C2-ALGEBRA parte 1 - Facultad de Arquitectura, Diseño y ... · Composición de Fuerzas Paralelas o...

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ALGEBRA VECTORIAL

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CONTENIDOS

LONGITUD

FUERZA

1daN = 10 N 1kg~UN

IDA Metro (m)

Centímetro (cm)

Newton (N)

Decanewton (daN)

UNIDADES

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

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S��

C2 ALGEBRA VECTORIALC2

Equilibrio GLOBAL

Equilibrio DE LA PARTE

Estabilidad de la FORMA

PARA ESTUDIAR LA, ES NECESARIO

ESTABILIDAD DE UNAESTRUCTURA ASEGURAR SUEQUILIBRIO ESTABLE

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

ESTATICADefinición, Modelización,Principios

Representación:Planos de Trabajo

Sistemas de fuerzasconcurrentes

Sistemas de fuerzasNO concurrentes

Composición deFuerzas Paralelas oconcurrentes en elinfinito

Método Ritter

EQUILIBRIO ESTABLEEQUILIBRIO ESTABLEC2

Equilibrio GLOBALEquilibrio GLOBAL

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

Movimientosposibles:

3 traslaciones

3 giros

EN EL ESPACIO

Ausencia de movimientos respecto al Plano de Referencia:

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

Movimientosposibles:

3 traslaciones

3 giros

ÓF =0x

ÓF =0Y

ÓF =0Z

ÓÌ =0XY

ÓÌ =0XZ

ÓÌ =0YZ

Ecuaciones quegarantizan la ausenciade movimiento:

Ausencia dedesplazamientos:

Ausencia de giros:

EN EL ESPACIO

Ausencia de movimientos respecto al Plano de Referencia:

Equilibrio GLOBALEquilibrio GLOBALAusencia de movimientos respecto al Plano de Referencia:EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

EN EL PLANOMovimientosposibles:

2 traslaciones

1 giro

Equilibrio GLOBALEquilibrio GLOBALAusencia de movimientos respecto al Plano de Referencia:EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

EN EL PLANOMovimientosposibles:

2 traslaciones

1 giro

ÓF =0x

ÓF =0Y

ÓÌ=0

Ecuaciones quegarantizan la ausenciade movimiento:

Ausencia dedesplazamientos:

Ausencia de giros:

Equilibrio de la PARTEEquilibrio de la PARTEEQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

Una estructura se modeliza como un conjunto deo vinculados entre sí.subsistemas unidades funcionales

UNIDAD FUNCIONALCUBIERTA

UNIDAD FUNCIONALCORREAS

UNIDAD FUNCIONALVIGAS

UNIDAD FUNCIONALPILAR

UNIDADES

Método Ritter

El supone el.

EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURAequilibrio de cada subsistema o unidad funcional

UNIDADES

Método Ritter

El supone el.

EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURAequilibrio de cada subsistema o unidad funcional

En cada subsistema sedeben cumplir las mismascondiciones de equilibrioglobal:

....incluso hasta el nivelmolecular

ÓF =0V

Ó M =0

ÓF =0H

Equilibrio GLOBAL

Equilibrio de la PARTE

Estabilidad de la formaEstabilidad de la forma

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

La deformación del conjunto o de la partees el a laaplicación de las ACCIONES en unaestructura.

resultado natural frente

Equilibrio GLOBAL

Equilibrio de la PARTE

Estabilidad de la formaEstabilidad de la forma

UNICAPREVISIBLECONTROLADA

No deberán producirse DEFORMACIONESEXCESIVAS.

Las deformaciones deben ser acordes a la función.

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

Equilibrio GLOBAL

Equilibrio DE LA PARTE

Estabilidad de la FORMA

Una estructura se encuentra encuando se asegura en forma simultánea:

EQUILIBRIOESTABLEEQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ALGEBRA VECTORIAL

Definición de ESTÁTICA

Modelización y Representación de Acciones: VECTORES

Principios Fundamentales de la ESTÁTICA:1) Principio del2) Equilibrio de dos Fuerzas -3) Introducción o supresión de sistemas en equilibrio -4) Principio de5) Teorema del Deslizamiento de Fuerzas -

PARALELOGRAMO DE FUERZASEQUILIBRIO ESTÁTICO

SISTEMA NULOACCIÓN Y REACCIÓN

FUERZA DESLIZANTE

CONTENIDOS

HIPÓTESIS:

LA ESTÁTICAEs el área de la Física, que estudiael equilibrio de los cuerpos sólidos.

COMO OPERAMOS?COMO OPERAMOS?

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Estudia la acción de un sistema de fuerzas actuando sobreun cuerpo ideal, indeformable, con rigidez y resistenciainfinitas...

HIPÓTESIS:

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Estudia la acción de un sistema de fuerzas actuando

, es decir que considera.......que la geometría de los cuerpos permanece invariableantes y después de la aplicación de las acciones....y que es capaz de soportar cargas de cualquier magnitud.

sobreun cuerpo ideal, indeformable, con rigidez y resistenciainfinitas

HIPÓTESIS:

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Estudia la acción de un sistema de fuerzas actuando

, es decir que considera.......que la geometría de los cuerpos permanece invariableantes y después de la aplicación de las acciones....y que es capaz de soportar cargas de cualquier magnitud.

sobreun cuerpo ideal, indeformable, con rigidez y resistenciainfinitas

La, es el

única condición impuesta a acciones yreacciones cumplimiento de las 3ecuaciones de equilibrio estático

ÓF =0V

ÓM =0

ÓF =0H

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ESTÁTICA Y SUS PRINCIPIOS BÁSICOSESTÁTICA Y SUS PRINCIPIOS BÁSICOS

EN LA REALIDAD cuerpos realesencontramos que frentea la acción de un sistema de cargas:

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EN LA REALIDAD cuerpos realesse deforman, no son

rígidos, ni tienen resistencia infinita...

encontramos que frentea la acción de un sistema de cargas:

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EN LA REALIDAD cuerpos realesse deforman, no son

rígidos, ni tienen resistencia infinita...

Admitiremos esta hipótesis como válidaESTUDIO DEL EQUILIBRIO

encontramos que frentea la acción de un sistema de cargas:

al de las elementosestructurales

solamente paraaplicarla

Es precisamente en la (alargamientos,acortamientos, curvamientos, etc.) donde las partes de laestructura necesariaspara que seproducen como consecuencia de las que soportan

deformación

alcanzan las tensiones internasequilibrar las solicitaciones externas

acciones

ACCION-DEFORMACION-SOLICITACIONES-TENSIONES-DISEÑO

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MODELIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE ACCIONESMODELIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE ACCIONES

Consideraremos las acciones actuandoen forma estática, se aplican lentamente ypermanecen en el tiempo

Las cargas o acciones tienen:Un Modelo FÍSICO: la fuerzaUn Modelo MATEMÁTICO: el vector

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Representamos las acciones comoVECTORES para poder operar con la

matemática

Representamos las acciones comoVECTORES para poder operar con la

matemáticaH

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Módulo

Intensidad

Características matemáticas de losVECTORES

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Sentido

IntensidadSentido

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Punto de Aplicación

IntensidadSentido

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Dirección

Punto de Aplicación

IntensidadSentido

Línea de Acción

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5 principios de la ESTÁTICA para OPERAR5 principios de la ESTÁTICA para OPERAR

Principio del

Equilibrio de dos fuerzas /

Introducción o supresión de sistemas en equilibrio /

Principio de

Teorema del deslizamiento de fuerzas /

PARALELOGRAMO DE FUERZAS

EQUILIBRIO ESTÁTICO

SISTEMA NULO

ACCIÓN Y REACCIÓN

FUERZA DESLIZANTE

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1º ley del PARALELOGRAMO1º ley del PARALELOGRAMO

Dos fuerzas F1 y F2 coplanares actuando en unpunto "A", tienen una acción física equivalente auna fuerza aplicada en el punto "A" construidasobre la diagonal del paralelogramo definido por"A", F1 y F2

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Para que dos fuerzas estén en equilibrio,o sea que su resultante sea nula, ellas deben ser:

2º Equilibrio ESTÁTICO2º Equilibrio ESTÁTICO

Iguales de intensidadColineales

Sentido Opuesto

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(equilibrio de dos fuerzas)

Sentido Opuesto

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2º Equilibrio ESTÁTICO2º Equilibrio ESTÁTICO (equilibrio de dos fuerzas)

Sentido Opuesto

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Sentido Opuesto

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Sentido Opuesto

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Equilibrio de dosFuerzas que notienen la mismalínea de acción.

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Se produce un giro

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produce el giro del cuerpo

M activo = F1 x dM

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M activo = F1 x dM

Se IMPONEN lasCondiciones EQ. Global:

ÓF = 0ÓF = 0V

ÓM = 0ÓM = 0

ÓF = 0ÓF = 0h

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

M activo = F1 x dM

ÓF = 0ÓF = 0V

ÓM = 0ÓM = 0

ÓF = 0ÓF = 0h

M = -F1 x dreactivo

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

Al cuerpo se le aplica unafuerza en el punto A y se lo

sujeta desde el punto B

Desde otro puntode vista...

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

El cuerpo gira con centro en By sentido dado por F1

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

M activo = F1 x dM

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ÓF = 0ÓF = 0V

ÓM = 0ÓM = 0

ÓF = 0ÓF = 0h

M activo = F1 x dM

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ÓF = 0ÓF = 0V

ÓM = 0ÓM = 0

ÓF = 0ÓF = 0h

El cuerpo está en si en el punto B existe:EQUILIBRIO

M activo = F1 x dM

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ÓF = 0ÓF = 0V

ÓM = 0ÓM = 0

ÓF = 0ÓF = 0h

El cuerpo está en si en el punto B existe:EQUILIBRIO

- una fuerza igual y contraria a F1- un M reactivo = -F1 x d

M activo = F1 x dM

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

3º Introducción o supresión de unsistema en EQUILIBRIO

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4º Principio de Acción Reacción4º Principio de Acción Reacción

Un cuerpo que ejerce sobre otro una tracción ocompresión, recibe del otro cuerpo una fuerza igual ycontraria, de manera que

.la acción y la reacción son

siempre dos fuerzas iguales y opuestas

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El plano de apoyo impide el desplazamiento verticalque produciría la acción de su PP. Podemos sustituir al

vínculo por la fuerza que representa su efecto

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El plano de apoyo impide el desplazamiento verticalque produciría la acción de su PP. Podemos sustituir al

vínculo por la fuerza que representa su efecto

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La fuerza aplicada sobre el resorteencuentra su equilibrante en el vínculo

con el sustrato, es el paramento superiorel que mantiene el equilibrio

del sistema

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La fuerza aplicada sobre el resorteencuentra su equilibrante en el vínculo

con el sustrato, es el paramento superiorel que mantiene el equilibrio

del sistema

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5º Teorema del deslizamiento deFUERZAS

En lo concerniente al estudio del EQUILIBRIO,la acción de una fuerza sobre un cuerpo no cambia si

se la hace deslizar sobre su línea de acción

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El teorema del deslizamiento de fuerzas NOPUEDE SER APLICADO AL ESTUDIO

DE LAS DEFORMACIONES

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Ejemplo:RESORTE

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Ejemplo:RESORTE

Se le aplica una fuerza(F1) en el extremo delResorte

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Acción (F1)

Reacción (-F1)

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cuerpodeformado

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Ejemplo:RESORTE

Se le aplica una fuerza(F1) en un puntointermedio del Resorte

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cuerpodeformado

cuerpoindeformado

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cuerpodeformado

cuerpoindeformado

cuerpodeformado

El teorema del deslizamiento de fuerzas NO PUEDE SER APLICADOAL ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES

Sólo se aplicará al estudio del EQUILIBRIO

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Representación: Planos de Trabajo

Plano OperatorioPlano de Situación

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ALGEBRA VECTORIAL

CONTENIDOS

Para operar con vectores, establecemos 2 planosde trabajo que manejamos en paralelo.

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COMO operamos con la ESTATICA en un SISTEMA COMPLEJO?COMO operamos con la ESTATICA en un SISTEMA COMPLEJO?

Plano SITUACIÓNPlano SITUACIÓN

Plano OPERATORIOPlano OPERATORIO

PLANOS DE TRABAJOPLANOS DE TRABAJO

.NO se representan las fuerzas a escala

NO se realizarán operaciones vectoriales

Pl. SITUACIÓNPl. SITUACIÓN Pl. OPERATORIO

ESQUEMA DE LA ESTRUCTURA:- Modelo Geométrico (ejes, luces)- Modelo de Vínculos- Modelo de Acciones (línea de acción,dirección, sentido y magnitud)

Se opera a :m1 = imagen / realidadEjemplo:m1 = 1cm / 100cm = 1/100

escala m1 adimensional

ESQUEMA DE LA ESTRUCTURA:

��

Pl. SITUACIÓN Pl. OPERATORIOPl. OPERATORIO

REPRESENTACIÓN DEOPERACIONES VECTORIALES:Se grafican los vectores libres desu línea de acción, pero con sus

Se opera a

m2 = imagen / realidadEjemplo:m2 = 1cm / 500daN

direcciones, sentidos eintensidades

escala de fuerzas m2Incluye las unidades del polígonovectorial

REPRESENTACIÓN DEOPERACIONES VECTORIALES:

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Escala m1 (1/100)P.S. P.O.

Escala m2 (1cm / 500daN)

3000daN

500 daN

3000 daN

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ESQUEMA DE LA ESTRUCTURA:- Modelo Geométrico (ejes, luces)- Modelo de Vínculos- Modelo de Acciones (línea de acción,dirección, sentido y magnitud)

REPRESENTACIÓN DEOPERACIONES VECTORIALES:Se grafican los vectores libres desu línea de acción, pero con susdirecciones, sentidos eintensidades

ALGEBRA VECTORIAL

Sistemas de fuerzas concurrentesSistemas de fuerzas concurrentesComposiciónDescomposiciónEquilibrio

Sistemas de fuerzas NO concurrentes

ComposiciónDescomposición: MÉTODO CULMANN

Composición de Fuerzas Paralelas o concurrentes en el infinito:TRAZADO FUNICULAR

HerramientasGRÁFICAS

CONTENIDOS

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

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Pl. SITUACION Pl. OPERATORIO�� &

Composición de 2 FuerzasComposición de 2 Fuerzas

Sistemas de FUERZAS CONCURRENTESSistemas de FUERZAS CONCURRENTES

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Descomposición de 1 Fuerzaen dos direccionesDescomposición de 1 Fuerzaen dos direcciones

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Si quiero EQUILIBRAR este sistema?Si quiero EQUILIBRAR este sistema?

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EQUILIBRIO de 1 fuerza en dosdirecciones

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EQUILIBRIO de 1 fuerza en dosdirecciones

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Pl. OPERATORIOPl. OPERATORIO

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C2 Como se si DESCOMPONGO, COMPONGO o EQUILIBRO?Como se si DESCOMPONGO, COMPONGO o EQUILIBRO?

�� Pl. SITUACION Pl. OPERATORIO

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Composición de varias fuerzasconcurrentes

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Cual es la fuerza resultante, que GENERA EQUILIBRIO ESTATICO?

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Sentido Opuesto

condiciones del Equilibrio ESTATICOcondiciones del Equilibrio ESTATICO

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Sentido Opuesto

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Equilibrante ESTATICA

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Descomposición de 1 fuerzaen 3 o más direcciones

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PROBLEMAINDETERMINADO

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Sistemas de fuerzas concurrentesComposiciónDescomposiciónEquilibrio

Sistemas de fuerzas NO concurrentesSistemas de fuerzas NO concurrentes

ComposiciónDescomposición: MÉTODO CULMANN

Composición de Fuerzas Paralelas o concurrentes en el infinito:TRAZADO FUNICULAR

EQUILIBRIO ESTABLE

UNIDADES

Método Ritter

ALGEBRA VECTORIAL

CONTENIDOS

!� �� "Pl. SITUACION Pl. OPERATORIO

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Composición de fuerzasno concurrentes

Sistemas de FUERZAS NO CONCURRENTESSistemas de FUERZAS NO CONCURRENTES

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Descomposición de 1 FUERZA en3 direcciones NO concurrentes

Procedimiento CULMANN

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CONTENIDOS

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ALGEBRA VECTORIAL

Buscamos la Resultante estáticamente equivalenteal sistema F1, F2 y F3

Pl. SITUACION Pl. OPERATORIO!� �� " �#��

Composición de fuerzas paralelas oconcurrentes en el INFINITO

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TRAZADO FUNICULARTRAZADO FUNICULARC3

Para ello componemos las fuerzas en el plano Operatorio

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Obtenida la Resultante...¿dónde la ubicamos en el Pl. de Situación?

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Obtenida la Resultante...¿dónde la ubicamos en el Pl. de Situación?

Introducimos un sistema de fuerzas en Equilibrio:un Sistema Nulo

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Introducimos un sistema de fuerzas en Equilibrio:cuya línea de acción corte en el PS a F1un Sistema Nulo

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Recordemos que(no tenemos en cuenta el punto de aplicacióncuando no trabajamos con deformaciones)

los vectores son deslizantes

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Componemos parcialementelas acciones:

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a0+F1=a1

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La así trazada en el PS se llama:PoligonalFUNICULAR de las fuerzas F1, F2 y F3

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Pl. SITUACION Pl. OPERATORIO��

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a0+F1+F2+F3+(-a0)=Ft

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a0+F1+F2+F3+(-a0)=Ft

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En la intersección del primer y último rayo se ubica ladel sistema de fuerzasResultante Estáticamente Equivalente

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Recordar:

,El sistema en equilibrio que se adiciona es

es decir, que tenemos tantosPolígonos funiculares como sistemas en

equilibrio agreguemos

ARBITRARIO

��

Recordar:

,El sistema en equilibrio que se adiciona es

es decir, que tenemos tantosPolígonos funiculares como sistemas en

equilibrio agreguemos

ARBITRARIO

SIN ALTERAR LA POSICIÓN FINAL DE LARESULTANTE

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HerramientasANALÍTICAS

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CONTENIDOS

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ALGEBRA VECTORIALC3

Para REDUCIR expresado por su, podemos distinguir

dos situaciones:

el sistema de fuerzasresultante F a un punto O,

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C3 CONCEPTOS PREVIOS: Reducción de una fuerza a un punto

�� Pl. SITUACION

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Pl. OPERATORIO��

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1) Que el pertenezca a la Línea depunto 0 Acción Ä

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En este caso, la reducción del sistema tendrácomo resultado la misma fuerza F actuando ensu línea de Acción Ä

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1) Que el pertenezca a la Línea depunto 0 Acción Ä

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2) Que el sea a la Línea depunto 0 Acción ÄEXTERIOR

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Trazamos por 0 una recta paralela a , que serásoporte de un sistema en equilibrio de dos fuerzasF' y -F', con intensidad igual a F.

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Dos fuerzas iguales y contrarias cuyas líneas de acciónson paralelas, forman un momento cuyo valor es:

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M = Fxd"�#M = Fxd

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El de la Resultante de un sistema de fuerzas,respecto a cualquier punto,

momentoes igual a la suma

algebraica de los momentos de las fuerzascomponentes respecto del mismo punto

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M = Fxd"�#M = Fxd

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C3 CONCEPTOS PREVIOS: Teorema de VARIGNON

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Se elige un punto cualquiera del plano yse suman los momentos que generan las

fuerzas del sistema en relación a dicho punto.

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fuerzas del sistema en relación a dicho punto.H

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La suma de los momentos del sistema defuerzas es igual al momento de la resultante

en relación a ese punto.H

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El consiste en plantear la toma de momentos,ya no en un punto cualquiera exterior al sistema,

sino en un .punto estratégicamente elegido que facilite la operativa

Método de Ritter

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� � $F x d F x d F x d� � � � � � F x d$F x d F x d F x d F x d�

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M = Fxd"�#

Composición de Fuerzas Paralelas o concurrentes en el infinito

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C3 MÉTODO DE RITTER

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D$d =0d =0�

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� � $F x d F x d F x d� � � � � � F x d$F x d F x d F x d F x d�

Método de Ritter

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Resultando

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D$d =0d =0�

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$�F x d F x d� � � � F x d$F x d F x d F x d�

Método de Ritter

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El Método de Ritter resulta particularmente útilcuando buscamos un sistema equivalente a Fi,consistente en tres fuerzas cuyas direcciones

no concurren en el mismo punto.

Descomposición de 1 Fuerza en 3 direcciones NO Concurrentes

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C3 MÉTODO DE RITTER / aplicación del Teorema de Varignon

��

Se eligen puntos estratégicos que simplifiquen la operativa...

��

...aquellos puntos donde se anulan la mayor cantidad de Fuerzas.Es decir, en los .puntos de concurrencia de las líneas de acción

Ä Ä1 2Ä Ä1 2

��

�� Ä Ä1 2Ä Ä1 2

Recuerden que estamos buscando un.Sistema de Fuerzas Equivalentes a Fi

��

�� Ä Ä1 2Ä Ä1 2

F ��D�M = F x =M = F x =

��

�� Ä Ä1 2Ä Ä1 2

F ��D�M = F x =M = F x =

��D

��

�� Ä Ä1 2Ä Ä1 2

Se define la ecuación con la incognita (F3).El sentido se deduce también de aqui, dado que los

Momentos generados por la Fuerza F3 y Fi son Iguales

F��D

��

��D�M = F x = F x dM = F x = F x d

��

�� Ä Ä1 2Ä Ä1 2 ��D

��DU

�M = F x = F x dM = F x = F x d

��

Se repite el procedimeinto para la intersección 2 y 3Ä Ä

Ä Ä3 2Ä Ä3 2

U�M = F x = F x dM = F x = F x d

��

��D

��

Ä Ä3 2Ä Ä3 2

U�M = F x = F x dM = F x = F x d

��

��D

��

Ä Ä3 1Ä Ä3 1

U ��

Se repite el procedimeinto para la intersección 1 y 3Ä Ä

d �M = F x = F x dM = F x = F x d�� D

��D

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C2-ALGEBRA parte 1 - Facultad de Arquitectura, Diseño y ... · Composición de Fuerzas Paralelas o...

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