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Chapter 3Chapter 3
Wave Properties of ParticlesWave Properties of Particles
Concepts of modern PhysicsConcepts of modern Physics
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주사 전자 현미경 (scanning electron microscope) 에서는 , 시편을 주사하는 전자
빔이 표면의 각도에 따라 그 개수를 달리하는 몇 개의 제 2 차 전자를 튀어나오게 한다 .
적당한 데이터의 표시로서 시편의 3 차원 모습을 얻게 한다 . 풀잎 위에 있는 붉은 거미
진드기의 고 해상의 상은 움직이는 전자의 파동성의 결과이다 .
3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES
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3.1 DE BROGILE WAVES3.1 DE BROGILE WAVES
- - 움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다
3.2 WAVES OF WHAT3.2 WAVES OF WHAT
- - 확률파확률파
3.3 DESCRIBING A WAVE3.3 DESCRIBING A WAVE
- - 일반적인 파동 방정식일반적인 파동 방정식
3.4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3.4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
- - 파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요는 없다파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요는 없다
3.5 PARTICLE DIFFRACTION3.5 PARTICLE DIFFRACTION
- DE BROGLIE - DE BROGLIE 파의 존재를 확인하는 실험파의 존재를 확인하는 실험
3.6 PARTICLE IN A BOX3.6 PARTICLE IN A BOX
- - 왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가
3.7 UNCERTAINLY PRINCIPLE 13.7 UNCERTAINLY PRINCIPLE 1
- - 우리는 현재 모르기에 미래도 알 수 없다우리는 현재 모르기에 미래도 알 수 없다
3.8 UNCERTAINLY PRINCIPLE 23.8 UNCERTAINLY PRINCIPLE 2
- - 입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다
3.9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE3.9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE
- - 부정적인 말이 아니라 유용한 도구이다부정적인 말이 아니라 유용한 도구이다
3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES
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1905 년 : discovery of the particle properties of waves (Einstein)
1924 년 : particles might show wave behavior
de Broglie 는 1924 년 움직이는 입자는 입자로서의 성질과 파동의 성질도 가진다고 제안
→ soon received respectful attention
→ experimentally demonstrated by 1927 (Duality Principle),
→ 이들 이중성 원리는 이미 Schrodinger 가 그 전해에 양자 역학을 성공적으로 개발하는데 출발점이 됨
3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES
..
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진동수 v 인 광자의 운동량
3. 1 DE BROGLIE WAVES3. 1 DE BROGLIE WAVES
cvh
c
hvp
움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다
photon wavelength : )1.3(p
h → completely general one that applies to
material particles as well as photons
momentum of a particle of mass m and velocity v → p = mv
de Broglie wavelength : )2.3(mv
h
m : relativistic mass22
0
/1 cv
mm
em wave 와 마찬가지로 운동하는 물체의 파동성과 입자성은 동시에 관찰 불가능
→ 그러므로 어느쪽이 정확한 기술인가 하는 질문은 무의미하고 , moving body 가 어떤 경우에는 wave 같고
어떤 경우 particle 같다고 말할 수 밖에 없음
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3. 2 WAVES OF WHAT?3. 2 WAVES OF WHAT?
in water wave → 주기적으로 변하는 것은 수면의 높이이고 ,
in sound wave → 주기적으로 변하는 것은 압력이고 ,
in light wave → 주기적으로 변하는 것은 electric & magnetic field 임
then, What is that varies
in the case of “Matter Wave”?
matter wave 의 경우 변하는 양을 wave function (Ψ) 라 함
Ψ : has no direct physical significance & can not be interpreted in terms of an experiment
P (probability) : 어떤시간 , 어떤장소에서 어떤 물체가 발견될 확률은 0 과 1 사이의 임의의 값을 가질 수 있음
0 : the object is definitely not there
1 : the object is definitely there
중간값 0.2 means that there is a 20% chance of finding the object
-0.2 value is meaningless
확률파확률파
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a large value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 높다는 의미
a small value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 낮다는 의미
→ this interpretation was made by Max Born in 1926
- there is big difference btw. the probability event & the event itself
우리가 particle 이 공간에서 퍼지는 것은 Ψ 로 표현할 수 있지만 particle 자체가 퍼진다는 것은 아님
즉 전자 (particle) 는 하나가 어떤 시각과 위치에서 발견되거나 안되거나 하며 전자의 20% 라는 것은 존재하지
않음
(but 전자가 발견될 확률이 20% 라는 것은 가능 → 이것이 IΨI2 가 나타내는 가능성임 )
- X-RAY diffraction 의 pioneer 인 Bragg 는 다음과 같이 기술
: Everything in the future is a wave, everything in the past is a particle
IΨI2 : probability density
“ the probability of experimentally finding the body described by the wave function Ψ at the point x, y, z, at the
time t is proportional to the value of IΨI2 there at t.
3. 2 WAVES OF WHAT?3. 2 WAVES OF WHAT?
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3. 3 DESCRIBING A WAVE 3. 3 DESCRIBING A WAVE
- How fast do de Broglie wave travel?
→ we expect that this wave has the same velocity as that of the body
if de Broglie wave velocity vp 라고 가정하면
일반적인 파동 방정식일반적인 파동 방정식
pv to find vp , de Broglie wave length λ = h / mv
to find v (frequency), E=hv E=mc2
h
mcmchv
22
de Broglie wave velocity :
22
))((c
mv
h
h
mcvp
v 는 c 보다 항상 적으므로 vp 는 빛의 속도보다 빠르다 ? → unexpected result
이런 예기치 못한 결과를 이해하기 위해 phase velocity 와 group velocity 의 차이를 구별해야 한다 ( phase velocity 는 지금까지 wave velocity 라 부르던 것임 )
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Describe waves mathematically
- fig.3-1 처럼 x 축 방향으로 당겨진 줄을 생각하면
그 진동은 y 축 방향이면 단조화 운동 .
- x=0 에서 y 변위의 최대값을 t=0 로 선택하면 동일
장소에서 임의의 시간 t 에서의 줄의 변위는 ?
)4.3(2cos tAy → 변위를 시각의 함수로 나타낸 것 A : 진폭 , v : 진동수
-임의의 시각과 임의의 위치에서의 y 값은 ?
t=0 일때 x=0 에서 줄을 흔들어 파동이 + x 방향으로
진행한다고 생각 ( 속력 =vp)
시간 t 동안 x=vpt 만큼 거리를 진행 ,
∴ x=0 에서 point x 에 도달하기 위한 시간 간격은 t=x/vp
식 3.4 의 t 를 t-x/vp 로 대치 하면
)5.3()/(2cos pvxtAy -wave formula
3. 3 DESCRIBING A WAVE3. 3 DESCRIBING A WAVE
그림 3.1 (a) 어떤 특정한 순간의 잡아당겨진 줄에서의 파동의 모양 . (b) 줄 위 한 점에서의 변위가 시간에 따라 변하는 모양 .
그림 3.2 파동의 진행
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eq.(3.5) 의 reduces to eq. (3.4) at x=0
eq.(3.5) may be rewritten
)/(2cos pvvxvtAy
vp is given by vp = vλ
wave formula : )6.3()/(2cos xvtAy
파동에 대해 가장 널리 이용되는 기술 방법은 eq.(3.5) 의 또 다른 형태임
“angular frequency : ω” & “wave number :k”
)8.3(//2
)7.3(2
pvk
v
eq.(3.5) becomes
)9.3()cos( kxtAy
3. 3 DESCRIBING A WAVE3. 3 DESCRIBING A WAVE
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3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
de Broglie 파의 Amplitude 는 특정한 시각과 위치에서 moving body 의 확률과 관련
있다 .
but eq.(3.9) 와 같이 de Broglie 파를 간단히 표현할 수 없다 .
( eq.(3.9)∵ 는 동일한 진폭 A 를 갖는 파동들의 무한한 행렬이기 때문 )
운동중인 물체에 대한 파동적인 표현은 fig. 3.3 과 같은 파속 (wave packet) 이나
파군 (wave group) 에 해당할 것임
이 파군의 진폭이 그 물체를 발견할 확률이다 .
파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요가 없다파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요가 없다 ..
wave group 이 형성되는 예 중 흔한 것이 beats ( 맥놀이 ) 임
같은 amplitude 와 약간 다른 frequency 를 갖는 2 sound waves 가
생성되면 우리는 frequency 평균값과 주기적으로 amplitude 가 ↑↓하는
것을 듣게 된다 .
( 진동수가 440 과 442 인 두파는 중첩하여 진동수가 441 인 2 개의 peak 를 형성 )
production of beats →
그림 3.3 파군
그림 3.4 맥놀이는 다른 진동수를 가진 두 파동의 중첩에 의해 발생한다 .
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wave group 을 수학적으로 설명하는 방법 : 파장이 다른 여러 개의 파장을 중첩하는 것임
파동은 서로 간섭하여 group shape 를 결정하는 것이 amplitude 의 변화를 발생시킴
만약 모든 파동의 velocity 가 같다면 wave group 의 속도와 phase velocity 와 같음 .
만약 phase velocity 가 wavelength 에 따라 다르다면 wave group 의 속도와 phase velocity 의 속도가
다를 것이며 이것을 분산 (dispersion) 이라고 부름 → 이것이 de Broglie wave 이다
to find a group velocity (vg)
wave group arises from the combination of 2 waves
( 진폭 A 는 같고 각 진동수가 Δω 만큼 , 파수가 Δk 만큼 다른 파를 생각하자 )
original waves by the formulas
cos)cos()(2
1cos)(
2
1cos2coscos
])()cos[(
)cos(
2
1
xkktwwAy
kxwtAy
)(2
1cos])2()2[(
2
1cos2
21
kxwtxkktwwA
yyy
임의의 시간 t 일때 임의의 위치 x 에서의 합성변위 y
는
3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
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Δω 와 Δk 는 작으므로
2ω+Δω 2≒ ω , 2k+Δk 2k ≒ 에 근사되고
beats : )10.3()22
cos()cos(2 xk
tkxtAy
→ 각진동수 1/2Δω, 파수 1/2Δk 로
변조된 각진동수 ω, 파수 k 인
파동식 이 같은 modulation 효과는 연속적인 wave group (fig. 3.4) 를 형성시킴
위상속도 (vp)
군속도 (vg)
)11.3(k
vp
)12.3(k
vg
ω 와 k 가 두 값 (y1, y2) 를 갖는 대신 연속적인 수 많은 값을 가지면
군속도 (vg) )13.3(dk
dvg
vg ( 군소도 ) 는 vp( 위상속도 ) 보다 클 수도 있고 작을 수도 있다
만약 빛처럼 모든 파장에서 vp ( 위상속도 ) 가 같다면 군속도와 위상속도는 같다 ( vp = vg)
3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
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속도 v, rest mass m0 인 moving body 의 ω 와 k 는
)14.3(1
222
22
22
cvh
mc
h
mcv
Angular frequency of de Brolgie waves
Wave number of de Broglie waves )15.3(/1
22222 cvh
mv
h
mvk
group velocity vg of the de Broglie waves associated with body
2/3222/322 )/1(
2
)/1(
2
/
/
cvh
m
dv
dk
cvh
mv
dv
d
dvdk
dvd
dk
dvg
de Broglie group velocity
16.3vvg
→ the de Broglie wave group associated with a moving body travels with the same velocity as the
body
3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
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de Broglie phase velocity
v
c
kvp
2
v < c 이기 때문에 vp 는 velocity of body (v) 와 c 보다 크다
but motion of body 에 대응되는 것은 individual wave motion 이 아니라 wave group 의 motion 이기
때문에 vp 는 물리적 의미가 없음
∴ vg < c ( de Broglie 파에서의 vp > c 는 special relativity 에 위배되는 것이 아님 )
3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES
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3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
de Broglie de Broglie 파의 존재를 확인하는 실험파의 존재를 확인하는 실험
Newton 역학을 따르는 particle 의 행동에서 찾아볼 수 없는 파동성의 명확한 증거 : Diffraction
electron beams are diffracted when they are scattered by the regular atomic arrays of crystals
Davisson and Germer :
studied the scattering of electrons from a solid
고전물리학에 의하면 scattering electrons 은 산란각에 어느 정도 의존하고
입사
전자의 에너지에 거의 무관하게 의존하면서 모든 방향으로 방출 → 이 이론을
D & G 가 증명 by using a block of Ni.
실험 도중 실험 장치 안으로 산소가 유입되어 Ni 표면을 산화시켰음 (by
accident)
→ to reduce oxide to pure Ni, target was baked in hot oven
→ target was returned to the apparatus & the measurement resumed
→ results are very different
→ 산란각에 따라 연속적으로 변하는 것이 아니라 max. 과 min. 를 갖는 산란된
전
자의 세기가 관찰 됨 → see fig. 3.7
그림 3.6 Davisson-Germer 실험
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위 그림은 각각의 각도에서 세기가 산란될 위치로부터 각각의 각도에서 곡선까지의
거리에 비례하도록 작성되었음 .
만약 세기가 모든 각에서 같다면 곡선은 산란점을 중심으로 원이 될 것임
2 questions?
what is the reason for this new effect?
why did it not occur until after the Ni target was baked?
de Broglie 의 가설에 의하면 x-ray 가 원자 평면에서 회절되는 것과 비슷하게 electron wave 가 target 에 의한
산란되는 것이다
고온에서 Ni 조각이 가열되면 미소한 결정체들이 큰 결정으로 성장됨 → 산란 가능성
그림 3.7 Davisson-Germer 실험의 결과 . 산란된 전자의 개수가 입사빔과 결정표면 사이의 각도에 따라서 어떻게 변하는가를 보여 주고 있다 . 결정 내에서의 원자들의 면과 결정 표면과는 나란하지 않다 . 한 Bragg 평면 군에 대한 입사각과 산란각은 둘 모두 65 이었다 ( 그림 3.8 을 보라 )
3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
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54eV 의 전자 beam 을 Ni target 에 수직으로 입사시키면 전자분포의 max. 값이
전자선과 50° 의 각도에서 나타난다
fig. 3.8 의 Bragg plane 에 대한 입사각은 65˚
x-ray 회절 실험에 측정에 의하면 평면간의 spacing =0.091nm
Bragg eq. for max in the diffraction pattern 은
d=0.091nm, Θ=65˚, n=1 일때의 de Broglie 파장은
)13.2(sin2 dn
nmnmdn 165.0)65)(sin091.0)(2(sin2
de Broglie 공식을 이용하여 전자의 파장 (λ) 를 계산
2
2
1mvKE 이므로 운동량 mv 는
(e 의 KE=54eV → 상대론적 효과 무시 ∵ m0C2 = 0.51MeV 이므로 ) → 즉 상대적으로 계산할 필요 없음
smkgeVJeVkgmKEmv /100.4/106.154101.922 241931
e 의 wave length
: nmmsmkg
sJ
mv
h166.01066.1
/100.4
1063.6 1024
34
→ direct verification of de Broglie`s hypothesis of the wave nature of moving bodies
그림 3.8 표적에 의한 de Broglie 파의 회절이 Davisson- Germer 실험 결과가 있게 하는 원인이다 .
3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
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An electron microscope
3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
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그림 3.5 전자현미경에서의 빠른 전자의 파장이 광학현미경에서의 빛의 파장보다 짧으므로 ,
전자현미경은 고 배율에서도 날카로운 상을 만들 수 있다 . 전자 현미경에서의 전자빔은 자기장으로 집속시킨다 .
이 전자 현미경 사진은 Escherichia coli 박테리아에 있는 세균분해 바이러스 (bacteriophage virus) 를 보여 주고 있다 . 박테리아의 크기는 약 1 `mu m` 이다 .
3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
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석영 (quartz) 에 의한 중성자 산란 . 신호의 봉우리들은 보강간섭이 일어나는 방향을 나타낸다 .전자만 파동성을 나타내는 입자가 아니고 중성자도 위와 같이 회절을 하여 파동성을 보여준다 .
3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION
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왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가 ??
the wave nature of a moving particle leads to some remarkable consequences
when the particle is restricted to a certain region of space in stead of being able to
move freely.
simple case : fig. 3.9 처럼 a particle that bounces back & forth btw. the walls
walls of the box are infinitely hard → so the particle does not
lose E and its velocity is small
( relativistic consideration∴ 은 필요 없음 )
파동적 관점에서 보면 상자 안에 갇혀진 입자는 마치 상자 벽에 고정되어 팽팽히
당겨진 줄에 형성된 standing wave ( 정상파 ) 와 같다
→ wave variable must be 0 at the wall (∵ 파가 벽에서 정지하기 때문 )
fig. 3.10 에서 처럼 입자의 가능한 de Broglie 파장은 상자의 길이 L 에서 결정됨
가장 긴 파장은 λ=2L, L, 2/3L…
de Broglie wave length of trapped particle
...3,2,12
nn
Ln
운동량과 파장의 관계식에 의해 momentum (mv) 를 갖는 particle 의 KE 는
2
222
22
)(
2
1
mh
m
mvmvKE
그림 3.9 너비 L 인 상자 안에 갇힌 입자 .
입자는 상자 벽 사이에서 직선을 따라 좌우로만 움직인다고 가정한다 .
그림 3.10 너비 L 인 상자 안에 갇힌 입자의 파동함수들
3. 6 PARTICLE IN A BOX3. 6 PARTICLE IN A BOX
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permitted wavelength are n
Ln
2
Particle in a Box ,...3,2,18 2
22
nmL
hnEn )18.3(
8)2(2
2
22
2
2
mL
hn
nL
m
h
( 이 모델에서는 입자의 potential E 가 없으므로 )
each permitted energy is called and “Energy Level”, “n” that specifies an energy level En is
called its “Quantum number”
3 general conclusions from eq. 3.18
1. A trapped particle can not have an arbitrary E as a free particle can.
입자의 구속은 파동함수를 제한하고 이 제한은 입자가 어떤 특정한 에너지만 갖게 된다 .
2. A trapped particle can not have zero E.
λ=h/mv 에서 v=0 이면 λ = ∞ 무한대의 파장은 λ=2L/n 에서 L = ∞ 이므로 구속되어 있다는 것과 모순이 생김
따라서 이런 모순을 피하기 위해 입자의 운동 에너지는 0 이 아니다
(E 가 불연속이고 E=0 가 제외된다는 사실은 고전 물리학에서 설명 불가능
고전물리에서의 에너지는 0 을 포함한 음이 아닌 모든 값이 허용됨 )
3. Plank 상수 (h=6.63×10-34 Js) 가 너무 작아 에너지의 양자화는 m 과 L 이 작은 경우에만 뚜렷이 나타난다
3. 6 PARTICLE IN A BOX3. 6 PARTICLE IN A BOX
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3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 13. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1
우리는 현재를 모르기 때문에 미래도 알 수 없다우리는 현재를 모르기 때문에 미래도 알 수 없다 ..
fundamental limits to accuracy with which we can measure such “particle”
properties as position and momentum.
wave group 에 대응되는 particle 은 주어진 시간에 group 내의 어딘가 존재하게 될 것임 → 중간에서 probability density IΨI2 가 가장 클 것이고 발견 확률도 가장 클 것임 . but IΨI2 가 0 이 아닌 어느 위치에서도 입자를 발견할 수는 있다
fig. 3.12 a :
wave group 이 작을수록 particle 의 위치는 정확해 지지만 그것의 wavelength 는부정확해진다 ( not enough waves to measure λ accurately) ∵
→ 이것은 λ=h/mv 이므로 입자의 운동량 mv) 이 정확한 것이 아니라는 것을 의미( 운동량은 넓은 범위의 값을 갖는다 )
fig. 3. 12 b :
wide wave group → λ 는 정확히 정해지지만 particle 의 위치는 그만큼 부정확해짐
the uncertainty principle :
한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다 !
→ discovered by Werner Heisenberg in 1927
운동하는 입자를 운동하는 입자를 wave groupwave group 으로 가정 하는 것이 으로 가정 하는 것이 위치와 운동량 같은 위치와 운동량 같은
“ “입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음
그림 3.12 (a) 좁은 de Broglie 파군 .
입자의 위치는 정확히 결정될 수 있지만 파장 , 즉 운동량은 그렇지 못하다 . 왜냐하면 , 파장을 측정할 만한 충분한 파가 없기 때문이다 . (b)
넓은 파군 . 파장은 정확히 측정할 수 있지만 위치는 그렇지 못하다 .
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the uncertainty principle :
한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다 !
→ discovered by Werner Heisenberg in 1927
운동하는 입자를 wave group 으로 가정하는 것이 위치와 운동량 같은 “입자적 성질”을 측정하는데 한계가
있음
a( 하나의 ) moving body 는 a( 하나의 ) single wave group 에 대응되지만 이것 또한 trains of harmonic
wave
( 조화파 ) 의 중첩으로 생각할 수 있음 .
그러나 fig. 3.13. 과 같이 임의의 모양의 wave group 을 형성하기 위해서는 서로 다른 진동수 , 파수 , 진폭을
가진 무한개의 파동이 필요함 At a certain time, the wave group Ψ(x) can be represented by Fourier integral
0
)19.3(cos)()( kxdkkgx g(k) : k 에 의존하는 진폭
3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 13. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1
그림 3.13 고립된 파군은 다른 파장을 가진 무한개 파동들의 중첩의 결과이다 .
파군이 좁으면 좁을수록 관계하는 파장 영역은 넓어진다 . 좁은 de Broglie
파군에서는 입자의 위치는 잘 정의되지만 (Δx 가 적음 ) 파장은 잘 정의되지
않는다 . 따라서 , 좁은 파군이 나타내는 입자의 운동량 Δp 에는 많은 불확정성이
포함되어 있음을 의미한다 . 넓은 파군은 정확한 운동량을 그러나 정밀하지 않은
위치를 의미한다 .
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fig. 3.14 와 같이 파군이 짧을 수록 그 파군을 기술하는데 필요한 파수의 범위는 더 넓어진다 .
- Δx 와 Δk 사이의 관계는 wave group 의 shape 와 how Δx & Δk are defined 에 의존함
- Δx 와 Δk 와의 곱이 최소가 되는 것은 Gaussian function 인 경우임 (3.14 d)
- Δx 와 Δk 가 함수 Ψ(x) 와 g(k) 의 표준 편차로 선택되면 그때 최소값은 Δx · Δk =1/2 이나 , wave
group 이
Gaussian form 을 갖지 않으므로 , eq. 3.20 과 같이 표현하는 것이 현실적임)20.3(2
1 kx
de Broglie wavelength of a particle of P is λ= h/p & corresponding k is h
pk
22
2hk
p the potential momentum
3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 13. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1
그림 3.14 파동함수와 Fourier 변환 . (a) 펄스 , (b) 파군 , (c) 파열 (wave train), (d) Gauss 분포 . 짧은 시간동안의 교란을 나타내기 위해서는 긴 시간동안의 교란을 나타내는 것 보다 더 넓은 영역의 진동수가 필요하다 . Gauss 함수의 Fourier 변환 역시 Gauss 함수이다 .
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uncertainty of Δk of particles results in uncertainty of Δp2kh
p
ΔxΔk ≥ ½ 이므로 , Δk ≥ 1/(2Δx) 이고
uncertainty principle )21.3(4h
px
if Δx is small → narrow wave group → Δp will be large
if Δp is reduced → broad wave group → Δx will be large
These uncertainties are due not to inadequate apparatus but to the imprecise character in nature of the
quantities involved.
We cannot know exactly both where a particle is right now and what it is, we cannot say anything definite
about where it will be in the future or how fast it will be moving then.
H-bar
h/2π → basic unit of angular momentum ( 관습적으로 ђ (“h-bar) 로 축약해서 나타냄 )
sJh
3410054.12
uncertainty principle )22.3(2
px
3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 13. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1
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The uncertainty principle 은 입자의 파동성 (wave properties of particles) 관점에서 뿐만 아니라
파동의 입자성 (particle properties of waves) 관점으로 부터 얻을 수 있다
어떤 순간에 어느 object 의 position 과 momentum 을 측정하려 할 때 ,
→ 관측 대상인 물체에 어떤 것을 접촉시키고 그 다음 그 어떤 것이 필요한 정보를 가지고 관측자인 우리에게
도달하
도록 만든다 . (측정 대상인 물체에 빛을 쐬거나 , 막대로 찔러보거나 비슷한 방법으로 작용을 가함 )
→ 이때 간섭과정을 상세히 분석하면 운동중인 물체의 파동성을 고려하지 않고도 “입자성” 으로만 uncertainty
principle 을 얻을 수 있다
3. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 23. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 2
입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다 ..
그림 3.17 운동량을 변화시키지 않고는 전자를 관측할 수 없다 .
Semiconductor Materials Lab.Semiconductor Materials Lab. Hanyang University Hanyang University
fig. 3.16 에서 처럼 파장 λ 인 빛을 사용하여 전자를 관찰
운동량 p (=h/λ) 를 갖는 광자가 전자와 충돌 후 되 튀겨 나올 때 전자의 초기 운동량 변화 .
→ Δp 의 정확한 값은 예측 불가능하지만 Δp 의 대략적인 크기는 h /λ 와 같을 것 이다 .
)23.3(h
p
longer λ → smaller the uncertainty in the electron`s momentum ( λ 길어지면 Δp 는 감소 )
빛은 입자성과 파동성을 가지므로 전자의 위치를 정확히 측정 불가능
그러나 , 측정의 최소의 불확실성의 합리적인 estimation 은 photon 의 one wavelength 로 생각할 수 있다 .
)24.3(x ( 파장이 작아지면 위치의 부정확성도 작아짐 )
3. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 23. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 2
→ 위치의 정확도를 높이기 위해 짧은 파장을 사용하면 동시에 운동량의 정확도 감소
eq. 3.23 과 3.24 를 합하여
)25.3(hpx eq. 3.22 Δx·Δp ≥ ђ / 2 와 거의 일치
Semiconductor Materials Lab.Semiconductor Materials Lab. Hanyang University Hanyang University
3. 9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE 3. 9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE
h is so small, uncertainty principle is significant only “atom” realm
negativenegative 한 말이 아니라한 말이 아니라 , , 유용한 유용한 tooltool 이다이다
Energy and Time
- Another from of the uncertainty principle concerns energy & time.
- wish to measure the energy E emitted during the time interval Δt in an atomic process.
만약 E 가 em wave 라면 관측자가 측정할 수 있는 시간의 제약 때문에 진동수 측정의 정확도가 제한을 받는다 .
파동의 진동수의 개수를 셀 때 개수의 부정확도를 최소수 1 개라고 하면 파동의 수는 시간간격 (Δt) 로 나눈
값이므로
t1
Energy 불확정성은
htEort
hEhE
보다 정밀한 값은 다음과 같다 .
26.32
tE → 에너지와 시간의 불확정성