Introducao Famılias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabilıstica Classes de Complexidade Probabilısticas Un Paradigma Combinatorio Bibliografıa

Algoritmos Randomizados

Juan Grados VasquezGA-025-Ciencia da Computacao: Fundamentos

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17 de dezembro de 2013

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Sumario

1 Introducao

2 Famılias de Algoritmos Randomizados

3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

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Experimento Aleatorio

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Historia

Figura 1: IncasFigura 2: Azande Figura 3: Naskapi

[Shallit, 2009]

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Historia

1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π

1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]1976 Test de Primalidade.[Rabin]

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Historia

1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π

1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]

1976 Test de Primalidade.[Rabin]

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Historia

1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π

1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]1976 Test de Primalidade.[Rabin]

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?

Randomizado?

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?Randomizado?

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?Randomizado?

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Geradores Pseudo-Aleatorio e Aleatorios

Geradores Pseudo-Aleatorio: Blum Blum Shub, Fortuna, y elMersenne twister.Geradores Aleatorio: Quantum True Random Number Generatorhttp://qubit.lncc.br/trng/

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Aplicacoes

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Porque Utilizar?

Simples

Determinıstico:1 Transforme F (x).2 Compare os coeficientes

de F (x) e G(x)3 Se houver diferenca,

retorne NAO4 Se nao, retorne SIM

Randomico:1 Sorteie um inteiro w,

aleatoriamente, de 1 a100d

2 Avalie F (w) e G(w)

3 Se F (w) 6= G(w), retorneNAO

4 Se nao, retorne SIM

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Porque Utilizar?

Simples

Determinıstico:1 Transforme F (x).2 Compare os coeficientes

de F (x) e G(x)3 Se houver diferenca,

retorne NAO4 Se nao, retorne SIM

Randomico:1 Sorteie um inteiro w,

aleatoriamente, de 1 a100d

2 Avalie F (w) e G(w)

3 Se F (w) 6= G(w), retorneNAO

4 Se nao, retorne SIM

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Porque Utilizarlos?

Eficientes:

exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))Incerteza

Resultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo

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Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))

IncertezaResultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo

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Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))Incerteza

Resultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo

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1 Introducao

2 Famılias de Algoritmos Randomizados

3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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Algoritmos de Monte Carlo

Incerteza no resultado do Algoritmo.Problemas de decisao

Erro bilateral.Erro unilateral.

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Erro unilateral

Erro unilateral baseado no SIM.Erro unilateral baseado no NAO.

Exemplo:

Qual e a probabilidade do algoritmo errar a resposta quando ospolinomios nao sao identicos?

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Mas probabilidades

AS o algoritmo responde SIMAN o algoritmo responde NAOCS a resposta correta para a entrada e SIMCN a resposta correta para a entrada e NAO

Probabilidades de Acerto? Pr [AS|CS], Pr [AN |CN ]

Probabilidades de Erro? Pr [AN |CS], Pr [AS|CN ]

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Mas probabilidades

AS o algoritmo responde SIMAN o algoritmo responde NAOCS a resposta correta para a entrada e SIMCN a resposta correta para a entrada e NAO

Probabilidades de Acerto? Pr [AS|CS], Pr [AN |CN ]

Probabilidades de Erro? Pr [AN |CS], Pr [AS|CN ]

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Reduzindo a Probabilidade de Errar

Seja A um algoritmo de Monte Carlo de erro-unilateral-baseadono nao.Probabilidade de errar: ε

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Algoritmos de las Vegas

Incerteza no tempo do algoritmo

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Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas

1 repetir N vezesSe o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM.

2 retornar NAO

Algoritmo de Error Unilateral Baseado no SIM.

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Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas

1 repetir N vezesSe o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM.

2 retornar NAO

Algoritmo de Error Unilateral Baseado no SIM.

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3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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PTM

Uma maquina de Turing probabilıstica M e um tipo de maquina deTuring nao determinista onde cada passo no determinista e decididode forma aleatoria. [Sipser, pag. 336]

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PTM: Computation Tree

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Consequencias

A NDTM e uma PTM sim probabilidades nas transicoes.A DTM pode ser vista como PTM com nao mais de uma soalternativa para cada transicao.Para uma mesma entrada pode ter tempo de execucao diferenteou pode nao parar.Pode aceitar a entrada em uma determinada execucao, masrejeitar outra entrada.

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4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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Classes de Complexidade Probabilısticas

BQP: Relacao entre MTQ e MT. 1

1[Deutsch (1985)]Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica.

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Classes de Complexidade Probabilısticas

1. P=ZPP?, RP=co-RP ?, RP=NP?, co-NP?,BPP ⊆ NP?, NP⊆BPP?, RP∪co-RP=BPP?[Talbot, pag. 83]

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2 Famılias de Algoritmos Randomizados

3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio

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O modelo de bolas e latas

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Paradoxo do Aniversario

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Fim

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