Post on 02-Oct-2015
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Calculo NumericoInterpolacao Polinomial
Interpolacao de LagrangeMetodo de Newton
Joao Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica
(Burden & Faires)
Sumario
Introducao a Diferencas Divididas
Notacao de Diferencas Divididas
Interpolacao Polinomial Por Diferencas Divididas (Metodo deNewton)
Sumario
Introducao a Diferencas Divididas
Notacao de Diferencas Divididas
Interpolacao Polinomial Por Diferencas Divididas (Metodo deNewton)
Sumario
Introducao a Diferencas Divididas
Notacao de Diferencas Divididas
Interpolacao Polinomial Por Diferencas Divididas (Metodo deNewton)
Sumario
Introducao a Diferencas Divididas
Notacao de Diferencas Divididas
Interpolacao Polinomial Por Diferencas Divididas (Metodo deNewton)
Introducao a Diferencas Divididas
Uma nova representacao algebrica para Pn(x)
Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.
As diferencas divididas de f com relacao a x0, x1, , xn saousadas para expressar Pn(x) na forma
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
para constantes apropriadas a0, a1, , an.
Introducao a Diferencas Divididas
Uma nova representacao algebrica para Pn(x)
Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.
Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.
As diferencas divididas de f com relacao a x0, x1, , xn saousadas para expressar Pn(x) na forma
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
para constantes apropriadas a0, a1, , an.
Introducao a Diferencas Divididas
Uma nova representacao algebrica para Pn(x)
Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.
As diferencas divididas de f com relacao a x0, x1, , xn saousadas para expressar Pn(x) na forma
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
para constantes apropriadas a0, a1, , an.
Introducao a Diferencas Divididas
Uma nova representacao algebrica para Pn(x)
Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.
As diferencas divididas de f com relacao a x0, x1, , xn saousadas para expressar Pn(x) na forma
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
para constantes apropriadas a0, a1, , an.
Introducao a Diferencas Divididas
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
Para determinar a primeira destas constantes, a0, note que sePn(x) e escrito na forma acima, entao avaliar Pn(x) em x0deixa apenas o termo constante a0, isto e:
a0 = Pn(x0) = f(x0)
Similarmente, quando P (x) e avaliado em x1, apenas ostermos nao nulos na avaliacao de Pn(x1) sao os termosconstantes e linear:
f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)
a1 = f(x1) f(x0)x1 x0
Introducao a Diferencas Divididas
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
Para determinar a primeira destas constantes, a0, note que sePn(x) e escrito na forma acima, entao avaliar Pn(x) em x0deixa apenas o termo constante a0, isto e:
a0 = Pn(x0) = f(x0)
Similarmente, quando P (x) e avaliado em x1, apenas ostermos nao nulos na avaliacao de Pn(x1) sao os termosconstantes e linear:
f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)
a1 = f(x1) f(x0)x1 x0
Introducao a Diferencas Divididas
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
Para determinar a primeira destas constantes, a0, note que sePn(x) e escrito na forma acima, entao avaliar Pn(x) em x0deixa apenas o termo constante a0, isto e:
a0 = Pn(x0) = f(x0)
Similarmente, quando P (x) e avaliado em x1, apenas ostermos nao nulos na avaliacao de Pn(x1) sao os termosconstantes e linear:
f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)
a1 = f(x1) f(x0)x1 x0
A notacao das Diferencas Divididas
Nos apresentaremos a notacao da Diferenca-Dividida, que estarelacionada com a notacao do 2 de Aitken
A 0-esima diferenca dividida de uma funcao f em relacao axi, denotada por f [xi] e o valor de f em xi:
f [xi] = f(xi)
As demais diferencas divididas sao calculadas recursivamente.
A notacao das Diferencas Divididas
Nos apresentaremos a notacao da Diferenca-Dividida, que estarelacionada com a notacao do 2 de Aitken
A 0-esima diferenca dividida de uma funcao f em relacao axi, denotada por f [xi] e o valor de f em xi:
f [xi] = f(xi)
As demais diferencas divididas sao calculadas recursivamente.
A notacao das Diferencas Divididas
Nos apresentaremos a notacao da Diferenca-Dividida, que estarelacionada com a notacao do 2 de Aitken
A 0-esima diferenca dividida de uma funcao f em relacao axi, denotada por f [xi] e o valor de f em xi:
f [xi] = f(xi)
As demais diferencas divididas sao calculadas recursivamente.
A notacao das Diferencas Divididas
Nos apresentaremos a notacao da Diferenca-Dividida, que estarelacionada com a notacao do 2 de Aitken
A 0-esima diferenca dividida de uma funcao f em relacao axi, denotada por f [xi] e o valor de f em xi:
f [xi] = f(xi)
As demais diferencas divididas sao calculadas recursivamente.
A notacao das Diferencas Divididas
A primeira diferenca dividida de f com relacao a xi e xi+1 edenotada por f [xi, xi+1] e e definida por:
f [xi, xi+1] =f [xi+1] f [xi]xi+1 xi
a segunda diferenca dividida de f [xi, xi+1, xi+2] e definidacomo
f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2] f [xi, xi+1]
xi+2 xi
A notacao das Diferencas Divididas
A primeira diferenca dividida de f com relacao a xi e xi+1 edenotada por f [xi, xi+1] e e definida por:
f [xi, xi+1] =f [xi+1] f [xi]xi+1 xi
a segunda diferenca dividida de f [xi, xi+1, xi+2] e definidacomo
f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2] f [xi, xi+1]
xi+2 xi
A notacao das Diferencas Divididas
A primeira diferenca dividida de f com relacao a xi e xi+1 edenotada por f [xi, xi+1] e e definida por:
f [xi, xi+1] =f [xi+1] f [xi]xi+1 xi
a segunda diferenca dividida de f [xi, xi+1, xi+2] e definidacomo
f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2] f [xi, xi+1]
xi+2 xi
A notacaodas Diferencas Divididas
Similarmente, apos as (k 1) primeiras diferencas divididas
f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1] e f [xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k]
serem calculados, a k-esima diferenca dividida em relacao axk, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k e
f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k] =
=f [xi+1, xi+2, , xi+k] f [xi, xi+1, , xi+k1]
xi+k xi
A notacaodas Diferencas Divididas
Similarmente, apos as (k 1) primeiras diferencas divididas
f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1] e f [xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k]
serem calculados, a k-esima diferenca dividida em relacao axk, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k e
f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k] =
=f [xi+1, xi+2, , xi+k] f [xi, xi+1, , xi+k1]
xi+k xi
Gerando a tabela de Diferencas Divididas
126 C H A P T E R 3 Interpolation and Polynomial Approximation
As might be expected from the evaluation of a0 and a1, the required constants are
ak = f [x0, x1, x2, . . . , xk],for each k = 0, 1, . . . , n. So Pn(x) can be rewritten in a form called Newtons Divided-Difference:
Pn(x) = f [x0] +n
k=1f [x0, x1, . . . , xk](x x0) (x xk1). (3.10)
The value of f [x0, x1, . . . , xk] is independent of the order of the numbers x0, x1, . . . , xk , asshown in Exercise 21.
The generation of the divided differences is outlined in Table 3.9. Two fourth and onefifth difference can also be determined from these data.
Table 3.9
First Second Thirdx f (x) divided differences divided differences divided differences
x0 f [x0]f [x0, x1] = f [x1] f [x0]
x1 x0x1 f [x1] f [x0, x1, x2] = f [x1, x2] f [x0, x1]
x2 x0f [x1, x2] = f [x2] f [x1]
x2 x1 f [x0, x1, x2, x3] =f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2]
x3 x0x2 f [x2] f [x1, x2, x3] = f [x2, x3] f [x1, x2]
x3 x1f [x2, x3] = f [x3] f [x2]
x3 x2 f [x1, x2, x3, x4] =f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3]
x4 x1x3 f [x3] f [x2, x3, x4] = f [x3, x4] f [x2, x3]
x4 x2f [x3, x4] = f [x4] f [x3]
x4 x3 f [x2, x3, x4, x5] =f [x3, x4, x5] f [x2, x3, x4]
x5 x2x4 f [x4] f [x3, x4, x5] = f [x4, x5] f [x3, x4]
x5 x3f [x4, x5] = f [x5] f [x4]
x5 x4x5 f [x5]
ALGORITHM
3.2Newtons Divided-Difference Formula
To obtain the divided-difference coefficients of the interpolatory polynomial P on the (n+1)distinct numbers x0, x1, . . . , xn for the function f :
INPUT numbers x0, x1, . . . , xn; values f (x0), f (x1), . . . , f (xn) as F0,0, F1,0, . . . , Fn,0.
OUTPUT the numbers F0,0, F1,1, . . . , Fn,n where
Pn(x) = F0,0 +n
i=1Fi,i
i1j=0
(x xj). (Fi,i is f [x0, x1, . . . , xi].)Step 1 For i = 1, 2, . . . , n
For j = 1, 2, . . . , iset Fi,j = Fi,j1 Fi1,j1
xi xij . (Fi,j = f [xij, . . . , xi].)Step 2 OUTPUT (F0,0, F1,1, . . . , Fn,n);
STOP.
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Polinomio Interpolador por Dif. Divididas de Newton
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
De volta a interpolacao polinomial, podemos usar asdiferencas divididas como:
a0 = f(x0) = f [x0]
a1 =f(x1) f(x0)
x1 x0 = f [x0, x1]
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + ++ an(x x0)(x x1) (x xn1)
Polinomio Interpolador por Dif. Divididas de Newton
Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)
De volta a interpolacao polinomial, podemos usar asdiferencas divididas como:
a0 = f(x0) = f [x0]
a1 =f(x1) f(x0)
x1 x0 = f [x0, x1]
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + ++ an(x x0)(x x1) (x xn1)
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + +
+an(x x0)(x x1) (x xn1)
Como se pode esperar do calculo de a0 e a1, as constantesrestantes sao:
ak = f [x0, x1, x1, , xk]
para cada k = 0, 1, , nLogo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton
Pn(x) = f [x0]+n
k=1
f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + +
+an(x x0)(x x1) (x xn1)
Como se pode esperar do calculo de a0 e a1, as constantesrestantes sao:
ak = f [x0, x1, x1, , xk]
para cada k = 0, 1, , n
Logo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton
Pn(x) = f [x0]+n
k=1
f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + +
+an(x x0)(x x1) (x xn1)
Como se pode esperar do calculo de a0 e a1, as constantesrestantes sao:
ak = f [x0, x1, x1, , xk]
para cada k = 0, 1, , nLogo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton
Pn(x) = f [x0]+n
k=1
f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)
Formula de Newton
Exemplo
Dada a tabela abaixo
x -1 0 3
f(x) 15 8 -1
Calcule uma aproximacao para f(1), usando a formula de Newtondo polinomio de interpolacao.
Formula de Newton
Solucao: Temos:
x0 = 1 f0 = f(x0) = 15x1 = 0 f1 = f(x1) = 8x2 = 3 f2 = f(x2) = 1
e portanto n = 2. O polinomio de interpolacao na forma deNewton e dado por:
P2(x) = f [x0] + (x x0)f [x0, x1] + (x x0)(x x1)f [x0, x1, x2]
Formula de Newton
Solucao: Temos:
x0 = 1 f0 = f(x0) = 15x1 = 0 f1 = f(x1) = 8x2 = 3 f2 = f(x2) = 1
e portanto n = 2. O polinomio de interpolacao na forma deNewton e dado por:
P2(x) = f [x0] + (x x0)f [x0, x1] + (x x0)(x x1)f [x0, x1, x2]
Formula de Newton
Os valores de f [x0], f [x0, x1], f [x0, x1, x2] sao:
f [x0] = f(x0) = 15
f [x0, x1] =f [x1] f [x0]x1 x0 =
f(x1) f(x0)x1 x0 =
8 150 (1) = 7
f [x0, x1, x2] =f [x1, x2] f [x0, x1]
x2 x0 =f [x2]f [x1]
x2x1 f [x1]f [x0]
x1x0x2 x0
=
f(x2)f(x1)x2x1
f(x1)f(x0)x1x0
x2 x0 =1830 8150(1)
3 (1)= 1
Formula de Newton
Logo, f [x0] = 15, f [x0, x1] = 7, f [x0, x1, x2] = 1 e
P2(x) = 15 + (x + 1)(7) + (x + 1)(x 0)(1) = x2 6x + 8.
Portanto, f(1) = P2(1) = 3.
Formula de Newton
Logo, f [x0] = 15, f [x0, x1] = 7, f [x0, x1, x2] = 1 e
P2(x) = 15 + (x + 1)(7) + (x + 1)(x 0)(1) = x2 6x + 8.
Portanto, f(1) = P2(1) = 3.
Quando usar Dif. Divididas ou os polinomios deLagrange como na Definicao?
Interpolacao de Lagrange via definicao possui vantagemcomputacional quando fixamos o grau do polinomio e os nos etemos a liberdade de alterar o valor da funcao f
Interpolacao via Diferencas Divididas possui vantagemcomputacional quando temos fixado valores de f e queremosaumentar o grau do polinomio
Quando usar Dif. Divididas ou os polinomios deLagrange como na Definicao?
Interpolacao de Lagrange via definicao possui vantagemcomputacional quando fixamos o grau do polinomio e os nos etemos a liberdade de alterar o valor da funcao f
Interpolacao via Diferencas Divididas possui vantagemcomputacional quando temos fixado valores de f e queremosaumentar o grau do polinomio
Quando usar Dif. Divididas ou os polinomios deLagrange como na Definicao?
Interpolacao de Lagrange via definicao possui vantagemcomputacional quando fixamos o grau do polinomio e os nos etemos a liberdade de alterar o valor da funcao f
Interpolacao via Diferencas Divididas possui vantagemcomputacional quando temos fixado valores de f e queremosaumentar o grau do polinomio
Fenomeno de RungeConsidere a funcao
f(x) =1
1 + 25x2.
Selecione
xi = 1 + (i 1) 2n, i {1, 2, , n + 1}
Figura: P5(x), P10(x) e P15(x)
Outros Metodos de Interpolacao
Interpolacao de Hermite (interpola simultaneamente funcao esuas derivadas)
Splines
Selecionar os pontos de controle segundo algum criterio quereduza o Fenomeno de Runge (Selecao de Pontos porChebychev)
Outros Metodos de Interpolacao
Interpolacao de Hermite (interpola simultaneamente funcao esuas derivadas)
Splines
Selecionar os pontos de controle segundo algum criterio quereduza o Fenomeno de Runge (Selecao de Pontos porChebychev)
Outros Metodos de Interpolacao
Interpolacao de Hermite (interpola simultaneamente funcao esuas derivadas)
Splines
Selecionar os pontos de controle segundo algum criterio quereduza o Fenomeno de Runge (Selecao de Pontos porChebychev)
Outros Metodos de Interpolacao
Interpolacao de Hermite (interpola simultaneamente funcao esuas derivadas)
Splines
Selecionar os pontos de controle segundo algum criterio quereduza o Fenomeno de Runge (Selecao de Pontos porChebychev)
2 de Aitken
Operador Diferenca para frente
Para uma dada sequencia {pn}n=0, a diferenca para frente pn edefinida por
pn = pn+1 pn, para n 0Operadores de alta potencia sao definidos recursivamente por:
kpn = (k1pn),para k 2
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