x
k
qT gg ++
−+−=
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Conducción con generación
Temperatura máxima
Esta ecuación para la pared plana describe una parábola.¿Dónde se encuentra la temperatura máxima?
El punto máximo de la curva se encuentra en:
00
== x xdx
dT
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Evaluando x=x 0
( )'''
'''
'''12
0 2 g
g
g qk
k
eq
k
eqT T
x +−
=
er van o a ecuac n e a emp en a pare
( )0
222
'''12
'''
=+−
+−=k
eq
eT T
xk
q
dxdT gg
( )2'''
120
e
k
eqT T
xg
+−
=entonces Si T 2=T1
→ X0= e/2
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Conducción con generación
Flujo de calor en las fronteras
Evaluando la ecuación de calor por conducción en x=0 :
( )
0
'''12
'''
00
2k
eq
eT T
k
xqk
dx
dT k q
x
gg
x x
+−
+−
−=
−=
=
==
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( )
( )
0'''
''' 12'''
'''12
2
2
xq
e
k
eqT T
q
eqe
T T k
g
gg
g
−=
+−
−=
−−
−=
asi:
A xq AqQ g x 0'''
0 −== =
A xeqQ g )( 0''' −=
Similarmente, evaluando en x=e
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Conducción con generación
Problema 1
Evaluar el calor y el punto de temperatura máxima de una paredcuyas temperaturas son T 1 = T2 = 100º C con un e = 0.2 m; k = 40w/mk y una generación uniforme de 10 5 w/m3
Suposiciones: Condiciones de estado estable.
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.Propiedades constantes para la pared.
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Conducción con generación
Problema 1
T 1 (ºC) x 0 (m)
25
50100150200
0.25
0.20.10
-0.1
Conservando la Temperatura T 2 = 100 ºC se varia laT1= como muestra la siguiente tabla y se determina elvalor de x0.
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Conducción con generación
Sistemas cilíndricos
• Cilindro sólido
01
'''
=+
k
q
dr dT
r dr d
r g
dr r k
q
dr dT
r d g'''
−=
De la ecuación general de generación en coordenadas cilíndricas
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Integrando
1
2'''
2C
r k
q
dr dT
r g +−=
Integrando por 2ª vez
r C r
k
q
d dT g 1
'''
2+−= dr
r C r
k
qdT g +−= 1
'''
2
21
2'''
ln
4
C r C r
k
qT g ++−= Solución general para ladistribución de temperaturas
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Conducción con generación
Sistemas cilíndricos
• Condiciones de frontera
De la condición de simetría y la 1ª integración de laecuación general tenemos que C 1=0 en r=0
0)( 0sup ==
=r dr
dT T r T
(por condición de simetría)
2'''
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Y aplicando la otra condición de frontera
2
21
'''
sup
4C
r
k
qT g +−=
Integrando por 2ª vez
Solución generalpara la distribución
de temperaturas
24 C k T g
+−=
21
'''
sup2
4r
k
qT C g+=
21
'''
sup2
'''
44
r
k
qT r
k
qT gg ++−= ( )221
'''
sup
4
r r
k
qT T g −+=
-
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Conducción con generación
Sistemas cilíndricos
• Cilindro hueco
22
11
T T r r
T T r r =→=
=→=
Condiciones de frontera
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Aplicamos las condiciones de frontera y restamos las ecuaciones
211
21
'''
1
221
22
'''
2
ln4
ln4
C r C k
r qT
C r C k
r qT
g
g
++−=
++−=
1
21
21
22
'''
12 ln)(4 r
r C r r
k
qT T g +−−=−
(
1
2
21
22
'''
1
2
121
ln4lnr
r k
r r q
r
r T T
C g −
+−
=
-
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Conducción con generación
Sistemas cilíndricos
• Condiciones de fronteraCon la primera condiciones de frontera
212
21
22
'''
2
122
1'''
1 lnln4
)(
ln4C r
r k
r r qr T T
k
r qT gg +
−+
−+−=
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Y así obtenemos la solución general
11 r
( ) 11
1
2
21
22
'''
1
2
122
12'''
lnln4
)(ln4
T r r
r r
k r r q
r r T T
k r r qT gg +−+−+−−=
-
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Conducción con generación
Sistemas cilíndricos
01 AxqQ g−=
−=
PARED PLANA
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALORCASO
( ) ''''''
'''12
0 2 gg
g qk
k eq
k
eqT T x +−=
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( ) 102
2T x
k xq x
k qT gg x ++−=
g
( ) ( ) 11
20
221
24T
r
r Lnr
k
qr r
k
qT ggr ++−=
( )20211 r r LqQ q −= π
20
222 r r LqQ q −= π
CILINDROHUECO( )
1
2
21
22
'''
1
2
122
ln2
12
lnr r
r r
q
k
r r
T T r
go
−+
−=
-
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Conducción con generación
Problema 2• El calentamiento volumétrico uniforme dentro de un tubo de acero
inoxidable se induce mediante una corriente eléctrica y el calor setransfiere por convección al aire que fluye a través del tubo. La pared
del tubo tiene radio interior y exterior de r1 = 25 mm y r2 = 35 mm, unaconductividad térmica de k = 15 W/m·K , una resistividad eléctrica de ρe = 0.7 x 10-6 Ω·m y una temperatura de operación máxima permisible de 1400 K.
• a) Suponiendo que la superficie externa del tubo esta perfectamente aislada yque el flujo de aire se caracteriza por una temperatura y un coeficiente deconvección de T∞∞∞∞ ,1 = 400 K y h1= 100 W/m2·K, determine la máxima corrienteeléctrica I permisible.
• b) Considere el uso de un material aislante refractario de conductividad termica k = 1.0 W/m·k y no considere radiación en la superficie externa. Para h1= 100 W/m2·K y la corriente de la parte a), calcule la distribución detemperaturas en la pared compuesta para espesores de aislante de δδδδ ==== 25252525 yyyy 50505050mmmmmmmm.... LaLaLaLa superficiesuperficiesuperficiesuperficie externaexternaexternaexterna deldeldeldel aislanteaislanteaislanteaislante sesesese exponeexponeexponeexpone aaaa T∞∞∞∞ ,2 = 400 K y h1= 100 W/m2·K.
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