CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products •...

45
CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Products Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal Matrices; Change of Basis

Transcript of CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products •...

Page 1: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

CHAPTER 6.

INNER PRODUCT SPACE

• Inner Products• Angle and Orthogonality in Inner Product

Spaces• Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process;

QR-Decomposition• Best Approximation; Least Squares• Orthogonal Matrices; Change of Basis

Page 2: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

6.3. Basis OrthogonalProses Gram-Schmidt;

Dekomposisi QR

Page 3: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Orthogonal dan Orthonormal

• Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebuthimpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektoryang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal.

• Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyainorma 1 disebut orthonormal.

Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebutortogonal jika u, v = 0.

Himpunan W = { v1, v2, … , vn} adalah ortonormal jika:

vi,vj = <vi, vj> =

0, jika i ≠ j

1, jika i = j

Page 4: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Orthogonal dan Orthonormal

Contoh:• Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) dan R3

mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektor-vektor S = {u1, u2, u 3} adalah ortogonal karena :

u1, u2 = u1, u3 = u2, u3 = 0.

u1, u2 = 0.1+1.0+0.1 = 0u1, u3 = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0u2, u3 = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0

Page 5: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Matriks Orthogonal

• Himpunan ortogonal dalam Rn Matriks diagonal.

• Kolom-kolom matriks Qmxn membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In.

• Matriks Anxn yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.

• Matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q-1=QT (atau dengan kata lain QTQ=QQT=In)

Q-1=QT QTQ = QQT= In

Page 6: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Matriks Orthogonal

Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:

Page 7: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Normalisasi Vektor tak- nol

Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka

mempunyai norma 1, karena;

• Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikanpanjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1disebut menormalkan v.

• Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selaludiubah menjadi suatu himpunan ortonormal denganmenormalkan masing-masing vektornya.

Page 8: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol

Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1)

• Norma Euclidean :

• Normalisasi u1, u2, and u3 :

• Himpunan S = { v 1, v 2, v 3 } orthonormal dimana:

1 2 31, 2, 2u u u

)2

1,0,

2

1(),

2

1,0,

2

1(),0,1,0(

3

33

2

22

1

11

u

uv

u

uv

u

uv

Page 9: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal

Basis Orthogonal basis yang terdiri dari vektor-vektor orthogonal.

Ruang Hasil Kali Dalam

Basis Ortonormal basis yang berisi vektor-vektor ortonormalContoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean Rn:

e1 = (1,0,0,.., n); e2 = (0, 1,0,…,n); ….. ; en = (0,0,0,…, 1)

Page 10: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormaluntuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalahsebarang vektor dalam V, maka

u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn

u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}

(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dariu relatif terhadap basis ini.

Page 11: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Contoh

• Jika v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean.

• Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier darivektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)s.

Jawab: u, v1 = 1, u, v2 = -1/5, u, v3 = 7/5 u = v1 – 1/5 v2 + 7/5 v3

Vektor koordinat u relatif terhadap S(u)s=( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

ortonormal

Page 12: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Orthonormal

Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasilkali dalam berdimensi –n dan jika (u)s = (u1, u2, …, un) dan(v)s = (v1, v2, …, vn) maka:

nn

nn

n

vuvuvu

vuvuvud

uuu

2211

22

22

2

11

22

2

2

1

,

)()()(),(

vu

vu

u

Page 13: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Orthonormal

Contoh:

Diketahui v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), dan

S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)s =( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah :

Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat(u)s = (1, -1/5, 7/5)

Page 14: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S

• Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal:

• Jika u sebarang vektor dari V berlaku:

atau

• Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam basis ortogonal S.

n

nSv

v

v

v

v

v,,,'

2

2

1

1

n

n

n

n

v

v

v

vu

v

v

v

vu

v

v

v

vuu ,,,

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

nv

v

vuv

v

vuv

v

vuu

222

2

2

12

1

1 ,,,

Page 15: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Orthonormal Basis

Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vektor-vektortak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier

Page 16: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Proyeksi Ortogonal

Dalam R2 atau R3 denganhasil kali dalam Euclidean,secara geometris, jika Wadalah suatu garis ataubidang yang melalui titikasal, maka setiap vektor udalam ruang tersebutdinyatakan sebagai:

u = w1 + w2

dimana w1 berada dalam Wdan w2 tegak lurusterhadap W (W ).

w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

Page 17: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Proyeksi Ortogonal

w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

Karena w2 = u – w1

u = proyw u + (u – proy w u)

Page 18: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Orthonormal

Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga darisuatu ruang hasil kali dalam V.

a. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

projwu = u,v1 v1 + u,v2 v2 + … + u,vr vr

b. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis ortogonal untuk W danu adalah sebarang vektor dalam V, maka

r

r

rv

v

vuv

v

vuv

v

vuuW 222

2

2

12

1

1 ,,,proj

Page 19: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Contoh

Jika R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap Wadalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektorortonormal v1 = (0, 1, 0) dan v2 = (-4/5, 0, 3/5) maka :

• Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

• Komponen u ortogonal terhadap W adalah:

Page 20: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Basis Ortogonal dan Ortonormal

Teori

Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhinggamempunyai suatu basis ortonormal.

Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basisortonormal disebut Proses Gram-Schmidt

Page 21: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Proses Gram-Schmidt

Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u1, u2, …, un} adalah sebarang basis untuk V.Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk Vdilakukan proses Gram Schmidt berikut:

Langkah 1:Anggap v1 = u1

Langkah 2:Hitung v2 ortogonal v1 denganmenghitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruangW1 yang terentang v1 :

Page 22: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Proses Gram-Schmidt

Langkah 3 :Susun vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2, denganmenghitung komponen u1 yang ortogonal terhadap ruang W2 yangterentang oleh v1 dan v2.

Langkah 4:Untuk menentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2 dan v3,hitung komponen u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yangterentang oleh v1, v2 dan v3.

Vektor-vektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V

Page 23: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Contoh Proses Gram-Schmidt

Tinjau ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)

Menjadi suatu basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q1, q2, q3}.

Jawab :

Step 1: Anggap v1 = u1 v1 = u1 = (1, 1, 1)

Step 2: Anggap v2 = u2 – projW1u2.

Page 24: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

• Step 3: Anggap v3 = u3 – projW2u3.,

• Jadi v1 = (1, 1, 1), v2 = (-2/3, 1/3, 1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R3. Norma vektor-vektor ini adalah:

Sehingga basis ortonormal untuk R3 adalah:

u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0,0, 1)

Page 25: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Dekomposisi QR

Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolomyang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :

A = QRQ matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang

ortonormal, dimana QTQ = IR matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.

Jika QTQ = I, maka : QTA = QTQR= IR

QTA = R

Page 26: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Dekomposisi QR

Page 27: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix

Carilah dekomposisi QR dari

Jawab :

• Vektor-vektor kolom A adalah:

• Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:

1 0 0

1 1 0

1 1 1

A

1 2 3

1/ 3 2 / 6 0

1/ 3 , 1/ 6 , 1/ 2

1/ 3 1/ 6 1/ 2

q q q Q

Page 28: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

R matriks

Dekomposisi QR dari A :

Page 29: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

2012/5/2 Elementary Linear Algebra 29

6.5.Change of Basis

Orthogonal Matrices

Page 30: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

30

Matriks-matriks Orthogonal

Definisi:

Suatu matriks bujursangkar A dengan sifat

A-1 = AT

Disebut sebagai matriks ortogonal, dimana;

AAT = ATA = I

Page 31: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Matriks-matriks Orthogonal

Matriks adalah ortogonal dimana terbukti ATA = 1, maka

vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortogonal.

Matriks adalah matriks ortogonal, karena;

AAT = ATA = I

Page 32: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal

Teorema:

1. Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.

2. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.

3. Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1

Teorema:

Untuk suatu matriks Anxn:

• A ortogonal• Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan

ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.• Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan

ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.

Page 33: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear

Teorema:

Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikutekuivalen:

• A ortogonal.

• untuk semua x pada Rn.

• Ax. Ay = x. y untuk semua x dan y pada Rn.

Page 34: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Perubahan Basis

Page 35: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Jika S= {v1, v2,…, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis:

v = k1v1 + k2v2 +… + knvn

k1,k2 , …, kn koordinat v relatif terhadap S, dan vektor :vs = (k1, k2,…kn) vektor koordinat v relatif terhadap S.

Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Matriks Koordinat

Matriks koordinat v relatif terhadap S dinyatakan oleh [v]s adalah matriks berukuran nx1 yang didefinisikan sebagai:

Page 36: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Matriks Koordinat Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormal untuksuatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektordalam V, maka

u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn

u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatifterhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}

(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dari u

relatif terhadap basis ini.

Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Page 37: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Contoh Matriks Koordinat

Page 38: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Masalah Perubahan Basis

Jika kita merubah basis untuk suatu ruang vektor V dari old basis B to some new basis B’ , bagaimana matriks koordinat lama [v]B darivektor v dikaitkan dengan matriks koordinat baru [v]B’ ?

Page 39: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Masalah Perubahan Basis

matriks koordinat lama [v]B matriks koordinat baru [v]B’

Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [v]Bdihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru[v]B’ dengan matriks:

Page 40: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Solution of the Change-of-Basis Problem

Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari suatu basislama B = ( b1, b2,…, bn ) menjadi suatu basis B’ = ( b’1, b’2,…, b’n ) , makamatriks koordinat lama [v]B dari suatu vektor v dihubungkan denganmatriks koordinat baru [v]B’ dari suatu vektor v yang sama denganpersamaan:

Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks –matriks koordinat darivektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektor-vektor kolom dari P adalah ;

Matriks P disebut matriks transisi dari B’ ke B, dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai ;

Page 41: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Example

Consider the bases and for R2, where

(a) Find the transition matrix from B’ to B

(b) Use to find [v]B if

Solution (a)

First we must find the coordinate vectors for the new basis vectors u’1 and u’2relative to the old basis B.

Solution (b)

Page 42: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis

ortonormal lainnya untuk suatu ruang hasil kali dalam, maka P

adalah suatu matriks ortogonal, yaitu :

P-1 = PT

Matriks Transisi

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis B’ ke suatu basis B,maka untuk setiap vektor v berlaku:

Page 43: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Penerapan Pada Rotasi Sumbu Koordinat

Sumbu koordinat x’ dany’ didapat denganmerotasi sumbu xyberlawanan jarum jamterhadap titik asaldengan sudut θ.

Q

(x,y)

(x’ ,y’)

B = (u1, u2)

B’ = (u1’, u2’)

P = transisi dari B’ ke B.

Page 44: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

Rotasi Sumbu Koordinat

Komponen u1’ pada basis lama:1. cos θ2. sin θ

Komponen u2’ pada basis lama:1. cos (θ+ π/2) = -sin θ2. sin (θ+ π/2) = cosθ

Didapat P matriks ortogonal

Page 45: CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE · PDF fileINNER PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah

P-1 = PT

Misal sumbu sumbu tersebut dirotasikan dengan θ = π/4, maka;

Jika (x, y) = (2, -1), maka koordinat baru dari Q: