CHAPTER 6.

INNER PRODUCT SPACE

• Inner Products• Angle and Orthogonality in Inner Product

Spaces• Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process;

QR-Decomposition• Best Approximation; Least Squares• Orthogonal Matrices; Change of Basis

6.3. Basis OrthogonalProses Gram-Schmidt;

Dekomposisi QR

Basis Orthogonal dan Orthonormal

• Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebuthimpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektoryang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal.

• Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyainorma 1 disebut orthonormal.

Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebutortogonal jika u, v = 0.

Himpunan W = { v1, v2, … , vn} adalah ortonormal jika:

vi,vj = <vi, vj> =

0, jika i ≠ j

1, jika i = j

Basis Orthogonal dan Orthonormal

Contoh:• Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) dan R3

mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektor-vektor S = {u1, u2, u 3} adalah ortogonal karena :

u1, u2 = u1, u3 = u2, u3 = 0.

u1, u2 = 0.1+1.0+0.1 = 0u1, u3 = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0u2, u3 = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0

Matriks Orthogonal

• Himpunan ortogonal dalam Rn Matriks diagonal.

• Kolom-kolom matriks Qmxn membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In.

• Matriks Anxn yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.

• Matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q-1=QT (atau dengan kata lain QTQ=QQT=In)

Q-1=QT QTQ = QQT= In

Matriks Orthogonal

Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:

Normalisasi Vektor tak- nol

Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka

mempunyai norma 1, karena;

• Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikanpanjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1disebut menormalkan v.

• Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selaludiubah menjadi suatu himpunan ortonormal denganmenormalkan masing-masing vektornya.

Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol

Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1)

• Norma Euclidean :

• Normalisasi u1, u2, and u3 :

• Himpunan S = { v 1, v 2, v 3 } orthonormal dimana:

1 2 31, 2, 2u u u

)2

1,0,

2

1(),

2

1,0,

2

1(),0,1,0(

3

33

2

22

1

11

u

uv

u

uv

u

uv

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal

Basis Orthogonal basis yang terdiri dari vektor-vektor orthogonal.

Ruang Hasil Kali Dalam

Basis Ortonormal basis yang berisi vektor-vektor ortonormalContoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean Rn:

e1 = (1,0,0,.., n); e2 = (0, 1,0,…,n); ….. ; en = (0,0,0,…, 1)

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormaluntuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalahsebarang vektor dalam V, maka

u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn

u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}

(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dariu relatif terhadap basis ini.

Contoh

• Jika v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean.

• Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier darivektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)s.

Jawab: u, v1 = 1, u, v2 = -1/5, u, v3 = 7/5 u = v1 – 1/5 v2 + 7/5 v3

Vektor koordinat u relatif terhadap S(u)s=( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

ortonormal

Basis Orthonormal

Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasilkali dalam berdimensi –n dan jika (u)s = (u1, u2, …, un) dan(v)s = (v1, v2, …, vn) maka:

nn

nn

n

vuvuvu

vuvuvud

uuu

2211

22

22

2

11

22

2

2

1

,

)()()(),(

vu

vu

u

Basis Orthonormal

Contoh:

Diketahui v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), dan

S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)s =( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah :

Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat(u)s = (1, -1/5, 7/5)

Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S

• Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal:

• Jika u sebarang vektor dari V berlaku:

atau

• Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam basis ortogonal S.

n

nSv

v

v

v

v

v,,,'

2

2

1

1

n

n

n

n

v

v

v

vu

v

v

v

vu

v

v

v

vuu ,,,

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

nv

v

vuv

v

vuv

v

vuu

222

2

2

12

1

1 ,,,

Orthonormal Basis

Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vektor-vektortak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier

Proyeksi Ortogonal

Dalam R2 atau R3 denganhasil kali dalam Euclidean,secara geometris, jika Wadalah suatu garis ataubidang yang melalui titikasal, maka setiap vektor udalam ruang tersebutdinyatakan sebagai:

u = w1 + w2

dimana w1 berada dalam Wdan w2 tegak lurusterhadap W (W ).

w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

Proyeksi Ortogonal

w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

Karena w2 = u – w1

u = proyw u + (u – proy w u)

Basis Orthonormal

Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga darisuatu ruang hasil kali dalam V.

a. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

projwu = u,v1 v1 + u,v2 v2 + … + u,vr vr

b. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis ortogonal untuk W danu adalah sebarang vektor dalam V, maka

r

r

rv

v

vuv

v

vuv

v

vuuW 222

2

2

12

1

1 ,,,proj

Contoh

Jika R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap Wadalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektorortonormal v1 = (0, 1, 0) dan v2 = (-4/5, 0, 3/5) maka :

• Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

• Komponen u ortogonal terhadap W adalah:

Basis Ortogonal dan Ortonormal

Teori

Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhinggamempunyai suatu basis ortonormal.

Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basisortonormal disebut Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt

Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u1, u2, …, un} adalah sebarang basis untuk V.Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk Vdilakukan proses Gram Schmidt berikut:

Langkah 1:Anggap v1 = u1

Langkah 2:Hitung v2 ortogonal v1 denganmenghitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruangW1 yang terentang v1 :

Proses Gram-Schmidt

Langkah 3 :Susun vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2, denganmenghitung komponen u1 yang ortogonal terhadap ruang W2 yangterentang oleh v1 dan v2.

Langkah 4:Untuk menentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2 dan v3,hitung komponen u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yangterentang oleh v1, v2 dan v3.

Vektor-vektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V

Contoh Proses Gram-Schmidt

Tinjau ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)

Menjadi suatu basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q1, q2, q3}.

Jawab :

Step 1: Anggap v1 = u1 v1 = u1 = (1, 1, 1)

Step 2: Anggap v2 = u2 – projW1u2.

• Step 3: Anggap v3 = u3 – projW2u3.,

• Jadi v1 = (1, 1, 1), v2 = (-2/3, 1/3, 1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R3. Norma vektor-vektor ini adalah:

Sehingga basis ortonormal untuk R3 adalah:

u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0,0, 1)

Dekomposisi QR

Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolomyang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :

A = QRQ matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang

ortonormal, dimana QTQ = IR matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.

Jika QTQ = I, maka : QTA = QTQR= IR

QTA = R

Dekomposisi QR

Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix

Carilah dekomposisi QR dari

Jawab :

• Vektor-vektor kolom A adalah:

• Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:

1 0 0

1 1 0

1 1 1

A

1 2 3

1/ 3 2 / 6 0

1/ 3 , 1/ 6 , 1/ 2

1/ 3 1/ 6 1/ 2

q q q Q

R matriks

Dekomposisi QR dari A :

2012/5/2 Elementary Linear Algebra 29

6.5.Change of Basis

Orthogonal Matrices

30

Matriks-matriks Orthogonal

Definisi:

Suatu matriks bujursangkar A dengan sifat

A-1 = AT

Disebut sebagai matriks ortogonal, dimana;

AAT = ATA = I

Matriks-matriks Orthogonal

Matriks adalah ortogonal dimana terbukti ATA = 1, maka

vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortogonal.

Matriks adalah matriks ortogonal, karena;

AAT = ATA = I

Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal

Teorema:

1. Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.

2. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.

3. Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1

Teorema:

Untuk suatu matriks Anxn:

• A ortogonal• Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan

ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.• Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan

ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.

Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear

Teorema:

Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikutekuivalen:

• A ortogonal.

• untuk semua x pada Rn.

• Ax. Ay = x. y untuk semua x dan y pada Rn.

Perubahan Basis

Jika S= {v1, v2,…, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis:

v = k1v1 + k2v2 +… + knvn

k1,k2 , …, kn koordinat v relatif terhadap S, dan vektor :vs = (k1, k2,…kn) vektor koordinat v relatif terhadap S.

Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Matriks Koordinat

Matriks koordinat v relatif terhadap S dinyatakan oleh [v]s adalah matriks berukuran nx1 yang didefinisikan sebagai:

Matriks Koordinat Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormal untuksuatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektordalam V, maka

u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn

u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatifterhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}

(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dari u

relatif terhadap basis ini.

Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Contoh Matriks Koordinat

Masalah Perubahan Basis

Jika kita merubah basis untuk suatu ruang vektor V dari old basis B to some new basis B’ , bagaimana matriks koordinat lama [v]B darivektor v dikaitkan dengan matriks koordinat baru [v]B’ ?

Masalah Perubahan Basis

matriks koordinat lama [v]B matriks koordinat baru [v]B’

Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [v]Bdihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru[v]B’ dengan matriks:

Solution of the Change-of-Basis Problem

Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari suatu basislama B = ( b1, b2,…, bn ) menjadi suatu basis B’ = ( b’1, b’2,…, b’n ) , makamatriks koordinat lama [v]B dari suatu vektor v dihubungkan denganmatriks koordinat baru [v]B’ dari suatu vektor v yang sama denganpersamaan:

Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks –matriks koordinat darivektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektor-vektor kolom dari P adalah ;

Matriks P disebut matriks transisi dari B’ ke B, dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai ;

Example

Consider the bases and for R2, where

(a) Find the transition matrix from B’ to B

(b) Use to find [v]B if

Solution (a)

First we must find the coordinate vectors for the new basis vectors u’1 and u’2relative to the old basis B.

Solution (b)

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis

ortonormal lainnya untuk suatu ruang hasil kali dalam, maka P

adalah suatu matriks ortogonal, yaitu :

P-1 = PT

Matriks Transisi

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis B’ ke suatu basis B,maka untuk setiap vektor v berlaku:

Penerapan Pada Rotasi Sumbu Koordinat

Sumbu koordinat x’ dany’ didapat denganmerotasi sumbu xyberlawanan jarum jamterhadap titik asaldengan sudut θ.

Q

(x,y)

(x’ ,y’)

B = (u1, u2)

B’ = (u1’, u2’)

P = transisi dari B’ ke B.

Rotasi Sumbu Koordinat

Komponen u1’ pada basis lama:1. cos θ2. sin θ

Komponen u2’ pada basis lama:1. cos (θ+ π/2) = -sin θ2. sin (θ+ π/2) = cosθ

Didapat P matriks ortogonal

P-1 = PT

Misal sumbu sumbu tersebut dirotasikan dengan θ = π/4, maka;

Jika (x, y) = (2, -1), maka koordinat baru dari Q: